• No se han encontrado resultados

EXPERIMENTOS Y SUCESOS ALEATORIOS

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Share "EXPERIMENTOS Y SUCESOS ALEATORIOS"

Copied!
48
0
0

Texto completo

(1)

EXPERIMENTOS Y SUCESOS ALEATORIOS

Experimento determinista es aquel en que se puede predecir el resultado, siempre que se realice en las mismas condiciones. (Ejemplo: medir el tiempo que tarda en caer un objeto desde una misma altura sobre la superficie de la Tierra).

Experimento aleatorio es aquel del que no se puede predecir el resultado, aunque se realice en las mismas condiciones. (Ejemplo: lanzar al aire una moneda).

Los posibles resultados de un experimento aleatorio se llaman sucesos aleatorios y se clasifican en elementales y compuestos.

- Suceso elemental es cada uno de los sucesos que no se puede descomponer en sucesos más simples. - Suceso compuesto es el que está formado por más de un suceso elemental.

- Espacio muestral es el conjunto formado por todos los sucesos elementales.

- Suceso seguro, puesto que ocurre siempre que se realiza el experimento y se representa por la letra E. (Ejemplo: si se lanza al aire una moneda, el espacio muestral es E={cara,cruz}).

- Suceso imposible es el que no ocurre nunca y se representa por la misma letra que para el conjunto vacío: .

OPERACIONES CON SUCESOS

- Suceso unión: dados dos sucesos A y B, se llama y se designa por A U B, al suceso que se produce siempre que se verifica uno de los dos, es decir, si se verifica A ó B.

Ejemplo: Tiramos un dado y consideramos los siguientes sucesos: A=“salir par” y B=“salir mayor que 4”. Entonces, A={2,4,6}, B={5,6} y AUB={2,4,5,6}.

- Suceso intersección, Dados dos sucesos A y B, se denomina y se designa por A  B al suceso que se realiza si se verifica A y B.

Ejemplo: A:”salir par” y B: “salir mayor que 4”. Entonces, A={2,4,6}, B={5,6} y AB={6}.

- Suceso contrario de un suceso A (

A

) es el suceso que ocurre siempre que no se verifica A. Es

equivalente a la negación lógica.

Si dos sucesos no se pueden verificar simultáneamente, su intersección es el conjunto vacío. Cualquier suceso que sea igual al conjunto  se llama suceso imposible y, por tanto, será un suceso que no se produce nunca. Dos sucesos cuya intersección es el suceso imposible, se dice que son incompatibles. La unión de sucesos contrarios es el suceso seguro y su intersección es el suceso imposible.

(2)

EJERCICIOS

1º.- Se lanzan dos dados sobre la mesa y se suman los puntos de las caras superiores. Describe los sucesos elementales asociados al experimento y el espacio muestral. ¿Son los sucesos elementales “igualmente posibles”?

2º.- Se lanzan dos dados sobre la mesa y se anota el par de números obtenido (pero no se suman). Describe el espacio muestral indicando el número de sucesos elementales que lo forman. Siendo los sucesos A=”al menos uno de los números es par” y B=”la suma de los dos números es múltiplo de tres”, calcula A  B, A  B,

A

y

B

.

PROBABILIDAD DE UN SUCESO: REGLA DE LAPLACE

Supongamos un experimento aleatorio que puede dar lugar a n sucesos elementales, incompatibles entre sí e “igualmente posibles”, es decir, con las mismas posibilidades de ocurrir.

Sea A un suceso cualquiera, formado por k sucesos elementales, se define la probabilidad de A como el cociente:

 

posibles

igualmente

casos

favorables

casos

A

P

.

Ejemplo 3º: Se lanzan dos dados sobre la mesa y se suman sus caras superiores. Halla la probabilidad de obtener una suma igual a 8.

Solución: 5/36.

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD

La probabilidad de sucesos verifica las siguientes propiedades:

1.- La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1. Toma el valor 1 cuando se trata del suceso seguro y vale 0 cuando se trata del suceso imposible: P(E) = 1 y P() = 0.

2.- La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de las probabilidades de los dos sucesos menos la probabilidad de su intersección:

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) Si A y B son sucesos incompatibles

AB=

P(AUB) = P(A) + P(B). 3.- Si A es un suceso cualquiera y

A

es su contrario:

)

(

1

)

(

A

P

A

P

EJERCICIOS

4º.-(ejercicio resuelto 1 pág. 327):

Encuentra el espacio muestral asociado a los siguientes sucesos:

A) Lanzar dos monedas al aire:

“C” = obtener cara; “X” = obtener cruz.

 

 

 

C

C

C

X

X

C

X

X

(3)

B) Familias de tres hijos considerando el sexo de éstos. “H” = hombre; “M” = mujer.

 

 

 

 

 

 

 

H

H

H

H

H

M

H

M

H

M

H

H

H

M

M

M

H

M

M

M

H

M

M

M

E

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

5º.-(ejercicio resuelto 2 pág. 328):

En el experimento aleatorio de estudiar las familias de tres hijos por el sexo de dicho hijos consideramos los siguientes sucesos:

el

hijo

mayor

es

ón

A

var

los

tres

hijos

tienen

igual

sexo

B

ningún

hijo

es

ón

C

var

Encuentra los elementos de los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: E; A; B; C;

A

B

;

C

A

;

B

.

Solución: llamamos “H” = varón; “M” = mujer.

 

 

 

 

 

 

 

H

H

H

H

H

M

H

M

H

M

H

H

H

M

M

M

H

M

M

M

H

M

M

M

E

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

 

1

8

8

P

E

 

 

 

H

H

H

H

H

M

H

M

H

H

M

M

A

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

 

2

1

8

4

P

A

 

H

H

H

M

M

M

B

,

,

,

,

,

 

4

1

8

2

P

B

M

M

M

C

,

,

 

8

1

P

C

H

H

H

B

A

,

,

8

1

P

A

B

 

C

A

P

A

C

0

 

 

 

 

 

H

H

M

H

M

H

M

H

H

H

M

M

M

H

M

M

M

H

B

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

 

4

3

8

6

P

B

6º.- Se lanza al aire una moneda cinco veces. Describe el espacio muestral y calcula la probabilidad de que el número de caras obtenida sea tres. ¿Cuál es la probabilidad de obtener la secuencia CXXCC? ¿Es la misma que la probabilidad de obtener tres caras?

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Se llama probabilidad de A condicionada a B, y se simboliza por P(A/B), al cociente:

)

(

)

(

)

/

(

B

P

B

A

P

B

A

P

con P(B)0.

(Es la probabilidad de que se realice A sabiendo que se ha realizado B).

De aquí obtenemos la siguiente expresión para la probabilidad compuesta (o del producto):

)

/

(

(

)

(

A

B

P

A

P

B

A

(4)

7º.-(ejemplo pág. 329):

Realizamos una encuesta a los alumnos sobre el color de los ojos y del pelo. En la tabla de contingencia podemos ver los resultados obtenidos:

ojos claros ojos oscuros TOTALES

pelo rubio 14 16 30

pelo moreno 8 12 20

TOTALES 22 28 50

La probabilidad de elegir un alumno rubio y de ojos oscuros:

25

8

50

16

O

R

P

.

La probabilidad de elegir un alumno rubio con ojos oscuros:

15

8

30

16

/

R

O

P

.

INDEPENDENCIA DE SUCESOS

Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro:

)

(

(

)

(

A

B

P

A

P

B

P

Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia de uno modifica la probabilidad del otro:

)

(

(

)

/

(

(

)

(

A

B

P

A

P

B

A

P

A

P

B

P

Ejemplo 8º: De una baraja española de 40 cartas sacamos, primero una, la devolvemos y luego sacamos otra. Sean los sucesos A: “sacar oros” y B: “sacar copas”. ¿Cómo son los sucesos A y B, dependientes o independientes? ¿Cuál es la probabilidad de sacar primero oros y después copas?

Solución:

Los sucesos A y B son independientes ya que, al haber devolución en la segunda extracción, tenemos las mismas cartas que en la primera extracción.

0625

,

0

40

10

40

10

)

(

(

)

(

A

B

P

A

P

B

P

Ejemplo 9º: Se extraen tres cartas sucesivamente de una baraja de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que las tres sean del mismo palo.

Solución:

Se consideran los sucesos: A = “la primera carta es de un palo válido”; B = “la segunda carta es del mismo palo que la primera” y C = “la tercera carta es del mismo palo que las dos primeras”.

Nos piden la probabilidad: P(ABC) = P(A) · P(B/A) · P(C/AC). Como A = suceso seguro, se tiene P(A) = 1.

Además P(B/A) =

39

9

y P(C/AC) =

38

8

.

Entonces:

0

,

0112

1

,

12

%

38

8

·

39

9

·

40

10

C

B

A

P

Ejemplo 10º: Se tiene una urna con cuatro bolas rojas y dos azules. Se extraen tres bolas. Calcula la probabilidad de que las tres sean rojas:

(5)

Solución:

A) Con reemplazamiento, las tres pruebas son independientes:

 

     

27

8

3

2

6

4

·

6

6

·

6

4

·

·

3

3

P

R

P

R

P

R

R

P

B) Sin reemplazamiento, las tres pruebas son dependientes:

 

  

 

5

1

4

2

·

5

3

·

6

4

ª

2

ª

1

/

ª

3

·

ª

1

/

ª

2

·

ª

1

3

R

P

R

P

R

R

P

R

Ry

R

P

Ejemplo 11º: En el experimento aleatorio de lanzar tres monedas, si A={sacar dos caras}, su probabilidad es

8

3

)

(

A

P

, pues los casos favorables son tres: CCX, CXC, XCC, siendo los casos posibles

8: CCC, CCX, CXC, XCC, XXC, XCX, CXX y XXX.

Por tanto, ahora, la probabilidad del suceso A, sabiendo que ha ocurrido B={hay, como mínimo una cruz} (que llamaremos suceso A condicionado con B y se escribe A/B), sería:

)

(

)

(

8

7

8

3

7

3

)

/

(

B

P

B

A

P

B

A

P

EJERCICIOS

12º.- En una clase donde hay 20 chicos y 10 chicas, se han ofrecido inglés y francés como opciones para cursar lengua extranjera. Han elegido inglés 25 alumnos y el resto han optando por el francés; además se sabe que sólo dos de las 10 chicas han preferido francés. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) Tomar al azar un nombre de la lista que sea el de un chico. b) Elegir un chico que estudia francés.

c) Sabiendo que se ha seleccionado un chico, que éste estudie francés.

Solución: Se construye la tabla:

A Chicos

A

Chicas Total

B

Inglés 17 8 25

B Francés 3 2 5

Total 20 10 30

Observando la tabla se consideran los siguientes casos:

A = “el alumno elegido es chico”;

A

= “el alumno elegido es chica”; B = “el alumno elegido estudia

francés” y

B

= “el alumno elegido estudia inglés”.

Así tendremos:

a) p(chico) = p(A) = 20/30 = 2/3

b) p(chico que estudia francés) = p(AB) = 3/30 = 1/10

c)

20

3

30

20

30

3

)

(

)

(

)

/

(

A

P

B

A

P

A

B

(6)

Árbol de probabilidades:

Un árbol de probabilidades es un diagrama en árbol, de forma que en cada rama escribimos su probabilidad, que es la probabilidad de un experimento simple. Un camino es un conjunto de ramas que nos lleva desde el principio hasta el final.

La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de sus ramas y la probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos.

Ejemplo 13º: Tenemos una urna A con 2 bolas rojas y tres verdes y otra urna B con 5 bolas rojas y 4 verdes. Elegimos una urna al azar y de ella extraemos una bola. Haz el árbol de probabilidades y calcula la probabilidad de que la bola extraída sea roja.

48

,

0

90

43

9

5

2

1

5

2

2

1

)

(

roja

P

EJERCICIOS

14º.- En las familias formadas por cuatro hijos la probabilidad de que éstos sean dos varones y dos hembras es: a) ¼ b) ½ c) 3/8 d) No puede saberse.

Solución:

Construyendo un diagrama en árbol se tiene: P = 3/8.

15º.- De una baraja española se saca una carta y después otra sin devolver la primera. Calcula la probabilidad de que:

a) La primera seas un as.

b) La segunda sea un as, si no se sabe si la primera lo fue o no. c) Las dos sean ases.

Solución:

A)

10

1

40

4

)

(

as

P

B) Construyendo un diagrama de árbol se tiene:

0

,

1

10

1

130

13

130

12

130

1

39

4

·

40

36

39

3

·

40

4

P

C)

130

1

39

3

·

40

4

P

16º.- Se considera una familia con tres hijos en la que la probabilidad de que uno de los hijos sea niño es la misma que la de que sea niña. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) En la familia hay tres niñas. b) Hay un sólo niño.

c) Sólo hay un niño ó una niña.

Solución:

A)

8

1

)

3

(

chicas

P

; B)

8

3

P

; C)

8

6

(7)

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS

Una función que a cada uno de los sucesos del espacio muestral le hace corresponder un número real se llama variable aleatoria, y el conjunto de todos los posibles valores obtenidos se llama recorrido de la variable.

En el ejemplo del número de caras obtenidas al tirar una moneda al aire, la variable aleatoria toma valores de forma que entre cualesquiera dos de ellos, no siempre existen otros valores de la variable. Por eso se dice que la variable es discreta.

Existen otras variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor de los comprendidos en un determinado intervalo de números reales, como, por ejemplo, el tiempo que tarda el autobús en llegar a una parada o la talla de una persona elegida al azar. Estas variables se llaman variables aleatorias continuas y en sus gráficas se representa la probabilidad mediante el área, como veremos más adelante.

DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA DISCRETA

Una variable aleatoria es discreta cuando sólo puede tomar un número finito de valores.

17º.-(ejemplo pág. 330):

Se lanzan dos dados 100 veces, se suman los puntos que se obtienen:

Suma de puntos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frecuencias 3 6 8 11 14 17 13 10 9 7 2

La media aritmética es:

99

,

6

100

699

·

N

f

x

x

i i

La desviación típica es:

44

,

2

99

,

6

100

5483

2

s

En el intervalo

x

s

,

x

s

4

,

55

;

9

,

43

está el 65 % de los datos.

En el intervalo

x

2

s

,

x

2

s

2

,

11

;

11

,

87

está el 95 % de los datos.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA

(8)

La ley que asocia a cada valor de la variable su correspondiente probabilidad se llama función de probabilidad.

Para que una distribución de probabilidad esté correctamente definida, las probabilidades de los sucesos elementales del espacio muestral deben ser números no negativos y su suma debe ser 1.

Ejemplo: “Número obtenido” al lanzar un dado:

xi 1 2 3 4 5 6

Pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ejemplo: “Suma de los resultados” al lanzar dos dados:

xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Pi 1/36 2/36 3/3 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Ejemplo: “Número de caras” al lanzar dos monedas:

xi 0 1 2

Pi 1/4 2/4 ¼

EJERCICIOS

18º.-(ejemplo pág. 331):

En el ejemplo anterior (se lanzan dos dados 100 veces, se suman los puntos que se obtienen):

ESPACIO MUESTRAL

E

(1,1) (1,2) (2,1)

(1,3) (2,2) (3,1)

(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)

(1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1)

(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)

(2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2)

(3,6) (4,5) (5,4) (6,3)

(4,6) (5,5) (6,4)

(5,6) (6,5)

(6,6)

Suma de puntos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Frecuencias

36

1

36

2

36

3

36

4

36

5

36

6

36

5

36

4

36

3

36

2

(9)

19º.- Se lanza al aire una moneda tres veces. Dibuja el árbol de probabilidades y representa gráficamente la distribución de probabilidades.

Solución:

Si la moneda no está trucada, la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es la misma que la de obtener cruz, y vale ½. Se tiene:

20º.- Lanzamos al aire una moneda tres veces. Supongamos que la moneda está trucada, de modo que la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es 0,6, mientras que la de obtener cruz es 0,4. Dibuja el árbol de probabilidades y representa gráficamente la distribución de probabilidades.

Solución: Se tiene:

(10)

Solución:

X 1 2 3 4 5 6

Pi 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

22º.- Describe la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria “número de caras” en el lanzamiento de cuatro monedas.

Solución:

nº de caras 4 3 2 1 0

probabilidad 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

23º.- Se lanza al aire una moneda tres veces. Se considera el experimento:

x

i = “ nº de caras

obtenidas al lanzar tres veces al aire una moneda”. Supongamos que la moneda está trucada, de modo que la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento es 0,6. Representa la distribución de probabilidad de esta variable.

Solución:

El recorrido de la variable es

R

0

,

1

,

2

,

3

. Considerando el caso en que la moneda esté trucada con p( C)=0,6, la distribución de probabilidad para esta variable aleatoria es:

24º.- Halla la función de distribución correspondiente a la variable aleatoria “nº de caras” en el lanzamiento de tres monedas, y represéntala gráficamente.

Solución:

x F(x)

(11)

PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

Como las distribuciones de probabilidad son idealizaciones de las distribuciones estadísticas. La probabilidad es una idealización de la frecuencia relativa

N

f

p

i

i

, por lo que los parámetros se

expresan en función de ellas.

MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La media de una variable aleatoria representa el valor central que tomaría la variable si toda la distribución correspondiese a un único valor de la misma. Se llama también valor esperado o esperanza matemática y se representa con la letra griega .

La media de una variable discreta es la suma de todos los productos obtenidos multiplicando cada valor de la variable por su correspondiente probabilidad:

i i

p

i

f

i

N

f

x

x

·

·

El valor de la media es el parámetro utilizado para medir si un juego es equitativo o no: una esperanza igual a cero indica que no hay ventaja para ningún apostante.

VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA

Para medir la dispersión de los valores de la variable respecto de la media, se pueden utilizar las desviaciones de cada valor respecto de ella y hallar su valor medio, pero como la suma de las desviaciones positivas coincide con la de las negativas, esto daría siempre cero y, por tanto, no sirve para medir la dispersión.

Para prescindir de los signos tenemos dos métodos: utilizar valores absolutos o sumar los cuadrados (que siempre son positivos), hallando posteriormente la raíz cuadrada.

Llamamos varianza al parámetro que se obtiene al hacer la media de los cuadrados de las desviaciones respecto de la media:

2 2

i 2

2

·

p

·

p

i

x

i

x

i

Llamamos desviación típica a la raíz cuadrada de la varianza:

2 2

·

p

i

x

i

Ejemplo 25º:(ejercicio resuelto 3 pág. 332):

En una caja hay bombillas, unas lucen, son buenas, y otras no lucen, son defectuosas, con igual probabilidad ambas. Elegimos dos bombillas. Tomamos como variable aleatoria “número de bombillas defectuosas”.

A) Encuentra el espacio muestral y estudia si la variable aleatoria es o no discreta. B) Construye la distribución de probabilidad y comprueba que

p

i

1

.

Solución: A) E={BB, BD, DB, DD}; la variable aleatoria toma los valores 0, 1, 2, por lo que es discreta. B)

X 0 1 2

Pi 1/4 2/4 1/4

1

4

1

4

2

4

1

)

2

(

)

1

(

)

0

(

(12)

Ejemplo 26º:(ejercicio resuelto 4 pág. 333):

Lanzamos dardos a una diana circular con tres círculos concéntrico y cada uno con un número del 1 al 6 y obtenemos la siguiente distribución de probabilidad:

X 1 2 3 4 5 6

Pi 0,32 0,28 a 0,12 0,06 0,01

A) Halla el valor de a para que se trate de una distribución de probabilidad. B) Calcula:

p

(

x

4

),

p

(

x

3

),

y

,

p

(

2

x

4

)

Solución: A)

p

(

x

1

)

p

(

x

2

)

p

(

x

3

)

p

(

x

4

)

p

(

x

5

)

p

(

x

6

)

1

Por tanto: 0,32 + 0,28 + a + 0,12 + 0,06 + 0,01 = 1, es decir: a = 0,21.

B)

p

(

x

4

)

p

(

x

4

)

p

(

x

5

)

p

(

x

6

)

0

,

12

0

,

06

0

,

01

0

,

19

6

,

0

28

,

0

32

,

0

)

2

(

)

1

(

)

3

(

x

p

x

p

x

p

21

,

0

)

3

(

)

4

2

(

x

p

x

p

Ejemplo 27º:(ejercicio resuelto 5 pág. 333):

Lanzamos tres monedas al aire. Definimos la variable aleatoria “número de caras obtenidas”. A) Encuentra el espacio muestral.

B) ¿Qué valores toma esta variable aleatoria? C) Construye la distribución de probabilidad.

D) Calcula la media y la desviación típica de esta variable aleatoria.

Solución: A) E={CCC,CCX,CXC,XCC,CXX,XCX,XXC,XXX}

B) La variable aleatoria toma los valores 0, 1, 2 y 3, por lo que es discreta. C)

X 0 1 2 3

Pi 1/8 3/8 3/8 1/8

D)

1

,

5

8

12

8

1

·

3

8

3

·

2

8

3

·

1

8

1

·

0

87

,

0

4

3

5

,

1

8

1

·

3

8

3

·

2

8

3

·

1

8

1

·

0

2

2

2

2

2

Ejemplo 28º: En una bolsa hay 20 bolas numeradas: 9 con un “1”, 5 con un “2” y 6 con un “3”. Se extrae una bola al azar. Construye la distribución de probabilidades y halla sus parámetros

y

.

Solución:

 

0

,

45

20

9

1

p

;

 

0

,

25

20

5

2

p

;

 

0

,

30

20

6

3

p

i

x

p

i

p

i

·

x

i

2

·

i i

x

p

1 0,45 0,45 0,45

2 0,25 0,50 1,00

3 0,30 0,90 2,70

1 1,85 4,15

85

,

1

·

p

i

f

i

;

2

p

i

·

x

i2

2

4

,

15

1

,

85

2

0

,

7275

;

0

,

7275

0

,

85

(13)

Solución:

i

x

p

i

p

i

·

x

i

2

·

i i

x

p

2 1/36 2/36 4/36

3 2/36 6/36 18/36

4 3/36 12/36 48/36

5 4/36 20/36 100/36

6 5/36 30/36 180/36

7 6/36 42/36 294/36

8 5/36 40/36 320/36

9 4/36 36/36 324/36

10 3/36 30/36 300/36

11 2/36 22/36 242/36

12 1/36 12/36 144/36

252/36 1974/36

7

36

252

;

7

2

,

415

36

1974

2

EJERCICIOS

30º.- Un amigo propone el siguiente juego: “Lanzamos un dado. Si sale múltiplo de tres, yo te doy 6 €, y, en caso contrario, tu me das 4 €”. ¿Se debería aceptar el juego? ¿En qué condiciones se debería aceptar?

Solución:

Variable aleatoria:

x

i = “premio obtenido en el juego”. Su distribución de probabilidad se puede ver en

la siguiente tabla:

Para averiguar si el juego es equitativo se calcula la esperanza matemática de la variable:

i

x

p

i

x

i

·

p

i

2 i

x

x

i

·

p

i 2

-4 2/3 -8/3 16 32/3

6 1/3 6/3 36 36/3

1 -2/3 52 68/3

3

2

;

9

200

9

4

3

68

2

;

3

2

10

(14)

67

,

0

3

1

·

6

3

2

·

4

€. No se debería aceptar el juego propuesto, ya que resulta ventajoso para el

amigo que lo propone.

Si cada vez que saliera un múltiplo de tres, él diera 8 €, entonces el juego sería equitativo:

0

3

1

·

8

3

2

·

4

31º.- Halla la media o valor esperado de la variable aleatoria x, cuya función de probabilidad es:

X 1 2 3 4 5 6

Pi=P(X=xi) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

Solución:

4

,

47

32º.- Un jugador lanza tres monedas. Recibe 1000 euros, si salen tres caras; 250 euros, si salen dos caras; y nada, si sale cualquier otra combinación. ¿Cuál debería ser el precio de la apuesta para que el juego fuese equitativo o justo?

Solución:

i

x

1000 250 0

i

p

1/8 3/8 4/8

75

,

218

8

1750

33º.- En un sorteo pueden tocar seis premios de 600, 60 y 6 € con probabilidades de 0,0001; 0,0005 y 0,002, respectivamente.

Considerando la variable

x

i = “premio conseguido”, halla

y

. Se debe tener en cuenta que la suma

total de las probabilidades de los valores de la variable debe ser 1.

Solución:

i

x

p

i

x

i

·

p

i

2 i

x

x

i

·

p

i 2

600 0,0001 0,0384 360000 13824

60 0,0005 0,1923 3600 692,28

6 0,002 0,7692 36 27,69

14543,97

23

,

39

;

14543

,

97

39

,

23

2

114

,

03

34º.- En la siguiente distribución de probabilidad, calcula el valor de k, la media de la variable y su desviación típica:

i

x

1 2 3 4 5

i

p

0,25 0,2 k 0,15 0,15

(15)

i

x

p

i

x

i

·

p

i

2 i

x

x

i

·

p

i 2

1 0,25 0,25 1 0,24

2 0,2 0,4 4 0,8

3 k = 0,25 0,75 9 2,25

4 0,15 0,6 16 2,4

5 0,15 0,75 25 3,75

9,44

75

,

2

75

,

0

6

,

0

75

,

0

4

,

0

25

,

0

;

9

,

44

7

,

5625

1

,

3702

35º.- Calcula la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, cuya función de probabilidad es:

i

x

1 2 3 4 5 6

i

p

1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36

Solución:

4

,

47

;

1

,

99

1

,

41

36º.- En el lanzamiento de tres dados consideramos la variable aleatoria consistente en anotar el número de múltiplos de tres que aparecen.

a) Halla su función de probabilidad y represéntala. b) Determina su función de distribución y represéntala. c) Halla la media y la desviación típica.

Solución: a)

i

x

0 1 2 3

i

p

64/216 96/216 48/216 8/216

B)

x F(x)

x < 0 0

0  x < 1 64/216=0,2963 1  x < 2 160/216=0,7407 2  x < 3 208/216=0,9630

(16)

C)

1

216

8

·

3

216

48

·

2

216

96

·

1

216

64

·

0

8165

,

0

6667

,

0

1

216

8

·

3

216

48

·

2

216

96

·

1

216

64

·

0

2

2

2

2

2

37º.- Determina el valor de k en las siguientes distribuciones de probabilidad: a)

i

x

1 2 3 4

i

p

0,3 3k k 0,3

b)

i

x

0 2 3 4 5

i

p

k 3k 2k 3k k

En ambos casos, halla las funciones de distribución y los parámetros  y .

Solución: a)

0

,

3

3

k

1

k

0

,

3

1

k

0

,

1

i

x

x<1 1  x < 2 2  x < 3 3  x < 4 4  x

F(x) 0 0,3 0,6 0,7 1

4

,

2

3

,

0

·

4

1

,

0

·

3

3

,

0

·

2

3

,

0

·

1

2

,

1

4

,

2

3

,

0

·

4

1

,

0

·

3

3

,

0

·

2

3

,

0

·

1

2

2

2

2

2

b)

k

3

k

2

k

3

k

k

1

k

1

/

10

i

x

0 2 3 4 5

i

(17)

i

x

x<0 0  x < 2 2  x < 3 3  x < 4 4  x < 5 5  x

F(x) 0 1/10 4/10 6/10 9/10 1

9

,

2

10

29

10

1

·

5

10

3

·

4

10

2

·

3

10

3

·

2

10

1

·

0

;

1

,

89

1

,

375

38º.- Lanzamos una moneda cuatro veces. Sea X el número de caras consecutivas. Halla la función de probabilidad, la media y la desviación típica.

Solución:

i

x

0 1 2 3

i

p

8/16 5/16 2/16 1/16

75

,

0

16

12

16

1

·

3

16

2

·

2

16

5

·

1

16

8

·

0

;

1

,

8819

1

,

372

39º.- Dos bolas son tomadas de una urna que contiene cinco bolas numeradas con 1, 1, 2, 2 y 3. Sea X la suma de números e Y el mayor de los números obtenidos. Halla la función de probabilidad, la media y la desviación típica de:

a) X b) Y; c) X+Y; d) XY

Solución:

A)

i

x

2 3 4 5

i

p

2/20 8/20 6/20 4/20

6

,

3

20

4

·

5

20

6

·

4

20

8

·

3

20

2

·

2

;

2

,

42

B)

i

x

1 2 3

i

p

2/20 10/20 8/20

2

,

2

20

8

·

3

20

10

·

2

20

2

·

1

;

0

,

93

C) Z1 = X + Y

1

z

3 4 5 6 7 8

i

p

4/400 36/400 108/400 132/400 88/400 32/400

9

,

5

;

1

,

12

C) Z2 = X · Y

2

z

2 3 4 5 6 8 9 10 12 15

i

p

4/400 16/400 32/400 8/400 96/400 60/400 64/400 40/400 48/400 32/400

28

,

8

(18)

40º.- Un jugador lanza tres monedas. Gana 500 €, si salen tres caras; 250 €, si salen dos caras; y 100 € si sale una cara. Si el juego es equitativo, ¿cuánto deberá perder cuando no sale ninguna cara?

Solución:

i

x

500 250 100 x

i

p

1/8 3/8 3/8 1/8

Equitativo:

0

1450

8

1

·

8

3

·

100

8

3

·

250

8

1

·

500

0

x

x

41º.- Un jugador lanza un dado y cobra tantos euros como indica el número obtenido. ¿Cuánto debe pagar por jugada para que el juego sea equitativo?

Solución:

i

x

1 2 3 4 5 6

i

p

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

5

,

3

6

1

·

6

6

1

·

5

6

1

·

4

6

1

·

3

6

1

·

2

6

1

·

1

. Pagar 3,5 € por jugada

42º.- Un jugador lanza dos dados, y cobra tantos billetes de 5 € como veces aparezca el cinco. Describe este juego mediante una variable aleatoria. ¿Es rentable participar en este juego, si para ello, hay que pagar 3 € por tirada?

Solución:

i

x

0 1 2

i

p

25/36 10/36 1/36

33

,

0

; El valor del juego es 1,67 €. No resulta rentable si paga 3 € por tirada.

43º.- En una urna hay 20 bolas marcadas: diez lo están con el 1, cinco con el 5, cuatro con el 10 y una con el 125. El juego consiste en extraer una bola al azar, obteniéndose como premio tantos euros como indica el número que la bola lleva marcado, X.

a) Escribe la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X. b) Calcula la ganancia media .

c) Si para poder participar tienes que pagar 15 euros por jugada, ¿interesa hacerlo?

Solución: A)

i

x

1 5 10 125

i

p

10/20 5/20 4/20 1/20

B)

10

; C) No interesa a 15 €/jugada, porque se pierden 5 E/juagada de media.

44º.- Un jugador lanza un dado. Si sale un número primo, gana este número de euros, pero, si sale un número que no es primo, pierde este número de euros. ¿Es favorable este juego para el jugador?

Solución:

i

x

-6 -4 -1 2 3 5

i

p

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

6

/

1

(19)

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La variable aleatoria

x

i = “nº de veces que ocurre el éxito A cuando se realiza el experimento n veces”

sigue una distribución de probabilidad binomial de parámetros ‘n’ y ‘p’, y se representa por B(n,p), cuando:

- el experimento se repite un número determinado n de veces idénticas.

- cada vez que se realiza se pueden considerar sólo dos posibles resultados, A = éxito y

A

=

fracaso.

- La probabilidad de estos dos sucesos es la misma cada vez que se realiza el experimento:

p(A)=p;

p

 

A

q

; con p + q = 1. Es decir, los experimentos son independientes.

Consideremos el lanzamiento tres veces consecutivas de una moneda trucada. Generalizando a una moneda en la cual la probabilidad de obtener cara es p( C)=p y la de obtener cruz es P(X)=q, es evidente que p + q = 1. La suma de todas las probabilidades de la distribución es:

       

3

2

2

3

3

3

0

1

2

3

p

p

p

p

p

q

pq

q

p

3

1

3

1

p

q

Tenemos que la probabilidad de que la variable

x

i = “nº de caras en tres lanzamientos” tome cada uno

de sus valores, viene descrita por cada uno de los términos del desarrollo de la potencia del binomio

3

q

p

.

Se puede demostrar que, si en lugar de tres lanzamientos, se realizan n, las probabilidades se comportan de la misma forma. Entonces cada uno de los términos del desarrollo de la potencia del binomio

n

q

p

representa la probabilidad de que la variable

x

i = “nº de caras en ‘n’ lanzamientos”

tome el valor correspondiente al exponente del término p.

NOTA: Recordamos que el desarrollo de la potencia de

n

q

p

viene dado por el binomio de Newton:

n n n n k n k n

q

n

q

p

k

n

q

p

n

n

q

p

n

n

p

n

n

q

p





















  

0

...

...

2

1

2 2 1

NOTA: El número combinatorio





k

n

representa el número de grupos distintos de k elementos que se

pueden formar eligiéndolos de entre n elementos. Se calcula aplicando la expresión:

!

!

k

n

k

n

k

n





.

(También se pueden calcular los números combinatorios leyéndolos de las filas correspondientes del triángulo de Tartaglia).

Entonces resulta que la probabilidad de que la variable

x

i tome el valor k viene dada por la expresión:

 

k n k k

n k

i

p

p

k

n

q

p

k

n

k

p

k

x

p









1

, con k = 0, 1, 2, …, n.

(20)

Nº de éxitos: r

0 1 2 … n-1 n

i

p

n

q

n





0

1

·

1





n

q

p

n

2 2

·

2





n

q

p

n

q p n

n n

· 1

1

     

n

p

n

n





Es decir, la posibilidad de obtener k éxitos será:

 

k

n k

p

p

k

n

k

p





1

.

45º.-(ejercicio resuelto 6 pág. 334):

Lanzamos un dado 20 veces. Observamos, en cada caso, si la puntuación obtenida es múltiplo de tres. Comprueba si la variable que expresa el número de veces que se ha obtenido un múltiplo de tres sigue la distribución binomial. En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución.

Solución: En cada tirada: A = obtener múltiplo de 3; son 20 lanzamientos: resultados independientes. p(A) = 2/6 = 1/3 = constante; Los valores posibles de la variable (0, 1, 2, 3, …, 19, 20)

Parámetros de la distribución: n=20; p = 1/3. Por tanto: B(20, 1/3)

Ejemplo 46º: Se tiene una moneda trucada, de modo que la probabilidad de que salga cara en cada lanzamiento es p = 0,3. Halla la probabilidad de que:

a) En cinco lanzamientos se obtengan 3 caras. b) En 10 lanzamientos se obtengan 6 caras.

Solución:

a) p(3 caras en 5 tiradas) =

·

0

,

3

·

0

,

7

10

·

0

,

027

·

0

,

49

0

,

1323

3

5

3 2





b) p(6 caras en 10 tiradas) =

·

0

,

3

·

0

,

7

210

·

7

,

29

·

10

·

0

,

2401

0

,

0368

6

10

6 4 4





Ejemplo 47º: Se toman 10 bombillas de un almacén en el que la probabilidad de que una sea defectuosa es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos bombillas defectuosas?

Solución: El número de bombillas defectuosas que hay entre las 10 elegidas es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial B(10; 0,03). Por tanto:

0317

,

0

97

,

0

·

03

,

0

·

2

10

)

2

(



2 8



p

Ejemplo 48º: En cierto país, la tasa de paro de la población activa es del 18 %. Si se toma una muestra de 30 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que en la muestra haya exactamente 4 parados?

Solución: El número de parados en dicha muestra es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial B(30; 0,18). Por tanto:

1652

,

0

82

,

0

·

18

,

0

·

4

30

)

4

(



4 26



p

Ejemplo 49º: Se toman 5 bombillas de una caja de la que se sabe que la probabilidad de que cada bombilla no luzca es de 0,03. ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellas estén en mal estado?

Solución: El número de bombillas estropeadas que hay entre las 5 elegidas es una variable aleatoria que presenta una distribución binomial B(5; 0,03). Por tanto:

0082

,

0

000821

,

0

·

2

5

97

,

0

·

03

,

0

·

2

5

)

2

(

2 3









(21)

Ejemplo 50º: Se sabe que tres de cada 10 alumnos de un país hablan inglés. ¿Cuál es la probabilidad de que en una clase de 40 alumnos haya, al menos, 5 alumnos que sepan inglés?

Solución: El número de alumnos en una clase de 40 que saben inglés es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial B(40; 3/10).

x

5

p

   

5

p

6

...

p

 

40

p

i

Podemos abreviar este cálculo considerando el suceso contrario:

x

5

1

p

x

5

1

p

         

0

p

1

p

2

p

3

p

4

p

i i

6

,

37

·

10

1

,

09

·

10

9

,

12

·

10

4

,

95

·

10

1

,

96

·

10

0

,

9974

1

7

5

5

4

3

    

MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Dada una distribución binomial de la forma: B(n,p), tenemos:

p

n

·

y

n

·

p

·

q

Ejemplo 51º(ejercicio resuelto 1 pág. 336):

Se supone que la probabilidad de nacer niño es del 0,50. Calcula la probabilidad de que en una familia de seis hijos sean:

a) Todos varones.

b) Al menos, dos varones. c) Tres varones

d) Calcula la media y la desviación típica.

Solución: B(6,1/2); x = nº hijos varones en familias de 6 hijos.

A) todos varones:

0

,

015625

2

1

·

6

6

6

6





x

p

B) al menos dos varones:

 

1

0

,

109375

0

,

890625

2

1

2

1

1

6

2

1

·

0

6

1

1

0

1

2

1

2

5 6









p

x

p

x

p

x

x

p

C) tres varones:

0

,

3125

2

1

·

2

1

·

3

6

3

3 3





x

p

D)

3

2

1

·

6

·

n

p

;

1

,

223

2

1

·

2

1

·

6

·

·

n

p

q

Ejemplo 52º: Calcula la media y la desviación típica de una variable aleatoria que sigue una distribución binomial con n = 40 y p = 0,3.

Solución: Es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial B(40; 0,3).

12

3

,

0

·

40

;

40

·

0

,

3

·

0

,

7

2

,

8983

2

,

90

Referencias

Documento similar

La campaña ha consistido en la revisión del etiquetado e instrucciones de uso de todos los ter- mómetros digitales comunicados, así como de la documentación técnica adicional de

You may wish to take a note of your Organisation ID, which, in addition to the organisation name, can be used to search for an organisation you will need to affiliate with when you

Where possible, the EU IG and more specifically the data fields and associated business rules present in Chapter 2 –Data elements for the electronic submission of information

The 'On-boarding of users to Substance, Product, Organisation and Referentials (SPOR) data services' document must be considered the reference guidance, as this document includes the

In medicinal products containing more than one manufactured item (e.g., contraceptive having different strengths and fixed dose combination as part of the same medicinal

Products Management Services (PMS) - Implementation of International Organization for Standardization (ISO) standards for the identification of medicinal products (IDMP) in

Products Management Services (PMS) - Implementation of International Organization for Standardization (ISO) standards for the identification of medicinal products (IDMP) in

This section provides guidance with examples on encoding medicinal product packaging information, together with the relationship between Pack Size, Package Item (container)