El Ciclo Económico Real
Irán Apolinar Peredo Cortes 1 de enero de 2012
1. Introducción
La mayoría de los textos de macroeconomía intermedia concluyen general-mente que a corto plazo la política monetaria controla el tipo de interés, que la renta y el tipo de interés actuales y esperados afectan la demanda agregada y de igual manera enuncian el rol de la demanda en la determinación del nivel de producción y del desempleo el cual puede jarse fuera de su tasa natural. Estos planteamientos fueron mostrados en gran medida en el desarrollo del convencional modelo IS-LM.
Durante la década de los 70's dicho modelo fue duramente criticado, en primera instancia por el manejo de la oferta agregada la cual era determinada por el nivel de exibilidad de precios y salario, a partir de ésta podría ser per-fectamente inelástica o viceversa, así como tener pendiente positiva (hipótesis de Phillips). Friedman en 19681 presenta una fuerte crítica a dicha hipótesis
estableciendo que el trade-o entre inación y desempleo era dinámicamente inconsistente en el tiempo así como aseguró que dicho trade-o era causado por por inación no esperada y que en el tiempo la producción tendia a situarse en su tasa natural.
A partir de dichas críticas la teoría macroeconómica necesitaba de otro instrumento teórico, uno de carácter intertemporal, de equilibrio general que aglutinara en su acervo el papel de las expectativas racionales, es entonces donde inician los trabajos desarrollados por Samuelson con los modelos de Generaciones Translapadas y los modelos de Crecimiento óptimo en contex-tos estocásticos. En el presente capitulo desarrollaremos la teoría del Ciclo Económico Real (RBC por sus siglas en ingles),el cual como veremos más ade-lante parte de la hipótesis de Ramsey. En la primera parte analizaremos las uctuaciones a corto plazo así como mencionaremos elementos necesarios de series de tiempo para capítulos subsecuentes, posteriormente desarrollaremos el modelo Estocástico de Crecimiento Óptimo y a partir de ahí brindaremos
1M. Friedman(1968)The Role of Monetary Policy American Economic Review. No 58, pp
2. Fluctuaciones Económicas, conceptos básicos
Desde principios de siglo pasado se ha producido entre los economistas una extraña fascinación por el análisis de la producción tanto sus uctuaciones a corto plazo como su crecimiento a largo plazo. Los ciclos económicos se encar-ga del estudios de estas uctuaciones a corto plazo. Entre las concepciones de algunos economistas es posible la existencia de ciclos deterministicos, la liter-atura los clasico en Kitchin (3 años), Juglar (10 años), Kuznets (20 años) y Kondratiev (50 años), estos ciclos quedaros ya que la evidencia empirica desta-ca la existencia de uctuaciones a corto plazo, además surge la necesidad de explicar las causas de diferentes uctuaciones las cuales tenian una naturaleza aleatória.El Ciclos Económico Real, por su parte explica sus uctuaciones a corto plazo en su mayoría por shocks tecnólogicos , es decir perturbaciones en la produc-ción. Por otra parte la teoría Keynesiana y Neokeynesiana en su mayoría sigue supuestos de rigideces que provocan las uctuaciones antes mencionadas. Una de las primeras explicaciones de las uctuaciones de la producción fue propues-ta por R. Solow en 19572, Solow armaba que las expansiones y contracciones
del producto estaba altamente ligado a la productividad de la mano de obra, para analizarlo éste propuso la siguiente descomposición: bajo los supuestos de retornos constantes a escala y mercados competitivos la tasa del crecimiento del producto puede ser expresada como:
Y(t) =AKαL1−α
logY(t) =αlogK(t) + (1−α) logL+ logA ∂logY(t)
∂t =α
∂logK(t)
∂t + (1−α)
∂logL(t)
∂t +
∂logA(t)
∂t gy =αgn+ (1−α)gk+q
Donde gy, gn ygk son las tasas de crecimiento de la producción, mano de
obra y capital respectivamente, α es la participación de la mano de obra y q reeja aquellos factores que no están explicados por el modelo, a este termino se le ha llamado multifactor de productividad del crecimiento o más comúnmente, el el residuo de Solow La ecuación anterior puede ser reescrita como:
(gy−gn) =
1−α α
(gk−gy) +
1
α
q
El residuo de Solow, tambien denominado Total-Factor Productivity (TFP) ha recibido duras críticas ya que no es claro que dicho factor siempre sea de tipo aditivo en el sentido que puede que las fuentes del crecimiento esten implicitas
2Solow, Robert (1957)Technical Change and the Aggregate Production Function Review
en variables como el trabajo (subutilizacion) o cuestiones relacionadas con la calidad.
2.1. Concepto básicos de series temporales
Al analizar una serie temporal con el n de lograr su modelación, es decir, descubrir la forma en la cual esta evoluciona en el tiempo es necesario que ésta esté dotada de Estacionareidad en Covarianza la cual implica que la serie tiene una cierta regularidad en su comportamiento.LlamemosYta una variable
aleatoria o a un vector de variables aleatorias, después Yt es estacionaria en
covarianza si:
EYt=µ ∀t
E(Yt−µ)(Yt−k−µ) =gk ∀k
Luego entonces es posible observar el proceso estocástico y analizar los momen-tos entre otras cosas. Podemos cuestionarnos sobre la veracidad de de dicho argumento, por una parte se ha observado situaciones sui generis con hiper-inaciones o de amplios periodos de desempleo, en otras ocasiones se ha ob-servado casos donde disminuye la varianza de las series, periodos de estabilidad.
Si la Serie de tiempo es estacionaria en covarianza esta puede representarse mediante una descomposición de Wold o MA innitos.
Yt=
X
j
ψjξt−j+k(t)
Donde ξ ∼IID(0, σ2), donde a pesar de no ser éste el verdadero proceso que causa movimientos en Yt, esto es medianamente aceptable. Si es verdad que
los procesos MA innitos es compleja su estimación, pueden ser aproximados por modelos ARMA o modelos AR(n). En la actualidad los Ciclos Económicos cuentan con una grán cantidad de herramientas para su análisis, entre ellas se encuentran los modelos VAR y SVAR por sus interesantes post-estimaciones como son las funciones impulso respuesta y la descomposición de varianza. Dentro de la metodología más recurrente se encuentra la desarrollada por Robert J. Hodrick y Edward C. Prescott3 el cual es un método que permite
extraer el componente secular o tendencia de una serie temporal aislando el componente cíclico mediante el siguiente ejercicio.
m´ın
t1
X
10
((Yt−Tt)2+λ[Tt−Tt−1)−(Tt1−Tt−2)]2)
3Hodrick, Robert J. and E.C. Prescott (1980) Postwar U.S. Business Cycles: an
En donde el residual (Yt−Tt) es conocido como el componente cíclico de la
serie, por otra parte el parámetro λ penaliza el aceleramiento tendencial con respecto al componente cíclico. Es muy común dar un valor a λ= 1600 para
datos trimestrales tomando como base la duración de los componentes del ciclo económico , los movimientos de los datos son considerados de naturaleza cíclica si el ltro puede atribuírselos al componente (Yt−Tt) más el componente de
largo plazo Tt. Dicha metodología realiza una comparación de la correlación
cruzada del componente cíclico de ferentes series con el sin de analizar su ciclicidad, es decir encontrar los comovimientos. el coeciente de correlación es calculado de la sihuiente manera.
ρ(Xct, Yct+k) = Cov
(Xct, Yct+k)
[(VarXct)(VarYct+k)]
1 2
Al respecto Cuadra (2008)4encuentra evidencia empirica con dicha metodología
para México tomando diferentes componentes de la demanda, a saber el con-sumo privado, concon-sumo público, y las importaciones son proclíticas, mientras que las exportaciones son suavemente anticíclicas. En lo referente a factores productivos encuentra que el stock de capital es procíclico y sigue al produc-to. de lo anterior Mejia (2003)5 respalda parte de la evidencia encontrada por
cuadra, es decir encuentra que la formación de capital es procíclica y va acorde con el ciclo, con una correlación de 0.849, por otra parte la tasa general de desempleo abierto es anticíclica y sigue al ciclo con una correlación de 0.655.
4Gabriel Cuadra (2008) Hechos Estilizados del Ciclo Económico en México Documentos
de investigación, Banco de México
5Mejia R. Pablo (2003) Regularidades empíricas en los ciclos económicos de México:
3. Espectativas Racionales
En el estudio de la teoría económica en muchas ocasiones damos por sentada la racionalidad de los agentes económicos las cuales cumplen con los supuestos básicos de un juego de la forma estratégica en un contexto de información per-fecta y completa, sin embargo es necesario establecer en todo modelo un marco de análisis que te permita modelar las expectativas de los agentes económicos. R. Lucas (1972)6 fue el primero en poner las espectativas racionales como una
necesidad fundamental para entender la teoria Macroeconomia. La teoría de las expectativas racionales establece que las variables aleatorias no son pura-mente aleatorias sino que siguen un cierto patrón y es gracias a esto que es posible su predicción, o al menos tener una expectativa de un futuro probable. Para que su predicción de acerque a la probabilidad promedio de ocurrencia del evento (esperanza matemática) asumimos que que los agentes económicos utilizan toda la información disponible de manera eciente. Aprovechar toda la información disponible signica que los agentes económicos no cometen errores sistemáticos, es decir, no cometen un mismo error de manera subsecuente en el tiempo. A continuación desarrollaremos la teoría utilizada para el análisis de las espectivas racionales para esto tomaremos en esta sección algunos elementos de ecuaciones en diferencias estocásticas así como elementos de programación estocástica.
3.1. Iteración hacia adelante
Sea {xt} una sucesión de variables de la siguiente ecuación: xt=αxt+1+β
La ecuación anterior implica que en muchas ocasiones las variables económicas pueden estar explicadas por por las mismas variables pero en una temporalidad futura como puede ser el precio o la tasa de un bono. La solución se puede obtener iterando hacia el futuro, a sabiendas que xt+1=αxt+2+β tenemos:
xt=α(αxt+2+β) +β
=α(α(αxt+3+β) +β) +β ...
=αnxt+n+β n−1
X
k=0 αk
En el límite cuando n→ ∞ tenemos que:
xt= l´ım n→∞α
nx t+n+
β
1−α
6Lucas R. Jr.(1972)Espectations and the Neutrality of MoneyJournal of Economic Theory,
Donde el termino
β
k=0
X
∞
αk = β 1−α
se le conoce como parte fundamental de la solución y el termino
l´ım
n→∞α nx
t+n
Se le conoce como la parte burbuja, cuando este termino 6= 0 decimos que
existen burbujas especulativas.
Pensar que los agentes económicos tienen información perfecta sobre el fu-turo resulta irreal, es por eso que podemos decir que la secuencia {xt}es una variable aleatoria, en este sentido los agentes económicos toman toda la infor-mación hasta el periodo t denotada comoΩtpara realizar expectativas acerca
de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria xt, la espectativa se
dice que es racional cuando el valor seleccionado es la media de la distribu-ción, es decir el agente toma el valor esperado (media condicional) dada la información, denotada como E(· |Ωt)
3.2. Ley de Esperanzas Iteradas
Sean Ψ yΩdos conjuntos de información tales que Ψ⊂Ω, entonces dada
una variable aleatoria xse cumple
E(E(x|Ψ)|Ω) =E(x|Ω)
E(E(x|Ω)|Ψ) =E(x|Ω)
La proposición anterior implica que si Ωt denota la información disponible en
el periodotyk≥0 entonces se cumple:
Et(Et+k(·)) =Et(·)
Et+k(Et(·)) =Et(·)
Es de utilidad suponer el caso de una relación lineal entre variables aleatorias, seanx yy dos variables aleatorias cualquiera, entonces se cumple que:
E(ax+by |Ω) =aE(x|Ω) +bE(y |Ω)
re ordenando variables es fácil demostrar que la varianza y covarianza están dados por:
Cov(x, y) =E[(x−E(x))(y−E(y))]
Var(x) =Cov(x, x) =E[(x−E(x))2]
Decimos que x y y no están correlacionadas si Cov(x, y) = 0; en particular si
distribuciones)puede verse que Cov(x, y) = 0. A continuación nos dedicaremos
a resolver la siguiente ecuación en deferencias estocásticas.Sea una ecuación del tipo:
xt=αEt(xt+1) +βy
Ahora realizamos una iteración hacia el futuro,posteriormente tomemos las esperanzas condicionadas hasta el momento t, obtenemos:
Et(xt+1) =αEt(Et+1(xt+2)) +βEt(yt+1)
aplicando la ley de esperanzas iteradas tenemos que:
Et(xt+1) =αEt(xt+2) +βEt(yt+1)
Sustituyendo en la primera ecuación tenemos
xt=α[αEt(xt+2) +βEt(yt+1)] +βy
xt=α[αEt(xt+2) +βEt(yt+1)] +βy
xt=α2Et(xt+2) +αβEt(yt+1)] +βy Después deniteraciones obtenemos
xt=αnEt(xt+n) +β n−1
X
k=0
αkEt(yt+k)
3.3. Programación Estocástica
El Principio de Optimalidad de Bellman dice Dada una secuencia óptima de decisiones, toda subsecuencia de ella es, a su vez óptima . Es decir el prob-lema se basa en un particionamiento del probprob-lema enfocándoce en encontrar la secuencia óptima. El problema a considerar es el siguiente:
m´axE
" ∞ X
t=0
βtf(xt, ut)|Ωt
#
Sujeto a una ecuación xt+1 = g(xt, ut, t), con x0 dado y {t} dado, el cual
es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente dis-tribuidas (IID). La versión estocástica de la ecuación de Bellman es la sigu-iente:
V(xt) = m´ax[f(xt, ut) +βEt(V(xt+1))] Las condiciones de primer orden están dadas por:
∂f ∂ut
+βEt
V0(xt+1) ∂g ∂ut
V0(xt) =
∂f ∂xt
+βEt
V0(xt+1) ∂g ∂xt
,
xt+1=g(xt, ut, t)
La solución del sistema de ecuaciones conlleva a maximizar la función de valor7.
7Un tratamiento adecuado de la programación estocástica puede encontrarse en Stokey,
4. El Modelo de Crecimiento Estocástico
A partir de la década de los 80's el modelo de crecimiento estocástico se ha convertido en la principal herramienta en el análisis macroeconómico, Prescott(1986)8 lo describe como un paradigma del análisis macroeconómico
similar a la oferta y demanda en la construcción de la teoría del precio y se reere incluso a las predicciones del modelo como teoría económica estándar. Al igual que Prescott podemos partir que son shock's tecnológicos la princi-pal causa que origina ciclos económicos el cual puede ser modelado como una perturbación aleatoria en la producción, entre otras causas resientes que se le han atribuido a los ciclos económicos son shock's en el consumo, gasto guber-namental, distorsión impositiva, y variaciones en los precios y en salarios. Las primeras ideas de Ciclos surgen con Hicks(1939)9el cual se encargo de
desar-rollar un marco conceptual para analizar los desequilibrios producidos en una cierta economía. Dentro de este contexto Hicks ve a los desequilibrios como perturbaciones inherentes al sistema económico competitivo el cual se basa en un conjunto de decisiones intertemporales en un contexto de información im-perfecta. A continuación desarrollaremos la estructura general de análisis del modelo estocástico de crecimiento optimo y como a partir de este es posible analizar las uctuaciones a corto plazo.
4.1. El modelo básico
Al igual que el modelo básico de Ramsey asumimos una economía compet-itiva en un horizonte innito, el problema de maximización es el siguiente:
m´axE
"∞ X
i=1
βtU(Ct)|Ωt
#
Sujeto a:
Ct+St=ZtF(Kt)
Kt+1= (1−δ)Kt+St
Donde U(Ct) es la función de utilidad la cual depende del consumo, βt es el
factor de descuento,Ztes un factor que causa incrementos en la producciónSt
es el monto ahorrado,δes la depreciación del capital,E es el operador de valor esperado y Ωt es la información disponible en el periodot.
8Prescott, E. C. Theory Ahead of Business Cycle Measurement, Federal Reserve Bank of
Minneapolis Quarterly Review 10, no. 4: 9-22.
9Hicks J. R. (1939)Value and Capital, an inquiry into some fundamental principle of
El problema puede resolverse utilizando programación estocástica utilizan-do el Principio de Optimalidad de Bellman (POB). El problema puede desar-rollarse optimizando la función de valor V(Kt), es decir:
V(Kt) = m´ax{U(Ct) +βEt[Vt+1(Kt+1)]} (1) Sujeto a:
Kt+1 = (1−δ)Kt+ZtF(Kt)−Ct, {Zt} dado. (2)
Según el POB las condiciones de primer orden están dadas por:
U0(Ct)−βEt[V0(Kt+1)] = 0 (3) V0(Kt) = [(1−δ) +ZtF
0
K(Kt)]βEt[V0(Kt+1)] (4) despejandoβEt[V0(Kt+1)]de las condiciones de primer orden obtenemos:
RtU0(Ct) =V0(Kt) (5)
Rt+1U0(Ct+1) =V0(Kt+1) (6) Donde Rt = [1−δ +ZtF
0
K(Kt)] es la tasa de rendimiento del capital. La
ecuación (6) no es más que una iteración de la ecuación (5), sustituyendo la ecuación (6) en (3) obtenemos:
U0(Ct) =βEt[Rt+1U0(Ct+1)|Ωt] (7)
La condición de Keynes-Ramsey, ecuación (7) establece que a lo largo de la senda de crecimiento óptimo las variaciones en el consumo presente son expli-cadas por las expectativas en valor presente de las variaciones en el consumo futuro. La ecuación también implica que las variaciones en el consumo presente términos de ahorro deberían explicar incrementos en la inversión futura dada cierto nivel de rentabilidad del capital.
4.2. Casos especiales
Función CES Sea Ct una función de tipo CES tenemos lo siguiente:
U(Ct) =
σ σ−1C
σ−1
σ
la ecuación de Euler queda expresada como:
C−
1
σ
t =E
βRt+1C−
1
σ
t+1 |Ωt
1 =E
(
Ct+1 Ct
−1
σ
βRt+1|Ωt
La ecuación anterior nos da un gran arma para conocer el funcionamiento de la economía, ademas de tener fuertes implicaciones dentro del análisis de val-uación de activos, nos brinda una herramienta para el análisis del crecimiento del consumo en el tiempo (cuando R es no estocástica),etc.Si ignoramos la incertidumbre tenemos lo siguiente:
Ct+1 Ct
= (βR)σ
En el límite cuando sigma tiende a 0, el ratio Ct+1/Ct tiende a 1, de forma
análoga cuandoσ tiende a ∞, el ratio Ct+1/Ct tiende a +∞. A continuación
analizaremos los los shock's utilizando la condiciones de primer orden, en el estado estacionario tenemos que:
Ct=Ct+1 ⇒R= 1−δ+ZFK( ˆK) =
1
β ⇒
ˆ
K
Esta es la regla de oro modicada, se puede apreciar más claramente asumiendo queβ = 1/(1−θ), después la formula se convierte en:
ZFK( ˆK)−δ=θ
Por otra parte también implica que:
ZFK( ˆK)−δKˆ =Ct
Consideremos un shock aditivo en la función F(·)algo que no es realista pero
es útil, observamos que no hay cambio en el estado estacionario y que el con-sumo incrementa de a par con el shock de forma proporcional. Por otra parte consideremos un shock multiplicativo causado por Z, después hay nuevo es-tado estacionario ya que K es mayor, la inversión es positiva, C incrementa pero menos que ZF(K), C podría bajar syss σ es lo sucientemente alta. Si el shock de Z es transitorio la inversión aumenta pero por poco tiempo al igual que el consumo, en resumen un shock tecnológico incrementa la inversión, probablemente el consumo pero no es una condición suciente.
Función Logarítmica Como un segundo caso especial supondremos que la función de utilidad es logarítmicaU(Ct) = logCt, después la ecuación de euler
es del tipo:
1
Ct
=βEt
Rt+1·
1
Ct+1 |
Ωt
(8) Lo anterior implica que la relación de intercambio entre consumo presente y futuro depende no solamente de las expectativas entre la utilidad marginal futura y de la tasa de retorno del capital sino también de la interacción en-tre ambos, en otras palabras El valor esperado de dos variables es igual a su producto más su covarianza.
1 Ct =β Et 1
Ct+1
Et[Rt+1] +Cov
1
Ct+1 , Rt+1
Supongamos queRt+1aumenta cuandoCt+1 también lo hace, entonces el valor de la covarianza es negativo, es decir, el valor de la rentabilidad es elevada cuando la utilidad marginal del consumo es alta, en esta situación, ahorrar es menos atractivo qye si no existiera correlación entre 1/Ct+1 yRt+1, por lo
tanto el consumo actual tiende a elevarse.
4.3. Shocks Tecnológicos Aditivos
El problema formal para este caso esta determinado por:
m´axE
"∞ X
i=1
βtU(Ct)|Ωt
#
DondeU(Ct) =Ct−θCt2, paraθ >0
Sujeto a:
Yt=AKt+t
Kt+1=Kt+Yt−Ct
AR(1):t=ρt−1+ξt|ξt∼IID(0, σ2)
Dotemos que la función de utilidad para este caso será de tipo cuadrática, en este caso la variación aleatoria es aditiva en la producción, dicha variable aleatoria sigue un proceso autorregresivo de primer orden, además esta IID con media cero. La ecuación de Bellman para este caso esta dada por:
Vt= m´ax
Ct−θCt2+βEt[Vt+1(Kt+1)]
Sujeto a:
Kt+1 = (1−A)Kt++Ct (10)
Las condiciones de primer orden están dadas por:
1−θ2Ct+βEt
V0(Kt+1)
= 0
V0(Kt) =βEt
V0(Kt+1)
(1−A)
Despejando βEt[V0(Kt+1)] igualando ambas condiciones he iterando un peri-odo tenemos:
V0(Kt) = 1−θ2Ct(1−A)
V0(Kt+1) = 1−θ2Ct+1(1−A)
Insertando esta ecuación en la primera condición encontramos la Ecuación de Euler:
Sabemos queβ = (1−A)−1, si se extraen los términos repetidos de la esperanza
obtenemos que:
Ct=E(Ct+1) (11) Lo cual es una Martingala, podemos decir que el consumo sigue un Randon Walk. El primero en desarrollar esta hipótesis fue Robert Hall (1978) el cual modico la teoría del ingreso permanente al modicar el supuesto de expec-tativas adapexpec-tativas por racionales. La interpretación de (20) es sencilla: Si un individuo prevé cambios en su nivel de consumo intentara mitigar sus uctua-ciones. Supongamos un aumento en el consumo, esto implicaría que la utilidad marginal del consumo presente es superior a lo que se espera que tenga en el futuro, de modo que el individuo puede elevar su bienestar incrementando su consumo actual. En otras palabras, el individuo ajustará su consumo actual hasta que desaparezca toda expectativa de cambio futuro en el nivel de con-sumo.
Para encontrar el valor de Kt+1 en función de Kt y de t utilizaremos
coecientes indeterminados, sea el guess Ct =α+βKt+γt sustituyendo en
(10) tenemos:
Kt+1 = (1 +A)Kt+t−(α+βKt+γt)
= (1 +A−β)Kt+ (1−γ)t−α
Ahora bien, sabiendo que Ct = Et(Ct) sustituyendo el guess de consumo
en-contramos los valores tanto de Kt como de t que se deben cumplir en todo
momento en la ecuación de Euler.
α+βKt+γt=α+βKt+γt=Et(α+βKt+1+γt+1)
=α+βEt(Kt+1) +γEt(t+1)
=α+β[(1 +A−β)Kt+ (1−γ)t−α] +γρt
=α(1−β) +β(1 +a−β)Kt+ [β(1−γ) +γρ]t
de esta manera tenemos el siguiente sistema:
α=α(1−β) (12)
β=β(1 +a−β) (13)
γ =β(1−γ) +γρ (14)
La solución del sistema implica que α= 0 yβ=Ay por ende
γ = A 1 +A−ρ
ξ > 0 parat = 1 yξ = 0 para t >0. Sustituyendo los valores de α, β yγ en Ct yKt+1 tenemos.
Ct=AKt+
A
1 +A−ρ
t (15)
Kt+1=Kt+
1−ρ
1 +A−ρ
t (16)
Para simplicar nuestro análisis supondremos que en el periodothay un shock positivoξ= 1−ρ+A10; a partir det+ 1,ξ = 0. A partir de ahora usaremos
∆Xt para denotar a la diferencia entre la variable en su estado estacionario y
su estado posterior al shock.
Sabemos que en el momento t,Ktesta dado y no es afectada por el Shock,
es decir∆Kt= 0. Dado que la función de producción es igual aYt=AKt+t
tenemos
∆Yt=A∆Kt+ ∆t= 1−ρ+A
Donde∆t= ∆ξt. Ahora de la ecuación (15) tenemos
∆Ct=A∆Kt+
A
1−ρ+A
∆t
Lo anterior implica que el consumo incrementa en una proporción igual a A. Sabemos que en el periodot+1aun cuandoξt+1 = 0,t+1es diferente al estado estacionario del cual parte debido a la forma autoregresiva de los Shocks .
∆t+1=ρ∆t=ρ(1−ρ+A)
De la ecuación (16) el cambio en el stock de capital esta dado por
∆Kt+1= ∆Kt+
1−ρ
1 +A−ρ
∆t= 1−ρ
La función de producción en el siguiente periodo Yt+1 = AKt+1+t+1 esta dada por
∆Yt+1=A∆Kt+1+ ∆t+1=A(1−ρ) +ρ(1−ρ+A) =A+ρ(1−ρ)
De la ecuación (15) iterando un periodo tenemos que
∆Ct+1 =A∆Kt+1+ A
1−ρ+A
∆t+1
=A(1−ρ) +
A
1−ρ+A
ρ(1−ρ+A)
=A(1−ρ) +Aρ =A
10que el schock sea igual al denominador es para simplicar la ecuación, bastaría con que
Lo anterior demuestra que el Shock en el consumo es permanente igual a una proporciónA. Podemos concluir al iterarnveces cada ecuación, las trayectorias después de un shock aditivo del tipoξ = 1−ρ+Ason las siguientes:
∆Ct+n=A
∆Yt+n=A+ρn(1−ρ)
∆Kt+n= 1−ρn
Notemos que es el parámetro ρ el que determina la dinámica deY y de K,
cuando ρ = 0 no existe dinámica después de t+ 1, cuando 0 < ρ < 1 las
variables convergen monótonamente a un nivel superior del estado estacionario. Si−1< ρ<0entonces las variables oscilan de arriba hacia abajo ( alrededor
del estado estacionario) hasta llegar a sus nuevos niveles.
4.4. Elección Óptima de consumo y ocio
En los modelos desarrollados anteriormente estibulamos que el factor tra-bajo era constante y fue normalizado a 1. En esta subsection desarrollaremos el modelo introduciendo la oferta de trabajo en el modelo. Segun la teoria de RBC los tanto el consumo como el empleo y la inversión son procíclicos y los salarios suelen ser anticíclicos pero como veremos posteriormente esto no siem-pre se cumple, a continuación desarrollaremos la versión general del modelo para posteriormente desarrollar su solución bajo los supuestos establecidos por Campbell(1994)11 mediante metodos numéricos los cuales serán expuestos en
la siguiente sección.
El modelo general a desarrollar puede ser expresado como
m´axE
"∞ X
t=1
βtU(Ct, Ot)|Ωt
#
sujeto a
Ot+Lt= 1
Ct+St=ZtF(Kt, Lt)
Kt+1= (1−δ)Kt+St
DondeOtyLt es el ocio y el trabajo respectivamente. Por ahora ignoraremos
el progreso tecnico aumentador en el sentido de Harrod es decirZrF(Kt, AtLt)
conAt=Ates la tasa de crecimiento del porgreso técnico el cual en el periodo
inicial con t = 0 implica que At = 1. Dada su mejor ilustración aremos uso
11Campbell, J.(1994) Inspecting the Mechanism: An Analytical Approach to the Stochastic
del lagrangeano estocástico en este ejemplo, dada la restricción Kt+1 = (1− δ)Kt+ZtF(Kt, Lt)−Ct el lagrangeano estócastico esta dado por:
£=E[U(Ct, Ot) +βU(Ct+1, Ot+1)−λt(Kt+1−(1−δ)Kt−
ZtF(Kt,1−Ot) +Ct)−βλt+1((Kt+2−(1−δ)Kt+1−Zt+1F(Kt+1,1−Ot+1)+ Ct+1) +...|Ωt]
Las codiciones de primer orden respecto aCt,Lt yKt+1 estan dadas por
UC(Ct, Ot) =λt (17)
UO(Ct, Ot) =λtFL(Kt,1−Ot) (18)
λt=E[1−δ−Zt+1FK(Kt+1,1−Ot+1)|Ωt] (19)
Denamos ahora aRt+1= 1−δ−Zt+1FK(Kt+1,1−Ot+1)yWt=FL(Kt,1−
Ot), despues sabemos que la condición intratemporal de equilibrio esta dada
por
UO(Ct, Ot) =WtUC(Ct, Ot) (20)
y la condición de equilibrio intertemporal
UC(Ct, Ot) =E[βRt+1UC(Ct+1, Ot+1)|Ωt]
Sabemos que en estado estacionario tanto el ocio permanece constante, sin embargo el consumo y el salario crecen a una tasa igual al progreso tecnológico A:
UL(CtAt, Ot)
UC(CtAt, Ot)
=W At
Luego utilizando la ecuación (20) tenemos UL(CtAt, Ot)
UC(CtAt, Ot)
=AtUL(Ct, Ot) UC(Ct, Ot)
Es decir, la tasa marginal de sustitución crece a una tasaA. Supongamos que la tasa de crecimiento del progreso técnico At > 0 = 1/C luego podemos espesicar la ecuación anterior como
UL(Ct, Ot)
UC(Ct, Ot)
=C
UL(1, Ot)
UC(1, Ot)
Es decir, a tasa marginal de sustitución aumenta debido a un aumento en C veces el término entre conrchetes que es solo función de L. De lo anterior se deduce que la función de utilidad tiene es de la forma
introduciendo la ecuación anterior en la condición de equilibrio intertemporal e ignorando la incertidumbre tenemos
U0(CtAt˜v(Ot))
U0(CtAt+1v˜(Ot))
=Rt+1β
Ahora, dicha condición se cumple solo si tiene elasticidad de sustitución con-stante
U[Ctv˜(Ot)] =
σ
1−σ[Ct˜v(Ot)] 1−σ/σ
o en el caso de σ= 1
U[Ct˜v(Ot)] = logCt+v(O)
Donde v(O) = log(˜v(O)), ademas asumimos que v esdo veces diferenciable y concava. Luego la condición de equilibrio intratemporal puede expresarce como
v0(Ot) =WtCt−1
y la condición intertemporal
1 =E
βRt+1 Ct
Ct+1 |
Ωt
Las condiciones anteriores nos muestran que ante un shock tanto enW yR el consumo tiene un aumento en el consumo del primer periodo dado el incremen-to en los salarios , sin embargo el incremenincremen-to en Rt fomenta que el consumo
en el primer periodo decresca para incrementar el consumo futuro devido a las espectativas positivas de aumento en los tipos de interes E[Rt] > 0, sin
embargo en terminos netos el saldo puede ser positivo. Algo similar sucede con la oferta de trabajo a medida que incrementa el salario existen incentivos para incrementar la oferta laboral (efecto sustitución), sin embargo a medida que incrementa el salario tambien lo hace el consumo y por ende el ocio (para disfrutar de dicho salario) el cual es un efecto inverso (efecto riqueza) esto dependera de la elasticidad de sustitución. Si el shock es permanente el efecto riqueza aumentara a una mayor proporción que el efecto sustitución lo cual deriva e desempleo.
Este resultado fue apreciado por Lucas y Rapping (1983)12para encontrarlo
supongamos quev(O) =φlogOt, dado quev0(Ot) =φ/Ot tenemos que
φCt=WtOt
Remplazando el la ecuación intertemporal tenemos lo siguiente
1 =E
β
Rt+1 Wt
Wt+1
Ot
Ot+1 |
Ωt
(21)
12Lucas, Robert J. y Rapping, Leonard (1983)Real Wages, Employment and Ination
Supongamos un shock trancitorio en Wt el cual no afecta Wt+1, esto implica
5. Solución de un Modelo General
El problema formal es el siguiente:m´axEt
( ∞
X
t=1
U[logCt+A(1−L)|Ωt]
)
sujeto a:
Ct+St=ZtKαL1−α
Kt+1= (1−δ)Kt+St
logZt+1=ρlogZt+ξt+1|ξt+1 ∼IID(0, σ2) La ecuación de Bellman asociada a este problema esta dada por:
V(Kt) = m´ax{U[logCt+A(1−L)] +βEt[Vt+1(Kt+1)]}
sujeto a:
Kt+1 = (1−δ)Kt+ZtKtαL1t−α−Ct
Las condiciones de primer orden (con dos variables de control) estan dadas por:
1
Ct −
βE[V0(Kt+1)] = 0 (22)
−A+βE[V0(Kt+1)]·[(1−α)ZtKtαL−tα] = 0 (23)
V0(Kt) =βE[V0(Kt+1)]·[(1−δ) + (αZtKtα−1L1t−α)] (24)
Kt+1 = (1−δ)Kt+ZtKtαL1t−α−Ct (25)
De la ecuación (17) y (19) mediante el procedimiento usual obtenemos la ecuación de Euler
1
Ct
=βE
1
Ct+1
(1−δ) +αZt+1Ktα+1−1L 1−α t+1
(26)
De la ecuación (17) y (18) tenemos
Ct= (1−α)ZtKtαL−tαA−1 (27)
lo anterior implica que la solución del problema implica resolver el siguiente sistema de ecuaciones (condiciones de equilibrio)
Ct= (1−α)ZtKtαL−tαA−1
Ct−1=βECt−1+1(1−δ) +αZt+1Ktα+1−1L1−t+1α Kt+1= (1−δ)Kt+ZtKtαL1t−α−Ct
del consumo, capital y trabajo son constantes, es decirC = ¯C,K= ¯C yL= ¯L para toda t. Aplicando lo anterior al estado estacionario nuestro sistema de equilibrio puede ser expresado como sigue:
¯
C= [(1−α)A−1] ¯KαL¯−α
β−1−1 +δ =αK¯α−1L¯1−α =α
¯
Y
¯
K
δK¯ = ¯KαL¯1−α−C¯= ¯Y −C¯ DondeY¯ denota la producción de estado estacionario.
5.1. Linealización del Sistema
La solución del sistema del planicador es característica de la Policy Func-tion para el capital, consumo y trabajo, más aun la solución existe y es única Prescott(1986)13. Tomemos una aproximación mediante una serie de Taylor de
primer orden. Sabemos que la elección óptima entre trabajo y ocio satisface la siguiente condición intertemporal
Ct= (1−α)ZtKtαL−tαA−1
Expresaremos ahora la ecuación anterior como una aproximación lineal alrede-dor del estado estacionario
(Ct−C¯) =α[(1−α)A−1] ¯Kα−1L¯−α(Kt−K¯)−α[(1−α)A−1] ¯KαL¯−α−1 ·(Lt−L¯) + [(1−α)A−1] ¯KαL¯−α(Zt−Z¯)
=α[(1−α)A−1] ¯KαL¯−α
Kt−K¯
¯
K
−α[(1−α)A−1] ¯KαL¯−α
Lt−L¯
¯
L
+α[(1−α)A−1] ¯KαL¯−α
Zt−Z¯
¯
Z
donde las variables son expresadas como variaciones porcentuales alrededor del estado estacionario. Sabemos que en el estado estacionarioZ¯ = 1. si
expre-samos el consumo de estado estacionario comoC¯=α[(1−α)A−1] ¯Kα−1L¯−α y
dividimos la ecuación anterior por ambos lados tenemos:
Ct−C¯
¯
C
=α
Kt−K¯
¯
K
−α
Lt−L¯
¯
L
+
Zt−Z¯
¯
Z
˜
ct=α˜kt−α˜lt+ ˜zt (28)
donde x˜ denota la variación porcentual de la variable respecto al estado
esta-cionario, recordaremos que la eciación de Euler esta dada porcentual Ct−1=βECt−+11 (1−δ) +αZt+1Ktα+1−1L1t+1−α
Realizando el mismo procedimiento y aplicando el valor esperado tenemos
−C¯−1˜c
t=−βC¯−1
αK¯α−1L¯1−α+ 1−δEt(˜ct+1) +βC¯−1·
α(α−1) ¯Kα−1L¯1−αEt(˜kt+1) +βC¯−1α(1−α) ¯Kα−1L¯1−α· Et(˜lt+1) +βC¯−1αK¯α−1L¯1−αEt(˜zt+1)
ahora multiplicando ambos lados de la ecuación porC¯ y aplicando la condición
de etado estacionario β−1−1 +δ=αK¯α−1H¯1−α tenemos
−c˜t=−Et(˜ct+1) +β(1−α)αK¯α−1L¯1−αEt(˜kt+1) β(1−α)αK¯α−1L¯1−αEt(˜lt+1)
βαK¯α−1L¯1−αEt(˜zt+1)
aplicando el prodedimiento usual a la restricción de recursos obtenemos
˜
kt+1 =[αK¯α−1L¯1−α+ 1−δ]˜kt+ (1−α) ¯Kα−1L¯1−α˜lt+
¯
Kα−1L¯1−αz˜t−C¯K¯−1˜ct
en el caso del shock tecnológico su linealización esta dada por
˜
zt+1 =ρz˜t+ ˜t+1 ˜t+1 ∼IID(0, σ2) aplicando el valor esperado tenemos que
Et(˜zt+1) =ρz˜t
5.2. Solución matricial
El modelo anterior será solucionado de manera matricial debido a que puede ser expresado como:
˜
xtA=BEt(˜xt+1) (29)
tal que
˜ xt=
˜
ct
˜
kt
˜
lt
˜
zt
Las matricesA,B estan dadas por
A=
1 −α α −1
−1 0 0 0
−C/¯ K¯ αK¯α−1L¯1−α+ 1−δ (1−α) ¯Kα−1L¯1−α K¯α−1L¯1−α
0 0 0 ρ
B=
0 0 0 0
−1 β(α−1)αK¯α−1L¯1−α β(1−α)αK¯α−1L¯1−α βαK¯α−1L¯1−α
0 1 0 0
0 0 0 1
La solución de (24) puede ser expresada como
˜
xt=A−1BEt(˜xt+1) (30)
La matriz A−1B puede ser expresada por descomposición espectral como
CΛC−1, la ecuación (25) puede se expresada como
C−1˜xt=C−1ΛEtx˜t+1 (31)
la matriz C−1 contiene un conjunto de eigenvectores asociados a la matriz A−1B la cual da la solución de del sistema de ecuaciones en diferencias
es-tacásticas, por otra parte la matriz Λ es una matriz diagonal formada por
los eigenvalores de la matriz A−1B los cuales nos brindan las condiciones de
6. Concluciones del Modelo RBC
Comparando las predicciones del modelo con la evidencia empírica nos muestran que realmente variables como el consumo, la inversión, las horas de trabajo son altamente procíclicas por otra parte la productividad del trabajo tiene en su mayoria una correlación positiva con el output pero no tan marcada, se ha observado que la volatilidad de la inversión es muy similar con la de los datos14.En un sentido amplio, los resultados del modelo sugieren ciertamente
que las uctuaciones pueden explicarse a través de shocks a la productividad. sin embargo existen ciertos margenes que se le escapan al modelo por ejemplo la extrema simplicación del mercado de trabajo. Por otra parte el modelo re-quiere de una alta elaticidad de la oferta de trabajo donde se ha estimado que en su mayoría oscila entre 0.1 y 3. Summers15 critica fuertemente la falta de
evidencia microeconómica que justique una elasticidad intertemporal unitaria en el consumo de ocio. Al respecto de los factores de sustitución intertemporal Mankiw16 penaliza fuertemente estos suuestos, mientras la economia
tradi-cional17un ncremento en el gasto gubernamental se traduce en un incremento
tanto en el nivel de empleo como de output para los modelos de RBC ésto no es tan claro ademas de materializarse en incrementos en el tipo de interes y caidas en el consumo de ocio, para Mankiw18
While economists can easily convince laymen and students that the quantity of apples demanded depends on the price of apples, it is much harder to convince them that labor supply depends on the real interest rate.
Con esta conjetura Mankiw establece que una elasticidad intertemporal del consumo de ocio tan baja anula la teoría del RBC. Falta por mencionar si estos supuestos shocks de productividad son realmente eso o solo reconversiones de productividad, es decir que el aparente shock no sea solo un cambio en la subutilización de recursos. En la actualidad el modelo de RBC introduce supuestos no walrasianos dentro del modelo ademas de rigideses nominales en precios y salario o externalidades, podriamos decir que el principal retos de la teoría del ciclo económico real versa más en su modelación que el causante de las uctuaciones a corto plazo.
♣
14Datos obtenidos para EEUU de 1980 al 2007
15Summers L. (1986)Some Skeptical Observation On Real Business Cycle Theory Federal
Reserve Bank of Monneapolis . Quarterly Review pp.23-27
16Mankiw, N. Gregory (1989), Real Business Cycles: a New Keynesian,Perspective
pp.79-90.