www.jlmat.es [1] Matemáticas I Ejercicio 1.
Calcula el valor de las expresiones:
(
)
15 3 6
4 0,25 25
1 1 1
) log 16 4 : ) log 8 log log 0, 01
2 32 5
a b −
⋅ ⋅ + −
(
1 4 2)
5 1 55 3 6 2 10 30 6 30 6
4 4 4
1 5
4 1
30 6 5 2
4 4 4 4
1 1
) log 16 4 : log 2 2 2 : 2 log 2 : 2
2 32
4 4 4 1 2
log 2 log 2 log 2 log 4
5 5 5 2 5
a − − − −
− +
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =
= = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =
(
)
1 13 2 2
0,25 25 1 25 1 25
4 4
2 5
5 2
1 1
) log 8 log log 0,01 log 2 log 5 log10 3log 2 log 5 2
2 5
log 2 1 log 5 1 1 1 3 1 15
3 2 3 2 2
1 2 log 25 2 2 2 2 4 4
log 4
b + − − = + − − = − − =
= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = − − − = −
−
Ejercicio 2.
Resuelve:
2
5 2
) 1 ) 1 1 4 7
3 9
x
a b x x x
x
− ≤ − = − −
−
(
)
(
)
5 2 5 2 5 2 3 9 14 5 14 5
) 1 1 0 0 0 0
3 9 3 9 3 9 3 9 3 3
14
, 3 ,
5
x x x x x x
a
x x x x x
entonces x
− ≤ ⇒ − − ≤ ⇒ − − + ≤ ⇒ − ≤ ⇒ − ≤
− − − − −
∈ −∞ + ∞
U
14 ,
5
−∞
14 5
14 , 3 5
3
(
3 ,∞)
14 5x− + 0 − − −
3
x− − − − 0 +
(
)
14 5
3 3
x x
−
www.jlmat.es [2] Matemáticas I
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2 2
2 2
2 2 4 3 2 2 2 4 3 2 2 4
4 3 3
) 1 1 4 7 1 1 4 7 1 2 1 4 7
2 4 7 4 4 4 7 4 4 4 7
0
8 4 0 4 2 1 0 1
2
b x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
x
x x x x se comprueban las soluciones y ambas son válidas
x
− = − − ⇒ − = − − ⇒ − + = − − ⇒
⇒ − = − − ⇒ − + = − ⇒ − + = − ⇒
=
⇒ − = ⇒ − = ⇒
=
Ejercicio 3.
Calcula:
4
2
1 1 3 1 3 1
) La siguiente suma infinita:
3 9 9 27 27
3
9 9
) lim
3 4 4
n
a
n b
n n
→∞
+ + + + + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
− −
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
1
4
4 4
2 2 2 2
1 1 3 1 3 1 1
) , , , , , , 1
3 9 9 27 27 1
3 3
1 1
1 1 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1
1
3 9 9 27 27 2
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1
3 3
9 1
9 9 3 1 1
) lim lim lim lim
2
3 4 4 3 4 1 6 1
n n n n
a
a es una progresión geométrica de razón S
r
n
n n
b
n n n n n n
∞
→∞ →∞ →∞ →∞
⋅⋅⋅⋅⋅ < ⇒ =
−
− −
+ + + + + + ⋅⋅⋅⋅⋅ = = = = =
− − − +
−
−
− = = ⋅ − =
− − ⋅ −
4
4 4
4 2 4 2
4
4
2
1
1 1
lim 2
1 1
1 1 1 0 1
lim
1
2 1 2 1 0 2
n
n
n
n n
n n
n n
n
n
n
→∞
→∞
− −
⋅ = ⋅ =
− −
− −
= ⋅ = ⋅ =
www.jlmat.es [3] Matemáticas I Ejercicio 4.
Prueba que la sucesión de todos los números naturales, que divididos por 7 dan de resto 5, es una progresión aritmética. Halla la expresión del término general y la suma de todos los términos de tres cifras de dicha progresión.
7 5 7 5
7 2 , 7 5 7 2.
7 5 12 , 19 , 26, 33, 40,.... 5, 5
Los números naturales que al dividirlos por dan de resto serán múltiplos de más o múltiplos de menos es decir de la forma n o n
La sucesión n es que deja fuera al número natural de resto
al dividir por
+ −
+
15
143
7.
7 2 5, 12, 19 , 26, 33, 40,... ,
7.
, 7 15 2 103
999.
n
Entonces a n es la sucesión pedida que es una progresión
aritmética de diferencia
Ahora tenemos que sumar todos los términos de tres cifras el primero será a y el último será a
= − ⇒
= ⋅ − = =
(
)
143 15 1 129 :
103 999 129
71079 2
El número de términos que sumamos es y entonces la suma vale
S
− + =
+ ⋅
= =
Ejercicio 5.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
(
)
1
1
) 4 2 33 ) log 1 log 5 log 5 0
2
x x
a ⋅ + − = b x− − + −x − =x
(
)
1
2 2
1 2 2 8
) 4 2 33 4 2 33 2 4 33 4 33
2 2
8
4 8 33 4 33 8 0 1
4
8 2 8 3
1 1
2 2
4 4
x x x
x x
x x
a llamando t t t
t t
t
quitando denominadores queda t t t t
t
entonces si t x
si t x
−
⋅ + = ⇒ ⋅ + = ⇒ = ⇒ ⋅ + = ⇒ + =
=
+ = ⇒ − + = ⇒
=
= ⇒ = ⇒ =
www.jlmat.es [4] Matemáticas I
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2 2 2 2 2
2
log 1 log 5 5 log 1 log 25 1 25
1 25 2 1 25 2 2 24 0
4
12 0
3 .
x x x x x x x
x x x x x x x
x
x x
x valor no válido por no verificar la ecuación inicial
− = + ⋅ − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒
⇒ − = − ⇒ − + = − ⇒ − − = ⇒
=
− − = ⇒
= −
Ejercicio 6.
− En el polinomio 2 4 3
5
6 3
3 2
x − x + x+ m, ¿qué valor ha de tener m para que x−1
2 sea un factor?
Después de calcular m factoriza el polinomio.
− Efectúa las operaciones y simplifica el resultado:
2 2 2
2 2 2
1 1 2 1 6
:
3 9 6 9 9
x x x x x
x x x x x
− ⋅ − − + + +
+ − + + −
( )
( )
( )
3 2
3 2
1 4 5 1
2 3
2 3 6 2
1 1 4 1 5 1 1 1 5 1 1
0 2 3 0 3 0 3
2 2 3 2 6 2 4 3 12 3 9
1 2
Si x es un factor de p x x x x m p x es divisible por x
p m m m m
Como sabemos que p x es divisible por x lo aprovechamos
− = − + + ⇒ − ⇒
⇒ = ⇒ ⋅ − ⋅ + ⋅ + = ⇒ − + + = ⇒ = − ⇒ = −
−
para factorizar:
2 4
3
− 5
6
1 3
−
1
2 1
1 6
− 1
3
2 1
3
− 4
6 0
( )
3 2 2 22 2
3 2 2
4 5 1 1 1 2 1 2
2 2 2
3 6 3 2 3 3 3 3
1 2
2 0 6 2 0 .
3 3
4 5 1 1 1
2 2
3 6 3 2 3
Entonces p x x x x x x x buscamos las raíces de x x
x x x x que no tiene raíces reales y por tanto es primo
Y la factorización es x x x x x x
= − + − = − ⋅ − + ⇒ − + ⇒
⇒ − + = ⇒ − + = ⇒
− + − = − ⋅ −
2 3
+
www.jlmat.es [5] Matemáticas I
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
(
)(
)(
)(
)
(
)(
)(
)(
)
(
(
)
)
(
(
)(
)(
)
)
(
(
)
)
(
)(
)
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
1 1 6 9
1 1 2 1 6 6
:
3 9 6 9 9 3 9 2 1 9
6
1 1 1 3 6 1 6 1 3
9 3 9 3 3 9
3 3 3 1
4 3 6 2 4 9
3 3 9
x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
− − + +
− ⋅ − − + + + = + + =
+ − + + − + − − + −
+
− − + + + + + + +
= + = + = + =
− − − − + −
+ − + −
+ + + + + +
= =
− + −
Ejercicio 7.
Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética. Si se aumenta a en 1 unidad o c en dos unidades, resultan progresiones geométricas. Encontrar esos números.
(
)
(
)
2
2
, ,
1, ,
1 2
, , 2
2 1 1
2 2
Si a b c es una progresión aritmétrica se cumple c b b a
c b
Si a b c es una progresión geométrica se cumple
b a
c b
Si a b c es una progresión geométrica se cumple
b a
c b b a
a c b
c b
a c b
b a
a c b
c b
b a
− = −
+ =
+ +
+ =
− = −
+ =
= ⇒ + =
+
+ =
+
=
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2 4
1 1
2 2
2
4 1 2
1 4 1 2 2 2 2
4
2 2
2 1
8 8 4 4 8 0 8 0 0 8
a c a c ac
b b
a c b a c b
a c b a c b
a c ac
a c a c ac
a c a a a a a a
ac a ac c c a
a c a c
a a a a a a a a a como a a
c
+ + +
= =
⇒ + = ⇒ + =
+ = + =
+ +
+ = + +
+ = + = + +
⇒ ⇒
+ = + =
+ = +
+ = + + ⇒ − = ⇒ − = ⇒ ≠ ⇒ =
8 16
16 , 12 ; 8, 12 , 16
2
b + entonces los números en progresión aritmética son