GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS Y VARIABLES ALEATORIAS

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GENERACION DE NUMEROS

ALEATORIOS Y VARIABLES

ALEATORIAS

“La simulación de eventos se basa en la

ocurrencia aleatoria de los mismos, por ello los números aleatorios y las variables

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news

VARIABLES

ALEATORIAS

PIDE UN NUMERO ALEATORIO PROCESO

TIEMPO

GENERADOR DE

VARIABLES ALEATORIAS

GENERADOR DE NUMEROS

ALEATORIOS

PIDE TIEMPO

DA DISTRIBUCION Y PARAMETROS ENTREGA

TIEMPO GENERADO

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news

VARIABLES

ALEATORIAS

PROCESO

TIEMPO=?

GENERADOR DE

VARIABLES ALEATORIAS

GENERADOR DE

NUMEROS ALEATORIOS

NORMAL CON MEDIA=4.3 Y TIEMPO=4.324

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GENERADOR DE NUMEROS

ALEATORIOS

 Los números aleatorios son los que dan un comportamiento real al modelo.

 Es un proceso matemático-estadístico  Existen varios algoritmos:

◦ Método del cuadrado medio

◦ Método congruencial lineal

◦ Método congruencial multiplicativo

 Todos los métodos se basan en una semilla

 En la generación se debe poner especial cuidado al período, que es el número de números que se pueden generar hasta que se repita la serie.

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METODO DEL CUADRADO

MEDIO

• Es uno de los primeros métodos. Consiste en: 1. Escoger una semilla arbitraria

2. Elevar la semilla al cuadrado

3. Escoger los dígitos medios del cuadrado como número aleatorio

4. Elevar esos dígitos al cuadrado

5. Repetir 3 y 4 hasta generar los números

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METODO DEL CUADRADO

MEDIO

 EJEMPLO: Generar 4 números aleatorios con la semilla 5497. Ri : número aleatorio generado

1. Semilla= X0= 5497

2. X02 = 54972 = 30217009

3. X1 = 2170 R1 = 0.217

4. X12 = 21702 = 04708900

3. X2 = 7089 R2 = 0.7089

4. X22 = 70892 = 50253921

3. X3 = 2539 R3 = 0.2539

4. X32 = 25392 = 06446521

3. X4 = 4465 R4 = 0.4465

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• En Simulación se debe siempre muestrear de una distribución de probabilidad que representa la

ocurrencia de los eventos.

• Estas distribuciones pueden ser teóricas o empíricas y ambas pueden ser continuas o discretas.

• Las distribuciones empíricas están representadas por distribuciones de frecuencias.

• En el caso de distribuciones teóricas existen varios métodos para generar las variables.

GENERACION DE

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 Técnicas para generar variables aleatorias provenientes de una distribución teórica:

◦ Transformada inversa (usada para generar variables aleatorias distribuidas según Exponencial, Weibull y Triangular)

◦ Función acumulada (usada para generar variables aleatorias de distribuciones empíricas)

◦ Transformación directa (usada para generar variables normalmente distribuidas)

◦ Método de convolución (usado para generar variables aleatorias distribuidas según ERLANG, POISSON y GAMMA)

GENERACION DE

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PROCEDIMIENTO

1. Encontrar la función acumulada de la distribución respectiva.

2. Igualar esa función a R (número aleatorio uniformemente distribuido) sea F(x)=R

3. Resolver la anterior ecuación para x. 4. Establecer la función generadora

EJEMPLO

Encontrar la función generadora de la exponencial.

1. F(x) = 1 - e - x 2. 1 - e - x = R

3. x = (-1/ ) ln(1-R) 4. xi = (-1/ ) ln(1-Ri)

METODO DE LA

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EJEMPLO DE GENERADOR

DE VARIABLES EXPONENCIALES

PROCESO

TIEMPO=?

xi = (-1/ )* ln(1-Ri)

GENERADOR DE NUMEROS

ALEATORIOS

EXPONENCIAL MEDIA=4.5 MINS

PIDE UN NUMERO ALEATORIO TIEMPO=1.91 MINS

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OTRAS FUNCIONES GENERADORAS

 Distribución uniforme

xi = a +( b - a ) * Ri  Distribución Weibull

xi = * [ -ln (1 - Ri )] 1/

 Distribución triangular

R1 = ALEATORIO 1 R2 = ALEATORIO 2

SI (R1 < (B - A) / (C - A)) ENTONCES Triangular = A + (B - A) * R2 SINO

Triangular = C - (C - B) * R2

METODO DE LA

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DR. JORGE ACUÑA

DISTRIBUCION NORMAL

PROCEDIMIENTO A.

PROCEDIMIENTO B.

1. Generar R1 y R2

Vi=2Ri-1 para i=1,2 W=V12+V

22

2. Si W>1 volver al Paso 1. Sino: Z1=V1*y Z2=V2*y

X1=Z1* + X2=Z2* +

*

6

12

1

i

i

R

X

w

w

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EJEMPLO DE PROCEDIMIENTO

A.

Generar dos variables aleatorias para un tiempo de

proceso cuya media es 5 y su desviación estándar es 0.3.

X1=S1* + = 0.2*0.3+5= 5.24

X2=S2* + = -0.6*0.3+5= 4.82

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DR. JORGE ACUÑA

EJEMPLO DE

PROCEDIMIENTO B.

Generar dos variables aleatorias para un tiempo de proceso cuya media es 5 y su desviación estándar es 0.3.

1. R1=0.6 y R2 =0.3

V1=2(0.6) -1= 0.2

V2=2(0.3) -1=- 0.4

W=0.22+(-0.4)2=0.2

2. W<1

Z1=V1*y =0.2*4.012=0.8 Z2=V2*y=-0.4*4.012=-1.6

X1=Z1* + = 0.8*0.3+5= 5.24

X2=Z2* + = -1.6*0.3+5= 4.52

012

.

4

2

.

0

)

2

.

0

ln(

2

)

ln(

2

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EJEMPLO 2 DE

PROCEDIMIENTO B.

Generar 30 valores para un tiempo de proceso que se distribuye

normalmente con media es 2.35 minutos y desviación estándar es 0.23 minutos.

# R1 R2 V1 V2 W y Z1 Z2 X1 X2

1 0.760177467 0.04974372 0.52035493 -0.90051257 1.08169214 (No sirve pues W>1)

2 0.50190155 0.54633272 0.0038031 0.09266543 0.00860135 33.2541048 0.12646867 3.08150595 2.38 3.06

3 0.107204119 0.32589551 -0.78559176 -0.34820899 0.73840392 0.9063139 -0.71199273 -0.31558665 2.19 2.28

4 0.744025954 0.20457119 0.48805191 -0.59085763 0.5873074 1.34624008 0.65703504 -0.79543622 2.50 2.17

5 0.888466886 0.30798921 0.77693377 -0.38402158 0.75109866 0.87300188 0.67826464 -0.33525156 2.51 2.27

6 0.600042775 0.51130059 0.20008555 0.02260119 0.04054504 12.5742851 2.51593273 0.28419381 2.93 2.42

7 0.123304795 0.68341085 -0.75339041 0.3668217 0.70215527 1.00358691 -0.75609275 0.36813746 2.18 2.43

8 0.656965005 0.07457283 0.31393001 -0.85085435 0.82250517 0.68930038 0.21639208 -0.58649423 2.40 2.22

9 0.551837621 0.00516526 0.10367524 -0.98966949 0.99019425 0.14107958 0.01462646 -0.13962216 2.35 2.32

10 0.958738503 0.5849138 0.91747701 0.16982761 0.87060547 0.56420017 0.51764068 0.09581677 2.47 2.37

11 0.666282809 0.21796188 0.33256562 -0.56407625 0.4287819 1.98741681 0.6609465 -1.12105462 2.50 2.09

12 0.819078493 0.20853019 0.63815699 -0.58293962 0.74706294 0.88355688 0.563848 -0.51506031 2.48 2.23

13 0.293377603 0.30383294 -0.41324479 -0.39233413 0.32469733 2.63223846 -1.08775884 -1.03271698 2.10 2.11

14 0.088355424 0.32108534 -0.82328915 -0.35782931 0.80584684 0.73194157 -0.60259955 -0.26191015 2.21 2.29

15 0.097035419 0.77361042 -0.80592916 0.54722084 0.94897247 0.33224026 -0.26776211 0.1818088 2.29 2.39

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En este caso se trabaja con la frecuencia relativa acumulada y el punto medio que representa a la variable aleatoria.

EJEMPLO: Para una distribución de probabilidad variable continua

Li Ls Xk nk fk Fk

5.05 14.95 10.0 4 0.1250 0.1250

14.95 24.85 19.9 6 0.1875 0.3125

24.85 34.75 29.8 12 0.3750 0.6875

34.75 44.65 39.7 8 0.2500 0.9375

44.65 54.55 49.6 2 0.0625 1

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Xk Fk R(# aleatorio)

10.0 0.1250 0.0000 0.1250 19.9 0.3125 0.1251 0.3125 29.8 0.6875 0.3126 0.6875 39.7 0.9375 0.6876 0.9375

49.6 1 0.9376 0.9999

Así, si por ejemplo, si se tiene un número aleatorio

generado que da el valor de 0.5078, entonces el valor de la variable aleatoria es el correspondiente a Xk o sea

29.8.

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news

DR. JORGE ACUÑA

EJEMPLO DE GENERACION DE

VARIABLES ALEATORIAS

A: Determine un intervalo de confianza del

95% para el tiempo de proceso de 40

partes cuya función densidad de

probabilidad es:

B. Muestre los efectos en la media, desviación

e intervalo que tiene el incremento en el

tamaño de la muestra.

0 )

4 (

32 )

( 3 para x

x x

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news

DR. JORGE ACUÑA

GENERACION

DE LA

VARIABLE

ALEATORIA x

x2+8x+(16-16/R) # Aleatorio (16-16/R) x1 x2 x

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news

RESPUESTA A LA PARTE

A.

El intervalo de confianza del 95% para el tiempo

de proceso de 40 partes es:

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news

DR. JORGE ACUÑA

RESPUESTA A LA PARTE

B.

n t Z xbarra sigma LIC LSC

10 2,262 1,49 1,41 0,43 2,55

30 2,045 1,79 1,67 1,16 2,43

50 1,96 1,71 1,44 1,31 2,11

100 1,96 1,90 1,89 1,53 2,27

200 1,96 2,01 2,07 1,72 2,30

300 1,96 2,11 2,34 1,84 2,37

400 1,96 2,06 2,29 1,83 2,28

500 1,96 2,09 2,30 1,88 2,29

600 1,96 2,07 2,27 1,89 2,26

700 1,96 2,01 2,19 1,84 2,17

800 1,96 1,95 2,14 1,80 2,10

900 1,96 1,93 2,11 1,79 2,06

(23)

news

GRAFICOS DE

ESTABILIDAD

DE LOS PROMEDIOS GRAFICO DE PROMEDIOS

1,40 1,50 1,60 1,70 1,80 1,90 2,00 2,10 2,20

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 TAMAÑO DE MUESTRA

P

R

O

M

E

D

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news

DR. JORGE ACUÑA

GRAFICOS DE

ESTABILIDAD

DE LAS DESVIACIONES ESTANDAR GRAFICO DE DESVIACIONES ESTANDAR

1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

TAMAÑO DE MUESTRA

D

E

S

V

IA

C

IO

N

E

S

T

A

N

D

A

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news

GRAFICOS DE

ESTABILIDAD

DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZA GRAFICO DE INTERVALOS DE CONFIANZA

0,30 0,55 0,80 1,05 1,30 1,55 1,80 2,05 2,30 2,55

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 TAMAÑO DE LA MUESTRA

L

IM

IT

E

S

D

E

C

O

N

F

IA

N

Z

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