PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2007 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

13  46  Descargar (2)

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2007

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

1.-El examen consta de tres bloques de ejercicios y cada bloque tiene dos opciones. De cada bloque debe escogerse uno sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables.

BLOQUE 1

1-A) Un cajero automático contiene 1.330 euros repartidos en billetes de tres tipos dis-tintos: 10, 20 y m euros. En el cajero hay en total 97 billetes y el número de billetes de 10 euros es el doble del número de billetes de 20 euros.

a ) Plantea un sistema de ecuaciones lineales cuya resolución permita averiguar cuántos billetes hay de cada tipo.

b ) Prueba que para m

{

5, 50, 100, 200, 500

}

el sistema es compatible determinado. c ) Razona si en el cajero puede haber billetes de 100 euros.

--- a )

Siendo x, y, z el número de billetes de 10, 20 y m euros, respectivamente, sería:

    

= = + +

= + +

y x z y x

mz y x

2 197 1330 20

10

o el sistema equivalente:

    

= −

= + +

= + +

0 2

197 1330 20

10

y x

z y x

mz y x

.

b )

(2)

distinto de cero.

La matriz de coeficientes es

  

 

  

 

− =

0 2 1

1 1 1

20

10 m

M .

N m m

m m

m

M =− + − + = − = ⇒ ∉

= 2 20 20 40 3 0

0 2 1

1 1 1

20 10

De lo anterior se deduce que:

{

}

el sistema es C D como debíamos probar m

Para ∈ 5, 50, 100, 200, 500 . .,

c )

Para que en el cajero haya billetes de 100 euros es necesario que las soluciones del sistema que se obtiene sustituyendo m por 100 tenga soluciones en N.

El sistema es

    

= −

= + +

= +

+

0 2

197 1330 100

20 10

y x

z y x

z y

x

o mejor:

    

= −

= + +

= + +

0 2

197 133 10

2

y x

z y x

z y x

.

Para resolverlo tenemos en cuenta que x = 2y, con lo cual resulta el sistema:

N y y

y z

y z y

z y

z y

z y y

z y y

= =

=

⇒   

= +

− = − −

  

= +

= +

  

= + +

= + +

65 ' 70 26

1837

; ; 1837 26

1970 10

30

133 10

4 197

3

133 10

4 197 2

133 10

2 2

(3)

1-B) Considera la matriz           − − = 1 0 1 0 3 4 1 m m

A , donde mR.

a ) Determina para qué valores de m la matriz A es regular (inversible).

b ) Para m = 1 resuelve el sistema de ecuaciones lineales:

          = = 2 5 11 , con B

B X

A .

c ) Calcula CA−1 · B

, siendo           = 6 5 4

C y B definida en el apartado anterior.

Indicación: No se necesita calcular A-1.

---

a )

Una matriz es inversible cuando su determinante es distinto de cero:

     − = − = ⇒ ± − = − ± − = = + + = − − = 3 1 2 2 4 2 12 16 4 ; ; 0 3 4 1 0 1 0 3 4 1 2 1 2 m m m m m m m A

{

1, 3

}

, ≠− ≠−

m R m m

inversible es

A

b )

Para m = 1 es

          − − = 1 0 1 0 1 3 4 1 1

A y

          =                     − − ⇒ = 2 5 11 · 1 0 1 0 1 3 4 1 1 z y x B X

A ,

sien-do           = z y x

X . El sistema de ecuaciones lineales resultante es

     = + − = + = + − 2 5 3 11 4 z x y x z y x .

Su resolución más sencilla es la siguiente:

(

5 3

) (

4 2

)

11 ;; 2

3 5 11

4 ⇒ − − + + =

      + = − = ⇒ = +

x x x

(4)

1 ; ; 8 8 ; ; 11 4

8 3

5+ + + = = =

x x x x

x

3 ;

; 2 ;

; 1

: x = y= z = Solución

c )

Si en la ecuación AX =B multiplicamos los dos términos por la izquierda por 1

A resulta:

  

 

  

 

= = =

= − − −

2 2 1 ·

; ; · ·

; ; · ·

· 1 1 1

1

X B A B A X I B A X A A

  

 

  

 

=

  

 

  

 

  

 

  

 

= − −

3 3 3 3

2 1 6 5 4 ·

1 B A C

(5)

BLOQUE 2

2-A) Considera la función f :RR definida por

( )

  

> +

≤ =

0 0

2 x si x bx

x si x sen x

f con bR.

a ) Calcula el valor de b para que f sea derivable en x = 0.

b ) Para b = -2 y el intervalo

[

−2

π

, 3

]

, determina los puntos de corte con los ejes, ex-tremos relativos (máximos y mínimos), la curvatura y dibuja la gráfica de la función de f.

c ) Calcula el área comprendida entre la curva y= sen x y la recta y = 0 en el intervalo

[

−2

π

, 0

]

.

--- a )

Para que una función sea derivable en un punto es condición necesaria que sea continua en ese punto.

Para que f(x) sea continua para x = 0 tiene que cumplirse que los límites por la izquierda y por la derecha sean iguales, e igual al valor de la función en ese punto:

( )

( )

( )

(

bx x

)

b R

x lím x

f x

lím

f x

sen x

lím x

f x

lím

      

= + →

= →

= = →

= →

+ −

0 0

0

0 0

0 0

2

La función es continua en x = 0 para cualquier valor real de b.

Una función es derivable en un punto si, y solo si, existen la derivada por la iz-quierda y la derivada por la derecha en ese punto y además, son iguales.

( )

( )

1

0 '

1 0 ' 0

2

0 cos

) (

' ⇒ =

  

= =

⇒ 

 

> +

= +b

b f

f x

si x b

x si x x

f

La función es derivable en x = 0 para b = 1.

b )

Para b = -2 la función es

( )

  

> −

≤ =

0 2

0 2

x si x x

x si x sen x

f .

(6)

Los puntos de corte con los ejes son los siguientes:

(

0, 0

) (

, , 0

)

(

2 , 0

)

2 0 0 3 2 1

π

π

π

π

⇒ − −           − = − = = ⇒

= O A y B

x x x

x

sen .

Los posibles extremos relativos son para los valores de x que anulan la primera

derivada:

( )

      − = − = ⇒ = = 2 3 2 0 cos ' 2 1

π

π

x x x x f .

Para diferenciar entre máximos y mínimos se recurre a la segunda derivada; si los valores de la segunda derivada, para los valores que anulan la primera, son positivos o negativos, se tratará de mínimos o máximos, respectivamente.

( )

( )

( )

        − = ⇒ < − = =       − = − − = ⇒ > = =       − = − ⇒ − = 2 3 . 0 1 2 3 2 3 ' ' 2 . 0 1 2 2 ' ' ' ' 2 3 2

π

π

π

π

π

π

π π x para Máx sen sen f x para Mín sen sen f x sen x f

( )

      ⇒ ⇒ − =       =

− , 1

2 1 2 2

π

π

π sen Mínimo C

f

( )

      ⇒ ⇒ =       =

− , 1

2 3 1 2 3 2

sen

π

Máximo D

π

f

La curvatura de la función la determina su segunda derivada: la función es con-vexa

( )

∪ en los intervalos donde la segunda derivada es negativa y cóncava

( )

∩ cuan-do la segunda derivada es positiva.

En el intervalo considerado

[

−2

π

, 0

]

la curvatura es la siguiente:

(7)

En el intervalo

(

0, 3

]

la función es f

( )

x = x2 −2x

. Los puntos de corte con los ejes son los siguientes:

(

)

( )

0, 0

(

2, 0

)

2 0 0

2 ;

; 0 2

2 1 2

E y O

x x

x x x

x

    

    

= =

= − =

− .

Los posibles extremos relativos son para los valores de x que anulan la primera derivada:

( )

2 2 2

(

1

)

0 1 ' x = x− = x− = ⇒ x =

f .

( )

2 0 '

' x = > f

( )

2 0 1

'

' x = > ⇒ Mínimo para x = f

( )

1 =12 −2 ·1=1−2=−1 ⇒ ⇒

(

1, −1

)

F

Mínimo f

En el intervalo considerado

(

0, 3

]

la curvatura es la siguiente:

( )

2 0

( )

( )

0, 3

'

' x = > ⇒ Convexa ∪ ⇒ xf

La representación gráfica, aproximada, de la función es la siguiente:

c )

Teniendo en cuenta que la recta y = 0 es el eje de abscisas y que en el intervalo

(

π

, 0

)

las ordenadas de la superficie son negativas, la superficie pedida, que es la sombreada en la figura que está a continuación, es la siguiente:

( )

  

> −

≤ =

0 2

0

2

x si x x

x si x sen x

f

Y

X

A B

C

π

E

F

3 2

1 3

2 1

-1

-1 -2

-4

-5 O

π 2

2 π

2 3π

(8)

[

]

[

]

[

]

[

]

( )

(

)

[

]

[

( )

]

( )

u S

x x

x x

dx x sen dx

x sen S

= =

+ + − − = +

+ −

=

= +

− +

− = −

− −

− −

− −

=

= −

− = −

+ −

= +

= − −

− −

− − −

2

0 2

0 2

0 2

4 1 1 1 · 2 0 cos 2

cos cos

2

0 cos cos

2 cos cos

0 cos cos

2 cos cos

cos cos

cos cos

· ·

π

π

π

π

π

π

π

π

π π

π π

π π π

π

π

**********

f(x) = sen x Y

X π

1

-1

-1 -2

-4 -5

S

y = 0

π 2

(9)

2-B) Queremos hacer un envase con tapa y forma de prisma regular con base cuadrada y cuya capacidad sea de 10.000 cm3. Sabiendo que cada cm2 del material de la base sale un 50 % más caro que cada cm2 del material empleado para el resto del prisma, halla las dimensiones del envase para que su precio sea el menor posible.

---

Sabiendo que el volumen es 10.000 cm3:

2

2 10.000

000 . 10 · x h h x

V = = ⇒ = . (*)

La superficie de la base es 2 1 x

S = y la super-ficie del resto del envase es: S x2 4xh

2 = + y que, teniendo en cuenta el valor de h se puede poner de la forma siguiente:

2 3 2 2 2 2 2 000 . 40 000 . 40 000 . 10 · 4 4 S x x x x x x x xh x

S = + = + = + = + =

Al ser el valor de la base el 50 % debe afectarse de un coeficiente de 1’5, con lo cual el precio es el siguiente, en función del lado de la base:

P x x x x x x x x x x x P ecop = + = = + + = + + = + + = = 2 000 . 80 5 2 3 000 . 80 2 2 3 000 . 40 · 5 ' 1 000 . 40 Pr 3 3 3 2 3 2 3

Para que el precio sea mínimo, su derivada tiene que ser cero:

(

)

cm x x x x x x x x x x x x x P 20 ; ; 20 000 . 8 ; ; 0 000 . 8 ; ; 0 000 . 80 10 0 000 . 80 10 2 000 . 80 5 15 4 2 · 000 . 80 5 2 · 15 ' 3 3 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 = = = = − = − ⇒ ⇒ = − = − − = + − =

Sustituyendo el valor de x en (*) obtenemos el valor de h:

h cm

h= = = =25 =

4 100 400 000 . 10 20 000 . 10 2

El envase es un prisma cuadrangular regular de 20 cm de base y 25 cm de altura.

********** h

x

(10)

BLOQUE 3

3-A) Considera la recta

1 3 3

2 4

1 −

= − = −

x y z

r y el plano

π

≡3x +4y −6=0. a ) Comprueba que r y

π

son paralelos.

b ) Calcula la distancia entre r y

π

.

c ) Determina dos rectas distintas que estén contenidas en

π

y sean paralelas a r. ---

a )

Para que la recta r y el plano

π

sean paralelos es necesario que el vector director de la recta sea paralelo (linealmente dependiente) al vector normal del plano.

El vector director de la recta r es v =

(

−4, 3, 1

)

. El vector normal del plano

π

es n =

(

3, 4, 0

)

.

Para que dos vectores sean paralelos, su producto escalar tiene que ser cero:

(

4, 3, 1

) (

· 3, 4, 0

)

12 12 0 0

· n = − =− + + =

v

. ,

, r y son paralelos como teníamos que comprobar efecto

En

π

b )

La distancia entre r y

π

es la misma que la distancia de un punto cualquiera de la recta al plano. Un punto de la recta r es, por ejemplo, P(1, 2, 3).

Sabiendo que la distancia del punto P0

(

x0, y0

)

al plano genérico de ecuación 0

= + + +

Ax By Cz D

π

es

(

)

2 2 2

0 0 0 0,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ +

+ + + =

π ; aplicándola al punto

(

1, 2, 3

)

P y al plano

π

≡3x+4y−6=0 es:

(

π

) (

π

)

1

(

,

π

)

25 5 0 16 9

6 8 3 0

4 3

6 2 · 4 1 · 3 ,

,

2 2

2 u d r

P d r

d = = =

+ +

− + = +

+

− +

= =

c )

(11)

pa-sen por ellos con el vector director v =

(

−4, 3, 1

)

.

Dos puntos pertenecientes al plano

π

≡3x+4y −6=0 y que no pertenecen a la recta

1 3 3

2 4

1==

− −

x y z

r son, por ejemplo, A(2, 0, 0) y B(-2, 3, 0). Las rectas pedidas son:

1 3 4

2 y z

x

s = =

− −

≡ y

1 3

3 4

2 y z

x

t = − =

− + ≡

(12)

3-B) Considera los puntos A(1, 1, 1), B(2, 0, -1), C(5, 2, 1) y D(4, 3, 3).

a ) Justifica que los puntos son los vértices consecutivos de un paralelogramo.

b ) Razona si dicho paralelogramo es un rectángulo.

c ) Determina una ecuación general del plano que contiene a los cuatro puntos.

---

a )

Siendo el paralelogramo de la forma que indica la figura, tiene que cumplirse que:

DC AB= .

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

DC AB

D C DC

A B AB

=

⇒     

− − = −

= − =

− − = −

− =

− =

2 , 1 , 1 3 , 3 , 4 1 , 2 , 5

2 , 1 , 1 1 , 1 , 1 1 , 0 , 2

En efecto, los puntos A, B, C y D son los vértices consecutivos de un paralelogramo.

b )

Para que el paralelogramo sea un rectángulo tienen que ser perpendiculares los vectores AB=BC, o sea, que su producto vectorial tiene que ser cero.

(

5, 2, 1

) (

− 2, 0, −1

) (

= 3, 2, 2

)

=

− =C B

BC .

(

1, 1, 2

) (

· 3, 2, 2

)

3 2 4 3 6 3 0

· BC= − − = − − = − =− ≠

AB

El paralelogramo A, B, C y D no es un rectángulo.

c )

Para determinar la ecuación de un plano se necesitan dos vectores linealmente independientes y un punto.

La ecuación general del plano

π

que contiene a los puntos A, B, C y D es la si-guiente:

(

)

0 ;;

2 2

3

2 1

1

1 1

1 ,

; − − =

− −

− ≡

z y

x BC AB A

π

A

B C

(13)

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

1

) (

8 1

) (

5 1

)

0 ;; 2 2 8 8 5 5 0 ;; 2

; ; 0 1 2 1 4 1 3 1 2 1 6 1 2

= − + + − − =

− + − − −

= − − − + − + − + − − − −

z y

x z

y x

y x

z z

y x

0 1 5 8

2 − + + =

x y z

π

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...