Universidad Nacional Abierta Matemáticas II (Cód. 178 - 179) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 610–612–613-508-280
281–236–237-126 Área de Matemática Fecha: 26 – 07 – 2014
MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 01 al 09
OBJ 1 PTA 1 Sean f, g: D IR IR y un punto límite de D, tales que,
2 3 5
) ( 3 ) ( 2 lím
0 x
x
x g x
f y
1 ) ( 4 lím
0 x
x g x . Calcula el xlímx0 ( ) x f
.
SOLUCIÓN:
Consultar el libro texto UNA (código 178 - 179). Autoevaluación I, ejercicio 1, página 123.
OBJ 2 PTA 2 Evalúa el
2secθ θ sen θ) (π cot 0 θ
lim
. SOLUCIÓN:
2secθ senθ θ) (π cot 0 θ
lim
= 0 . , aplicando el álgebra y las identidades trigonométricas levantamos la indeterminación, así:
2secθ senθ θ) (π cot 0 θ
lim
=
θ cos
1 2
senθ θ) (π sen
θ) cos(π
0 θ
lim
=
2 sen(πθ) θ senθenθ θ)
cos(π 0
θ lim
.
Al dividir por θπ miembro a miembro
θ π
θ) (π sen 2
θ cos θ π senθ * θ) cos(π
0 θ
lim
=
2π 1
) ( sen lím y cosθ lím , sen lím ), cos(π lím
0 θ 0
θ 0
θ 0
θ
OBJ 3 PTA 3 Establezca si la función
3 t si 27
3 t si 3 t
27 t r(t)
3
es continua en t = 3.
SOLUCIÓN:
Veamos si se cumple lím r
t3
t = r (3).
3 t
27 t lím
3 3
t
= t 3
9) 3t 3)(t (t lím
2 3
t
= lím (t 3t 9)
2 3
t = 9 + 9 + 9 = 27
lím r
t3
t = r (3) r es continua en t = 3
OBJ 4 PTA 4 La función posición de un objeto en caída libre viene dada por la expresión . Si se deja caer desde una altura de 1362 m. Hallar la velocidad
a) media en el intervalo [1, 2]. b) en el instante t =2.
Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente todos los literales. SOLUCIÓN:
Para t = 0 s(0)-16(0)2 1362 s(0)1362 m de altura.
La función posición s(t)-16 t21362 y velocidad v(t)s'(t)-32 t v0; v = 0. 0
a) En el intervalo [1, 2] el objeto cae desde una altura s(1)-16(1)2 13621346m hasta una altura de s(2)-16(2)21362-6413621298m.
La velocidad media es Vm = 48m/s 1
2 1346 1298
Δt Δs
.
Vm= – 48 m/s. En el intervalo [1, 2] el objeto se mueve hacia abajo a razón 48 m/s.
b) La velocidad en el instante t viene dada por la derivada s'(t)-32 t, luego en t = 2 s'(2)-64m/s
Por tanto, en t = 2 el objeto se mueve a razón de 64 m/s hacia abajo.
1362 t
16
OBJ 5 PTA 5 Dada la función f: R R definida por
32 20x 3x
f(x)
3 5
, determine: a) Puntos de inflexión.
b) Intervalos de concavidad y convexidad.
Nota: Para el logro de este objetivo debes responder correctamente todos los literales. SOLUCIÓN:
32 x 60 x 15 (x) f
2 4
y
32 120x 60x
(x) f
3
f(x)0 60x3120x0
60x(x2 2)0 x = 0, x = 2, x = 2 son puntos de inflexión.
Intervalo
, 2
2,0
0, 2
2,
Punto de prueba x3 x1 x1 x3
Signo def
x f
3 0 f
1 0 f
1 0 f
3 0Conclusión Cóncava hacia abajo
Cóncava hacia arriba(convexa)
Cóncava Convexa
OBJ 6 PTA 6 Dadas las matrices
1 1 0
5 4 3
2 1 1
A ,
0 6 7
5 0 3
1 2 0
B y
4 2 0
0 1 3
2 0 0
C .
Encuentre una matriz D tal que, A + B + C + D es la matriz cero de 3x3. SOLUCIÓN:
Sea la matriz
2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
c b a
D . Entonces, según las condiciones se debe cumplir:
A + B + C + D = 03x3, sustituyendo los valores correspondientes en la expresión anterior, tenemos:
1 1 0
5 4 3
2 1 1
6 0 7
5 0 3
1 2 0
2 4 0
0 1 3
2 0 0
2 2 2
1 1 1
c b a
c b a
c b a
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Luego, por suma de matrices:
0 0 0
0 0 0
0 0 0
c 3 b 7 a 7
c 10 b 5 a 9
c 5 b 1 a 1
2 2
2
1 1
5 c 1 b 1 a 0 c 5 0 b 1 0 a 1 10 c 5 b 9 a 0 c 10 0 b 5 0 a 9 1 1 1 1 1 1 3 c 7 b 7 a 0 c 3 0 b 7 -0 a 7 2 2 2 2 2 2
De acuerdo con lo anterior la matriz
3 7 7 10 5 9 5 1 1 D .
OBJ 7 PTA 7 Sea la matriz
2 1 3 6 5 4 6 4 2
A , usando el método de Gauss-Jordan, calcule A1 si existe.
SOLUCIÓN: 1 3f 3 f 3 f 1 4f 2 f 2 f 1 f 2 1 1 f 1 0 0 0 1 0 0 0 2 1 2 1 3 6 5 4 3 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 3 6 5 4 6 4 2 2 5f 3 f 3 f 2 2f 1 f 1 f 2 f 3 1 2 f 1 0 2 3 0 3 1 3 2 0 0 2 1 11 5 -0 2 1 0 3 2 1 1 0 2 3 0 1 2 -0 0 2 1 11 5 -0 6 -3 -0 3 2 1 f2 f3 2 2 f 1 f 3 f 1 f 3 f 3 f 1 3 5 6 11 0 3 1 3 2 0 3 2 6 5 1 0 0 2 1 0 1 0 1 1 3 5 6 11 0 3 1 3 2 0 3 2 6 5 1 0 0 2 1 0 1 0 1 1 3 5 6 11 2 3 11 3 13 1 3 7 3 8 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . Luego, 1 3 5 6 11 2 3 11 3 13 1 3 7 3 8
ADMINISTRACIÓN Y CONTADURÍA (CÓD. 178)
OBJ 8 PTA 8 La función de la demanda de un cierto bien en un mercado de competencia está dada por la relación Q = 400 0.5 p2. Determina si la demanda es elástica, inelástica o ni lo uno ni lo otro para p = 20.
SOLUCIÓN:
La respuesta relativa de los consumidores a un cambio en el precio de un bien de consumo se llama la
“elasticidad de precios de la demanda”, la denotaremos por: = dp dQ p Q
[1].
Al derivar la función de la demanda, tenemos dp dQ
= – p. Luego, sustituyendo en [1]:
=
p 0.5p p
400
= – 2 p 400
+ 0.5 y para p=20 = –1 + 0.5 = – 0.5 y η = 0.5 1.
Luego, tenemos como conclusión η = 0.5 1 la demanda es inelástica.
OBJ 9 PTA 9 Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su demanda está dada por el vector de demanda d = (30 20 40 10), una matriz 1x 4. El precio por unidad que recibe el fabricante por
los artículos está dado por el vector de precios (en miles de Bs.) p =
40 18 15 20
una matriz 4x1. Si se
cumple la demanda, ¿cuánto dinero recibirá el fabricante? SOLUCIÓN:
De acuerdo a la definición, el ingreso viene dado por: I = (30 20 40 10).
40 18 15 20
Al efectuar el producto de matrices, tenemos:
INGENIERÍA Y MATEMÁTICA (CÓD 179) OBJ 8 PTA 8 Demuestre que sen nx nsen x, para todo x R, n Z+. SOLUCIÓN:
i) n = 1 sen x sen x se cumple
ii) n = k sen kx ksen x hipótesis de inducción iii) n = k+1 sen (k1)x (k1)sen x tesis P.D.
Como
sen x · kx cos x cos · kx sen x)
(kx sen 1)x
(k
sen
sen x
1) (k sen x sen x
k sen x kx
sen sen x
· kx cos x cos · kx
sen
sen (k1)x (k1)sen x
Nota: Estas desigualdades puedes comprobarlas, por ejemplo, haciendo k = 2, x = 30º =
6 π
sen 60 · cos 30 + cos 60 · sen 30 =
2 3
·
2 3
+
2 1
·
2 1
=
4 1 4 3
= 1
1.36 2
1 3 2 1 2
3 30 sen 60 sen 1 30 sen · 60 cos 30 cos · 60
sen
OBJ 9 PTA 9 Considera la función V = 3 4 r3
que expresa el volumen V de una esfera en función de su radio r. Determina la tasa media de cambio
r Δ ΔV
cuando el radio pasa de 4 cm a 4,5 cm.
SOLUCIÓN:
Ver pág.106 y 121-122 del texto (Módulo IV).
r Δ ΔV
=
r Δ
r V r Δ r
V
, donde r = 4 cm y r = (4,5 – 4) cm = 0 ,5 cm. Entonces,
r Δ ΔV
=
0,54 V 5 , 0 4
V
=
3 4π
5 , 0
4 ) 5 , 0 4
( 3 3
=
3 4π
5 , 0
4 ) 5 , 0 ( ) 5 , 0 ( 4 . 3 ) 5 , 0 ( 4 . 3
=
3 4π
5 , 0
) 5 , 0 ( 3 4 . 2 .
3 3
=
3 4π
2 1
8 1 27
=
3 4π
4 217
=
3 217π
227,24 .
Por lo tanto, la tasa media de cambio r Δ ΔV
cuando el radio pasa de 4 cm a 4,5 cm es aproximadamente 227,24 cm3.