XI.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN CAPA LIMITE TÉRMICA E HIDRODINÁMICA - Capa límite termica e hidrodinámica

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XI.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN

CAPA LIMITE TÉRMICA E HIDRODINÁMICA

XI.1.- INTRODUCCIÓN

Antes de entrar en la metodología que permite determinar el coeficiente de transferencia de calor por convección hC, examinaremos con cierto detalle el proceso y fenomenología de la convección, así como su relación con el movimiento del fluido.

Si a título de ejemplo se supone una placa plana sobre la que fluye una corriente fluida, lo primero que se observa es que la velocidad del fluido disminuye a medida que nos aproximamos hacia la superfi-cie de la misma, como consecuencia de las fuerzas de viscosidad.

Como la velocidad de la capa de fluido en contacto con la pared es cero (upF= 0) la transferencia de

calor entre la superficie y esta capa de fluido está originada únicamente por conducción, cumpliéndose que:

qC= - kF dT

dy〉y=0= hC(TpF- TF)

y aunque ésto sugiere que el proceso térmico pudiera considerarse como de conducción, lo cierto es que el gradiente de temperaturas en la superficie:

dT dy〉y=0

viene determinado por la velocidad a que puede ser transportada la energía por el fluido más alejado de la pared, hacia el interior de la corriente principal, por lo que el gradiente de temperaturas en la superfi-cie del sólido depende del campo de flujo, de forma que las velocidades más elevadas son las que originan mayores gradientes de temperatura y mayores velocidades de transferencia de calor.

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en el caso del agua, que en el caso del aire.

La situación es muy parecida cuando se estudia la convección libre; la diferencia principal radica en que en el caso de la convección forzada, la velocidad tiende hacia el valor de la corriente sin perturbar impuesta por una fuerza exterior, mientras que en la convección libre la velocidad crece al principio, a medida que va aumentando la distancia desde el plano, debido a que el efecto de la viscosidad disminuye más rápidamente que la variación de densidades, que lo hace más lentamente; sin embargo, la fuerza ascensional disminuye cuando la densidad del fluido se acerca al valor de la del fluido que lo rodea; ésta es la causa de que la velocidad alcance un valor máximo y tienda a cero bastante lejos de la superficie caliente.

La distribución de temperaturas en la convección forzada y libre tienen formas análogas y en ambos casos el mecanismo de transferencia de calor en la interfase (fluido/sólido) es la conducción.

El coeficiente de transferencia de calor por convección hC depende, en general, de algunas propieda-des inherentes al flujo del fluido, como son su densidad, viscosidad y velocidad, y de sus propiedapropieda-des tér-micas (conductividad térmica y calor específico):

hC = f (ρ, η, u, kF, cp)

Mientras que en la convección forzada la velocidad del fluido viene impuesta normalmente por la acción de una bomba o un ventilador, y puede especificarse directamente, en la convección libre la velo-cidad depende de una serie de factores como son,

a) La diferencia de temperaturas entre la superficie y el fluido, TpF - TF

b) El coeficiente de dilatación térmica del fluido β (que determina la variación de su densidad por unidad de diferencia de temperaturas), por cuanto:

v = vF{1 + β (T - TF)} ; ρF

ρ = 1 + β (T - TF)

c) El campo de fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema que, en la mayoría de las situacio-nes, se reduce únicamente al campo gravitatorio g.

Para adquirir una cierta comprensión del significado de los parámetros que intervienen en la convec-ción forzada, se puede examinar con mayor detalle el campo de fuerzas; así, para una placa plana inmersa en una corriente fluida, el flujo a diversas distancias del borde de ataque de la placa se desarro-lla en una región en la que las fuerzas de viscosidad frenan al fluido, disminuyendo su velocidad.

Las fuerzas de viscosidad dependen de la tensión de corte:

τ = η

du dy

La región del flujo próxima a la placa, en donde la velocidad del fluido se ve frenada por las fuerzas de viscosidad, se denomina capa límite, siendo su espesor δ igual a la distancia existente entre la placa y la región del fluido donde éste tiene una velocidad igual al 99% de la correspondiente a la corriente libre; la región de fluido que se encuentra más allá de esta región se denomina régimen de flujo potencial o régimen no perturbado.

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a que a una cierta distancia xC el efecto de la fuerzas de inercia llega a ser lo suficientemente importan-te, en comparación con la acción amortiguadora de la viscosidad, que en el flujo empiezan a aparecer y a crecer pequeñas perturbaciones; a esta distancia se la conoce como distancia crítica.

Cuando comienzan a amplificarse estas perturbaciones, la regularidad del flujo viscoso se ve alte-rada y tiene lugar una transición, de forma que el flujo pasa de laminar a turbulento. En la región del flujo turbulento, las partículas de fluido se mueven a través de líneas de corriente que transportan con más o menos violencia tanto la energía térmica, como la cantidad de movimiento.

El coeficiente de transferencia de calor por convección hC varía con la posición, respecto al borde de entrada para una placa plana o desde la entrada de un tubo o conducto cerrado.

El parámetro que describe la variación espacial es el coeficiente de transferencia de calor local hCx, siendo x la distancia que hay desde el borde de ataque de la placa o entrada del tubo a la sección conside-rada.

Si se desea calcular en el intervalo (0 ≤ x ≤ L) el coeficiente medio de transferencia térmica por con-vección hC, hay que conocer el coeficiente de transferencia de calor local hCx, siendo la relación existente entre ellos de la forma:

hC=

1 L x=0

x=L

hCxdx = 2hCx〉x=L

en la que L es la longitud de la placa o del tubo considerada.

XI.2.- ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA TRANSMISIÓN DE CALOR EN UN MEDIO EN MOVIMIENTO

Cuando se hace el estudio de la convección forzada hay que tener en cuenta que los fenómenos que influyen en ella son, un transporte de materia y la conductividad térmica. Para su comprensión vamos a considerar un paralelepípedo de fluido elemental, de volumen unidad, Fig XI.1, de dimensiones dx, dy, dz, teniendo en cuenta que en el proceso intervienen tanto la temperatura TF como la velocidad VF = V(u,v,w) del fluido, y que el calor producido por rozamiento interno es despreciable. Mediante un balance

de energía se obtiene:

Calor que penetra según Ox en la unidad de tiempo debido a la velocidad:

Q1x = m cF T = (ρ u dy dz) cF T = ρ (u T) cF dy dz Calor disipado según Ox:

Q2x = ρ cF [u T + ∂(u T)

∂x dx] dy dz

habiendo reagrupado u y T porque ambas intervienen en el interior del paralelepípedo elemental.

El calor que se almacena en el paralelepípedo según Ox, en la unidad de tiempo, debido a las masas entrantes y salientes es:

Q1x - Q2x= - ρ cF

∂(uT)

∂x dx dy dz

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Teniendo en cuenta el conjunto de las tres direcciones, se obtiene la expresión del calor total almace-nado dentro del paralelepípedo elemental, debido a las variaciones de velocidades y temperaturas de las masas de fluido circulante:

Q1− Q2= - ρ cF dx dy dz { ∂(uT)

∂x + ∂(vT)

∂y + ∂(wT)

∂z } =

= - ρ cF dx dy dz {u ∂

T ∂x + v

∂T ∂y + w

∂T ∂z + T (

∂u ∂x +

∂v ∂y +

∂w ∂z)} =

= - ρ cF dx dydz {u ∂T ∂x + v

∂T ∂y + w

∂T

∂z + Tdiv

r

V }

El calor que se almacena en el volumen elemental debido a la conducción en la unidad de tiempo, según el eje Ox, es:

Q1X

* = - k (dy dz) ∂T

∂x

Q2X

* = Q 1X

* + ∂Q1X *

∂x dx = - k ∂ ∂x(T +

∂T

∂x dx) dydz = - k ( ∂T ∂x +

∂2T

∂x2 dx) dydz luego en la dirección Ox se tiene:

Q1X

* - Q 2X

* = k ∂2T

∂x2 dxdy dz

Sumando los calores almacenados por conducción en las tres direcciones y en la unidad de tiempo, se obtiene:

Q1

*- Q 2

*= k (∂2T

∂x2 + ∂2T

∂y2 + ∂2T

∂z2 ) dxdy dz = k (∇

2T) dx dydz

Finalmente, el calor total almacenado en el elemento de volumen considerado en el tiempo dt, será el mismo que la suma de los calores almacenados, anteriormente deducidos:

En el tiempo t : Qt= ρ dxdy dzcFT

En el tiempo t + dt : Qt+dt= ρ

dxdy dzcF(T + ∂T

t dt) por lo que el calor almacenado en dt es:

Qt+dt- Qt= ρ dxdy dzcF ∂T

∂t dt

El balance térmico es de la forma:

k (∇2T) dxdydz - ρ cF dx dydz (u ∂T

x + v ∂T ∂y + w

∂T

∂z + Tdiv

r

V ) = ρ dx dydzcF ∂T

t dt

α (∇

2T) - (u ∂T

∂x + v ∂T ∂y + w

∂T

∂z + Tdiv

r

V ) = ∂T ∂t dt

Si se considera fluido incompresible, div

r

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como dinámico:

∂T

∂t dt = 0

quedando con estas dos condiciones lo siguiente:

α (∇

2T) = u ∂T

∂x + v ∂ T

∂y + w ∂ T ∂z

que es una ecuación diferencial con 4 incógnitas T, u, v, w, por lo que serán necesarias otras 3 ecuacio-nes, que son las de Navier-Stokes, de la forma:

1

ρ ∂px = X - du

dt + ν ∆u + 1 3 ν

∂ ∂x div

r

V

1

ρ ∂py = Y - dv

dt + ν ∆v + 1 3 ν

∂ ∂y div

r

V

1

ρ ∂∂pz = Z - dw

dt + ν ∆w + 1 3 ν

∂ ∂z div

r

V

completándose así el sistema de ecuaciones que rige el fenómeno termohidrodinámico.

En las ecuaciones de Navier-Stokes, las componentes (X,Y,Z) de la resultante de las fuerzas exterio-res que actúan sobre el sistema elemental de fluido quedan reducidas para fluidos pesados a X = 0; Y = 0; Z = g, pudiéndose poner para la tercera ecuación de Navier-Stokes (ρ Z= ρ g) para el caso en que T permanezca constante.

A su vez, como el fluido al calentarse o enfriarse modifica su densidad, en el intervalo de temperatu-ras T0 y T, se tiene:

g (ρ0- ρ) = ρg (

ρ0

ρ - 1) = v = v0 {1 + β (T - T0)} ;

ρ0

ρ = 1 + β (T - T0) = ρgβ (T - T0) = ρg β∆T siendo ρ0 la densidad del fluido a la temperatura T0 y v el volumen específico del fluido.

La tercera ecuación de Navier-Stokes queda en la forma:

1

ρ ∂pz = g β ∆T - dw

dt + ν ∇

2w

XI.3.- CAPA LIMITE LAMINAR EN FLUJO SOBRE PLACA PLANA

En el movimiento de fluidos sobre una placa plana, la Hidrodinámica clásica se limita a imponer, como condición de contorno, la tangencia del vector velocidad, mientras que la Mecánica de Fluidos vis-cosos exige la condición adicional de adherencia al contorno de la placa, que es mucho más restrictiva que la de tangencia. En los fluidos poco viscosos, los esfuerzos tangenciales son, con frecuencia, muy inferiores a los de inercia o a los de gravedad, pero ésto no autoriza a prescindir de los esfuerzos visco-sos, que pueden llegar a ejercer una influencia considerable sobre la configuración del movimiento.

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concen-traba los fenómenos de fricción, y que llamó capa límite; en el exterior de dicha capa, las tensiones tan-genciales son despreciables, predominando las fuerzas de inercia sobre las de viscosidad, mientras que en el interior de la capa límite la proximidad del contorno hace que el gradiente de velocidades sea muy

grande y, por lo tanto, que la tensión tangencial τ =η du

dy sea también muy grande. En esta situación

las fuerzas de fricción son del mismo orden de magnitud que las fuerzas de inercia.

El espesor de la capa límite puede estar comprendido entre unas pocas moléculas y algunos milíme-tros, según los casos; fuera de la capa límite se pueden utilizar las ecuaciones de Euler o métodos experi-mentales basados en las líneas y redes de corriente, que una vez configuradas alrededor del contorno o perfil deseado, permiten obtener el campo de velocidades y la distribución de presiones correspondiente.

En el estudio de la capa límite hay que tener presentes las siguientes consideraciones:

a) Aunque la perturbación producida por la fricción se propaga a todo el fluido, se admite que la propagación queda limitada a una zona del mismo de espesor finito , en sentido normal al contorno.

b) La forma de la curva de distribución de velocidades en las distintas secciones a lo largo de la capa límite, se puede expresar, en general, mediante las siguientes ecuaciones, Fig XI.2:

Régimen laminar: u

V0 = C + C1( y

δ) + C2(

y

δ)2+ C3(

y δ)3...

Régimen turbulento: u V0 =

y δ

m

en la que V0 es la velocidad uniforme del fluido no perturbado; la capa límite en su desarrollo longitudinal, muestra una tendencia progresiva al ensanchamiento, Fig VII 2.b.

≅V0

u

V0

y

δ

y

x

Fig XI.2.a.b.- Capa límite

POLINOMIO DE SEGUNDO GRADO.- Si la distribución de velocidades es de la forma,

u

V0 = C + C1( y

δ) + C2(

y δ)2

con las condiciones:

Para: y = 0, u = 0 ⇒ C = 0

Para: y = δ , u = V0 ⇒ 1 = C1+ C2 Para: y = δ , (∂u/∂y)y=δ= 0

  

 

1 V0

∂u

∂y〉y=δ=( C1

δ +

2C2 y δ2 )y=δ=

C1

δ + 2 C2

(7)

C1+ C2= 1

C1+ 2C2= 0

 

 ⇒ C1= 2 ; C2= - 1

y la forma del perfil de la distribución de velocidades de la capa límite, en régimen laminar, con un polino-mio de segundo grado, es:

u V0 =

2 y δ - (

y δ)2

POLINOMIO DE TERCER GRADO.- Si el polinomio es de tercer grado:

u

V0 = C + C1( y

δ) + C2(

y

δ)2+ C3(

y δ)3

con las condiciones:

Para: y = 0, u = 0 ⇒ C = 0

Para: y = δ , u = V0 ⇒ 1 = C1+ C2+ C3

Para: y = δ , (∂u/∂y)y=δ= 0 

 

 

1 V0

∂u

∂y〉y=δ={ C1

δ + 2C2

δ ( y δ)+

3 C3y δ (

y

δ)2}y=δ= 0 ; C1+ 2C2+ 3C3= 0

Para: y = 0 ; ∂

2u

∂y2 〉y=0= 0 ; 1 V0

∂2u

∂y2 〉y=0= {0 + 2C2

δ2 +

6 C3 δ2 (

y

δ)}y=0= 0 ⇒ C2= 0

C1+ C2+ C3= 1 C1+ 2C2+ 3C3= 0

C2= 0

  

 ⇒ C1= 3

2 ; C2= 0 ; C3= - 1 2

y la forma del perfil de la distribución de velocidades de la capa límite, en régimen laminar, con un polino-mio de tercer grado, sería:

u V0 =

3 y 2 δ - 12 (

y δ )2

La experiencia ha permitido comprobar, para placa plana, que el movimiento laminar en la capa límite llega a hacerse inestable cuando se sobrepasa un valor crítico del número de Reynolds:

Rec=

V0 xC ν

siendo xC la distancia a partir del borde de ataque de la placa.

La capa límite continua su desarrollo, como se muestra en la Fig XI.3; a partir de xC, se origina la capa límite turbulenta, que se divide en dos subcapas, una de las cuales, en las proximidades de la placa, permite definir una delgada subcapa marcadamente laminar.

Los valores críticos del número de Reynolds que definen la transición para placa plana, son:

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Fig XI.3.- Desarrollo de la capa límite laminar

Para fluidos que circulan entre dos paredes próximas, el ensanchamiento progresivo de la capa límite de cada contorno determina que éstas se unan, a una cierta distancia de la entrada, desapare-ciendo la zona en que el movimiento podía ser asimilable a un fluido perfecto, para realizarse todo él bien en régimen laminar, o bien en régimen turbulento, según el valor del número de Reynolds.

En tuberías sólo se puede considerar el movimiento como irrotacional, en las proximidades de la embocadura; con flujo totalmente desarrollado, no.

ESPESORES Y CAUDALES DE LA CAPA LIMITE.- Mediante el concepto de capa límite es posible concentrar en un espesor δ los fenómenos de fricción; ello implica el que se tengan que cumplir las siguientes condiciones:

a) El valor de la velocidad

r

u correspondiente a (y = δ) tiene que estar muy próximo a V r 0 pues enton-ces el gradiente de velocidades será despreciable; suele tomarse (u = 0,99 V0).

b) El esfuerzo de fricción evaluado en la zona de espesor δ, (a lo largo del contorno), mediante la ecua-ción de la cantidad de movimiento, tiene que coincidir con el obtenido analíticamente para la capa límite laminar, o con el deducido experimentalmente en la capa límite turbulenta.

En ambas situaciones la distribución de velocidades viene dada, para el régimen laminar, por polino-mios de grado m (parábolas de segundo o tercer grado en general) y para el régimen turbulento por poli-nomios de grado (1/m).

Espesor de desplazamiento de la capa límite.- El espesor de desplazamiento de la capa límite δ1 está basado en la conservación del caudal a lo largo de la normal al contorno, mediante la equivalencia de las áreas rayadas, como se indica en la Fig XI.4.

Si se admite que la ley de velocidades es asintótica a

r

V 0, se tiene:

δ1 =

1 V0 0

(V0- u) dy

y si la ley de distribución de velocidades alcanza el valor

r

V 0 para el espesor δ, se tiene:

δ1 =

1 V0 0

δ

(V0-u)dy =

0 δ

(1 - u

V0)dy = δ - 0 δ

u

V0 dy = δ -q V0

(9)

caudal q, que la capa límite real.

Con: u

V0 = y δ

m Se    obtiene δ 1= δ

-0 δ

(y

δ)1/mdy = δ - δ1/m1 0

δ

y1/mdy = δ

m + 1

Espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite.- El espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite δ2 se corresponde con el espesor de una corriente fluida que tenga la misma velocidad V0 que la corriente exterior, y la misma variación de la cantidad de movimiento que la debida a la fuerza de arrastre de la capa límite real; se define en la forma:

δ2 =

1 V02 0

δ

u (V0- u) dy =

0 δ

u

V0 (1 - u V0) dy

Para: u

V0 = y

δ

m ⇒ δ 2=

0 δ

(y δ)

1

m{1 - (y

δ)

1

m} dy = 1

δ2/m 0

δ

y

1 m(δ

1 m - y

1

m) dy = δ m

(m +1)(m+2) La relación entre el espesor de desplazamiento δ1 y el espesor de la cantidad de movimiento de la capa límite δ2, se denomina Factor de forma del perfil F; para una placa plana, en función de m se tiene:

F = δ1

δ2

=

δ 1 (m + 1)

δ m

(m + 1)(m + 2)

= m + 2 m

Un valor elevado del factor de forma del perfil implica que está próximo a producirse el desprendi-miento de la capa límite.

Fig XI.4.- Espesor de desplazamiento de la

capa límite

Fig XI.5.- Espesores de la capa límite en distribución triangular

Espesor de energía de la capa límite.- El espesor de energía de la capa límite δ3 se define en la for-ma:

δ3=

1 V03 0

δ

u (V02- u2) dy =

0 δ

u

V0 (1 -u2

V02 ) dy

Para: u

V0 = y δ

m ⇒ δ 3=

0 δ

y

δ

m {1 - (y

δ)2

m } dy = δ 2 m

(m + 1)(m + 2)

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triangular (m = 1) el orden de magnitud de los mismos, de la forma:

δ1 = δ

2 ; δ2 = δ

6 ; δ3 = δ 4

Caudal de la capa límite.- El caudal q a través de la capa límite se ha definido en la forma:

q =

0 δ

udy

Teniendo en cuenta el espesor de desplazamiento δ1, resulta:

δ1=

0 δ

dy

-0 δ

u dy

V0 = δ - 0

δ

u dy

V0 ⇒ δ - δ1 = 0

δ

u dy V0 =

q

V0 ⇒ q = V0(δ - δ1) = V0 δ m m + 1

Caudal de la cantidad de movimiento de la capa límite.- El caudal de la cantidad de movimiento de la capa límite qM se define en la forma:

qM= m u = V ρ u = q ρ u = 0

δ

ρ u2dy

Teniendo en cuenta la expresión del espesor de la cantidad de movimiento δ2 se obtiene:

δ2=

0 δ

u

V0 {1 -u

V0}dy = 0

δ

u

V0 dy - 0

δ

u2

V02 dy = δ- δ1- 0 δ

u2

V02 dy

0 δ

u2dy =(δ - δ

1 - δ2)V0 2

quedando la expresión del caudal de la cantidad de movimiento en la forma:

qM =

0 δ

ρ u2dy = ρ (δ - δ1- δ2)V02= ρ δ V02 m m + 2

función del espesor δ de la capa límite, del espesor de desplazamiento δ1 y del espesor de la cantidad de movimiento δ2.

XI.4.- ECUACIÓN INTEGRAL DEL IMPULSO DE LA CAPA LIMITE

CAUDAL DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.- Como consecuencia de la viscosidad del fluido y de su deformación, aparece un esfuerzo tangencial sobre el contorno de la placa que determina lo que se conoce como Resistencia de Superficie o de Forma. Para calcular este esfuerzo se aplica el Teorema de la Cantidad de movimiento al volumen de fluido comprendido en el interior de la capa límite entre las sec-ciones (AB) y (DC) de la Fig XI.6. Como el movimiento irrotacional exterior a la capa límite es uniforme, no existe gradiente de presiones y, al expresar el equilibrio, la única fuerza actuante es la de arrastre sobre la placa, de la forma (τ0 dx).

(11)

Fig XI.6.- Volumen de fluido en la capa límite

Sobre la cara (AB) el caudal de la cantidad de movimiento entrante es:

qM(AB)= mu = V ρ u = q ρ u =

0 δ

ρ u2dy = q M

Sobre la cara (CD) el caudal de la cantidad de movimiento saliente es:

qM(CD)= qM+ ∂qM

∂x dx = qM+ ρ ∂ ∂x ( 0

δ

u2dy)dx

por lo que en el volumen de control (ABCD) se tiene una variación del caudal de la cantidad de movi-miento (qM(AB) - qM(CD)) en la forma:

∂qM

∂x dx = ρ ∂ ∂x( 0

δ

u2dy)dx

Sobre el contorno (BC) no existe ningún tipo de esfuerzo cortante porque está fuera de la capa límite (du/dy = 0); teniendo en cuenta que sobre este contorno la velocidad es V0, el caudal de la cantidad de movimiento entrante por (BC) se obtiene en la forma:

qM(B)= mV0= q ρ V0= ρ V0 0

δ

udy qM(C)= qM(B)+ ∂qM(B)

∂x dx = qM(B)+ ρ V0 ∂ ∂x ( 0

δ

udy)dx 

 

 

⇒ qM(BC)= ρ V0 ∂ ∂x ( 0

δ

udy)dx

Sobre el contorno (AD) de contacto con la placa no hay caudal saliente de la cantidad de movimiento.

FUERZA DE ARRASTRE..- Igualando el caudal de la cantidad de movimiento con la fuerza de arras-tre Fa sobre la placa en dx, y aplicando el Teorema del Impulso se obtiene:

τ0

dx = - ρ ∂ ∂x 0

δ

(u2dy)dx +V0 ρ

x 0 δ

(udy)dx = ρ ∂ ∂x { 0

δ

u(V0- u)dy}dx

Fa=

τ0 dx = ρ 0

δ

u(V0- u)dy = ρ V02 δ2=

Cwx ρ V02

2

τ0

= η ∂u

∂y〉y=0= ρ ∂ ∂x { 0

δ

u(V0- u)dy} ; ν ∂

u ∂y〉y=0=

∂ ∂x { 0

δ

u(V0-u)dy}

τ0 =

(12)

en la que δ2

= Cwx

2 se deduce comparándola con la obtenida por análisis dimensional; los valores de Cw

se obtienen mediante formulación, ábacos y tablas.

a) Para una distribución de velocidades de la capa límite laminar, de la forma:

u V0 =

2y δ -(

y δ)2 con:

τ0

= η ∂u

∂y〉y=0= ρ ∂ ∂x { 0

δ

u(V0-u)dy} = ρ V02 ∂ ∂x { 0

δ

u

V0 (1 -u

V0)dy} se obtiene:

ν ∂u

y〉y=0 = V0

2 ∂

∂x { 0 δ

u

V0 (1 -u

V0)dy}

1 V0

∂u ∂y〉y=0=

2

δ ; ∂ u ∂y〉y=0=

2V0 δ

2V0 ν δ = V0

2 ∂

∂x 0 δ

u

V0 (1 -u

V0 )dy} = V0

2 ∂

∂x { 0 δ

{2 yδ -(y

δ)2}{1 -2 y

δ +( y

δ)2}dy =

= V0

2 ∂

∂x(2 - 5 3

-1 5) δ =

2 15 V0

2 ∂δ

∂x

15 ν

V0 dx = δ dδ ; 15 ν

V0 x = δ2

2 + C ; δ

2= 30 x2

Rex ; δ x =

5,477 Rex

en la que se ha tenido en cuenta que para: δ =0 ; x=0 ⇒ C=0 Los valores de los coeficientes Cx (local) y Cw (medio), son:

τ0= η

∂u

∂y〉y=0= Cx ρ V02

2 = η 2V0

δ

Cx=

4 ν δ V0

= 4x δ Rex

= 4

δ x Rex

= 4

5,477 Rex

= 0,7303 Rex

Cw= 1

L 0

L

Cx dx = 2 Cxx=L= 1,4606 ReL

b) Para una distribución de velocidades de la capa límite de la forma:

u V0 =

3y 2 δ -

1 2(

y δ)3 resulta:

τ0= η

∂u

∂y〉y=0= η 3 V0

2 δ

τ0 = ρ V02 ∂x∂ { 0

δ

u

V0 (1 - u

V0)dy} = ρ V0

2 ∂

∂x { 0 δ

{32 δy - 12(y

δ)3}{1 - 3y

2 δ + 12( y

δ)3}dy =

= 0,139 ρ V02 ∂δ ∂x =

(13)

Igualándolas:

δ dδ = 10,79 ν dx V0 ;

δ2

2 = 10,79 ν

V0 x + Cte = Para: δ = 0 x = 0  

 ⇒ Cte = 0 = 10,79 Vν0 x

δ x =

4,64 Rex

τ0=

3 η V0 2 δ =

3 η V0 Rex

2x4,64 x =

0,323 η V0 Rex

x = 0,323

η ρ V03

x =

ρ V02 C x

2

Cx=

0,646 ν Rex

x V0 =

0,646

Rex ; Cw= 1 L 0

L

Cx dx = 2Cx〉x=L=

1,292 ReL

El valor de Cw así obtenido para placa plana, está muy próximo al valor exacto (Blasius), y es de la forma:

Cx=

0,664 Rex

; Cw=

1,328 Re ;

δ x =

5 Rex

siendo la fuerza de arrastre Fa sobre cada cara de la placa de longitud L y anchura unidad:

Fa=

0 L

τ0 dx = 0

L

0,323 ρ η V0

3

x dx = 0,646 ρ η V0 3 L

ECUACIONES DE PRANDTL DE LA CAPA LIMITE.- Si se supone un fluido incompresible, en movi-miento laminar permanente, en flujo bidimensional sobre una pared cualquiera en la que el radio de cur-vatura es muy superior al espesor de la capa límite, las ecuaciones de Navier-Stokes se simplifican, quedando en la siguiente forma:

1 ρ ∂

p

∂x = X - du

dt + ν ∆u = du dt = u

∂u ∂x + v

∂u

∂y ; X = 0, en la dirección del movimiento Ecuación de continuidad: ∂u

x + ∂v ∂y = 0 v = 0 ; ∂v

y = 0 ⇒ ∂u

∂x = 0 ; ∂2

u ∂x2 = 0

=

= - u ∂u ∂x - v

∂v ∂y + ν

∂2u

∂y2 En el borde de la capa límite se tiene la velocidad V0 del movimiento irrotacional exterior, por lo que aplicando la ecuación de Bernoulli se puede hallar la variación longitudinal de la presión, resultando:

1 2

dV02 dx = -

1 ρ ∂

p

∂x ⇒ 1 2

dV02 dx + ν

∂2u

∂y2 = u ∂u ∂x + v

∂u ∂y Si se introduce la función línea de corriente ψ de la forma:

u = - ∂ψ ∂y

; v = ∂ψ ∂x

(14)

∂2ψ

∂x ∂y ∂ψ ∂y

- ∂

2ψ

∂y2

∂ψ ∂x

= - 1 ρ

∂p ∂x

- ∂

3ψ

∂y3

de aplicación a la obtención de la capa límite laminar sobre un contorno plano.

ECUACIÓN CLÁSICA DE KÀRMÀN.- Los caudales de la cantidad de movimiento, en proyección paralela a la pared, manteniendo la anchura de la capa límite igual a la unidad, son los siguientes:

Sobre (AB), qM(AB)=qM, (entrante)

Sobre (CD), qM(CD)= qM + ∂qM

∂x dx , (saliente)

Sobre (BC), ∂q

∂x dx V0 , (entrante)

La variación de la cantidad de movimiento es:

- qM + (qM+ ∂qM

∂x dx) - ∂q

∂x dx V0= ∂qM

∂x dx - ∂q

∂x dx V0

El impulso mecánico es:

p δ - (p + ∂p

∂x dx) (δ + ∂δ

∂x dx) - τ0 dx = - (τ0+ ∂p ∂x δ) dx Igualándolas se obtiene:

∂qM

∂x - V0 ∂q

∂x = - τ0- ∂p ∂x δ

∂qM

∂x - V0

∂q ∂x =

qM= (δ - δ1- δ2) V02 ρ ; q = (V0δ - δ1) ρ ; δ - δ1= Cte

∂qM

∂x = ∂x∂ {(δ - δ1- δ2) V02 ρ} = -

∂δ2

∂x V02 ρ + (δ - δ1- δ2) 2 V0

∂V0

∂x ρ ∂q

∂x = ρ (δ - δ1) ∂V0

∂x

=

= - ∂δ2

∂x V0

2 ρ + (δ - δ

1- δ2) 2V0

∂V0

∂x ρ - ρ (δ - δ1) V0 ∂V0

∂x = - τ0- ∂p ∂x δ =

= p + ρ V0

2

2 = Cte ; ∂p

∂x = - ρ V0 ∂V0

∂x = - τ0+ ρ V0 ∂V0

∂x δ

que simplificada convenientemente queda en la forma:

τ0=

∂δ2

∂x V02 ρ + V0

∂V0

∂x ρ (δ1+ 2 δ2)

ecuación que se conoce como ecuación de Kàrmàn, en la que las variables V0, δ1 y δ2 no dependen más

que de x.

XI.5.- ECUACIÓN INTEGRAL DE LA ENERGÍA DE LA CAPA LÍMITE

(15)

per-mite calcular el calor Q puesto en juego en una transformación, en la forma:

Q = ∆i + T + ∆Ecinética + ∆Epotencial

e indica que la energía se puede considerar en forma de entalpía, calor o energía cinética, con las mismas unidades que el trabajo de cizalladura o de corte.

A pequeñas velocidades, los términos asociados a la energía cinética y potencial y al trabajo de cor-tadura son pequeños en comparación con las demás magnitudes, y se pueden despreciar.

Fig XI.7.- Capa límite térmica

La velocidad a la que la entalpía entra a través de la cara (AB) de la capa límite representada en la Fig XI.7 viene dada por:

i(AB)= mcpT = cp ρ

0 δT

uTdy

mientras que la velocidad del flujo de entalpía a través de la cara (CD) es:

i(CD)= i(AB)+ ∂i(AB)

∂x dx = i(AB)+ cp ρ ∂ ∂x { 0

δT

uTdy}dx por lo que dentro de la capa límite quedará:

i(AB)- i(CD)= -cp ρ ∂ ∂x { 0

δT

uTdy}dx

La entalpía transportada al interior del volumen de control a través de la superficie (BC), viene dada por:

i(BC)= cp ρ TF ∂x∂ { 0

δT

u dy} dx

A su vez, el calor conducido a través de la capa límite es:

qk= - k dx (∂

T ∂y)y=0

Sumando todas las contribuciones energéticas, se obtiene la ecuación integral para la conservación de la energía:

cp ρ TF

x { 0

δT

u dy} dx - cp ρ

x { 0

δT

u T dy} dx - k dx (∂T

(16)

Como fuera de la capa límite térmica la temperatura es TF, sólo se integrará hasta el límite, y= δT, de la misma; por lo tanto:

cp ρ TF ∂ ∂x 0

δT

udy - cp ρ ∂ ∂x 0

δT

uTdy - k(∂T

∂y)y=0= 0

∂ ∂x 0

δT

(TF- T) u dy =

k ρ cp (

∂T

∂y)y=0= α (∂

T ∂y)y=0

que es la ecuación integral de la energía de la capa límite laminar para el caso de un flujo de baja veloci-dad, en la que dx se comporta como un intervalo y es independiente de dy.

Si se utiliza un perfil de velocidades de tercer grado, de la forma:

u V0 =

3y 2 δ

-1 2(

y δ)3

y una distribución de temperaturas:

T - TpF

TF- TpF

=

T - TF+ TF- TpF

TF- TpF

= T - TF

TF- TpF

+ 1 = 3 2

y δT(x)

- 1 2 (

y δT(x)

)2

en la que se han tenido en cuenta las condiciones:

Para:

y = 0 ; T = TpF ; ∂2T ∂y2

= 0 y = δT ; T = TF ; ∂T

∂y = 0      se obtiene: α (∂T

∂y)y=0=(TpF- TF) V0 dxd 0

δT

{1 - 3 2

y δT

+ 1 2(

y δT

)3}{3 2

y δ - 12(

y

δ)3} dy =

=(TF- TpF)V0 d dx (

3 20

δT 2

δ - 2803 δT

4

δ3)

Teniendo en cuenta que: ( ∂T

∂y)y=0=(TF- TpF) 3k

2 δT , resulta:

3 α 2 δT = V0

d dx (

3 20

δT2

δ -3 280

δT4

δ3)

Llamando ξ = δT

δ se tiene:

3 α 2 ε δ = V0

d dx {δ (

3 20 ξ

2- 3

280 ξ

4)}

En la ecuación de Pohlhausen se demuestra que: ξ = δT

δ = (Pr)-1/3

El valor de Pr es del orden de la unidad para la mayor parte de los gases ( 0,6 < Pr < 1) mientras que para la mayor parte de los líquidos varía en un campo muy grande, con valores elevados para los acei-tes muy viscosos y bajas temperaturas, y valores muy bajos para los metales líquidos; en consecuen-cia, cuando:

δT

(17)

resulta:

3 α 2 ξ δ = V0

d dx (δ

3 20 ξ

2)= 3 V0

20 (ξ

2 dδ

dx + 2 ξ δ dξ dx)

10 α

V0 dx = ξ

3δ dδ + 2 ξ2δ2dξ = δ2= 21,58 ν x

V0 ⇒ δ dδ = 10,79 ν dx

V0 =

= ξ3 10,79

δ νV dx0 + 2x21,58 ξ

2ν x

V0

ξ

3+ 4x ξ2 dξ

dx = 13 α

14 ν = 1413 (Pr)

La solución general es: ξ

3= Cx-3/4+ 10

10,79 Pr = Cx

-3/4+ 0,92678

Pr

La solución exacta es: ξ

3= C x-3/4+ 13

14 Pr = C x

-3/4+ 0,92857

Pr y con la condición:

x = xi ; ξ

2= (δT

δ )3⇒ 0 ; C = - 13 14

xi

3

Pr resulta, Fig XI.8:

ξ = 0,976

1 - (xi x )

3/4

Pr

3

por lo que:

hCx= 2 δ3 k T

=

3 k 2 0,976 δ 1 - (

xi x )

3/4

Pr

3

= δ = 4,64 x Rex =

3 k 2 0,976 4,64 x

Rex

1 - (xi x )

3/4

Pr

3

=

= 32xk Pr

3 Re

x

0,976x4,64 1 - (

xi x )

3/4 3

= 0,332 k 1 1 - (xi

x )

3/4 3 Pr 3 Re x x

Nux=

hCx x k =

0,332 3Pr Rex

1 - (xi

x )

3/4 3

De haber considerado la ecuación de tercer grado de partida, se habría obtenido:

Nux=

0,323 3Pr Rex

1 - (xi x )

3/4 3

Haciendo ( xi

x = 0) se obtiene la ecuación de Pohlhausen:

Nux= 0,332 Rex Pr 1/3

(18)

ξ = 0,976 Pr

3 =

δT

δ ; δT=

0,976 δ Pr

3 = 4,534

x Rex 3Pr

el coeficiente medio de transmisión de calor por convección hC en el intervalo (0 ≤ x ≤ L) a lo largo de la superficie plana es:

hC=

1 L x=0

x=L

hCxdx = 2 hCx〉x=L=

0,664k ReL Pr1/3

L (exacto)

hC=

1 L x=0

x=L

hCxdx = 2 hCx〉x=L=

0,646 k ReL Pr1/3

L (ecuación de tercer grado) El calor transmitido desde la placa, de anchura unidad, al fluido, es:

Q = LhC(TpF- TF)

Si se considera existen dos zonas longitudinales sobre la placa, perfectamente diferenciadas, una sin aporte de calor, Fig XI.8, resulta, teniendo en cuenta que: ∆T = TpF- TF

Para:

x < x1 ; Q = 0 x > x1 ; Q = 0,323

kF

x Pr

1/3 Re

x ∆T

1 - (x1

x )

3/4 3

  

 

Para una zona de la placa comprendida en el intervalo (x1 < x < x2) a la que se aplica un flujo de calor

Q, Fig XI.9, se tiene:

Fig XI.8- Capa límite térmica e hidrodinámica superpuestas

(19)

Q = 0,323 kF x Pr

1/3 Re

x ( ∆T

1 - (x1 x )

3/4 3

+ -∆T 1 - (x2

x )

3/4 3

)

observándose que el flujo de calor en la región (x1>x2) es (-) lo cual significa que en la citada sección la

pared reabsorbe parte del calor comunicado a la capa límite en la región (x1 < x < x2).

RELACIÓN ENTRE Cx y hCx EN FLUJO LAMINAR SOBRE PLACA PLANA.- A partir de la expresión exacta de Blasius para el coeficiente de arrastre local Cx a lo largo de una placa plana:

Cx

2 = 0,332

Rex

en la que se ha supuesto que para el espesor δ de la capa límite el gradiente de presiones es cero y las propiedades del fluido constantes, y del número de Nu local para el flujo laminar, (Pohlhausen):

Nux= 0,332 Rex Pr 1/3

y como el número de Stanton local Stx es:

Stx=

hCx ρ cp V0 =

Nux

Pr Rex =

0,332 Pr2/3 Rex =

0,332Cx

Pr2/3x2x0,332

= Cx 2 Pr2/3

Cx

2 = StxPr

2/3 ; Pr > 0,5

que se conoce como analogía de Reynolds-Colburn que relaciona el coeficiente de arrastre local Cx con el número de Stanton Stx para flujo laminar a lo largo de una placa plana.

Como es mucho más fácil hacer medidas de la fuerza de arrastre que de la transferencia de calor, para el caso de valores medios se puede poner:

Cw

2 = St Pr

2/3= hC

ρ cp V0 Pr

2/3

en la que Cw es el coeficiente de arrastre medio y St el número de Stanton medio. Teniendo en cuenta lo anterior, la fuerza de arrastre Fa queda en la forma:

Fa=

ρ (La) Cw V02

2 =

ρ (La) hC V02

ρ cp V0 = (L a) hC cp V0

XI.6.- CAPA LIMITE TURBULENTA PARA PLACA PLANA

No existe una teoría exacta que permita estudiar la capa límite turbulenta; sin embargo sí existen modelos empíricos que han permitido la obtención de soluciones numéricas de las ecuaciones de la capa límite. El reparto de velocidades para la placa plana es aproximadamente logarítmico, habiéndose obtenido al efecto los siguientes resultados experimentales:

Para: 10

5< Re < 107 ; u

V0 = y δ

m , con: m = 7, F = 9

(20)

El valor de τ0 de la forma:

τ0= ρ

∂ ∂x { 0

δ

u(V0- u)dy}

se puede aplicar también al régimen turbulento, por cuanto en su demostración no se ha fijado la forma de la distribución de velocidades en la capa límite, por lo que la distribución de velocidades (u/V0) puede

ser, para placa plana, de la forma:

u V0 =

y δ

m

y para flujo turbulento por el interior de tuberías, (Nikuradse):

u Vmáx =

y R

m

En estas circunstancias Blasius dedujo experimentalmente que:

τ0= 0,0288 ρ V0

2 ν

δ ν0

4 , con, 5.105< Re < 107

Siguiendo el mismo método que para el cálculo de la capa límite laminar:

τ0

= ρ V02 ∂ ∂x { 0

δ

u

V0 (1 - u

V0)dy} = ρ V0

2 ∂

∂x { 0

δ

y

δ

7 (1 - y

δ

7 )dy} = 7

72 ρ V0

2 dδ

dx Igualando las expresiones en τ0:

7 72 ρ V0

2 dδ

dx = τ0 = 0,0228 ρ V0

2 ν

δ V0

4

δ

4

dδ = 0,234 ν V0

4 dx ; δ5/4= 0,292 ν

V0

4 x ; δ

x =

0,376 Rex

5

en donde se ha supuesto que la capa límite es turbulenta en el total de la longitud de la placa L de forma que para: x=0, δ =0.

El esfuerzo cortante 0 es:

τ0= 0,0228 ρ V0

2 ν

δ V0

4 = 0,0228 ρ V02 ν V0

0,376 x Rex

5 4

= 0,029 ρ V02 ν xV0

5

La fuerza de arrastre Fa por unidad de anchura de la placa es:

Fa=

0 L

τ0 dx = 0,036

ρ V02 L

ReL

5 ; Cx=

0,0576 Rex

5 ; Cw=

0,072 ReL

5 =

P 1

2 ρ V02 L

(21)

Cw=

0,072 ReL

5 - 0,00334

xC L ≅

0,072 ReL

5 -

1700 ReL

Para valores del número de Re comprendidos en el intervalo: 5.105 < Re

x < 109, resulta:

Cwx=

0,455 (log10ReL)2,58

El coeficiente de arrastre, que es exacto para toda la placa, y que incluye las zonas laminar y turbu-lenta, se determina mediante las expresiones:

Cw=

1,328 ReC

ReC

ReL + 0,074 ReL-1/5{1 - (

ReC ReL )

4/5} ; Re

L> 107

Cw=

1,328 ReC

ReC ReL +

0,523 ln2(0,06 ReL)

- (ReC

ReL )

0,523 ln2(0,06 ReC)

; ReL < 107

XI.7.- DESPRENDIMIENTO DE LA CAPA LIMITE

Cuando el gradiente de presiones se mantiene nulo a lo largo de la placa plana, la capa límite se desarrolla a lo largo de la misma, independientemente de su longitud. Pero si el gradiente de presiones es

adverso, la presión aumenta en el sentido de la corriente y el espesor de la capa límite crece rápidamente.

Fig XI.10.- Desprendimiento de la capa límite

Por otro lado, el gradiente de presión adverso junto con el esfuerzo cortante en la pared, hacen que disminuya la cantidad de movimiento dentro de la capa límite y, si ambos actúan a lo largo de una distancia suficiente, el fluido de la capa límite se irá frenando hasta alcanzar el reposo; en este instante, la línea de corriente que coincide con la pared se aleja de la superficie a partir del punto de separación, conociéndose este fenómeno como desprendimiento de la capa límite.

(22)

Tabla XI.2.- Coeficiente de arrastre Cwde algunos perfiles inmersos en una corriente fluida de velocidad V0

Fa =

Cw ρ V02 AFrontal

2

a) Placa plana paralela a la corriente

V0

Régimen laminar: Cw = 1,33

Re

Re < 107 ⇒ C

w = 0,074

Re

5 ; Re > 10

7 ⇒ C

w = 0,455

{log10 Re}2,58 b) Placa plana perpendicular a la corriente, Re > 103

V0

d

L

L/d 1 5 10 20 30 ∞

1,18 1,2 1,3 1,5 1,6 1,95 Cw

c) Disco circular normal a la corriente

V0

Re > 10 ; Cw = 1,17

d) Esfera

V0

Re < 1 ⇒ Cw = 24 Re

103 < Re < 3x105 ⇒ Cw = 0,47

Re > 3x105 ⇒ Cw = 0,20

e) Hemisferio hueco

V0

104 < Re < 106 ⇒ Cw = 0,34

V0

104 < Re < 106 ⇒ Cw = 1,42

f) Cono de 60°

V0

Re = 105 ; Cw = 0,50

g) Semicilindro

V0

V0

104 < Re < 106 ; Cw = 0,42 104 < Re < 106 ; Cw = 1,17 h) Cilindro normal a la corriente

V0

L

d

Re < 0,2 ; Cw = 8 p

Re {2,2 - lg10Re}

103 < Re < 105 Re > 5 x 105 L/d 1 5 10 20 30 ∞

Cw 0,63 0,8 0,83 0,93 1 1,2

L/d 5 ∞ Cw 0,35 1,6

i) Prisma

V0

Re = 3,5 x 104 ; Cw = 2

104 < Re < 105 ; Cw = 1,6 j) Cubo

V0

V0

Re = 105 ; Cw = 1,07 Re = 105 ; Cw = 0,81

k) Paracaídas (Baja porosidad),

V0

(23)

l) Cilindros elípticos

V0

Relación 1/1 Régimen laminar, Cw = 1,20 Régimen turbulento, Cw = 0,30

V0

Relación 2/1 Régimen laminar, Cw = 0,60 Régimen turbulento, Cw = 0,20

V0

Relación 4/1 Régimen laminar, Cw = 0,35 Régimen turbulento, Cw = 0,15

V0

Relación 8/1 Régimen laminar, Cw = 0,25 Régimen turbulento, Cw = 0,10 m) Cilindro triangular

120° ; Re > 10.000 ; Cw = 1,72

120° ; Re > 10.000 ; Cw = 2,0

60° ; Re > 10.000 ; Cw = 1,72

60° ; Re > 10.000 ; Cw = 1,39

30° ; Re > 100.000 ; C

w = 1,00

30° ; Re > 100.000 ; C

w = 1,80 n) Cilindro de sección lenticular

V0

Re > 103

L/d 0,5 1 2 4 8

Cw 1,15 0,9 0,85 0,87 0,99

o) Elipsoide

V0

Relación L/d = 0,75 Régimen laminar, Cw = 0,50 Régimen turbulento, Cw = 0,20

Relación L/d = 1,00 Régimen laminar, Cw = 0,47 Régimen turbulento, Cw = 0,20

Relación L/d = 2,00 Régimen laminar, Cw = 0,27 Régimen turbulento, Cw = 0,13

Relación L/d = 4,00 Régimen laminar, Cw = 0,25 Régimen turbulento, Cw = 0,1

Figure

Fig XI.3.- Desarrollo de la capa límite laminar

Fig XI.3.-

Desarrollo de la capa límite laminar p.8
Fig XI.5.- Espesores de la capa límite en distribución triangular

Fig XI.5.-

Espesores de la capa límite en distribución triangular p.9
Fig XI.7.- Capa límite térmica

Fig XI.7.-

Capa límite térmica p.15
Fig XI.9 - Placa con una capa límite laminar y dos capas límite térmicas

Fig XI.9 -

Placa con una capa límite laminar y dos capas límite térmicas p.18
Fig XI.8- Capa límite térmica e hidrodinámica superpuestas

Fig XI.8-

Capa límite térmica e hidrodinámica superpuestas p.18
Fig XI.10.- Desprendimiento de la capa límite

Fig XI.10.-

Desprendimiento de la capa límite p.21
Tabla XI.2.- Coeficiente de arrastre Cw de algunos perfiles inmersos en una corriente fluida de velocidad V0

Tabla XI.2.-

Coeficiente de arrastre Cw de algunos perfiles inmersos en una corriente fluida de velocidad V0 p.22

Referencias

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