OPCIÓN DE EXAMEN Nº 1
Ejercicio 1.-
Sea A una matriz de la forma
+
−
+
−
=
1
1
1
x
x
x
A
, conx
∈
ℜ
. Sea
=
1
0
0
1
I
la matrizidentidad.
1) [2 puntos] Calcule los valores de x para los cuales se verifica la igualdad A.(A - I) = A - I.
2) [1’25 puntos] Calcule los valores de x para los cuales A tiene inversa. Calcule la inversa de A cuando x = 2.
(
) (
) (
) (
)
(
)(
)
( )
( )
( )
−
−
=
−
−
⋅
−
=
⇒
−
−
=
⇒
−
−
=
⇒
−
=
+
−
=
−
−
=
⇒
−
−
=
⇒
=
⋅
=
⇒
⇒
≠
⇒
−
+
−
ℜ
∈
∀
−
=
+
=
⇒
±
=
⇒
=
+
=
−
⋅
⋅
−
−
=
∆
⇒
=
−
−
⇒
=
+
+
−
⇒
=
⇒
+
−
=
+
−
+
=
+
−
+
−
=
≠
−
=
⇒
=
+
−
+
−
⇒
=
⇒
=
⇒
−
⋅
−
=
−
⋅
−
−
− − −
−
1
2
1
3
1
2
1
3
1
1
1
2
1
3
3
1
2
1
1
2
3
3
2
1
1
3
2
1
1
2
1
0
2
5
1
,
2
5
1
2
5
1
2
5
1
2
5
1
5
4
1
1
1
4
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
,
)
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
)
1
1 1 2
2 2
2 1
1
A
A
adj
A
A
A
x
Si
A
adj
A
A
A
Existe
A
x
x
x
x
x
x
x
x
A
Si
x
x
x
x
x
x
x
x
A
nula
es
no
matriz
su
cuando
matriz
una
inversa
Tiene
b
solución
tiene
No
x
x
x
x
I
A
I
I
A
I
A
I
A
I
A
I
A
A
a
t t
t
Ejercicio 2.-
Se quiere construir un depósito (sin techo) con forma de prisma recto de base cuadrada y lados rectángulos. El depósito debe albergar un volumen de 2000 m3. Sabemos que el coste de materiales de la base es de 50 €/m2, el coste de materiales de las cuatro paredes es de 100€/m2. Además, el coste de construcción es un coste fijo de 20000 €.1) [0,5 PUNTOS] Escriba la función c(l) de coste total en función del lado de la base l. 2) [1,5 PUNTOS] ¿Para qué valor de l es el coste total mínimo? ¿Cuánto es este coste?
3) [0,5 PUNTOS] ¿Qué ocurre con el coste cuando el lado l de la base del depósito tiende a infinito? ¿Y
cuando tiende a cero?
4) [1 PUNTO] Usando solo los datos obtenidos de los apartados anteriores, haga un esbozo de la gráfica de
la curva c(l) en el dominio
l
∈
(
0
,
∞
)
Siendo L el lado de la base cuadrada y H la altura del prisma
( )
c
( )
L
L
L
L
LH
L
L
c
L
H
H
L
a
20000
100
.
2000
4
50
20000
100
.
4
50
2000
2000
)
2 2
2
2 2
+
⋅
⋅
+
⋅
=
⇒
+
⋅
+
⋅
=
Continuación del Ejercicio 2 de la opción de Examen nº 1
( )
( )
(
) (
)
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Sin
solución
L
L
L
L
c
L
L
L
L
L
L
L
L
c
c
c
c
m
H
m
L
Mínimo
c
L
L
L
c
L
L
L
L
L
L
L
L
dL
L
c
d
L
c
L
L
L
L
L
L
c
L
L
L
L
dL
L
dc
L
c
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
dL
L
dc
L
c
b
x x
x
Hopital L Utilizando x
x x
⇒
⋅
=
+
⋅
+
⋅
=
+
+
⋅
=
∞
=
∞
⋅
=
+
⋅
=
=
→
=
+
+
⋅
=
∞
∞
=
+
+
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
+
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
=
⇒
=
=
=
=
⇒
>
=
=
+
⋅
=
+
⋅
=
⇒
+
⋅
=
+
−
⋅
=
−
−
⋅
=
=
⇒
=
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
−
⋅
⇒
=
⇒
−
⋅
=
−
⋅
=
=
−
−
−
+
⋅
=
+
+
−
+
⋅
=
=
→ →
∞ →
∞ → ∞
→ ∞
→
0
16000
50
0
16000
0
400
0
50
16000
400
50
lim
lim
50
1
400
3
lim
50
16000
400
lim
50
16000
400
50
lim
lim
)
€
80000
1600
50
20
20
32000
50
20
16000
8000
8000
50
20
16000
20
400
20
50
20
5
400
2000
20
2000
20
0
600
80
24000
8000
16000
8000
100
20
16000
20
100
20
''
16000
100
''
16000
2
3
100
8000
2
3
100
''
20
8000
8000
0
8000
0
8000
100
0
'
8000
100
16000
2
50
'
16000
400
400
3
50
16000
400
400
3
50
'
)
3 3
0 0
2
' 3
3
3 2
3 3 3
3
3 3 3 4
3 2
2 2
2 3
3
3 2
3 2
3 2
3
2 3 3
Ejercicio 3
Sea
π
el planoπ
≡
x - y + z = 0. Sea r la recta2
1
1
2
1
+
=
−
=
−
≡
x
y
z
r
1) [0,75 PUNTOS] Describa la posición relativa de
π
y r.2) [1 PUNTO] Calcule el ángulo formado por
π
y r (si no posee calculadora, puede dejar indicado el resultado final).3) [1,5 PUNTOS] Dé un ejemplo de una recta que corte a r, una recta que sea paralela y distinta de r y una
recta que se cruce con r. Al menos una de esas rectas debe darse mediante sus ecuaciones implícitas (generales).
1) Una recta y un plano son paralelos, y sus vectores directores perpendiculares si el producto escalar de estos es nulo, en caso de no ser nulo se cortan en un punto
(
)
(
)
(
) (
)
(
) (
)
( )
( )
''
25
'
12
º
74
9
3
5
1
8649376274
0,96225044
9
3
5
3
3
5
9
3
5
2
1
2
1
1
1
2
,
1
,
2
1
,
1
,
1
)
2
tan
0
5
2
1
2
2
,
1
,
2
1
,
1
,
1
2
,
1
,
2
1
,
1
,
1
2 2 2
2 2 2
=
=
=
=
=
⋅
=
+
−
+
⋅
+
−
+
−
⋅
−
=
⋅
⋅
=
⇒
≠
=
+
+
=
−
⋅
−
=
⋅
⇒
−
=
−
=
sen
arc
v
v
v
v
sen
forman
que
ángulo
el
Siendo
punto
un
en
cor
se
plano
el
y
recta
La
v
v
v
v
r r
r r
α
α
α
π π
π π
3) Supongamos una recta s que pasa por uno de los puntos R de la recta dada (tomamos el indicado en la ecuación) y que tiene un vector director diferente
(
)
(
)
2
1
2
1
2
,
2
,
1
1
,
0
,
1
+
=
=
−
≡
⇒
=
−
y
z
x
s
v
R
s
Una recta t es paralela si no tiene puntos comunes con r y su vector director es el mismo Sea el punto T(3 , 1 , -1)
(
)
(
)
2
1
1
1
2
3
2
1
2
1
3
2
,
1
,
2
1
,
1
,
3
+
=
−
−
=
−
≡
⇒
⇒
≠
−
≡
⇒
−
=
=
−
x
y
z
t
r
a
pertenece
no
T
r
v
v
T
r t
Una recta u se cruzará con r si tiene un punto U no común con los de r y su vector director no es igual o proporcional al de r
Sea el punto U(3 , 1 , -1)
(
)
(
)
2
1
1
3
3
1
1
2
3
2
,
1
,
3
1
,
1
,
3
+
=
−
=
−
≡
⇒
≠
⇒
−
≠
⇒
=
−
z
y
x
u
v
v
v
U
OPCIÓN DE EXAMEN Nº 2
1) Considere el sistema de ecuaciones
=
⋅
+
−
3
3
3
2
2
0
2
3
2
0
2
3
0
1
0
2
2z
y
x
t
t
t
con
t
∈
ℜ
[3,25 PUNTOS] Estudie la compatibilidad del sistema, dependiendo del parámetro t, y calcule todas las
soluciones en los casos en los que sea compatible
El determinante de la matriz de los coeficientes ampliada debe de ser nulo, y los valores que de serán los que hacen al sistema compatible determinado o indeterminado, analizaremos los casos que se presenten
Continuación Ejercicio 1 de la Opción de Examen nº 2
(
)
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
+
⇒
=
⇒
=
⇒
=
⋅
+
⇒
=
⇒
=
⇒
=
1
,
0
,
2
1
,
,
2
1
1
2
2
1
2
0
0
3
3
1
3
3
1
0
1
3
2
0
0
0
1
0
0
3
3
0
1
0
2
/
min
3
z
y
x
Solución
x
x
x
y
y
y
z
B
A
ado
Deter
Compatible
Sistema
t
Ejercicio 2.- Sea f(x) = ln (x2 + 3x + 2).
1) [2,5 PUNTOS] Calcule el dominio de f, los cortes con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento,
máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.
2) [1 PUNTO] Haga un esbozo de la gráfica de f.
(
)(
)
−
>
⇒
>
+
−
>
⇒
>
+
⇒
>
+
+
⇒
>
+
+
−
=
−
−
=
−
=
+
−
=
⇒
⋅
±
−
=
⇒
≥
=
⋅
⋅
−
=
∆
⇒
=
+
+
3
0
3
1
0
1
0
3
1
0
2
3
2
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3
0
1
2
1
4
3
0
2
3
)
2
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
a
−
∞
-2 -1∞
x > -2 ( - ) ( + ) ( + )
x > -1 ( - ) ( - ) ( + )
Solución ( + ) ( - ) ( + )
( )
(
) (
)
( )
(
)
(
)
−
−
=
+
−
=
⇒
⋅
±
−
=
⇒
=
⋅
⋅
−
=
∆
⇒
=
+
+
⇒
=
+
+
⇒
+
+
=
⇒
=
⇒
=
+
⋅
+
=
⇒
=
⇒
−
>
∪
−
<
ℜ
∈
∀
=
2
5
3
2
5
3
1
2
5
3
5
1
1
4
3
0
1
3
1
2
3
2
3
ln
0
0
2
ln
2
0
3
0
ln
0
0
1
2
/
2
2 2
2 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
OX
con
corte
de
Puntos
f
x
OY
con
corte
de
Puntos
x
x
Continuación Ejercicio 2 de la Opción de Examen nº 2
( )
(
)
(
)(
)
( )
−
>
⇒
>
+
−
>
⇒
>
+
−
>
⇒
−
>
⇒
>
+
⇒
>
⇒
⇒
+
+
+
=
+
+
+
=
+
⋅
+
+
=
1
0
1
2
0
2
2
3
3
2
0
3
2
0
'
1
2
3
2
2
3
3
2
3
2
2
3
1
'
2 2x
x
x
x
x
x
x
x
f
o
Crecimient
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
∞
−
-22
3
−
-1∞
x > -2 ( - ) ( + ) ( + ) ( + )
2
3
−
>
x
( - ) ( - ) ( + ) ( + )x > -1 ( - ) ( - ) ( - ) ( + )
Solución ( - ) ( + ) ( + ) ( + )
Decrecimiento
∀
x
∈
ℜ
/
x
<
−
2
Crecimiento∀
x
∈
ℜ
/
x
>
−
1
Había posibilidades de extremos relativos en x = -2 y en x = -1, pero al no existir definición de función en esos puntos, no existen extremos relativos.
verticales
Asíntotas
Había posibilidades de asíntotas verticales en x = -2 y en x = -1, pero al no existir definición de función en esos puntos, no existen asíntotas verticales.
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
∞
→
⇒
=
=
=
→
=
∞
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
→
=
∞
∞
=
+
+
=
=
−∞
→
∞
=
∞
=
+
+
=
+
+
=
=
∞
→
∞
=
∞
=
+
+
=
+
+
=
=
∞ → ∞
→ ∞
→ ∞
→
−∞ → −∞
→ −∞
→
∞ → ∞
→ ∞
→
x
cuando
oblicua
asíntota
existe
No
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
m
oblicuas
Asíntotas
x
cuando
horizontal
asíntota
existe
No
x
x
x
x
x
f
y
x
cuando
horizontal
asíntota
existe
No
x
x
x
x
x
f
y
es
horizontal
Asíntotas
Hopital L Aplicando
x x
Hopital L Aplicando x
x
x x
x
x x
x
0
2
2
lim
2
3
3
2
lim
1
2
3
3
2
lim
2
3
ln
lim
lim
ln
2
3
lim
ln
2
3
ln
lim
lim
ln
2
3
lim
ln
2
3
ln
lim
lim
'
2 2
' 2
2 2
Continuación Ejercicio 2 de la Opción de Examen nº 2 2)
3) Sea
π
≡
(
0
,
0
,
1
) (
+
t
1
,
2
,
0
) (
+
s
0
,
1
,
1
)
, sea U el punto U = (2 , 0 , 1)1) [1,5 PUNTOS] Calcule el punto V de
π
más próximo a U.2) [1 PUNTO] Calcule la distancia de U a
π
.3) [0,75 PUNTOS] Calcule las ecuaciones implícitas (generales) de una recta paralela al plano
π
que pase por el punto U.a) El punto V es la intersección de la recta r que contiene al punto U, y es perpendicular al plano
π
, que lo calcularemos gracias a los vectores t , s y el vector AG, siendo G el punto genérico del plano y A un punto del plano pedido (tomamos el que indica su ecuación), los tres vectores son coplanarios y por ello la matriz que forman (el producto mixto de los tres) es nula ya que el volumen del paralelepípedo que forman es cero. La recta r queda determinada por el vector director del plano y por el punto A(
) (
) (
)
( )
(
)
(
) ( ) (
)
−
−
=
−
⋅
+
=
−
=
−
=
−
=
⇒
=
+
⇒
=
−
+
+
+
+
⇒
=
−
+
+
−
−
+
⋅
⇒
⇒
+
=
−
=
+
≡
⇒
−
=
=
⇒
=
−
+
−
≡
⇒
=
−
−
+
⇒
=
−
≡
⇒
−
=
=
=
1
2
2
2
3
2
2
2
2
4
0
4
6
0
1
1
4
4
0
1
1
2
2
2
sec
1
2
2
1
,
1
,
2
0
1
2
0
1
2
0
1
1
0
0
2
1
1
1
,
,
1
,
0
,
0
,
,
x
ción
Inter
z
y
r
v
v
z
y
x
y
z
x
z
y
x
z
y
x
z
y
x
AG
r
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
π
π
π
Y
Continuación Ejercicio 3 de la Opción de Examen nº 2
(
)
( )
u
U
d
b
3
6
2
6
6
4
6
4
1
1
2
1
1
0
2
2
,
)
2 2
2
+
−
+
=
=
=
−
+
−
⋅
=
π
c) Las rectas que pasan por U y son paralelas al plano son infinitas, hallaremos una, u, que tenga como vector director uno de los vectores generadores del plano, tomaremos el vector t
(
)
0
2
1
2
0
,
2
,
1
u
x
y
z
v
b) El área del triángulo ABC es la mitad del módulo del producto vectorial de AB y AC
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
( )
2
2 2
2
2
3
5
3
5
2
1
75
2
1
2
1
75
5
5
5
5
5
5
5
10
5
5
5
5
0
2
1
1
2
1
5
,
5
,
0
2
,
1
,
2
3
,
4
,
2
2
,
1
,
1
2
,
1
,
2
0
,
0
,
1
u
AC
AB
S
AC
AB
k
j
i
j
i
k
i
k
j
i
AC
AB
AC
AB
S
AC
AB
=
⋅
=
⋅
=
∧
⋅
=
=
−
+
+
=
∧
⇒
−
+
=
+
+
−
−
=
−
−
−
=
∧
⇒
∧
⋅
=
⇒
−
=
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
c
) Hallaremos un plano
π
que conteniendo el punto C es perpendicular a la recta r, siendo el vector director del plano el de la recta que es perpendicular al vector CG, siendo G el punto genérico del plano, y por ello el producto escalar, de ambos, nulo y la ecuación pedida del plano.Calcularemos el punto Q de intersección de la recta r y el plano
π
, el módulo del vector CQ es la distancia pedida.(
)
(
) (
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
d
(
C
r
)
u
CQ
z
y
x
Q
ción
Inter
z
y
x
z
y
x
z
y
x
CG
v
CG
v
z
y
x
z
y
x
CG
v
v
z
y
x
r
y
z
y
x
x
y
r21
81
1701
9
23
9
34
9
4
,
9
23
,
9
34
,
9
4
3
,
4
,
2
9
4
,
9
2
,
9
22
9
2
2
9
2
9
2
2
2
9
2
2
9
0
2
9
0
6
2
2
2
2
2
sec
0
6
2
2
0
3
2
4
2
2
0
3
,
4
,
2
2
,
1
,
2
0
3
,
4
,
2
3
,
4
,
2
,
,
2
,
1
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
=
=
+
+
=
⇒
=
−
−
−
−
=
⇒
−
⋅
=
−
=
−
⋅
−
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−
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=
−
⇒
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−
−
⇒
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−
⋅
−
−
−
⋅
⇒
=
−
−
−
≡
⇒
=
+
⋅
+
−
+
−
⋅
−
⇒
=
+
−
−
⋅
−
⇒
=
⋅
⇒
⊥
⇒
+
−
−
=
−
−
=
−
=
=
⇒
=
=
−
=
≡
⇒
=
⇒
−
=
⇒
=
+
λ
λ
λ
λ
λ
λ
π
λ
λ
λ
π π
