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EXAMEN de números reales y álgebra

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Academic year: 2019

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(1)

www.jlmat.es [1] Matemáticas I Ejercicio 1.

Calcula el valor de las expresiones:

(

)

1

5 3 6

4 0,25 25

1 1 1

) log 16 4 : ) log 8 log log 0, 01

2 32 5

a b

  

⋅ ⋅ + −

  

  

 

(

1 4 2

)

5 1 5

5 3 6 2 10 30 6 30 6

4 4 4

1 5

4 1

30 6 5 2

4 4 4 4

1 1

) log 16 4 : log 2 2 2 : 2 log 2 : 2

2 32

4 4 4 1 2

log 2 log 2 log 2 log 4

5 5 5 2 5

a − − − −

− +

  

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

  

 

  

 

 

=   = = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

 

(

)

1 1

3 2 2

0,25 25 1 25 1 25

4 4

2 5

5 2

1 1

) log 8 log log 0,01 log 2 log 5 log10 3log 2 log 5 2

2 5

log 2 1 log 5 1 1 1 3 1 15

3 2 3 2 2

1 2 log 25 2 2 2 2 4 4

log 4

b + − − = + − − = − − =

= ⋅ − ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = − − − = −

Ejercicio 2.

Resuelve:

2

5 2

) 1 ) 1 1 4 7

3 9

x

a b x x x

x

− =

(

)

(

)

5 2 5 2 5 2 3 9 14 5 14 5

) 1 1 0 0 0 0

3 9 3 9 3 9 3 9 3 3

14

, 3 ,

5

x x x x x x

a

x x x x x

entonces x

− ≤ − − +

− − − − −

 

∈ −∞ + ∞

 U

14 ,

5

 

−∞

 

 

14 5

14 , 3 5

 

 

  3

(

3 ,∞

)

14 5x− + 0 − − −

3

x− − − − 0 +

(

)

14 5

3 3

x x

(2)

www.jlmat.es [2] Matemáticas I

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2 2 2 2

2 2

2 2 4 3 2 2 2 4 3 2 2 4

4 3 3

) 1 1 4 7 1 1 4 7 1 2 1 4 7

2 4 7 4 4 4 7 4 4 4 7

0

8 4 0 4 2 1 0 1

2

b x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x

x

x x x x se comprueban las soluciones y ambas son válidas

x

− = − − ⇒ = − + = −

= − + = + =

=

 

=− = ⇒ 

=



Ejercicio 3.

Calcula:

4

2

1 1 3 1 3 1

) La siguiente suma infinita:

3 9 9 27 27

3

9 9

) lim

3 4 4

n

a

n b

n n

→∞

+ + + + + + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

− −

(

)(

)

(

)

(

)

(

)

1

4

4 4

2 2 2 2

1 1 3 1 3 1 1

) , , , , , , 1

3 9 9 27 27 1

3 3

1 1

1 1 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 1

1

3 9 9 27 27 2

3 1 3 1 3 1 3 1 3 1

3 3

9 1

9 9 3 1 1

) lim lim lim lim

2

3 4 4 3 4 1 6 1

n n n n

a

a es una progresión geométrica de razón S

r

n

n n

b

n n n n n n

→∞ →∞ →∞ →∞

⋅⋅⋅⋅⋅ < ⇒ =

− −

+ + + + + + ⋅⋅⋅⋅⋅ = = = = =

− − − +

= = ⋅ − =

− − ⋅ −

4

4 4

4 2 4 2

4

4

2

1

1 1

lim 2

1 1

1 1 1 0 1

lim

1

2 1 2 1 0 2

n

n

n

n n

n n

n n

n

n

n

→∞

→∞

− −

⋅ = ⋅ =

− −

= ⋅ = ⋅ =

(3)

www.jlmat.es [3] Matemáticas I Ejercicio 4.

Prueba que la sucesión de todos los números naturales, que divididos por 7 dan de resto 5, es una progresión aritmética. Halla la expresión del término general y la suma de todos los términos de tres cifras de dicha progresión.

7 5 7 5

7 2 , 7 5 7 2.

7 5 12 , 19 , 26, 33, 40,.... 5, 5

Los números naturales que al dividirlos por dan de resto serán múltiplos de más o múltiplos de menos es decir de la forma n o n

La sucesión n es que deja fuera al número natural de resto

al dividir por

+ −

+

15

143

7.

7 2 5, 12, 19 , 26, 33, 40,... ,

7.

, 7 15 2 103

999.

n

Entonces a n es la sucesión pedida que es una progresión

aritmética de diferencia

Ahora tenemos que sumar todos los términos de tres cifras el primero será a y el último será a

= − ⇒

= ⋅ − = =

(

)

143 15 1 129 :

103 999 129

71079 2

El número de términos que sumamos es y entonces la suma vale

S

− + =

+ ⋅

= =

Ejercicio 5.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

(

)

1

1

) 4 2 33 ) log 1 log 5 log 5 0

2

x x

a ⋅ + = b x− − + −x − =x

 

(

)

1

2 2

1 2 2 8

) 4 2 33 4 2 33 2 4 33 4 33

2 2

8

4 8 33 4 33 8 0 1

4

8 2 8 3

1 1

2 2

4 4

x x x

x x

x x

a llamando t t t

t t

t

quitando denominadores queda t t t t

t

entonces si t x

si t x

     

+ = ⇒ + ==⋅ + =+ =

     

=

 

+ = ⇒ + = ⇒ 

=



= ⇒ ==

(4)

www.jlmat.es [4] Matemáticas I

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2

2 2 2 2 2

2

log 1 log 5 5 log 1 log 25 1 25

1 25 2 1 25 2 2 24 0

4

12 0

3 .

x x x x x x x

x x x x x x x

x

x x

x valor no válido por no verificar la ecuación inicial

− = + ⋅ − ⇒ − = − =

= + = =

=

− − = ⇒ 

= −

Ejercicio 6.

− En el polinomio 2 4 3

5

6 3

3 2

xx + x+ m, ¿qué valor ha de tener m para que x−1

2 sea un factor?

Después de calcular m factoriza el polinomio.

− Efectúa las operaciones y simplifica el resultado:

2 2 2

2 2 2

1 1 2 1 6

:

3 9 6 9 9

x x x x x

x x x x x

− − + + +

+ − + + −

( )

( )

( )

3 2

3 2

1 4 5 1

2 3

2 3 6 2

1 1 4 1 5 1 1 1 5 1 1

0 2 3 0 3 0 3

2 2 3 2 6 2 4 3 12 3 9

1 2

Si x es un factor de p x x x x m p x es divisible por x

p m m m m

Como sabemos que p x es divisible por x lo aprovechamos

   

− = − + + ⇒

   

   

     

 =  − ⋅  + ⋅ + =− + + == −= −

     

 

 

  para factorizar:

2 4

3

− 5

6

1 3

1

2 1

1 6

− 1

3

2 1

3

− 4

6 0

( )

3 2 2 2

2 2

3 2 2

4 5 1 1 1 2 1 2

2 2 2

3 6 3 2 3 3 3 3

1 2

2 0 6 2 0 .

3 3

4 5 1 1 1

2 2

3 6 3 2 3

Entonces p x x x x x x x buscamos las raíces de x x

x x x x que no tiene raíces reales y por tanto es primo

Y la factorización es x x x x x x

   

= − + − = ⋅ − + +

   

+ =− + =

 

− + − = − ⋅ −

 

2 3

 

+

 

(5)

www.jlmat.es [5] Matemáticas I

(

)

(

)(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)(

)(

)

(

)(

)(

)(

)

(

(

)

)

(

(

)(

)(

)

)

(

(

)

)

(

)(

)

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2

1 1 6 9

1 1 2 1 6 6

:

3 9 6 9 9 3 9 2 1 9

6

1 1 1 3 6 1 6 1 3

9 3 9 3 3 9

3 3 3 1

4 3 6 2 4 9

3 3 9

x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x

x x x

− − + +

− − + + + = + + =

+ − + + − + − − + −

+

− − + + + + + + +

= + = + = + =

− − − − + −

+ − + −

+ + + + + +

= =

− + −

Ejercicio 7.

Tres números a, b y c, distintos de cero, están en progresión aritmética. Si se aumenta a en 1 unidad o c en dos unidades, resultan progresiones geométricas. Encontrar esos números.

(

)

(

)

2

2

, ,

1, ,

1 2

, , 2

2 1 1

2 2

Si a b c es una progresión aritmétrica se cumple c b b a

c b

Si a b c es una progresión geométrica se cumple

b a

c b

Si a b c es una progresión geométrica se cumple

b a

c b b a

a c b

c b

a c b

b a

a c b

c b

b a

− = −

+ =

+ +

+ =

− = −

+ =

= ⇒ + =

 

+

+ =

+

=



(

)

(

)

(

(

)

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

( )

(

)

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 4

1 1

2 2

2

4 1 2

1 4 1 2 2 2 2

4

2 2

2 1

8 8 4 4 8 0 8 0 0 8

a c a c ac

b b

a c b a c b

a c b a c b

a c ac

a c a c ac

a c a a a a a a

ac a ac c c a

a c a c

a a a a a a a a a como a a

c

+ + +

=  =

+ = + =

  

+ = + =

  

 

+ +

+ = + +

+ = + = + +

  

⇒ ⇒

  

+ = + =

 

+ = +

+ = + + ⇒ =− ==

8 16

16 , 12 ; 8, 12 , 16

2

b + entonces los números en progresión aritmética son

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