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Resolvemos problemas y descubrimos las propiedades de la división en números naturales

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Academic year: 2020

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(1)TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS DE LA COMUNICACIÓN ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA. Resolvemos problemas y descubrimos las propiedades de la división en números naturales.. Trabajo de Suficiencia Profesional para optar el Título de Licenciada en Educación Secundaria Mención Ciencias Matemáticas. Autora: Br. Villanueva Ramirez Jacqueline Yohanna. TRUJILLO – PERÚ 2019. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Dedicatoria. A Dios por permitirme culminar mis estudios y guiarme en todo momento de mi vida.. A mis padres e hijo quienes, con amor y apoyo constante contribuyen a mi realización profesional.. ii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Jurado Dictaminador. Dra. Rafael Sánchez, Aurea Elizabeth Presidenta. Mg. Yupanqui Pereda, Juan Secretario. Mg. Gonzalez Villanueva, Daniel Antonio Miembro. iii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Agradecimiento. Reconocer y expresar un profundo agradecimiento al Programa de Formación Docente PREFORD de la Universidad Nacional de Trujillo por formar verdaderos maestros, protagonistas de los cambios educativos en nuestra sociedad peruana. A los señores profesionales de la Escuela Académica Profesional de Educación Secundaria de la Universidad Nacional de Trujillo, por sus valiosos conocimientos y experiencias recibidas en mi formación académica y profesional. Así mismo, expresar mi agradecimiento a todos los profesionales quienes con sus enseñanzas me ayudaron a elaborar el presente y consolidarme como licenciada en Educación Secundaria.. La Autora. iv. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Índice. Dedicatoria ........................................................................................................................... ii Jurado dictaminador ............................................................................................................ iii Agradecimiento ................................................................................................................... iv Índice .................................................................................................................................... v Presentación ....................................................................................................................... vii Resumen ............................................................................................................................ viii Abstract ............................................................................................................................... ix Introducción ....................................................................................................................... 10 I.. Diseño de la Sesión de Aprendizaje Implementada .................................................... 11 1.1 Datos informativos ............................................................................................... 11 1.2 Aprendizajes esperados ........................................................................................ 12 1.3 Estrategias metodológicas .................................................................................... 13 1.4 Evaluación formativa ........................................................................................... 16 1.5 Extensión o tarea de aplicación............................................................................ 16 1.6 Referencias bibliográficas .................................................................................... 16. II. Sustento Teórico ........................................................................................................... 18 2.1 Cuerpo temático ................................................................................................... 18 2.1.1 La matemática escolar ................................................................................ 18 2.1.2 El sistema de los números naturales ........................................................... 18 2.1.3 División en N: propiedades ........................................................................ 21 2.1.4 Aplicación científica del tema. ................................................................... 23 III. Sustento Pedagógico ................................................................................................... 24 3.1. Cuerpo temático ................................................................................................... 24 3.1.1 Etapas del desarrollo cognitivo .................................................................. 25 3.1.1.1 Etapa sensorio - motora o sensiomotriz. ........................................ 25 3.1.1.2 Etapa preoperacional. .................................................................... 25 3.1.1.3 Etapa de las operaciones concretas. ............................................... 25 3.1.1.4 Etapa de las operaciones formales. ................................................ 26 3.1.2 Desarrollo. .................................................................................................. 27 v. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 3.1.2.1 Enfoques Pedagógico del Área de Matemática ............................. 27 3.1.2.2 Los procesos pedagógicos en la sesión de aprendizaje. ................ 28 3.1.2.3 Demanda cognitiva ........................................................................ 29 3.1.3 Momentos de la sesión de aprendizaje ....................................................... 32 3.1.4 Procesos didácticos en la sesión de aprendizaje. ........................................ 34 Conclusiones ...................................................................................................................... 35 Referencias Bibliográficas ................................................................................................. 36 ANEXOS............................................................................................................................ 38. vi. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Presentación. Señores miembros del jurado, de conformidad con las disposiciones vigentes en el reglamento de Grados y Títulos de la Universidad Nacional de Trujillo, facultad de Educación y Ciencias de la Comunicación, Escuela Académica Profesional de Educación Secundaria, y de PREFORD, someto a vuestra consideración el trabajo de Suficiencia Profesional, cuyo tema es “Propiedades de la división en el sistema de números naturales” correspondiente al área de Matemática, cuyo contenido constituye el informe del trabajo, con la finalidad de optar el título de Licenciado en Educación, con mención en Matemática. El desarrollo del presente trabajo ha sido elaborado poniendo en práctica los conocimientos adquiridos durante mi formación académica y sobre la base de los lineamientos dispuestos en el reglamento para el informe de trabajo de Suficiencia Profesional de PREFORD y constituye el resultado de la investigación realizada. Consultando fuentes bibliográficas e investigaciones.. La Autora. vii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Resumen. En el presente trabajo se desarrolló el tema Propiedades de la División en el Sistema de los Números Naturales, para lo cual se presenta un diseño de sesión de aprendizaje sustentado en el enfoque de resolución de problemas que corresponde al área de matemática para Educación Básica Regular. Fundamentalmente que se debe partir de situaciones problemáticas para solucionar mediante estrategias y así los estudiantes desarrollen capacidades de resolver problemas concretos. Se trata de las propiedades de la división en el sistema de los números naturales se considera como tal el conjunto N en relación con las operaciones y sus correspondientes propiedades; es decir el sistema de los números naturales es un conjunto provisto de dos operaciones básicas: Adición y la multiplicación y una relación de orden. En este sentido se destaca la no cerradura del sistema de los números naturales respecto a la división, este último restringe el tratamiento de dichas propiedades a la división exacta, pude ser también la división euclidiana o inexacta que por motivos de tiempo se debe incluir en otra sesión. En consecuencia, se trata de las propiedades de la división en el sistema de números naturales referidas a la variación que sufren algunos términos de la división exacta.. Palabras clave: Educación, Matemática, Números Naturales, propiedades de la división, resolución de problemas matemáticos. viii. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Abstract. In this paper, the topic Properties of the Division in the System of Natural Numbers was developed, for which a learning session design based on the problem-solving approach that corresponds to the area of mathematics for Regular Basic Education is presented. Fundamentally, it is necessary to start from problematic situations to solve by means of strategies so that students develop capacities to solve specific problems. The properties of the division in the system of natural numbers are considered as such the set Nin relation to the operations and their corresponding properties; that is, the system of natural numbers is a set provided with two basic operations: Addition and multiplication and an order relationship. In this sense, the non-lock of the system of natural numbers with respect to division is highlighted, the latter restricts the treatment of said properties to the exact division, it may also be the Euclidean or inaccurate division that for reasons of time must be included in another session. Consequently, these are the properties of the division in the system of natural numbers referred to the variation that some terms of the exact division undergo. Keyword: Education, Mathematics, Natural Numbers, division properties, mathematical problem solving. ix. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Introducción. La práctica pedagógica cotidiana enseña que los estudiantes tienen dificultades en la resolución de situaciones problemáticas y la comprensión de conceptos y definiciones matemáticas que se abordan en su nivel de estudio. Esto ocurre porque se descontextualiza los contenidos y la enseñanza. En consecuencia, este trabajo se pretende mejorar la comprensión el enfoque de resolución de problemas, que los estudiantes aprendan las propiedades de la división en el Sistema de Números Naturales por medio de situaciones problemáticas, deduciéndolas o descubriéndolas en situaciones contextualizadas para darle mayor sentido. Este trabajo de investigación se ha estructurado en tres partes fundamentales y para mejor entendimiento está detallado de la siguiente manera. La primera parte trata de la estructura de la sesión de aprendizaje denominada: “Resolvemos problemas y descubrimos las propiedades de la división en números naturales”, dando a conocer el planteamiento de estrategias, el desarrollo de procesos pedagógicos y didácticos de la sesión de aprendizaje y considerando la bibliografía pertinente. En la segunda parte se trata de lo referente al sustento teórico científico, cuya fundamentación está realizada con relación al área de matemática, de acuerdo con el currículo nacional, rutas de aprendizaje, currículo nacional de matemática nivel secundario, de donde se ha tomado las diferentes definiciones que ha permitido elaborar la sesión de aprendizaje. La tercera parte se refiere al sustento Psico Pedagógico, teniendo en cuenta los principios psicopedagógicos, procesos pedagógicos, técnica, medios y materiales en el proceso metodológico, y también los procedimientos e instrumentos de evaluación que son considerados en la sesión de aprendizaje.. 10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. I. Diseño de la Sesión de Aprendizaje Implementada. 1.1 Datos informativos 1.1.1 Institución Educativa:. San Nicolás.. 1.1.2 Nivel:. Secundaria. 1.1.3 Área curricular:. Matemática. 1.1.4 N° y nombre de la unidad:. I Elaboramos un portafolio sobre las propiedades en N.. 1.1.5 Tema:. Propiedad de la división en N.. 1.1.6 Grado:. 1° de secundaria. 1.1.7 Tiempo:. 45 minutos. 1.1.8 Fecha:. 29 de octubre del 2019.. 1.1.9 Docente Responsable:. Br. Villanueva Ramirez Jacqueline Yohanna. 11. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 1.2 Aprendizajes esperados Aprendizaje esperado Propósito de la sesión: Reconocemos las propiedades de la división en los Números Naturales, demostrando responsabilidad. Competencia Resuelve. Capacidad - Traduce. Desempeños - Comprueba si la. Campo temático Propiedades de. problemas de. cantidades a. expresión numérica. la división en. cantidad. expresiones. planteada represento las. el sistema de. numéricas. condiciones del. números. problema.. naturales.. - Comunica su. - Expresa con diferentes. comprensión. representaciones y. sobre los. lenguaje numérico su. números y las. comprensión sobre las. operaciones.. propiedades de la división con números naturales.. - Argumenta. - Justifica afirmaciones. afirmaciones. sobre las propiedades de. sobre relaciones. la división en los. numéricas y las. números naturales. operaciones. 12. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 1.3 Estrategias metodológicas Materiales o. Secuencia didáctica. recursos. Tiempo. Inicio: - Escuchan atentamente la presentación de la docente, motivo y se familiarizan para desarrollar la clase. - Organizan en equipos de trabajo de 5 integrantes, mediante un balotario.. Balotario. Motivación: - Leen la siguiente situación problemática, que se encuentra en la pizarra.. 10 min.. En los juegos panamericanos se presupuestó S/ 120 000. Papelógrafo. para atender a 100 atletas extranjeros ¿A cuánto se reduce el gasto, si finalmente llegaron solo 25. Plumones. participantes? - Leen varias veces la situación problemática. Recuperación de los saberes previos: - Establecen un dialogo y responden a las siguientes preguntas: ¿Qué se observa en el papelógrafo? ¿de qué trata la situación problemática? ¿identifica los datos? ¿ Conflicto cognitivo: - Responden a las siguientes preguntas: ¿Qué operación se empleará para solucionar el problema?, ¿Cuáles son los términos de una división? ¿La división tiene propiedades? ¿Conoces las propiedades de la división? - Participan activamente Resolvemos. para descubrir el. problemas. y. tema:. descubrimos. propiedades de la división en números naturales.. las Plumón Acrílico. 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. - Identifican el propósito de la sesión: Mediante la resolución. de. problemas. reconocemos. las. propiedades de la división en los números naturales - Establecen los acuerdos de convivencia. -. -. Participar activamente en la clase, respetando las. Papelógrafo. opiniones de los demás.. Plumones. Trabajan en equipo y se apoyan mutuamente en las actividades para lograr un mejor aprendizaje.. -. Pizarra. Establecen los tiempos para desarrollar sus actividades.. Desarrollo: Adquisición de la información: - Los estudiantes reciben una hoja de trabajo impresa (anexo 1).. Hojas. - Analizan el anexo 1 con el acompañamiento y impresas monitoreo de la docente. Aplicación o transferencia del aprendizaje: - Reciben una hoja impresa con el (Anexo 2). 1. En los juegos panamericanos se presupuestó S/ 120 000. 30 min.. para atender a 100 atletas extranjeros ¿A cuánto se reduce el gasto, si finalmente llegaron solo 25 participantes? ¿De que trata el problema?. ¿Cómo se. Argumenta tu. desarrolla?. respuesta ……………………. ………… …………. …………………. …………………… …………………… ……………………. Escribe la propiedad que as utilizado para solucionar el problema: 14. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 2. Para envasar la cantidad de huevos que aparece en el reporte diario de la avícola “El huevo dorado” se utiliza jabas como se muestra en la figura. El día jueves se recogerán igual número de huevos, que el día miércoles, pero hay que envasarlo en cajas doble capacidad. ¿Cuántos envases de estos últimos se necesitan?. ¿de que trata el ¿Cómo problema?. se Argumenta. desarrolla?. tu. respuesta ………………. ………………… ………………. ……………… ……………… ……………… ………………. Escribe la propiedad que as utilizado para solucionar el problema:. - Dan a conocer sus resultados en forma aleatoria, con el acompañamiento y monitoreo de la Docente. - Participan en la evaluación del tema (Anexo 3). - Archivan en su portafolio los Anexos 1 y 2.. 15. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Cierre:. 5 min.. Metacognición: - Responden una ficha de auto evaluación con preguntas metacognitivas relacionadas: a la tarea, la metodología y la persona. (Anexo 4) ¿Qué hemos aprendido hoy? ¿Qué dificultades tuve? ¿Cómo la solucione? ¿lo aprendido es útil para nuestra vida diaria? ¿por qué? - Participan atentamente de la realimentación del tema.. 1.4 Evaluación formativa Participan de una escala valorativa. 1.5 Extensión o tarea de aplicación Reciben la consigna de resolver los problemas restantes 3 y 4 de la hoja de trabajo (anexo 2), para resolverlos en casa y redacten en lenguaje matemático y simbólico las propiedades de la división. 1.6 Referencias bibliográficas 1.6.1 Para la docente Ministerio de Educación (2008). Matemática: Manual para el docente. Primer grado de secundaria. Primera edición. Editorial Bruno. Lima – Perú. Ministerio de Educación (2016). Rutas de Aprendizaje. Matemática. Primer grado de Secundaria. Lima – Perú. Silva, S. M. (1990). Aritmética Razonada. Primera edición. Editorial ingeniería. E.I.R.L. Lima – Perú.. >. 16. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 1.6.2 Para el estudiante Ministerio de educación (2018). Matemática: Primer grado de educación secundaria. Primera edición. Editorial Bruno. Lima – Perú. Ministerio de educación (2012). Matemática. Primer Grado de Secundaria. Editorial Santillana. Lima - Perú.. 17. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. II. Sustento Teórico 2.1 Cuerpo temático 2.1.1 La matemática escolar Según Itzcovich, H. (2007) enseñar Matemática en la escuela primaria es una de las tareas más difíciles y desafiantes que encuentra un maestro. Enseñar Matemática es enseñar a pensar, a razonar, a enfrentar problemas y a buscarles su solución. Según Cordero (2015) estudia en profundidad el proceso de aprender y enseñar esta materia desde la disciplina y no como un factor atribuible al docente o a el estudiante. “Cuando pensamos enseñar las matemáticas, como un problema, en general atribuimos la responsabilidad al docente- que no está capacitado, que no está actualizado bien al estudiante-que ha perdido el interés, que se cierra al conocimiento. Eran ellos los que debían modificar sus conductas para hacer posible el proceso de aprendizaje”. Desde el punto de vista de la matemática educativa, hasta el momento el conocimiento matemático no había sido objeto de reflexión ni mucho menos visto como un entendimiento global, en este sentido el profesor explica que “hay un conocimiento matemático y una obra matemática. Esta obra se intenciona para ser enseñada y aprendida, dando paso a la matemática escolar, este concepto no se traduce en nuevas competencias para el docente o el estudiante. Es decir, ambos construyen conocimientos de una manera que no se identifica con la matemática escolar”. 2.1.2 El sistema de los números naturales Según Hefez, A. (s.f.) Cuando nos referimos al sistema de números naturales, se toma en cuenta el sistema de los números naturales, las operaciones y las propiedades; además lo asociamos al proceso natural de contar, actividad toma por el hombre asociando a los objetos contados con otros objetos ya establecidos lo cual se conoce como una biyección entre conjuntos. Con el paso de los años el hombre a adquirido sus conocimientos de los números naturales, llegando a establecer formalmente sus relaciones y propiedades. 18. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Por ejemplo, se tiene el trabajo de Giussepe Peano que definió el conjunto de los números naturales mediante cuatro axiomas, a partir de las cuales se demuestran todas las propiedades conocidas usando la idea de “sucesor” de un número natural. Jorge Cantor quien definió el mismo conjunto a partir de la teoría de conjuntos finitos utilizando una adecuada relación de equivalencia y los conceptos de clase de equivalencia y conjunto cociente. El Sistema de los Números Naturales, se denotan por N. 𝑁 = {0, 1, 2, 3,4 … } Es un conjunto con relación de orden provisto en dos operaciones multiplicación o división. Adición y multiplicación. La adición y la multiplicación son operaciones definidas en N, que asocia a cada par de números naturales (a, b) un único número natural llamado suma y producto de a y b simbólicamente. +:NxN↔𝑁 (a, b) ↔ 𝑎 + 𝑏 Los números naturales a y b reciben el nombre de sumandos. .:NxN→𝑁 (a, b) → 𝑎 . 𝑏 Los números a y b reciben el nombre de factores. La adición y la multiplicación satisfacen los siguientes axiomas Conmutativa: ∀𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑁, se cumple a + b = b + a y ab = ba Asociativa: ∀𝑎 , 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁, se cumple (a + b) + c = a + (b + c) y (ab)c = a(bc) Existencia del elemento neutro ∀𝑎 ∈ 𝑁, ∃ 0 ∈ 𝑁 ∶ 𝑎 + 0 = 𝑎 ∀ 𝑎 ∈ 𝑁, ∃ 1 ∈∶ 𝑎. 1 = 𝑎 Ley de cancelación: ∀𝑎 , 𝑏 ∈ 𝑁, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 → 𝑎 = 𝑏 𝑦 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 ^𝑐 ≠ 0 → 𝑎 = 𝑏 Distributiva: ∀𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ∈ 𝑁, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 19. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Teorema 1: para todo número natural a se tiene que a. 0 = 0 Demostración. a.b + a.b = a(0 + 0) (propiedad distributiva) a.0 + a.0 = a.0 (propiedad del elemento neutro) a.0 + a.0 = a.0 + 0 (propiedad del elemento neutro) a.0 = 0 (propiedad cancelativa). Teorema 2: si a y b son números naturales, ab = 0 si y solo si a = 0 o. b=0. Demostración. Para todo número natural a, se tiene: a = 0 o a ≠ 0. Si. a = 0, el. teorema ya está demostrado. Si a ≠ 0, como ab = 0 y a.0 = 0, por la propiedad transitiva, ab = a.0, luego, aplicando la propiedad de cancelación (pues a ≠ 0), se tiene b = 0. Por lo tanto, si ab = 0, entonces a = 0 ó b = 0. Recíprocamente, si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0 por el teorema 1.1. Definición. Sean a y b dos números naturales. Se dice que a es menor que b y se denota 𝑎 < 𝑏 sí, y solo si, existe un número natural 𝑐 ≠ 0 𝑡𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 𝑠𝑖𝑚𝑏𝑜𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 < 𝑏 ↔ ∃ 𝑐 ∈ 𝑁: 𝑐 ≠ 0 ^𝑎 + 𝑐 = 𝑏 La “relación menor que” satisface el siguiente axioma: Axioma 1. (de la Tricotomía). Para todo a, b ∈ 𝑁, una y solo una de las siguientes proporciones 𝑎 < 𝑏; 𝑎 = 𝑏; 𝑏 < 𝑎 es verdadera. Teorema 3. Dado los números naturales a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades: a) Si 𝑎 = 𝑏 → 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐^𝑐 + 𝑎 = 𝑐 + 𝑏 b) Si 𝑎 = 𝑏 → 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 c) Si 𝑎 = 𝑏^𝑐 + 𝑑 → 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑑 d) Si 𝑎 = 𝑏^𝑐 = 𝑑 → 𝑎𝑐 = 𝑏𝑑 Demostración. a) a + c = a + c por la propiedad reflexiva de la igualdad; luego como a = b por hipótesis aplicando el axioma de sustitución (reemplazando a. b en el segundo miembro de la igualdad), resulta a + b = b + c. Aplicando la propiedad conmutativa de igualdad, se tiene que c + a = c + b. b) Se demuestra de manera análoga. 20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. c) Por lo demostrado en a), si a = b y c = d entonces a + c = b + c y b + c = b + d, luego aplicando la propiedad transitiva de la igualdad resuelta a + c = b + d. d) Se demuestra de manera análoga. Definición. Sean a y b dos números naturales. Se dice que b es mayor que a, y se denota 𝑏 > 𝑎, y solo si, a es menor que b. simbólicamente: 𝑏 > 𝑎 → 𝑎 < 𝑏 Teorema 3. Para todo número natural a 6 = 0, se tiene que 0 < 𝑎. En particular 0 < 1.2. 𝑠𝑖 𝑎 > 0 𝑦 𝑏 > 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑏 > 0 𝑦 𝑎. 𝑏 > 0. Demostración. 1. Por la propiedad del elemento neutro, 0 + a = a, luego existe 𝑎 ∈ 𝑁 𝑦 𝑎. 0 = 0 (hipótesis), talque 0 + a = a, de donde aplicando la definición de la relación menor, se tiene que 0 < 𝑎. Como consecuencia de esta afirmación se sigue que todo número natural a es mayor o igual que cero: es decir 𝑎 ≥ 0. 2. Como a + b es un número natural, entonces 𝑎 + 𝑏 > 0 ó 𝑎 + 𝑏 = 0, 𝑠𝑖 𝑎 + 𝑏 = 0, como b.0 = 0, aplicando la definición de la relación menor, resultaría menor 𝑎 < 0, lo cual contradice la hipótesis, 𝑎 > 0, es decir la afirmación a + b = 0 no es verdadera y en consecuencia 𝑎 + 𝑏 > 0. Como a.b es un número natural, 𝑎. 𝑏 > ó 𝑎. 𝑏 = 0. 𝑠𝑖 𝑎, 𝑏 = 0, como también 0 = 0.b, por transitividad se tendrías que a.b = 0.b y siendo 𝑏 ≠ 0 (por hipótesis), aplicando la propiedad por cancelación resultaría a = 0, lo cual es imposible que 𝑎 > 0 (por hipótesis). Es decir, la afirmación a.b = 0 es falsa y por tanto 𝑎. 𝑏 > 0. Proposición 1. La relación “menor que” es transitiva, es decir ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑁: 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐 → 𝑎 < 𝑐 demostración. Suponiendo que 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐, tenemos que existen 𝑑, 𝑓 ∈ 𝑁, 𝑐𝑜𝑛 𝑑, 𝑓 > 0 tales que b = a + d y c = b + f. Luego usando la asociativa de la adición, se tiene que c = b + f = (a + d) + f = a + (d + f). 2.1.3 División en N: propiedades Según Silva (s.f. pp.71-72). La división, en el sistema de números naturales, en una operación que tiene por objetivo dos númer os naturales, dividendo y 21. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. divisor, hallar un tercer número natural llamado cociente que ponga de manifiesto las veces que el dividendo contiene al divisor. División exacta: Aquella que el cociente es un número natural y cuya expresión general es: 𝐷 = 𝑐; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐷 = 𝑑𝑐 𝑑 División inexacta: Aquella que el cociente es un número natural y cuya expresión general es: 𝐷 𝑑. =𝑐+. 𝑟 𝑑. ; pero hay un sobrante llamado residuo r, de tal manera que. D = dc + r. Propiedades de la división exacta Si al dividendo se le multiplica por un número, el cociente queda multiplicado por dicho número 𝐷 𝐷𝑛 =𝐶 ↔ = 𝑛𝑐 𝑑 𝑑 Si al dividendo se le divide por un número natural diferente de cero, el cociente queda dividido por dicho número. 𝐷 𝐷 𝑐 =𝐶 ↔ 𝑛 = 𝑑 𝑑 𝑛 Si al divisor se le multiplica por un número natural diferente de cero, el cociente queda dividido por dicho número 𝐷 𝐷 𝑐 =𝐶 ↔ = 𝑑 𝑑𝑛 𝑛 Si al divisor se le divide por un número natural diferente de cero, el cociente queda multiplicado por dicho numero 𝐷 𝐷 =𝐶 ↔ = 𝑐𝑛 𝑑 𝑑 𝑛 Si al dividendo y al divisor se le multiplica o divide por un mismo número diferente de cero entonces el cociente no varía 𝐷 𝐷𝑛 =𝐶 ↔ =𝑐 𝑑 𝑑𝑛. 22. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 2.1.4 Aplicación científica del tema. Consideremos el conjunto ℕ = {0, 1, 2, ...n, ...} de los números naturales y sean a, b no nulo, c números naturales, diremos que 𝑎÷𝑏 =𝑐 si 𝑎 = 𝑏. 𝑐 Si es así se dirá que a es el dividendo; b el divisor; y c, el cociente si existe. Sin embargo, dados dos números naturales a y b ≠ 0, existen dos únicos números naturales q y r tal que se cumplen las relaciones. El algoritmo que permite encontrar q y r, conociendo a y b, se denomina división entera, entre otros nombres.. 23. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. III. Sustento Pedagógico 3.1. Cuerpo temático Según el Ministerio de Educación. (MED) en el programa curricular de Educación Secundaria (2016, p.148). En este trabajo se considera el enfoque de área de matemática denominado resolución de problemas basado en la teoría de las situaciones didácticas de Brouseauu, G. (1986) en fundamentos y métodos de la didáctica de la matemática; la educación matemática realista propuesta por Bressan, a Zolkower, B y Gallego, M. (2004) planteada en la educación matemática realista; la teoría sobre la resolución de problemas descrita por Schoenfeld, A. (1985) en Mathematic Solving Problems. En la estructuración de la sesión de aprendizaje se considera como fundamental el propósito de sesión, los procesos pedagógicos y la evaluación con enfoques formativos. En el planteamiento de la situación problemática se considera que sea situaciones de su realidad y de una adecuada demanda cognitiva y que establezca conexiones con las demás áreas curriculares. Además, como recurso de desarrollo del aprendizaje autónomo se considera la metacognición como regulador de los procesos cognitivos. Según Piaget. La teoría del desarrollo cognitivo es una teoría exhaustiva sobre la naturaleza y el desarrollo de la inteligencia humana. Fue creado por primera vez por el psicólogo suizo del desarrollo Jean Piaget (1896–1980). La teoría se ocupa de la naturaleza del conocimiento en sí y de cómo los humanos gradualmente lo adquieren, lo construyen y lo utilizan. La teoría de Piaget se conoce principalmente como una teoría de la etapa de desarrollo. Para Piaget, el desarrollo cognitivo era una reorganización progresiva de los procesos mentales resultantes de la maduración biológica y la experiencia ambiental. Creía que los niños construyen una comprensión del mundo que los rodea, experimentan discrepancias entre lo que saben y lo que descubren en su entorno, y luego ajustan sus ideas en consecuencia. Además, Piaget afirmó que el desarrollo cognitivo está en el centro del organismo humano y que el lenguaje depende del conocimiento y la 24. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. comprensión adquiridos a través del desarrollo cognitivo. El trabajo de Piaget, mencionado anteriormente, recibió la mayor atención. Las aulas centradas en el niño y la "educación abierta" son aplicaciones directas de los puntos de vista de Piaget. A pesar de su gran éxito, la teoría de Piaget tiene algunas limitaciones que Piaget se reconoció a sí mismo: por ejemplo, la teoría respalda las etapas agudas en lugar del desarrollo continuo. 3.1.1 Etapas del desarrollo cognitivo Según Piaget son: 3.1.1.1 Etapa sensorio - motora o sensiomotriz. La fase inicial del proceso, que inicia el nacimiento y culmina la aparición del lenguaje articulado simple (hacia los dos años de edad). Es una etapa exploratoria, en la que el individuo intenta recabar la mayor cantidad posible a partir de su interacción con el entorno, ya sea mediante juegos, movimientos no siempre voluntarios, y una consideración egocéntrica del universo dividida entre el “yo” del sujeto y “el entorno”. En esta etapa también se aprende que los objetos del mundo, incluso si no están claramente diferenciados, permanecen, aunque no los estemos viendo. 3.1.1.2 Etapa preoperacional. Esta segunda etapa tiene lugar entre los dos y los siete años, y se caracteriza por el aprendizaje de los roles ficticios, es decir, la posibilidad de ponerse en el lugar de otro, de actuar y de emplear objetos de carácter simbólico. El pensamiento abstracto sigue siendo dificultoso, al igual que el lógico, y en su lugar el pensamiento mágico es frecuente. 3.1.1.3 Etapa de las operaciones concretas. Entre los siete y los doce años de edad, esta es la etapa en que el pensamiento lógico empieza a conducir a conclusiones válidas, aunque cuesten aún los grados más complejos de abstracción. Se pierde cierta tendencia al egocentrismo en el individuo.. 25. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 3.1.1.4 Etapa de las operaciones formales. La última de las etapas del desarrollo cognitivo, comprendida entre los doce años y la adultez, es el período en que el individuo adquiere la capacidad de manejo del pensamiento abstracto, pudiendo obtener conclusiones válidas a partir de situaciones del todo hipotéticas, no vividas, logrando así pensar sobre pensar, es decir, alcanzar el pensamiento metafísico y el razonamiento hipotético deductivo. Fuente: https://concepto.de/desarrollo-cognitivo/#ixzz63Yx7am42 Según Vigotsky, L. (Rusia, 1896-1934) sostenía que los niños desarrollan su aprendizaje mediante la interacción social: van adquiriendo nuevas y mejores habilidades cognoscitivas como proceso lógico de su inmersión a un modo de vida.. Según la Teoría Sociocultural de Vygotsky, el papel de los adultos o de los compañeros más avanzados es el de apoyo, dirección y organización del aprendizaje del menor, en el paso previo a que él pueda ser capaz de dominar esas facetas, habiendo interiorizado las estructuras conductuales y cognoscitivas que la actividad exige. Esta orientación resulta más efectiva para ofrecer una ayuda a los pequeños para que crucen la zona de desarrollo proximal (ZDP), que podríamos entender como la brecha entre lo que ya son capaces de hacer y lo que todavía no pueden conseguir por sí solos. Los niños que se encuentran en la ZDP para una tarea en concreto está cerca de lograr poder realizarla de forma autónoma, pero aún les falta integrar alguna clave de pensamiento. No obstante, con el soporte y la orientación adecuada, sí son capaces de realizar la tarea exitosamente. En la medida en que la colaboración, la supervisión y la responsabilidad del aprendizaje están cubiertas, el niño progresa adecuadamente en la formación y consolidación de sus nuevos conocimientos y aprendizajes. Según Ausubel, L. (1918 - 2008). Psicólogo y pedagogo, esta teoría se desarrolla sobre una concepción cognitiva del aprendizaje. 26. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Precisamente, Ausubel planteó que el aprendizaje significativo se da cuando un estudiante relaciona la información nueva con la que ya posee, es decir con la estructura cognitiva ya existente ¿Cuáles son los tres tipos de aprendizaje significativo? Para conseguir este aprendizaje se debe tener un adecuado material, las estructuras cognitivas del alumno, y sobre todo la motivación. Para él, existen tres. tipos. de. aprendizaje. representaciones, aprendizaje de. significativo: aprendizaje de. conceptos. y aprendizaje de. proposiciones. Según Bruner,. J.. (1915-2016). Psicólogo. y. pedagogo. estadounidense desarrolló en la década de los 60 una teoría del aprendizaje de índole constructivista, conocida como aprendizaje por descubrimiento. La característica principal de esta teoría es que promueve que el alumno adquiera los conocimientos por sí mismo. Se entiende por aprendizaje por descubrimiento, también llamado heurístico, el que promueve que el aprendiente adquiera los conocimientos por sí mismo, de tal modo que el contenido que se va a aprender no se presenta en su forma final, sino que debe ser descubierto por el aprendiente. 3.1.2 Desarrollo. 3.1.2.1 Enfoques Pedagógico del Área de Matemática Según el Ministerio de Educación (MED), en el Programa Curricular de Educación Secundaria. (2016, p.148) en el área de matemática, el marco teórico y metodológico que orienta la enseñanza y el aprendizaje es el enfoque centrado en resolución de problemas, el cual se caracteriza por: - La matemática es un área dinámica que siempre está en constante desarrollo y reajuste. - Toda actividad matemática tiene como propósito la solución de problemas planteados a partir de situaciones, los cuales se considera como acontecimientos significativos que se dan en diversos contextos. 27. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. - Al plantear y resolver problemas los estudiantes se enfrentan a diferentes retos los cuales no conocen las estrategias de solución, por tal motivo los demanda desarrollar un proceso de indagación y reflexión individual y social que les permite a desarrollar las dificultades u obstáculos que surja en la búsqueda de la solución. En este proceso el estudiante construye su propio conocimiento al relacionar y reorganizar ideas y conceptos matemáticos que emergen como solución a los problemas que irán aumentando la complejidad y de grado. - Los problemas que resuelven los estudiantes puedan ser planteados por ellos mismos o por el docente para promover así la creatividad y la interpretación de nuevas situaciones. - Las actitudes, las emociones actúan como fuerza impulsadora del aprendizaje. - Los estudiantes aprenden por sí mismo cuando son capases de autorregular su proceso de aprendizaje y de reflexionar sobre sus aciertos y errores. 3.1.2.2 Los procesos pedagógicos en la sesión de aprendizaje. Se considera un conjunto de procesos pedagógicos a los que orienten al desarrollo de una sesión de aprendizaje y promover el desarrollo de competencias. Además, en matemática se dan un conjunto de procesos didácticos: como los métodos de resolución de problema de George Polya, Miguel de Guzmán; también orientaciones didácticas de Brouseeauu, Zoltan Dienes; métodos vasados en problemas; para analizar y sistematizar información como la UVE de Gowin y los organizadores visuales. Respecto a los procesos pedagógicos de la sesión de aprendizaje, el Ministerio de Educación MED en Orientaciones Didácticas para la Planificación Curricular considera los siguientes procesos pedagógicos: Problematización, propósito y organización, motivación, saberes previos, gestión y acompañamiento del desarrollo de competencias y evaluación. 28. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. - Problematización: son situaciones retadoras o desafiantes, problemas o dificultades que parten del interés, la necesidad y expectativa del estudiante. - Propósito y organización: indica dar a conocer a los estudiantes los aprendizajes que se espera que logren, el tipo de actividades que van a realizar y como serán evaluados. - Motivación: la auténtica motivación incita a los estudiantes a perseverar en la resolución del desafío con voluntad y expectativa hasta el fin del proceso, para ello hay que despenalizar el error. - Saberes previos: Es el punto de partida de cualquier aprendizaje a partir del cual se construirán nuevos aprendizajes. - Gestión y acompañamiento del desarrollo de competencias: Anticipación de estrategias didácticas a utilizar para generar interacciones de calidad retroalimentación durante el proceso y el final. - Evaluación: Recojo frecuente de formación acerca del progreso de los aprendizajes de los estudiantes para asegurar una evaluación flexible, abierta y cíclica.. 3.1.2.3 Demanda cognitiva Según el Ministerio de Educación en el Manual del Docente (2016. p. 6) la demanda cognitiva es definida por Stein & Lane (1996) como los tipos de procesos cognitivos que están implicados en la solución de problemas matemáticos, tanto en su primera fase de comprensión de la tarea, así como en la etapa de realización. Pueden extenderse desde la memorización y el uso de algoritmos simples, al empleo de complejas estrategias de pensamientos y razonamiento propias de un “pensamiento matemático”. Por su parte Smith, S. y Henningsen (2000) consideran dos grandes niveles de demanda cognitiva en el área de matemática en las que se pueden distinguir varias tareas que se detallan a continuación. A) Tareas de baja demanda cognitiva: consiste en la memorización y la aplicación de algoritmos. 29. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. a) Memorización - Tareas que involucran la reproducción de datos, reglas, formulas o definiciones previamente aprendidas. - Tareas que no pueden ser resueltas utilizando procedimientos, o porque el tiempo requerido para la resolución es demasiado corto como para hacer un procedimiento. - Tareas que son ambiguas: por ejemplo, las tareas que están mal elaboradas - Tareas que no tienen conexiones con conceptos o significados a los datos, reglas, formulas o definiciones aprendidos o evocados. b) Procedimientos sin conexiones: - Tareas que son algoritmos. El uso de procedimientos es igualmente requerido por la tarea o su uso está evidentemente vasado en aprendizajes previos, experiencias o datos por la tarea. - Tareas que requieren una demanda cognitiva para ser completadas exitosamente. Existe una pequeña ambigüedad acerca de los que se requiere hacer y sobre cómo hacerlo. - Tarea que no tienen conexión con conceptos o significados a los procedimientos usados. - Tareas que se centran en obtener la respuesta correcta más que en desarrolla la comprensión de la matemática. - Tareas que requieren explicaciones que se enfocan únicamente en describir el proceso usado.. B) Tareas de alta demanda cognitiva: Estas se refieren a otras maneras de pensar de los estudiantes acerca de las relaciones existentes entre fracciones, decimales y porcentajes. Estas formas de demanda cognitiva también exigen el uso de procedimientos o algoritmos; sin embargo, están asociados con conceptos y significados importantes de los contenidos matemáticos involucrados en la tarea. 30. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. En contraste con las tareas de demanda cognitiva baja presentadas anteriormente, en las tareas que se suponen procedimientos con conexiones o hacer matemática, los estudiantes desarrollan mucho menos problemas o actividades (a veces dos o tres) en un solo periodo de clase. a) Procedimientos con conexiones: Tareas que se enfocan en la atención de los estudiantes en el uso de procedimientos destinados a desarrollar niveles más profundos de comprensión de conceptos e ideas matemáticas. Tareas que usualmente se representan de múltiples formas; por ejemplo,. diagramas. visuales,. manipulativos,. símbolos,. situaciones problemáticas. Permiten hacer conexiones a través de múltiples representaciones que ayudan a desarrollar el significado. Tareas que requieren cierto grado de esfuerzo cognitivo. A pesar de que sigan procesos generales, no pueden ser resueltos descuidadamente. Los estudiantes necesitan conectar las ideas conceptuales a los procedimientos, con el fin de completar exitosamente la tares y desarrollar su comprensión. b) Haciendo matemática: conceptos y procesos Tareas que requieren un pensamiento complejo y no algorítmico (por ejemplo, no existe una vía predecible, una aproximación bien realizada, una vía dada por la tarea). Tareas que llevan a los estudiantes a explorar y entender la naturaleza de los conceptos, procedimientos o relaciones matemáticas. Tareas que demandan que el individuo monitoree y autorregule sus procesos cognitivos.. 31. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Tareas que llevan a los estudiantes a acceder a conocimientos y experiencias relevantes, y hacer un uso adecuado a través de la tarea. Tareas que requieren que los estudiantes analicen y examinen activamente las demandas que ella plantea, con el fin de que delimiten las posibles estrategias de solución. Tareas que demandan considerablemente esfuerzo cognitivo y pueden involucrar cierto nivel de ansiedad para el estudiante, debido la naturaleza impredecible del proceso de solución que necesita.. c) Metacognición: Según López, C. La metacognición es el conocimiento sobre el propio conocimiento. Implica el examen activo de las tareas cognitivas que estamos realizando y la consiguiente regulación y organización de los procesos relacionados con la memoria, la atención, el cálculo… al servicio de un objetivo concreto. Se trata del nivel de conocimiento y conocimiento que tenemos sobre una tarea y su monitorización. Ilustrando esta definición con un ejemplo, al hacer un problema matemático, primero analizamos los conocimientos que sabemos que tenemos en esta área, después las diferentes tareas que debemos realizar para su solución y la coordinación de todas estas. Una vez desarrollado el proceso evaluaremos el grado de precisión que hemos tenido al finalizarla. 3.1.3 Momentos de la sesión de aprendizaje Para Smith y Ragan (1999) afirma que otra forma de realizar la secuencia didáctica, puede ser desarrollada a partir de cuatro etapas de actividad educativa: inicio, desarrollo, cierre y evaluación.. 32. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Momento de inicio Busca la orientación preliminar o introducción, ayuda al docente a preparar a los estudiantes para que se va a enseñar. Tiene como propósito aclarar los fines de la actividad utilizando los conocimientos y las habilidades de los estudiantes para que participen. Para ello pueden utilizarse estrategias como las siguientes. Presentar información nueva sorprenderte con los conocimientos previos del estudiante. Plantear o suscitar problemas, Escribir la secuencia de la tarea a realizar. Relacionar el contenido con las experiencias previstas del estudiante. Momento de desarrollo Caracteriza por aquellas estrategias utilizadas por el docente a la hora de ejecutar la actividad a la que ha dado apertura. En relación con la forma de realizar en grupos cooperativos, la evaluación individual dependerá de los resultados grupales y dar el máximo de opciones posibles de actuación para facilitarla la percepción de autonomía, orientar la atención del estudiante más hacia el proceso de solución. Momento de cierre Concibe la evaluación como un proceso que supervisan la introducción, la misma no se ubica en ningún momento instruccional en particular, pues entiende que el monitoreo y la retroalimentación, con fines instruccionales son constantes. En este contexto se entenderá el monitoreo como el proceso de chequeo permanente de la actividad del estudiante para tener evidencia de su progreso en el aprendizaje y la retroalimentación como la información oportuna para el estudiante sobre su desempeño, con miras o que mejore su ejecución futura. Por otra parte, el diagnóstico es una actividad esencial para la planificación eficaz de la introducción, así como para evidenciar los cambios, producto del aprendizaje adquirido por los estudiantes.. 33. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. 3.1.4 Procesos didácticos en la sesión de aprendizaje. Según Guzmán. M. (1991) los procesos didácticos son. - Familiarización con el problema. - Búsqueda y ejecución de estrategias. - Socialización de representaciones. - Reflexión y formalización. - Planteamiento de otros problemas.. 34. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Conclusiones. Sustento teórico - Existe una relación entre sistema de números naturales y conjunto de números naturales. - La división en naturales y en el nivel secundario mayormente se enfoca en la divisibilidad. - El sistema de números naturales no es cerrado respecto a la operación de división. - Las propiedades de la división en el sistema de números naturales enfatizan en el caso de la división exacta.. Sustento Pedagógico - Las sesiones de aprendizaje tienen propósitos que son las competencias, capacidades y desempeños. - Las actividades de la sesión de aprendizaje deben reflejar los enfoques de área curricular de matemática, que se denomina Resolución de problemas. - Las tareas para los estudiantes, que pretenden desarrollar competencias y capacidades toman una adecuada demanda cognitiva. - La matemática escolar, al construir el aprendizaje en equipos de trabajo es de mayor significado.. 35. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Referencias Bibliográficas. Sustento Teórico Brouseauu, G. (2013). Método y didácticas de la matemática. Cordero, F. (2015). La matemática escolar. publicada por prensaua en académicos universitarios. Investigador mexicano. Guzmán, M. (1991) Procesos didacticos. Hefez, A. (1961). Elementos de la aritmética. Textos Universitarios. Editorial Sociedad Brasilera de Matemática Itzovich, H. (2015). Conceptos básicos para la enseñanza de la matemática. Editorial unión de educadores.. Córdoba. Disponible en:. https://recursosdidacticosdocentes.. wordpress.com/2015/09/09/la-matematica-escolar-horacio-itzcovich/ López, C. (2011). El aprendizaje - enseñanza de la solución de problemas, la metacognición y la didáctica de la pregunta, una triangulación dinámica para la transferencia del aprendizaje”, Revista pensando Psicología, vol. 7, núm. 13, pp. 159-170. Portal, K. (2017). Conflicto cognitivo como reto. Universidad Peruana Cayetano Heredia. Lima. Perú. Smith y Ragan (2017). Conceptos sobre secuencias didácticas de la sección de aprendizaje Silva, S. (1961). Aritmética Razonada: Curso Complejo de Teoría y Problemas. Editorial Ingeniería. Lima. Perú.. Sustento Pedagógico Ausubel. (1996). Psicología educativa un punto de vista cognitiva. México. Ministerio de Educación (2013). Orientaciones generales para la planificación curricular. Lima – Perú. Ministerio de Educación (2016). Currículo Nacional de educación básica. Lima – Perú.. 36. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Ministerio de Educación (2016). Matemática 1: Manual para el docente. Editorial Grupo Santillana – Perú. Ministerio de Educación (2016). Programa curricular de educación secundaria. Lima – Perú. Ministerio de Educación (2016). Procesos pedagógicos. Lima - Perú.. 37. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. ANEXOS. 38. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 1 Esquema de contenidos. Organizador visual en que se visualiza cinco propiedades de la división en N, expresados en forma verbal y simbólica.. Instrucción: Lee e identifica las propiedades de la división.. PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN EN N. Si al dividendo se multiplica por un número, el cociente queda multiplicado por dicho número. 𝐷 𝐷𝑛 =𝐶 ↔ = 𝑛𝑐 𝑑 𝑑. Si al dividendo se divide por un número natural diferente de cero, el cociente queda dividido por dicho número. 𝐷 𝑑. =𝑐. ↔. 𝐷 𝑛. 𝑑. =. 𝑐 𝑛. Si al divisor se multiplica por un número natural diferente de cero, el cociente queda dividido por dicho número. 𝐷 𝐷 𝑐 =𝐶↔ = 𝑑 𝑑𝑛 𝑛. Si al divisor se divide por un número natural diferente de cero, el cociente queda multiplicado por dicho número. 𝐷 𝐷 =𝐶 ↔ = 𝑐𝑛 𝑑 𝑑 𝑛 Si al dividendo y al divisor se multiplica o divide por un mismo número natural diferente de cero entonces el cociente no varía. 𝐷 𝐷𝑛 =𝐶 ↔ =𝐶 𝑑 𝑑𝑛. 39. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 2 Hoja de trabajo Instrucción: Resuelve cada problema, luego expresa verbalmente la propiedad de la división que se está aplicando, finalmente traduce dicha propiedad a lenguaje matemático. 1. En los juegos panamericanos se presupuestó S/ 120 000 para atender a 100 atletas extranjeros ¿A cuánto se reduce el gasto, si finalmente llegaron solo 25 participantes?. ¿de que problema?. trata. el ¿Cómo se desarrolla?. Argumenta tu respuesta ………………………... ………………………... ………………………... ……………………….. ……………………….. ………………………... Escribe la propiedad que as utilizado para solucionar el problema:. 2. Para envasar la cantidad de huevos que aparece en el reporte diario de la avícola “El huevo dorado” se utiliza jabas como se muestra en la figura. El día jueves se recogerán igual número de huevos, que el día miércoles, pero hay que envasarlo en cajas doble capacidad. ¿Cuántos envases de estos últimos se necesitan?. 40. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. ¿De que problema?. trata. el ¿Cómo se desarrolla?. Argumenta tu respuesta ………………………... ………………………... ………………………... ……………………….. ……………………….. ………………………... Escribe la propiedad que as utilizado para solucionar el problema:. 3. Los estudiantes del 1° grado, sección “A” de la I.E San Nicolas de secundaria venden productos con la finalidad de adquirir fondos económicos para realizar un viaje de estudios, por lo que realizan 5 actividades ganando las siguientes cantidades: S/. 560.00, 260.00, 1890.00, 890.00 y 128.00. ¿Cuánto ganaron en total? Y si deciden repartirse por partes iguales ¿Cuánto le toca a cada uno? ¿De que problema?. trata. el ¿Cómo se desarrolla?. Argumenta tu respuesta ………………………... ………………………... ………………………... ……………………….. ……………………….. ………………………... Escribe la propiedad que as utilizado para solucionar el problema:. 4. Una planta procesadora de agua mineral, produce 48 000 mil botellas en un día y los acomoda en cajas de 18 botellas. La producción del día 23 de diciembre del 2019 serán arregladas EN SIX PACK ¿Cuántos SIX PACK más que cajas se necesitan? ¿De que problema?. trata. el ¿Cómo se desarrolla?. Argumenta tu respuesta ………………………... ………………………... ………………………... ……………………….. ……………………….. ………………………... Escribe la propiedad que as utilizado para solucionar el problema:. 41. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 3 Instrumento de evaluación: Escala Valorativa Grado: 1ero. Fecha:……………………. Sección:………………... Competencia: Resuelve problemas de cantidad. DESEMPEÑOS. Comprueba si la expresión numérica planteada represento las condiciones del problema. Expresa con diferentes representaciones y lenguaje numérico su comprensión sobre las propiedades de la división con números naturales. Plantea afirmaciones sobre las propiedades de la división en N. A. A. A. NOMBRES Y APELLIDOS. B. C. B. C. B. C. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35. Leyenda: A: Logrado. b: Proceso. c: Inicio 42. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Anexo 4. Ficha de metacognición. Introducción: Responde a cada una de las preguntas que se te presenta a continuación. ¿Qué hemos aprendido ahora?. ¿Como logramos aprender?. ¿Qué dificultades tuve?. ¿Cómo la solucione?. ¿lo aprendido es útil para nuestra vida diaria? ¿por qué?. 43. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) TSP UNITRU. Biblioteca de Educación y Ciencias de la Comunicación – UNT. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

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