EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO

(1)

ANÁLISIS VECTORIAL

EN EL PLANO Y EN EL

ESPACIO

Autor:

Lic. Prof. Evaristo Mamani Carlo

(Compilación)

UMSA –UCB – EISPDM: LA PAZ – BOLIVIA, 2013.

Hacia una Física para la vida y la

Investigación

Investigación C

C

Científica

ientífica

Editorial Mongo

x

y

z

B

x

B

y

B

λ

ϕ

ψ

B

r

x

y

z

B

x

B

y

B

λ

ϕ

ψ

(2)

Desde hace tiempos inmemoriales el hombre ha tratado y tratará de conquistar el mundo entero, conquista que ha originado el alejamiento del hombre a entender a la naturaleza, al tiempo que ahora se nos ha dividido en países desarrollado, sub – desarrollados y en desarrollo. En esta conquista el pilar fundamental ha sido sin lugar a duda las ciencias exactas y aplicadas , por ello en esa lucha de entender el comportamiento de la naturaleza la Física aportó grandemente, al punto de necesitar herramientas mas sofisticas como ser la Matemática Abstracta y la Filosofía con su teoría materialista del conocimiento, hoy que hemos avanzado en enormes pasos gracias al rápido avance de las ciencias informáticas y la electrónica creemos encontrarnos en la cúspide de nuestra creación, sin embargo el precio que se nos avecina es un mundo sin agua, sin atmósfera y por sobre todo sin recursos naturales. Las ciencias antiguas no fueron creadas con fines lucrativos ni con fines de destrucción entre nosotros, por el contrario fueron creados a fin de facilitar el trabajo pesado que hacíamos, caso de la Dinamita por ejemplo, pero así como ningún ser humano es igual al otro no todos piensan igual, por ello es hora de concienciar a los estudiantes desde niveles inferiores a fin de que puedan utilizar el conocimiento para el servicio de la humanidad y no para su destrucción, por ello planteo empezar desde abajo, se ve que en algunos colegios secundarios y en las mismas universidades no se fomenta el razonamiento, creatividad y percepción visual, sino se busca mecanizar al estudiante. En este sentido el análisis vectorial constituye el pilar fundamental de la Física aplicada, ya que su lenguaje es elegante y formal y se apoya de la ciencia fáctica como es la Matemática y la ventaja que se notará en lo posterior en las demás temáticas de la Física será que; expresar cualquier cantidad Física en forma vectorial o escalar constituirá no solo un resultado sino estará envuelta en todo un cúmulo de interpretaciones y consecuencias.

Este capítulo se inicia con la conceptualización de vector, clasificaciones de los diferentes tipos de vectores, diferenciación entre cantidades escalares y vectoriales, también se estudia en forma detallada el espacio tridimensional siendo este espacio el espacio real de nuestra existencia, se estudian las diferentes operaciones vectoriales de forma completa y acompañada de sus respectivas interpretaciones, al finalizar de leer el capítulo usted debe poder resolver cualquier problema que involucre el estudio de los vectores ya que se muestran desarrolladas ejercicios poco usuales en la literatura Física y además se proponen ejercicios a fin de evaluar la capacidad de razonamiento del estudiante.

El presente material bibliográfico está dedicado a la flor mas anhelada de todo ser humano que es el amor, y que yo se lo debo a una mujer la mismas que cambió mi concepción del espacio y del tiempo al cual le agradezco por darme la oportunidad de crecer como ser humano y conocer otros mundos que no había conocido hasta su llegada, para ti Luz querida.

Prof. Lic. Evaristo Mamani Carlo

CATEDRÁTICO DE FÍSICA – MATEMÁTICA

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS

UNIVERSIDAD CATÓLICA BOLIVIANA SAN PABLO

(3)

ÍNDICE

PRÓLOGO

ÍNDICE

1. DEFINICIÓN ... 1

2. REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA ... 1

3. NOMBRAMIENTO DE UN VECTOR ... 1

4. REPASO DE TRIGONOMÉTRÍA EN EL PLANO ... 1

5. REPRERSENTACIÓN DEL MÓDULO DE UN VECTOR ... 3

6. CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES ... 3

7. COMPONENTES CARTESIANAS Ó RECTANGULARE4S DE UN VECTOR EN EL

PLANO ... 3

8. COMPONENTES CARTESIANAS Ó RECTANGULARE4S DE UN VECTOR EN EL

ESPACIO ... 4

9. SIGNOS DEL PLANO CARTESIANO ... 5

10. SIGNOS DEL PLANO ESPACIAL ... 6

11. TIPOS DE VECTORES ... 6

11.1 Vectores Paralelos ... 6

11.2 Vectores Concurrentes ... 6

11.3 Vectores Colineales ... 6

11.4 Vectores Coplanares ... 7

11.5 Vectores Perpendiculares ... 7

11.6 Vector cero ó nulo ... 7

11.7 Vectores Unitarios ... 7

12. VECTORES UNITARIOS EN EL PLANO ... 7

13. VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO ... 8

14. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR DE FORMA VECTORIAL ... 8

15. OPERACIONES VECTORIALES ... 8

15.1 Suma y/o Resta de Vectores ... 8

15.2 Producto Escalar ó Producto Interno Entre Vectores ... 9

15.3 Producto Vectorial ó Producto Cruz Entre Vectores ... 10

15.4 Triple Producto Escalar Entre Vectores ... 12

15.5 Triple Producto Vectorial Entre Vectores ... 13

16. TRANSFORMACIÓN DE UN VECTOR CUALQUIERA A UNITARIO ... 14

17. OPERACIONES VECTORIALES Y ESCALARES CON LOS VERSORES UNITARIOS EN

EL PLANO Y ESPACIO ... 14

18. PARALELISMO DE VECTORES ... 14

19. COMPONENTE Y PROYECCIÓN DE UN VECTOR EN LA DIRECCIÓN DE OTRO .... 14

20. PROBLEMAS DE ENTRENAMIENTO ... 16

21. PROBLEMAS DE ENTRETENIMIENTO ... 26

(4)

Los principios del análisis vectorial

En el plano y en el espacio

1. DEFINICIÓN. Un vector es un elemento matemático que tiene tres elementos:

• Módulo o tamaño • Dirección

• Sentido

2. REPRESENTACIÓN ESQUEMÁTICA. Todo vector esta representado por una línea continua, que

tiene un origen y una flecha que indica su sentido, es decir:

3. NOMBRAMIENTO DE UN VECTOR. Al igual que todos los objetos tienes sus nombres, todo vector

puede ser nombrado utilizando las letras del alfabeto, ya sean mayúsculas o minúsculas, algunas notaciones comunes son:

.

,

ˆ

,

E

etc

d

,

b

,

A

v

t

r

Todas estas notaciones representan vectores, pero para una mejor comprensión utilizaremos la notación universal, que es:

A

r

.

Antes de seguir adelante, hagamos un breve repaso de trigonometría:

4. REPASO DE TRIGONOMETRÍA EN EL PLANO. Relación de ángulos:

Módu lo o t

amañ

o _Dirección

Sentido Módu

lo o t amañ

o _Dirección

Sentido

Sistema Sexagesimal: ´´ 60 ´ 1

´ 60 º 1

= =

Sistema Inglés

Sistema Centesimal:

100``

1`

100`

1

g

=

Sistema Francés.

Sistema Radiánico :

[ ]

_rad _90º ₁₀₀g

2 π

= =

Existen tres maneras de vivir la vida; uno creer que todo es un milagro, dos creer que nada es un milagro y tres creer que el milagro lo hacemos nosotros mismos.

(5)

Triángulos Rectángulos:

Triángulos Oblicuángulos:

Conversión del seno al coseno y viceversa:

(

)

( )

(

)

( )

(

90º

α

)

ctg

( )

α

tg

α

sen

α

90º

cos

α

cos

α

90º

sen

=

−

=

−

=

−

Identidades Trigonométricas:

a

b

c

θ

β

a

b

c

θ

β

Teorema de Pitágoras :

c

2

=

a

2

+

b

2

Relación de ángulos :

[ ]

_rad

2 º 90 π β θ+ = = Relaciones Trigonométricas:

tgθ

; ctgθ

senθ

; cscθ

cosθ

secθ

;

b

a

cosβ

senβ

; tg

c

b

cos

;

c

a

sen

;

a

b

cos

sen

; tgθ

c

a

; cosθ

c

b

senθ

1

1 ₌

₌

=

β

θ

c

d

p

λ

φ

ω

c

d

p

λ

φ

ω

Ley de Senos :

( )

ω

( )

λ

sen

( )

φ

p

sen

c

sen

d

=

Ley de Cosenos :

( )

λ

cos

d

p

d

p

c

cos

c

d

c

d

p

ω

cos

c

p

c

p

d

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

⋅

−

+

=

⋅

−

+

=

⋅

−

+

=

φ

Relación de ángulos :

φ

+

λ

+

ω

=

180 º

=

π

[ ]

rad

( )

( ) ( )

( )

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

_{( ) ( )}

( ) ( )

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

( )

2 2α cos 1 α cos ; 2 2α cos 1 α sen β α cos β α cos 2 1 β cos α cos β α sen β α sen 2 1 β cos α sen β α cos β α cos 2 1 β sen α sen β tg α tg 1 β tg α tg β α tg β sen α sen β cos α cos β α cos α cos β sen β cos α sen β α sen 1 α 2cos α 2sen 1 α sen α cos 2α cos α cos α sen 2 2α sen 1 α cos α sen 2 2 2 2 2 2 2 2 + = − = − + + = ⋅ − + + = ⋅ + − − = ⋅ ⋅ ± = ± = ± ± = ± − = − = − = = = + m m

( )

α cos

( )

α (Función par) cos impar) (Función α sen α sen Z n ; π 2 1 n x 0 x cos Z n ; nπ x 0 x sen 2 α β sen 2 β α 2sen β cos α cos 2 β α cos 2 β α 2cos β cos α cos 2 β α sen 2 β α 2cos β sen α sen 2 β α cos 2 β α 2sen β sen α sen = − − = − ∈ ∀       + = ⇒ = ∈ ∀ = ⇒ =       −       + = −       ₋       ₊ = +       −       + = −       −       + = +

2 :

E

mc

(6)

5. REPRESENTACIÓN DEL MÓDULO DE UN VECTOR. El módulo de cualquier vector está

representado por la siguiente notación:









⇒

A

vector

del

Módulo

A

vector

A

r

Éste módulo representa el tamaño o magnitud de una cantidad vectorial

6. CANTIDADES ESCALARES Y CANTIDADES VECTORIALES. Una cantidad se dice vectorial cuanto

para su determinación se requiere de tres elementos: Módulo, Dirección y Sentido. En cambio una cantidad se dice escalar cuando para su especificación solo se requiere de una sola cantidad que es precisamente su magnitud, número ó escalar, algunos de los ejemplos de estas cantidades son:

etc.

Masa ,

m

;

Eléctrica

Carga

Q

;

a

Temperatur

T

;

distancia

d

;

tiempo

t

:

Escalares

Cantidades

etc.

,

Eléctrico

Campo

E

;

Fuerza

F

;

n

Aceleració

a

;

Velocidad

v

;

Posición

r

:

s

Vectoriale

Cantidades

:

r

7. COMPONENTES CARTESIANAS Ó RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL PLANO. Para

obtener dichas componentes, se los debe descomponer es decir, proyectar al vector en los ejes cartesianos:

( )

270º 1 ; cos

( )

270º 0 sen

( )

360º 0 ; cos

( )

360º 1 sen

1 180º cos ; 0 180º sen 2

3 150º cos ; 2 1 150º sen

2 1 120º cos ; 2

3 120º sen 2 1 60º cos ; 2

3 60º sen

2 2 45º cos ; 2

2 45º sen 2

3 30º cos ; 2 1 30º sen

0 90º cos ; 1 90º sen 1 0º cos ; 0 0º sen

: Notables Angulos

= =

= −

=

− = =

= =

A

r

x

A

y

A

x

y

A

r

θ

A

r

x

A

y

A

x

y

A

r

(7)

Donde:









⇒

y

dirección

la

en

A

vector

del

Componente

A

x

dirección

la

en

A

vector

del

Componente

A

y x

r

De la figura anterior puede verse que si se conocen el módulo del vector y la dirección, pueden obtenerse las componentes como:

( )

θ

;

A

sen

( )

θ

cos

A

_x _y

r

=

En cambio si se conocen las componentes cartesianas, el modulo y la dirección pueden obtenerse de las siguientes expresiones:

( )













=

⇒

=

+

=

−

x y

x y y

x

A

tg

A

tg

;

A

2 2

θ

1

r

Es decir, los problemas que involucran vectores en el plano tienen soluciones conocidas que se los puede resolver utilizando las anteriores relaciones.

8. COMPONENTES CARTESIANAS O RECTANGULARES DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.

Análogamente al caso anterior para obtener dichas componentes, se los debe descomponer es decir, proyectar al vector en los ejes cartesianos del plano espacial:

Donde:











⇒











⇒

z

eje

del

respecto

ángulo

y

eje

del

respecto

ángulo

x

eje

del

respecto

ángulo

Directores

Ángulos

y

dirección

la

en

B

vector

del

Componente

B

y

dirección

la

en

B

vector

del

Componente

B

x

dirección

la

en

B

vector

del

Componente

B

res

Rectangula

s

Componente

z y x

λ

ϕ

ψ

r

Uniendo los vértices de cada componente con el vector, tenemos triángulos rectángulos a resolver:

x

y

z

B

x

B

y

B

λ

ϕ

ψ

B

r

x

y

z

B

x

B

y

B

λ

ϕ

ψ

B

(8)

Ç

Por otro lado tenemos:

Finalmente, realizando la operación:

( )

1

2 2

2

2 2

2

2 2

2

=

+

⇒

=

+

=













+













+













=

+

λ

ϕ

ψ

λ

ϕ

ψ

cos

B

cos

x y z x y z

r

9. SIGNOS DEL PLANO CARTESIANO. Cuando se trata del plano cartesiano nos hacemos referencia a

problemas bidimensionales, es decir los ejes x –y, en este caso se habla de cuadrantes y están dados por:

x

y

z

B

x

B

y

B

λ

ϕ

ψ

B

r

x

B

r

ψ

x

y

z

B

x

B

y

B

λ

ϕ

ψ

B

r

x

B

r

ψ

Por lo cual tenemos:

( )

B

cos

B

cos

;

B

cos

z

y x

r

=

λ

ϕ

ψ

Mismos que se denominan Cosenos

Directores, ya que direccional al vector.

x

y

z

B

x

B

y B

B

r

( )2 ( )2

y

x B

B +

z

B

x

y

z

B

x

B

y B

B

r

( )2 ( )2

y

x B

B +

z

B

Por el teorema de Pitágoras:

( )

2

( )

2

( )

2

2 2

z y

x

z y

x

B

+

=

⇒

+













₊

=

r

Que se denomina; El teorema de Pitágoras en el

espacio.

x

+

I

Cuadrante

II

Cuadrante

III

Cuadrante

IV

x

−

y

+

y

−

x

+

I

Cuadrante

II

Cuadrante

III

Cuadrante

IV

x

−

y

+

y

−

Cuyos signos son:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

+

−

)

−

+

−

+

,

Cuarto

,

Tercero

,

Segundo

,

Primero

(9)

10. SIGNOS DEL PLANO ESPACIAL. Cuando se trata del plano espacial nos hacemos referencia a

problemas tridimensionales, es decir los ejes x – y - z, en este caso se habla de octantes y están dados por:

11. TIPOS DE VECTORES. Dentro del análisis vectorial existen una infinidad de vectores, algunos de los

cuales son:

11.1 Vectores Paralelos. Son vectores que pueden tener el mismo sentido ó sentido opuesto, y son

aquellos de la forma:

11.2 Vectores Concurrentes. Son vectores que pueden concurrir a un punto ó pueden concurrir de un

punto,y son aquellos de la forma:

11.3 Vectores Colineales. Son vectores que están ubicados a lo largo de una sola línea y pueden tener

el mismo sentido ó sentidos opuestos y están dados del siguiente modo:

x

+

x

−

y

+

y

−

z

+

z

−

I

Octante

II

Octante

III

Octante

IV

Octante

V

Octante

VI

Octante

VII

Octante

VIII

Octante

x

+

x

−

y

+

y

−

z

+

z

−

I

Octante

II

Octante

III

Octante

IV

Octante

V

Octante

VI

Octante

VII

Octante

VIII

Octante

Cuyos signos son:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

+

−

)

−

+

−

+

−

+

−

+

−

+

,

Octavo

,

Séptimo

,

Sexto

,

Quinto

,

Cuarto

,

Tercero

,

Segundo

,

Primero

z

y ,

,

x

Signos

Octante

B

r

B

r

c

r

c

r

sentido mismo del Paralelos

los antiparale ó

opuestos sentidos del Paralelos

B

r

B

r

c

r

c

r

sentido mismo del Paralelos

los antiparale ó

opuestos sentidos del Paralelos

c

r

d

r

e

r

a

r

_b

r

b

r

c

r

d

r

e

r

a

r

punto un de es

Concurrent _Concurrent_es_a_un_punto

c

r

d

r

e

r

a

r

_b

r

b

r

c

r

d

r

e

r

a

r

punto un de es

(10)

11.4 Vectores Coplanares. Son vectores que están ubicados en un mismo plano, y están dados por:

11.5 Vectores Perpendiculares. Son vectores que forman un ángulo recto, y están dados por:

11.6 Vector Cero ó nulo. Es aquel vector que se representa por:

0 r

y cuyo módulo está dado por:

0

0 =

r

11.7 Vectores Unitarios. Son aquellos vectores cuyo módulo está dado por la unidad y se los

representan generalmente por:

1 A

ˆ

A

ˆ

A

=

⇒









⇒

A

Unitario

Vector

A

Vector

r

A los vectores unitarios se los denomina también VERSORES.

12. VECTORES UNITARIOS EN EL PLANO. En el plano x – y, los vectores unitarios están dados por: sentido

mismo del Colineales

opuestos

sentidos de

Colineales sentido mismo

del Colineales

opuestos

sentidos de

Colineales

a

r

b

r

a

r

b

(11)

13. VECTORES UNITARIOS EN EL ESPACIO. En el plano x – y - z, los vectores unitarios están dados

por:

14. REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR DE FORMA VECTORIAL. Para representar un vector de

forma vectorial ya sea en el plano ó en el espacio se debe utilizar las componentes cartesianas ó rectangulares y los vectores unitarios (versores), es decir:

( )

      

+ + =

⇒ + + =

+ =

⇒ + =

= ⇒ = ⇒

2 z 2 y 2 x z

y x

2 y 2 x y

x

x x

A A A A k A j A i A A : espacio el en vectorial ción Representa

A A A j A i A A : plano el en vectorial ción Representa

A A i A A : eje un en vectorial ción Representa A

Vector

r r

r

ˆ ˆ ˆ

15. OPERACIONES VECTORIALES. Existen diferentes tipos de operaciones que se pueden realizar con

los vectores, algunos de los cuales son:











vectorial

Producto

Triple

escalar

Producto

Triple

vectorial

`Producto

escalar

Producto

ción

Multiplica

Sustración

ó

Resta

/

Adición

ó

Suma

15.1 Suma y/o resta de vectores. Para sumar y/o restar vectores, existen dos métodos por los cuales se

los puede realizar, estos son:

• El método analítico • El método gráfico

x

+

x

−

y

+

y

−

iˆ

jˆ

j

1 ˆ

1 iˆ

=

x

+

x

−

y

+

y

−

iˆ

jˆ

j

1 ˆ

1 iˆ

=

x

+

x

−

y

+

y

−

_iˆ

1 kˆ

1 j ˆ

1 iˆ

= = =

jˆ

kˆ

z

+

z

−

x

+

x

−

y

+

y

−

_iˆ

1 kˆ

1 j ˆ

1 iˆ

= = =

jˆ

kˆ

z

+

(12)

a) Método analítico para sumar y/o restar vectores.

(

A

B

)

iˆ

(

A

B

)

jˆ

(

A

B

)

kˆ

B

A

kˆ

B

jˆ

B

iˆ

B

kˆ

A

jˆ

A

iˆ

A

z z y

y x

x

z y x

3

:

por

dados

están

que

;

V

B

,

A

:

vectores

los

Sean

±

+

±

+

±

=

±

⇒









+

=

+

=

∈

r

b) Método Gráfico para sumar y/o restar vectores. Sean los vectores

A

,

B

,

C

,

D

r

, que están representados por:

c) Propiedades de la suma y/o resta de vectores. Las principales propiedades son:

( )

A

n

A

B

r

B

r

B

A

B

A

B

r

A

r

B

A

r

C

B

A

C

B

A

B

A

R

r

y

V

C

,

B

A

Sean

r

=

+

=

+

≤

+

=

⋅

=

±

⋅

±

⋅

=

±

⋅

+

±

=

±

+

±

=

±

∈

....

)

6 )

6

0

0 )

5

0 )

4 )

3 )

2 )

1 ,

:

3

15.2 Producto Escalar ó producto interno entre vectores. Sólo se puede multiplicar escalarmente

entre vectores y se los representa por el símbolo: “o” y se lo define como:

B

r

A

r

C

r

D

r

B

r

A

r

C

r

D

r

S

r

D

C

B

A

S

r

+

=

B

r

A

r

C

r

D

r

B

r

A

r

C

r

D

r

S

r

D

C

B

A

S

r

+

=

B

r

−

A

r

C

r

D

r

−

P

r

D

C

B

A

P

r

−

+

−

=

B

r

−

A

r

C

r

D

r

−

P

r

D

C

B

A

P

r

−

+

−

=

(13)

z z y y x x z y x z y x 3

B

A

B

A

B

A

B

A

kˆ

B

jˆ

B

iˆ

B

kˆ

A

jˆ

A

iˆ

A

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⇒









+

=

+

=

∈

:

por

dados

están

que

;

V

B

,

A

:

vectores

los

Sean

r

o

r

Es decir el resultado de ésta operación es un escalar ó numero, otra definición alternativa de este producto escalar es:

( )

θ

cos

B

A

B

A

kˆ

B

jˆ

B

iˆ

B

kˆ

A

jˆ

A

iˆ

A

z y x z y x 3

⋅

=

⇒









+

=

+

=

∈

r

o

r

:

por

dados

están

que

;

V

B

,

A

:

vectores

los

Sean

Donde θ es el ángulo menor entre ambos vectores.

a) Propiedades del producto escalar entre vectores. Las principales propiedades son:

(

)

( ) ( )

( )

A

ángulo

un

B

y

A

entre

cos

B

A

B

A

los

antiparale

son

B

y

A

B

A

B

A

sentido

mismo

del

paralelos

son

B

y

A

B

A

B

A

lares

perpendicu

son

B

y

A

B

A

Si

A

B

r

A

B

A

r

B

A

r

C

A

B

A

C

B

A

B

A

R

r

y

V

C

,

B

A

Sean

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

=

⇒

=











∃

⇒

⋅

=

⇒

⋅

−

=

⇒

⋅

=

⇒

=

⋅

=

⋅

=

⋅

±

=

±

=

∈

)

6

0 :

)

5

0

0 )

4 )

3 )

2 )

1 ,

:

2 3

θ

15.3 Producto Vectorial ó producto cruz entre vectores. Sólo se puede multiplicar vectorialmente

entre vectores y se los representa por el símbolo: “x” y se lo define como:

(

A B A B

)

iˆ

(

A B A B

)

jˆ

(

A B A B

)

kˆ

B B B A A A kˆ jˆ iˆ B A kˆ B jˆ B iˆ B B kˆ A jˆ A iˆ A A x y y x x z z x y z z y z y x z y x z y x z y x 3 : por dados están que ; V B , A : vectores los Sean ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = = × ⇒     + + = + + = ∈ r r r r r r

El resultado de ésta operación es otro vector, que nada tiene que ver con los vectores originales. Otra definición alternativa para el módulo del vector resultante de ésta operación es:

(14)

( )

θ

sen

B

A

B

A

kˆ

B

jˆ

B

iˆ

B

kˆ

A

jˆ

A

iˆ

A

z y x

3

⋅

=

×

⇒









+

=

+

=

∈

r

:

por

dados

están

que

;

V

B

,

A

:

vectores

los

Sean

Donde θ es el ángulo menor entre ambos vectores.

En cuyo caso ésta resultante obedece la regla de la mano derecha, es decir:

a) Propiedades del producto vectorial entre vectores. Las principales propiedades son:

(

)

( ) ( )

( )

0 )

6

0 :

)

5

0

0 )

4 )

3 )

2 )

1 ,

:

3

r

=

×











∃

⇒

⋅

=

×

⇒

⋅

=

×

⇒

=

×

=

×

=

×

⋅

×

=

×

⋅

=

×

⋅

×

±

×

=

±

×

−

=

×

∈

A

ángulo

un

B

y

A

entre

sen

B

A

B

A

lares

perpendicu

son

B

y

A

B

A

B

A

los

antiparale

y/o

paralelos

son

B

y

A

B

A

Si

A

B

r

A

B

A

r

B

A

r

C

A

B

A

C

B

A

B

A

R

r

y

V

C

,

B

A

Sean

θ

b) Interpretación geométrica del producto Vectorial entre dos vectores. De la definición alternativa

para el módulo del producto vectorial entro dos vectores cualesquiera tenemos: A×B= A⋅B⋅sen

( )

θ

r r r r

, en cuyo caso tenemos la siguiente interpretación geométrica:

A

r

B

r

θ

A

r

B

r

θ

A

r

B

r

B

A

r

×

θ

º

90 º

90 A

r

B

r

B

A

r

×

θ

º

90 º

90 r

B

r

θ

B

sen

( )

θ

r

B

r

A

r

amo

Paralelogr

r

B

r

θ

B

sen

( )

θ

r

B

r

A

r

amo

Paralelogr

A r

( )

θ

sen B

r Rectángulo

A r

( )

θ

sen B

(15)

De las figuras anteriores puede verse que el área del paralelogramo formado entre los vectores A B

r r

y

es idéntico al área del rectángulo equivalente, es decir:

( )

θ A B sen B A r r r r × = ⋅ ⋅ = =Área del rectángulo amo

paralelogr del

Área

Por lo cual, sea: A B

r r y vectores los entre formado amo paralelogr del Área

A= , entonces:

B

A

r

×

=

A

Es decir; el módulo del producto vectorial entre dos vectores representa el área que encierra dichos vectores al formar una figura geométrica denominado paralelogramo.

15.4 Triple Producto Escalar entre vectores. Definido exclusivamanete para tres vectores cualesquiera,

y cuyo resultado arroja un escalar ó número, y se define de la siguiente manera:

( )

x

(

y z z y

)

y

(

x z z x

)

z

(

x y y x

)

z y x z y x z y x z y x z y x z y x 3 C B C B A C B C B A C B C B A C C C B B B A A A C B A kˆ C jˆ C iˆ C C kˆ B jˆ B iˆ B B kˆ A jˆ A iˆ A A ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = = × ⇒       + + = + + = + + = ∈ : por dados están que ; V C , B , A : vectores los Sean r r o r r r r r r r

a) Propiedades del triple producto escalar entre vectores. Las principales propiedades son:

( ) ( )

( )

B

A

,

B

V

ya

que

:

A

coplanares

vectores

son

C

y

B

A

C

B

A

si

ó

C

B

vector

al

lar

perpendicu

es

A

C

B

A

Si

C

,

B

A

vectores

los

por

formado

pedo

paralelepí

del

Volumen

C

B

A

C

B

A

C

B

A

C

B

C

B

A

R

r

y

V

C

,

B

A

Sean

0

0 )

6 ,

0

0 :

)

5 ,

)

3 )

2 )

1 ,

:

3 3

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

o

r

=

×

∈

∀

=

×









⇒

=

×

⇒

=

×

=

×

=

×

=

×

=

×

∈

b) Interpretación geométrica del Triple producto Escalar entre vectores. De la definición alternativa

para el módulo del producto vectorial entro dos vectores cualesquiera tenemos: _Ar _×_Br ₌ _Ar _⋅_Br _⋅_sen

( )

_θ , y de la definición alternativa del producto escalar entre vectores, tenemos la siguiente interpretación geométrica:

( )

B

C

A

B

C

cos

( )

θ

A

B

C

sen

( )

λ

cos

( )

θ

A

×

=

⋅

×

⋅

=

⋅

(16)

Por lo cual de la figura puede verse que el volumen del paralelepípedo curvo es idéntico al volumen del paralelepípedo curvo pero ahora los lados tienen diferentes valores, es decir:

( )

λ

A

cos

( )

θ

sen

C

B

recto

pedo

paralelepí

del

Volumen

curvo

pedo

paralelepí

del

Volumen

=

⋅

r

Por lo cual, sea: A , B C

r r r

y vectores los

entre formado

pedo paralelepí del

Volumen

V = , entonces:

( )

B

C

A

V

r

o

r

×

=

Para asegurar que el volumen sea una cantidad positiva, ya que se corre el riesgo de que el producto escalar resulte una cantidad negativa, es conveniente aplicar valor absoluto, por lo cual:

( )

B

C

A

V

r

o

r

×

=

Es decir; el valor absoluto del triple producto escalar entre tres vectores representa el volumen que encierra dichos vectores al formar una figura geométrica denominado paralelepípedo.

.

15.5 Triple Producto Vectorial entre vectores. Definido exclusivamanete para tres vectores

cualesquiera, y cuyo resultado arroja otro vector, y se define de la siguiente manera:

( ) ( ) ( )

B

C

A

C

B

A

B

C

A

kˆ

C

jˆ

C

iˆ

C

kˆ

B

jˆ

B

iˆ

B

kˆ

A

jˆ

A

iˆ

A

z y x

3

r

o

r

o

r

:

por

dados

están

que

;

V

C

,

B

,

A

:

vectores

los

Sean

−

=

×

⇒











+

=

+

=

+

=

∈

a) Propiedades del triple producto vectorial entre vectores. Las principales propiedades son: