EQUIPO DOCENTE Susana Marcipar Claudia Zanabria Marta Nardoni Gabriela Roldán Cecilia Municoy Cristina Rogiano Gustavo Cabaña Verónica Valetti Mariel Lovatto Agustina Huespe Juan Ignacio Suppo (Ayudante alumno)

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MATEMÁTICA BÁSICA

-2da PARTE-

2018

EQUIPO DOCENTE

Susana Marcipar

Claudia Zanabria

Marta Nardoni

Gabriela Roldán

Cecilia Municoy

Cristina Rogiano

Gustavo Cabaña

Verónica Valetti

Mariel Lovatto

Agustina Huespe

Juan Ignacio Suppo

(Ayudante alumno)

PROGRAMACIÓN LINEAL

Material Elaborado por

: Cristina Rogiano, Gabriela Roldán, Claudia Zanabria

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1

Zanabria, Claudia

Programación lineal : problemas de optimización / Claudia Zanabria ; Gabriela Roldán ; Cristina Rogiano. - 1a ed. - Santa Fe : Universidad Nacional del Litoral, 2015.

E-Book.

ISBN 978-987-692-057-5

1. Álgebra Lineal. 2. Ecuaciones. I. Roldán, Gabriela II. Rogiano, Cristina III. Título CDD 510.712

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Programación lineal

En esta unidad se trabajará con problemas que refieren a la optimización de funciones de dos variables, máximiza-ción o minimizamáximiza-ción, que cumplen un conjunto de condiciones. El abordaje de estos problemas requiere de un proce-so formado por distintas etapas.

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3

Programación Lineal

1. Introducción

La Programación Lineal es una de las principales ramas de la Investigación Operativa relativamente reciente (siglo XX) que con-siste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimización en el ámbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales, la Administración y la Investigación Operativa.

Se trata de un área reciente de las matemáticas aplicadas, desarrollada a fines de los años cuarenta para resolver un problema del gobierno de Estados Unidos. Desde entonces, la Programación lineal se ha aplicó en una cantidad sorprendente de proble-mas en muchos campos.

La Programación Lineal es un conjunto de técnicas racionales de análisis y de resolución de problemas que tiene por objeto ayu-dar a tomar decisiones sobre asuntos en los que interviene un gran número de variables y se aplica a la resolución de problemas del comercio y de la industria para tomar decisiones que maximizan o minimizan una cantidad determinada.

Por ejemplo: la gerencia de una planta podría estar interesada en establecer una forma más económica de transportar la pro-ducción desde la fábrica hasta los mercados; un hospital, en diseñar una dieta que satisfaga ciertos requisitos nutricionales, a mínimo costo; o, un fabricante, en mezclar ingredientes según ciertas especificaciones, de modo que obtenga el mayor benefi-cio.

También para Minimizar:

Los gastos del presupuesto familiar

Los costos de una dieta para el ganado vacuno

La cantidad de kilómetros a recorrer para distribuir productos a distintas localidades O bien para

Maximizar:

El rendimiento en una operación comercial

Los niveles de producción

El nombre de Programación Lineal procede del término militar “Programar”, que significa “realizar planes o propuestas de tiempo para el entrenamiento, la logística o el despliegue de las unidades de combate”.

Aunque parece ser que la Programación Lineal fue utilizada por G. Monge en 1776, se considera a L. V. Kantoróvich uno de sus creadores que la presentó en su libro “Métodos matemáticos para la organización y la producción” (1939) y la desarrolló en su trabajo Sobre la transferencia de masas (1942). Kantoróvich recibió el premio Nobel de economía en 1975 por sus aportes al problema de la asignación óptima de recursos humanos.

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2. Formulación del modelo matemático de un Problema de Programación Lineal

Presentamos dos problemas: uno de Maximización de una ganancia y otro de Minimización de un costo.

Ejemplo 1: Una fábrica de automóviles de colección construye dos tipos de autos, pequeños y grandes. La

fabrica-ción consta de dos procesos: Proceso 1 y Proceso 2. Los requerimientos de trabajo en los distintos procesos para

cada tipo de auto, así como las horas necesarias y disponibles y las ganancias por unidad, se dan en la siguiente

ta-bla:

Tiempo (en horas) Auto

pequeño

Auto

grande

Horas

disponibles

Proceso 1 (en hs/ unidad) 3 5 150

Proceso 2 (en hs/ unidad) 3 3 120

Ganancia (en $ / unidad) 50 65

En base a estos datos queremos saber cuántos autos de cada tipo se deben fabricar para maximizar la ganancia.

Construcción del Modelo

Definimos las variables x e y llamadas “Variables de Decisión”

x: número de autos pequeños que pueden producirse

y: número de autos grandes que pueden producirse

Las necesidades de fabricación pueden sintetizarse así:

Se requieren

“3. x” hs en el proceso 1 para fabricar “x” unidades de autos chicos

y “5 . y” hs en el proceso 1 para fabricar “y” unidades de autos grandes.

En consecuencia, los datos que corresponden a las necesidades de horas que se ocuparán durante el proceso 1

pue-den expresarse en forma algebraica mediante la desigualdad:

3x + 5y ≤ 150

De manera similar, la información brindada por los datos que corresponden al proceso 2 podemos representarla

mediante la desigualdad:

3x + 3y  120

Estas dos desigualdades se denominan Restricciones Estructurales del problema.

Pero además, existen otras dos restricciones, llamadas Restricciones de no negatividad que surgen como

conse-cuencia de que la empresa no produce cantidades negativas de sus artículos. Y son

x  0, y  0 La función ganancia, que llamaremos G, está dada por la función

G(x, y) = 50 x + 65 y

Y nuestro objetivo es optimizarla, es decir, Maximizar G (x, y) = 50 x + 65 y sujeto a las restricciones formuladas

(6)

5 Reuniendo toda esta información, expresamos el modelo que responde al problema enunciado y que llamaremos

“Problema estándar de Programación Lineal de Máximo con única Solución”.

Luego, el modelo es:

Maximizar: G (x, y) = 50 x + 65y (función objetivo)

Sujeto a: (describe el conjunto de restricciones del problema)

3x + 5y  150 (restricción estructural 1) 3x + 3y  120 (restricción estructural 2) x  0 , y  0 (restricciones de no negatividad)

3. Resolución Gráfica de los problemas de programación lineal.

Resolver un problema de programación lineal significa encontrar los valores de las variables que verifican todas las

restricciones del problema y que optimice la función objetivo. Dichos valores serán hallados a partir de la

construc-ción de un gráfico. De esta manera llamaremos:

Conjunto Restricción o Conjunto de Soluciones Factibles o Región Factible

al conjunto de puntos del plano que satisface las restricciones de un problema.

Solución Factible a todo punto que pertenece al Conjunto Restricción

Para construir la región factible es necesario conocer los siguientes conceptos:

3. 1 – Conceptos Previos

3.1.1 - Relación entre los conjuntos convexos y la programación lineal

La región factible de un problema de programación lineal es un conjunto formado por puntos del plano que verifican

simultáneamente cada restricción del problema. En general cada restricción es una inecuación lineal que responden

a una de estas formas generales:

ax + by > c ax + by  c ax + by  c ax + by < c

donde a, b, c  R y a y b no son ambos iguales a cero.

3.1.2 . ¿Qué representan estas inecuaciones en el plano cartesiano?

Grafiquemos el conjunto de puntos del plano que satisfacen la desigualdad 3x + 2y  6.

Un método práctico para graficar el conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad es el siguiente:

-Elegimos un punto, llamado punto de prueba, que puede ser el (0, 0).

(7)

Como 3 .0 + 2.0 = 0 < 6 entonces el punto (0, 0) pertenece al conjunto formado por los puntos que cumplen la

de-sigualdad 3x + 2y < 6 y entonces los puntos del plano que satisfacen la dede-sigualdad 3x + 2y  6 son los que pertene-cen a la recta 3x + 2y = 6 y los que están por sobre ella.

Elegimos el (0, 0) porque las operaciones resultan más sencillas. No obstante, cualquier otro punto puede servirnos

como punto de prueba.

Luego, la gráfica de 3x + 2y  6 es la siguiente

Gráfico 1

La recta 3x + 2y = 6 recibe el nombre de Recta Frontera y divide al plano en dos regiones denominadas semiplanos:

El conjunto M ={(x, y) / 3x + 2y= 6} representa a los puntos que pertenecen a la recta

El conjunto A = {(x, y) / 3x + 2y > 6} es el semiplano superior y

el conjunto B ={(x, y) / 3x + 2y < 6} es el semiplano inferior.

Todo punto (x, y) pertenece a uno de los tres conjuntos o M, o A o B.

Luego, R2 = M A B En el Gráfico 2 hemos dibujado los tres conjuntos

Gráfico 2

En el Gráfico 3 hemos representado el conjunto A = {(x, y) / 3x + 2y > 6}.

La recta 3x + 2y = 6 se dibuja con una línea discontinua porque los puntos del conjunto A no satisfacen la igualdad

3x + 2y = 6.

Semiplano superior 3x +2y > 6

Semiplano inferior 3x +2y <6

(8)

7 Gráfico 3

3.1.3. Semiplanos abiertos y cerrados

El conjunto de puntos que satisface desigualdades del tipo  o  se denomina semiplano cerrado. El conjunto de puntos que satisfacen desigualdades del tipo < o < se llama semiplano abierto.

3.1.4 Conjunto solución de dos o más desigualdades lineales

Analizaremos cómo resolver sistemas de inecuaciones lineales con dos variables.

Como ya vimos, el conjunto solución de una inecuación con dos variables es un semiplano. Intuitivamente podemos

decir que el conjunto solución de un sistema de inecuaciones es la intersección de los semiplanos de cada una de las

inecuaciones que forman el sistema. Hacemos notar que algunas veces el conjunto solución de un sistema de

inecuaciones puede ser vacío.

3.1.5 Resolución gráfica de un sistema de inecuaciones

En esta sección mostramos cómo resolver un sistema de inecuaciones lineales en forma gráfica. Te mostramos

algu-nos ejemplos

Ejemplo 2: Representemos gráficamente el conjunto solución del sistema:

    

 

  

 

12 y 3 x 2

1 y x

6 y 2 x 3

Primero trazamos las rectas fronteras de cada uno de los semiplanos:

R1: 3x + 2y = 6 R2: –x + y = 1 R3: 2x + 3y = 12

El punto (0, 0) satisface las desigualdades –x + y  1 y 2x + 3y  12 pero no la desigualdad 3 x + 2y  6. Esto implica que:

El semiplano cerrado 2x + 3y  12 está formado por los puntos que están debajo y en la recta 2x + 3y = 6. El semiplano cerrado –x + y  1 está formado por los puntos que están debajo y en la recta –x + y = 1.

El semiplano abierto 3x + 2y > 6 está formado por los puntos que se encuentran por encima de la recta 3x + 2y = 6.

Luego, el conjunto solución del sistema es la intersección de los tres semiplanos, representado en el siguiente

(9)

Gráfico 4

Ejemplos 3: Grafiquemos el conjunto solución del sistema

  

 

 

4 y x

2 x y

Las rectas fronteras son y = x + 2 e y = 4 – x

El punto (0, 0) satisface las inecuaciones y  x+ 2 y x + y  4, por lo tanto los puntos del plano que pertenecen a es-tos semiplanos se encuentran por debajo y en la rectas y = x + 2 e y = 4 – x

Gráfico 5

Ejemplo 4: Ahora mostramos el conjunto solución de un sistema de 4 inecuaciones, en este caso, el conjunto

solu-ción se obtiene al intersecar 4 semiplanos

      

  

 

 

 

4 x y

4 x y

4 y x

2 x y

(10)

9 Gráfico 6

3.1.6. Conjuntos convexos en R2

¿Qué características tiene el conjunto solución de un sistema de inecuaciones?

Consideremos la siguiente figura

Si elegimos un par de puntos que pertenecen a ella y los unimos por un segmento observamos que dicho segmento

queda incluido en ella.

Y esto sucede para todo par de puntos que pertenecen a la figura y en este caso decimos que la figura es convexa.

No sucede lo mismo con la siguiente figura:

Observamos que existen al menos dos puntos que al unirlos por un segmento este queda incluido en la figura y

exis-ten otros pares de puntos de la figura que al unirlos por un segmento este no queda incluida en la misma.

En este caso decimos que la figura es cóncava.

En el caso de la figura convexa, ¿cómo podemos escribir y demostrar analíticamente que para todo par de puntos de

la figura, al unirlos por un segmento, éste queda incluido en la misma?

Responderemos esta pregunta mostrando cómo expresar en forma analítica el conjunto de puntos que pertenecen a

un segmento de recta. Para ello, primero vamos a conocer cómo se expresa la ecuación de una recta, dados dos

puntos que pertenecen a ella.

3.1.7. Ecuaciones de la recta

(11)

L : 1 x 2 x 1 x x 1 y 2 y 1 y y     

siempre que L no sea una recta paralela a alguno de los ejes coordenados.

Por ser x e y variables que pueden tomar cualquier valor real, podemos escribir:

1 x 2 x 1 x x 1 y 2 y 1 y y      = t

siendo t un parámetro que también toma valores reales.

De donde deducimos que:

x  x1 = t (x2  x1) entonces x = x1 + t (x2  x1) y  y1 = t (y2 y1) entonces y = y1 + t (y2  y1)

Las ecuaciones          ) 1 y 2 (y t 1 y y ) 1 x 2 (x t 1 x x

t  R se conocen como ecuaciones paramétricas de la recta, donde

A= (x1, y1) y B = (x2, y2) representan dos puntos de paso de la recta y el cociente

1 x 2 x 1 y 2 y 

es su pendiente.

Ejemplo 5: Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos (1,2) y (5,4) vienen dadas por:

R

t

2)t

-(4

2

y

1)t

-(5

1

x

R

t

2t

2

y

4t

1

x

Si t = 0, reemplazando en las ecuaciones obtenemos el punto (1, 2)

Si t = 2, reemplazando en las ecuaciones obtenemos el punto (9, 6)

Si t = -5, reemplazando en las ecuaciones obtenemos el punto (-19, -8)

Si t = 1/2, reemplazando en las ecuaciones obtenemos el punto (3, 3)

3.1.8. Ecuación de la recta expresada como combinación lineal de dos puntos de ella

El punto P = (x, y) de una recta se puede expresar como el par ordenado:

(x, y) = (x1+ t .(x2  x1), y1+ t.(y2  y1))= (x1+ t. x2 – t . x1, y1+ t. y2  t .y1)= = ((1 t). x1+ t .x2 , (1 t) .y1+ t. y2)= (1 t). (x1,y1) + t . ( x2, y2) La expresión

(x, y) = (1 t) .(x1, y1) + t .(x2, y2) t R

Es la ecuación de la recta obtenida como combinación lineal de dos puntos que pertenecen a la misma.

De esta manera:

La ecuación de la recta se puede obtener como una “combinación lineal de dos puntos de paso dados” y a partir de

esta es posible encontrar cualquier otro punto de la recta con solo dar valores reales al parámetro t.

(12)

11 (x, y) = (1 t) (1,1) +t (5,1) t R

que es una recta paralela al eje x

Si t = 0  (x, y) = (1 0) . (1, 1) + 0. (5, 1) = (1,1), que es el punto A

Si t = 1  (x, y) = (11) .(1,1) +1.(5, 1) = (5, 1) que es el punto B

Si t = 1/4  (x, y) = (1 (1/4)). (1, 1) + (1/4).(5, 1) = (2, 1) que es el punto E

Si t = 1/2  (x, y) = (1 (1/2)) (1, 1) + (1/2)(5, 1) = (3, 1) que es el punto F

Si t = 2  (x, y) = (1 2) (1, 1) + 2 (5, 1) = (9, 1) que es el punto C

Si t = 1  (x, y) = (1 (1)) (1,1) + (1)(5, 1) = (3, 1) que es el punto D

Ejemplo 7: La ecuación de la recta que pasa por los puntos A = (1, 2) y B = (5, 3) es

(x, y) = (1 t) . (1,2) + t. (5,3) = (1 + 4t, 2 + t) con t R

Si t = 0  (x, y) = (1 0) .(1, 2) + 0 . (5, 3) = (1,2) obtenemos el punto A Si t = 1  (x, y) = (11). (1,2) +1. (5, 3) = (5, 3) obtenemos el punto B

Si t = 1/4  (x, y) =

4

3

.(1, 2) +

4

1

. (5, 3) = (2 ,9/4) obtenemos el punto C

Si t = 1/2  (x, y) =

2

1

. (1, 2) +

2

1

. (5, 3) = (3, 5/2) obtenemos el punto D

(13)

Observamos en el gráfico que:

 Si t = 0 o t =1 obtenemos los puntos A y B, respectivamente, que son los extremos del segmento que estos

puntos determinan.

 Si 0 < t < 1 obtenemos puntos de la recta y que pertenecen al segmento determinado por A y B.

 Si t > 1 o t < 0 obtenemos puntos que pertenecen a la recta y No al segmento determinado por A y B.

La ecuación del segmento de recta determinado por los puntos A = (x1, y1) y B =(x2, y2) es (x, y) = (1 t) .(x1, y1) + t .(x2, y2) t  [0,1]

Que es una forma de expresar analíticamente el conjunto de puntos que pertenecen al segmento determinado por

dos puntos A y B de una recta, restringiendo el valor del parámetro t al intervalo cerrado [0, 1].

La expresión

(x, y) = (1 t) .(x1, y1) + t .(x2, y2) t  [0,1]

Se denomina combinación lineal convexa obtenida a partir de los puntos A= (x1, y1) y B = (x2, y2)

3.1.9 Definición de conjunto convexo

Un conjunto C es convexo si y solo si para todo par de puntos A y B que pertenecen a C se cumple que cualquier

combinación lineal convexa de A y B está incluida en el conjunto.

Las siguientes figuras son convexas:

Otras definiciones de conjunto convexo:

1) Sea M un subconjunto de R2

M es un conjunto convexo si y solo si todo punto del segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de M

pertenece a M

2) Dados A y B  M,

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13 ¿Qué conjuntos del plano son conjuntos convexos?

Los puntos, los segmentos y las rectas del plano son conjuntos convexos.

3.1.10. Propiedades de los conjuntos convexos

Propiedad 1: La intersección de dos conjuntos convexos de R2 es un conjunto convexo. Gráficamente

M

A

B

N

Demostración:

Sean M y N dos conjuntos convexos de R2 y sea M N

Sean A y B  M  N entonces A y B  M  N. Por lo tanto A y B  M y A y B  N.

Como ambos son conjuntos convexos, (1  t) . A + t .Bb  M y (1  t) A + t B  N t  [0, 1]. Entonces (1  t) .A + t . B  M  N  t  [0, 1].

Con lo que se concluye que M  N es convexo.

Propiedad 2: La intersección de un número finito de conjuntos convexos es convexa.

Propiedad 3: Los semiplanos son conjuntos convexos.

En efecto, sea S el semiplano S = {(x, y)  R2 c

1 x + c2 y ≤ c3}. Probaremos que S es un conjunto convexo.

Sean A, B  S, esto significa que:

A = (x1, y1) y satisface c1 x1 + c2 y1 ≤ c3 y B = (x2, y2) y satisface c1 x2 + c2 y2 ≤ c3

Veamos que toda combinación lineal convexa P = (x, y) de A y B está en el semiplano S.

 t  [0, 1] es: P = (1 t) . A + t . B = (1 t) . (x1, y1) + t . (x2, y2) = ((1 t). x1 + t x2, (1  t) y1 + t y2). La primera componente de este par ordenado es

x = (1  t) x1 + t x2 y la segunda componente es

y = (1  t) y1 + t y2. Veamos que el par (x, y)  S.

(15)

c1 x + c2 y = c1 (1  t) x1+ c1 t x2 + c2 (1  t) y1 + c2 t y 2 =

= (1  t) (c1 x1 + c2 y1) + t (c1 x2 + c2 y2 ) ≤ (1  t) c3 + t c3 = c3 Hemos demostrando que P = (1 t) A + t B es un punto de S,  t  [0,1].

3.1.11- Valores de una función en un segmento

Teorema: Si f es una función definida en R2 de la forma f(x, y) = c

1 x+ c2 y sean A =(x1, y1) y B = (x2, y2) puntos en R2 . Se cumple que para todo punto X que se encuentra en el segmento de recta determinado por los puntos A y B se

verifica que f toma valores comprendidos entre f(A) y f(B).

En consecuencia: Si f(A)=f(B)= K ϵ R entonces f(x) = K

Ejemplo 8: Considerando el segmento: (x1, x2) = (1-t)

            3 20 ; 10 t 7 60 ; 7 60

con 0≤ t ≤1 y

la función: f(x1; x2) =z = 20 x1 + 15 x2

Analizaremos los valores que toma esta función en los puntos del segmento: Comenzamos evaluando la función en los puntos extremos:

f

7

60

.

15

7

60

.

20

7

60

;

7

60

= 300 f

3

20

15

10

20

3

20

10

;

.

.

= 300

Si consideramos ahora puntos interiores del segmento como

21

160

;

7

65

f

21

160

;

7

65

= 20.

300

21

160

.

15

7

65

Aplicaremos los conceptos abordados en las secciones 3.1.1 a 3.1.11 para resolver problemas de programación

lineal por método gráfico.

3.2. Resolución gráfica de un problema de programación lineal de máximo con única solución

Retomamos el problema del ejemplo 1 cuyo modelo es:

Maximizar: G (x, y) = 50 x + 65y (función objetivo)

Sujeto a: (describe el conjunto de restricciones del problema)

3x + 5y  150 (restricción estructural 1) 3x + 3y  120 (restricción estructural 2) x  0 , y  0 (restricciones de no negatividad)

Debemos determinar la intersección de los cuatro semiplanos correspondientes a las restricciones del problema, la

(16)

15 La zona factible está dada por el conjunto de puntos del plano que satisface simultáneamente las cuatro

inecuacio-nes y la gráfica es:

Ahora se determinan los puntos de intersección de las rectas frontera de las restricciones del problema.

     0 y 0 x

(x, y) = (0, 0)

       120 3y 3x 150 5y 3x

(x, y) = (25,15)

      0 x 150 5y 3x

(x,y) = (0, 30)

      0 x 120 3y 3x

(x,y) = (0, 40)

      0 y 150 5y 3x

(x, y) = (50, 0)

      0 y 120 3y 3x

(x, y) = (40, 0)

Observamos que NO todos estos puntos pertenecen a la zona factible

Si un punto del conjunto de soluciones factibles es intersección de rectas fronteras es una Solución Factible Básica

En este ejemplo son soluciones factibles básicas los puntos: (0, 0); (25,15); (0, 30) y (40,0).

Los puntos (0, 40) y (50, 0) no son soluciones factibles.

¿En qué punto la función G alcanza el máximo valor?

Sabiendo que G (x, y) = 50 x + 65 y entonces y = 

65

y)

G(x,

x

65

50

, observamos que la ordenada al origen de esta

recta depende del valor que tome G en algún punto del conjunto de soluciones factibles y que cuanto mayor sea la

ordenada al origen más grande será el valor que tome la función objetivo.

Para distintos valores de G las rectas tienen la misma pendiente y la ordenada al origen cada vez es mayor a medida

que crece el valor de G.

(17)

El procedimiento para alcanzar el óptimo consiste en desplazar la función objetivo, dentro del conjunto de

solucio-nes factibles, logrando que la ordenada al origen sea número cada vez más grande hasta alcanzar un punto de este

conjunto en que la ordenada al origen sea lo más grande posible.

Tratándose de una función objetivo lineal en un problema de programación lineal, la solución óptima se obtendrá en

una solución factible básica que pertenece al área de soluciones factibles.

Siendo G(x,y) = 50 x + 65 y , en el punto (0,0) el valor de la función objetivo es cero.

Realizamos un traslado de la recta correspondiente a la función objetivo en una dirección paralela hasta alcanzar el

punto (0;30) esto significa que si se producen 30 autos grandes y no se producen autos pequeños, el beneficio es

de $1950.

Trasladamos la recta “función objetivo” hasta alcanzar el punto (40,0), es decir que si no se producen autos grandes

y 40 autos pequeños el beneficio es de G(40, 0) = $2000

Trasladamos la recta correspondiente a la función objetivo hasta alcanzar el punto (25,15)

Observamos que cuando una función objetivo se traslada a través del área convexa de soluciones factibles, el último

(18)

17 Interpretamos que si se producen 25 autos pequeños y 15 autos grandes el beneficio es de $2225, como ya se

reco-rrió todas las soluciones factibles básicas entonces hemos encontrado el óptimo.

Respuesta: para obtener máximo beneficio conviene producir 25 autos chicos y 15 autos grandes y el beneficio será

de $2225.

Se llama Solución factible básica óptima a la solución factible básica que hace que la función objetivo alcance el

máximo valor en el conjunto de soluciones factibles.

3.3. Resolución gráfica de un problema de máximo con alternativas

Un problema de programación lineal de máximo con alternativas es un problema que no tiene única solución.

Resolvamos el siguiente ejemplo:

Maximizar f(x1,x2) = 6x1 + 10x2 sujeto a: x1+x2 4

x2 2

3x1+ 5x2 15 x1 0 x2 0

Hallamos las intersecciones de las rectas fronteras y obtenemos los puntos: (0, 0); (5/3, 2); (5/2, 3/2); (4, 0); (0,4);

(2, 2); (0, 3) y (0, 2).

Solo los puntos (0, 0); (5/3, 2); (5/2, 3/2);(0, 2) y (4, 0) son soluciones factibles básicas

Si desplazamos la función objetivo tratando de alcanzar el último punto del conjunto solución observamos que la

función objetivo, en su última posición, coincide con la recta 3x1+ 5x2 = 15 y alcanza el máximo valor en todos los puntos que pertenecen al segmento de recta determinado por (5/3,2) y (5/2,3/2).

Como la función objetivo es una función lineal y aplicando el Teorema 1, concluimos que la función f también

alcan-za el mismo máximo valor en los puntos que pertenecen al interior del segmento determinado por los puntos (5/3,2)

y (5/2,3/2)

Luego, las soluciones óptimas del problema son

(x1, x2)=(1-t). (5/3,2) + t .(5/2,3/2) t [0,1]

Los puntos (5/3,2) y (5/2,3/2) son soluciones factibles básicas óptimas y los puntos del interior del segmento son

soluciones factibles No básicas óptimas

Si queremos hallar una solución factible No básica óptima bastará darle un valor al parámetro t mayor que 0 y menor

(19)

En nuestro ejemplo, si t = 1/3, el punto (x1 , x2) =              2 3 , 2 5 . 3 1 2 , 3 5 . 3 2 =       6 11 , 18

35 es una solución factible No básica

óptima

Una solución factible No básica óptima es cualquier punto del interior del segmento determinado por las dos

solu-ciones factibles básicas óptimas.

Se obtienen asignándole al parámetro t un valor que pertenezca al intervalo abierto (0, 1).

3.4. Resolución gráfica de un Problema de mínimo con única solución

Tomamos un ejemplo referido a un caso de minimización. Para resolver gráficamente problemas de mínimo el

pro-cedimiento es similar al de los problemas de máximo. Para hallar el punto donde la función alcanza su mínimo valor,

buscaremos aquel que satisfaga todas las inecuaciones referidas a requerimientos y donde el funcional tenga el

menor valor.

Ejemplo 8: Un productor de pollos parrilleros necesita comprar alimentos que contengan dos tipos de vitaminas y

hay dos productos que puede adquirir y que las contienen. Sus deseos son cumplimentar el mínimo requerido o más

de cada vitamina al menor costo total. ¿Debe utilizar alguno de los productos en particular, o los dos? Los datos

referidos a los productos son:

Producto 1 Producto 2

Costo $ 3/kg $ 2/kg

Vitamina 1 10 u/kg 10 u/kg

Vitamina 2 35 u/kg 20 u/kg

El productor debe proporcionar, a cada pollo, en su alimentación, al menos 60 unidades de vitamina 1 y 180

unida-des de vitamina 2. El objetivo es minimizar el costo necesario para comprar los productos que satisfagan los

reque-rimientos de vitaminas.

Podemos formalizar este problema así:

(5/3,2) SOLUCIÓN FACTIBLE BÁSICAÓPTIMA

(5/2,3/2) SOLUCIÓN FACTIBLE BÁSICA ÓPTIMA

f=0

(20)

19 Los valores de x e y serán las cantidades de cada producto que hay que suministrar a cada animal. Luego, la función

objetivo es:

Minimizar: C (x, y) = 3x + 2 y

Sujeto a 10 x + 10 y  60 35 x + 20 y  180

x  0 , y 0

De acuerdo a lo ya realizado, graficamos en primer término el conjunto de restricciones del problema de

programa-ción lineal en un sistema de coordenadas cartesianas y determinamos el conjunto de soluciones factibles.

Consideramos ahora la función de costo C(x, y) = 3 x + 2 y donde C puede tomar diferentes valores.

Para cada valor constante de C, cada una de las rectas C(x, y) = 3 x + 2, recibe el nombre de recta de costo constante.

Trazamos la recta de costo nulo 3 x + 2 y = 0. Esta recta pasa por el origen de coordenadas.

Todas las rectas de costo constante tienen la misma pendiente m = -3/2 y se escriben como

y = -

2 y) C(x, 2 3

Si nos desplazamos hacia la derecha y hacia arriba el valor de la ordenada al origen 2

y)

C(x, , aumentando así el valor

de la función y obtenemos costos mayores para puntos que están dentro del polígono de soluciones factibles.

La zona factible correspondiente al problema se ve en el siguiente gráfico:

Ahora se determinan las intersecciones de las rectas frontera

       60 10y 10x 180 20y 35x

(x, y)= (4,2)

      0 x 180 20y 35x

(x, y) = (0,9)

      0 x 60 10y 10x

(x, y) = (0,6)

      0 y 180 20y 35x

(x, y) = (36/7,0)

      0 y 60 10y 10x

(x, y) = (6,0)

Los puntos (6, 0); (4, 2) y (0, 9) son soluciones factibles básicas.

(21)

Siendo y = -

2 y) C(x, 2

3 , la función C está relacionada con la ordenada al origen y cuanto menor sea la ordenada al

origen más pequeño será el valor que tome la función objetivo.

El procedimiento para alcanzar el óptimo consiste en desplazar la función objetivo dentro de la zona factible

reco-rriendo las soluciones factibles básicas hasta alcanzar un punto en que la ordenada al origen tome el menor valor

posible.

Observamos en el siguientes gráfico que el valor mínimo se alcanza en el punto (4, 2) ,es decir que, para obtener un

mínimo costo, conviene utilizar 4 unidades del producto 1 y 2 unidades del producto 2 y el costo será $16.

Luego, la solución factible básica óptima es (4, 2)

3.5 .Resolución gráfica de un Problema de mínimo con alternativas

Al igual que en los problemas de máximo con alternativas, un problema de mínimo con alternativas No tiene única

solución.

Resolvamos un ejemplo

Minimizar g(x, y) = 5 x + 10 y

Sujeto a 2x + y ≥ 6

x + 2y≥ 6

x +5 y ≥ 9

x ≥ 0 y≥ 0

Una vez determinada la zona factible se grafica la recta g = 0 y luego se traslada esa recta en forma paralela hasta

tocar por primera vez la zona factible que en este ejemplo toca un lado del conjunto convexo por ser la función

(22)

21 En este caso la función objetivo toma el mismo valor en los puntos (2,2) y (4,1). Es decir g(2,2) = g (4,1)= 30 por lo

tanto los puntos (2,2) y (4,1) son las soluciones factibles básicas óptimas y el mínimo correspondiente es 30.

El conjunto solución está formado por todos los puntos del segmento determinado por (2,2) y (4,1) que la podemos

expresar en forma analítica de la siguiente manera:

(x ,y ) = (1-t) . (2,2) + t .(4,1) ,  t  [0, 1]

Es posible verificar que el valor de g es 30 para cualquier punto de la recta y en particular del segmento

En efecto :

(x ,y ) = (1t). (2,2) + t . (4,1)= ((1t).2,(1t).2) + t .(4,1)= ((1t).2 + t .4, (1t).2 + t) = = (22t + 4t, 22t + t)= (2 + 2t, 2t)

Luego, g(2 + 2t, 2t) = 5 .( 2 + 2t ) + 10 . (2t) = 10 + 10t + 20 10t = 30

Esto nos muestra que el mínimo se alcanza en el segmento determinado los puntos (2,2) y (4,1).

Los (x ,y) = (1t) (2,2) + t .(4,1)  t (0, 1) son soluciones factibles No básicas óptimas.

Una solución factible No básica óptima se obtiene reemplazando t por un valor perteneciente al intervalo (0, 1)

Por ejemplo, si t = ½ (x ,y) = 2 1

. (2,2) + 2 1

(4,1) = (1,1)+       2 1 ,

2 =       2 3 , 3

Si se evalúa la función objetivo en       2 3 ,

3 se obtiene g 

     2 3 ,

3 = 5 . 3 + 10 . 2 3

= 30 valor mínimo de la función objetivo.

4- Casos particulares: Problemas sin Solución

4.1 Problema no acotado

Maximizar f(x,y) = 3x+5y

Sujeto a: 3x+2y  6

2x+ 3y 6

x  0, y  0

(0,6)

(2,2)

(4,1)

(23)

Observamos en el gráfico que el conjunto de soluciones es no acotado y por lo tanto no es posible alcanzar el

máxi-mo y el funcional se puede seguir desplazando de tal forma que se logra continuar mejorando el funcional.

4.2 Problema incompatible

Maximizar f(x,y) = 2x+5y

Sujeto a: 3x+2y  6

x+ y  1

x  0, y  0

En este caso, no existe punto del plano que satisfaga las restricciones, los semiplanos no tienen punto en común.

5- Tipos de soluciones

El planteo de un problema de programación lineal consiste en optimizar una función que es lineal (la función

objeti-vo), sujeta a un número finito de desigualdades que también son lineales (las restricciones). Se puede demostrar que

(24)

23 a) Existe una solución óptima, y es única (ejemplos 1 y 2).

b) Existen infinitas soluciones óptimas que se encuentran a lo largo de un segmento determinado por dos puntos

extremos. En este caso decimos que hay soluciones óptimas con alternativas (ejemplo 3).

c) No existe una solución óptima porque siempre es posible mejorar la función objetivo. En este caso se dice que y

que el problema es “no acotado”(ejemplo 4).

d) No existen valores para las variables que satisfagan simultáneamente todas las desigualdades. Es decir, el

conjun-to de soluciones factibles es vacío, y este caso se dice que el problema “es incompatible”(ejemplo 5).

6- Resolución de problemas de programación lineal por el Método del Punto Extremo

El método del punto extremo permite resolver problemas de programación lineal con dos variables. Consiste en:

 Identificar gráficamente el conjunto de soluciones factibles.

 Determinar las coordenadas de los puntos intersección de rectas fronteras llamados puntos esquina.

 Identificar los puntos esquinas que son soluciones factibles.

 Sustituir en la función objetivo las coordenadas de cada solución factible básica a fin de determinar el valor

correspondiente del funcional.

 Una solución óptima en un problema de maximización (minimización) es una solución factible básica que

produce el valor máximo (mínimo) de la función objetivo.

Para analizar un ejemplo de este método retomemos los ejemplos anteriores.

En el Ejemplo 1

x: número de autos pequeños ; y: número de autos grandes

Maximizar: f (x, y) = 50 x + 65 y

Sujeto a: 3x + 5y ≤ 150

3x + 3y ≤ 120

x  0 , y ≥ 0

Según lo visto en la resolución gráfica tenemos puntos que son intersecciones de rectas fronteras, algunos son

solu-ciones factibles y otros no.

(0,0) punto esquina factible

(25,15) punto esquina factible

(0,30) punto esquina factible

(0,40) punto esquina no factible

(50,0) punto esquina no factible

(40,0) punto esquina factible

Sólo nos interesa ver qué valor toma la función objetivo en las soluciones factibles del problema. Lo veremos en la

(25)

(x, y) soluciones factibles del problema f(x,y) valor de la función objetivo

(0,0) 0

(25,15) solución factible básica óptima 2225 máximo valor

(0,30) 1950

(40,0) 2000

Conclusión: Para obtener máximo beneficio conviene producir 25 autos chicos y 15 autos grandes y se obtiene un

beneficio de $2225.

En el Ejemplo 2

x: número de unidades del producto 1; y: número de unidades del producto 2

Minimizar: g (x, y) = 3x + 2 y

Sujeto a 10 x + 10 y  60

35 x + 20 y  180

x  0, y  0

Según lo visto en la resolución gráfica tenemos puntos que son intersecciones de rectas fronteras, algunos son

solu-ciones factibles y otros no.

(4,2) punto esquina factible

(0,9) punto esquina factible

(0,6) punto esquina no factible

(36/7,0) punto esquina no factible

(6,0) punto esquina factible

Evaluando la función objetivo en los puntos factibles del problema, observamos que el mínimo se encuentra en (4,2).

(x,y) soluciones factibles del problema f(x,y) valor de la función objetivo

(4,2) solución óptima 16 mínimo

(0,9) 18

(6,0) 18

(4,1) solución óptima 30 mínimo

(9,0) 45

7- Otras situaciones que se pueden presentar:

7.1 ¿Cómo determinar el conjunto de restricciones de un problema de programación lineal si conocemos la

(26)

25 Supongamos que tenemos el siguiente gráfico que representa la zona factible de un problema cuya función objetivo

es Maximizar f(x, y) = 3x + 2y

El gráfico de la zona factible surge de la intersección de 4 semiplanos S1, S2 , S3, S4

Para determinar las ecuaciones de las rectas fronteras de la zona factible hallar dos puntos que pertenezcan a cada

una de ellas.

S1 S2

S3

(27)

La recta L1 es la recta frontera correspondiente al semiplano S1 y dos puntos que pertenecen a ella pueden ser (4,0) y (0,4). Luego, la ecuación de la recta frontera es L1: x + y = 4 y el semiplano S1 es x + y  4 puesto que el punto (0, 0) verifica la restricción

De la misma forma obtenemos la inecuación del semiplano S2

La recta frontera L2 está determinada por los puntos (6,0) y (0,2) y tiene como ecuación 3

1 x + y = 2 o bien, una

ecua-ción equivalente x + 3y = 6. La desigualdad que representa el semiplano S2 es x + 3y  6 La siguiente figura muestra la intersección de los semiplanos S1 y S2

Además debemos tener en cuenta que la zona factible de un problema de programación lineal está limitada al

pri-mer cuadrante, debemos agregar las restricciones x  0 e y  0. Luego, el conjunto restricción es

x + y  4 x + 3y  6 x  0 y  0

Estamos en condiciones de realizar la Formulación del problema

Maximizar f(x, y) = 3x+2y

Sujeto a x + y  4 x + 3y  6 x  0 y  0

7.2. ¿Cómo determinar el Conjunto solución de un problema de programación lineal para un determinado valor de

la función objetivo?

El siguiente gráfico representa el área de soluciones factibles de un problema de programación lineal donde la

(28)

27 Maximizar: f(x,y) = 3x + 2y

Para encontrar las soluciones que verifican:

a1) f(x,y) = 6 a2) f(x,y) = 12 Procedemos:

a1) Observamos en el gráfico que el conjunto de puntos donde la función objetivo vale 6 está dado por la intersec-ción de la recta 3x + 2y = 6 con los ejes coordenados. Hallamos estas intersecciones

 con eje y x= 0 y = 3 (0,3) solución factible

 con eje x y= 0 x = 2 ( 2,0) solución factible

El conjunto de soluciones factibles donde la función objetivo vale 6 es el segmento determinado por los puntos (0, 3)

y (2, 0) es: (x, y) = (1-t). (0,3) + t . ( 2,0) t [0,1]

a2) Observamos en el gráfico que el conjunto de puntos donde la función objetivo vale 12 está dado por las intersec-ciones de la recta 3x + 2y = 12 con la recta y = 3 y de la recta 3x + 2y = 12 con el eje y. Hallamos estas

(29)

En efecto si y = 0 x = 4 (4, 0) solución factible

La intersección entre la recta 3x+ 2y = 12 y la recta y = 3 es (x,y) = ( 2,3).

Entonces el conjunto de soluciones factibles donde la función objetivo vale 12 es

(x, y) = (1-t). (2,3) + t . ( 4,0)  t [0,1] Ejemplo 9 :

Queremos expresar el conjunto de solu-ciones factibles donde la función objetivo es tal que:

a) f(x,y) =1 b) f(x,y) = 3 c) f(x,y) = 4 d) f(x,y) = 6 e) f(x,y) = 11 f) f(x,y) = 11.5 g) f(x,y) = 12 h) f(x,y) = 18

a) Como f(x,y) = 1 es una recta que está fuera de la zona factible entonces no existe el conjunto de soluciones factibles donde la función objetivo tome el valor 1.

Podemos observar en el gráfico

(30)

29 b) f(x,y) = 3 es 3x+2y = 3

Gráficamente

Determinamos la intersección de la recta 3x + 2y = 3 con los ejes coordenados: (0,3/2) y ( 1,0.

Como los puntos (0,3/2) y (1,0) son solucio-nes factibles y el segmento determinado por ellos es un conjunto convexo, los puntos del interior dl segmento también son soluciones factibles.

El conjunto de soluciones factibles donde la función objetivo vale 3 es

(x,y) = (1-t) (0,3/2) +t ( 1,0) t [0,1]

c) f(x,y) = 4 entonces 3x+2y = 4 Gráficamente

Determinamos la intersección de la recta 3x + 2y = 4 ésta recta con los ejes coordenados: (0, 2) y ( 4/3,0) que son soluciones factibles.

El conjunto de soluciones factibles donde la fun-ción objetivo vale 6 es

(x,y) = (1-t) (0,2) +t ( 4/3,0) t [0,1]

d) f(x,y) = 6 entonces 3x+2y = 6

En este caso la intersección de la recta 3x+ 2y = 6 con los ejes no nos da la información co-mo para poder hallar los puntos para deter-minan el segmento.

El punto (0,3) no es solución factible Como vemos gráficamente es necesario determinar

e) f(x,y) =11

El conjunto de soluciones factibles donde la fun-ción objetivo vale11 es

(31)

el punto de intersección entre la recta x + 3y = 6 y la recta 3x+ 2y = 6 que es el punto ( 6/7,12/7).

Entonces el conjunto de soluciones factibles donde la función objetivo vale 6 es

(x,y) = (1-t) (2,0) +t ( 6/7,12/7)  t [0,1]

f) f(x,y) = 11.5

El conjunto de soluciones factibles donde la fun-ción objetivo vale 11.5 es

(x,y) = (1-t) (7/2,1/2) + t ( 23/6,0)  t [0,1]

g) f(x,y) = 12

Como podemos observar gráficamente la úni-ca solución factible donde f = 12 es (4,0) que es una solución básica factible óptima y en donde f alcanza el valor máximo.

.

h) f(x,y) = 18

Gráficamente vemos que no existe solución factible donde f = 18 ya que 18 es mayor al máximo que alcanza la función objetivo.

7.3. ¿Cómo modificación de la función objetivo de un problema de programación lineal para que tenga soluciones alternativas?

Analicemos el siguiente ejemplo

Maximizar f(x, y) = 3x+2y Sujeto a x + y  4

x + 3y  6

x +y  1

x  0

(32)

31

La f(x, y) = 3x+2y debe ser cambiado por f(x, y)= x + y o f(x, y)= x + 3y o por ejemplo f(x, y)= 10x + 10y o f(x, y)= 5x + 15y

 En el caso de elegir f(x, y)= x + y el conjunto de soluciones óptimas será (x,y) = (1-t) (4,0) +t ( 3,1)  t [0,1] donde el f máximo será 4

 En el caso de elegir f(x, y)= 10x + 10y el conjunto de soluciones óptimas será

(x,y) = (1-t) (4,0) +t ( 3,1)  t [0,1] donde el f máximo será 40

 En el caso de elegir f(x, y)= x + 3y el conjunto de soluciones óptimas será (x,y) = (1-t) (0,2) +t ( 3,1)  t [0,1] donde el f máximo será 6

 En el caso de elegir f(x, y)= 5x + 15y el conjunto de soluciones óptimas será (x,y) = (1-t) (0,2) +t ( 3,1)  t [0,1] donde el f máximo será 30

Observaciones:

 En los problemas con alternativas tendremos soluciones factibles óptimas no básicas.

(33)

8- SÍNTESIS CONCEPTUAL

8.1 – Categorias de problemas de programación lineal:

Como ya lo hemos analizados, al resolver un problema de programación lineal podemos encontrar las siguientes categorías:                 ACOTADA NO FACTIBLE REGIÓN CON MÁXIMO DE PROBLEMA UN DE TRATARSE POR FACTIBLE REGIÓN EXISTIR NO POR AS ALTERNATIV SOLUCIONES CON ÚNICA SOLUCIÓN CON MÍNIMO DE PROBLEMA AS ALTERNATIV SOLUCIONES CON ÚNICA SOLUCIÓN CON MÁXIMO DE PROBLEMA SOLUCIÓN SIN SOLUCIÓN CON

8.2- Modelación de un problema de programación lineal

 FUNCIÓN OBJETIVO

 RESTRICCIONES

 CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD

8.3- Métodos de Resolución:

   Esquina Punto del Método Gráfico Método solución de Métodos Re

8.4- Clasificación de soluciones:

Las soluciones de un problema de programación lineal se pueden categorizar de acuerdo al siguiente cuadro





ÓPTIMA

NO

ÓPTIMA

BÁSICAS

NO

ÓPTIMA

NO

ÓPTIMA

BÁSICAS

FACTIBLE

SOLUCIÓN

Todo punto de la región factible es una solución factible del problema. La solución factible es básica cuando se en-cuentra en uno de los vértices de la región, en caso contrario es no básica. Si la solución básica optimiza la función objetivo, se denomina solución factible básica óptima.

8.5- Expresión de las soluciones alternativas

(34)

33 ACTIVIDADES

Problema nº1: Grafica las siguientes inecuaciones y sistemas de inecuaciones

a) x + y  5 b) 3x + 5y ≤ 15

c)            0 0 6 3 2 4 4 y x y x y x d)



0

0

5

4

24

3

4

y

x

x

y

x

y

x

Problema nº2: Formula el sistema de desigualdades que representa los siguientes gráficos

a) b)

En los problemas 3 al 12 formula el modelo matemático de programación lineal correspondiente. Resuelve utilizando alguno de los dos métodos.

Problema nº3: Una compañía fabrica y venden dos tipos de toallones T1 y T2. Para su fabricación se necesita un tra-bajo manual de 20 minutos para el tipo T1 y de 30 minutos para el T2; y un trabajo de máquina 20 minutos para T1 y de 10 minutos para T2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de $15 y $10 para T1 y T2, respectivamente, determina la producción para obtener el máximo beneficio.

Problema nº4: Una librería decide lanzar ofertas de útiles escolares. Disponen de 600 gomas, 500 lápices y 400 bi-romes para la oferta, empaquetándolos de dos formas distintas; en el primer paquete P1 pondrá 2 gomas, 1 lápiz y 2 biromes; en el segundo P2, pondrán 3 gomas, 1 lápiz y 1 birome. Los precios de cada paquete serán $6,5 y $7, res-pectivamente.

a) ¿Cuántos paquetes se deben preparar de cada tipo para obtener el máximo ingreso? b) ¿Cuál es el ingreso máximo?

(35)

Problema nº6: Un revendedor acude a cierta fábrica de materiales de construcción a comprar cerámicos con $50000. Le ofrecen dos tipos de cerámicos: las de tipo A a $50 el m2 y las de tipo B a $80 el m2. Sólo dispone en su camioneta de un espacio para transportar 700 m2 de cerámicos como máximo y que piensa vender el m2 de cerámi-cos tipo A a $58 y el m2 de tipo B a $90.

a) ¿Cuántos m2 de cerámicos de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? b) ¿Cuál será ese beneficio máximo?

Problema nº7: Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres cali-dades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operación es de $2000 en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el costo sea mínimo?

Problema nº8: Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en proteínas, hidratos de car-bono y grasas son 8, 12 y 9 unidades, respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla:

Proteínas Hidratos Grasas Costo (kg)

Producto A 2 6 1 600

Producto B 1 1 3 400

¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mínimo?

Problema nº9: Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 28 kg de manteca para hacer dos tipos de tor-tas T1 y T2. Para hacer una docena de tortor-tas de tipo T1 necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1kg de manteca y para hacer una docena de tipo T2 necesita 6 kg de harina, 0,5 kg de azúcar y 1 kg de manteca.

El beneficio que obtiene por una docena de tortas tipo T1 es $30 y por una docena de tipo T2 es $30. Halla el núme-ro de docenas que tiene que hacer de cada tipo de torta para que el beneficio sea máximo.

Problema nº10: Una empresa fabrica dos tipos de perfumes: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de rosas, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de rosas, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de rosas y de 50 litros de alcohol. Cada día se pueden producir como máximo 150 litros del perfume B. El precio de venta por litro de perfume A es de $500 y el del perfume B es $2000. Halla los litros de cada tipo de perfume que deben producirse diariamente para que el beneficio sea máximo.

Problema nº11: Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 micros de 40 plazas y 10 micros de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un micro grande cuesta 80 pesos y el de uno pequeño, 60 pesos. Calcula cuántos micros de cada tipo hay que utilizar para que la excursión re-sulte lo mas económica posible para la escuela.

Problema nº12: Se pretende cultivar en un terreno dos tipos de olivos: A y B. No se puede cultivar más de 8 ha con olivos de tipo A. Cada hectárea de olivos de tipo A necesita 4 m3 de agua anuales y cada una de tipo B, 3 m3. Se dis-pone anualmente de 44 m3 de agua. Cada hectárea de tipo A requiere una inversión de $500 y cada una de tipo B, $225. Se dispone de $ 4500 para realizar dicha inversión. Si cada hectárea de olivar de tipo A y B producen, respecti-vamente, 500 y 300 litros anuales de aceite:

(36)

35

Problema nº13: El siguiente gráfico representa el área de soluciones factibles de un problema de programación li-neal donde la función objetivo es:

Maximizar f(x, y) = 4 x + 2 y

a) Formula el problema de pro-gramación lineal correspondien-te.

b) Resuelve el problema utilizando el método punto esquina. c) Resuelve el problema

gráfica-mente

d) Determina el conjunto de solu-ciones factibles donde f(x,y) = 20

e) Resuelve los ítems a) b) y c) pe-ro suponiendo que la función objetivo corresponde a : Minimizar g(x, y) = 4 x + 2 y f) Modifica la función objetivo

pa-ra que el problema de máximo tenga alternativa.

Problema nº14: El siguiente gráfico representa el área de soluciones factibles de un problema de programación li-neal donde la función objetivo es: Maximizar f(x, y) = x + 2 y.

a) Formula el problema de pro-gramación lineal correspon-diente.

b) Resuelve el problema utili-zando el método punto es-quina.

c) Resuelve el problema gráfi-camente

(37)

a) Determina el sistema de inecuaciones que lo verifica. b) Resuelve el problema gráficamente.

c) Da las coordenadas de un punto que corresponda a: - una solución factible no básica

- una solución factible básica no óptima - una solución factible básica óptima

- una solución factible óptima no básica

Problema nº16: Para el siguiente problema de programación lineal: Minimizar g(x,y) = x +3y sujeto a 13x +6y 25 x+3y 7 x0 y0 a) Determina las coordenadas de dos puntos esquina.

b) Busca una solución factible (x,y) al problema planteado donde g(x,y) = 10 c) Resuelve gráficamente.

Problema nº17: El siguiente conjunto de puntos P1 =(0,0); P2 = (4,0); P3 = (3,2); P4 = (1,3) ; P5 = (0,3); constituyen los vértices de un conjunto convexo que es el conjunto de soluciones factibles de un problema de programación lineal de máximo. Los puntos P3 y P4 son soluciones óptimas del problema.

a) Plantea el problema de programación lineal

b) Grafica el conjunto de soluciones factibles, la función objetivo y el conjunto de soluciones óptimas. c) Determina, si existe, una solución básica donde la función objetivo asume el valor 4.

Problema nº18: Para el siguiente problema de programación lineal: Maximizar ( x, y) = 2x + 5y sujeto a x + 2,5y  4 ; 2x + y  3; x  0 ; y  0 a) Determina las coordenadas de dos puntos de esquina.

b) Busca una solución factible (x, y) al problema planteado donde (x , y) =  (1, 0 )

c) Modifica la pendiente de  para que el máximo de este problema esté en el punto (1,5, 0).

Problema nº19: a) Investiga si los puntos

2

9

,

2

3

; (0, 6) y 

    

3 10 , 3 5

están en el segmento determinado por los

pun-tos (1, 5) y (2, 4)

Problema nº20: El siguiente gráfico representa el área de soluciones factibles de un problema de programación li-neal donde la función objetivo es:

(38)

37 a) Completa la formulación del problema de programación lineal con el conjunto de restricciones estructurales y las condiciones de no negatividad.

b) Expresa el conjunto de puntos del área de soluciones factibles donde el funcional sea: i) f (x, y) = 4 ii) f (x, y) = 8 iii) f (x, y) = 12 iv) f (x, y) = 14

Problema nº21: Una empresa produce dos productos P1 y P2 y desea maximizar las ganancias. Los requerimientos para cada producto 1 se dan en la siguiente tabla:

Producto 1 Producto 2

Materia prima 1 1 2

Materia prima 2 1 1

Materia prima 3 4 3

De la materia prima uno dispone de hasta 28 unidades, de la materia prima dos hasta 16 unidades y de la materia prima tres hasta 56 unidades. Si la ganancia de cada unidad del producto P1 es de $ 12 y la de cada unidad del pro-ducto P2 es de $ 9 ¿Cuántas unidades del propro-ducto 1 y cuántas unidades del propro-ducto 2 se deben fabricar para ob-tener la máxima ganancia?

a) Plantea el problema de programación lineal.

b) Determina la solución óptima del problema de máximo con el correspondiente valor del funcional. c) En el problema de máximo, determine si (11, 4) es una solución factible óptima no básica.

Problema nº22: Una maderera, que tiene dos sucursales, necesita producir al menos 80 artículos de madera de baja calidad, 140 de mediana calidad y 50 de alta calidad. Cada día, la sucursal I produce 20 artículos de baja calidad, 30 de mediana calidad y 10 de alta calidad, mientras que la sucursal II produce 10 artículos de baja calidad, 20 de media y 10 de alta calidad. Si los costos diarios son de $ 4000 para la sucursal I y de $3500 para la sucursal II. ¿Cuán-tos días debe operar cada sucursal para satisfacer los requerimien¿Cuán-tos de producción a un costo mínimo? ¿Cuál es el costo mínimo?

Resuelve utilizando el método punto esquina

Problema nº23: El siguiente gráfico representa el área de soluciones factibles de un problema de programación li-neal donde la función objetivo es:

Maximizar f(x, y) = 2 x + 3 y. a) Dé las coordenadas de un punto que corresponda a: - una solución factible no básica

- una solución factible básica no optima - una solución factible básica optima

b) Expresa el conjunto de puntos del área de soluciones factibles donde el funcional sea:

(39)

Respuestas: 1)

a) b)

c) d)

(40)

39 a)             0 0 24 3 16 4 y x y x y x b)



0

0

4

2

15

5

3

y

x

x

y

y

x

3) Variables de decisión: x: nº de toallones de tipo T1 y: nº de toallones de tipo T2

Maximizar: f(x,y) = 15x+10y sujeto a: 20x+30y ≤ 6000 20x+10y ≤ 4800 x ≥ 0, y ≥0

La solución óptima es fabricar 210 del tipo T1 y 60 del tipo T2 para obtener un beneficio de $3750

4) Variables de decisión: x: nº de paquetes de tipo P1 y: nº de paquetes de tipo P2 Maximizar: f(x,y) = 6,5x+7y

sujeto a: 2x+3y ≤ 600 x+y ≤ 500 2x+y ≤ 400 x ≥ 0, y ≥ 0

La solución óptima es 150 P1 y 100 P2 con la que se obtienen $1675

5) Variables de decisión: x: nº de comprimidos de tipo A y: nº de comprimidos de tipo B

Maximizar: f(x,y) = 2x+y sujeto a: 40x+30y ≤ 600 x ≥ 3

y ≥ 2x x ≥ 0, y ≥ 0

La máxima ganancia es de $24, y se obtiene fabricando 6 comprimidos de tipo A y 12 de tipo B.

6) Variables de decisión: x: nº de m2 de cerámicos de tipo A y: nº de m2 de cerámicos de tipo B Maximizar: f(x,y) = 8x+10y

sujeto a: 50x+80y ≤ 50000 x+y ≤ 700

x ≥ 0, y ≥ 0

Se deben comprar 200 m2 de cerámicos de tipo A y 500 m2 de cerámicos tipo B para obtener un beneficio máxi-mo de $6600.

7)Variables de decisión: x: nº de días que se debe trabajar en la mina A y: nº de días que se debe trabajar en la mina B

Minimizar: f(x,y) = 2000x+2000y sujeto a: x+2y ≥ 80

3x+2y ≥ 160 5x+2y ≥ 200 x ≥ 0, y ≥ 0

Se debe trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. Costo mínimo $120000

8) Variables de decisión: x: nº de kg del producto A y: nº de kg del producto A Minimizar: f(x,y) = 600x+400y

(41)

6x+y ≥ 12 x+3y ≥ 9 x ≥ 0, y ≥ 0

Se deben comprar 3 kg del producto A y 2 kg del producto B. Costo mínimo $2600

9) Variables de decisión: x: nº de docenas de tortas de tipo T1 y: nº de docenas de tortas de tipo T2 Maximizar: f(x,y) = 30x+30y

sujeto a: 3x+6y ≤ 150 x+1/2 y ≤ 22 x+y ≤ 28 x ≥ 0, y ≥0

Conjunto de soluciones óptimas

(x, y) = (1t) (16, 12) + t (6,22)  t  [0,1] Beneficio máximo de $840.

10) Variables de decisión: x: nº de litros de perfume A y: nº de litros de perfume B Maximizar: f(x,y) = 500x+2000y

sujeto a: 0.15x+0.30y ≤ 60 0.20 x+0.15 y ≤ 50 y ≤ 150

x ≥ 0, y ≥ 0

Se deben producir 100 litros de perfume del tipo A y 150 litros de perfume del tipo B. Beneficio máximo $350000

11) Variables de decisión: x: nº de transportes grandes y: nº transportes pequeños Minimizar: f(x,y) = 80x+60y

sujeto a: 50x+ 40y ≥ 400 x+ y ≤ 9

x ≤ 10 y ≤ 8 x ≥ 0, y ≥ 0

Se deben utilizar 4 transportes grandes y 5 pequeños. Costo mínimo $620. 12) Variables de decisión: x: nº de ha de olivo tipo A y: nº de ha de olivo tipo B Maximizar: f(x,y) = 500x+300y

sujeto a: x ≤ 8 4x+3y ≤ 44

500x+225y ≤ 4500 x ≥ 0, y ≥ 0

a) Hay que cultivar 8 hectáreas de olivo de tipo A y 4 hectáreas del tipo B. b) La producción máxima es de 5200 litros

13) a) Max f(x,y) = 4x + 2y Sujeto a

(42)

41 (x,y) f(x,y) = 4x+ 2y

(3/2, 3) 12

(6,0) 2

(9,0) solución óptima

36 máximo

(3,6) 24

(0,8) 16

(0,6) 12

C) Resolución gráfica

d)

Conjunto de soluciones factibles donde f (x,y)= 20 es (x,y) = (1-t)(9/2,1)+t(3/2,7) t[0,1] e) a) Minimizar g(x,y) = 4x + 2y

Sujeto a

(43)

2x + y ≥ 6 x + y ≤ 9 x ≥0 y ≥0 b) Método punto esquina

(x,y) g(x,y) = 4x+ 2y

(3/2,3) solu-ción óptima

12 mínimo

(6,0) 24

(9,0) 36

(3,6) 24

(0,8) 16

(0,6) solu-ción óptima

12 mínimo

Conjunto de soluciones óptimas (x,y) = (1-t)(3/2,3)+t(0,6) t[0,1]

g (x,y) = 12 mínimo

c) Resolución gráfica

Conjunto de soluciones óptimas (x,y) = (1-t)(3/2,3)+t(0,6) t[0,1] g (x,y) = 12 mínimo

f) Ejemplos (existen muchas posibilidades)

Maximizar f(x,y) = 2x + 3y en ese caso el conjunto de soluciones óptimas será

(x,y) = (1-t)(3,6)+t(0,8) t[0,1] f(x,y) = 24 máximo

otra posibilidad es

Maximizar f(x,y) = x + y en ese caso el conjunto de soluciones óptimas será

(x,y) = (1-t)(3,6)+t(9,0) t[0,1] f(x,y) = 9 máximo 14)a) Formulación

(44)

43 Sujeto a:

x + y ≤ 12 -x + 2y ≥ 0 -4x + y ≤ -7 x -3 y ≥ -12 x ≥0 y ≥0

b) Método punto esquina

(x,y) f(x,y) = x+ 2y (2, 1) 4

(3,5) 13

(6,6) solución óptima

18 máximo

(8,4) 16

c) Método gráfico

15) a) x1 + x2 4 x2 3 2x1 + x2  6 x1  0 x2  0

b) Maximizar f (x1,x2) = 50x1 +50x2 x1 + x2 4 x2 3 2x1 + x2  6

(45)

Conjunto de soluciones óptimas

(x1,x2) = (1-t) (1,3) +t (2,2)  t  [0,1] Máximo f(x1,x2) = 200 c) (1,1) solución factible no básica

(0,3) solución factible básica no óptima (2,2) solución factible básica óptima

Para obtener una solución factible no básica óptima en

(x1,x2) = (1-t) (1,3) +t (2,2)  t  [0,1] tomamos por ejemplo t = 1/2

(x, y) = (1-1/2) (1,3) +1/2 (2,2) = 1/2 (1,3) +1/2 (2,2) = (1/2,3/2)+(1,1) = (1/2+1,3/2+1) = (3/2,5/2).

16) a) Dos de los puntos esquinas factibles pueden ser (1,2) (0,25/6) b) Ejemplo (1,3) g(1,3) = 1+3.3=10

c) Resolución gráfica

Conjunto de soluciones óptimas

(46)

45 17) a) Resolución gráfica

(x1,x2) = (1-t) (3,2) +t (1,3)  t  [0,1] Máximo f(x1,x2) = 7 b) Maximizar f(x1,x2) = x1 + 2x2

Sujeto a 2 x1+ x2 ≤ 8 x2 ≤ 3 x1+ 2x2≤ 7 x1 ≥0 x2≥0

d) (x1,x2) = (4,0) Es Solución Factible Básica donde f(4, 0) = 4

18)a) Dos de los puntos esquina pueden ser (3/2,0), (7/8,5/4) b) (1,0) es solución factible

c) El nuevo problema sería

(47)

19)      2 9 , 2

3 pertenece al segmento; (0, 6) y

      3 10 , 3

5 no pertenecen al segmento.

20) a) Maximizar f(x, y) = 4x + 2y

Sujeta a: x  3; y  2; x + y  4; x  0; y  0 b) i) (x, y) = (1t) (1, 0) + t (0, 2)  t  [0,1] ii) (x, y) = (1t) (2, 0) + t (1, 2)  t  [0,1] iii) (x, y) = (1t) (3, 0) + t (2, 2)  t  [0,1] iv) (x, y) = (3, 1)

21)a) x1: nº de unidades del producto 1 x2: nº de unidades del producto 2 Maximizar: f(x1,x2) = 12x1+ 9x2

sujeto a x1 + 2x2 ≤ 28 x1 + x2 ≤ 16 4x1 + 3x2 ≤ 56 x1 ≥ 0 x2 ≥ 0

b) Solución óptima (x1,x2)= (1-t)(14,0)+t(8,8) t0,1 Máximo f = 168 c) (11,4)= (1-t) . (14, 0) +t (8,8) = (14 -14t, 0) + (8t, 8t)= (14 - 6t, 8t)

      ) 2 ( 4 t 8 ) 1 ( 11 t 6 14

De (2) 8t = 4  t = ½ en (1) 14-6(1/2) = 14-3 = 11

Como (11,4) está en el segmento determinado por (14,0) y (8,8) es una solución factible no básica óptima.

Otra forma de resolver el ítem c) f(11,4)= 12(11)+9(4) = 168

(11,4) es una solución factible ya que verifica todas las siguientes desigualdades 11+ 2 .(4)≤ 28

(48)

47 22)

y1: nº de días que opera la sucursal I y2: nº de días que opera la sucursal II Minimizar: f(y1, y2) = 4000 y1+3500 y2 20 y1+ 10 y2 ≥ 80

30 y1+ 20 y2 ≥ 140 10 y1+ 10 y2≥ 50 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0

Gráfico

Rta: La sucursal I debe operar 4 días y la sucursal II 1 día y el costo mínimo es de $ 19500

(y1, y2) f (y1, y2)

(5,0) 20000

(4,1)SFBO 19500 mínimo

(2,4) 22000

(0,8) 28000

23)

a)

(x,y) f (x,y)=2x+3y

(0,0) 0

(4,0) 8

(4,1) 11

(2,3) SFBO 13 máximo

(0,3) 9

SF no básica (1,1) SFB no óptima (4,1) SFBO (2,3)

b) i) (x, y)=(1-t)(3,0)+t(0,2) t0,1

ii)

  

  

3 y

11 y 3 x 2

(1,3)

Figure

Gráfico 2

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Gráfico 1

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Gráfico 3

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Gráfico 4

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Gráfico 5

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Gráfico 6

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Referencias

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