Vectores
Texto completo
(2) MATEMATICAS 1º Bachillerato. 1. Vectores en el plano 1.1. Vector fijo y libre 1.2. Operaciones con vectores 1.3. Combinación lineal de vectores. Base 2. Coordenada cartesianas 2.1. Base canónica 3. Producto escalar de vectores 3.1. Vectores ortogonales 3.2. Producto escalar 3.3. Módulo de un vector 3.4. Ángulo de dos vectores Soluciones a los Ejercicios Soluciones a los Tests. r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Tabla de Contenido. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(3) Sección 1: Vectores en el plano. 3. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 1. Vectores en el plano. A. 1.1. Vector fijo y libre. d. −−→ Llamamos vector fijo AB al segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.. Módulo: Es la longitud del vector. Lo representamos por −−→ |AB| Dirección: Es la dirección de la recta que lo contiene. Si dos vectores son paralelos tienen la misma dirección. Sentido: Es el que va del origen al extremo. Lo representamos por la punta de la flecha. Una dirección tiene dos sentidos.. y1 y0. −→ AB. B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Definición 1. B. A x0. x1. −→ AB(x1 − x0 , y1 − y0 ). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(4) Sección 1: Vectores en el plano. 4. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Definición 2. A. Vectores equipolentes son los vectores que tinen : mismo módulo, dirección y sentido. d B s=B+mv. CIENCIAS. −−→ −−→ −−→ Ası́, los vectores AB,CD y EF son equipolentes y representantes del mismo vector libre ~u. En el paralelogramo ABDC, son −−→ −−→ equipolentes los vectores AB y CD, y representantes de ~u. También son equipolentes los vectores −→ −−→ AC y BD, y representantes de ~v .. B. D. − → u. − → u. A. C. − → u. F. MaTEX Vectores. Todos los vectores del gráfico tienen la misma dirección, sentido y magnitud, son todos ellos equipolentes. También decimos que son representantes del vector libre ~u.. − → u E. C. ~u. D. ~v. A. ~v. ~u. B. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(5) Sección 1: Vectores en el plano. 5. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 1.2. Operaciones con vectores. A. Definición 3. d. El producto de un número α por un vector ~u es otro vector libre representado por α · ~u El vector α · ~u mantiene la dirección pero 1 puede cambiar el sentido o la magnitud del u 2~ ~ u vector ~u.. Si α > 1, el vector α · ~u se dilata o alarga y si α < 1, el vector α · ~u se contrae o acorta.. CIENCIAS. MaTEX. 2~u. Vectores. Si α > 0, α·~u tiene el mismo sentido que ~u , y si α < 0 tienen sentido contrario.. B s=B+mv. −~u. El caso que α = 0, el vector α · ~u corresponde al vector nulo (0, 0). En el gráfico se muestran los vectores múltiplos de ~u, la mitad de ~u con 1 α = , el doble de ~u con α = 2 y el opuesto de ~u con α = −1. 2. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(6) Sección 1: Vectores en el plano. 6. Definición 4 La suma de los vectores libres ~u y ~v es otro vector libre. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. ~u + ~v. CIENCIAS. ~v. ~u + ~v. MaTEX Vectores. que se obtiene gráficamente, tomando representantes de ~u y ~v con el mismo origen, y trazando la diagonal del paralelogramo que determinan. También se llama la resultante.. d B s=B+mv. ~u Definición 5 La resta de los vectores libres ~u(u1 , u2 ) y ~v (v1 , v2 ) es otro vector libre definido por ~u − ~v = (u1 − v1 , u2 − v2 ) la interpretación gráfica de la resta se muestra en el dibujo. El vector resta ~u −~v es la diagonal del paralelogramo construido con ~u y −~v .. ~u. −~v. ~u − ~v JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(7) Sección 1: Vectores en el plano. 7. Ejemplo 1.1. Dados dos vectores no dependientes ~u y ~v hallar 3 · ~u + 2 ~v Solución:. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d. 3~u. B s=B+mv. CIENCIAS. ~u. Vectores. MaTEX. w ~. ~v. 2~v. −−→ Ejemplo 1.2. Expresar como combinación lineal de los vectores AB = ~u y −−→ BC = ~v , los siguientes vectores: −−→ −→ −−→ a) BA b) AC c) DB Solución: −−→ −−→ a) BA = −AB = −~u −→ −−→ −−→ b) AC = AB + BC = ~u + ~v −−→ −−→ −−→ c) DB = DC + CB = 2 ~u − ~v. A. ~u. B ~v. D. 2~u. C. . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(8) Sección 1: Vectores en el plano. MATEMATICAS 1º Bachillerato. 8. r=A+lu. Ejemplo 1.3. Considera el hexágono regular de la figura. Expresar como combinación lineal −−→ −→ de los vectores AB = ~u y AC = ~v , los siguientes vectores: −−→ −→ −−→ a) BC b) AO c) AD −−→ −−→ −→ d ) DO e) CD f ) AE. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. Solución:. C. B. Vectores. −−→ a) BC = −~u + ~v −→ −−→ b) AO = BC = −~u + ~v −−→ −→ c) AD = 2 AO = −2 ~u + 2 ~v −−→ −−→ d ) DO = − BC = ~u − ~v −−→ −→ −−→ e) CD = CA + AD = −~v + (−2 ~u + 2 ~v ) −−→ CD = −2 ~u + ~v −→ −−→ −−→ f ) AE = AD + DE = (−2 ~u + 2 ~v ) − ~u −→ AE = −3 ~u + 2 ~v. ~u ~v D. A. O. E. F . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(9) Sección 1: Vectores en el plano. 9. Ejercicio 1. Dados dos vectores no dependientes ~u y ~v hallar −2 · ~u − 2 · ~v −−→ Ejercicio 2. Expresar como combinación lineal de los vectores BC = ~u y −−→ CD = ~v , los siguientes vectores:. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. B. ~u. C. MaTEX. ~v. A. Vectores. −−→ a) BD −→ b) AC −−→ c) AB. D. 2~u. Ejercicio 3. Siendo M, N, P los puntos medios de los lados, expresar como −−→ −→ combinación lineal de los vectores AM = ~u y AP = ~v , los siguientes vectores: −−→ a) M B −−→ c) BC −−→ e) P M. −−→ b) AB −−→ d ) AN −−→ f ) MC. C. P ~v N. A ~u M. B. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(10) Sección 1: Vectores en el plano. 10. 1.3. Combinación lineal de vectores. Base En los ejercicios anteriores, básicamente hemos hecho dos cosas con los vectores. Multiplicarlos por un número y sumarlos (restarlos). Esas dos operaciones constituyen lo que se llama una combinación lineal, bien de uno o más vectores. Definición 6 Decimos que el vector ~v es combinación lineal del vector ~u si existe un escalar α con. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. ~v = α · ~u también decimos que ~u y ~v son dependientes o proporcionales. Si ~u y ~v no son dependientes decimos que son independientes. Definición 7 ~ es combinación lineal de los vectores Decimos que el vector w ~u y ~v si existen escalares α y β con ~ = α · ~u + β · ~v w Definición 8 (Base) Decimos que los vectores ~u y ~v forman una base en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto significa que cualquier ~ ∈ R2 se obtiene por combinación lineal de ~u y ~v. vector w. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(11) Sección 2: Coordenada cartesianas. 11. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 2. Coordenada cartesianas. A. Tomando en el plano un punto cualquiera O como origen de referencia vamos a introducir coordenadas para trabajar con los vectores.. d B s=B+mv. CIENCIAS. 2.1. Base canónica De entre todas las bases elegimos la base canónica determinada por los vectores ~i(1, 0) y ~j(0, 1). Ası́ cualquier vector ~u(u1 , u2 ) se pude expresar como. MaTEX Vectores. (u1 , u2 ) = u1 · (1, 0) + u2 · (0, 1) ~u = u1 · ~i + u2 · ~j Los números u1 y u2 por este orden son las componentes del vector. La magnitud o módulo del vector ~u(u1 , u2 ) por el teorema de Pitágoras corresponde a q |~u| = u21 + u22. ~u = u1~i + u2~j. u2~j. u2 ~j O ~i. u1 u1~i. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(12) Sección 2: Coordenada cartesianas. 12. Ejemplo 2.1. Expresar los vectores del gráfico en función de la base canónica ~i(1, 0) y ~j(0, 1) y determinar el módulo de de los mismos. Solución:. − → v. ~v = 2 · ~i + 4 · ~j p √ |~v| = 22 + 42 = 20. ~n = −3 · ~i − ·~j p √ |~v| = (−3)2 + (−1)2 = 10 ~c = 4 · ~i − 2 · ~j p √ |~c| = (4)2 + (−2)2 = 20. r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX − → j. Vectores. ~ = −3 · ~i + 2 · ~j w p √ |~v| = (−3)2 + 22 = 13. − → w. MATEMATICAS 1º Bachillerato. − → i − → n − → c . A continuación vamos a repasar los conceptos de dependencia, independencia, bases y combinación lineal de vectores utilizando coordenadas.. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(13) Sección 2: Coordenada cartesianas. 13. ~ (4, 8) es combinación lineal del Ejemplo 2.2. Comprobar que el vector w vector ~u(1, 2) Solución: Comprobamos si existe un escalar α con (4, 8) = α · (1, 2) = =. 1α 2α. r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. Igualando componentes se tiene 4 8. MATEMATICAS 1º Bachillerato. MaTEX. =⇒ α = 4. Ejemplo 2.3. Dado el vector ~v(8, 12) hallar: 1 a) 3 · ~v b) −2 · ~v c) · ~v 4. Vectores. 1 d ) − · ~v 3. Solución: a) 3 · ~v = 3 · (8, 12) = (24, 36) b) −2 · ~v = −2 · (8, 12) = (−16, −24) 1 1 c) · ~v = · (8, 12) = (2, 3) 4 4 1 1 8 d ) − · ~v = − · (8, 12) = (− , −4) 3 3 3 . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(14) 14. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Test. 1. Los vectores ~u(2, 2) y ~v(3, 3) son..? (a) Independientes (b) Dependientes 2. Los vectores ~u(2, 2) y ~v(3, 4) son..? (a) Independientes (b) Dependientes. A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX. Ejemplo 2.4. Dados los vectores ~u(2, 1) y ~v(−1, 3) hallar: a) 3 · u +~ 2 ṽ b) −2 · ~u + 3 · ~v c) −~u + 2 · ~v. Vectores. Sección 2: Coordenada cartesianas. Solución: a) 3 · ~u + ~v = 3 · (2, 1) + (−1, 3) = (5, 6) b) −2 · ~u + 3 · ~v = −2 · (2, 1) + 3 · (−1, 3) = (−7, 1) c) −~u + 2 · ~v = −(2, 1) + 2 · (−1, 3) = (−4, 5) ~ (4, 7) es combinación lineal de los Ejemplo 2.5. Comprobar que el vector w vectores ~u(2, 1) y ~v(0, 5). Solución: Comprobamos si (4, 7) = α · (4, 7) + β · (0, 5) Igualando componentes se tiene 4 = 2α + 0β =⇒ α = 2 β = 1 7 = 1α + 5β . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(15) 15. Definición 9 (Base) Decimos que los vectores ~u(u1 , u2 ) y ~v(v1 , v2 ) forman una base en el plano R2 si son linealmente independientes. Esto signifi~ ∈ R2 se obtiene por combinación ca que cualquier vector w lineal de ~u(u1 , u2 ) y ~v(v1 , v2 ). Ejemplo 2.6. Comprobar que los vectores ~u(2, 1) y ~v(0, 5) forman una base. Solución: Los dos vectores ~u(2, 1) y ~v(0, 5) forman una base, pues son independientes ya que no hay ningún escalar α tal que ~u(2, 1) = α · ~v(0, 5). Observa que las componentes no son proporcionales: 0 5 6= 2 1 . MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Sección 2: Coordenada cartesianas. Ejemplo 2.7. ¿Forman una base los vectores ~u(2, 1) y ~v(4, 2)? Solución: No forman una base, pues los vectores son dependientes, ya que: ~v(4, 2) = 2 · ~u(2, 1) Otra forma es ver que las componentes son proporcionales: 2 1 = =⇒ son dependientes 4 2 . JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(16) Sección 2: Coordenada cartesianas. 16. Test. Responde a las cuestiones: 1. Los vectores ~u(2, 2) y ~v(3, 3) forman una base en R2 . (a) Verdadero (b) Falso 2. Los vectores ~u(1, 0) y ~v(2, 1) forman una base en R2 . (a) Verdadero (b) Falso. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. ~ (5, 2) como combinación lineal de los vecEjercicio 4. Expresar el vector w ~ (3, −2). Efectuar una representación gráfica. tores ~u(1, 2) y w ~ (2, 3), hallar ~v con Ejercicio 5. Dados los vectores ~u(1, −2) y w ~ = 2 · ~u + 3 · ~v w ~ (−1, 1). Comprobar que forman Ejercicio 6. Sean los vectores ~u(1, 1) y w una base. ~ (1, 1). Hallar los valores de a para Ejercicio 7. Sean los vectores ~u(2, a) y w que formen una base. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(17) Sección 3: Producto escalar de vectores. 17. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 3. Producto escalar de vectores. A. 3.1. Vectores ortogonales. CIENCIAS. MaTEX. ~v ~u − ~v. |~u|2 + |~v |2 = |~u − ~v |2. Vectores. Supongamos dos vectores ~u y ~v en (figura). Diremos que son perpendiculares u ortogonales si se satisface el teorema de Pitágoras:. d B s=B+mv. ~u. Aplicando la ecuación, la condición se transforma en (u21 + u22 ) + (v12 + v22 ) = (u1 − v1 )2 + (u2 − v2 )2 Simplificando términos comunes queda (u1 v1 + u2 v2 ) = 0 Ası́ la igualdad es válida si el producto cruzado es cero. Diremos que dos vectores ~u y ~v son ortogonales ~u ⊥ ~v si ~u ⊥ ~v ⇐⇒ u1 v1 + u2 v2 = 0. (1). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(18) Sección 3: Producto escalar de vectores. 18. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 3.2. Producto escalar. A. ~u(u1 , u2 ) · ~v (v1 , v2 ) = u1 v1 + u2 v2. (2). Cuando el producto escalar de dos vectores es cero, los vectores son ortogonales o perpendiculares. Para hallar un vector perpendicular a ~u(u1 , u2 ) basta cambiar el orden y el signo de una de las componentes.. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Al producto anterior de las componentes de dos vectores le definimos como producto escalar de dos vectores. ~u(u1 , u2 ) · ~v (−u2 , u1 ) = −u1 u2 + u2 u1 = 0 Ası́, (1, 5) ⊥ (−5, 1). (2, 3) ⊥ (−3, 2). (8, 7) ⊥ (−7, 8). 3.3. Módulo de un vector Observar que si multiplicamos escalarmente un vector ~u por si mismo se obtiene el cuadrado de su módulo o longitud: ~u · ~u = u21 + u22 = |~u|2. (3). o dicho de otra forma, el módulo de un vector es la raı́z positiva de su producto escalar √ |~u| = ~u · ~u (4). JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(19) Sección 3: Producto escalar de vectores. 19. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. 3.4. Ángulo de dos vectores. A. d. Del teorema del coseno en un triángulo se tiene. B s=B+mv. |~v |. CIENCIAS. 2. 2. |~u − ~v | = |~u| + |~v | − 2 |~u| |~v | cos α. (5). donde α es el ángulo determinado por ~u y ~v .. |~u − ~v |. α. 2. |~u − ~v | =(~u − ~v ) · (~u − ~v ) =~u · ~u − 2 ~u · ~v + ~v · ~v. MaTEX. |~u|. Vectores. 2. =|~u|2 − 2 ~u · ~v + |~v |2 Por otra parte, igualando las ecuaciones anteriores se tiene ~u · ~v = |~u| · |~v | cos α. (6). que nos da una segunda definición del producto escalar. Por ello se obtiene que el ángulo θ de dos vectores ~u y ~v viene dado por cos(~u, ~v ) =. ~u · ~v |~u| · |~v |. (7) JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(20) 20. Ejemplo 3.1. Determinar el ángulo de los vectores de R2 , ~u = (2, 1) y ~v = (0, 1). Solución: Tenemos: (2, 1) · (0, 1) 1 cos(~u, ~v ) = =√ √ |(2, 1)| cot |(0, 1)| 6 1 y de esto bastarı́a hallar 1 α = ∠(~u, ~v ) = arcos √ 6. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Sección 3: Producto escalar de vectores. Ejercicio 8. Dados los vectores ~u = (2, −3) y ~v = (6, −1) hallar: 1. los módulos de ~u y ~v . 2. El producto escalar de ~u y ~v 3. El coseno del ángulo que forman. 4. Hallar m para que el vector w(m, ~ 2) sea ortogonal a ~u ~ perpendiculares a ~u(u1 , u2 ) y con Ejercicio 9. Hallar todos los vectores w el mismo módulo. Ejercicio 10. Dados los vectores ~u(−4, 6) y ~v(5, m). Hallar m para que: a) Sean dependientes b) Sean perpendiculares. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(21) Soluciones a los Ejercicios. 21. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Soluciones a los Ejercicios. A. Ejercicio 1.. d B s=B+mv. w = −2 · ~u − 2 · ~v. CIENCIAS. −2~v. MaTEX Vectores. w ~ ~u ~v −2~u Ejercicio 1. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(22) Soluciones a los Ejercicios. 22. r=A+lu. Ejercicio 2.. A. B. ~u. C. d B s=B+mv. ~v. A. 2~u. CIENCIAS. D. Ejercicio 2. MaTEX Vectores. −−→ −−→ −−→ a) BD = BC + CD = ~u + ~v −→ −−→ −−→ b) AC = AD + DC = 2 ~u − ~v −−→ −→ −−→ c) AB = AC + CB = ~u − ~v. MATEMATICAS 1º Bachillerato. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(23) Soluciones a los Ejercicios. 23. r=A+lu. Ejercicio 3.. A. C. d B s=B+mv. CIENCIAS. P ~v N. A. MaTEX Vectores. −−→ −−→ a) M B = AM = ~u −−→ −−→ b) AB = 2 AM = 2 ~u −−→ −−→ −→ c) BC = BA + AC = −2 ~u + 2 ~v −−→ −→ 1 −−→ d ) AN = AC + CB = ~u + ~v 2 −−→ −→ −−→ e) P M = P A + AM = ~u − ~v −−→ −−→ −→ f ) M C = M A + AC = −~u + 2 ~v. MATEMATICAS 1º Bachillerato. ~u M B Ejercicio 3. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(24) Soluciones a los Ejercicios. 24. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 4. Buscamos escalares α y β con. A. ~ = α · ~u + β · ~v w. d B s=B+mv. Igualando componentes se tiene 5 = 1α + 3β 2 = 2α − 2β. CIENCIAS. =⇒ α = 2. β=1. MaTEX Vectores. 2~u. w ~ ~u. ~v Ejercicio 4. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(25) 25. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 5. Igualando componentes se tiene 7 2 = 2 (1) + 3 v1 =⇒ v1 = 0 v2 = 3 = 2 (−2) + 3 v2 3. A. d B s=B+mv. Ejercicio 5. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(26) 26. ~ (−1, 1) son linealEjercicio 6. Basta comprobar que los vectores ~u(1, 1) y w mente independientes. Como las componentes no son proporcionales: 1 1 6= =⇒ son independientes −1 1 Ejercicio 6. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(27) 27. ~ (1, 1) sean linealmente Ejercicio 7. Basta exigir que los vectores ~u(2, a) y w independientes., es decir que las componentes no sean proporcionales. Como 2 a = =⇒ a = 2 1 1 Si a = 2 son dependientes y no forman base. Para cualquier valor a 6= 2 son independientes y forman una base. Ejercicio 7. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(28) Soluciones a los Ejercicios. 28. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 8. p √ 1. |~u| = p 22 + (−3)2 = √ 13 |~v | = 62 + (−1)2 = 37. A. d B s=B+mv. 2. El producto escalar. CIENCIAS. ~u · ~v = (2, −3) (6, −1) = 2 . 6 + 3 . 1 = 15. MaTEX. 3. Como ~u . ~v = ||~u|| ||~v || cosα, tenemos, 15 √ 13 37. Vectores. cos α = √ 4. w ~ ortogonal a ~u si w ~ . ~u = 0, luego,. (m, 2) . (2, −3) = 0 ⇒ 2m − 6 = 0 ⇒ m = 3 Ejercicio 8. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(29) 29. ~ perpendiculares a ~u(u1 , u2 ) y con el mismo Ejercicio 9. Los vectores w módulo, son ~ (−u2 , u1 ) ~ (u2 , −u1 ) w w Ejercicio 9. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Soluciones a los Ejercicios. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(30) Soluciones a los Ejercicios. 30. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu. Ejercicio 10. a) los vectores ~u(−4, 6) y ~v(5, m) son dependientes si. A. d. −4 6 15 = =⇒ m = − 5 m 2. B s=B+mv. CIENCIAS. 10 (−4, 6) · (5, m) = 0 =⇒ −20 + 6m = 0 =⇒ m = 3. MaTEX Vectores. b) los vectores ~u(−4, 6) y ~v(5, m) son perpendiculares si. Ejercicio 10. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(31) 31. Soluciones a los Tests Solución al Test: En efecto los vectores ~u(2, 2) y ~v(3, 3) son linealmente dependientes pues 3 ~v(3, 3) = · ~u(2, 2) 2 Final del Test. MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. d B s=B+mv. CIENCIAS. MaTEX Vectores. Soluciones a los Tests. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(32) MATEMATICAS 1º Bachillerato r=A+lu A. Índice alfabético ángulo de dos vectores, 19. d B s=B+mv. CIENCIAS. base, 10, 15. MaTEX. combinación lineal , 10. Vectores. norma, 18 producto escalar, 18 vectores por un número, 5 resta, 6 suma, 6 vectores ortogonales, 17. 32. JJ. II. J. I. J Doc. Doc I. Volver Cerrar.
(33)
Documento similar
Determine el valor de (m+n), de los vectores que se muetran en la figura cumple. Usando el sistema de ejes x, y, z encuentre el vector unitario del vector B. Hallar el módulo de
En particular, todo subespacio vectorial debe contener el elemento neutro del espacio ambiente, as´ı como los elementos opuestos de todos los vectores del sube- spacio.. Proposici´
continuo pero, a diferencia del caso discreto, no pueden deducirse de la definici´ on de probabilidad condicionada de sucesos ya que, en este caso, el suceso al que se condiciona es
El resultado del producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a estos vectores, cuya dirección y sentido se obtienen mediante la regla de la mano de derecha. =
Tanto el producto mixto de los vectores columnas de M como el de sus filas vale lo mismo que su determinante; luego son iguales.. El producto mixto de los vectores columnas de M vale
Se utiliz´o la clase Young, que permite crear tablas de Young y tiene como atributos la forma correspondiente a la tabla almacenada en un Vector y un vector de vectores para
La matriz D se forma poniendo en la diagonal de una matriz los valores propios de A, en el siguiente orden: en la i-´esima columna de D se pone el valor propio correspondiente al
Aproximación de la tensión del motor mediante Vectores de Espacio