Un análisis de los problemas cognitivos de comprensión en el aprendizaje de las matemáticas. Raymond Duval. 1.

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(1)RAYMOND DUVAL UN ANÁLISIS DE LOS PROBLEMAS COGNITIVOS DE COMPRENSION EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS Abstract. Para entender las dificultades que muchos estudiantes tienen con la comprensión de las matemáticas, debemos determinar el funcionamiento cognitivo subyacente en la diversidad de los procesos matemáticos. ¿Cuáles son los sistemas cognitivos que son necesarios para dar acceso a los objetos matemáticos? ¿Estos sistemas son comunes a todos los procesos de conocimiento o, por el contrario, algunos de ellos son específicos de la actividad matemática? A partir de la importancia fundamental de la representación semiótica de cualquier actividad matemática, planteamos una clasificación de los distintos registros de representaciones semióticas que son movilizados en los procesos matemáticos. Así, podemos revelar dos tipos de transformación de representaciones semióticas: tratamiento y conversión. Estos dos tipos corresponden a procesos cognitivos muy diferentes. Son dos fuentes distintas de incomprensión en el aprendizaje de las matemáticas. Si el tratamiento es el más importante desde el punto de vista matemático, la conversión es básicamente el factor decisivo para el aprendizaje. Apoyar con datos empíricos, en cualquier nivel del currículum y para cualquier área de la matemática, puede ser ampliamente y metodológicamente recopilada: algunas evidencias empíricas se presentan en este documento. Palabras clave: paradoja cognitiva, organización figurativa, objeto de conocimiento, el aprendizaje del lenguaje matemático, reconocimiento, registros multifuncionales y monofuncionales, no congruencia, representación, representación conversión, representación semiótica, sistema semiótico, procesos de pensamiento, tratamiento. ¿Cómo podemos entender las dificultades, a menudo insuperables, que muchos estudiantes tienen con la comprensión de las matemáticas? ¿Cuál es la naturaleza de estas dificultades? ¿Dónde están localizadas? Estas preguntas han asumido una particular magnitud e importancia con la reciente presión para obtener más formación matemática inicial que debe darse a todos los estudiantes a fin de prepararlos para enfrentar un ambiente tecnológico e informático de una continuamente creciente complejidad. Ambos son un reto educativo en las aulas y un cambio teórico para la investigación sobre el desarrollo y el aprendizaje del conocimiento matemático. Los procesos de adquisición de conocimientos matemáticos son tan complejos que parece necesarios enfoques muy distintos. Los más predominantes, y a veces opuestos, son los epistemológicos y el educacional. Pero que tienen en común el uso de la noción de representación para caracterizar el tipo de fenómenos que ocurren en cualquier proceso de conocimiento o que lo constituyen. Esta noción básica de la representación es muy antigua y rigurosa. Una representación es algo que representa a otra cosa, que significa “algo” para “alguien”. Pero al mismo tiempo esta noción puede ser evasiva o demasiado formal. ¿Cuál es la naturaleza de ese “algo”para…? Usted puede obtener una gran variedad de respuestas, dependiendo de si considera las representaciones con respecto a lo planteado por el individuo concreto y sus experiencias, las estructuras mentales, o, por el contrario, a los objetos de conocimiento con sus específicos.

(2) requisitos epistemológicos (Hitt,2002). Así, las representaciones pueden ser creencias individuales, conceptos o ideas equivocadas a las que uno obtiene acceso a través de las verbalizaciones individuales o producciones de esquemas. La respuesta a esta pregunta, primero se desarrolló en dos grandes estudios de Piaget (1923, 1926), es ahora uno de los principales marcos teóricos y metodológicos para investigar y exponer la adquisición del conocimiento matemático. Pero representaciones pueden ser también signos y sus asociaciones complejas que son producidas de acuerdo a las normas y que permiten la descripción de un sistema, un proceso, un conjunto de fenómenos. Allí las representaciones semióticas, incluyendo cualquier idioma, aparecen como herramientas comunes para producir nuevos conocimientos y no solo para comunicar cualquier representación mental particular. Esta respuesta, que ha sido progresivamente desarrollada desde Frege y Hilbert tomando en cuenta los requisitos epistemológicos, también ha adquirido una gran importancia en la investigación sobre la cognición (Duval, 1998ª). Cualquier investigación sobre el aprendizaje de las matemáticas implica cierta elección teórica acerca de la posible relación y las funciones respectivas de estos tipos de representación totalmente opuestas, de representaciones que son todas “significados de algo para alguien”, esto es representados objetos de conocimiento. Parece evidente que la investigación sobre el aprendizaje de las matemáticas y sus dificultades, debe estar basada en lo que los estudiantes hacen realmente por sí mismos, en sus producciones, en sus voces. Pero ¿cómo podemos analizar los procesos de adquisición de conocimiento a partir de las concepciones de los estudiantes y averiguar las fuentes de sus dificultades? Las representaciones son sólo la superficie resultado del funcionamiento de la mente profunda, estructuras que no dependen de la conciencia de los individuos (Piaget, 1967, págs. 7879). Subyacente a las dos clases totalmente opuestas de representación, existe una organización de las estructuras cognitivas que hacen a los individuos capaces de realizar los diversas clases de la actividad cognoscitiva (Duval, 1996ª). Por lo tanto, la característica de un enfoque cognitivo es buscar primero determinar el funcionamiento cognitivo subyacente en los diversos procesos matemáticos. Con el propósito de determinar las incomprensiones de los estudiantes, primero debemos determinar las condiciones cognitivas que hacen posible la comprensión. Por lo que debemos plantear la pregunta: 1. ¿Cuáles sistemas cognitivos son requeridos y activados para dar acceso a los objetos matemáticos y a la vez hacer posible llevar a cabo las múltiples transformaciones que constituyen los procesos matemáticos? Generalmente se asume que la forma de pensar es básicamente la misma en las diferentes áreas del conocimiento aun cuando el pensamiento matemático es más abstracto y aún si un lenguaje específico o codificación se usan en matemática. Las observaciones que he realizado en el salón de clases y fuera de él por muchos años, me han llevado no sólo a cambiar el planteamiento focalizado sobre las concepciones del estudiante (Duval, 1983), a un enfoque cognitivo, sino también a preguntar:.

(3) 2. ¿Es la forma de pensar, la misma en matemática que en otras áreas el conocimiento? En otras palabras, la actividad matemática requiere sólo el proceso cognitivo común o, realmente, ciertas estructuras cognoscitivas muy específicas cuyo desarrollo debe ser tomado en cuenta en la enseñanza? Este planteamiento acerca del aprendizaje de las matemáticas tiene gran significación si el propósito de la enseñanza de las matemáticas, en el nivel primario y secundario no tiene nada que ver con los futuros matemáticos, ni para dar herramientas a los estudiantes que posiblemente puedan ser útiles para ellos muchos años después, sino más bien contribuir al desarrollo general de sus capacidades de razonamiento, análisis y visualización. En cualquier caso, se hace necesario considerar las representaciones semióticas en el nivel de la estructura de la mente y no sólo con respecto a la exigencia epistemológica para obtener acceso a los objetos matemáticos (Duval, 1995ª, págs. 3-8, 15-35). Y desde este enfoque cognitivo parece que la oposición entre las representaciones mentales y las representaciones semióticas ya no es pertinente, porque descansa sobre la confusión entre el modo de producción fenomenológico y el tipo de sistema que se moviliza para producir cualquier representación (Duval, 2000ª, págs. 5960). Presentaré aquí algunos de los principales resultados que he obtenido. Están relacionados, por un lado, al papel preponderante desempeñado por las transformaciones de las representaciones semióticas en cualquier actividad matemática, y, por otra parte, el tipo de sistema semiótico utilizado para estas transformaciones. La complejidad cognitiva subyacente a los procesos de pensamiento en matemáticas radica en el hecho de que existen dos formas muy diferentes de transformaciones que nunca se tienen en cuenta explícitamente en la enseñanza. Y desde el punto de vista matemático, uno de ellos comanda más la atención, mientras que es el otro el que provoca las mayores dificultades para los estudiantes. Después de una descripción de los diversos procesos cognitivos requeridos por el pensamiento matemático, presentaré algunos datos empíricos para mostrar cómo estos dos tipos de transformaciones son específicas y fuentes independientes de incomprensión en el aprendizaje de las matemáticas. 1. ¿Qué caracteriza la actividad matemática desde un punto de vista cognitivo? Cuando se intenta analizar lo que constituye la comprensión matemática y explicar los obstáculos a la comprensión que los estudiantes experimentan, las personas, a menudo, sacan a relucir los conceptos y su complejidad epistemológica. Y esta complejidad epistemológica puede ser explicada por la historia de su descubrimiento. Pero este enfoque no es suficiente para caracterizar lo que es original y específico para los procesos de pensamiento en matemáticas en contraposición con otros dominios del conocimiento científico como la astronomía, biología, etc. La diferencia entre la actividad cognitiva requerida para las matemáticas y la que requieren otros dominios de conocimientos no se encuentra en los conceptos, porque no hay ningún dominio de conocimientos que no desarrolle un conjunto de conceptos más o menos complejos - si no en las tres características siguientes. 1.1. La importancia primordial de las representaciones semióticas.

(4) Uno sólo tiene que mirar la historia del desarrollo de las matemáticas para ver que el desarrollo de las representaciones semióticas es una condición esencial para el desarrollo del pensamiento matemático. Para empezar, existe el hecho de que la posibilidad de tratamiento matemático, por ejemplo, cálculo, depende del sistema de representación. Porque el rol protagónico de los signos no es representar objetos matemáticos, sino para proporcionar la capacidad de sustituir algunos signos para otros. Así, hay una enorme brecha entre estos dos tipos de representación numérica: colecciones de tizas o de bolígrafos y sistemas de base dentro de los cuales la posición da el significado. Y aquí el problema aparece con este muy extraño signo “0” que no pertenece a la base elegida, sino a un potente sistema semiótico de representación numérica. Así, debido a un que genuino uso del sistema decimal de numeración no es necesario para trabajar con pequeños enteros y para realizar operaciones aditivas, podemos considerar que la notación decimal “10” plantea la cuasi-material representación “¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡” para el número “diez” y da el significado. Pero más allá de eso, su uso no requiere la comprensión de la forma en que el sistema de representación utilizado funciona. Por ejemplo: en expresiones como: 38.45 × 10 ; 38.45 x 100 o 38.45 : 0.1 ; 38.5 : 0,01? ¿Cuántos jóvenes estudiantes conseguirán ciertamente esta etapa de comprensión? Los estudiantes y la adquisición de estos sistemas no es sencilla. Uno podría pensar que el hecho de emplear el sistema de numeración desde el principio de pre-escolar haría su uso progresivamente más transparente. Encuestas de evaluación nacional francesa (MEN, 1993, 1997) demostró que ese no es el caso todavía en el comienzo de la escuela secundaria: sólo un alumno en tres parecía haber comprendido el funcionamiento del sistema decimal y para poder realmente hacer uso de sus posibilidades para alcanzar el éxito con un conjunto de ítemes acerca de las operaciones más simples de multiplicación y división de decimales (38.45 × 10 : 45× 0,1). Además, está el hecho de que los objetos matemáticos, comenzando con los números, no son objetos que pueden ser percibidos directamente u observados con instrumentos. Acceder a los números está limitado al uso de un sistema de representación que les permite ser designados. Pero el punto clave no está allí. El papel desempeñado por los signos, o más exactamente por sistemas semióticos de representación, no es sólo para designar objetos matemáticos o para comunicarse sino también para trabajar sobre los objetos matemáticos y con ellos. Ningún tipo de procesamiento matemático puede realizarse sin utilizar un sistema semiótico de representación, debido a que el procesamiento matemático implica siempre sustituir alguna representación semiótica por otra. La parte que los signos juegan en matemáticas no es ser sustituidos por objetos sino por otros signos! Lo que importa no son las representaciones sino su transformación. A diferencia de las otras áreas del conocimiento científico, signos y transformación de representación semiótica están en el corazón de la actividad matemática. ¿Por qué? 1.2. La paradoja cognitiva de acceso a objetos de conocimiento Desde un punto de vista epistemológico, existe una diferencia básica entre las matemáticas y los otros dominios del conocimiento científico. Los objetos matemáticos en contraste con los fenómenos de la astronomía, física, química, biología, etc., nunca son accesibles por la.

(5) percepción o por instrumentos (microscopios, telescopios, aparatos de medida). La única manera de tener acceso a ellos y tratar con ellos es utilizando signos y representaciones semióticas. Eso significa que tenemos aquí un único acceso a los objetos del conocimiento y no un doble acceso, principalmente no-semiótico y secundariamente semiótico, como es el caso en otros ámbitos. Esta situación epistemológica muy específica de la matemática cambia radicalmente el uso cognitivo de los signos. Ningún alumno se enfrenta con dos requisitos bastante opuestos al meterse en el pensamiento matemático: . . Para realizar cualquier actividad matemática, las representaciones semióticas deben ser utilizadas necesariamente incluso si existe la elección de la clase de la representación semiótica. Pero los objetos matemáticos nunca deben ser confundidos con las representaciones semióticas que sean utilizadas.. El problema crucial de la comprensión de las matemáticas para los alumnos, en cada etapa del currículum, surge del conflicto cognitivo entre estas dos exigencias opuestas: ¿cómo pueden distinguir el objeto representado desde la representación semiótica si no pueden tener acceso al objeto matemático aparte de las representaciones semióticas? Y que se manifiesta en el hecho de que la capacidad para cambiar de uno a otro sistema de representación es muy a menudo el umbral crítico para el progreso en el aprendizaje y para la resolución de problemas. 1.3. La gran variedad de representaciones semióticas utilizadas en matemáticas Destacando el máximo papel de las representaciones semióticas en la actividad matemática que implica necesariamente la sustitución de signo, no es suficiente. La actividad matemática necesita tener diferentes sistemas de representación semiótica que puedan ser libremente utilizados según la tarea a realizar, o de acuerdo a la pregunta que se hace. Algunos procesos son más fáciles en un sistema semiótico que en otro, o incluso puede hacerse en un solo sistema. Pero en muchos casos no es sólo un sistema de representación el que es utilizado de manera implícita o explícita, sino por lo menos dos. Así, en geometría es necesario combinar el uso de, al menos, dos sistemas de representación, uno para la expresión verbal de propiedades o la expresión numérica de la magnitud y la otra para la visualización. Lo que se llama una “figura geométrica” siempre asocia ambas representaciones discursivas y visuales, incluso si sólo una de ellas pueda ser explícitamente resaltada conforme a la actividad matemática que se requiera. Entonces, la expectativa de los estudiantes será de ir y venir entre el tipo de representación que sea explícitamente hacia adelante y el otro que queda en el fondo de esta asociación visual/discursiva que forma cualquier figura geométrica. Y esta asociación cognitivamente es compleja porque en la mayoría de los casos va en contra de la asociación común entre las palabras y las formas y porque su uso va en contra de la obviedad perceptual (Duval, 1998b, págs. 38-44). Las matemáticas es el dominio en el que encontramos la mayor gama de sistemas de representación semiótica, tanto las que son comunes a cualquier tipo de pensamiento como lenguaje natural y aquellos específicos de las matemáticas como los algebraicos y las notaciones formales. Y que enfatiza el problema crucial de la comprensión de las.

(6) matemáticas para los alumnos. Si para cualquier objeto matemático podemos utilizar muy diferentes tipos de representación semiótica, ¿cómo pueden los alumnos reconocer el mismo objeto representado a través de la representación semiótica que se produce dentro de los diferentes sistemas de representación? ¿Más profundamente que las dificultades epistemológicas propias de cada introducción de conceptos nuevos, no serían los obstáculos más recurrentes en la comprensión de las matemáticas los que vienen de estas formas de pensar específicas involucradas en cualquier actividad matemática? 2. ¿ CÓMO ANALIZAR LOS PROCESOS DE PENSAMIENTO IMPLICADOS EN LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA? El papel de las representaciones semióticas no está limitado a designar objetos, a plantear algo más, o a ser ellas mismas consideradas como objetos. Su uso está determinado por la posibilidad de procesamiento matemático que ellas permiten. Cualesquiera que sean las representaciones semióticas usadas, pueden ser cambiadas por otras representaciones semióticas sin el soporte de nuevos datos u observaciones empíricas. De lo contrario, la operación cognitiva básica de sustituir algunas representaciones semióticas por otra no sería posible. Pero eso depende del sistema semiótico dentro del cual las representaciones semióticas son producidas. Cada sistema semiótico ofrece muchísimas posibilidades muy específicas. La variación de “capacidad”, que fue mencionada por Peirce (CP: 2.228) para el representamen, no está sobre nivel de las representaciones particulares, sino en el nivel del sistema semiótico en el que se producen. Así, para analizar los complejos y específicos procesos de pensamiento que subyacen a la actividad matemática, debemos tomar en cuenta las diferencias entre los distintos sistemas de representación semiótica que se utilizan. ¿Estas diferencias juegan un papel importante en los procesos matemáticos? Cada vez que analizamos las dificultades y bloqueos del aprendizaje de los estudiantes en matemática, nos enfrentamos con esta cuestión. 2.1. ¿Cómo describir los diversos procesos matemáticos? Dada la paradoja cognitiva del acceso al conocimiento de objetos en matemáticas, tal descripción debe ser apoyada por la variedad de sistemas representación semióticos que se utilizan y por la “capacidad” de cada uno para realizar los procesos matemáticos. La forma más generalizada de clasificar es oponer lenguaje, natural o simbólico, y la imagen. Sin embargo, esto es general y por encima de todo, está lejos de ser suficiente. También hay otra diferencia esencial que es muy a menudo olvidada. Algunos sistemas semióticos puede utilizarse únicamente para una función cognitiva: procesamiento matemático. Por el contrario, otros sistemas semióticos pueden cumplir una gran variedad de funciones cognitivas: comunicación, procesamiento de información, la conciencia, la imaginación, etc. (Duval, 1995b, págs. 89-90). Esta diferencia funcional entre los distintos sistemas de representación semiótica utilizada en matemáticas es esencial porque está intrínsecamente relacionada con la manera en que ejecutan procesos matemáticos: dentro de un sistema semiótico monofuncional la mayoría de los procesos toman la forma de algoritmos, mientras que en un sistema semiótico multifuncional los procesos nunca puede ser convertidos en algoritmos. Por ejemplo, en geometría elemental, no hay ningún.

(7) algoritmo para usar cifras en una forma heurística (Duval, 1995ª) y la manera en que una prueba matemática se ejecuta en lenguaje natural no puede formalizarse sino mediante sistemas simbólicos. Las pruebas mediante lenguaje natural no pueden ser entendidas por la mayoría de los estudiantes (Duval, 1991). A partir de estas observaciones, podemos obtener un rápido esbozo de las diversas formas de procesos matemáticos, como la superposición de un gráfico en el cuadro de clasificación que muestra la figura 1.. Figura 1. Clasificación de los registros que pueden ser movilizados en los procesos matemáticos. Lo que importa para la comprensión de los procesos de pensamiento implicados en cualquier actividad matemática es centrarse en el nivel de sistemas de representación semiótica y no sobre la representación particular producida. Y los dos puntos siguientes son esenciales. En primer lugar, es sólo a este nivel que la propiedad básica de la representación semiótica y su significado para las matemáticas puede comprenderse: el hecho de que pueden ser intercambiadas una por otra, mientras mantenga la misma denotación (Frege, 1971). En segundo lugar, una marca no puede funcionar como un signo externo del sistema semiótico en el cual su significado adquiere valor en oposición a otros signos dentro de ese sistema (más adelante se presenta un ejemplo en la figura 15). Esta idea fue la principal contribución de Ferdinand de Saussure (1973, pp. 158-168) al análisis del lenguaje como sistema semiótico. Eso significa, también, que hay reglas para producir representaciones semióticas relevantes. Así, todos los sistemas semióticos monofuncionales que.

(8) son característicos de las matemáticas se basan en las normas de formación de la representación. Esto puede comprobarse fácilmente por cualquier sistema de notación numérica o de gráficas cartesianas. Por supuesto, en la actividad matemática se usan algunas representaciones que no dependen de un sistema semiótico. El mejor ejemplo es el palillo usado para representar números enteros pequeños. Ellos ni tienen reglas de formación ni posibilidades específicas de formación. Estos son utilizados como un material libre de manipulaciones. En ese sentido, encajan perfectamente la tercera determinación de representamen dado por Peirce: “Algo que representa a alguien…”(1931, p.2228) Su uso depende sólo del interpretante. Ellas aparecen más frecuentemente como representaciones auxiliarmente transitorias. (Hitt, 2003). Así, con respecto a la propiedad de representaciones semióticas que es básica para la actividad matemática, podemos distinguir cuatro clases muy diferentes de sistemas semióticos. Tomando nuevamente la palabra ya utilizada por Descartes, en la Geometrie ‘ (Descartes, 1954, pág. 8 (p. 300), y mantiene también su significado moderno, les llamamos “registros de representación “ (Duval, 1995b, pág. 21). No todos los sistemas semióticos son registros, sólo los que permiten una transformación de representaciones. Hemos resaltado el caso muy auténtico de lenguaje natural. Allí, la producción de representaciones semióticas puede lograrse según dos modalidades bastante fenomenológicas. De uno a otro hay una gran brecha, que es muy a menudo subestimada (Duval, 2000b). Esta clasificación proporciona las herramientas para el análisis de la actividad matemática y para identificar la raíz de los problemas con las matemáticas a entender y no sólo sobre tal y cual comprensión de concepto que muchos estudiantes tienen. 2.2. Los dos tipos de transformación de representaciones semióticas En la medida en que la actividad matemática intrínsecamente consiste en la transformación de las representaciones, resulta obvio que existen dos tipos de transformaciones de representación semióticas que son radicalmente diferentes: TRATAMIENTOS Y. CONVERSIONES. Los tratamientos (flechas curvadas en la Figura 1) son transformaciones de representaciones que ocurren dentro del mismo registro: por ejemplo, llevar a cabo un cálculo manteniéndose estrictamente en el mismo sistema de notación para representar los números, la solución de una ecuación o sistema de ecuaciones, completando una cifra utilizando criterios perceptivos de conectividad o simetría, etc. Eso da prominencia al rol intrínseco de los sistemas semióticos en los procesos matemáticos. Los tratamientos, que pueden ser llevados a cabo, dependen principalmente de las posibilidades de transformación semiótica, que son específicos para el registro utilizado. Dos ejemplos bastan para demostrar esto. Los procedimientos para llevar a cabo una operación numérica dependen de igual forma en el sistema de representación utilizado para los números como en las propiedades matemáticas de las operaciones. Así, los algoritmos son diferentes para una notación decimal y una notación fraccionaria de los mismos números:.

(9) 12 + 13 = ... 0,20 + 0,25 = .... 1/5 + ¼ = .... 0,20 : 0,25 = .... 1/5 : ¼ = .... Esto significa que los procesos de cálculo nunca son puramente matemáticos. Ellos dependen del tipo de funcionamiento que el sistema representativo en uso permite. Por razones de economía o visibilidad pueden llevar a cambiar los sistemas de notación para llevar a cabo el tratamiento. Es el registro de las transformaciones figurativas de orden gestaltista que a menudo se llaman a resolver y justificar heurísticamente muchos problemas de geometría elemental. Estas transformaciones son puramente transformaciones visuales que puede realizarse simplemente cambiando el punto de vista desde el cual se observa o se realiza materialmente como si se tratara de un rompecabezas. Aquí hay tres ejemplos clásicos donde las transformaciones visuales consisten de una operación de reconfiguración de la figura original (Figura 2).. Figura 2. Transformaciones visuales de formas. En estos ejemplos, las unidades figurativas de una figura original pueden ser visualmente reconfiguradas sin recurrir a una propiedad matemática. Esta operación puramente visual de reconfiguración de una figura original subyace en la mayoría de los ejemplos de pruebas visuales que se utilizan en la enseñanza a dar explicaciones “intuitivas” de ciertos resultados matemáticos. Pero, en la mayoría de los casos no funciona porque los procesos de reconocimiento visual de la gestalt no funcionan de la misma manera que se requieren y esperan desde un punto de vista matemático (Duval, 1995ª). Las conversiones (flechas rectas en la Figura 1) son transformaciones de representación que consisten en cambiar un registro sin modificar los objetos que se indican: por ejemplo, pasando de la notación algebraica de una ecuación a su representación gráfica, pasando por una proposición en lenguaje natural a una relación a su notación con letras, etc. La conversión es una transformación de la representación, que es más compleja que el tratamiento, ya que cualquier cambio de registro requiere primero el reconocimiento del mismo objeto representado entre dos representaciones cuyo contenido tienen muy a menudo nada en común. Es como una brecha que depende del registro de partida y el registro de la meta (flechas rectas en la Figura 1). Demasiado a menudo, la conversión es clasificada como la traducción o la codificación. Y como ejemplos los siguientes son presentadas (Figura 3)..

(10) Figura 3. Conversión congruente. Pero que es engañosa, porque una modificación menor puede causar que las reglas de codificación o traducción fallen. (Figura 4).. Figura 4. Conversión no congruente Ahora veamos un registro para el cual la regla de conversión puede darse explícitamente. Para construir un gráfico basta con tener sólo la siguiente regla: para cada par ordenado de números uno puede asociar un punto en un plano de coordenadas con incrementos dados en los dos ejes. Y la construcción de gráficos correspondientes a funciones lineales parece no dar a los estudiantes dificultades ningunas. Pero uno sólo tiene que invertir el sentido del cambio de registro para ver esta regla deja de ser operativa y suficiente (Figura 5).. Figura 5. Una tarea de reconocimiento. La tarea propuesta era una tarea de reconocimiento simple, y no una de construcción o lectura de coordenadas de puntos: elegir entre muchas posibles expresiones (por ejemplo, en y = x , y = -x , y = x + 1) el que corresponde a la gráfica (Duval, 1988). Naturalmente, si hubiéramos pedido que los dos gráficos se construyan, los éxitos habrían superado el 90% en ambos casos. En la enseñanza, usualmente las tareas ofrecidas no son nunca el reconocimiento, sino simplemente leer las tareas que sólo requieren un proceso de colocar puntos guiados por la comprensión local y no de un proceso global de interpretación guiado por la comprensión cualitativa de variables visuales.

(11) (Figura 15). Convertir una representación semiótica en otra no puede ser considerado como una codificación o un tratamiento. En estos dos ejemplos, la conversión se requiere explícitamente y parece que puede limitarse a situaciones transitorias para resolver algún problema en particular. Pero la mayoría de las veces es necesaria siempre implícitamente dos, o incluso tres, los registros que deben utilizarse juntos de una manera interactiva. Hemos mencionado ya el caso de la geometría. Allí, nos enfrentamos a algo como una brecha oculta entre el proceso visual de tratamiento y los diversos procesos discursivos que pueden utilizarse (Duval, 1998c). Y en el aula tenemos una muy práctica específica de forma simultánea haciendo uso de dos registros. Es hablado en lenguaje natural, aunque es escrito expresiones simbólicas como si las explicaciones verbales pudieran hacer cualquier tratamiento simbólico transparente (Duval, 2000b, págs. 150-155). A través de los distintos tipos de conversiones más que a través de tratamientos tocamos la complejidad cognitiva de la comprensión en el aprendizaje de las matemáticas- y sobre procesos específicos del pensamiento requeridos por la actividad matemática. 2.3. ¿Cómo reconocer el mismo objeto matemático a través de dos representaciones cuyos contenidos son heterogéneos? Al hacer una distinción, por signos matemáticos, entre sentido y referencia Frege (1971, pp. 89, 102-103) hizo hincapié en la diferencia entre el contenido de una representación y lo que se refiere a la representación. Y entre el contenido de una representación y el objeto representado no hay otra relación que denotación. Ahora, y esta es la consecuencia decisiva que rara vez se toma en cuenta, el contenido de una representación depende más del registro de la representación que del objeto representado (Duval, 1999, págs. 40-46). Esa es la razón por la que pasando de un registro a otro cambian no sólo los medios de tratamiento, sino también las propiedades que pueden hacerse explícitas. Por otro lado, para las representaciones no semióticas que son producidas por los dispositivos físicos (espejo, cámara, microscopio, etc.) o por organizaciones cerebrales y sensoriales tenemos algo así como una relación de causalidad. El contenido de una representación es el efecto indirecto del objeto. Por lo tanto, su “intuitivo” o mayor valor empírico (Figura 6).. Representación semiótica DENOTACIÓN CONTENIDO de la representación 2 1. Representación no semiótica OBJETO representado. CONTENIDO de la representación. OBJETO representado 1.

(12) SISTEMA Semiótico PRODUCTOR de la representación. SISTEMA físico PRODUCTOR de la representación. Figura 6. Los dos tipos de relación entre el contenido de la representación y el objeto representado. La relación entre el contenido de la representación y el objeto representado depende del sistema que se moviliza para producir la representación. Podemos obtener iconicidad o no-iconicidad de la representación semiótica, así como también para la representación no semiótica. Y esto nos trae de vuelta a la paradoja cognitiva de la comprensión en matemáticas. ¿Cómo puede el objeto representado ser distinguido de la representación semiótica que se utiliza cuando no hay acceso al objeto matemático aparte de representaciones semióticas? El primer problema de comprensión en el aprendizaje de las matemáticas es un problema de ambas, reconocimiento y discriminación. Cuando se enfrenta a dos representaciones de dos registros distintos, ¿cómo se puede reconocer el mismo objeto representado dentro de sus respectivos contenidos? En otras palabras, ¿cómo puede un estudiante discriminar en cualquier representación semiótica qué es matemáticamente relevante y qué no es matemáticamente relevante? Este tema es particularmente obvio y crucial para todas las representaciones que se producen dentro de registros multifuncionales. ¿Se plantea, también, para las representaciones que se producen dentro de registros monofuncionales? En cualquier caso, estos problemas de reconocimiento y discriminación son intrínsecos a la construcción de conexiones entre registros. Esta paradoja cognitiva hace posible plantear la siguiente hipótesis (en términos matemáticos “conjetura”): la comprensión de las matemáticas asume la coordinación de al menos dos registros de representación semiótica. Y ya uno se puede plantear una primera pregunta: ¿esa coordinación de registros llega naturalmente a alumnos y estudiantes en el contexto de la enseñanza matemática? 3. LAS DOS FUENTES DE INCOMPRENSIÓN EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS Los dos tipos de transformación de representaciones semióticas son fuentes completamente diferentes de dificultades recurrentes en el aprendizaje de las matemáticas. No están en la primera dificultad particular a este o aquel concepto matemático, sino más bien en dificultades globales que se pueden encontrar en todos los niveles de enseñanza y en cada dominio de las matemáticas. Durante casi 20 años, se han recogido datos empíricos acerca de las relaciones entre los procesos de pensamiento implicados en la actividad matemática y problemas de comprensión o incluso bloqueos de la mayoría de los educandos. Y cualquiera puede obtener evidencia empírica sobre la condición de que el tratamiento y la conversión sean metodológicamente separados en las tareas que se dan a los estudiantes, cosa que rara vez o nunca, se hace en la mayoría de los estudios de investigación..

(13) Nos limitaremos a dar algunos ejemplos para demostrar la profunda incomprensión de estos dos tipos de transformación en los diferentes niveles de enseñanza y en las diferentes áreas de la actividad matemática. 3.1. Una primera fuente de incomprensión: la complejidad y la especificidad de los tratamientos realizados en un registro multifuncional Hay una gran fuente de malentendidos entre profesores y estudiantes, principalmente con respecto a lo básico y complementario de los procesos de pensamiento, razonamiento y visualización. A diferencia de los registros monofuncionales, los registros multifuncional parecen comunes y directamente accesibles a cada estudiante. Pero eso es engañoso. De hecho, la forma matemática de utilizar los registros multifuncionales se ejecuta contra la práctica común, empezando con la práctica del lenguaje natural (Duval, 1995b, págs. 87 a 136). Nos centraremos aquí, en vez de las cifras, en geometría explícitamente en la medida en que recurren a la visualización y no sólo al conocimiento discursivo (propiedades, definiciones, teoremas). Recordando que una figura en geometría siempre está arraigada en el funcionamiento de dos registros. Y si queremos comprender su complejidad cognitiva, debemos analizar por separado la forma en la que los tratamientos se llevan a cabo respectivamente en el registro discursivo y el registro visual, aunque se funden en el mismo proceso matemático. Cuando nos centramos en la visualización estamos enfrentao una fuerte discrepancia entre la manera común de ver las figuras, generalmente en una forma icónica, y la forma matemática que se espera para ser mirada. Hay muchas maneras de “ver” (Duval, 1995ª).¿ Cuál es la requerida por el uso heurístico de las figuras? Dimos anteriormente tres ejemplos extremadamente elementales del uso de figuras en geometría (Figura 2).En estos ejemplos, “ver” consistió en discernir en la figura original las transformaciones que permiten la reconfiguración en la otra: el pasaje de la figura original a la que es el objetivo hace posible comprender una relación, una fórmula de cálculo, etc. Por lo tanto, suponiendo que el cálculo del área de un rectángulo es conocido, uno puede ver cómo calcular el de un paralelogramo y de ahí el de un triángulo (Figura 7). Figura ilustrativa de expresiones de propiedades geométricas que refieren a elementos unidimencionales de la figura (los lados y la perpendicular desde un vértice a la base). Figura pretendida. Proceso visual subyascente de reconfiguración que requiere focalizar la atención sobre elementos bidimensionales.. Figura 7. ¿Es la ilustración de la figura cognitivamente congruente a la transformación visual? ¿Qué constituye el hecho de “ver” la geometría? Aunque el discurso matemático exige mirar los elementos unidimensionales de la figura, la fuerza heurística de la figura exige que la atención sea centrada en los elementos bidimensionales. Este ejemplo es citado en todas partes como una.

(14) manifestación de una actividad espontánea, que sería común a los estudiantes principiantes y confirmados matemáticos. En realidad, los factores que aquí da la figura, su heurística su claridad explicativa puede, en situaciones matemáticamente similares, impedir ver, como puede verificarse en el siguiente ejemplo (Fig. 8).. Figura 8. Primer paso de un tratamiento visual: subfiguras requeridas para ser discriminadas. La solución de ciertos problemas requiere una comparación de algunas posibles subfiguras obtenidas por la reconfiguración y, por lo tanto, la habilidad de discernirlas rápidamente en la figura original. Hay factores que, en algunos casos, facilitan el reconocimiento de las correspondientes subfiguras y los inhiben en otros (Duval, 1995ª, págs. 144, 149-150). Pero hay otra, posibilidad más interesante, situaciones que muestran la complejidad y la dificultad de las figuras: aquellos que impliquen un círculo y unas líneas rectas. Sobre este tema también tenemos observaciones muy fiables, disponible en diferentes niveles de la enseñanza. Al final de la escuela primaria, el problema presentado en la Figura 9 fue dado a todos los estudiantes que ingresan a la escuela media francesa y los datos resultados del problema en la figura 9. Muy a menudo, el mismo tipo de problema se repitió en varios años consecutivos..

(15) Figura 9. Evaluación nacional francesa (hombres, 1998, 1999). En realidad, para encontrar la respuesta matemática, los estudiantes tenían que ver dentro de la figura a las dos subfiguras B (véase la figura 10) y no a las dos subfiguras A. Porque sólo en las dos subfiguras B es que uno ve los dos rayos en un lado y una parte del otro lado del rectángulo. Ahora es en las subfiguras A donde salta el ojo y por lo tanto tienden a descartar los subfiguras B!. Figura 10. Dos maneras de identificar subfiguras dentro de la cifra original. ¿Cómo uno “ve” la figura original en el enunciado que acompaña a la declaración del problema (Figura 9)? La mayoría de estudiantes no puede discriminar la organización visual (B). La segunda encuesta se produjo cerca del final de la escuela intermedia. El siguiente problema fue planteado (Figura 11)..

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