OBJ 3 PTA 3 Establezca si la función

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(1)

Universidad Nacional Abierta Matemáticas II (Cód. 178 - 179) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 610–612–613-508-280

281–236–237-126 Área de Matemática Fecha: 26 – 07 – 2014

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 01 al 09

OBJ 1 PTA 1 Sean f, g: D IR  IR y un punto límite de D, tales que,

2 3 5

) ( 3 ) ( 2 lím

0 x

x  

x g x

f y

1 ) ( 4 lím

0 x

x g x  . Calcula el xlímx0 ( ) x f

 .

SOLUCIÓN:

Consultar el libro texto UNA (código 178 - 179). Autoevaluación I, ejercicio 1, página 123.

OBJ 2 PTA 2 Evalúa el    

 

 2secθ θ sen θ) (π cot 0 θ

lim

. SOLUCIÓN:

   

 

 2secθ senθ θ) (π cot 0 θ

lim

= 0 .  , aplicando el álgebra y las identidades trigonométricas levantamos la indeterminación, así:

   

 

 2secθ senθ θ) (π cot 0 θ

lim

=

   

 

   

 

θ cos

1 2

senθ θ) (π sen

θ) cos(π

0 θ

lim

= 

  

 

 2 sen(πθ) θ senθenθ θ)

cos(π 0

θ lim

.

Al dividir por θπ miembro a miembro

  

 

  

 

θ π

θ) (π sen 2

θ cos θ π senθ * θ) cos(π

0 θ

lim

=

2π 1

  

 

 

 

) ( sen lím y cosθ lím , sen lím ), cos(π lím

0 θ 0

θ 0

θ 0

θ

(2)

OBJ 3 PTA 3 Establezca si la función

   

  

 

3 t si 27

3 t si 3 t

27 t r(t)

3

es continua en t = 3.

SOLUCIÓN:

Veamos si se cumple lím r

 

t

3

t = r (3).

3 t

27 t lím

3 3

t 

 = t 3

9) 3t 3)(t (t lím

2 3

t 

  

 = lím (t 3t 9)

2 3

t   = 9 + 9 + 9 = 27

 lím r

 

t

3

t = r (3)  r es continua en t = 3

OBJ 4 PTA 4 La función posición de un objeto en caída libre viene dada por la expresión . Si se deja caer desde una altura de 1362 m. Hallar la velocidad

a) media en el intervalo [1, 2]. b) en el instante t =2.

Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente todos los literales. SOLUCIÓN:

Para t = 0 s(0)-16(0)2 1362  s(0)1362 m de altura.

La función posición s(t)-16 t21362 y velocidad v(t)s'(t)-32 t  v0; v = 0. 0

a) En el intervalo [1, 2] el objeto cae desde una altura s(1)-16(1)2 13621346m hasta una altura de s(2)-16(2)21362-6413621298m.

La velocidad media es Vm = 48m/s 1

2 1346 1298

Δt Δs

  

 .

Vm= – 48 m/s. En el intervalo [1, 2] el objeto se mueve hacia abajo a razón 48 m/s.

b) La velocidad en el instante t viene dada por la derivada s'(t)-32 t, luego en t = 2 s'(2)-64m/s

Por tanto, en t = 2 el objeto se mueve a razón de 64 m/s hacia abajo.

1362 t

16

(3)

OBJ 5 PTA 5 Dada la función f: R  R definida por

32 20x 3x

f(x)

3 5

 , determine: a) Puntos de inflexión.

b) Intervalos de concavidad y convexidad.

Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente todos los literales. SOLUCIÓN:

32 x 60 x 15 (x) f

2 4

 y

32 120x 60x

(x) f

3

  f(x)0  60x3120x0

 60x(x2 2)0  x = 0, x = 2, x =  2 son puntos de inflexión.

Intervalo

, 2

2,0

 

0, 2

2,

Punto de prueba x3 x1 x1 x3

Signo def 

 

x f 

 

3 0 f 

 

1 0 f 

 

1 0 f 

 

3 0

Conclusión Cóncava hacia abajo

Cóncava hacia arriba(convexa)

Cóncava Convexa

OBJ 6 PTA 6 Dadas las matrices

  

 

  

 

  

1 1 0

5 4 3

2 1 1

A ,

  

 

  

 

 

0 6 7

5 0 3

1 2 0

B y

  

 

  

 

 

4 2 0

0 1 3

2 0 0

C .

Encuentre una matriz D tal que, A + B + C + D es la matriz cero de 3x3. SOLUCIÓN:

Sea la matriz

  

 

  

  

2 2 2

1 1 1

c b a

c b a

c b a

D . Entonces, según las condiciones se debe cumplir:

A + B + C + D = 03x3, sustituyendo los valores correspondientes en la expresión anterior, tenemos:

   

 

  

 

 

1 1 0

5 4 3

2 1 1

   

 

  

 

6 0 7

5 0 3

1 2 0

   

 

  

 

2 4 0

0 1 3

2 0 0

   

 

  

 

2 2 2

1 1 1

c b a

c b a

c b a

  

 

  

 

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Luego, por suma de matrices:

  

 

  

     

 

  

 

 

 

 

 

0 0 0

0 0 0

0 0 0

c 3 b 7 a 7

c 10 b 5 a 9

c 5 b 1 a 1

2 2

2

1 1

(4)

5 c 1 b 1 a 0 c 5 0 b 1 0 a 1                   10 c 5 b 9 a 0 c 10 0 b 5 0 a 9 1 1 1 1 1 1                   3 c 7 b 7 a 0 c 3 0 b 7 -0 a 7 2 2 2 2 2 2                 

De acuerdo con lo anterior la matriz

                   3 7 7 10 5 9 5 1 1 D .

OBJ 7 PTA 7 Sea la matriz

            2 1 3 6 5 4 6 4 2

A , usando el método de Gauss-Jordan, calcule A1 si existe.

SOLUCIÓN:                                             1 3f 3 f 3 f 1 4f 2 f 2 f 1 f 2 1 1 f 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 2 1 3 6 5 4 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 3 6 5 4 6 4 2                                                    2 5f 3 f 3 f 2 2f 1 f 1 f 2 f 3 1 2 f 1 0 2 3 0 3 1 3 2 0 0 2 1 11 5 -0 2 1 0 3 2 1 1 0 2 3 0 1 2 -0 0 2 1 11 5 -0 6 -3 -0 3 2 1                                                          f2 f3 2 2 f 1 f 3 f 1 f 3 f 3 f 1 3 5 6 11 0 3 1 3 2 0 3 2 6 5 1 0 0 2 1 0 1 0 1 1 3 5 6 11 0 3 1 3 2 0 3 2 6 5 1 0 0 2 1 0 1 0 1                  1 3 5 6 11 2 3 11 3 13 1 3 7 3 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Luego,                    1 3 5 6 11 2 3 11 3 13 1 3 7 3 8

(5)

ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA (CÓD. 178)

OBJ 8 PTA 8 La función de la demanda de un cierto bien en un mercado de competencia está dada por la relación Q = 400  0.5 p2. Determina si la demanda es elástica, inelástica o ni lo uno ni lo otro para p = 20.

SOLUCIÓN:

La respuesta relativa de los consumidores a un cambio en el precio de un bien de consumo se llama la

“elasticidad de precios de la demanda”, la denotaremos por:  = dp dQ p Q

[1].

Al derivar la función de la demanda, tenemos dp dQ

= – p. Luego, sustituyendo en [1]:

=

p 0.5p p

400

 

= – 2 p 400

+ 0.5 y para p=20 = –1 + 0.5 = – 0.5 y η = 0.5  1.

Luego, tenemos como conclusión η = 0.5  1 la demanda es inelástica.

OBJ 9 PTA 9 Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su demanda está dada por el vector de demanda d = (30 20 40 10), una matriz 1x 4. El precio por unidad que recibe el fabricante por

los artículos está dado por el vector de precios (en miles de Bs.) p =    

 

   

 

40 18 15 20

una matriz 4x1. Si se

cumple la demanda, ¿cuánto dinero recibirá el fabricante? SOLUCIÓN:

De acuerdo a la definición, el ingreso viene dado por: I = (30 20 40 10).    

 

   

 

40 18 15 20

Al efectuar el producto de matrices, tenemos:

(6)

INGENIERÍA Y MATEMÁTICA (CÓD 179) OBJ 8 PTA 8 Demuestre que sen nx nsen x, para todo x  R, n  Z+. SOLUCIÓN:

i) n = 1 sen x  sen x se cumple

ii) n = k sen kx ksen x hipótesis de inducción iii) n = k+1 sen (k1)x (k1)sen x tesis P.D.

Como

sen x · kx cos x cos · kx sen x)

(kx sen 1)x

(k

sen     

sen x

1) (k sen x sen x

k sen x kx

sen sen x

· kx cos x cos · kx

sen       

 sen (k1)x (k1)sen x

Nota: Estas desigualdades puedes comprobarlas, por ejemplo, haciendo k = 2, x = 30º =

6 π

sen 60 · cos 30 + cos 60 · sen 30 =

2 3

·

2 3

+

2 1

·

2 1

=

4 1 4 3

 = 1

1.36 2

1 3 2 1 2

3 30 sen 60 sen 1 30 sen · 60 cos 30 cos · 60

sen         

OBJ 9 PTA 9 Considera la función V = 3 4 r3

que expresa el volumen V de una esfera en función de su radio r. Determina la tasa media de cambio

r Δ ΔV

cuando el radio pasa de 4 cm a 4,5 cm.

SOLUCIÓN:

Ver pág.106 y 121-122 del texto (Módulo IV).

r Δ ΔV

=

 

r Δ

r V r Δ r

V  

, donde r = 4 cm y  r = (4,5 – 4) cm = 0 ,5 cm. Entonces,

r Δ ΔV

=

 

0,5

4 V 5 , 0 4

V  

=

3 4π

   

  

5 , 0

4 ) 5 , 0 4

( 3 3

=

3 4π

   

    

5 , 0

4 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 4 . 3 ) 5 , 0 ( 4 . 3

(7)

=

3 4π

   

  

5 , 0

) 5 , 0 ( 3 4 . 2 .

3 3

=

3 4π

     

   

2 1

8 1 27

=

3 4π

     

4 217

=

3 217π

227,24 .

Por lo tanto, la tasa media de cambio r Δ ΔV

cuando el radio pasa de 4 cm a 4,5 cm es aproximadamente 227,24 cm3.

Figure

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Referencias

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