Guía de Matemática I 2013

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(1)Matemática I. 1era versión Enero 2008 Autores: Lic. León Patiño Prof. José Neptalí Lugo Ing. Luis González Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo Agosto 2013 Consolidando el Plan de Transformación Rumbo al Plan Estratégico 2014 - 2019 ¡Chávez Vive, la Lucha Sigue! Plan de Transformación de la ENAHP-IUT 2009-2013 Un Sistema de Gestión con Visión Socialista Impulsando la Refundación del Estado. Av. Francisco de Miranda entre Av. Diego Cisneros y Calle Los Laboratorios Edif. ENAHP-IUT, Los Cortijos de Lourdes. Caracas – Venezuela. Teléfonos: 0212 232.32.31. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 1.

(2) Prefacio En. estos. tiempos. la. importancia. de. la. Matemática. hace. imperativo conocer algo de naturaleza y función de la Matemática. Quizá sea más fácil ver por qué estudiar Matemática si se detiene a considerar por un momento en qué consiste la Matemática. La. Matemática se ocupa primero que nada. realizarse. mediante. el. razonamiento,. y. de lo que pueda. viene. la. primera. observación ¿Por qué debo aprender a razonar?, no hace falta para comer, vestirse, compartir con el sexo opuesto y hasta lograr un alcanzar un alto cargo en el trabajo; el hombre supo alimentarse, vestirse y protegerse de la intemperie muchos siglos antes que apareciera la Matemática Para muchos, la Matemática es una manera de someter a prueba la capacidad intelectual, a manera de ejemplo; dos parejas tienen que cruzar un río en un bote donde sólo caben dos personas ¿Cómo deben hacer para que en ningún momento queden juntos la mujer con el hombre de la otra pareja? Este acertijo es de la época de los griegos y los romanos y según Tartaglia, quien vivió en el siglo XVI, refiere que eran pasatiempos de sobremesa. Ahondar aprender. históricamente. sobre. la. importancia. de. saber. y. Matemática, convertiría esta introducción en un libro. aparte de la Guía que hemos elaborado para incentivarte en el Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 2.

(3) estudio y comprensión de por qué se debe estudiar y aprender Matemática. Esta Guía, que modestamente hemos elaborado, lo que pretende es darte las herramientas necesarias para una introducción a la Matemática Universitaria. No que. pretende sustituir a ningún. puedas usar como texto en el Curso de. libro. Matemática I y. Matemática II, pero será de gran ayuda para mantenerte muy claro en lo que debes conocer, saber y aprender para hacer más tranquilo y placentero los cursos de Matemática que debes asistir. Te daremos algunas sugerencias que te podrán ayudar para lograr ser un buen estudiante de Matemática. 1. Haz tu mayor esfuerzo para seguir las explicaciones que da tu profesor en clase. 2. Pregunta en clase sin miedo, no postergues tus dudas. 3. Presta atención a las preguntas que hacen tus compañeros de clases, pueden ser tus dudas. 4. La asistencia a clases es muy importante, la inasistencia duplica tu esfuerzo. 5. Realiza las tareas en el momento que te las asignan, así podrás tener claro lo que se pide. 6. Al copiar tus clases, anotas cualquier dato que pueda ayudarte a comprender mejor lo visto.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 3.

(4) 7. Si no comprendes alguna explicación, pregunta, pregunta a tu profesor hasta que te quede claro. 8. Haz un cronograma de estudio y cúmplelo. 9. Recuerda: Matemática es 90% teoría y 10% práctica, por lo que se te sugiere leer y comprender la teoría, para hacer más sencilla la práctica. 10.. Al analizar un ejemplo, intenta resolverlo sin ver la solución. de otro ejemplo. 11.. Recuerda lo siguiente: si quieres ser un buen estudiante en. Matemática, primero tienes que tener la disposición para serlo.. Ten presente estas máximas: MATEMÁTICA:. es. símbolos. agota. y. se. una. ciencia. en. ser. que. establece. instrumento. de. relación otras. entre. ciencias.. (J. Romero) Quien no sabe a dónde va, ningún viento le es favorable. (Séneca). Aprender sin pensar es inútil, pensar sin aprender es peligroso. (Confucio). Las cosas pueden ser. tan sencillas como se quiera, pero no más. sencillas. (Einstein). Los Autores. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 4.

(5) Dedicatoria. Dedico esta guía a todos los estudiantes, hombres y mujeres que harán de esta nación una PATRIA GRANDE.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 5.

(6) Índice. Pág. I. II. 7. Inecuaciones Ejercicios y Problemas resueltos. 10. Ejercicios y Problemas propuestos. 26. Geometría Plana. 39. Ejercicios y Problemas resueltos. 45. Ejercicios y Problemas propuestos. 50 60. III Funciones Ejercicios y Problemas resueltos. 72. Ejercicios propuestos. 74. Ejercicios y Problemas propuestos. 81. IV Límites y Continuidad. 88. Ejercicios propuestos. 90. Ejercicios propuestos. 91. Ejercicios propuestos. 93. Ejercicios resueltos. 103. Ejercicios y Problemas propuestos. 112. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 6.

(7) INECUACIONES LINEALES Ecuaciones. Inecuaciones. Desigualdades ( < ,  ; > ,  ). Igualdades ( = ). De primer grado. 3x – 2 = 1 x 1 =4 2 x + y = 24. 3x – 2 < 1. x 1 >4 2 x + y  24. -2x + 1 = x – 3. -2x + 1  x – 3. Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la desigualdad. Propiedades. Sean a, b y c números reales: 1) Si a < b y c cualquier número real, entonces: a + c < b + c. 2) Si a < b y c un número positivo, entonces: a * c < b * c. 3) Si a < b y c un número negativo, entonces: a * c > b * c.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 7.

(8) Ejemplos: Resolver: a). 3x–2<1. Despejando. Aplicando propiedades. 3x – 2 < 1 3x <1+2 3x <3 x<3:3 x<1. 3x–2<1 3x–2+2 <1+2. 1 1 3x < 3 3 3 x<1. Solución: S = ( -  , 1 ) Representación gráfica:. b) -2 x + 1  x – 3 -2x+1  x-3 -2x-x  -3-1 -3x  -4 x  - 4 : (- 3) x . Solución: S = [. 4 3. 4 ,+) 3. Representación gráfica:. Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.. Ejemplo: Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgoneta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta? Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 8.

(9) En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación: Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones. no es menor que 415 kg. 875 - 4 . x  415 Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos: w Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad. - 4 . x  415 - 875. w Hacemos el cálculo en el segundo miembro. - 4 . x  - 460. w Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por -. 1 4. (Cuidado: como multiplicamos por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad).  1  4. x       460 x  115. w Hacemos el cálculo. Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0. Entonces, la solución está formada por todos los números reales pertenecientes al intervalo (0 , 115]. Graficamos la solución en la recta real:. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 9.

(10) Ejercicios y Problemas resueltos 1. (-4,∞). Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 10.

(11) 2. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 11.

(12) 3. 3x-7 > 5-2x-4. 12-4x-9 ≥ x-6-4x -4x-x+4x ≥ -6-12+9. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 12.

(13) 4. 5. 6x+4x+4 < 4x-10-12 6x < -26 x < -26/6 x < -13/3. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 13.

(14) -x ≤ 16 x ≥ -16. -16x-5x-4x-6x > -4-24-4 31x < 32 x < 32/31. 20.6-4(2x+1). Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 14.

(15) 6. -5x ≤ -35 x≥7. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 15.

(16) 7. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 16.

(17) 8. 9. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 17.

(18) 10. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 18.

(19) 11. 12. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 19.

(20) 13. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 20.

(21) 14. 3x-1 2. x > 5/7 15. 16. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 21.

(22) 17. x2-x-6 > 0 x2-x-6 = 0. x2-x-6 = 0 x2-x-6 > 0. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 22.

(23) 18 x-5 + 2x > 1 3 2. x-5 + 2x > 1 3 2. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 23.

(24) 19. 2x-4+6<3x+9+6x. ∩xϵ(-1,∞). Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 24.

(25) 20. 3x+y ≤ 0. 3x+y =0. x=1entonces y =-3,. B(1,-3). 3.1+1 ≤ 0. 21. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 25.

(26) Ejercicios y Problemas propuestos 1. Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real: b) 5 + 3 x  4 – x. a) 2 x - 3 < 4 - 2 x d) x + 8  3 x + 1 g) 3 x - 12  j) . m). 5x- 6 4. x 5x 1 -4  4 3 6 x x 1  - x  2  0 2 7. c) 4 - 2 t > t - 5.  1 2 . x-  > 3 x  2. f). a2 a 1  4 3. h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5. i). x x x  5 3 2 6. e). k). 5x  2 x  8 x  14  -2 3 4 2. l) x -. 2 > 0. 1  7   1 n)  2 - x  - 3  4 . x    0 3  4   2. 2. ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 26.

(27) 3. ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: x + 2 < 3 x + 1? 4. ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20? 5. ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: x + 2 < 3 x + 1? 6. Sean A = { x/x  R  x + 1 < 4 } y. B = (-  ,. A  B.. 3 ]  [3 , + ) . Determinar 2. 7. Determinar: { x / x  R  2 x - 4 > 0 }  { x / x  R  3 - x  0 } 8. Resolver las siguientes inecuaciones: a) 2x  7  15 b) 2x  9  17 c) x 2  3x  10  0 d) x 2  4  0 e)  x 2  6x  10 f) 72 x  0 x 9. 7 3. g)  2 x   4  x h). 4 3  x 5. i) 2 x  6 . 3x  8 5. 3 4. j) x  8  x . 2x 5. k) x  7x  2  0. l) 2x  9x  1  0 m) 5x  62x  1  0 n) xx  8  0 o) x7  2 x  0 p) 8x3x  2  0 q) w). x  2x  4  0 t) x  4x  1  1 u) 2  x  3 v) x  2 1  x r) x 4  3x 3  2 x 2  0 s) x  10 3x  4 3 x x x 1 2 x  2 x 1  x3 x 3 4. x) x  8  3 y) 9t  81 z) 0.3x  18 aa) 9x  8.1 bb) 8 y  3.2. cc)  x  . 5 1 3 5 3 dd)  y   ee) 5 y  2 y  21 ff) 0.2 y  1  2.4 y  10 gg) 3x     3x 8 8 8 6 4. hh) 2 x  3 . 13 x  10  1.25x ii) 43 y  2  92 y  5 jj) 4m  5  14m  2 kk) 4. ll) y y  5  0. mm). x3 0 x3. nn).  y  3 y  3  0. x2 0 x 1. 9. Determinar si el número indicado es una solución de la desigualdad. a) 2 y  5  10. 3. b) 5 y  2  3 y  8. 8. c) 6  y  9. -3. 10. En un curso de matemática habrá cinco exámenes. Para alcanzar una calificación de B, se necesitan al menos 400 puntos. Tus calificaciones en los primeros cuatro exámenes han sido 91, 86, 73, y 79. ¿Qué puntuación necesitas en el último examen para alcanzar una B? Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 27.

(28) 11. En tu nuevo empleo te ofrecen dos planes de pagos distintos. Plan A: Un salario mensual de $600 más una comisión de 4% sobre el total de ventas. Plan B: Un salario mensual de $800 más una comisión de 6% sobre el total de ventas una vez rebasados los $10000. ¿Para qué cantidad del total de ventas es mejor el plan A que el Plan B, suponiendo que el total de ventas es siempre superior a los 10000 dólares? 12. Un automóvil se renta por $13.95 diarios más $0.10 por milla. Tu presupuesto diario para la renta de automóviles es de $76.00. ¿Para qué millaje te puedes mantener dentro del presupuesto? 13. Vas a invertir $25000, una parte al 14% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que puedes invertir al 14% para hacer que el pago de intereses al cabo de un año sea al menos $3600? 14. Vas a invertir $20000, una parte al 12% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que puedes invertir al 12% a fin de que el interés al cabo de un año sea al menos $3000? 15. En tu nuevo trabajo te pueden pagar de dos formas distintas. Plan A: Un salario mensual de $500 más una comisión de 4% sobre el total de ventas. Plan B: Un salario mensual de $750 más una comisión de 5% sobre las ventas que superen los $8000. ¿Para qué monto de ventas totales es mejor el plan B que el Plan A, suponiendo que el total de ventas es siempre superior a los 8000 dólares? 16. Representar gráficamente. a) 1  x  6. b) 0  y  3. c) 7  y  3. d) 9  x  5. 17. Resolver las siguientes inecuaciones. a) 2  x  2  8 b) 1  x  1  6 c) 1  2 y  5  9 d) 10  3x  5  1 e) 5  3x  20  35 f). 4a  2  a  1  3a  4. g). . 2 2 2 2  x  15 3 5 15. h). 3x  4  5x  5  3x. i) x  6x  4  x  1x  3. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 28.

(29) 18. Resolver y representar gráficamente. a) x  3. b) x  5. h) 3 y  4  8. c) x  2. i) m  5  9  16. 1 3 m) 5  3x  1 n) 1  x  8 . 9. d) t  5.5. 4. 6. 4. e) m  0. j) t  7  3  4 o) x  5  x. f) 2 x  3  4. g) 2 y  7  10. k) 3x  4  2. l) x  6  8. p) 2  x  1  5. q) x  1  x  3. 19. Hallar y representar en la recta los números reales que verifican: a) x - 4 > 2 e). b) x + 2  3. 0 < x - 3 <. i) 1 + 2 x . 1 4. 1 2. c) 4 - x > 0. f) 12 - 4 x > 3 j) 3 - x  - 5  0. g) 4 x - 3  5. d). 0 < x + 3 < 1. h) - 3 x + 6 < 2. k) - 2 x + 1 + 8 < 0. 20.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 29.

(30) Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 30.

(31) 21.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 31.

(32) 22.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 32.

(33) 23.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 33.

(34) Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 34.

(35) Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 35.

(36) 24.. 25.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 36.

(37) 26.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 37.

(38) Resolver los ejercicios 3-2 del 1 al 20 del libro de Arya – Lardner (3° edición) Resolver los ejercicios 2.3 del 1 al 13 del libro de Haeussler (8° edición). Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 38.

(39) Distancia entre Dos Puntos del Plano Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.. La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =. está dada por:. (1). Coordenadas del Punto Medio de un segmento. Considerando el segmento. cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2),. las coordenadas. e. punto medio del segmento. .. representan las coordenadas del. INCLINACIÓN DE UNA RECTA Definiciones a) El ángulo  , (0°     ) que forma una recta L con el eje x medido en el sentido positivo del eje a la derecha L, se llama: ANGULO DE INCLINACIÓN de la recta L. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 39.

(40) b) Si L es una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir,. (1).. (fig. 1) Siendo  , (0°     ) ,  .  2. El número m se conoce también con el nombre de. COEFICIENTE ANGULAR de la recta L Observaciones: 1) Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente m = tan 90º no está definida.. (a). (b) fig. 1. 2) Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L (fig. 3 (b)), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene:. (2) Las expresiones (1) y (2) son equivalentes y en lo sucesivo haremos uso indistinto.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 40.

(41) 3) El nombre de pendiente de una recta está justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5%, significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es 5/100.. 4) La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así: Si Ө= 0o entonces m= 0 (fig. 2. (a)) Si 0o <Ө< 90o entonces m > 0 (fig. 2. (b)) Si 90º < Ө< 180o entonces m < 0 (fig. 2. (c)). fig. 2. 5) El valor de la pendiente de una recta no depende de la elección particular de los puntos P1 y P2 escogidos sobre ellas. Dados 3 puntos P1, P2 y P3 del plano, se dice que son COLINEALES si y solo si, la pendiente determinada por P1 y P2 es igual a la determinada por P2 y P3.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 41.

(42) Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente. Como l pasa por el punto P1(x1, y1 ) y tiene pendiente m1, se tiene que: y – y1 = m1 (x – x1). (1) representa la ecuación de dicha recta.. Ahora, como el punto P2(x2, y2). Esto es y2 – y1 =. l, entonces satisface su ecuación.. ; de donde. (2). Sustituyendo (2) en (1) se obtiene. (3) La ecuación (3) se conoce como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta. Observaciones A). La ecuación (2) proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación. (3) también. puede escribirse en la forma:. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 42.

(43) Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:. B) Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:. = 0. Ecuación segmentaria de la línea recta Considere la recta L de la cual conocemos los intersecciones a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 3). fig. 3. Como L pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por: Es decir,. de donde. .. Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:. (1) Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 43.

(44) La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LAS INTERSECCIONES de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1) y = 0, resulta x = a (Intersección con el eje x); x = 0, resulta x = b (Intersección con el eje y) La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y. La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1), A, B, C. R; A y B no son. simultáneamente nulos, representan una línea recta.. ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE RECTAS Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: 1) l1 es paralela a l2 (l1 || l2). m1 = m2. 2) l1 es perpendicular a l2 (l1. l2). m1 . m2 = -1. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 44.

(45) Ejercicios y Problemas resueltos 1. 2. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 45.

(46) 3. 4. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 46.

(47) 5. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 47.

(48) 6. (Resp. 3p = q+550). Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 48.

(49) 7. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 49.

(50) Ejercicios y Problemas propuestos 1. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos: a) (3, -2) y (9, 6). b) (4, -3) y (-1, 9). c) (8, -4) y (-7, 4). d) (5, -8) y (-7, 8).. 2. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles. 3. Igual que el ejercicio 2 con los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5). 4. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10, 3) y P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo. 5. Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área. 6. Si la pendiente de la recta que une los puntos: a) A(X1, -1) y B(2, 5) es 3, encontrar X1. b) A(6, -1) y B(10, Y1) es. , encontrar Y1.. 7. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1, 7). a) Localizar los puntos medios de los lados. b) Localizar el punto de intersección de las medianas. c) Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud. 8. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2). Encontrar el cuarto vértice. 9. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3). 10. Sabiendo que las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(-4, 8), B(3, -6), hallar las coordenadas del tercer vértice sabiendo además que las coordenadas donde se cortan las medianas es G(2, 6). Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 50.

(51) 11.. Demostrar. que. el. triángulo. cuyos. vértices. son. los. puntos:. a) 0(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo. b) A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo. 12. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2. 13. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga pendiente infinita. 14. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación: 2x – 3y + 7 = 0 en el punto medio del segmento comprendido entre los ejes coordenados? 15. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son: a) (0, 0), (2, 4) y (-1, 6). b) (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3). c) (3, 4), (-2, 1) y (1, -5). 16. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0, 3) y C(1, 2). a) Encuentre las ecuaciones de las medianas. b) Encuentre las ecuaciones de las alturas. c) Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo. d) Localice el baricentro, ortocentro, baricentro y el circuncentro del triángulo. 17. Se dan los puntos: A(2,7) y B(6,4). Se pide a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y B, en su forma reducida. ¿Cuánto vale la ordenada en el origen? b) Escribir la ecuación en la forma general, ¿cuánto valen A, B y C? c) Verificar si el punto M (2,7), pertenece a la recta. d) Si un punto de abscisa 3 pertenece a la recta, ¿Cuánto vale su ordenada? e) Si un punto de ordenada -4 pertenece a la recta, ¿Cuánto vale su abscisa? f) ¿En qué punto corta la recta al Eje X? g) ¿En qué punto corta la recta al Eje Y? h) ¿En qué punto corta la recta dada a otra recta de ecuación 4 x  y  2  0 ? i) ¿En qué punto corta la recta dada a otra recta de ecuación 6 x  8 y  1  0 ? ¿Por qué? j) ¿Qué ecuación tiene una recta que pase por el origen y sea paralela a la recta dada? k) ¿Qué ecuación tiene una recta que pase por el punto P(-1,3) y sea perpendicular a la recta dada? Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 51.

(52) Punto Medio de un Segmento 18. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son Respuesta:  1 ,1.  3,5 y 4,7 .. 2. . 19. Sean los puntos A (-3,5) y B (0,- 4), halla el punto medio del segmento AB . 20. Encuentra las coordenadas del punto medio de cada uno de los siguientes segmentos cuyos extremos se indican. a)  4,7 y 3,9. b)  2,0 y 3,0. c) a, b y a,b. d)  c, d  y c, d . 21. Encuentra el otro extremo de un segmento que tiene por extremo al punto 3,7 y por punto medio  7,3 .. Distancia entre dos Puntos 22. Encuentra la distancia entre los puntos 8,7 y 3,5 .. Respuesta: 13. 23. Encuentra la distancia entre los puntos que se indican. a) 2,2 y  2,2 f). . . 2 , 3 y 0,0. b) 0,7 y 3,4 g). . c) a,3 y 2a,5.  . a, b y  a, b. . d) 5,2k  y  3, k . e) 0,0 y a, b. h) c  d , c  d  y c  d , d  c. La Recta 2 5 24. La ecuación de la recta que pasa por los puntos   ,0  y  0,  es: ?  3. Respuesta: y . . . 2. 15 x  10 4. 25. La ecuación de la recta que pasa por el punto 3,2 y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos  1,3 y 8,7  es: ?. Respuesta: y . 9 x  7 10. 26. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,7) y B (-3,2) es: ? Respuesta: 5x - 4y + 23 = 0 27. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta 3x + 4y = 5.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 52.

(53) 28. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5) y es perpendicular a la recta 2x + y = -3. 29. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos  8,6 ; 3,6 . 30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-1,-3) y (3,7). 31. Si dos rectas no se cortan en ningún punto del plano que las contiene, entonces las rectas son: a) Secantes b) Perpendiculares c) Paralelas d) De distinta dirección e) Alabeadas 32. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? Si una ecuación no es lineal, di por qué. a) xy  9. b) 2r  7  4s. d) 8x 17 y  y. c) 4 x 3  7 y. e) q . 3 p. f) 4x  3. 33. Representa gráficamente. 5 2. a) 4x  5 y  20 b) 2x  6 y  2 c) y  2 x d) y   x e) y  x f) x  4 g) y  3 h) y  0 i) 3 y  9  0. j) 3x  15  0. k) 0.4 y  0.004x  0.04. 7 3. l) x   y . 2 11. 34. Calcula la pendiente, si existe, de la recta que pasa por cada par de puntos. a) 5,0 y 6,8. b) 4,0 y 7,3. 3 1 1 1 f)  ,  y  ,  5 2. 5. 2. c) 0,8 y 3,8. g) 3.2,12.8 y 3.2,2.4. d) 0,0 y  5,6. 1 1 3 3 e)  ,  y  ,  2 4. 2 4. h)  16.3,12.4 y 8.3,12.4. 35. En caso de que exista, calcula la pendiente de cada una de las siguientes rectas. a) x  7. b) y  3. g) 12  4x  9  x. c) 5x  6  15. d) 12  4x  7. e) 5 y  6. f) y  6  14. h) 3 y  2x  5  9 y  2x. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 53.

(54) 36. Encuentra la ecuación de la recta que contiene al punto dado con la pendiente indicada. a) 3,2; m  4 f) 3,1; m  . b) 4,7; m  2 4 3. c)  5,2; m  1. d)  2,4; m  3. e)  6,4; m . 1 2. g) 0,7; m  0. 37. Determina si los tres puntos son colineales. A  1,1, B 2,2, C  3,4. 38. Determina el número. a. de modo que la pendiente de la recta que pasa por los dos. puntos tenga el valor indicado..  2,3a , 4,a ; m  . 5 12. 39. Una recta pasa por los puntos  100,4 y 0,0 . Enumera otros cuatro puntos de la recta. 40. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por 2,3 y tiene la misma pendiente que la recta 3x  4 y  10 . 41. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por 3,4 y tiene pendiente 2 . Si la recta contiene a los puntos a,8 y 5, b , encuentra a y b . 42. Escribe una ecuación de la recta que tiene abscisa al origen de -3 y ordenada al origen de 2/5. 43. Determina si las gráficas de cada par de ecuaciones son rectas paralelas. x  4  y  y  x  3. a) .  y  4  3x 4 x  y  7. b) .  y  4x  5 2 y  8 x  10. c) . 44. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por 4,2 y es paralela a la recta que pasa por  1,4 y 2,3 . 45. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por  1,3 y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos 3,5 y  2,7 . 46. Utiliza pendientes para mostrar que el triángulo con vértices  2,7, 6,9 y 3,4 es un triángulo rectángulo. 47. Encuentra k de modo que las gráficas de x  7 y  70 y y  3  kx sean perpendiculares entre sí.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 54.

(55) 48.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 55.

(56) 10.. 11.. 12.. 13.. 14.. 15.. 16.. 17.. 18.. 19.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 56.

(57) 20.. 21.. 22.. 23.. 24.. 25.. 26.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 57.

(58) 27.. 28.. 29.. 30.. 31.. 32.. 33.. 34.. 35.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 58.

(59) Resolver los ejercicios de la Sección 1.4. del. N ° 55 al 60 del libro de Bittinger. (7° Edición) Resolver los ejercicios de la Sección 4.4 del N °1 al 14 del libro de Arya- Lardner. ( 3° Edición.) Resolver los ejercicios de la Sección 1.3 del N ° 35 al 46 del libro de Hoffman-Bradley (7 ° Edición).. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 59.

(60) Intuitivamente se considera que la cantidad y es función de la cantidad x, si existe alguna regla, ley o procedimiento que permita asignar un valor único de y, para cada valor que se considere de x, dentro de cierto conjunto posible de valores. Muchas veces es posible expresar dicha regla o ley por medio de una ecuación matemática como ocurre por ejemplo, con el área y de un círculo, en función del radio x ; y   x 2 ; otras veces es difícil o aún imposible hallar la fórmula matemática que relaciona las variables x e y aunque siga siendo posible la asignación de un valor único de y para cada valor de x. Una Variable es un símbolo que representa a un elemento no especificado de un conjunto dado, el cual se llama Conjunto Universal, o simplemente, Universo de la variable considerada. Cuando el Universo de la variable es un conjunto unitario, variable se llama Constante. Una Relación es un conjunto de pares ordenados, cuyas componentes son los elementos de cierto Universo. Al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que forman la relación se le llama Dominio y al formado por las segundas componentes se le llama Rango. Lo que interesa realmente es poder determinar un conjunto de pares ordenados (x, y), independientemente de si la ley o regla que relaciona las variables x e y es de tipo matemático, empírica o simplemente descriptiva Definiciones. Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 60.

(61) Se usan indistintamente los símbolos: o. para expresar que "f" es una. función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B. Al conjunto A se le llama: dominio de la función y se denotará por el símbolo D(f). Igualmente, al subconjunto de B, formado por todas las imágenes de los elementos de A, se le llama: rango de la función y se denotará por el símbolo R(f). Para los conceptos del cálculo que se desarrollarán posteriormente, los conjuntos A y B mencionados anteriormente son por lo general, subconjuntos de R, de esta forma la función: se llamará función real de variable real. En la expresión. que expresa la correspondencia entre los elementos x de A con. los y de B, la letra x se llama: variable independiente y la letra y: variable dependiente. En el siguiente ejemplo, se ilustran los conceptos establecidos hasta ahora. Considere por ejemplo los conjuntos: y. , y la función. definida por medio del. diagrama:. Se tiene entonces: La imagen del elemento a mediante f es 5. Es decir, f(a) = 5 Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 61.

(62) La imagen del elemento b mediante f es 3. Es decir, f(b) = 3 La imagen del elemento c mediante f es 7. Es decir, f(c) = 7 La imagen del elemento d mediante f es 0. Es decir, f(d) = 0 La imagen del elemento e mediante f es 5. Es decir, f(e) = 5 . Ahora,. y R( f )  0,3,5,7. En lo sucesivo, cuando no se mencionen los conjuntos A y B de una función, sino, solamente la regla o correspondencia, entre sus elementos, se entenderá que tanto A como B son subconjuntos de números reales. En este caso, se dice que el dominio es el conjunto de números reales para los cuales tiene sentido la "regla" o "correspondencia", o más precisamente, los valores para los cuales f(x) es un número real. En las aplicaciones, es frecuente que una gráfica muestre con mayor claridad que una ecuación o una tabla, la relación que existe entre las variables de una función. Las ecuaciones y tablas que corresponden a una función, por lo general, requieren algunos cálculos e interpretaciones, antes de poder ver con claridad todo tipo de información contenidas en ellas. Cuando la regla que define una función f está dada mediante una ecuación que relaciona las variables x e y, la gráfica de f, es la gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos (x, y) del plano cartesiano que satisfacen la ecuación. Definición. Sea conjunto de puntos decir, Gráfica de f = { (x, y). una función real de variable real. La gráfica de f es el tales que la pareja ordenada (x, y) pertenece a f. Es / y = f(x), x. D(f) }. Observación. La restricción dada en la definición de función de que no existen dos parejas distintas que tengan la primera componente igual, se traduce en la gráfica de la función de Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 62.

(63) la siguiente manera: ninguna recta vertical puede cortar su gráfica en más de un punto. (Criterio de la recta vertical). Así por ejemplo, la gráfica de la figura 1(a) corresponde a la gráfica de una función (la recta vertical solo corta la gráfica en el punto A); mientras que la figura 1(b) no corresponde a la gráfica de una función. Nótese que la recta vertical, corta la gráfica en más de un punto: A, B y C. FUNCIONES ESPECIALES. Función Polinómica de grado n. f:. donde a0, a1, a2,...,an son números reales. CASOS PARTICULARES: La función definida por: y = f(x) = a0 (a0 una constante) se llama: función constante y su gráfica corresponde a una recta paralela al eje x, a 0 unidades por encima o por debajo del eje x según el signo de a 0.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 63.

(64) La función definida por: y = f(x) = a0 + a1x, se llama: función lineal La función definida por: y = f(x) = x, se llama: función identidad y su gráfica corresponde a una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x. Función Lineal. f : pendiente m, e intersección b con el eje y.. que corresponde a la línea recta de. Función Cuadrática. f: , donde a, b, c y que corresponde a una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo según el signo de la constante a. En la fig. 2, aparece la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c, de acuerdo al signo de a. Igualmente, como caso particular, se ha trazado la curva y = x2 (fig. 2(c)). fig. 2. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 64.

(65) Ramas de Parábola: La ecuación en forma implícita y2 = x, corresponde a una parábola abierta hacia el eje x positivo y cuyo vértice y foco son respectivamente los puntos V(0, 0) y F(1/4, 0). Su gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), sin embargo, genera dos funciones llamadas: ramas de parábola cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:. y2  x. Rama Superior de la Parábola.. Rama Inferior de la Parábola. La ecuación en forma implícita x . y = 1, corresponde a una curva llamada: hipérbola equilátera, función homográfica y genera la función: f : -{0}. cuya gráfica aparece en la figura adjunta.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 65.

(66) La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3, se llama: función cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la figura.. Función Parte Entera o Escalonada. f:. Z donde n es un número entero tal que. .. La gráfica de la función se muestra en la figura. y está constituida por una serie de segmentos unitarios faltándole a cada uno su extremo derecho.. Función Definida a Trozos. f :A. donde. (dominio de f).. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 66.

(67) CASOS PARTICULARES. Función Valor Absoluto. f:. La gráfica de la función valor absoluto, está formada por las rectas perpendiculares y = x e y = -x.. Función Racional. f:. donde Pn(x) y Qm(x) son polinomios de grados n y m respectivamente. Nótese que el Dominio de una función racional f viene dado por : Df = {x. / Qm(x)  0} =. - {x. / Qm(x) = 0}.. Es decir, el Dominio f lo constituye el conjunto de los números reales, excepto los valores que anulan el denominador.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 67.

(68) Función Exponencial de base a. Definición: Una función exponencial es una función de la forma y  a x , donde a  0 y a  1. 10. 10. 8. 8. 6. 6. 4. 4. 2. 2. 0 -5. 0. 0. 5. -5. 1) f(x) = 2x. 0. 5. 2) f(x) = (2-1)x = 2-x. Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2 x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una funció n decreciente, como lo es f(x) = 2-x. Algunas características de las funciones exponenciales crecientes: 1) El Dominio es el conjunto de los números reales. 2) El Rango es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos. 4) Todas las funciones intersectan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas. 6) El límite de y = ax cuando x disminuye indefinidamente se aproxima a cero, esto es,. Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes: 1) El Dominio es el conjunto de los números reales.. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 68.

(69) 2) El Rango es el conjunto de los números reales positivos. 3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos. 4) Todas las funciones intersectan al eje y en el punto (0,1). 5) Son funciones continuas. 6) El límite de y = a-x cuando x aumenta indefinidamente se aproxima a cero, esto es,. Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x. f:. Función Logarítmica de base a. f: Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a para obtener y. Esto es, si a > 0 y a≠1, entonces logay = x si y sólo si y = ax. Nota: La ecuación logay = x se lee "el logaritmo de y de base a es x". Ejemplos: 1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2, ya que 52 = 25. Decimos que "el logaritmo de 25 de base 5 es 2". Simbólicamente lo expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que log5 25 = 2 es equivalente a 52 =25. 2) También podemos decir que 23 = 8 es equivalente a log2 8 = 3. Resolución de ecuaciones logarítmicas simples. Ejemplos para discusión: 1) Halla el valor de x si log3 9 = x. 2) Halla el valor de a si loga 8 = 3. 3) Halla el valor de y si log2 y = 7. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 69.

(70) Propiedades de los logaritmos comunes: Para a > 1. 1) loga 1 = 0 2) loga a = 1 3) loga (u v) = loga u + loga v. 5) loga (un) = n loga u 6) loga M = loga N, entonces M = N Ejemplos para discusión: 1) Halla el valor de x si log2 x - log2 (x - 8) = 3. 2) Resuelve para x la ecuación: log8 3 + ½ log8 25 = log8 x . Ejercicio de práctica: Resuelve log4 (x + 1) - log4 (3x - 2) = 2.. Función Exponencial Natural. La letra a que aparece en la función exponencial se llama la base. La base puede ser cualquier número real positivo (ver definición de función exponencial). Sin embargo, hay casos donde se usa como base un número irracional denotado por e = 2.71828... La función exponencial f(x) = ex se conoce como la función exponencial natural. gráfica es:. Su. 25 20 15 10 5 0 -5. 0. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. 5. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 70.

(71) Logaritmo natural: También podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se representan por el símbolo ln. De manera, que si y = ex, entonces x = loge y = x. El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En particular: 1) ln (u v) = ln (u) + ln (v). 3) ln un = n ln u 4) ln e = 1 5) ln 1 = 0. Ejemplos para discusión: 1) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos:. 2) Usa las propiedades de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como el logaritmo de una sola cantidad:. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 71.

(72) Ejercicios y Problemas resueltos 1. 2. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 72.

(73) 3. 4. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 73.

(74) Ejercicios propuestos Escribe cada ecuación exponencial a la forma logarítmica y viceversa: 1) 23 = 8. 4) log10 0.01 = -2 5) ln 2 = 0.6931... 6) ln 0.5 = -0.6931... Halla el valor de x: 7) log10 1000 = x. 9) log3 x = -1 10) logx 27 = 3. 12) log3 x + log3 (x - 2) = 1 13) x - 3 = log2 32 14) x2 - x = log5 25. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 74.

(75) Dibuja la gráfica de: 15) f(x) = 3x 16) y = 3-x Usa las propiedades de los logaritmos para escribir cada expresión dada como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos. 17) log2 xyz. 22) ln 3e2 Escribe cada expresión con un único logaritmo: 23) log3 (x - 2) - log3 (x + 2) 24) 3 ln x + 2 ln y - 4 ln z 25) 2[ln x - ln (x + 1) - ln (x - 1)] FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se obtiene combinando un número finito de veces la variable x y constantes reales por medio de operaciones algebraicas de suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces. Un ejemplo de una función algebraica explícita es aquella para la cual la regla de correspondencia viene dada por:. . Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 75.

(76) Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:. OPERACIONES CON FUNCIONES. Definición. Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones: SUMA: DIFERENCIA: PRODUCTO:. COCIENTE: NOTA: En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES: Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g".. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 76.

(77) Sean. y. dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el. codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir. El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g. Definición. Sean. y. dos funciones. La composición de las funciones f y g,. denotada por (g o f) es la función: gof:. Así por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:. y. Entonces. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 77.

(78) Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general: (g o f)(x)  (f o g)(x). Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen. Esto es, D(f) = Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:. ; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, +. ). Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO. Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO. También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen. Es decir, D(g) = [0, +. ).. Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + D(f o g) = [0, +. ). De esta forma:. ).. En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.. Así por ejemplo, la función:. puede escribirse en las formas:. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 78.

(79) P(x) = (g o f)(x) siendo. y. P(x) = (g o f)(x) siendo. y. En efecto,. en el primer caso, y, en el segundo.. CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES. FUNCIONES MONÓTONAS. Sea f(x) una función definida en [a, b]. f es creciente en [a, b] si y solo si se cumple que:. .. . f es decreciente en [a, b] si y solo si se cumple que:. .. . f es monótona en [a, b] si y solo si f es creciente o decreciente en [a, b]. Las gráficas siguientes ilustran las definiciones anteriores.. Función Creciente. Función Decreciente. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. No es ni creciente ni decreciente. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 79.

(80) FUNCIONES INYECTIVAS. Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que: . o equivalentemente,. .. .. En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f, existe exactamente una y en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio. Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como: Criterio de la recta horizontal. Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y solo un punto, entonces f es 1-1 Así por ejemplo, en la fig. 14. (a), aparece la gráfica de la función y = f(x) = x2 + 1 la cual de acuerdo al criterio de la recta horizontal no corresponde a una función 1-1. Nótese que la recta y = 2, corta la gráfica en más de un punto: P 1(-1, 2) y P2(1, 2) y de acuerdo al criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1.. (a). fig. 14 (b). Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 80.

(81) Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto. Si se analiza un poco más la gráfica de la función en la fig. 14 (b), se nota además que f es una función creciente en su dominio como toda función creciente (o decreciente) siempre tendrá valores diferentes de y, para valores distintos de x, se sigue entonces que toda función creciente (decreciente) en su dominio es 1-1.. Ejercicios y Problemas propuestos 1. ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones? a) f ( x)  x 2  x  1. Respuesta: R. b) f ( x)  ln 1  3 . Respuesta: 3, . x. c) f ( x) . . 2x  3 x 3  27. Respuesta: R-  3 Respuesta:  3 ,2   2,  . d) f ( x)  2 x  3 x2. e) f ( x)  f) f ( x) . g) m). y.  2. x2. Respuesta: R-  0. e x 1. h). y  1  x2. y  2 x 2  5x  3. q) f ( x) . Respuesta: R- 1,1, 2 , 2 . 3x  7 x  3x 2  2 4. 2 1 x. . n). 2x x  2 x  35 2. y. y x4. i) x 1. o). x3. ln2 x  3. r) f ( x)  e. 2x. y  x. j).  7e  12 x. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. y. 2 3. x 1. k). y. 1 x 1. 7. s) f ( x) . p) 2 x  1. x  7 x  18 2. 2. l). y. 2 1 x. f ( x) . 2x 2  3 6x. t) f(x) =. 2x 1 3x  4. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 81.

(82) u) f(x) = z) f x  . 3x  1 6x  7. 1 5x  8. v) f x  7 x  4. aa) f x  . w) f x   3x  2 bb) f x  . 1. 3  x x  x . x) f x   4 . 4x 3  4 xx  2x  1. 2 x. y) f x  . 1 x3. cc) f x  x 3  x 2  x  2. 2. En la función f ( x)  x3  5x 2  8x  4 , comprobar que f (1)  f (2) . 3. En la función f ( x)  x . 1 , hallar: 1) f (0) ; 2) f (h  1); 3) f (h)  1. x. 4. En la función f ( x)  2 x , demostrar que. 5. En la función f ( x) . f (a  3)  f (4) . f (a  1). x2 1 1 , hallar: 1) f ( ); 2) x f ( x) x2. 6. En la función: f ( x)  x3 , hallar. f ( x  h)  f ( x ) h. 7. En la función: f ( x)  x 2  2 x  3 , hallar. f ( x  h)  f ( x ) h. 8. Halle el dominio, rango y grafique las siguientes funciones:. 9. Si f(x) = x+1 y g(x) = x+4, encontrar lo siguiente: a) (f+g)(x). b) (f-g)(x). c) (f.g)(-2). Área Cuantitativa ENAHP-IUT. d) (f/g)(x). e) (fºg)(3). Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 82.

(83) 10. Si f(x) = x (x-1) entonces f(-x) es igual a: a) f(x-1) b) -f(x) c) f(1-x) d) f(x) e) f(x+1) 11. Si f(x) = 2x+2 y g(x) = 3x, entonces g(f(-8)) es igual a: a) -17 b) -14 c) -24 d) -42 e) -18 2 2 12. Si f(x)= x  x y g(t)= t  4 , f(7) – g(3) resulta: ?. 3t. 3. 13. Dadas f, g y h definidas como f ( x)   x 2  9 , g ( x)  2 x  7 , h( x)  5x , evaluar: f(7), g(5x), h(3a+2), g(x2+3) y g(f(x+5)). 1 3. 14. Sean f(x)= 2x+5 y g(x)=7-3x, calcular: (f+g)(3), (f-g)(2), (f.g)(-2) y (f/g)   . 15. Si f ( x)  2 x2  6 y g ( x)  7 x  2 encontrar: g  f 4 ,  f  f 3 , g  g 2 , g  f  5 ,. g  f   1  y g  f a .  3. 16. Calcular f(3), f(-5) f(1/x), f(2x+5) para cada una de las siguientes funciones: a) f ( x)  5x  3 e). 1 3 f ( x)  2 x 2 9x. b). f ( x)   x 2  3 x  6. f) f ( x)  e. 1. c) f ( x)  ln3x  1. d) f ( x)  x 2  9. x 3. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 83.

(84) 17. Determinar cuáles de los puntos siguientes están sobre la gráfica de f ( x)  a) (1,2). b) (2,7/2). c) (-1,0). d) (-2,-5/2). x 1 x. e) (3,10/3). 18. Graficar la función: f(x) = 3x2-5x-1 1 19. Graficar la función: f(x) =   3. x. 20. Hallar la intersección con los ejes de cada una de las siguientes funciones: a) f ( x)  x 3  x b) f ( x)  ln2x  6 c) f ( x)  x 3  x d) f ( x) . 3 e) f ( x)  e 2 x  e x  20 x 1. f) f ( x)  x 2  x 1 g) f ( x)  x 4  4 x 3 21. Representar gráficamente las siguientes funciones. 1 b) y   . a) y  2 x. x. 2. h) y  2 x  2  x. c) y  0.4x. i) y  e 2 x. d) y  1.5x. j) y  e 0.5 x. k) y  e 2 x. e) y  2 x1. f) y  3 x. g) y  2 x1. l) y  e 0.5 x. 22. Representar gráficamente las siguientes funciones. a) y  log 2 x. b) y  log10 x. c) y  log1.5 x. d) y  log3.5 x. e) y  log 2 x  1. f) y  log3 x  2 g) y  log 2 x 23. Utilizar una calculadora para estimar con seis lugares decimales el valor de cada uno de los siguientes números. a) 2 3. b) 2 3.1. c) 2 3.14. d) 2 3.141. e) 2 3.1415. f) 2 3.14159. 24. Utilizar una calculadora para determinar en cada pareja cuál número es más grande. a) 5 o  5. b). 83 o 8. 3. 25. Representar gráficamente. a).  x2  b) f ( x)   4  x 2  x3 . para x  0  4  f ( x)  4  x 2 para 0  x  2  2x  6 para x  2 . Área Cuantitativa ENAHP-IUT. para. x  2. para  2  x  2 para x  2. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 84.

(85) c).   x 2  2 para x  3 f ( x)    para x  3  1. d). e).  1 para x  0 f ( x)    1 para x  0. f). para x  2 x3  f ( x)   1 para  2  x  3  x 2  10 para x  3 .  2 para x un entero f ( x)    2 para x no entero. Función Lineal 26. Los costos fijos mensuales para producir un artículo son de $2000000 y los costos variables por unidad son de $ 5000; si el precio de venta por unidad es de $9000. Hallar: a) Ecuaciones de costos e ingresos en función del número de unidades y representarlas en un mismo plano. b) Punto de equilibrio. c) Función de utilidad. d) ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para obtener una utilidad mensual de $ 1500000? 27. Dadas las ecuaciones p + q = 100 y p - q = 20. a) Identifique cuál corresponde a oferta y cuál a demanda, explique qué significan sus coeficientes. b) Explique para p = 40 y p = 80 ¿qué sucede? c) Halle el punto de equilibrio y represente en un mismo plano las dos ecuaciones. 28. Una máquina se adquiere por $ 12000000 y se deprecia en 15 años, hallar: a) P(t) b) El valor de la máquina y la depreciación acumulada dentro de 7 años. 29. El valor de un libro se duplica cada 5 años, si el libro fue avaluado hace 20 años en $ 1200. a) ¿Cuál es el valor del libro hoy? ¿Dentro de 20 años? b) ¿Es lineal la relación entre el valor del libro y su edad? Explique c) Expresar el valor del libro en función del tiempo. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 85.

(86) 30. En 1950, la demanda de gas natural en Estados Unidos era de 20 billones de joules. En 1960 la demanda era de 22 billones de joules. Sea D la demanda de gas natural t años después de 1950. a) Ajusta una función lineal a los puntos dados. b) Utiliza la función para predecir la demanda de gas natural en el año 2005. 31. Un contador determinó cinco pagos diferentes de impuestos en un año específico. Éstos eran los impuestos municipales para cinco ingresos distintos. Ingreso (en miles de dólares) Impuestos (en dólares). 8 24. 15 70. 25 180. 40 300. 75 560. Si una función lineal se ajusta a los datos, determínala, predice el impuesto que se debe pagar correspondiente a un ingreso de $55000, y predice el ingreso correspondiente a un impuesto de $240. 32. Cierto café instantáneo se vende en envases de distintos tamaños. Éstos eran los precios para cada uno de ellos en un supermercado. Onzas Precio. 2 $0.95. 6 $2.15. 10 $3.29. 16 $4.89. 32 $8.99. Si una función lineal se puede ajustar a los datos, determínala, predice el precio de un envase de 24 onzas y predice el tamaño de un envase que se vendería a $13.99.. 33. Raggs, Ltd., una empresa de confecciones, determina que sus ingresos totales a partir de la venta de. x. vestidos son dados por la función R( x)  200x  50 donde R(x) son los. ingresos en dólares, de la venta de. x. vestidos. Halle R(10) y R(100) .. 34. El monto en dinero en una cuenta de ahorros al 6%, compuesto anualmente, depende de la inversión inicial. x. y está dado por la función A( x)  x  6%x , donde A(x) es el monto. de una cuenta al final del año 1. Halle A(100) y A(1000) . Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 86.

(87) Función Cuadrática 35. Encuentra la función cuadrática que se ajusta a los puntos  2,5,  1,5 y 0,1 . Respuesta: f ( x)  2x 2  6x  1 36. Encuentra la función cuadrática que se ajusta a los puntos 1,6,  2,3 y 3,18 . 37. Un negocio obtiene ganancias de $38 el primer día, de $66 el segundo día y de $86 el tercero. El administrador dibuja los puntos 1,38, 2,66 y 3,86 . a) Encuentra una función cuadrática que se ajuste a estos datos. b) Utilizando la función, predice las ganancias para el cuarto día. 38. Un negocio gana $1000 el primer mes, $2000 el segundo mes y $8000 el tercero. El administrador dibuja los puntos 1,1000, 2,2000 y 3,8000 . a) Encuentra una función cuadrática que se ajuste a los datos. b) Utilizando la función, predice las ganancias para el cuarto mes. 39. Escribe un argumento convincente sobre por qué no hay una función cuadrática que se ajuste a los puntos 2,5,  8,5 y 10,5. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 87.

(88) Definición de Límite de una función. Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga un punto “a”, no teniendo que estar definida en “a” y L un número real. La igualdad :. f ( x ) = A se lee :. “ El límite de f ( x ) , cuando x tiende a “a”, es igual a L “, o “ f ( x ) tiende a “L” , cuando x tiende a “a”. También se puede escribir sin el símbolo de límite: f ( x )  L , cuando x  a . Esta simbología implica la idea de que f (x) puede hacerse tan próximo a L como queramos, con tal que x se elija suficientemente próximo a “a”. Se llama entorno del punto “a”, a cualquier intervalo abierto que contenga al punto “a” como su punto medio. Los intervalos:(2,6) ; (3,5) ; (3.9, 4.01 ) ; ( 3.99 , 4.01 ) ; (3.999 , 4.001) , son todos entornos del punto x = 4 . Entonces, podemos decir que el entorno del punto “a”, se puede representar de la siguiente manera: N (a) = (a -  , a +  ) En esta expresión,  representa un número positivo, generalmente tan pequeño como se quiera, llamado radio o semiamplitud del entorno. El entorno de “a” lo podemos expresar de tres formas diferentes: 1.. En forma de Intervalo. :(a-  ,a+ ).. 2.. En forma de Módulo. : xa <  .. 3.. En forma de desigualdad: a -  < x < a +  . Todas estas se representan de la misma. forma gráfica: ( a-. ) a+ . a. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 88.

(89) Si en la definición de entorno se excluye al punto “a”, se obtiene el entorno reducido: N’ (a) = { x / x. a-  <x < a+  ,x  a}.. Comprendido lo anterior, entremos a hablar de Límite, estudiemos la siguiente función: f (x ) =. x2 1 , esta función no está definida para x = 1 . Si evaluamos su comportamiento x 1. en un entorno reducido de 1, obtendremos:. X 0,5 0,9 0,99 0,999 0,9999. f ( x) 1,5 1,9 1,99 1,999 1,999. x 1,5 1,1 1,01 1,001 1,0001. f(x) 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001. Si x tiende a 1 por la izquierda. Si x tiende a 1 por la derecha,. f ( x ) tiende a 2 .. f ( x ) tiende a 2 .. x  1  f ( x)  2. x  1  f ( x)  2. En resumen se escribe: lim f (x) = 2. x 1. Y expresamos este concepto así: Se dice que la función f (x) =. x2 1 tiende al límite 1 ,cuando su variable x se acerca al x 1. valor 2 , si a cada entorno reducido N ( 2 ) corresponde un entorno reducido N’ ( 1 ) , tal que : f ( x )  N ( 2 )  x  N’ ( 1 ) , y en general , la definición de Límite es : Se dice que una función y = f ( x ) tiende al límite “L” , cuando su variable x se acerca al valor “a” , si a cada entorno N ( L ) , corresponde un entorno reducido N’(a), tal que : f (x)  N ( L ).  x  N ‘ ( a ).. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 89.

(90) Ejercicios propuestos Demostrar los siguientes límites:. 1. lim. 5 x 2  3x  2 = 7. x 1. 2. lim. 4 x 2  5x  6 = -11. x2. x 1. x  2. 3. lim ( 2x + 3 ) = 13. x 5. Teoremas sobre límites.. 1. Límite de una función lineal: Si f (x) = mx + b, entonces lim f(x) = lim (mx + b ) = x a. x a. m.a + b . 2. Límite de una constante: El límite de una constante es la misma constante. (es un corolario del anterior). 3. Límite de una suma algebraica de funciones: El límite de una suma algebraica de dos o más funciones es la suma algebraica de los respectivos límites. 4. Límite de un producto: El límite de un producto de dos o más funciones es igual al producto de los respectivos límites. 5. Límite de una potencia: El límite de una potencia es igual a la potencia del límite. 6. Límite de una raíz: El límite de una raíz es igual a la raíz del límite. 7. Límite de una constante por una función: El límite de constante por una función es igual a la constante multiplicada por el límite de una función. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 90.

(91) 8. Límite de un cociente: El límite de un cociente es igual al cociente de los límites, si el límite del denominador es distinto de cero. 9. Unicidad del límite: Si una función cualquiera f (x) tiene límite, ese límite es único. 10. Teorema del encaje: Si una función f (x) está constantemente comprendida entre otras dos funciones que tienen el mismo límite, entonces f (x) también tiene ese límite.. Ejercicios propuestos Evaluar los límites siguientes, citando en cada caso el teorema respectivo.. a) lim x4 x4. x 1 x4. b) lim. x 3. c) lim ( 2x – 1 ). d) lim. x 0. x 5. e) lim ( - x2 + x +2 x 0. ) f) lim. x4. ( x  1) x 3 4x 4  x. g) lim. x 3. x 1. ( x + 4 ) (5x – 1 ). h) lim. x  1. i) lim. t  1. t2 1 t. j) lim ( 3x3 + x 2 –x + 2) x  1. Infinitos e Infinitésimos. Considerando la función homográfica. y =. 1 , y asignémosle valores a la variable X x. y evaluemos como es su comportamiento. x 1 10 100 1000 10000 10n. f(x) 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 10-n. Escribiremos lim. x . 1 = 0. x. x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 10-n. f(x) 1 10 100 1000 10000 10n. Escribiremos lim x 0. Área Cuantitativa ENAHP-IUT. 1 = + x. Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García. 91.

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