APLICACIONES DE LA DERIVADA

TEMA ---

Análisis de funciones y Rapidez de cambio

esde la segunda mitad del siglo XVII, el cálculo se convirtió en el instrumento por excelencia para el estudio de los fenómenos naturales, porque, si algo caracteriza a la naturaleza, es que todo está en constante cambio, y el cálculo no se redujo sólo a estudiar al movimiento, es decir, al cambio de posición, sino también tomó como objeto de estudio al cambio en general.

En este tema se pretende la construcción de una respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cuál va a ser el valor de una magnitud que está cambiando?

o bien, a preguntas relacionadas a ella, como las siguientes: ¿Cuál fue el valor de una magnitud que está cambiando?

¿Cuándo una magnitud que está cambiando tomará determinado valor? ¿Cuándo una magnitud que está cambiando tomó determinado valor? y ¿Cuándo una magnitud toma su valor máximo (mínimo)?

El 26 de abril de 1986 es una fecha de no muy gratos recuerdos para los habitantes de Chernobyl, un área rural al norte de Kiev, en Ukrania. Ese día, fallas en la planta nuclear ubicada en esa región provocaron la liberación, en el medio ambiente, de elementos radiactivos. Estos elementos tienen una vida media lo suficientemente larga como para penetrar en órganos vitales del cuerpo humano de donde no es posible removerlos, causando cáncer u otras enfermedades. Se ha estimado que deberán transcurrir aproximadamente 100 años antes de que la región de Chernobyl sea de nuevo segura para que los humanos puedan habitarla.

¿Cómo se hizo esta estimación del tiempo que habrá de transcurrir para que sin riesgos la gente vuelva a habitar la región de Chernobyl? Pues bien, aquí está presente el Cálculo, en el sentido de que responde a la cuestión de predecir cuál va a ser el valor de una magnitud que está cambiando, en este caso, la cantidad de cierto elemento radiactivo.

La construcción de la respuesta a la pregunta de predecir valores futuros de una magnitud que está cambiando, la iremos realizando en primera instancia para el caso en que la magnitud a predecir, es la posición de un objeto que idealmente se está moviendo a lo largo de una línea recta. Una reflexión sobre esta cuestión nos conducirá a la sospecha de que bastará conocer la posición inicial y la velocidad con la que se está moviendo el objeto

D

Bajo el supuesto de que durante los primeros 10 minutos la temperatura de la taza de café disminuye uniformemente, tendremos que, al aumentar el tiempo de minuto en minuto, la temperatura disminuye de 3°C en 3°C; es decir, la d isminución se mantiene constante minuto a minuto, como podemos apreciar en la tabla de la izquierda.

20°

para predecir sus posiciones futuras. ¡Sospecha qué irás confirmando a lo largo del tema! Con la lectura anterior te habrás dado cuenta de la gran importancia del cálculo y sus aportaciones al desarrollo tecnológico. Enseguida te presentamos el soporte teórico – matemático de esta disciplina.

Si observas a tu alrededor podrás darte cuenta que nada permanece estático, la naturaleza misma esta en constante cambio.

El tema que iniciamos te permitirá conocer el origen de estos cambios y su repercusión en la vida cotidiana.

Una taza de café se calienta en un horno de microondas y alcanza una temperatura de 80°C. La taza de café se extrae del horno y se expone al medio ambiente que se encuentra a una temperatura de 20°C.

Para todo fin práctico supongamos que en los primeros 10 minutos, la temperatura de la taza de café disminuye uniformemente a razón de 3 °C por minuto.

Algunos puntos relacionados con esta situación son los siguientes:

Por ejemplo, la temperatura de 68°C que corresponde al tiempo de 4 minutos puede leerse así 68°C = 71°C – 3°C

t (minutos) T ( °C )

0 80

1 77

2 74

3 71

4 68

5 65

Temperatura al _{Lo que disminuye la temperatura}

Podemos construir diferentes tablas numéricas que relacionan la temperatura T (en °C) con el tiempo t (en minuto s). Una primera tabla la construimos rápidamente, si consideramos la disminución uniforme de la temperatura durante los primeros 10 minutos.

Sin embargo, tomando en cuenta el total de grados que ha bajado la temperatura desde el inicio (cuando t = 0), podemos interpretar el mismo valor de la siguiente manera:

68 °C = 80 °C - 12 °C

Este último punto de vista nos permite establecer que, en general, la temperatura a los t minutos se calcula como:

T= 80 - 3t

Es decir, en forma general, la ecuación que relaciona la temperatura T con el tiempo t es:

T = 80 - 3t

O bien:

T(t) = 80 – 3 t

Esta fórmula o expresión algebraica, nos permite precisar el valor de la temperatura en cualquier valor permisible de t, así como también precisar el tiempo en que la temperatura alcanza un valor determinado.

Asociada a esta situación, podemos dibujar la gráfica de la temperatura con respecto al tiempo:

Podemos reconocer que la gráfica correspondiente a la ecuación T = 80 - 3t

es una línea recta, sin embargo, para la representación gráfica de nuestra situación, deberemos considerar solamente una porción de esta recta, la porción correspondiente al intervalo de tiempo de 0 a 10 minutos, pues es entonces cuando (en nuestra situación-problema) se tiene la suposición de la disminución uniforme de la temperatura.

La temperatura

inicial (t = 0) Lo que disminuye la temperatura al transcurrir 4 minutos

La temperatura a los T minutos, T(t)

La temperatura inicial

Lo que disminuye la temperatura al transcurrir t minutos

1

100

La recta inicia en el eje T a la altura 80, que es la temperatura inicial, y el hecho de que disminuya uniformemente 3 grados por minuto, nos establece que la pendiente de esa recta es -3. Así pues, podemos dibujar manualmente el segmento de recta que decrece desde el punto (0 , 80) al punto (10 , 50), los cuales obtenemos al introducir t = 0 y t = 10 en la ecuación T = 80 - 3t

Aunque el dibujo no lo manifieste claramente por causa del manejo de diferentes escalas en los ejes t y T, sabemos que, independientemente del "cambio de tiempo" considerado, el cociente del "cambio de temperatura" entre el "cambio del tiempo" se mantiene constante, con valor -3.

La situación problemática que hemos abordado en este tema puede verse como caso particular de uno más general que se describe así:

"se tiene una magnitud de interés que cambia uniformemente con respecto al tiempo"

Si utilizamos la variable y para representar a la magnitud de interés, y si seguimos utilizando la variable t para representar al tiempo, podemos decir que:

"y cambia uniformemente con respecto a t" Y esto es lo mismo que afirmar que:

"la razón de cambio de y con respecto a t es constante"

Tal situación puede ser capturada matemáticamente por lo que llamaremos el modelo lineal, el cual cuenta con las características que enseguida enumeramos. La fórmula o expresión algebraica para la magnitud de interés en términos del tiempo es una ecuación lineal del estilo:

y = y0 + mt

En esta ecuación:

y representa el valor de la magnitud o valor final de la magnitud, o valor de la magnitud en el tiempo t.

y0 representa el valor inicial de la magnitud, esto es, el valor de y en el

tiempo t = O.

m representa la razón de cambio de la magnitud con respecto al tiempo.

t representa el tiempo. La ecuación lineal

y = y0 + mt

“cambio de Temperatura” = ∆ T =-3 “cambio de tiempo” _∆ t

∆T =-3

∆t

"El valor final de la magnitud es igual al valor inicial de la magnitud más lo que ha aumentado (o disminuido) desde el inicio"

Por su parte, el aumento (o disminución) de la magnitud se obtiene al multiplicar la razón de cambio de la magnitud con respecto al tiempo, por el tiempo.

Así que, podemos leer nuestra ecuación de la siguiente manera: y = y0 + mt

La gráfica de y contra t corresponde a una línea recta cuya pendiente es m y cuya ordenada al origen (punto donde pasa por el eje vertical) es y0.

En este caso, la razón de cambio de la magnitud respecto al tiempo es positiva (pendiente m > 0). Así, la magnitud aumenta o crece a medida que pasa el tiempo.

En este caso, la razón de cambio de la magnitud respecto al tiempo es negativa (pendiente m < 0). Así, la magnitud disminuye o decrece a medida que pasa el tiempo.

Cualquier tabla de valores correspondientes de t y y tiene la siguiente propiedad:

"A incrementos (aumentos) iguales del tiempo le corresponden aumentos o disminuciones iguales de la magnitud, sin importar qué tan pequeños o qué tan grandes

El valor final de la magnitud

El valor inicial de la magnitud

La razón de cambio de la magnitud con respecto al tiempo

El tiempo transcurrido

= ₊

•

y0 y

representación gráfica de

y= yo + mt

“Cambio de y” = ∆y =m (>0)

“Cambio de t” ∆t

Valor inicial de la magnitud

(en t=0)

t

“Cambio de y” = ∆y =m (<0)

“Cambio de t” ∆t

y

yo

Valor inicial de la magnitud

(en t=0)

Representación gráfica de

y= yo + mt

sean los incrementos en el tiempo".

Podemos ilustrar lo anterior en nuestra tabla "mejorada" de temperatura y tiempo en la taza de café; nota que hemos llamado y a la magnitud temperatura.

De hecho, esa propiedad nos establece que los "cambios de y" son proporcionales a los "cambios de t", y la constante de proporcionalidad es precisamente m.

∆ y = m _∆ y = m_∆t

∆ t

Si consideramos una tabla cualquiera, podemos escribir esta proporcionalidad así:

t y

.

.

.

.

.

.

t y

0 80

0.5 78.5

1 77

1.5 75.5

2 74

2.5 72.5

3 71

3.5 69.5

4 68

4.5 66.5

t y

.

.

.

.

.

.

t1 y1

.

.

.

.

.

.

∆y =-3

∆ t

∆y =-3

∆ t

Cambio de y = 72.5-77 = -4.5 = -3 Cambio de t 2.5 – 1 1.5

∆y = 68 -69.5 = - 1.5 = -3

∆ t 4 – 3.5 0.5

Luego,

y – y1 = m(t- t1)

que es lo mismo que

y = y1 + m(t- t1)

Esta última expresión coincide con lo que ya habíamos establecido anteriormente, pues nos dice que:

"el valor de y en t es igual a un valor anterior, y1 , más el cambio que sufre y cuando

el tiempo cambia de t1 a t".

Esto es:

Volviendo a la situación particular de la taza de café, recordemos que en ella asumimos que la temperatura disminuía a razón constante de 3°C por minuto durante los primeros 10 minutos. Sin embargo, al plantearte la situación pudieras haber advertido que, en la realidad, no es posible que la temperatura varíe a ritmo constante. . . ¿por qué?. . . si no lo advertiste antes, simplemente pregúntate ahora qué sucedería si así fuese. . .

En realidad, la temperatura disminuye de manera "no uniforme" y mantiene un comportamiento como el que podemos apreciar en el siguiente bosquejo de gráfica de T contra t. Observa que el comportamiento de la gráfica se presta a hacer aquella "suposición práctica" que manejamos en nuestra situación-problema.

En esta gráfica observamos que, aun cuando durante los primeros 10 minutos pudiésemos suponer prácticamente un comportamiento lineal, sin embargo, des-pués de ello las disminuciones de temperatura por minuto son menores que al principio, cuando la taza está recién extraída del horno. La razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo es una variable también.

y = y1 + m (t - t1)

Un nuevo valor de y

Un valor anterior Cambio de y corresponde al cambio de t

Un valor de y en tiempo de t1

Razón de cambio de

y respecto a t

Definición de movimiento variado o no uniforme

Un movimiento que no es uniforme es llamado movimiento variado. En otras palabras, un movimiento es variado si existen intervalos de tiempo iguales, en los cuales el móvil no recorre la misma distancia.

En la siguiente figura, se muestra la gráfica de la ecuación de posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta:

Resulta apresurado afirmar que el movimiento no es uniforme, dado que la gráfica de la ecuación de posición no es una línea recta. No obstante, vamos a analizar con detalle esa gráfica, a fin de tener una imagen más o menos general de lo que el movimiento variado puede ser. Para ello, supongamos que la recta sobre la cual se mueve la partícula, es hori-zontal y que las unidades en el sistema coordenado representan "metros" en la posición y "segundos" en el tiempo.

Sabemos que la posición inicial, es 4 metros y analizaremos el cambio de la posición en sucesivos intervalos de tiempo.

En el intervalo de tiempo de 0 a 2 segundos: la partícula se mueve a la izquierda, puesto que la posición está decreciendo; de modo que en ese intervalo de tiempo la velocidad es negativa. Sin embargo, la velocidad no es constante ya que en el subintervalo desde el 0 hasta el primer segundo, la partícula recorre una distancia de 1 metro, mientras que en el subintervalo de 1 a 2 segundos, recorre menos de un metro de distancia.

En el intervalo de tiempo de 2 a 4 segundos: la partícula se mueve a la derecha, puesto que la posición está creciendo, de modo que en todo ese intervalo de tiempo la velocidad es positiva. Sin embargo, no es constante ya que en el subintervalo de 2 a 3 segundos la partícula recorre una distancia menor a 1 metro, mientras que en el subintervalo de 3 a 4 segundos recorre 1 metro. De hecho, en todo el intervalo de tiempo de los 2 a los 4 segundos la partícula se mueve hacia a la derecha (la posición crece) cada vez más rápido.

En el intervalo de tiempo de 4 a 6 segundos: la partícula se mueve a la derecha, puesto que la posición está creciendo; así, en todo

ese intervalo la velocidad es positiva y en este caso, es constante, puesto que la parte de la gráfica correspondiente a ese intervalo es un segmento de recta. El observar un segmento de recta en la gráfica desde t = 4 hasta t = 6 nos garantiza que la partícula recorre distancias iguales en intervalos iguales de tiempo, cualesquiera que éstos sean, mientras estén comprendidos en el intervalo de tiempo de los 4 a los 6 segundos. Como podemos observar en la gráfica, la partícula recorre hacia la derecha una distancia de 4 metros en todo el intervalo de 4 a 6 segundos, por lo cual podemos afirmar que la velocidad constante con la que se mueve en ese intervalo es de 2 metros/segundo.

En el intervalo de tiempo de 8 a 10 segundos:

La partícula se mueve a la izquierda, Puesto que la posición está decreciendo; así, en ese intervalo la velocidad es negativa, pero, nuevamente, no es constante ya que en el subintervalo de 8 a 9 segundos la partícula recorre una distancia me-nor a 1 metro, mientras que en el subintervalo de 9 a 10 segundos recorre 1 metro. De hecho, en todo el intervalo de tiempo completo, la partícula se mueve hacia a la izquierda (la posición decrece) cada vez más rápido.

En el intervalo de tiempo de 10 a 12 segundos:

La partícula se mueve a la izquierda, puesto que la posición está decreciendo; de este modo, en todo ese intervalo la velocidad es negativa y en este caso, es constante. Afirmamos que es constante porque la parte de la gráfica correspondiente a ese intervalo de tiempo es un segmento de recta, lo cual garantiza que la partícula recorre distancias iguales en intervalos iguales de tiempo, cualesquiera que éstos sean, mientras estén comprendidos en el intervalo de los 10 a los 12 segundos. Como la partícula recorre hacia la izquierda una distancia de 4 metros en todo el intervalo de 10 a 12 segundos, entonces podemos determinar que la velocidad constante con la que se mueve en ese intervalo es de -2 metros/segundo.

En el intervalo de tiempo de 1 2 a 14 segundos:

El análisis anterior nos muestra, de una manera general, lo que puede pasar con la posición, en un movimiento variado o no uniforme.

• La posición puede crecer cada vez más rápido o cada vez más lento, • Puede decrecer cada vez más rápido o cada vez más lento,

• Pueden darse combinaciones de los anteriores comportamientos de la posición e, incluso, • Puede ser que la posición crezca o decrezca uniformemente en ciertos subintervalos del intervalo donde se analiza el movimiento.

Estos mismos comportamientos son los que, en forma general, se presentan cuando se está haciendo el análisis de cualquier magnitud. En ocasiones se pueden conocer esos comportamientos sin necesidad de obtener una ecuación que nos permita calcular los valores de la magnitud. Por ejemplo, consideremos la situación de un tanque con forma de cono circular recto que tiene las medidas de 4 metros de radio y 8 metros de altura. El tanque se está llenando de agua por una llave a razón constante de 5 litros por minuto. Si piensas detenidamente en la situación coincidirás en que el nivel del agua está creciendo cada vez más lento. No es necesario obtener la ecuación que nos permita predecir el nivel del agua en el tanque para saber lo anterior. Si suponemos que el tanque originalmente estaba vacío, la siguiente figura muestra gráficamente el comportamiento del nivel hasta el momento en que se llena el tanque.

Una c o n v e n c i ó n . . . Conveniente

n esta sección estableceremos una convención que nos permitirá graficar, con cierta fluidez, la ecuación de posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta a partir de la información que nos brinde la velocidad con la que se está moviendo. Inversamente, esta convención nos permitirá obtener información acerca de la velocidad a partir de la gráfica de la ecuación de posición.

Es de esperarse que, si en todo un intervalo de tiempo la velocidad posee una propiedad, entonces esto debería verse reflejado en la parte de la gráfica de la ecuación de posición correspondiente a dicho intervalo de tiempo; y viceversa, esperaríamos que comportamientos "iguales" en la gráfica de la ecuación de posición correspondientes a distintos intervalos de tiempo, deberían dar cuenta de que hay una propiedad de la velocidad que es común a dichos intervalos.

Anteriormente establecimos una convención relativa a la propiedad del signo de la

velocidad: sea ésta positiva o negativa...la partícula se mueve hacia la derecha o a la iz-quierda. Con esta información, podemos empezar el análisis del comportamiento de la velocidad cuando conocemos la gráfica de la ecuación de posición. Consideremos, por ejemplo la figura de la derecha que muestra la gráfica de la ecuación de posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta; al observarla, uno concluye que la velocidad es positiva en los intervalos de tiempo de los O a los 3 segundos y de los 9 a los 21 segundos; por otra parte, la velocidad es negativa en los intervalos de tiempo de los 3 a 9 segundos y de los 21 a los 24 segundos.

Ahora bien, según esta gráfica, en los intervalos de tiempo de 0 a 6, de 12 a 15 y de 18 a 24, la velocidad debe tener una propiedad común, ya que las partes de la gráfica corres-pondientes a dichos intervalos son cóncavas hacia abajo, esto es, esas partes de la gráfica de posición se van "doblando hacia abajo", independientemente de que estén creciendo o decreciendo.

En efecto, esa propiedad común que debe tener la velocidad para producir la concavidad hacia abajo en la gráfica de posición es la siguiente: los números que representan a las velocidades, como tales, están decreciendo. Observa, en particular, lo que ocurre en el intervalo de los 0 a los 6 segundos: los números que representan a las velocidades abar-can desde valores numéricos positivos (que se van "acerabar-cando" a 0) hasta valores numéricos negativos (que se van "alejando" del 0); en otras palabras, las velocidades decrecen.

Esta es, justamente, la propiedad de la velocidad que andábamos buscando, la cual hace que la gráfica de la posición "se doble hacia abajo"; nos referimos a la propiedad de que la velocidad sea decreciente. Observa detalladamente la figura siguiente, en donde hemos señalado las partes de la gráfica de posición que son cóncavas hacia abajo.

En esta figura se aprecia que cuando la velocidad es positiva, la posición crece, y en relación con la concavidad hacia abajo, el crecimiento es cada vez más lento.

Por otra parte, cuando la velocidad es negativa, la posición decrece, y de nuevo, como consecuencia de la concavidad hacia abajo, ese decrecimiento es cada vez más rápido.

En este momento, queremos resaltar una convención…. Que es conveniente: cuando escribamos la “velocidad decrece” o la “velocidad esta decreciendo”, lo haremos para indicar que los números que representan a la velocidad, como números, están decreciendo.

Habrás de entender el porqué de nuestra insistencia en analizar a fondo esta convención...y es que al decir "velocidad decreciente" no necesariamente se estará implicando con ello el decir que la partícula en cuestión se está moviendo cada vez más lento... esto bien pudiera dejarnos una sensación de conflicto... sin embargo, no hay tal. Lo conveniente de la convención establecida es que ella, a su vez, permite establecer el siguiente resultado:

Si en un intervalo de tiempo la velocidad está decreciendo, entonces la gráfica de la ecuación de posición es cóncava hacia abajo.

De igual manera, si convenimos en escribir la "velocidad crece" o la "velocidad está creciendo" para indicar que los números que la representan están creciendo, entonces, también podemos establecer el siguiente resultado:

Si en un intervalo de tiempo la velocidad está creciendo, entonces la gráfica de la ecuación de posición es cóncava hacia arriba.

abarcan desde valores numéricos negativos que se van "acercando" al 0 (de t = 6 a t = 9) hasta valores numéricos positivos que se van "alejando" del 0 (de t = 9 a t = 12). Argumenta ahora tú cómo en las otras partes señaladas se observa que los números que representan a la velocidad están creciendo.

T x Intervalo de

tiempo

La velocidad

0 -1 0 a 3 es negativa y está

creciendo

3 0 3 a 6 es positiva y está creciendo

6 1 6 a 8 es positiva y está

decreciendo

8 6 8 a 10 es negativa y está

decreciendo

10 4 10 a 12 es negativa y está

creciendo

12 1 12 en adelante es positiva y está creciendo

De la primera tabla se desprende que los siguientes puntos están en la gráfica de la ecuación:

Si solamente consideramos esta información de la primera tabla, estarás de acuerdo en que cualquiera de las gráficas que dibujamos en la siguiente figura cumple en lo particular con lo establecido en la tabla.

Intervalo de tiempo

La velocidad Gráfica de la ecuación de

posición

0 a 3 es negativa y está creciendo decreciente y cóncava hacia arriba

3 a 6 es positiva y está creciendo creciente y cóncava hacia arriba

6 a 8 es positiva y está decreciendo creciente y cóncava hacia abajo

8 a 10 es negativa y está decreciendo decreciente y cóncava hacia abajo

10 a 12 es negativa y está creciendo decreciente y cóncava hacia arriba

12 en adelante es positiva y está creciendo creciente y cóncava hacia arriba

Si solamente consideramos la información de esta tabla con su tercera columna, sin tomar en cuenta los datos de la posición dados en la primera tabla, podemos trazar cual-quiera de las gráficas que dibujamos en la siguiente figura y estarás de acuerdo en que todas ellas (y muchas otras más) cumplen con la información.

Con todo lo anterior, podemos concluir con las siguientes convenciones, Si decimos:

La razón decrece ò la razón está decreciendo

Lo haremos para indicar que los números que representan a esa razón, como números, están decreciendo.

O bien, cuando expresemos:

La razón crece ó la razón está creciendo

lo haremos para indicar que los números que representan a esa razón, como números, están creciendo.

Con lo anterior, tendremos establecidos los siguientes resultados:

Si en un intervalo de tiempo la razón está decreciendo, entonces, la gráfica de la ecuación que da cuenta de los valores de la magnitud es cóncava hacia abajo.

Si en un intervalo de tiempo la razón está creciendo, entonces, la gráfica de la ecuación que da cuenta de los valores de la magnitud es cóncava hacia arriba.

Actividades de aprendizaje

Haciendo uso del conocimiento adquirido en tu lectura, contesta las preguntas que va generando el planteamiento de los siguientes problemas:

1.- Imagina que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta

Este objeto puede ser un ... desplazándose en un tramo recto de una carretera.

o bien un ... ... en un intervalo de tiempo inmediatamente después de ser lanzado desde tierra.

o bien una que se deja caer desde lo alto de la torre de….

En cualquiera de estas situaciones ... ¡u otras tantas que tú te puedas imaginar ! podemos "ver" a los diferentes objetos como si se tratara de una ...

¿Con qué información puedes predecir cuál será la posición del objeto (partícula), digamos ... dentro de 5 segundos?

2.- Supongamos que una partícula se está moviendo sobre una línea recta en la cual tenemos definido un sistema de coordenadas. La partícula se está moviendo con velocidad constante de 3 metros/segundo y en este instante (t = 0) su posición está dada por X0= 2 metros.

a) ¿Cuál será la posición de la partícula dentro de 1 segundo? ______ b) ¿Cuál será la posición de la partícula dentro de 2 segundos?______ c) ¿Cuál será la posición de la partícula dentro de 3 segundos?______ d) ¿Cuál será la posición de la partícula dentro de t segundos?______

Sea x la posición (en metros) de la partícula cuando han transcurrido t segundos, entonces;

Gráfica esta ecuación en el sistema de coordenadas que se muestra a continuación:

3.- ¿Qué significa que una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, lo haga con velocidad constante?

a) En la siguiente tabla se indican las posiciones de una partícula en ciertos instantes:

Tiempo t (segundos)

Posición x (metros)

0 0

2 3

4 6

6 9

8 12

b) ¿Puedes, con esta información, asegurar que la partícula se mueve con velocidad constante?

c) ¿Contradice esto la definición que acabas de dar del movimiento con velocidad constante?

4.- Una llave está llenando de agua un tanque del tal manera que el nivel del agua está cambiando uniformemente a razón de 5 centíme-tros / minuto. La altura del tanque es de 98 centímecentíme-tros y en este instante (t =0) el nivel del agua es de 10 centímetros.

a) Construye una ecuación a través de la cual se pueda predecir el nivel h (en centí-metros) del agua en el tanque cuando transcurre un número "arbitrario" de t minutos.

c) Gráfica la ecuación del nivel h en el sistema coordenado siguiente:

5.- Un montañista llega a la cumbre de una gran montaña cuya altura se desconoce. Se reporta por radio con su compañero que se encuentra en la parte más baja de la montaña, y le informa que la temperatura allá arriba es de -1° centígrado. Su compañero observa que el termómetro marca 20° centígrados ahí abajo.

Información importante:

Se conoce que la temperatura de la atmósfera en la primera de sus capas (la troposfera) disminuye uniformemente con respecto a la altitud, lo hace a razón de -6 ° centígrados/ kilómetro.

a) Construye la ecuación que nos permita predecir la temperatura t para diferentes alturas h.

b) ¿Cuál es la altura de la montaña?

6.- Analiza la trayectoria de la siguiente partícula:

b) ¿Hay intervalos de tiempo en los que la partícula se mueve con velocidad constante? En caso afirmativo, indícalos y di cuál es el valor de la velocidad (constante) que lleva la partícula en cada uno de ellos?

c) ¿Qué significa que una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta lo haga con velocidad variable?

Actividades de evaluación.

En la figura siguiente se muestra la gráfica de la ecuación de posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta

a) Observa el comportamiento de la velocidad en los intervalos de tiempo: de los 3 a los 9 segundos y de los 2 1 a los 24 segundos. ¿Qué propiedad común tiene la velocidad en cada uno de esos intervalos de tiempo? Justifica tu respuesta.

b) Observa el comportamiento de la velocidad en los intervalos de tiempo: de los 0 a los 3 segundos y de los 9 a los 21. ¿Qué propiedad común tiene la velocidad en cada uno de esos intervalos de tiempo? Justifica tu respuesta.

c) Observa el comportamiento de la velocidad en los intervalos de tiempo: de los 6 a los 12 segundos y de los 15 a los 18 segundos. ¿Qué propiedad común tienda velocidad en cada uno de esos intervalos de tiempo? Justifica tu respuesta.

d) Observa el comportamiento de la velocidad en los intervalos de tiempo: de los 0 a los 6 segundos, de los 12 a los 15 segundos y de los 18 a los 24 segundos, ¿Qué propiedad común tiene la velocidad en cada uno de esos intervalos de tiempo? Justifica tu respuesta.

TEMA ---

ÁREAS BAJO LA CURVA

n este tema que iniciamos conocerás como se calcula áreas bajo curvas. Esta es una de las principales aplicaciones del cálculo integral, por demás interesante y de gran importancia.

En la geometría euclidiana, el tipo más simple de región plana es el rectángulo. Si bien con frecuencia decimos que la fórmula para el área de un rectángulo es A = bh, como muestra la Figura 5.5, de hecho es mas apropiado decir que ésta es la definición del área de un rectángulo.

A partir de esta definición podemos desarrollar fórmulas para las áreas de otras muchas regiones planas. Por ejemplo, para determinar el área de un triángulo, podemos formar un rectángulo cuya área es el doble de la del triángulo, tal como se muestra en la Figura 5.6. Una vez que sabemos como hallar el área de un triángulo, podemos determinar el área de cualquier polígono mediante la división del polígono en regiones triangulares, como se observa en la Figura 5.7

Cuando pasamos de polígonos a regiones planas más generales, hallar el área siempre resulta más difícil. Los antiguos griegos fueron capaces de encontrar fórmulas para resolver el área de algunas regiones generales (principalmente aquellas acotadas por cónicas) por el método de agotamiento.

La descripción más clara de este método fue mostrada por Arquímedes (287-212 a.C.). Esencialmente, el método es un proceso al límite en el cual se encaja el área entre dos polígonos —uno inscrito en la región y otro circunscrito a la región—. El proceso que usamos para determinar el área de una región plana es similar al empleado por Arquímedes.

El área de una región plana

Resolveremos el problema general de encontrar el área de una región en el plano, mediante un ejemplo.

Aproximando el área de una región plana.

Usando los cinco rectángulos de las Figuras 5.8 y 5.9 tratar de encontrar dos aproximaciones al

E

DEFINICION DEL AREA El área de un rectángulo de altura h y base de DE UN RECTANGULO longitud b es A=bh

área de la región situada entre la gráfica de f(x) = - x2 + 5 y el eje x entre x =0 y x = 2.

Solución: Podemos hallar la altura de los cinco rectángulos que se muestran en la Figura 5.8 mediante la evaluación de la función en los puntos terminales derechos de cada uno de los intervalos siguientes:

Puesto que el ancho de cada rectángulo es 2/5, la suma de las áreas de los cinco rectángulos es

Y dado que cada uno de estos cinco rectángulos está dentro de la región dada, concluimos que el área de la región es mayor que 6.48. Para calcular la suma de las áreas de los cinco rectángulos en la Figura 5.9, usamos el mismo procedimiento básico, excepto que evaluamos f en los puntos iniciales izquierdos de los intervalos y obtenemos

A partir de la Figura 5.9, vemos que el área de la región dada es menor que 8.08. Combinando estos dos resultados, concluimos que el área de la región dada está entre las dos acotaciones

6.48 < área de la región < 8.08

En forma general, siendo la magnitud M dependiente de la magnitud x, conociendo un valor de ella, M (a), y conociendo su razón de cambio, r(x ), entonces, podemos expresar la magnitud mediante:

Observa que para poder poner a funcionar esta expresión, es necesario que sepamos encontrar una antiderivada de r (x). Sin embargo, si no pudiésemos conseguir la antiderivada, siempre tendríamos la alternativa de "discretizar" la integral y aproximar su valor mediante el Método de Euler.

Nos interesa analizar una dificultad que no habíamos considerado, cabe la posibilidad de que no conozcamos el comportamiento de la razón de cambio r (x).

Nuestro propósito es construir una alternativa que permita resolver la dificultad del desconocimiento de la razón de cambio. La estrategia que introduciremos está basada en el uso de los diferenciales y es utilizada frecuentemente en la Física, donde se conoce como la "toma del elemento diferencial".

Básicamente la idea que se pone en juego con esta estrategia consiste de los siguientes pasos:

• "Tomar" un diferencial (una parte infinitamente pequeña) de la magnitud que se desea calcular,

• Reconocer su expresión algebraica a través de consideraciones infinitesimales asociadas a los diferenciales,

• Aplicar la regla para operar sobre ellos, y después,

• "Reconstruir" la magnitud, sumando esas partes infinitamente pequeñas, o lo que es lo mismo, "integrar" (conseguir la magnitud entera).

La situación-problema que presentamos enseguida dará cabida a la aplicación de esta estrategia en el caso particular de obtener la fórmula que calcula el área bajo la gráfica de una función.

Dada la siguiente figura, que representa la gráfica de la función y = f (x), nuestro propósito es encontrar la fórmula para calcular el área de la región sombreada, esto es, el área bajo la gráfica de y = f(x) y comprendida entre el eje x y las rectas x = a y x= b.

En principio, debemos visualizar la función área A (x ) la cual, para cada valor de x entre a y b, denotará el valor numérico del área bajo la gráfica de y = f(x), comprendida sobre el eje xy entre la recta x = a y la vertical levantada en x.

( )

=

( )

+

_∫

x

( )

a

dx

x

r

a

M

x

Correspondiente a la porción infinitesimal dx en el eje x, existe una porción infinitesimal de la región; la franja vertical que se ilustra en la figura. El área de esa porción infinitesimal la denotaremos por dA, es el diferencial de área. La parte superior de esa franja corresponde con una porción infinitesimal de la curva; y por tanto, es recta. En la figura te mostramos también un acercamiento de la franja, donde se puede ver que está formada por un rectángulo y un triángulo (el triángulo característico).

Luego, el área de la franja vertical, dA, es la suma del área del rectángulo con la del triángulo, esto es:

pero sabemos que entonces, el diferencial de área queda expresado

como: luego

Aplicando la regla para operar con los diferenciales, la expresión del diferencial dA se convierte en:

pues eliminamos el término que contiene el dx con potencia 2 (cuadrado).

( )

x

dx

f

dy

=

´

( )

x

dx

dx

(

f

( )

x

dx

)

f

dA

´

2

1

+

=

( )

( )( )

2

´

2

1

dx

x

f

dx

x

f

dA

=

+

( )

x

dx

f

Tenemos de este modo identificado el diferencial de área, ahora retomemos el conocimiento sobre el modo de calcular el cambio acumulado:

Es decir, el ÁREA desde a hasta b, es igual a

Su valor concreto puede obtenerse a través de una antiderivada para f(x ) o bien por el método de Euler, dependiendo si podemos antiderivar o no a la función f(x).

Reforcemos lo que hemos aprendido hasta aquí, aplicándolo en la siguiente situación-problema:

Consideremos al área bajo la parábola:

desde 0 hasta x y representemos a esa magnitud por A (x ). ¿Cuál es la razón de cambio de A(x) con respecto a x ?

Calcula el área debajo de la gráfica desde x = 1 hasta x = 3.

La razón de cambio de A(x) con respecto a x puede obtenerse de la expresión del diferencial de área. Por el análisis de la situación-problema anterior sabemos que:

( )

x

dx

f

dA

=

En donde

dA = f(x) y así dx

Es decir, la razón de cambio de la función de área A(x ), es precisamente f(x ). En particular, en nuestra situación-problema, tenemos que:

Para calcular el área bajo la gráfica de f(x) utilizamos la fórmula: = =

=

ÁREA

bajo la curva desde a hasta b

Cambio acumulado

del área A en el [a, b] A(b) – A(a)

_dA

_f

( )

_x

_dx

b

a

∫

=

∫

( )

x

dx

f

AREA

b

a

∫

=

( )

=

2

+

3

=

f

x

x

y

( ) ( )

x

f

x

A

´

=

( ) ( )

3

´

x

=

f

x

=

x

2

+

A

( )

x

dx

f

AREA

b

a

∫

En nuestro caso:

3 44

= Unidades cuadradas

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE:

Ahora te invitamos a poner en práctica tus conocimientos resolviendo el ejercicio planteado a continuación:

Calcula el área comprendida bajo la curva.

CONTINÚA CON TU AUTOAPRENDIZAJE, CON ENTUSIASMO Y RESPONSABILIDAD

Evaluada en 1 y 3

Antiderivada de f(x)

( )

( )

( )

( )

( )













+

−













+

=













+

=

+

=

_∫

3

1

3

1

3

3

3

3

3

3

3

3 3

3

1

3

1 3

2

x

x

dx

x

VOLÚMENES SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

espués de haber aprendido a calcular el área bajo una curva, estas preparado para saber como determinar el volumen de sólidos de revolución. Estos se encuentran con frecuencia en ingeniería y procesos de producción.

Son ejemplos de sólidos de revolución: Ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. Enseguida conocerás matemáticamente este tema.

Asociadas con la gráfica de una función y = f (x), podemos encontrar diversas magnitudes geométricas como las indicamos aquí:

Todas estas magnitudes geométricas, a su vez, pueden concebirse como el cambio acumulado de una magnitud que varía.

En las siguientes figuras, imagina que las magnitudes aludidas están produciéndose de una manera dinámica, en el tiempo, a medida que la variable x se mueve hacia la derecha. Cada una de ellas puede verse como función de la variable x.

De esta manera, es posible interpretar valores particulares de cada una de estas funciones. Interpretemos el valor que se determina desde a hasta b:

Retomando el cambio acumulado de una magnitud, podemos pensar en una manera de calcular estas magnitudes, de hecho, la intención es construir fórmulas para calcular las magnitudes.

podríamos calcularlo con el método de las antiderivadas; pero claro, a esto habría que agregarle el que sea posible conseguir una de las antiderivadas para la razón de cambio.

Por otra parte, si no nos fuese posible conseguir esa antiderivada, podríamos obtener un cálculo aproximado de la magnitud en cuestión, utilizando para ello el método de Euler.

Sin embargo, la dificultad para utilizar directamente esas estrategias radica preci-samente en que, para la magnitud que nos interesa, no se conoce la fórmula de la razón de cambio.

La alternativa ante esta dificultad consiste en recurrir a la estrategia de la toma del elemento diferencial consistente en:

• "Tomar" un diferencial (una parte infinitamente pequeña) de la magnitud que se desea calcular,

• Reconocer su expresión algebraica a través de consideraciones infinite-simales asociadas a los diferenciales,

• Aplicar la regla para operar sobre ellos, y después,

• "Reconstruir" la magnitud, sumando esas partes infinitamente pequeñas, o lo que es lo mismo, "integrar" (conseguir la magnitud entera).

Empleamos esta estrategia para obtener la fórmula que calcula el área bajo la gráfica de una función.

Con la lectura anterior, seguro ya tienes una idea más clara acerca de los sólidos de revolución, a continuación encontraras el soporte teórico de este tema; que te ayudará a su comprensión. Enseguida construiremos las fórmulas para calcular la longitud de arco y el volumen de sólidos de revolución, utilizando la estrategia de la "toma del elemento diferencial".

La intención de la siguiente situación problema es aplicarla en el cálculo de la longitud de una porción de curva. La idea que encierra esa estrategia para conseguir la fórmula que calcula la longitud consiste en lo siguiente: vamos a concebir a la curva como formada por una "infinidad de pedacitos rectos", así, calculamos la longitud de cada uno de ellos y sumamos esas

longitudes.

Sea y = f (x) una función, y tomemos la porción de la gráfica correspondiente a los valores de x = a y x = b, con a < b.

La estrategia que seguiremos con el propósito de construir la fórmula para la longitud de curva consiste en tomar un diferencial de la curva y calcular su longitud, con lo que habremos conseguido un diferencial de longitud, y finalmente, vamos a integrar ese diferencial consiguiendo de esta manera la longitud total.

Un diferencial de longitud (dL) se puede obtener tomando la porción infinitesimal de la curva correspondiente a la porción infinitesimal dx. Observa la siguiente figura y el "acercamiento" de ella.

Si nos fijamos en el triángulo característico, podemos precisar que, por el Teorema de Pitágoras:

Ya que dL es la hipotenusa de un triángulo rectángulo (aunque infinitesimal). Ahora sumemos desde a hasta b, esto es, integremos el diferencial y así tenemos.

Saquemos factor común dentro del radical y podremos, además, sacar el factor dx del radical:

Si ordenamos convenientemente la expresión anterior estaremos ante la formula buscada.

La fórmula que hemos obtenido en el análisis anterior nos proporciona una manera de concluir que, la razón de cambio de la longitud L con respecto a x está dada por la expresión:

Porque obtuvimos que:

y por tanto:

De este modo, aunque la dificultad en esta situación-problema era no contar en

2 2

dy

dx

dL

=

+

∫

=

∫

+ = b a dy dx dL

L 2 2

dx dx dy dx dy dx L b a b a

∫

∫

_= +      + = 2 2 2 2 2 1 1

( )

(

)

∫

∫

 = +      + = b a b a dx x f dx dx dy L 2 2 ´ 1 1

( )

(

f

´

x

)

2

dx

1

+

( )

(

f x

)

dx dL= 1+ ´ 2

(

)

2

) ´( 1 f x dx

habiendo aplicado la estrategia de la "toma del diferencial", hemos arribado en forma indirecta con esa razón de cambio.

• Contar con la razón de cambio de la longitud con respecto a x es una ventaja, pues resulta que en realidad, cuando la fórmula para la longitud es aplicada a funciones sencillas, puede complicarse la obtención de la antiderivada, y en-tonces, en esos casos, podemos recurrir a aplicar el método de aproximación que ya tenemos (método de Euler), para encontrar valores aproximados de la longitud.

• La fórmula de la integral para la longitud L captura lo que ya se sabe; así que, permite calcular, en particular, longitudes de tramos rectos.

Con intención de preparar el camino para aplicar la estrategia de la "toma del dife-rencial" para el cálculo de volúmenes te proponemos analizar la siguiente situación-problema.

1) Considera los siguientes dibujos en donde te presentamos diferentes regiones sombreadas:

Al girar esas regiones alrededor del eje x, se producen figuras geométricas conocidas. Reconoce, en cada caso, la figura que se obtiene. Haz un dibujo de ella, señala sus dimensiones y escribe la fórmula de su volumen.

2) Considera después la siguiente figura sombreada, e imagina el sólido que se forma al girar esa región alrededor del eje x. Calcula el volumen del sólido de revolución generado.

Al girar el rectángulo alrededor del eje x se genera un cilindro de radio de base r y de altura b; luego, su volumen es:

V= (área base) (altura)

V= (¶ r2) (b) V= ¶ r2 b

Al girar el triángulo alrededor del eje x se genera un cono con radio de base r y altura h; su volumen se calcula con:

3 1 =

V (área base) (altura)

El medio círculo al girar alrededor del eje x genera una esfera de radio r; su volumen se calcula con la fórmula:

Ahora, analicemos el caso en que se gira la región sombreada siguiente:

Al girar alrededor del eje x, se forma un sólido de revolución, el cual podemos reconocer como un "cono truncado". Su volumen se puede calcular si obtenemos la diferencia entre el volumen del cono mayor y el volumen del cono menor. Así que nuestro objetivo ahora es calcular ambos volúmenes.

Estos conos (el mayor y el menor), se obtienen girando, respectivamente, los triángulos señalados en las siguientes figuras:

(

r

)

( )

h

V 2

3 1 _π

=

h r

V 2

3 1 _π

=

3

4 3

r

Las alturas de esos conos, por el momento, no podemos escribirlas en términos de los datos que nos proporcionan, pero podemos suponer que h sea la altura del cono menor, y entonces h + a será la altura del cono mayor.

Con la h, estamos introduciendo una nueva variable en nuestros cálculos; sin embargo podemos expresar h en términos de las variables originales si observamos que los triángulos A y B que indicamos en la figura, son triángulos semejantes:

Luego: h = a y b

De aquí que:

h = y a

b

Tenemos el valor de h, que es la altura del cono menor, calculemos ahora su volumen, el cual indicaremos por Vmenor Para este cono, el radio de la base es y y su altura es h

= y a , entonces: b

Para calcular el volumen del cono mayor, el cual denotaremos por Vmayor, notamos que el radio de la base es y + b y que su altura es h + a, luego:

y si sustituimos el valor de h = y a tenemos que: b

Luego el volumen del sólido de revolución pedido es la resta de estos volúmenes; la cual realizamos algebraicamente a continuación:

=

−

menor mayor

V

V

(

)

b a y a b a y b

y 2 3

3 1 3

1 _{π − π}

      + + =

(

)

        −       + + = b a y a b a y b y 3 2 3 1_π

En el triángulo A En el triángulo B

b

a

y

b

a

y

y

V

_menor 3 2

3

1

3

1

_π

_π

=













=

(

y

b

) (

h

a

)

V

_mayor

=

+

2

+

(

)

      −       + + + = b a y a b a y b by y 3 2 2 2 3 1 π       − + + + + + = b a y a b b a y b bya b a by a y b a y 3 2 2 2 2 3 2 2 3 1

_π

[

y2a 2 y2a 2bya bya b2a

]

3 1 + + + + =

π

[

3y2a 3bya b2a

]

3 1 + + = π a b aby

ay 2 2

3 1 π π π + + =

Por lo tanto, hemos obtenido una fórmula para calcular el volumen del cono truncado que se genera al rotar la figura sombreada alrededor del eje x.

a

b

aby

ay

Volumen

2 2

3

1

_π

π

π

+

+

=

Después del análisis de la situación – problema que presentamos, estamos preparados para poner nuestra atención en construir la fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución:

Consideremos la región sombreada que se muestra en la siguiente figura; región acotada bajo la gráfica de y = f(x), sobre el eje x = a y x = b.

Tomemos un diferencial, dx, en el eje x, y levantemos verticales en sus extremos; entonces, en la figura plana se obtiene una franja vertical:

Por nuestras consideraciones infinitesimales al tomar diferenciales, el tramo de la gráfica de la función f(x) que corresponde a dx, es un tramo recto. Al hacer un acercamiento a la franja vertical, obtenemos justo la figura que analizamos en nuestra situación problema anterior.

Entonces, al girar esta franja alrededor del eje x se produce una porción infinitesimal del sólido de revolución completo. El volumen de esa porción, corresponde a un diferencial de volumen, dV. Nos interesa poder precisar ese diferencial en términos de f(x).

Comparando la figura anterior con la que presentamos en la segunda parte de la situación problema, observamos que las únicas diferencias son:

La letra b equivale a dy La letra a equivale a dx

Podemos entonces utilizar la fórmula que obtuvimos para el volumen del cono truncado

Sustituimos a por dx, b por dy y obtenemos nuestro diferencial de volumen:

y como dy = f‘ (x) dx entonces:

a

b

aby

ay

Volumen

2 2

3

1

_π

π

π

+

+

=

( )

2 2

3

1

dy

dx

ydxdy

dx

y

dV

=

π

+

π

+

π

( )( )

2

(

( )

) ( )

2 3 2

´ 3 1

´ x dx f x dx

yf dx y

Aplicamos ahora la regla para operar con los diferenciales, eliminando así los diferenciales de orden superior:

dV = ¶ y2dx

Luego, habiendo tomado el diferencial dV, procedemos a calcular el volumen del sólido de revolución al integrar ese diferencial dV.

Esta es la fórmula que permite calcular el volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de y = f(x) en [a, b]

alrededor del eje x.

Claro que, para dar con el valor numérico del volumen, necesitamos poder encontrar una antiderivada de la función ¶ (f(x))2. En el caso en que f(x) es una función polinomial, el problema es simple, pero si no fuese así, si no encontrásemos una antiderivada, nuestro conocimiento abarca el poder utilizar el método de Euler para aproximar el valor numérico del volumen.

Aplicar ese método implica reconocer que la razón con la que cambia el volumen V (x) con respecto a x está dada por:

dv = ¶ y2 o sea dv = ¶ (f(x))2

dx dx

Para concluir este tema, veamos en el siguiente ejemplo la aplicación del cálculo del volumen de un sólido de revolución particular.

Vamos a calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al girar alrededor del eje x la figura siguiente:

Utilizamos la fórmula que hemos construido, en la cual, basta sustituir

f (x ) por x2 y los valores de a y b indicados:

Unidades cuadradas

( )

(

)

∫

∫

∫

= = = b a b a dx x f dx y dV

V

π

2

π

2

( )

(

)

∫

= b a dx x f

V

π

2

( )

(

)

( )

]

2

1 2 1 2 1 5 4 2 2 2 5

∫

=

∫

=

∫

= =b a x dx x dx x dx x f

V

π

π

π

π

antiderivada de x4

( )

( )

₁₉

_.

₄₆

5

1

5

2

5 5

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE

Ahora, con la guía de tu facilitador pon en práctica los conocimientos adquiridos y resuelve lo que a continuación se te plantea.

Calcula el volumen del sólido de revolución, que se obtiene al girar alrededor del eje x la siguiente figura.

¡MUCHAS FELICIDADES!..

...

Esperamos haber cubierto tus expectativas de aplicación del cálculo

….