EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

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Texto completo

(1)

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUAS

1.- Se supone que el diámetro de un cable eléctrico, digamos X es una variable aleatoria continua con f(x)=6X(1-X), 0 ≤X ≤ 1

Solución:

f(x)=6X(1-X), 0 ≤X ≤ 1

1

]

2

3

)

6

6

(

)

1

(

6

2 3 10

1

0

2 1

0

=

=

=

X

X

dx

X

X

dx

x

x

y

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

3 2 0 3 2

0

2

0

2

3

]

2

3

)

6

6

(

)

1

(

6

)

(

x

t

t

dt

t

t

dt

t

t

x

x

F

x

x x

=

=

=

=

0 x≤0 F(x) 3X2 – 2 x3 0 < x <1

1 x≥1

y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

(2)

2.-Se va rifar un Viaje a Europa cuyo precio es de $ 3000 dólares, se venden 10000 boletos a 1 dólar cada uno. Si se compra 1 boleo, ¿Cuál es el beneficio esperado?. Si se compran 100 boletos, ¿Cuál es el beneficio esperado?

Solución

X: Beneficio neto al comprar 1 boleto

X -1 2999

P(x) 9999/10000 1/10000

Xp(x) -9999/10000 2999/10000

E(x)= -9999/10000 + 2999/10000 = -0,70

b) Y =100X

E(y) = E(100x)=100E(x)=100(-0,70)=-70

3.- Se da la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria X:

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨

<

=

x de valor otro cualquier para

x para X

X x f

0

2 0 4

) (

3

Hallar: a) La Moda b) La Mediana

Solución:

Hallar el máximo f(x)

f’(x) = 1 -3x2 /4=0---Æ X=2/3

f’’(x) = -3x /2=-3/√3 máximo <0

Mediana

09

.

1

5

.

0

]

16

2

2

1

)

4

5

.

0

)

(

0 4 2 0

3

=

=

=

=

<

Md

X

X

dx

x

x

md

x

P

md md

4.- Supóngase que X está distribuido uniformemente en el intervalo [-α, α], en donde α >0. Cada vez que sea posible, determinar α de modo que satisfaga lo siguiente:

a) P(X>1)=1/3 b) P(X>1)=1/2 c) P(X<1/2)=0,7 Solución:

(3)

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨

<

=

x de valor otro cualquier para

x para x

f

0 2 1 ) (

α α α

3

3

1

]

2

3

1

)

2

1

3

/

1

)

1

(

1 0

=

=

=

=

>

α

α

α

α α

X

dx

x

P

5.- Sea X una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [0,6]. Calcular P[ |X-µ|>2]

Solución

3

2

6

0

2

=

+

=

+

=

a

b

μ

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

≥ < ≤ < =

6 1

6 0 6

0 0

) (

x para

x para x

x para x

F

P[ |X-µ|>2]= P [X-3>2 v X-3 <-2] = P[X≥5]+P[X<1]=1-F(5)+F(1)= 1 – 5/6 + 1/6 = 1/3

6.- Sea X una variable aleatoria continua distribuida uniformemente, con media µ=1 y varianza σ2=4/3. Hallar P[X<0]

Solución:

1

2

=

+

=

a

b

μ

3

4

12

)

(

2

2

=

b

a

=

σ

Resolviendo a= -1 y b= 3

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

≥ < ≤ − +

− < =

3 1

3 1 4

1

1 0

) (

x para

x para x

x para x

F

(4)

7.-Una universidad privada proporciona servicio de transporte de autobús a los estudiantes mientras se encuentra en el recinto. Un autobús llega a la parada cada 30 minutos, entre las 6 de la mañana y las 11 de la noche entre semana. Los estudiantes llegan a la parada en tiempos aleatorios. El tiempo que espera un estudiante tiene una distribución uniforme de 0 a 30 minutos.

a) Trace una gráfica de la distribución y demuestre que el área es de 1

b) Cuánto tiempo esperará el autobús “normalmente” un estudiante? En otras palabras ¿Cuál es la media del tiempo de espera?¿Cuál es la desviación estándar de los tiempos de espera? c) ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante espere más de 25 minutos?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante espere entre 10 y 20 minutos?

Solución:

X se distribuye uniformemente:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧

≥ < ≤ < =

30 1

30 0 30

1

0 0

) (

x para

x para

x para x

F

a)

P(x)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0

5

10

15

20

25

30

30x1/30= 1 Se cumple condición que el área es igual a 1

b)

15

2

30

0

2

=

+

=

+

=

a

b

μ

66

.

8

12

)

0

30

(

2

=

=

σ

(5)

8.-Suponga que la vida de cierto tipo de transistores tiene una distribución exponencial con vida media de 500 horas. Si X representa la vida útil de un transistor.

a) Hallar la probabilidad que falle antes de las 300 horas? b) Cuál es la probabilidad que dure por lo menos 300 horas?

c) Si un transistor en particular ha durado 300 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que dure otras 400 horas?

Solución Se sabe que:

500

1

500

1

=

=

=

λ

λ

μ

⎪⎪

=

x

de

valor

otro

cualquier

para

x

para

e

x

f

x

0

0

500

1

)

(

500

=

x

de

valor

otro

cualquier

para

x

para

e

x

F

x

0

0

1

)

(

500

a) P(x≤300) = F(300)= 5 3 500

300

1

1

− −

=

e

e

b) P(x>300) = 1- F(300)= 5 3 500

300

)

1

(

1

− −

=

e

e

5 4

)

300

(

)

700

(

)

300

(

)

300

700

(

)

300

/

700

(

=

>

>

=

>

>

>

=

>

>

e

x

P

x

P

x

P

X

x

P

x

X

P

(6)

10.- Considere la siguiente función de densidad de probabilidad exponencial:

0

,

8

1

)

(

8

=

x

e

x

f

x

; Hallar a) P(X≤6) b) P(4≤X≤6)

Solución:

⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧

≥ −

=

x de valor otro cualquier para

x para e

x F

x

0

0 8

1 1

) (

8

a) P(X≤6) = F(6)= 8 6

8

1

1

(7)

b) P(4≤X≤6)=F(6)-F(4)= 8 4 8

6

8

1

8

1

− −

e

e

11.- Suponga que el tiempo entre la llegada sucesiva de clientes a la ventanilla de una cajera de un banco, se sabe que es una exponencial con media de 0.20 min ¿Cuál es la probabilidad de un intervalo de menos de 10 segundos entre una llegada y la siguiente?

Solución

X: variable aleatoria intervalo de tiempo entre llegadas sucesivas de los clientes

5

2

.

0

1

=

=

=

λ

λ

μ

=

x

de

valor

otro

cualquier

para

x

para

e

x

F

x

0

0

1

)

(

5

10 segundos _= 1/6 minutos

P(x<1/6)=1-e-5/6

12.- Suponga que el tiempo que necesita un cajero de un banco para atender a un cliente tiene una distribución exponencial con una media de 40 segundos

a) Cuál es la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente dado sea mayor que 20 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo necesario para atender un cliente esté comprendido entre 1 y 2 minutos.

Solución

X: variable aleatoria intervalo de tiempo necesario para atender a un cliente

2

3

3

2

60

40

1

=

=

=

=

λ

λ

μ

=

x

de

valor

otro

cualquier

para

x

para

e

x

F

x

0

0

1

)

(

2 3

P(x≥2)=1-P(x<2)= 1- F(2) = 1- (1-e-3x2/2)= e-3

(8)

13.-Supóngase que X tiene una distribución N(2;16). Determine las probabilidades siguientes:

a) P(X≥2.3) b) P(1.8≤X≤2.1)

Solución:

X tiene una distribución N(2;16).

4

2

=

=

σ

μ

a) P (x>2.3)= 1 – P(x<2.3)

2266

.

0

7734

.

0

1

)

75

.

0

(

1

)

4

.

0

2

3

.

2

(

1

=

=

<

<

Z

P

X

P

σ

μ

Valor tabla Z

b) P (1.8<x2.1)

2902

.

0

3085

.

0

5987

.

0

)

5

.

0

(

)

25

.

0

(

)

25

.

0

5

.

0

(

)

4

.

0

2

1

.

2

4

.

0

2

8

.

1

(

=

=

=

<

<

<

<

F

F

Z

P

X

P

σ

μ

Valor tabla Z

14.- Los ingresos semanales de los supervisores de turno de la industria del vidrio se rigen por una distribución de probabilidad normal con una media de $ 1000 y una desviación estándar de $100 ¿Cuál es el valor z para el ingreso X de un supervisor que percibes $1100 semanales? ¿Y para un supervisor que gana $900 semanales?

Solución:

X tiene una distribución N(1000;1002).

100

1000

=

=

σ

μ

1

100

1100

900

1

100

1000

1100

=

=

=

=

=

=

σ

μ

σ

μ

X

Z

X

Z

(9)

Solución:

X diámetro de un cable eléctrico

X tiene una distribución N(0.80;0.0004).

02

.

0

8

.

0

=

=

σ

μ

3085

.

0

6915

.

0

1

)

5

.

0

(

1

)

5

.

0

(

1

)

02

.

0

8

.

0

81

.

0

(

1

)

81

.

0

(

1

)

81

.

0

(

=

=

=

<

=

>

F

Z

P

X

P

X

P

x

P

σ

μ

Valor tabla Z

16.-Se sabe que los errores en cierto instrumento para medir longitudes están distribuidos normalmente con valor esperado cero y desviación estándar de 1 pulgada.¿cuál es la probabilidad de que al medir los errores, sean mayores de 1 pulgada, 2 pulgadas, 3 pulgadas?

Solución:

X error de una medida de longitud X tiene una distribución N(0;1).

1

0

=

=

σ

μ

a)

15866

.

0

84134

.

0

1

)

1

(

1

)

1

(

1

)

1

0

1

(

1

)

1

(

1

)

1

(

=

=

=

<

=

>

F

Z

P

X

P

X

P

x

P

σ

μ

Valor Tabla Z

b)

0228

.

0

9772

.

0

1

)

2

(

1

)

2

(

1

)

1

0

2

(

1

)

2

(

1

)

2

(

=

=

=

<

=

>

F

Z

P

X

P

X

P

x

P

σ

μ

Valor Tabla Z

c)

0013

.

0

9987

.

0

1

)

3

(

1

)

3

(

1

)

1

0

3

(

1

)

3

(

1

)

3

(

=

=

=

<

=

>

F

Z

P

X

P

X

P

x

P

σ

μ

(10)

17.- Supóngase que la temperatura (medida en °C) está distribuida normalmente con esperanza 50 y varianza 4¿cuál es la probabilidad de que la temperatura T esté entre 48 y 53 °C?

Solución: T: Temperatura

T ~ tiene una distribución N(50;4).

2

50

=

=

σ

μ

a)

7745

.

0

)

1

(

)

5

.

1

(

)

5

.

1

1

(

)

2

50

53

2

50

48

(

)

2

50

53

2

50

48

(

)

53

48

(

=

=

<

<

<

=

<

<

F

F

z

P

T

P

T

P

T

P

σ

μ

σ

μ

Valor Tabla Z

18.- Una pequeña ciudad es abastecida de agua cada 2 días; el consumo en volumen de agua para esta pequeña localidad tiene una distribución normal con media 20000 litros y desviación típica de 1000 litros (se entiende el consumo cada 2 días). Se trata de hallar la capacidad de su tanque de agua para que sea de sólo 0.01, la probabilidad que en un período de 2 días el agua no sea suficiente para satisfacer toda la demanda.

Solución:

X consumo de agua en un período de 2 días X tiene una distribución N(20000;10002).

1000

20000

=

=

σ

μ

a)

01

.

0

)

1000

20000

(

1

01

.

0

)

1000

20000

(

01

.

0

)

(

=

<

=

>

=

>

c

Z

P

c

X

P

c

x

P

σ

μ

22330

33

.

2

1000

20000

99

.

0

)

1000

20000

(

99

.

0

)

1000

20000

(

=

=

=

=

<

c

c

c

F

c

Z

P

(11)

19.- La fábrica de neumáticos “Duramas” produce un tipo de neumáticos que tiene una vida útil media de 80000 km y una desviación estándar de 8000 Km. Suponiendo que esta vida útil esta distribuida normalmente:

a) Cuál es la probabilidad que un neumático dure más de 96000 km?

b) El 50% de los neumáticos duran entre x1 y x2 kilométricos, Hallar los valores x1 y x2, si ellos son simétricos respecto a la media.

c) El fabricante garantiza que reemplazará gratis cualquier neumático con una duración sea inferior a x. Determinar el valor de x de modo que tenga que reemplazar sólo el 1% de los neumáticos.

Solución:

X vida útil de un neumático en km X tiene una distribución N(80000;80002).

8000

80000

=

=

σ

μ

a)

0228

.

0

9772

.

0

1

)

2

(

1

)

8000

80000

96000

(

1

)

96000

(

1

)

96000

(

=

=

<

<

<

=

>

Z

P

X

P

x

P

x

P

σ

μ

Valor Tabla de “Z”

b)

85360

67

.

0

74640

67

.

0

75

.

0

)

(

25

.

0

)

(

5

.

0

)

(

5

.

0

)

(

2 2 1

1

2 1

2 1

2 1

=

=

=

=

=

<

=

<

=

<

<

=

<

<

X

X

X

X

X

Z

P

X

Z

P

X

X

X

P

x

x

x

P

σ

μ

σ

μ

σ

μ

σ

μ

σ

μ

σ

μ

σ

μ

(12)

c)

61230

33

.

2

8000

80000

01

.

0

)

8000

80000

(

01

.

0

)

8000

80000

(

)

(

=

=

=

<

=

>

=

<

c

c

c

Z

P

c

X

P

c

x

P

σ

μ

Valor Tabla de “Z”

20.- Los registros de pérdida de peso por evaporación de cierto producto empacado muestran una pérdida media de 6.45 gramos con una desviación estándar de 1.30. Asumiendo una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que si se extraen dos paquetes al azar de un lote ambas muestran una pérdida de más de 8 gramos?

Solución:

X: peso del primer paquete Y: peso del segundo paquete

X e Y tiene una distribución N(media, varianza) y son independientes

3

.

1

45

.

6

=

=

σ

μ

0137

.

0

1170

.

0

*

1170

.

0

))

19

.

1

(

1

(

*

))

19

.

1

(

1

(

)

19

.

1

(

*

)

19

.

1

(

)

3

.

1

45

.

6

8

(

*

)

3

.

1

45

.

6

8

(

)

8

(

)

8

(

))

8

8

(

=

=

=

>

>

>

>

>

>

=

>

>

F

F

Z

P

Z

P

Y

P

X

P

Y

P

X

P

Y

x

P

σ

μ

σ

μ

Figure

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