Bonifacio EquilibrioenEconomíasconPreferenciasSingle Peaked

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Equilibrio en Econom´ıas con Preferencias Single-Peaked

*

Agust´ın G. Bonifacio**

Instituto de Matem´atica Aplicada San Luis Universidad Nacional de San Luis y CONICET

Octubre 2009

Resumen

En este trabajo estudiamos la existencia de equilibrio en econom´ıas de intercambio con preferencias single-peaked, a través del equilibrio walrasiano con slack (Mas-Colell, 1992). Resolvemos expl´ıcitamente el equilibrio en término de los datos del modelo (dotaciones ini-ciales y “peaks”) y caracterizamos el mismo como la única solución que satisface tres axiomas: racionalidad individual, consistencia y dotación-monoton´ıa. Luego mostramos relaciones de esta solución con laregla de reasignación uniforme (Klauset al, 1998).

Palabras Clave: equilibrio walrasiano con slack, preferencias single-peaked, regla de reasig-naci´on uniforme.

C´odigos JEL: D51, D70.

Abstract

In this paper we study the existence of equilibrium in exchange economies with single-peaked preferences, by means of the so-called Walrasian equilibrium with slack (Mas-Colell, 1992). We explicitly solve the equilibrium using the model’s data (initial endowments and “peaks”) and characterize it as the only solution fulfilling three axioms: individual rationality, consistency and endowment-monotonicity. Then we show this solution’s relation with the

uniform reallocation rule (Klauset al, 1998).

Keywords: Walrasian equilibrium with slack, single-peaked preferences, uniform realloca-tion rule.

JEL Codes: D51, D70.

1. Introducci´

on

Consideremos el problema de reasignar dotaciones iniciales de un bien en un conjunto de agentes basándonos en las preferencias de esos agentes, cuando no existe la posibilidad de elimi-nación libre del bien en cuestión. El concepto de solución más utilizado por los economistas para realizar tal tarea es el sistema de precios, o mecanismo walrasiano. El mecanismo walrasiano utiliza a los precios para coordinar los planes individuales de oferta y demanda al restringir las opciones disponibles a los agentes de la econom´ıa a aquellas alcanzables dadas sus restricciones de presupuesto, es decir, la valuación de sus dotaciones al precio vigente.

*_{Agradezco a G. Berganti˜}_{nos, J. Mass´o y A. Nieto Barthaburu por correcciones y comentarios realizados sobre}

una versi´on anterior de este art´ıculo. Este trabajo ha sido parcialmente financiado por proyecto nro. 319502 de la Universidad Nacional de San Luis y por proyecto PICT 02114 de CONICET.

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Aqu´ı estudiamos el mecanismo de precios cuando las preferencias de los agentes son single-peaked: hasta un cierto nivel cr´ıtico, un aumento en el consumo del bien incrementa el bienestar del agente; más alla de ese nivel sucede lo opuesto (siendo ese nivel cr´ıtico no necesariamente igual para todos los agentes). Si un agente se preocupa no sólo sobre su propio consumo sino también en lo que consumen los otros, y si suponemos, como es bastante natural, que se preocupe más en su propio consumo cuando su consumo es bajo y sobre los demás cuando su consumo es alto, entonces ese agente tiene preferencias single-peaked sobre su propio consumo. Otro ejemplo de este tipo de preferencias puede darse basándonos en caracter´ısticas del bien en cuestión: si el bien fuese perecedero el nivel cr´ıtico ser´ıa la cantidad que puede consumirse antes de su vencimiento.

El análisis de equilibrio en nuestro contexto presenta un problema: las preferencias de los agentes poseen un máximo dentro de sus conjuntos de consumo. Con preferencias saciadas no siempre es posible garantizar la existencia del equilibrio walrasiano clásico, ya que parte del ingreso de los agentes saciados no termina redistribuyéndose y, en consecuencia, la Ley de Walras es violada. Un nuevo concepto de equilibrio es necesario: el equilibrio walrasiano con slack, introducido por Mas-Colell [4]. El slack es una cantidad extra de ingreso que se da a todos los agentes por igual para contrarrestar el problema anterior.

En este trabajo calculamos las asignaciones y el slack de equilibrio para una econom´ıa con preferencias single-peaked, y caracterizamos este equilibrio a través de tres propiedades deseables para una solución: racionalidad individual, esto es, todos prefieren su asignación de equilibrio a su dotación inicial; consistencia, es decir, la recomendación que realiza el equilibrio con slack sigue siendo la misma al retirar del problema un subconjunto de agentes con sus respectivas asignaciones de equilibrio; y dotación-monoton´ıa, o sea, si la dotación inicial de un individuo disminuye (y la deseabilidad del bien no var´ıa) su asignación de equilibrio es menos preferida a la anterior.

Existen otras formas de hacer la redistribución de las dotaciones iniciales que no involucran al sistema de precios. Una de ellas es laregla de reasignación uniforme, presentada en Klauset al[3], que generaliza a la regla uniforme (estudiada por Sprumont [8]) al permitir dotaciones iniciales. Mostramos, sin embargo, que las asignaciones del equilibrio walrasiano con slack coinciden con las de la regla de reasignación uniforme y, por lo tanto, que el equilibrio walrasiano con slack puede caracterizarse también a través de las propiedades presentadas en [3] (y viceversa).

El interés en econom´ıas con preferencias single-peaked radica en el estudio del diseño de meca-nismos de asignación. Por ejemplo, es conocido el buen comportamiento de varios mecameca-nismos respecto a la no manipulabilidad cuando sus dominios de preferencias son single-peaked (un trabajo seminal a este respecto, aplicado a bienes públicos, es Moulin [5]). La no manipulabilidad (strategy-proofness) de un mecanismo hace referencia a que ningún agente tenga incentivos a declarar preferencias falsas para lograr una asignación más favorable. Desde Hurwicz [2] es conocido el trade-off entre eficiencia y no manipulabilidad en econom´ıas de intercambio con domi-nios clásicos y varios bienes. All´ı se demuestra la manipulabilidad del mecanismo walrasiano para econom´ıas de intercambio con dos agentes y dos bienes, resultado que Serizawa [6] generalizó a un número arbitrario (pero finito) de bienes y agentes1_{. La extensión de nuestro modelo a varios} bienes puede brindar luz al problema de la no manipulabilidad versus eficiencia en contextos de bienes privados.

Desde otro punto de vista, la conexi´on entre soluciones que en principio no utilizan el sistema de precios y el mecanismo walrasiano es importante porque puede llegar a permitir un mejor

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entendimiento de ambas reglas de asignaci´on, al tiempo que crea un puente entre los resultados existentes en cada una de estas ´areas.

El trabajo se organiza de la siguiente manera. Luego de una sección de preliminares, en la sección 3 estudiamos el equilibrio walrasiano con slack y damos una demostración constructiva del mismo para luego caracterizarlo. Más adelante, en la sección 4, estudiamos la relación entre el equilibrio con slack y la regla de reasignación uniforme.

2. Preliminares

Consideraremos econom´ıas de intercambio de a lo sumo n agentes y un solo bien perfecta-mente divisible. SeaN ={1, . . . , n}el conjunto total de agentes. Cadai∈N está caracterizado por una dotación e_i ∈ R₊ del bien y por una relación de preferencias R_i definida sobre R₊. Llamemos Pi a la preferencia estricta2 yIi a la relación de indiferencia3 asociadas a Ri. Supon-dremos que las preferencias de los agentes son single-peaked, esto es, cada Ri tiene un único máximo τ(R_i) (su “peak”) tal que, para cualesquiera z_i, z0

i ∈ R+, tenemos ziPizi0 siempre que

z0

i < zi < τ(Ri) o τ(Ri) < zi < zi0. Llamemos R al dominio de preferencias single-peaked definidas enR+. Unaeconom´ıa quedar´a conformada por un perfil de preferencias R∈ Rny un vector de dotaciones inicialese∈Rn₊ y ser´a denotada por (R, e).

Una asignaci´on x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn+ es factible si

P

i∈Nxi = E, donde E :=

P

i∈Nei. Denotaremos por X(R, e) al conjunto de asignaciones factibles para la econom´ıa (R, e). Una asignaci´on factible x eseficiente si no existe otra asignaci´on factibley tal que yiRixi para todo

iyyiPixi para alg´un i; eindividualmente racional siempre que seaxiRiei para todoi.

Dados una econom´ıa (R, e), un x ∈ X(R, e) y un S ⊂ N, la econom´ıa reducida asociada denotada por (R, e0)S,xes la econom´ıa formada por los miembros deScon las mismas preferencias que en la econom´ıa original y con dotaciones4 _e0

i := ei +

P

j∈N\S(ej−xj)

|S| . Una solución es una función que asocia a cada econom´ıa (R, e) un elemento deX(R, e). Una solución seráconsistente5 siempre que dé a cada econom´ıa reducida la asignación reducida correspondiente, es decir, si

f es una soluci´on consistente, (R, e) una econom´ıa y f(R, e) = x, entonces ∀S ⊂ N tenemos

f((R, e0₎

S,x) =xS, donde xS := (xi)i∈S. Por último, diremos que una solución f será dotación-monótona siempre que, dados (R, e), e0

i ∈ R+, E0 := e0i+

P

j6=iei; si suponemos que e0i ≤ ei entonces: (i) E ≤ P_i∈Nτ(Ri) implica fi(R, e)Rifi(R, e0i, e−i) y (ii) E0 ≥

P

i∈Nτ(Ri) implica

fi(R, e0i, e−i)Rifi(R, e).

3. Equilibrio

Un equilibrio walrasiano consiste de un precio6 _{y una asignaci´on factible tales que los agentes} maximizan sus preferencias en el conjunto de asignaciones que cumplen su restricci´on de riqueza,

2_z

iPizi0⇔(ziRiz0iy nozi0Rizi).

3_z

iIiz0i⇔(ziRiz0iyzi0Rizi).

4_{Dado un conjunto}_A_{, denotamos por}_|_A_|_{a la cantidad de elementos que posee.}

5_{La definici´on de econom´ıa reducida realizada anteriormente es necesaria para extender la idea de consistencia}

usual en modelos con una dotación social al contexto de dotaciones individuales. Sin embargo, aún con este ajuste de las dotaciones iniciales de los integrantes de la econom´ıa reducida puede haber problemas, ya que algunas dotaciones podr´ıan quedar negativas (ver Thomson [9], pág. 68).

6_{El precio se ha normalizado, por lo que supondremos que s´olo puede tomar los valores 1, 0 o}₋_{1. El precio}

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es decir, que valuadas a ese precio cuestan a lo sumo lo que cuesta su dotaci´on inicial. Formal-mente,

Definición 1 Un equilibrio walrasiano para la econom´ıa (R, e) es un par (w, p)∈[0, E]n_× {−1,0,1} tal que, para todo i, la asignación wi maximiza Ri en la restricción presupuestaria

β_i(p, e_i) ={z_i ∈[0, E] :pz_i ≤pe_i} y P_i∈Nw_i=E.

Es bien conocido que bajo esta definición un equilibrio puede no existir cuando las preferencias están saciadas. Más precisamente, si las preferencias tienen un máximo dentro de los conjuntos de consumo, entonces, a cualquier precio, los agentes pueden elegir sus consumos óptimos en el interior de sus restricciones presupuestarias. Esto lleva a la violación de la Ley de Walras y, por ende, a la inexistencia de equilibrio.

Ejemplo 1 Sean N = {1,2}, τ(R₁) = 1, τ(R₂) = 4 y e₁ = e₂ = 2. Esta econom´ıa no posee ning´un equilibrio walrasiano. En efecto, si p= 0, entoncesw1= 1, w2= 4 yw1+w2> e1+e2; si p= 1 tenemos quew1 = 1, w2 = 2 yw1+w2 < e1+e2 y sip=−1 entonces w1 = 2,w2 = 4 yw1+w2 > e1+e2.

Sin embargo, la existencia de equilibrio puede restaurarse si se le da a todos los agentes una cantidad extra de ingreso para gastar. El estudio de equilibrio con preferencias posiblemente saciadas fue realizado por Mas-Colell en [4]. All´ı se define un equilibrio walrasiano con slack:

Definici´on 2 Un equilibrio walrasiano con slack para la econom´ıa (R, e) es una terna

(w, p, λ) ∈ [0, E]n_{× {−1}_,₀_,_{1} ×}_R

+ tal que, para todo i, la asignaci´on wi maximiza Ri en la restricci´on presupuestaria γi(p, ei, λ) ={zi ∈[0, E] :pzi ≤pei+λ} y

P

i∈Nwi =E.

Claramente cuando λ = 0 el equilibrio walrasiano con slack se reduce al equilibrio walrasiano clásico. A continuación mostramos que en una econom´ıa de intercambio de un bien y preferencias single-peaked siempre existe equilibrio con slack y hacemos un cálculo expl´ıcito de su solución.

Proposici´on 1 Dada la econom´ıa (R, e), su equilibrio walrasiano con slack(w, p, λ) puede cal-cularse de la siguiente manera:

1. SiP_i∈Nτ(Ri) =E entonces wi =τ(Ri) y p=λ= 0 constituyen el equilibrio; 2. SiP_i∈Nτ(Ri)> E tomamos p= 1, mientras que si

P

i∈Nτ(Ri)< E tomamosp=−1; 3. Reordenamos a los agentes de manera quep(τ(R1)−e1)≤p(τ(R2)−e2)≤. . .≤p(τ(Rn)−

en);

4. Si definimos λ0 = 0 y λi= λi−1(n−i+1)+p(e_n−i i−wi) entonces

wi(R, e) =

(

m´ın{τ(R_i), e_i+λ_i−1} si P_i∈Nτ(R_i)> E

m´ax{τ(Ri), ei−λi−1} si

P

i∈Nτ(Ri)< E

5. Finalmente, para ambos casos, λ=λn−1.

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Proposici´on 2 (Dagan, 1995)El equilibrio walrasiano con slack es consistente, es decir, dada una econom´ıa(R, e), siw=w(R, e)es la asignaci´on del equilibrio walrasiano con slack yS⊂N, entonces wi(R, e) =wi((R, e0)S,w) ∀i∈S.

Prueba. Ver Dagan [1], proposici´on 2, p´ag. 6.¤

Prueba de la Proposición 1. Trabajaremos suponiendo P_i∈Nτ(Ri) > E (aqu´ıp= 1), el otro caso es análogo. La prueba es por inducción. Si τ(Ri) ≥ ei ∀i entonces wi(R, e) = ei ∀i. Si, en cambio, existe un j tal que τ(R_j) < e_j, entonces τ(R₁) < e₁ y w₁(R, e) = τ(R₁). Notemos que, en cualquier caso,w1(R, e) = m´ın{τ(R1), e1}. Dejemos que los primeroskagentes se vayan con su asignación de equilibrio y consideremos la econom´ıa reducida7 ₍_{R, e}0₎

N\K,w. Por un argumento an´alogo al anterior (puesto que en esta econom´ıa el agente k+ 1 es el “primer agente”) tenemos que

w_k+1((R, e0)_N_\K,w) = m´ın{τ(R_k+1), e0}= m´ın

(

τ(R_k+1), e_k+1+

P_k

j=1(ej −wj)

n−k

)

.

Por la consistencia del equilibrio con slack,wk+1(R, e) =wk+1((R, e0)N\K,w). Entonceswk+1(R, e) =

m´ın{τ(R_k+1), e_k+1+λ_k}, provisto que es f´acil ver que λ_k =

Pk

j=1(ej−wj)

n−k . Notemos, por ´ultimo, que si i∗ _{es el primer agente que no obtiene su peak entonces}_λ

i∗₋₁ =λ_i∗ =. . .=λ_n−1. Como

definimos λ=λn−1, cada agente imaximiza Ri en γi(p, ei, λ), ya que los anteriores a i∗ eligen su peak y el resto elige ei+λ. Por lo tanto (w,1, λ) es el equilibrio con slack. ¤

Ejemplo 2 Para la econom´ıa del ejemplo 1, w1 = 1, w2 = 3, p = 1 y λ = 1 constituyen el

equilibrio walrasiano con slack.

Ejemplo 3 En la siguiente tabla hacemos el cálculo del equilibrio con slack de una econom´ıa a través del algoritmo de la proposición 1:

i τ(Ri) ei wi λi 1 4 20 4 4

2 5 4 5 5

3 8 5 8 6

4 20 4 10 6 5 30 7 13

-67 40 40

Notemos que la sucesi´on de losλies no decreciente, y que desde el ´ultimo peak asignado (agente 3) los λi no cambian. El slack es λ= 6 y el preciop= 1, ya que los peaks suman 67 y E= 40.

Veamos cómo funciona el algoritmo cuando P_i∈Nτ(Ri) ≥ E. Primero se fija p = 1 y se reordena a los agentes de acuerdo a la diferencia entre sus peaks y sus dotaciones iniciales, colo-cando primero a quienes poseen sus peaks dentro de sus restricciones presupuestarias. Luego, si el primer agente se sacia en su restricción el ingreso no utilizado por él se divide equitativamente entre los agentes restantes (este es el slack). Caso contrario,ningún agente se sacia en su restric-ción (esto por el orden en el que se encuentran), el slack es cero y todos terminan con su dotarestric-ción inicial en el equilibrio. A continuación, si el agente 1 se sacia en su restricción, el agente dos posee una nueva restricción ampliada. Si se sacia dentro de esa restricción ampliada obtiene su

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peak y el slack se revisa de manera que el ingreso no utilizado por 2 se reparta equitativamente entre el resto de los agentes. Si 2 no se sacia entonces consume su dotación más el slack original, al igual que el resto de los agentes. El proceso continua de la misma manera. Siempre que alguien consigue su peak se revisa el slack y, caso contrario, tanto el agente en cuestión como todos los que le siguen consumen su dotación más el slack.

A continuaci´on presentamos una caracterizaci´on del equilibrio walrasiano con slack:

Proposición 3 El equilibrio walrasiano con slack es la única solución que satisface racionalidad individual, consistencia y dotación-monoton´ıa.

Prueba. El equilibrio walrasiano con slack es individualmente racional por definici´on (ya que

wi maximiza Ri en γi(p, ei, λ)) y es consistente por proposición 2. Veamos que es dotación-monótono. SupongamosP_i∈Nτ(Ri)≥E. Siei0 ≤ei, seaλ0el slack del equilibrio para (R, e0i, e−i). En el apéndice mostramos que debe ser λ0 _≤_λ _{y por lo tanto} _w

i(E, e0i, e−i) = m´ın{τ(Ri), e0i+

λ0_{} ≤}_m´ın{_τ₍_R

i), ei+λ}=wi(R, e). Comowi(E, e0_i, e−i) ≤wi(R, e) ≤τ(Ri) y las preferencias son single-peaked, vale quewi(R, e)Riwi(R, e0i, e−i).

Seaf una solución individualmente racional, consistente y dotación-monótona. Analicemos el caso P_i∈Nτ(R_i)≥E, el otro es análogo. Sin pérdida de generalidad supongamosτ(R₁)−e₁ ≤

τ(R2) −e2 ≤ . . . ≤ τ(Rn)−en. Pueden darse dos casos. En el primero, τ(Ri) ≥ ei ∀i. La racionalidad individual impone fi(R, e)Riei ∀i. Pero entonces fi(R, e) = ei ∀i ya que de otro modo el vector f(R, e) no ser´ıa factible. En el segundo caso, τ(R₁)< e₁ y f₁(R, e) =τ(R₁). Si esto no fuera cierto tomando e0

1 =τ(R1) y teniendo en cuenta que por racionalidad individual

f1(R, e01, e−1) = τ(R1) llegar´ıamos a que f1(R, e01, e−1)P1f1(R, e). Esto último viola el hecho de que f es dotación-monótona. En ambos casos, hemos visto que f₁(R, e) = m´ın{τ(R₁), e₁}. Dejemos que los primeroskagentes se vayan con lo quef les asigna y consideremos la econom´ıa reducida asociada (R, e0₎

N\K,f. Por un argumento an´alogo al reci´en expuesto tenemos que

fk+1((R, e0)N\K,f) = m´ın{τ(Rk+1), ek+1+λk}. Por consistencia,fk+1((R, e0)N\K,f) =fk+1(R, e). En consecuencia, por la proposici´on 1, f(R, e) =w(R, e).¤

Observaci´on 1 En el modelo general de Mas-Colell el equilibrio walrasiano con slack no es

siempre eficiente. Sin embargo con preferencias single-peaked la eficiencia queda garantizada. Es fácil ver que en nuestro modelo vale la siguiente equivalencia: la solución f(R, e) es eficiente si y sólo si o fi(R, e)≥τ(Ri)∀io fi(R, e)≤τ(Ri)∀i. Claramentew(R, e) cumple esta condición.

4. Regla de Reasignaci´

on Uniforme

En Klauset al [3] se estudia el problema de reasignar un bien perfectamente divisible entre agentes con preferencias single-peaked y dotaciones iniciales. Dada una econom´ıa (R, e), con

P

i∈Nei=E, ellos definen la regla como

ur_i(R, e) =

(

m´ın{τ(Ri), ei+µ} si

P

i∈Nτ(Ri)≥E m´ax{τ(R_i), e_i−µ} si P_i∈Nτ(R_i)< E

dondeµ≥0 y resuelveP_i∈Nur_i =E. Una simple inspecci´on a la prueba de la proposici´on 1 nos muestra que las asignaciones del equilibrio walrasiano con slack coinciden con las de esta regla.

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Prueba. Basta tomarµ=λ, siendoλel slack del equilibrio de (R, e).¤

Para presentar la caracterizaci´on de la regla de reasignaci´on uniforme, primero necesitaremos algunas definiciones.

Dada una preferencia Ri ∈ R y un α ∈R tal que τ(Ri) +α ≥0, lapreferencia trasladada

R_i+αse define como:∀z_i, z0

i∈R,zi(Ri+α)zi0si (zi−α)Ri(zi0−α). Una soluciónf cumplirátrato igualitario siempre que, dada una econom´ıa (R, e),i, j∈N,α∈R,Rj =Ri+α y ej =ei+α, valga que fj(R, e)Ij(fi(R, e) +α).Trato igualitario requiere entonces que, si las preferencias y dotaciones de dos agentes son iguales salvo traslación, entonces cada agente debe ser indiferente entre lo que le asigna la solución y la asignación trasladada del otro agente.

La no manipulabilidad de una solución, como ya mencionamos, hace referencia a que ningún agente sea capaz de mejorar su asignación revelando una preferencia falsa. Formalmente, f es no manipulable si f(R, e)Rifi(Ri0, R−i, e) para todo R∈ Rn, y todo R0i∈ R.

Ahora formalizaremos una noci´on de simetr´ıa en el modelo. SeaR_i ∈ R, entonces Rr i ∈ R es la reflexi´on de Ri (respecto de τ(Ri)) si se satisface que ∀zi, zi0 ∈ R, ziRriz0i si (2τ(Ri)−

zi)Ri(2τ(Ri) −zi0). Denotaremos con Rr a la reflexión del perfil R ∈ Rn y por τ(R) ∈ Rn+ al vector de peaks asociado. Dada una econom´ıa (R, e), la econom´ıa revertida asociada, (R, e), posee los roles de las dotaciones y los peaks intercambiados de manera tal que cada preferencia es reflejada respecto al peak y trasladada desde el peak a la dotación. Esto es, (R, e) está compuesta por el perfil de preferencias (Rr₋₍_τ₍_R₎₋_e₎₎_{∈ R}n _{y el vector de dotaciones} _τ₍_R₎_∈_Rn

+. Una soluci´on ser´a reversible siempre que fi(R, e)−ei=ei−fi((R, e)) para todo i∈N.

Proposición 5 (Klaus et al, 1998) La regla de reasignación uniforme es la única solución que satisface eficiencia, no manipulabilidad, reversibilidad y trato igualitario.

Prueba. Ver Klauset al [3], teorema 1, p´ag. 302.¤

Corolario 1 Podemos caracterizar al equilibrio walrasiano con slack a través de las propiedades de eficiencia, no manipulabilidad, reversibilidad y trato igualitario. De igual forma, la regla de reasignación uniforme puede caracterizarse como la única individualmente racional, consistente y dotación-monótona.

La regla de reasignaci´on uniforme es, en realidad, una adaptaci´on de la regla uniforme al contexto que considera dotaciones iniciales. Para cada perfil de preferencias R ∈ Rn _{y una} cantidad total E de un bien perfectamente divisible, laregla uniforme u(R, E) se define como

ui(R, E) =

(

m´ın{τ(R_i), ρ} si P_i∈Nτ(R_i)≥E

m´ax{τ(Ri), ρ} si

P

i∈Nτ(Ri)< E

conρ que resuelve P_i∈Nui(R, E) =E.

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Proposici´on 6 Dado el perfilR∈ Rn _{y una cantidad total}_E _{del bien, tenemos que}_u₍_{R, E}_{) =}

w(R,¯e) si e¯= (E

n, . . . ,En).

Prueba. Supongamos P_i∈Nτ(Ri) ≥ E, el otro caso es similar. Sea (w,1, λ) el equilibrio con slack de (R,¯e). Si hacemos ρ := ¯ei + λ = E_n +λ entonces wi(R,¯e) = m´ın{τ(Ri), ρ} ∀i y

P

i∈Nwi(R,e¯) =E, es decir, w(R,e¯) =u(R, E). ¤

Observaci´on 2 Viendo la regla uniforme como un equilibrio walrasiano con slack es inmediata la eficiencia y la racionalidad individual desde la asignaci´on igualitaria.

Observación 3 A la luz de la proposición 6, el algoritmo que calcula las asignaciones de equi-librio en la proposición 1 puede verse como una generalización del algoritmo presentado por Sönmez [7] (lema 1, pág. 232) para calcular la regla uniforme.

A. Prueba de que

λ

0

_≤

_λ

Este ap´endice est´a dedicado a probar la siguiente

Proposici´on 7 Sea (R, e) una econom´ıa y (w, p, λ) su equilibrio walrasiano con slack. Supon-gamos P_i∈Nτ(Ri)≥E. Sea ei0 ≤ei y consideremos la econom´ıa (R, e0i, e−i) con su correspon-diente equilibrio con slack (w0_{, p, λ}0₎_{. Entonces} _λ0 _≤_λ_.

Prueba. Supongamose0

i < eiyλ0> λ. Dividamos a los agentes de cada econom´ıa en tres grupos: uno conformado s´olo por el agente i, otro por quienes consumen su peak (que llamaremos S en (R, e) y ¯Sen (R, e0

i, e−i)) y otro formado por el resto de los agentes (que llamaremosDen (R, e) y ¯

Den (R, e0_i, e−i)). Notemos que, al serλ0> λ,S⊆S¯y por ende ¯D⊆D. Adem´as,D= (D\D¯)∪D¯ y ¯S \S = D\ D¯. Por factibilidad tenemos que E0 ₌ _w0

i +

P

j∈S¯τ(Rj) +

P

j∈D¯(ej +λ0) y

E =wi+

P

j∈Sτ(Rj) +

P

j∈D(ej+λ). Restando y miembro a miembro,

E0−E = (w_i0−wi) +

X

j∈S\S¯

τ(Rj)−

X

j∈D\D¯

(ej +λ) +|D¯|(λ0−λ)

y como ¯S\S=D\D¯ yE0₋_E₌_e0 i−ei,

(e0_i−ei) = (w0i−wi) +

X

j∈D\D¯

[τ(Rj)−(ej+λ)] +|D¯|(λ0−λ) (A.1)

Afirmaci´on: (e0_i−ei)−(wi0−wi)≤(λ0−λ).

Como wi = m´ın{τ(Ri), ei+λ} yw0i= m´ın{τ(Ri), e0i+λ0} tenemos que|w0i−wi| ≤ |(e0i+λ0)− (e_i+λ)|=|(e0

i−ei) + (λ0−λ)| ≤ |e0i−ei|+|λ0−λ|= (ei−e0i) + (λ0−λ). Es decir,

|w_i0−w_i| ≤(e_i−e0_i) + (λ0−λ).

Entonces −[(e_i−e0

i) + (λ0−λ)]≤(w0i−wi) y vale la afirmaci´on.

De (A.1) y la afirmaci´on se desprende queP_j∈D\_D¯[τ(Rj)−(ej+λ)] +|D¯|(λ0−λ)≤(λ0−λ), o equivalentemente,

X

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SiD6= ¯Dy|D¯|>1 habremos llegado a una contradicción. Veamos que cuandoD= ¯Dy|D¯|= 1 también obtenemos una contradicción. En este caso (A.1) queda

(e0_i−ei) = (wi0−wi) + (λ0−λ) (A.2)

Analicemos todos los casos posibles:

1. wi =τ(Ri)< ei+λ,

a) w0_i =τ(Ri). Aqu´ı (A.2) quedaei0−ei =λ0−λy en consecuenciaλ0 < λ. Absurdo. b) w0

i = e0i +λ0. En este caso de (A.2) se deduce que τ(Ri) = ei + 2λ0 −λ y, como

τ(R_i)< e_i+λ,llegamos nuevamente a que λ0 _{< λ}_{. Absurdo.}

2. wi =ei+λ < τ(Ri),

a) w0

i =τ(Ri). De (A.2) se desprende quee0i =τ(Ri) +λ0−2λ y comoe0i < τ(Ri)−λ0 valeλ0 _{< λ}_{. Absurdo.}

b) w0_i =e0_i+λ0. En este caso (A.2) quedaλ0=λ. Otro absurdo. Por lo tantoλ0 _≤_λ_._¤

Referencias

[1] Dagan, N. (1995). “Consistent Solutions in Exchange Economies: A Characterization of the Price Mechanism”. Universitat Pompeu Fabra Economics Working Paper #141.

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