UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA ANTONIO JOSÉ DE SUCRE VICE-RECTORADO DE PUERTO ORDAZ

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

VICE

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

ANTONIO JOSÉ DE SUCRE

VICE-RECTORADO DE PUERTO ORDAZ

EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE:

MATRICES

Y

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

PROFESORA: ELIZABETH VARGAS

PUERTO ORDAZ 2009

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

RECTORADO DE PUERTO ORDAZ

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1) Resuelva los sistemas dados usando el método de eliminación de Gauss con sustitución regresiva.

a) ൝

ݔ + 5ݕ + 4ݖ − 13ݓ = 3 3ݔ − ݕ + 2ݖ + 5ݓ = 2 2ݔ + 2ݕ + 3ݖ − 4ݓ = 1

A=Matriz de los coeficientes

Solución: Se procede a escalonar la matriz A para ello se usan las operaciones elementales por fila:

൭1 5 43 −1 2 2 2 3

−13 5 −4อ

3 2 1൱

−3݂ଵ+ ݂ଶ→ ݂ଵ

−2݂ଵ+ ݂ଷ→ ݂ଷ> ൭

1 5 4

0 −16 −10 0 −8 −5

−13 44 22อ

3 −7 −5൱

ିଵ_ଶ௙మା௙య→௙య

ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ቌ10 −16 −105 4 0 0 0

−13 44

0 อ 3 −7

ିଷ_ଶቍ

Luego el sistema equivalente es:

ݔ + 5ݕ + 4ݖ − 13ݓ = 3 0ݔ − 16ݕ − 10ݖ + 44ݓ = −7

0ݔ + 0ݕ + 0ݖ + 0ݓ = −య మ

De la última ecuación se obtiene 0 = −ଷ_ଶ , lo cual es falso, por lo tanto el sistema no tiene solución.

b) ൝

ݔ − 3ݕ + 4ݖ − 2ݓ = 5 2ݕ + 5ݖ + ݓ = 2

−3ݖ + ݕ = 4

Solución: Se procede a escalonar la matriz A para ello se usan las operaciones elementales por fila:

൭1 −3 40 2 5

0 1 −3

−2 1 0 อ

5 2 4൱

௙మ↔௙య

ሱۛۛሮ ൭1 −3 40 1 −3

0 2 5

−2 0 1 อ

5 4 2൱

ିଶ௙మା௙య→௙య

ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ൭1 −3 40 1 −3

0 0 11

−2 0 1 อ

5 4 −6൱

El sistema equivalente es: ൝ݔ − 3ݕ + 4ݖ − 2ݓ = 5ݕ − 3ݖ = 4

11ݖ + ݓ = −6

ݓ = −6 − 11ݖ ݕ = 4 + 3ݖ ݔ = 5 + 3ݕ − 4ݖ + 2ݓ

En la última ecuación se sustituye w e y obteniéndose: ݔ = 5 − 17ݖ Así la solución general del sistema dado es:

ቌ ݔ ݕ ݖ ݓ

ቍ = ቌ

5 − 17ݖ −3ݖ

ݖ −6 − 11ݖ

ቍ con ݖ ∈ ܴ

La cual se puede expresar así: ቌ

5 0 0 −6

ቍ + ݖ ቌ −17

−3 1 −11

ቍ

Para hallar soluciones particulares del sistema se le da valores a z, por ejemplo:

Para z=0 se obtiene la solución ቌ

5 0 0 −6

ቍ

Para z=1 se obtiene la solución ቌ

−12 −3

1 −17

ቍ

2) ¿Qué condiciones deben cumplir a,b,c para que el sistema dado tenga

solución? ൝

ݔ + 2ݕ − 3ݖ = ܽ 2ݔ + 6ݕ − 11ݖ = ܾ

ݔ − 2ݕ + 7ݖ = ܿ

Solución.

൭1 22 6 1 −2

−3 −11

7 อ ܽ ܾ ܿ൱

ିଶ௙భା௙మ→௙మ

ି௙భା௙య→௙య > ൭ 1 2 0 2 0 −4

−3 −5 10อ

ܽ −2ܽ + ܾ

ܿ − ܽ ൱

௙మା௙య→௙య ሱۛۛۛۛۛሮ ൭1 20 2

0 0 −3 −5

0อ ܽ −2ܽ + ܾ −5ܽ + 2ܾ + ܿ൱

Si −5ܽ + 2ܾ + ܿ = 0: El sistema tiene infinitas soluciones. Si −5ܽ + 2ܾ + ܿ ≠ 0 El sistema no tiene solución.

en: ൝

ݔ + 2ݕ − 3ݖ = 0 2ݔ + 6ݕ − 11ݖ = 1

ݔ − 2ݕ + 7ݖ = −2 Se deja al lector para que resuelva este sistema.

3) Halle los valores de α y β para que el sistema dado sea compatible:

൞

3ݔ − 7ݕ = ߙ ݔ + ݕ = ߚ 5ݔ − 13ݕ = 5ߙ − 2ߚ

ݔ + 2ݕ = ߙ + ߚ − 1

Una vez hallado el valor de α y β, el lector debe sustituirlos en el sistema y buscar la solución del mismo.

ۉ ۈ ۇ 3₁

5 1 −7 1 −13 2 ተተ ߙߚ 5ߙ − 2ߚ ߙ + ߚ − 1

ی ۋ ۊ ௙భ↔௙మ ሱۛۛሮ ۉ ۈ ۇ 1₃

5 1 1 −7 −13 2 ተተ ߚ ߙ 5ߙ − 2ߚ ߙ + ߚ − 1

ی ۋ

ۊ −3݂ଵ+ ݂ଶ→ ݂ଶ

−5݂ଵ+ ݂ଷ→ ݂ଷ

– ݂ଵ+ ݂ସ→ ݂ସ

→

ۉ ۈ ۇ 1₀

0 0

−101 −18 1

ተተ ߙ − 3ߚߚ −5ߚ + 5ߙ − 2ߚ −ߚ + ߙ + ߚ − 1 ی ۋ ۊ ௙మ↔௙ర ሱۛۛሮ ۉ ۈ ۇ 1₀

0 0 11 −18 −10 ተ ተ ߙ − 1ߚ

5ߙ − 7ߚ ߙ − 3ߚ ی

ۋ

ۊ 18݂ଶ+ ݂ଷ→ ݂ଷ

10݂ଶ+ ݂ସ→ ݂ସ

ۉ ۈ ۇ 1₀

0 0 1 1 0 0

ተተ ߙ − 1ߚ 23ߙ − 7ߚ − 18 11ߙ − 3ߚ − 10

ی ۋ ۊ

El sistema es compatible si: ൜23ߙ − 7ߚ − 18 = 0_{11ߙ − 3ߚ − 10 = 0} , de donde ߙ = 2_{ߚ = 4} Conclusión: si ߙ = 2 ݕ ߚ = 4 el sistema tiene solución.

¿ El sistema es compatible determinado o compatible indeterminado?

4) Considere el sistema de ecuaciones: ൭−1 1 12 0 2

1 1 3൱ ቆ ݔ ݕ ݖቇ = ൭ ܾଵ ܾଶ ܾଷ ൱

¿Qué condiciones deben cumplir b1, b2, b3 para que el sistema tenga:

a) Solución única b) Infinitas soluciones c) No tenga solución

5) Dada la matriz: ܣ = ൭−5 −5 −98 9 18

−2 −3 −7൱. Resolver el sistema ሺA − λIሻX = 0

para λ = −1, donde I es la matriz identidad de orden 3. Solución: Sea ܺ = ቆݔݕ

ݖቇ y λ = −1, entonces el sistema ሺA − λIሻX = 0 se

ቌ൭−5 −5 −98 9 −18 −2 −3 −7 ൱ + ൭

1 0 0 0 1 0 0 0 1൱ቍ ቆ

ݔ ݕ ݖቇ = ൭

0 0 0൱

Es decir:

൭−4 −5 −98 10 18

−2 −3 −6൱ ቆ ݔ ݕ ݖቇ = ൭

0 0 0൱

El sistema ሺA − λIሻX = 0 es: ൝

−4ݔ − 5ݕ − 9ݖ = 0 8ݔ + 10ݕ + 18ݖ = 0

−2ݔ − 3ݕ − 6ݖ = 0

Se deja al lector para que resuelva el sistema. 6) Responda justificando su respuesta:

a) ¿Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas tiene al menos una solución?

b) ¿Si la matriz de los coeficientes de un sistema homogéneo, de n ecuaciones con n incógnitas, es invertible entonces el sistema tiene soluciones diferentes de la trivial (solución nula)?

7) Sea el sistema: ൝

ݔଵ− ݔଶ− ݔଷ = 2

2ݔଵ + ݔଶ+ 2ݔଷ = 4

ݔଵ− 4ݔଶ− 5ݔଷ = 2

a) Resuelva el sistema dado:

൭1 −1_{2 1} 1 −4

−1 2 −5อ

2 4 2൱

−2݂_ଵ+ ݂_ଶ → ݂_ଶ −݂ଵ+ ݂ଷ → ݂ଷ › ൭

1 −1 0 3 0 −3

−1 4 −4อ

2 0 0൱

௙మశ௙య→௙య

ሱۛۛۛۛۛሮ ൭1 −10 3 0 0

−1 4 0 อ

2 0 0൱

Esto significa que el sistema tiene infinitas soluciones:

3ݔଶ+ 4ݔଷ = 0 → ݔଶ = −4_{3 ݔ}ଷ

ݔଵ− ݔଶ− ݔଷ = 2 → ݔଵ = 2 + ݔଶ+ ݔଷ → ݔଵ = 2 −4_{3 ݔ}ଷ+ ݔଷ → ݔଵ = 2 −1_{3 ݔ}ଷ

Sea ߙ =௫_ଷయ, luego se expresan todas las incógnitas en función de ߙ, obteniéndose la solución: ൝

ݔ_ଷ = 3ߙ ݔଶ = −4ߙ

ݔଵ = 2 − ߙ

, ߙ ∈ ℝ, es decir la solución del

sistema no homogéneo es ൭2 − ߙ−4ߙ

b) Resuelva el sistema homogéneo asociado al sistema dado, es decir

resolver el sistema : ൝

ݔଵ− ݔଶ− ݔଷ = 0

2ݔ_ଵ+ ݔ_ଶ+ 2ݔ_ଷ = 0 ݔଵ− 4ݔଶ− 5ݔଷ = 0

:

൭1 −12 1 1 −4

−1 2 −5อ

0 0 0൱

ܿ݋݊ ݈ܽݏ ݋݌݁ݎܽܿ݅݋݊݁ݏ ܽ݌݈݅ܿܽ݀ܽݏ ܽ݊ݐ݁ݎ݅݋ݎ݉݁݊ݐ݁ › ൭

1 −1 0 3 0 0

−1 4 0 อ

0 0 0൱

De allí que: 3ݔ_ଶ+ 4ݔ_ଷ = 0 → ݔ_ଶ = −ସ_ଷݔ_ଷ

ݔଵ− ݔଶ− ݔଷ = 0 → ݔଵ = ݔଶ+ ݔଷ → ݔଵ = −1_{3 ݔ}ଷ

Luego, la solución del sistema homogéneo es :൮

−ଵ_ଷݔ_ଷ −ସ_ଷݔଷ

ݔଷ

൲

De manera equivalente hacer ߙ =௫_ଷయ, ݈ݑ݁݃݋ ൭

ݔ_ଷ = 3ߙ ݔଶ = −4ߙ

ݔଵ = −ߙ

൱

Note que la solución del sistema no homogéneo se puede expresar de la

siguiente forma: ൭2 − ߙ−4ߙ

3ߙ ൱ = ൭ 2 0 0൱ + ቆ

−ߙ −4ߙ

3ߙ ቇ , donde ቆ −ߙ −4ߙ

3ߙ ቇ es la solución del

sistema homogéneo

c) Halle el valor de A para que el sistema dado sea compatible determinado. Después resuelva el sistema.

൝ݔ + ݕ + 2 + ݖ = 22ݔ − ݕ + 3ݖ = 2 5ݔ − ݕ − ܣݖ = 6

Solución:

൭1 12 −1 5 −1

2 3 −ܣอ

2 2 6൱

−2݂ଵ+ ݂ଶ→ ݂ଶ

−5݂ଵ+ ݂ଷ→ ݂ଷ› ൭

1 1

0 −3 0 −6

2 −1 ܣ − 10อ

2 −2 −4൱

ିଶ௙మା௙య→௙య

ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ൭1 10 −3 0 0

2 −1 ܣ − 8อ

2 −2

0 ൱

8) Resolver los sistemas dados usando factorización LU.

a) ൝

ݔ + ݕ + 2ݖ = −2 2ݔ + ݖ + ݕ = 4 ݔ + ݖ + 2ݕ = −4

Solución:

Hallar la matriz U a partir de la matriz de los coeficientes:

൭1 1 2_{2 1 1} 1 2 1൱

ିଶ௙ଵା௙ଶ→௙ଶ

ሱۛۛۛۛۛۛۛۛሮ ൭1 10 −1 −32

1 2 1 ൱

ି௙ଵା௙ଷ→௙ଷ

ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ൭1 10 −1 −32 0 1 −1൱

௙ଶା௙ଷ→௙ଷ

ሱۛۛۛۛۛۛሮ ൭1 10 −1 −32 0 0 −4൱ = ܷ

Hallar la matriz L a partir de la matriz identidad de orden 3( pues el sistema es de orden 3):

൭1 0 00 1 0 0 0 1൱

ି௙ଶା௙ଷ→௙ଷ

ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ൭1 0 00 1 0 0 −1 1൱

௙ଵା௙ଷ→௙ଷ

ሱۛۛۛۛۛۛሮ ൭1 0 00 1 0 1 −1 1൱

ଶ௙ଵା௙ଶ→௙ଶ

ሱۛۛۛۛۛۛۛሮ ൭1 0 02 1 0 1 −1 1൱ = ܮ

Luego el sistema Ax=b se expresa en la forma : L(Ux)=b: haciendo y=Ux, se tiene que Ly=b. Primero se resuelve el sistema Ly=b, y después se resuelve el sistema y=Ux

Solución del sistema Ly=b: ൭1 0 02 1 0

1 −1 1൱ . ൭ ݕଵ

ݕଶ

ݕଷ

൱ = ൭−24 −4൱

Obteniéndose

ݕଵ = −2

2ݕ_ଵ + ݕ_ଶ = 4 ݕଵ− ݕଶ+ ݕଷ = −4

, de donde ݕ_ଵ = −2ݕ_ଶ = −8, ݕ_ଷ = 6

Solución del sistema Ux=y: ൭1 10 −1 −32

0 0 −4൱ . ቆ ݔ ݕ ݖቇ = ൭

−2 8 6 ൱

De allí que: −4ݖ = 6 → ݖ = −ଷ_ଶ

−ݕ − 3ݖ = 8 → ݕ = −7₂

ݔ + ݕ + 2ݖ = −2 → ݔ =9₂

Luego X=

ۉ ۈ ۇ

ଽ ଶ

−଻_ଶ −ଷ_ଶی

ۋ ۊ

b) ൭2 1 74 3 5

2 1 6൱ . ൭ ݔଵ

ݔଶ

ݔଷ

൱ = ൭61

1൱ c) ൝

ݔ + 2ݕ + ݖ = −2 3ݕ + ݔ + 2ݖ = 3

ݔ + ݖ = 2

݀ሻ ൞

6ݔ_ଵ− 2ݔ_ଶ− 4ݔ_ଷ+ 4ݔ_ସ = 2 3ݔଵ− 3ݔଶ− 6ݔଷାݔସ = −4

−12ݔଵ+ 8ݔଶ+ 21ݔଷ− 8ݔସ = 8

−6ݔ_ଵ − 10ݔ_ଷ + 7ݔ_ସ = −43

solución (4,4; 6,9; -1,2;-4)T.

Nota: Resuelva estos sistemas usando:

a) Eliminación de gauss. b) La matriz inversa (si es posible).

EJERCICIOS MATRICES

1) La siguiente tabla da el costo en bolívares de una lata de arvejas, frijol y maíz, en diferentes supermercados:

Supermercado Arvejas Frijol Maíz

1 33 25 42

2 34 23 40

3 36 28 35

Si un cliente compra 6 latas de arvejas, 4 latas de frijol y 5 latas de maíz, encuentre el costo total en cada uno de los supermercados por medio de operaciones con matrices.

Solución: Sea ܦ = ൭ܣܨ

ܯ൱ la matriz con la cantidad de latas compradas,

donde:

A cantidad de latas de arvejas: A=6 F cantidad de latas de frijol: F=4 M cantidad de latas de maíz: M=5

Sea C matriz de los costos: ܥ = ൭33 25 4234 23 40

36 28 35൱

Precio de las Arvejas

Luego el Costo total es: ܥܦ = ൭33 25 4234 23 40

36 28 35൱ ൭ 6 4 5൱ = ൭

508 536 503൱

Al comprar 6 latas de arveja, 4 de frijol y 5 de maíz, el cliente gastaría: 508 Bs. en el supermercado 1.

536 Bs. en el supermercado 2. 503 Bs. en el supermercado 3.

Por lo tanto sale más económico ir al supermercado 3 a comprar las latas de vegetales.

2) Sean las matrices : ܣ = ൬ݔ + ݕ 2ݖ + ݓ_{ݔ − ݕ ݖ − ݓ ൰ , ܤ = ቀ}3 5_{1 4ቁ}

Halle los valores de x, y, z, w para que las matrices A y B sean iguales.

Solución. Se debe cumplir que: ൞

ݔ + ݕ = 3 2ݖ + ݓ = 5

ݔ − ݕ = 1 ݖ − ݓ = 4

Resolviendo este sistema se obtiene: ݔ = 2, ݕ = 1, ݖ = 3, ݓ = −1.

3) Encuentre dos matrices A, B de orden 2x2 tal que :

ܽሻ ሺܣ + ܤሻଶ _{= ܣ}ଶ_{+ 2ܣܤ + ܤ}ଶ

ܾሻሺܣ + ܤሻଶ _{≠ ܣ}ଶ_{+ 2ܣܤ + ܤ}ଶ Solución:

Para a) Sean las matrices: ܣ = ቀ0 0_{0 0ቁ , ܤ = ቀ}1 0_{0 1ቁ}

Luego: ܣ + ܤ = ቀ1 0_{0 1ቁ} y ሺܣ + ܤሻଶ = ቀ1 0_{0 1ቁ ∗ ቀ}1 0_{0 1ቁ = ቀ}1 0_{0 1ቁ}

ܣଶ_{+ 2ܣܤ + ܤ}ଶ _{= ቀ0 0}

0 0ቁ . ቀ0 00 0ቁ + 2 ቀ0 00 0ቁ . ቀ1 00 1ቁ + ቀ1 00 1ቁ . ቀ1 00 1ቁ ܣଶ_{+ 2ܣܤ + ܤ}ଶ _{= ቀ1 0}

0 1ቁ

Para b) Sean las matrices:ܣ = ቀ1 2_{3 4ቁ , ܤ = ቀ}−1 0_{0 1ቁ}, luego:

ሺܣ + ܤሻଶ _{= ቀ10 14}

21 31ቁ y ܣଶ+ 2ܣܤ + ܤଶ = ቀ 6 14−9 31ቁ

4) Sean ܣ, ܺ ∈ ܯ_ଷ௫ଷሺℝሻ, determine X tal que se cumpla:

ሺܣ்_்ܺ_ሻିଵ_{− ሺܺ}்_ܣିଵ_ሻିଵ_{+ ሺܺ}ିଵ_ܣ்_ሻ் _{= ܫ (a)} donde I es la matriz identidad de orden 3.

Solución. Primero vamos a simplificar cada sumando por separado:

ሺܣ்_்ܺ_ሻିଵ _{= ሺܺ}்_ሻିଵ_ሺܣ்_ሻିଵ _{= ሺܺ}்_ሻିଵ_ሺܣିଵ_ሻ் _(b)

ሺ்ܺ_ܣିଵ_ሻିଵ _{= ሺܣ}ିଵ_ሻିଵ_ሺ்ܺ_ሻିଵ_{= ܣሺܺ}்_ሻିଵ _(c)

ሺܺିଵ_ܣ்_ሻ் _{= ሺܣ}்_ሻ்_ሺܺିଵ_ሻ் _{= ܣሺܺ}்_ሻିଵ _(d)

Se sustituye (b),(c) y (d) en (a): ሺ்ܺሻିଵሺܣିଵሻ்− ܣሺ்ܺሻିଵ+ ܣሺ்ܺሻିଵ = ܫ

Simplificando: ሺ்ܺሻିଵሺܣିଵሻ் = ܫ , o ሺ்ܺሻିଵሺܣ்ሻିଵ = ܫ (e)

Se multiplican ( por la derecha) ambos miembros de (e) por ሺܣ்ሻ: ሺ்ܺሻିଵ= ܫܣ் ݀݁ ݀݋݊݀݁ ܺିଵ = ܣ, luego ܺ = ܣିଵ.

5) Determine los valores de a y b para que el sistema dado tenga infinitas

soluciones

bZ Y Z X

bZ Z Y

Y a Z b Z X

+ = + +

= +

+ = +

+

2 7 2

3

4 2

6) DECIDA SI LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SON FALSAS

VERDADERA. JUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS.

a) Si A y B son matrices, el producto AB está definido siempre que el número de

filas de B sea igual al número de columnas de A.

b) A-A T es simétrica para cualquier matriz cuadrada.

c) Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene solución.

d) El producto A.AT está definido para cualquier matriz A∈Mmxn(R).

e) Si A, B y C son matrices tales que A.B = A.C entonces se cumple que B=C.

f) Toda matriz cuadrada se puede expresar como la suma de una matriz simétrica

y una matriz antisimétrica.

g) Una matriz A de orden n es invertible si y sólo si existe otra matriz B de orden n tal que AB=BA.