Ejercicio 2.- Se quiere construir un depósito (sin techo) con forma de prisma recto de base cuadrada y

Texto completo

(1)

OPCIÓN DE EXAMEN Nº 1

Ejercicio 1.-

Sea A una matriz de la forma





+

+

=

1

1

1

x

x

x

A

, con

x

. Sea





=

1

0

0

1

I

la matriz

identidad.

1) [2 puntos] Calcule los valores de x para los cuales se verifica la igualdad A.(A - I) = A - I.

2) [1’25 puntos] Calcule los valores de x para los cuales A tiene inversa. Calcule la inversa de A cuando x = 2.

(

) (

) (

) (

)

(

)(

)

( )

( )

( )





=





=





=





=

=

+

=

=





=

=

=

+



=

+

=

±

=

=

+

=

=

=

=

+

+

=

+

=

+

+

=

+

+

=

=





=





+

+

=

=

=

− − −

1

2

1

3

1

2

1

3

1

1

1

2

1

3

3

1

2

1

1

2

3

3

2

1

1

3

2

1

1

2

1

0

2

5

1

,

2

5

1

2

5

1

2

5

1

2

5

1

5

4

1

1

1

4

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

,

)

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

)

1

1 1 2

2 2

2 1

1

A

A

adj

A

A

A

x

Si

A

adj

A

A

A

Existe

A

x

x

x

x

x

x

x

x

A

Si

x

x

x

x

x

x

x

x

A

nula

es

no

matriz

su

cuando

matriz

una

inversa

Tiene

b

solución

tiene

No

x

x

x

x

I

A

I

I

A

I

A

I

A

I

A

I

A

A

a

t t

t

Ejercicio 2.-

Se quiere construir un depósito (sin techo) con forma de prisma recto de base cuadrada y lados rectángulos. El depósito debe albergar un volumen de 2000 m3. Sabemos que el coste de materiales de la base es de 50 €/m2, el coste de materiales de las cuatro paredes es de 100€/m2. Además, el coste de construcción es un coste fijo de 20000 €.

1) [0,5 PUNTOS] Escriba la función c(l) de coste total en función del lado de la base l. 2) [1,5 PUNTOS] ¿Para qué valor de l es el coste total mínimo? ¿Cuánto es este coste?

3) [0,5 PUNTOS] ¿Qué ocurre con el coste cuando el lado l de la base del depósito tiende a infinito? ¿Y

cuando tiende a cero?

4) [1 PUNTO] Usando solo los datos obtenidos de los apartados anteriores, haga un esbozo de la gráfica de

la curva c(l) en el dominio

l

(

0

,

)

Siendo L el lado de la base cuadrada y H la altura del prisma

( )

c

( )

L

L

L

L

LH

L

L

c

L

H

H

L

a

20000

100

.

2000

4

50

20000

100

.

4

50

2000

2000

)

2 2

2

2 2



+

+

=

+

+

=

(2)

Continuación del Ejercicio 2 de la opción de Examen nº 1

( )

( )

(

) (

)

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Sin

solución

L

L

L

L

c

L

L

L

L

L

L

L

L

c

c

c

c

m

H

m

L

Mínimo

c

L

L

L

c

L

L

L

L

L

L

L

L

dL

L

c

d

L

c

L

L

L

L

L

L

c

L

L

L

L

dL

L

dc

L

c

L

L

L

L

L

L

L

L

L

L

dL

L

dc

L

c

b

x x

x

Hopital L Utilizando x

x x

=

+

+

=

+

+

=

=

=

+

=

=

=

+

+

=

=

+

+

=

=

=



=

+

+

=

+

+

=

=

=

=

=

>

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

+

=

+

+

+

=

=

→ →

∞ →

∞ → ∞

→ ∞

0

16000

50

0

16000

0

400

0

50

16000

400

50

lim

lim

50

1

400

3

lim

50

16000

400

lim

50

16000

400

50

lim

lim

)

80000

1600

50

20

20

32000

50

20

16000

8000

8000

50

20

16000

20

400

20

50

20

5

400

2000

20

2000

20

0

600

80

24000

8000

16000

8000

100

20

16000

20

100

20

''

16000

100

''

16000

2

3

100

8000

2

3

100

''

20

8000

8000

0

8000

0

8000

100

0

'

8000

100

16000

2

50

'

16000

400

400

3

50

16000

400

400

3

50

'

)

3 3

0 0

2

' 3

3

3 2

3 3 3

3

3 3 3 4

3 2

2 2

2 3

3

3 2

3 2

3 2

3

2 3 3

(3)

Ejercicio 3

Sea

π

el plano

π

x - y + z = 0. Sea r la recta

2

1

1

2

1

+

=

=

x

y

z

r

1) [0,75 PUNTOS] Describa la posición relativa de

π

y r.

2) [1 PUNTO] Calcule el ángulo formado por

π

y r (si no posee calculadora, puede dejar indicado el resultado final).

3) [1,5 PUNTOS] Dé un ejemplo de una recta que corte a r, una recta que sea paralela y distinta de r y una

recta que se cruce con r. Al menos una de esas rectas debe darse mediante sus ecuaciones implícitas (generales).

1) Una recta y un plano son paralelos, y sus vectores directores perpendiculares si el producto escalar de estos es nulo, en caso de no ser nulo se cortan en un punto

(

)

(

)

(

) (

)

(

) (

)

( )

( )

''

25

'

12

º

74

9

3

5

1

8649376274

0,96225044

9

3

5

3

3

5

9

3

5

2

1

2

1

1

1

2

,

1

,

2

1

,

1

,

1

)

2

tan

0

5

2

1

2

2

,

1

,

2

1

,

1

,

1

2

,

1

,

2

1

,

1

,

1

2 2 2

2 2 2

=

=

=

=

=

=

+

+

+

+

=

=

=

+

+

=

=



=

=

sen

arc

v

v

v

v

sen

forman

que

ángulo

el

Siendo

punto

un

en

cor

se

plano

el

y

recta

La

v

v

v

v

r r

r r

α

α

α

π π

π π

3) Supongamos una recta s que pasa por uno de los puntos R de la recta dada (tomamos el indicado en la ecuación) y que tiene un vector director diferente

(

)

(

)

2

1

2

1

2

,

2

,

1

1

,

0

,

1

+

=

=

=

y

z

x

s

v

R

s

Una recta t es paralela si no tiene puntos comunes con r y su vector director es el mismo Sea el punto T(3 , 1 , -1)

(

)

(

)

2

1

1

1

2

3

2

1

2

1

3

2

,

1

,

2

1

,

1

,

3

+

=

=

=

=

x

y

z

t

r

a

pertenece

no

T

r

v

v

T

r t

Una recta u se cruzará con r si tiene un punto U no común con los de r y su vector director no es igual o proporcional al de r

Sea el punto U(3 , 1 , -1)

(

)

(

)

2

1

1

3

3

1

1

2

3

2

,

1

,

3

1

,

1

,

3

+

=

=

=

z

y

x

u

v

v

v

U

(4)

OPCIÓN DE EXAMEN Nº 2

1) Considere el sistema de ecuaciones

=

+

3

3

3

2

2

0

2

3

2

0

2

3

0

1

0

2

2

z

y

x

t

t

t

con

t

[3,25 PUNTOS] Estudie la compatibilidad del sistema, dependiendo del parámetro t, y calcule todas las

soluciones en los casos en los que sea compatible

El determinante de la matriz de los coeficientes ampliada debe de ser nulo, y los valores que de serán los que hacen al sistema compatible determinado o indeterminado, analizaremos los casos que se presenten

(5)

Continuación Ejercicio 1 de la Opción de Examen nº 2

(

)

=

=

=

=

+

=

=

=

+

=

=

=

1

,

0

,

2

1

,

,

2

1

1

2

2

1

2

0

0

3

3

1

3

3

1

0

1

3

2

0

0

0

1

0

0

3

3

0

1

0

2

/

min

3

z

y

x

Solución

x

x

x

y

y

y

z

B

A

ado

Deter

Compatible

Sistema

t

Ejercicio 2.- Sea f(x) = ln (x2 + 3x + 2).

1) [2,5 PUNTOS] Calcule el dominio de f, los cortes con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento,

máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.

2) [1 PUNTO] Haga un esbozo de la gráfica de f.

(

)(

)

>

>

+

>

>

+

>

+

+

>

+

+

=

=

=

+

=

±

=

=

=

=

+

+

3

0

3

1

0

1

0

3

1

0

2

3

2

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

0

1

2

1

4

3

0

2

3

)

2

2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

a

-2 -1

x > -2 ( - ) ( + ) ( + )

x > -1 ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( + ) ( - ) ( + )

( )

(

) (

)

( )

(

)

(

)



=

+

=

±

=

=

=

=

+

+

=

+

+

+

+

=

=

=

+

+

=

=

>

<

=

2

5

3

2

5

3

1

2

5

3

5

1

1

4

3

0

1

3

1

2

3

2

3

ln

0

0

2

ln

2

0

3

0

ln

0

0

1

2

/

2

2 2

2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

y

OX

con

corte

de

Puntos

f

x

OY

con

corte

de

Puntos

x

x

(6)

Continuación Ejercicio 2 de la Opción de Examen nº 2

( )

(

)

(

)(

)

( )

>

>

+

>

>

+

>

>

>

+

>

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

=

1

0

1

2

0

2

2

3

3

2

0

3

2

0

'

1

2

3

2

2

3

3

2

3

2

2

3

1

'

2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

f

o

Crecimient

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

-2

2

3

-1

x > -2 ( - ) ( + ) ( + ) ( + )

2

3

>

x

( - ) ( - ) ( + ) ( + )

x > -1 ( - ) ( - ) ( - ) ( + )

Solución ( - ) ( + ) ( + ) ( + )

Decrecimiento

x

/

x

<

2

Crecimiento

x

/

x

>

1

Había posibilidades de extremos relativos en x = -2 y en x = -1, pero al no existir definición de función en esos puntos, no existen extremos relativos.

verticales

Asíntotas

Había posibilidades de asíntotas verticales en x = -2 y en x = -1, pero al no existir definición de función en esos puntos, no existen asíntotas verticales.

( )

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

=

=

=

=

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

=

=

+

+

=

=

−∞

=

=

+

+

=

+

+

=

=

=

=

+

+

=

+

+

=

=

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

−∞ → −∞

→ −∞

∞ → ∞

→ ∞

x

cuando

oblicua

asíntota

existe

No

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

m

oblicuas

Asíntotas

x

cuando

horizontal

asíntota

existe

No

x

x

x

x

x

f

y

x

cuando

horizontal

asíntota

existe

No

x

x

x

x

x

f

y

es

horizontal

Asíntotas

Hopital L Aplicando

x x

Hopital L Aplicando x

x

x x

x

x x

x

0

2

2

lim

2

3

3

2

lim

1

2

3

3

2

lim

2

3

ln

lim

lim

ln

2

3

lim

ln

2

3

ln

lim

lim

ln

2

3

lim

ln

2

3

ln

lim

lim

'

2 2

' 2

2 2

(7)

Continuación Ejercicio 2 de la Opción de Examen nº 2 2)

3) Sea

π

(

0

,

0

,

1

) (

+

t

1

,

2

,

0

) (

+

s

0

,

1

,

1

)

, sea U el punto U = (2 , 0 , 1)

1) [1,5 PUNTOS] Calcule el punto V de

π

más próximo a U.

2) [1 PUNTO] Calcule la distancia de U a

π

.

3) [0,75 PUNTOS] Calcule las ecuaciones implícitas (generales) de una recta paralela al plano

π

que pase por el punto U.

a) El punto V es la intersección de la recta r que contiene al punto U, y es perpendicular al plano

π

, que lo calcularemos gracias a los vectores t , s y el vector AG, siendo G el punto genérico del plano y A un punto del plano pedido (tomamos el que indica su ecuación), los tres vectores son coplanarios y por ello la matriz que forman (el producto mixto de los tres) es nula ya que el volumen del paralelepípedo que forman es cero. La recta r queda determinada por el vector director del plano y por el punto A

(

) (

) (

)

( )

(

)

(

) ( ) (

)

=

+

=

=

=

=

=

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

=

+

=

=

=

+

=

+

=

=

=

=

1

2

2

2

3

2

2

2

2

4

0

4

6

0

1

1

4

4

0

1

1

2

2

2

sec

1

2

2

1

,

1

,

2

0

1

2

0

1

2

0

1

1

0

0

2

1

1

1

,

,

1

,

0

,

0

,

,

x

ción

Inter

z

y

r

v

v

z

y

x

y

z

x

z

y

x

z

y

x

z

y

x

AG

r

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

π

π

π

Y

(8)

Continuación Ejercicio 3 de la Opción de Examen nº 2

(

)

( )

u

U

d

b

3

6

2

6

6

4

6

4

1

1

2

1

1

0

2

2

,

)

2 2

2

+

+

=

=

=

+

=

π

c) Las rectas que pasan por U y son paralelas al plano son infinitas, hallaremos una, u, que tenga como vector director uno de los vectores generadores del plano, tomaremos el vector t

(

)

0

2

1

2

0

,

2

,

1

u

x

y

z

v

(9)

b) El área del triángulo ABC es la mitad del módulo del producto vectorial de AB y AC

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

( )

2

2 2

2

2

3

5

3

5

2

1

75

2

1

2

1

75

5

5

5

5

5

5

5

10

5

5

5

5

0

2

1

1

2

1

5

,

5

,

0

2

,

1

,

2

3

,

4

,

2

2

,

1

,

1

2

,

1

,

2

0

,

0

,

1

u

AC

AB

S

AC

AB

k

j

i

j

i

k

i

k

j

i

AC

AB

AC

AB

S

AC

AB

=

=

=

=

=

+

+

=

+

=

+

+

=

=

=



=

=

=

=

c

) Hallaremos un plano

π

que conteniendo el punto C es perpendicular a la recta r, siendo el vector director del plano el de la recta que es perpendicular al vector CG, siendo G el punto genérico del plano, y por ello el producto escalar, de ambos, nulo y la ecuación pedida del plano.

Calcularemos el punto Q de intersección de la recta r y el plano

π

, el módulo del vector CQ es la distancia pedida.

(

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

d

(

C

r

)

u

CQ

z

y

x

Q

ción

Inter

z

y

x

z

y

x

z

y

x

CG

v

CG

v

z

y

x

z

y

x

CG

v

v

z

y

x

r

y

z

y

x

x

y

r

21

81

1701

9

23

9

34

9

4

,

9

23

,

9

34

,

9

4

3

,

4

,

2

9

4

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