TEMA 1 – EL NÚMERO REAL

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(1)

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL

CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS REALES

EJERCICIO 1 : Clasifica los siguientes números como 4; 10; 2,333...; 7; 36; ; 5; 7,4

5 5 2

Solución:

5 4

= 0,8  Decimal exacto, Fraccionario, Racional, Real

5 10

= 2  Natural, Entero, Racional, Real

-2,3333…=

2

,

3

 Decimal periódico puro, Fraccionario, Racional, Real 7 Irracional, Real

36= -6  Natural, Entero, Racional, Real

2 

 Irracional, Decimal no periódico, Real

-5 Entero negativo, Entero, Racional, Real 7,4

5

 Decimal periódico mixto, Fraccionario, Racional, Real

EJERCICIO 2 : Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama:

5 3

3,42; ; ; 81; 5; 1; ; 1,4555...

6 4 4

Solución:

EJERCICIO 3 : Representa sobre la recta los siguientes números: 2,3; 7; 3

4

Solución:

EJERCICIO 4 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras:

a)

50

b)

82

Solución:

2 2

1

7

50

)

a

La hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 7 y 1 es la longitud pedida. Con el compás podemos trasladar esta medida a

donde deseemos.

2 2

1

9

82

)

(2)

EJERCICIO 5 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras:

a)

18

b)

46

Solución:

EJERCICIO 6 : Representa en la recta real: a) 3,47 b) 3,4777777….

Solución:

a) b)

INTERVALOS Y SEMIRECTAS

EJERCICIO 7 : Escribe en todas las formas posibles los siguientes intervalos y semirrectas:

a x / 2  x  3 b , 2 c Números mayores que -1 d

Solución: a2, 3

Intervalo semiabierto Números comprendidos entre -2 y 3, incluido -2

b x / x 2 Semirrecta

Números menores o iguales que -2

c 1,  Semirrecta x / x 1

d [5, 7]

Intervalo cerrado x / 5  x  7

Números comprendidos entre 5 y 7, ambos incluidos.

EJERCICIO 8 : Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen: a) x  2 3 b) x  4 < 2

Solución:

a) Son los números de (, 5 ]  [ 1, ).

b) Es el intervalo (2, 6)

FRACCIONES, POTENCIAS Y DECIMALES

EJERCICIO 9 :

a Opera y simplifica el resultado:

1 2

1 3 3 1 3

1,16

2 4 5 2 4

 

b Simplifica:

5 2

1 2 4

2

Solución:

(3)

100 116,666...

10 11,666...

105 7

90 105

90 6

N N

N N

 

   

 Operamos y simplificamos: 

 

        

             

      

1 2

1 3 3 7 1 3 1 3 5 7 1 3 1 5 7

1

2 4 5 6 2 4 2 4 3 6 4 4 2 4 6

 615141211

12 12 12 12 12

  

  

 

   

5 2 5 4 1

1 1 1

2 4 2 2 2

b 1

2 2 2

EJERCICIO 10 :

a Calcula y simplifica el resultado:   

   

1

2 1 3 2 1 1

0,83

3 2 2 3 2 3

b Simplifica:    

 

4 6 -5 1 3 3

3

Solución:

a  Expresamos N0,83 en forma de fracción:

100 83,333...

10 8,333...

75 5

90 75

90 6

N N

N N

 

   

 Operamos y simplificamos: 

        

               

     

1

2 1 3 5 2 1 1 2 1 2 5 2 1 2 2 5 2 1 3 2 2 6 3 2 3 3 2 3 6 3 6 3 6 6 3 6

 42541 0

6 6 6 6 6

   

       

 

4

6 5 1 6 5 4 5

b 3 3 3 3 3 3 243 3

EJERCICIO 11

a) Efectúa y simplifica:

   

    

   

1

1 3 2 1 1 2

1,16

42 3 23 5 b) Reduce a una sola potencia:

5 4

6 0 3 9 3 3

Solución:

a) Expresamos N1,16 en forma de fracción:

100 116,666...

10 11,666...

105 7

90 105

90 6

N N

N N

 

   

 Operamos y simplificamos: 

     

            

     

1

1 3 2 7 1 1 2 1 3 3 7 1 5 1 9 7 1 5 :

4 2 3 6 2 3 5 4 2 2 6 2 6 4 4 6 2 6

3 27 14 6 10 6 1

12 12 12 12 12 12 2

 

      

b)

 

 

 

 

 

5 4 5 8 9 6 0 6

3 9 3 3

3

3 3 3 1

EJERCICIO 12

a Opera y simplifica:

2

1 3 1 3

2,16

4 2 2 8

 

b Reduce a una sola potencia y calcula:

1

3 2

5 3

:

3 5



Solución:

a  Expresamos N2,16 en forma de fracción:

100 216,666...

10 21,666...

195 13

90 195

90 6

N N

N N

 

   

(4)

                          2

13 1 3 1 3 13 3 1 3 13 3 1 3

6 4 2 2 8 6 8 4 8 6 8 4 8      

52 9 6 9 28 7

24 24 24 24 24 6

                                          

1 1 1

3 2 3 2 1 1

5 3 5 5 5 5 3

b : :

3 5 3 3 3 3 5

RADICALES

EJERCICIO 13 : Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

7

3 a a

a)b) 523: 2 c) 4 334

3 2

3

d)

a

a 6 4 3 2

e) xx

Solución: 6 5 3 6 23 2 7 3 1 7

3 a a a a a a a

a)      b) 5 23 22352122110102

4 4 2 4 9 2 4 1 2 4 4 1 4

4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 3

c)         56 6 5

3 2 2 3 3 2 3 a a a a a a

d)   

3 3 4 3 4 3 2 3 2 3 2 6 4 3 2

6 x4 x x x x x x x x x

e)        

EJERCICIO 14 : Efectúa y simplifica:

2 3 2 2 c) 12 2 48 b) 2 3 27 2 a)    3 4 3 3 6 d)Solución: 3 1 3 1 3 3 2 27 3 2 2 3 27 2 a) 2

3  

    0 3 4 3 4 3 2 2 3 2 12 2 48

b)   4  2   





7

2 4 2 9 2 2 3 2 2 6 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2

c)  

           

           12 9 3 2 3 4 9 18 3 3 4 3 3 3 6 3 4 3 3 6 d) 2 4 3 2 4 3 4 2 12 9 12 2 3 12 9 2 3        

EJERCICIO 15 : Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

2 75 48

a)b) 108147

3 6 3 2 c)1 2 1 2 d)   Solución: 5 2 4 2 5 4 5 3 2 3 2 75 2 48 2 75 48 a) 2 4          3 3 7 3 6 7 3 3 2 147 108

b)   2 3   2   

2 2 3 2 3 6 3 3 2 6 3 18 6 3 3 3 6 3 2 3 6 3 2 ) c 2             





2 1 3 2 2

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

d)  

(5)

LOGARITMOS

EJERCICIO 16 : Utiliza las propiedades de los logaritmos para calcular el valor de las siguientes expresiones, teniendo en cuenta que log k  1,2:

2

100 )

k log

c

Solución:

 

 

 4 14 3

4

10 log k

log 1000 log k log 1000

k log

a) 1,2 3 0,3 3 2,7

4 1 3 k log 4 1

        

100k

log100 logk log10 3logk 2 3 1,2 2 3,6 5,6

log

b) 3   3 2       

 

 

log100 logk log10 2logk k

100 log

c) 2 2

2 221,222,40,4

EJERCICIO 17 : Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión utilizando las propiedades de los logaritmos:

25 2 1 8 3 1 2

3lnlnln

Solución:   ln25ln2 ln 8ln 25

2 1 8 ln 3 1 2 ln

3 3 3

5 16 ln 5 ln 16 ln 5 ln 2 8 ln 5 ln 2 ln 8

ln        

EJERCICIO 18 : Si sabemos que log k  0,9, calcula: log k log

100 k

100

3

Solución: log

100 k

logk log100

log100log k

100 k

log 3

3

 

 

3logk log100 log100 logk12

 

 

 logk 2log100

2 5 k log 2 1 100 log 2 k log

3 0,9 2 2 2,25 4 1,75

2 5

       

EJERCICIO 19 : Sabiendo que ln2  0,69,calcula el logaritmo neperiano de: a)4 b) 2 c)48

Solución:

38 , 1 69 , 0 2 2 ln 2 2 ln 4 ln

a)  2     0,69 0,345

2 1 2 ln 2 1 2 ln 2 ln

b) 2

1

   

 0,69 0,5175

4 3 2 ln 4 3 2 ln 8 ln

c) 4

3

4

EJERCICIO 20 : Halla el valor de x, utilizando la definición de logaritmo:

4 b)

4 16

a) logxlog3xc) log264x d) logx643

5

e) log2xf) logx273 g) log232x h) log3x3

Solución:

2 x 16 x 4 16 log

a) x   4    b) log3x4  34 x  x81 6

x 64

2 x

64 log

c) 2   x    d) logx643  x364  x4 32

x x

2 5

x log

e) 2   5   f)logx273  x3 27  x3

5 x 32

2 x

32 log

g) 2   x    h)log3x3  33 x  x27

EJERCICIO 21 : Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

a) 27 1

8 1

3

2 log ln

log   b) 3 2

3 2

1 81 32

e ln log

log   c) loglog 8lne

81 1

2

3 d) log5125

000 1

1

e) log f)log416log35 81ln1 g)

      

2 1 32

343

2 1

2

7 log log

log h) log2 2

Solución: a)

2 3 0 2 3 3 1 ln 3 log 2 log 1 ln 27 log 8 1

log23   2 3 3 32     

3

4

100 b)

1000

(6)

b)

 

3 25 2 3 4 5 2 3 4 5 e ln 3 log 2 log e

1 ln 81 log 32

log 2 5 3 43 2

2 3

3

2              

c)

2 7 1 2 3 4 e ln 2 log 3 log ln 8 log 81

1

log32e3 4 2 32    

3 5 log 125 log

d) 55 3  log10 3

000 1

1 log

e)  3

f)

5 14 0 5 4 2 1 ln 3 log 4 log 1 ln 81 log 16

log 45

3 2 4 5

3

4         

g)

2 9 1 2 5 3 2 1 log 2 log 7 log 2 1 log 32 log 343

log 2 12

5 2

1 7 3 2

2

7    

      

        

h)

2 1 2 log 2

log22 1/2 

EJERCICIO 22 : Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión, utilizando las propiedades de los logaritmos:

4 log 25

1 5

2

3logloglog

Solución:

  

 

 

 log4

25 1 log 5 log 2 log 4 log 25

1 log 5 log 2 log

3 3 0,40

5 2 log 4 25

5 8 log 4 log 25

1 log 5 log 8

log  

    

 

EJERCICIO 23 : Si ln k 0,7, calcula el valor de la siguiente expresión:

2

3

10 10 ln k

k

ln

Solución:

 

2  3    2 

3

k ln 10 ln 10 ln k ln k 10 ln 10

k

ln      lnk

3 7 k ln 2 k ln 3 1 k ln 2 k

ln 13 0,7 1,63

3 7

  

EJERCICIO 24 : Sabiendo que log7  0,85, calcula sin utilizar la calculadora: a)log700 b)log49 c)log3 7

Solución: a)log 700log

7100

log7log1000,8522,85

7 , 1 85 , 0 2 7 log 2 7 log 49 log

b)  2    0,85 0,28

3 1 7 log 3 1 7 log 7 log

c) 3  13   

EJERCICIO 25 : Sabiendo que log 3  0,48, calcula sin utilizar la calculadora el logaritmo en base 10 de cada uno de estos números:a) 30 b)9 c)5 9

Solución:a)log30log

310

log3log100,4811,48 96

, 0 48 , 0 2 3 log 2 3 log 9 log

b)  2    0,48 0,192

5 2 3 log 5 2 3 log 9 log

c) 5  25    

EJERCICIO 26 :

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 256 3 2 2 3

3

2 log log

log  

b)Halla el valor de x, aplicando las propiedades de los logaritmos: logx3log22log3

Solución:

6 49 2 1 3 1 8 2 3

2 )

a log2 8log3 13log2 12   

9 8 x 9

8 3

2 3

2 x ) b

2 3 2

3

  

 

log log log log

log

EJERCICIO 27

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 1 27

1

2 3 2

2 log log

log  

b) Halla el valor de x en la expresión: logx2 4, sabiendoque x0.

(7)

 

2 3 1 2

 

3 0 2 3 5 )

a 3 3 2

2

2         

log

log log

100 1 10

1 x 10

1 x 10

x 4 x ) b

2 4

2 4

2 2

   

 

 

 

log

EJERCICIO 28

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

4 1 32

10 1

2

2 log

log

log  

10k

. calcula

,1 1 k que Sabiendo

b) loglog 3

Solución:

 

2 7 2 2 5 1 2 2 5 1 2 2

10 )

a log 1log2 52log2 2        

 

10k 10 k 10 3 k 1 3 1,1 1 3,3 4,3

)

b log 3 loglog 3loglog      

EJERCICIO 29

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 3 81 9

1

3 3

3 log log

log  

b) Calcula el valor de x, aplicando las propiedades de los logaritmos: logxlog102log34

Solución:

2 3 4 2 1 2 3 3

3 2 3 12 3 4

3  loglog    

log

a) 3

34 102 x 34

102

xlog   

log

b)

EJERCICIO 30

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 7 3 258 3

1 2401 log log

log  

. 100 calcula

0,7 Si

b)

3

       

log k

k log

Solución:

10 51 5 3 2 1 4 5 3 2 1 4 2 3

7 )

a 7 4 3 12 2 35     

        

loglog log

77 , 1 2 23 , 0 1 2 7 , 0 3 1 10 2 k 3 1 10 k

100 k

100 k )

b 3 13 2

3

        

 

 

log log log log log log

log

ERRORES Y COTAS

EJERCICIO 31 : Halla los errores y cotas de los errores al aproximar el número  a las centésimas.

Valor real  = 3,14159265…… Valor de medición: 3,14

Error absoluto = |Valor real – Valor de medición| = |3,14159265…… - 3,14| = 0,00159265……< 0,002 = 2.10-3

Error relativo = 4 4

3

10 . 37 , 6 10 ... 366197724 ,

6 10 . 2 real Valor

absoluto

Error 

 

NOTACIÓN CIENTÍFICA

EJERCICIO 32 : Los valores de A, B y C son:A2,28107 B2104 C4,3105

C A B A

  : Calcula

Solución:



 

    

5 7

4 7

10 3 , 4 10 28 , 2 10

2 10 28 , 2 C A B A

12 11

11 11

12

11 9,804 10 1,14 10 98,04 10 99,18 10 9,918 10

10 14 ,

1           

(8)

EJERCICIO 33 : Calcula y expresa el resultado en notación científica:

a)

4

10 11

12

10 2 1,

10 28 10 2 4, 10 7 3,

 

    

b)

12

8 2

5

10 2

10 1 3, 10

4 2,

 

  

Solución:

a) 

      

    

 4

10 10

10

4

10 11

12

10 2 , 1

10 28 10 42 10 370 10

2 , 1

10 28 10 2 , 4 10 7 , 3

14 16 16

4 10

4 10

10 97 , 2 10 9667 , 2 10 67 , 296 10

2 , 1

10 356 10

2 , 1

10 28 42 370

   

 

   

   

 

b)

    

  

  

 

12 8 10

12 8 2

5

10 2

10 1 , 3 10 76 , 5

10 2

10 1 , 3 10

4 , 2

  

  

  

 

 

2 12

10

12

10 10

10 88 , 157 10

2 10 76 , 315 10

2

10 310 10

76 , 5

4 4 1,58 10

10 5788 ,

1   

EJERCICIO 34 : Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120 ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?

Solución:

108 bacterias/cm3 y 80 mm3 8 · 102 cm3 120 · 8 · 102 9,6 cm3 en una caja.

9,6 · 108 número de bacterias en una caja.

EJERCICIO 35 :

a Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000 por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.

b ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por término medio? Exprésalo en kilómetros.

Solución:

a 5 l  5dm3 5 · 106 mm3 de sangre

4,5 · 106 · 5 · 106 2,25 · 1013 número de glóbulos rojos b 2,25 · 1013 · 8 · 103 1,8 · 1011 mm  180 000 km

USO DE LA CALCULADORA

EJERCICIO 36 : Utilizando la calculadora, halla:

0

39 c)

10 2 4,

10 8 2, 10 4 3, b) 807

16

a) 7

4 6 7

5 log

  

  

12 15 14

10 64 2, 10

8 3, 10

2 9,

d)        

32 27

e)log5ln f)

4,31108



: 3,25104

71011 g) log325

12 8 9

10 5 2,

10 32 2, 10 25 5, h)

 

  

Solución:

a 16 807 SHIFT [x1/y] 5  7 Por tanto: 5 16807 7

b  3.4 EXP 7 /–  2.8 EXP 6 /–  4.2 EXP 4 /–7.47619047603 Por tanto: 3

4 6 7

10 48 , 7 10

2 , 4

10 8 , 2 10 4 ,

3

  

  

  

c log 390  log 7  3.06599292 Por tanto: log7 390  3,07

d 9.2 EXP 12 /–  3.8 EXP 15 /–  2.64 EXP 14 /–9.177412

Por tanto: 9,2 · 1012 3,8 · 10152,64 · 1014 9,18 · 1012

elog 27  log 5 ln 32  5.513554486 Por tanto: log5 27 ln 32  5,51

f 4.31 EXP 8  3.25 EXP 4 /–  7 EXP 11  2.02615384612

Por tanto: 4,31 · 108 :  3,25 · 104 7 · 1011 2,03 · 1012 g log 25  log 3  2.929947041 Por tanto: log3 25  2,93

Figure

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Referencias