Guía de Matemática I 2013

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Matemática I

1era versión Enero 2008 Autores:

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Área Cuantitativa ENAHP-IUT

Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García

2

Prefacio

En estos tiempos la importancia de la Matemática hace

imperativo conocer algo de naturaleza y función de la Matemática.

Quizá sea más fácil ver por qué estudiar Matemática si se detiene a

considerar por un momento en qué consiste la Matemática.

La Matemática se ocupa primero que nada de lo que pueda

realizarse mediante el razonamiento, y viene la primera

observación ¿Por qué debo aprender a razonar?, no hace falta para

comer, vestirse, compartir con el sexo opuesto y hasta lograr un

alcanzar un alto cargo en el trabajo; el hombre supo alimentarse,

vestirse y protegerse de la intemperie muchos siglos antes que

apareciera la Matemática

Para muchos, la Matemática es una manera de someter a prueba

la capacidad intelectual, a manera de ejemplo; dos parejas tienen

que cruzar un río en un bote donde sólo caben dos personas ¿Cómo

deben hacer para que en ningún momento queden juntos la mujer

con el hombre de la otra pareja? Este acertijo es de la época de los

griegos y los romanos y según Tartaglia, quien vivió en el siglo XVI,

refiere que eran pasatiempos de sobremesa.

Ahondar históricamente sobre la importancia de saber y

aprender Matemática, convertiría esta introducción en un libro

(3)

estudio y comprensión de por qué se debe estudiar y aprender

Matemática.

Esta Guía, que modestamente hemos elaborado, lo que pretende es

darte las herramientas necesarias para una introducción a la

Matemática Universitaria. No pretende sustituir a ningún libro

que puedas usar como texto en el Curso de Matemática I y

Matemática II, pero será de gran ayuda para mantenerte muy claro

en lo que debes conocer, saber y aprender para hacer más tranquilo

y placentero los cursos de Matemática que debes asistir.

Te daremos algunas sugerencias que te podrán ayudar para lograr

ser un buen estudiante de Matemática.

1. Haz tu mayor esfuerzo para seguir las explicaciones que da tu

profesor en clase.

2. Pregunta en clase sin miedo, no postergues tus dudas.

3. Presta atención a las preguntas que hacen tus compañeros de

clases, pueden ser tus dudas.

4. La asistencia a clases es muy importante, la inasistencia duplica

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7. Si no comprendes alguna explicación, pregunta, pregunta a tu

profesor hasta que te quede claro.

8. Haz un cronograma de estudio y cúmplelo.

9. Recuerda: Matemática es 90% teoría y 10% práctica, por lo que

se te sugiere leer y comprender la teoría, para hacer más sencilla

la práctica.

10. Al analizar un ejemplo, intenta resolverlo sin ver la solución

de otro ejemplo.

11. Recuerda lo siguiente: si quieres ser un buen estudiante en

Matemática, primero tienes que tener la disposición para serlo.

Ten presente estas máximas:

MATEMÁTICA: es una ciencia que establece relación entre

símbolos y se agota en ser instrumento de otras ciencias.

(J. Romero)

Quien no sabe a dónde va, ningún viento le es favorable. (Séneca).

Aprender sin pensar es inútil, pensar sin aprender es peligroso.

(Confucio).

Las cosas pueden ser tan sencillas como se quiera, pero no más

sencillas. (Einstein)

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Índice

Pág.

I Inecuaciones

7

Ejercicios y Problemas resueltos

10

Ejercicios y Problemas propuestos

26

II Geometría Plana

39

Ejercicios y Problemas resueltos

45

Ejercicios y Problemas propuestos

50

III Funciones

60

Ejercicios y Problemas resueltos

72

Ejercicios propuestos

74

Ejercicios y Problemas propuestos

81

IV Límites y Continuidad

88

Ejercicios propuestos

90

Ejercicios propuestos

91

Ejercicios propuestos

93

Ejercicios resueltos

103

(7)

INECUACIONES

LINEALES

Resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para 3x – 2 < 1

2

1

x

> 4 x + y 24 -2x + 1 x – 3 3x – 2 = 1

2

1

x

= 4 x + y = 24 -2x + 1 = x – 3

Ecuaciones Inecuaciones

Igualdades ( = ) Desigualdades ( < ,  ; > ,  )

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8 Ejemplos: Resolver: a) 3 x – 2 < 1

Despejando 3x – 2 < 1

3 x < 1 + 2 3 x < 3 x < 3 : 3

x < 1

Aplicando propiedades 3 x – 2 < 1 3 x – 2 + 2 < 1 + 2

3 1

3 x < 3 1

3 x < 1 Solución: S = ( -  , 1 )

Representación gráfica:

b) -2 x + 1  x – 3

- 2 x + 1  x - 3 - 2 x - x  - 3 - 1 - 3 x  - 4 x  - 4 : (- 3) x

3 4

Solución: S = [ 3 4

, +  )

Representación gráfica:

Las inecuaciones permiten resolver problemas. Veamos el siguiente ejemplo.

(9)

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta - peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 - 4 .x  415

Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:

w Restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad - 4 .x  415 - 875

w Hacemos el cálculo en el segundo miembro - 4 .x  - 460

w Para despejar x , multiplicamos a ambos miembros por

-4 1

(Cuidado: como multiplicamos por un número negativo,

debemos cambiar el sentido de la desigualdad) x

460

4

1

       

w Hacemos el cálculo x 115

Esto significa que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0.

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Ejercicios y Problemas resueltos

1

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12

3

3x-7 > 5-2x-4

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4

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14 -x ≤ 16

x ≥ -16

-16x-5x-4x-6x > -4-24-4 31x < 32

x < 32/31

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16

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8

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11

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(21)

14

15

3x-1 2

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22

17

x

2

-x-6 > 0

x2-x-6 = 0

x2-x-6 = 0

(23)

18

x-5 + 2x > 1 3 2

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24

19

xϵ(-1,∞)

(25)

20

21

3x+y ≤ 0

3x+y =0

x=1entonces y =-3, B(1,-3)

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1. Resolver las siguientes inecuaciones y representar el conjunto solución en la recta real: a) 2 x - 3 < 4 - 2 x b) 5 + 3 x  4 – x c) 4 - 2 t > t - 5 d) x + 8  3 x + 1 e) 2 . 

     2 1

-x > 3 x f )

3 1 4

2

a

a

g) 3 x - 12  4

6 -5x

h) 3 . ( 4 - x ) > 18 x + 5 i)

6 5 2 3 x x

x

j) 6 1 3 5 4 4

xx

k) -2

2 14 4 8 3 2 5   

x x

x

l) x - 2 > 0

m) - 2 0 7

1

2  

  x x x

n)

 

0

4 7 2 1 -. 4 3 3 1

2  

            x x

2. ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?

(27)

3. ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: x + 2 < 3 x + 1?

4. ¿Cuáles son los números cuyo triplo excede a su duplo en más de 20?

5. ¿Cuál es el menor número entero múltiplo de 4, que satisface la siguiente inecuación: x + 2 < 3 x + 1?

6. Sean A = { x/x  R  x + 1 < 4 } y B = (-  , 2 3

]  [3 , + ) . Determinar A  B.

7. Determinar: { x / x R  2 x - 4 > 0 }  { x / x R  3 - x 0 }

8. Resolver las siguientes inecuaciones:

a) 2x715 b) 2x917 c) x23x100 d) x240 e) x26x10 f) 0 9 7

2

x x

g) x 4x

3 7

2 h)

5 3 4

x i) 5 8 3 6

2x  x j)

5 2 4 3

8 x x

x    k)

x7



x2

0

l)

2x9



x1

0 m)

5x6



2x1

0 n) x

x8

0 o) x

72x

0 p) 8x

3x2

0

q) x x

1

r) x43x32x20 s)



0 10 4 2    x x x

t)



1 4 3 1 4    x x x u) 2 3 1 2   x x

v) 2 3x

x w) x x x x 1 3 2

 

x) x83 y) 9t81 z) 0.3x18 aa) 9x8.1 bb) 8y3.2

cc)

8 5 4 3

x dd)

4 3 6 5

y ee) 5y2y21 ff) 0.2y12.4y10 gg) x 3x

8 3 8 1

3   

hh) x x 10 1.25x

4 13 3

2     ii) 4

3y2

 

92y5

jj) 4m514

m2

kk)

y3



y3

0

ll) y

y5

0 mm) 0 3 3   x x

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11. En tu nuevo empleo te ofrecen dos planes de pagos distintos.

Plan A: Un salario mensual de $600 más una comisión de 4% sobre el total de ventas. Plan B: Un salario mensual de $800 más una comisión de 6% sobre el total de ventas una vez rebasados los $10000.

¿Para qué cantidad del total de ventas es mejor el plan A que el Plan B, suponiendo que el total de ventas es siempre superior a los 10000 dólares?

12. Un automóvil se renta por $13.95 diarios más $0.10 por milla. Tu presupuesto diario para la renta de automóviles es de $76.00. ¿Para qué millaje te puedes mantener dentro del presupuesto?

13. Vas a invertir $25000, una parte al 14% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que puedes invertir al 14% para hacer que el pago de intereses al cabo de un año sea al menos $3600?

14. Vas a invertir $20000, una parte al 12% y otra al 16%. ¿Cuál es la máxima cantidad que puedes invertir al 12% a fin de que el interés al cabo de un año sea al menos $3000?

15. En tu nuevo trabajo te pueden pagar de dos formas distintas.

Plan A: Un salario mensual de $500 más una comisión de 4% sobre el total de ventas. Plan B: Un salario mensual de $750 más una comisión de 5% sobre las ventas que superen los $8000.

¿Para qué monto de ventas totales es mejor el plan B que el Plan A, suponiendo que el total de ventas es siempre superior a los 8000 dólares?

16. Representar gráficamente.

a) 1x6 b) 0y3 c) 7y3 d) 9x5

17. Resolver las siguientes inecuaciones.

a) 2x28 b) 1x16 c) 12y59 d) 103x51 e) 53x2035 f) 4a2a13a4 g)

15 2 5 2 3 2 15

2

(29)

18. Resolver y representar gráficamente.

a) x 3 b) x5 c) x 2 d) t 5.5 e) m0 f) 2x34 g) 2y710

h) 3y48 i) m5916 j) t734 k) 3x42 l) x68

m)

6 1 3 9

5

x n)

4 3 8 4 1

1 x  o) x5x p) 2 x15 q) x1 x3

19. Hallar y representar en la recta los números reales que verifican:

a)x - 4 > 2 b)x + 2 3 c) 4 - x > 0 d) 0 < x + 3 < 1 e) 0 < x - 3 <

4 1

f) 12 - 4 x > 3 g) 4 x - 3 5 h) - 3 x + 6 < 2

i) 1 + 2 x 2 1

j) 3 - x - 5  0 k) - 2 x + 1 + 8 < 0

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24.

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Resolver los ejercicios 3-2 del 1 al 20 del libro de Arya – Lardner (3° edición)

(39)

Distancia entre Dos Puntos del Plano

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = está dada por:

(1)

Coordenadas del Punto Medio de un segmento

Considerando el segmento cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2),

las coordenadas e representan las coordenadas del

(40)

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b) Si Les una recta no vertical, la PENDIENTE de la recta L, denotada por m, se define como el valor de la tangente de su ángulo de inclinación. Es decir, (1). (fig. 1)

Siendo , (0° ) , 2

      El número m se conoce también con el nombre de COEFICIENTE ANGULAR de la recta L

Observaciones:

1) Si la recta L es vertical, su ángulo de inclinación es 90º y por lo tanto su pendiente m = tan 90º no está definida.

(a) (b) fig. 1

2) Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L (fig. 3 (b)), entonces de acuerdo a la definición de pendiente se tiene:

(2)

(41)

3) El nombre de pendiente de una recta está justificado. Cuando se dice que un camino tiene la pendiente 5%, significa que por cada 100 unidades horizontales asciende 5 unidades, es decir, el cociente de las ordenadas por las abscisas correspondientes es 5/100.

4) La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de inclinación de la recta, así:

Si Ө= 0o entonces m= 0 (fig. 2. (a)) Si 0o <Ө< 90o entonces m > 0 (fig. 2. (b)) Si 90º < Ө< 180o entonces m < 0 (fig. 2. (c))

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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su

pendiente. Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene que: y – y1 = m1 (x – x1) (1) representa la ecuación de dicha recta.

Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface su ecuación.

Esto es y2 – y1 = ; de donde (2)

Sustituyendo (2) en (1) se obtiene

(3)

La ecuación (3) se conoce como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta. Observaciones

(43)

Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por:

B) Si (x, y) es un punto cualquiera de la recta determinada por P1(x1y1) entonces la ecuación de la resta (3) también puede escribirse en forma de determinante, así:

= 0.

Ecuación segmentaria de la línea recta

Considere la recta L de la cual conocemos los intersecciones a y b con los ejes x e y respectivamente (fig. 3)

fig. 3.

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La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LAS INTERSECCIONES de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1) y = 0, resulta x = a (Intersección con el eje x); x = 0, resulta x = b (Intersección con el eje y)

La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y.

La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1), A, B, C R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.

ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO

ENTRE RECTAS

Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: 1) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2

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Ejercicios y Problemas resueltos

1

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3

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6

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1. Encontrar la longitud y la pendiente de los segmentos de recta que une cada par de puntos:

a) (3, -2) y (9, 6) b) (4, -3) y (-1, 9) c) (8, -4) y (-7, 4) d) (5, -8) y (-7, 8).

2. Demostrar que los puntos A(6, 1), B(1, 7) y C(-4, 1) son los vértices de un triángulo isósceles.

3. Igual que el ejercicio 2 con los puntos A(8, 9), B(-6, 1) y C(0, -5).

4. Dado el cuadrilátero cuyos vértices son P1(-7, 7), P2(2, 0), P3(10, 3) y P4(1, 10). Encontrar la longitud de sus cuatro lados y demostrar que es un paralelogramo.

5. Demostrar que los puntos P1(0, 5), P2(6, -3) y P3(3, 6), son vértices de un triángulo rectángulo. Hallar su área.

6. Si la pendiente de la recta que une los puntos: a) A(X1, -1) y B(2, 5) es 3, encontrar X1.

b) A(6, -1) y B(10, Y1) es , encontrar Y1.

7. Los vértices de un triángulo son los puntos A(3, 5), B(-5, 1) y C(1, 7). a) Localizar los puntos medios de los lados.

b) Localizar el punto de intersección de las medianas.

c) Demostrar que el segmento que une los puntos medios de cualquier par de lados es paralelo al tercer lado y es la mitad de su longitud.

8. Tres vértices de un paralelogramo son los puntos (1, -2), (7, 3) y (-2, 2). Encontrar el cuarto vértice.

9. Localizar los vértices de un triángulo sabiendo que los puntos medios de los lados son los puntos (2, -1), (8, 4) y (-1, 3).

10. Sabiendo que las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(-4, 8), B(3, -6), hallar las coordenadas del tercer vértice sabiendo además que las coordenadas donde se cortan las medianas es G(2, 6).

(51)

11. Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos: a) 0(0, 0), A(9, 2) y B(1, 4) es rectángulo.

b) A(8, -1), B(-6, 1) y C(2, -7) es rectángulo.

12. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 3) y cuya pendiente es 2.

13. Encontrar la ecuación de la recta que pasando por el punto (1/3, 2/3) tenga pendiente infinita.

14. ¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta de ecuación: 2x – 3y + 7 = 0 en el punto medio del segmento comprendido entre los ejes coordenados?

15. Encontrar las áreas de los triángulos cuyos vértices son:

a) (0, 0), (2, 4) y (-1, 6) b) (-2, -1), (-4, -6) y (-1, -3) c) (3, 4), (-2, 1) y (1, -5)

16. Considere el triángulo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(0, 3) y C(1, 2). a) Encuentre las ecuaciones de las medianas.

b) Encuentre las ecuaciones de las alturas.

c) Encuentre las ecuaciones de las mediatrices del triángulo.

d) Localice el baricentro, ortocentro, baricentro y el circuncentro del triángulo.

17. Se dan los puntos: A(2,7) y B(6,4). Se pide

a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y B, en su forma reducida. ¿Cuánto vale la ordenada en el origen?

b) Escribir la ecuación en la forma general, ¿cuánto valen A, B y C? c) Verificar si el punto M (2,7), pertenece a la recta.

d) Si un punto de abscisa 3 pertenece a la recta, ¿Cuánto vale su ordenada? e) Si un punto de ordenada -4 pertenece a la recta, ¿Cuánto vale su abscisa? f) ¿En qué punto corta la recta al Eje X?

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Punto Medio de un Segmento

18. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento cuyos extremos son

3,5

 

y 4,7

. Respuesta:

   

 , 1

2 1

19. Sean los puntos A (-3,5) y B (0,- 4), halla el punto medio del segmento AB.

20. Encuentra las coordenadas del punto medio de cada uno de los siguientes segmentos cuyos extremos se indican.

a)

4,7

 

y 3,9

b)

2,0

  

y 3,0 c)

  

a,b y a,b

d)

c,d

  

y c,d

21. Encuentra el otro extremo de un segmento que tiene por extremo al punto

3,7

y por punto medio

7,3

.

Distancia entre dos Puntos

22. Encuentra la distancia entre los puntos

  

8,7 y 3,5

. Respuesta:13

23. Encuentra la distancia entre los puntos que se indican.

a)

  

2,2 y 2,2

b)

0,7

 

y 3,4

c)

a,3

 

y 2a,5

d)

5,2k

 

y 3,k

e)

   

0,0 y a,b

f)

2, 3

y  0,0 g)

a, b

 

ya, b

h)

cd,cd

 

y cd,dc

La Recta

24. La ecuación de la recta que pasa por los puntos     

 ,0

3 2

y 

     2 5 ,

0 es: ?

Respuesta: 4 10 15   x y

25. La ecuación de la recta que pasa por el punto

3,2

y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos

1,3

y

 

8,7 es: ? Respuesta:

10 7 9    x y

26. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,7) y B (-3,2) es: ? Respuesta: 5x - 4y + 23 = 0

(53)

28. Escribe la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,5) y es perpendicular a la recta 2x + y = -3.

29. Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos

8,6

  

; 3,6 .

30. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,-2) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (-1,-3) y (3,7).

31. Si dos rectas no se cortan en ningún punto del plano que las contiene, entonces las rectas son:

a) Secantes

b) Perpendiculares c) Paralelas

d) De distinta dirección e) Alabeadas

32. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones son lineales? Si una ecuación no es lineal, di por qué.

a) xy9 b) 2r74s c) 4x37y d) 8x17yy e)

p

q3 f) 4x3

33. Representa gráficamente.

a) 4x5y20 b) 2x6y2 c) y2x d) yx e) y x

2 5

f) x4 g)y3 h) y0

i) 3y90 j) 3x150 k) 0.4y0.004x0.04 l)

11 2 3 7   y x

34. Calcula la pendiente, si existe, de la recta que pasa por cada par de puntos.

(54)

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54

36. Encuentra la ecuación de la recta que contiene al punto dado con la pendiente indicada. a)

 

3,2;m4 b)

 

4,7 ;m2 c)

5,2

;m1 d)

2,4

;m3 e)

2 1 ; 4 , 6   m

f)

 

3 4 ; 1 ,

3 m g)

0,7

;m0

37. Determina si los tres puntos son colineales.

1,1

   

,B 2,2,C 3,4

A

38. Determina el número a de modo que la pendiente de la recta que pasa por los dos

puntos tenga el valor indicado.

 

12 5 ; , 4 , 3 ,

2  

a a m

39. Una recta pasa por los puntos

100,4

  

y 0,0 . Enumera otros cuatro puntos de la recta.

40. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por

2,3

y tiene la misma pendiente que la recta 3x4y10.

41. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por

3,4

y tiene pendiente 2. Si la recta

contiene a los puntos

   

a,8 y 5,b , encuentra ayb.

42. Escribe una ecuación de la recta que tiene abscisa al origen de -3 y ordenada al origen de 2/5.

43. Determina si las gráficas de cada par de ecuaciones son rectas paralelas. a)         3 4 x y y x b)         7 4 3 4 y x x y c)        10 8 2 5 4 x y x y

44. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por

4,2

y es paralela a la recta que pasa por

1,4

 

y 2,3

.

45. Encuentra una ecuación de la recta que pasa por

1,3

y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos

3,5

 

y 2,7

.

46. Utiliza pendientes para mostrar que el triángulo con vértices

2,7

    

, 6,9 y 3,4 es un triángulo rectángulo.

(55)
(56)

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56 10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

(57)

20.

(58)

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58 27.

35. 34. 33. 32. 30.

31. 28.

(59)

Resolver los ejercicios de la Sección 1.4 del N ° 55 al 60 del libro de Bittinger

(7° Edición)

Resolver los ejercicios de la Sección 4.4 del N °1 al 14 del libro de Arya- Lardner.

( 3° Edición.)

Resolver los ejercicios de la Sección 1.3 del N ° 35 al 46 del libro de Hoffman-Bradley

(60)

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60

Intuitivamente se considera que la cantidad y es función de la cantidad x, si existe alguna regla, ley o procedimiento que permita asignar un valor único de y, para cada valor que se considere de x, dentro de cierto conjunto posible de valores. Muchas veces es posible expresar dicha regla o ley por medio de una ecuación matemática como ocurre por ejemplo, con el área y de un círculo, en función del radio x ; yx2; otras veces es difícil o aún imposible hallar la fórmula matemática que relaciona las variables x e y aunque siga siendo posible la asignación de un valor único de y para cada valor de x.

Una Variable es un símbolo que representa a un elemento no especificado de un conjunto dado, el cual se llama Conjunto Universal, o simplemente, Universo de la variable considerada. Cuando el Universo de la variable es un conjunto unitario, variable se llama Constante.

Una Relación es un conjunto de pares ordenados, cuyas componentes son los elementos de cierto Universo. Al conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que forman la relación se le llama Dominio y al formado por las segundas componentes se le llama Rango.

Lo que interesa realmente es poder determinar un conjunto de pares ordenados (x, y), independientemente de si la ley o regla que relaciona las variables x e y es de tipo matemático, empírica o simplemente descriptiva

Definiciones.

(61)

Se usan indistintamente los símbolos:

o para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B. Al conjunto A se le llama: dominio de la función y se denotará por el símbolo D(f). Igualmente, al subconjunto de B, formado por todas las imágenes de los elementos de A, se le llama: rango de la función y se denotará por el símbolo R(f).

Para los conceptos del cálculo que se desarrollarán posteriormente, los conjuntos A y B mencionados anteriormente son por lo general, subconjuntos de R, de esta forma la función:

se llamará función real de variable real.

En la expresión que expresa la correspondencia entre los elementos x de A con los y de B, la letra x se llama: variable independiente y la letra y: variable dependiente. En el siguiente ejemplo, se ilustran los conceptos establecidos hasta ahora.

Considere por ejemplo los conjuntos:

(62)

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62

La imagen del elemento b mediante f es 3. Es decir, f(b) = 3 La imagen del elemento c mediante f es 7. Es decir, f(c) = 7 La imagen del elemento d mediante f es 0. Es decir, f(d) = 0 La imagen del elemento e mediante f es 5. Es decir, f(e) = 5 .

Ahora, y R f( )

0,3,5, 7

En lo sucesivo, cuando no se mencionen los conjuntos A y B de una función, sino, solamente la regla o correspondencia, entre sus elementos, se entenderá que tanto A como B son subconjuntos de números reales. En este caso, se dice que el dominio es el conjunto de números reales para los cuales tiene sentido la "regla" o "correspondencia", o más precisamente, los valores para los cuales f(x) es un número real.

En las aplicaciones, es frecuente que una gráfica muestre con mayor claridad que una ecuación o una tabla, la relación que existe entre las variables de una función. Las ecuaciones y tablas que corresponden a una función, por lo general, requieren algunos cálculos e interpretaciones, antes de poder ver con claridad todo tipo de información contenidas en ellas.

Cuando la regla que define una función f está dada mediante una ecuación que relaciona las variables x e y, la gráfica de f, es la gráfica de la ecuación, es decir, el conjunto de puntos (x, y) del plano cartesiano que satisfacen la ecuación.

Definición.

Sea una función real de variable real. La gráfica de f es el conjunto de puntos tales que la pareja ordenada (x, y) pertenece a f. Es decir, Gráfica de f = { (x, y) / y = f(x), x D(f) }

(63)

la siguiente manera: ninguna recta vertical puede cortar su gráfica en más de un punto. (Criterio de la recta vertical)

Así por ejemplo, la gráfica de la figura 1(a) corresponde a la gráfica de una función (la recta vertical solo corta la gráfica en el punto A); mientras que la figura 1(b) no corresponde a la gráfica de una función. Nótese que la recta vertical, corta la gráfica en más de un punto: A, B y C.

FUNCIONES ESPECIALES

Función Polinómica de grado n.

f :

donde a0, a1, a2,...,an son números reales.

CASOS PARTICULARES: La función definida por: y = f(x) = a0 (a0 una constante) se

(64)

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64

La función definida por: y = f(x) = a0 + a1x, se llama: función lineal

La función definida por: y = f(x) = x, se llama: función identidad y su gráfica corresponde a una recta que pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el semieje positivo x

Función Lineal.

f : que corresponde a la línea recta de

pendiente m, e intersección b con el eje y.

Función Cuadrática.

f :

, donde a, b, c y que corresponde a una parábola abierta hacia arriba o hacia abajo según el signo de la constante a.

En la fig. 2, aparece la gráfica de la parábola y = ax2 + bx + c, de acuerdo al signo de a. Igualmente, como caso particular, se ha trazado la curva y = x2 (fig. 2(c))

(65)

Ramas de Parábola:

La ecuación en forma implícita y2 = x, corresponde a una parábola abierta hacia el eje x positivo y cuyo vértice y foco son respectivamente los puntos V(0, 0) y F(1/4, 0). Su gráfica no es una función (criterio de la recta vertical), sin embargo, genera dos funciones llamadas: ramas de parábola cuyas definiciones y gráficas se describen a continuación:

y2 x Rama Superior de la Parábola.

Rama Inferior de la Parábola.

La ecuación en forma implícita x . y = 1, corresponde a una curva llamada: hipérbola equilátera, función homográfica y genera la función: f : -{0}

(66)

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66

La función definida por: y = f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3, se llama: función cúbica. Dentro de estas cúbicas se destaca una por el uso que se hace de ella en las aplicaciones. Se habla de la función: y = f(x) = x3, llamada: parábola cúbica y cuya gráfica aparece en la figura.

Función Parte Entera o Escalonada.

f : Z

donde n es un número entero tal que . La gráfica de la función se muestra en la figura. y está constituida por una serie de segmentos unitarios faltándole a cada uno su extremo derecho.

Función Definida a Trozos.

f :A

(67)

CASOS

PARTICULARES

Función Valor Absoluto.

f :

La gráfica de la función valor absoluto, está formada por las rectas perpendiculares y = x e y = -x.

Función Racional.

f :

(68)

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68

Función Exponencial de base

a

.

Definición: Una función exponencial es una función de la forma yax, donde a0 y 1

a  .

1) f(x) = 2x 2) f(x) = (2-1)x = 2-x

Nota: Cuando (la base) a > 1 entonces la función exponencial es una función creciente, como lo es f(x) = 2x. Mientras que cuando a < 1, la función exponencial es una funció n decreciente, como lo es f(x) = 2-x.

Algunas características de las funciones exponenciales crecientes: 1) El Dominio es el conjunto de los números reales.

2) El Rango es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores negativos. 4) Todas las funciones intersectan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

6) El límite de y = ax cuando x disminuye indefinidamente se aproxima a cero, esto es,

Algunas características de las funciones exponenciales decrecientes: 1) El Dominio es el conjunto de los números reales.

0 2 4 6 8 10

-5 0 5 0

2 4 6 8 10

(69)

2) El Rango es el conjunto de los números reales positivos.

3) El valor de y se acerca a cero pero nunca será cero, cuando x toma valores positivos. 4) Todas las funciones intersectan al eje y en el punto (0,1).

5) Son funciones continuas.

6) El límite de y = a-x cuando x aumenta indefinidamente se aproxima a cero, esto es,

Ya sabes calcular y = ax (función exponencial) para todo número real x.

f :

Función Logarítmica de base

a

.

f :

Definición: El logaritmo de un número y es el exponente al cual hay que elevar la base a

para obtener y. Esto es, si a > 0 y a≠1, entonces logay = x si y sólo si y = ax. Nota: La ecuación logay = x se lee "el logaritmo de y de base a es x".

Ejemplos:

(70)

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70

Propiedades de los logaritmos comunes: Para a > 1.

1) loga 1 = 0 2) loga a = 1

3) loga (u v) = loga u + loga v

5) loga (un) = n loga u

6) loga M = loga N, entonces M = N Ejemplos para discusión:

1) Halla el valor de x si log2 x - log2 (x - 8) = 3.

2) Resuelve para x la ecuación: log8 3 + ½ log8 25 = log8 x . Ejercicio de práctica: Resuelve log4 (x + 1) - log4 (3x - 2) = 2.

Función Exponencial Natural.

La letra a que aparece en la función exponencial se llama la base. La base puede ser cualquier número real positivo (ver definición de función exponencial). Sin embargo, hay casos donde se usa como base un número irracional denotado por e = 2.71828...

La función exponencial f(x) = ex se conoce como la función exponencial natural. Su gráfica es:

0 5 10 15 20 25

(71)

Logaritmo natural:

También podemos formar logaritmos con base e. Estos se llaman logaritmos naturales. Se representan por el símbolo ln. De manera, que si y = ex, entonces x = loge y = x.

El logaritmo natural tiene todas las propiedades para logaritmos con base general a. En particular:

1) ln (u v) = ln (u) + ln (v)

3) ln un = n ln u 4) ln e = 1 5) ln 1 = 0

Ejemplos para discusión:

(72)

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72

Ejercicios y Problemas resueltos

1

(73)

3

(74)

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74

Escribe cada ecuación exponencial a la forma logarítmica y viceversa: 1) 23 = 8

4) log10 0.01 = -2 5) ln 2 = 0.6931... 6) ln 0.5 = -0.6931... Halla el valor de x: 7) log10 1000 = x

9) log3 x = -1 10) logx 27 = 3

12) log3 x + log3 (x - 2) = 1 13) x - 3 = log2 32

14) x2 - x = log5 25

(75)

Dibuja la gráfica de: 15) f(x) = 3x

16) y = 3-x

Usa las propiedades de los logaritmos para escribir cada expresión dada como una suma, diferencia o múltiplo de logaritmos.

17) log2 xyz

22) ln 3e2

Escribe cada expresión con un único logaritmo: 23) log3 (x - 2) - log3 (x + 2)

24) 3 ln x + 2 ln y - 4 ln z

25) 2[ln x - ln (x + 1) - ln (x - 1)]

FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES

(76)

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76

Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:

OPERACIONES CON FUNCIONES.

Definición.

Sean f, g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definir las siguientes operaciones:

SUMA:

DIFERENCIA: PRODUCTO:

COCIENTE:

NOTA:

En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES:

(77)

Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir

El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier x A mediante f, y luego obtener la imagen de f(x) B mediante g

Definición.

Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función:

g o f :

(78)

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78

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general: (g o f)(x)  (f o g)(x).

Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.

Esto es, D(f) =

Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:

; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + ) Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO.

Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO.

También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.

Es decir, D(g) = [0, + ).

Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:

D(f o g) = [0, + ).

En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.

(79)

P(x) = (g o f)(x) siendo y

P(x) = (g o f)(x) siendo y

En efecto, en el primer caso, y,

en el segundo.

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

FUNCIONES MONÓTONAS.

Sea f(x) una función definida en [a, b].

f es creciente en [a, b] si y solo si se cumple que: . .

f es decreciente en [a, b] si y solo si se cumple que: . .

(80)

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80

FUNCIONES INYECTIVAS.

Una función f es inyectiva (uno a uno) si se cumple que:

.

o equivalentemente, . .

En otras palabras, una función f es 1-1, si para cada x en el dominio f, existe exactamente una y en el rango, y, ninguna y en el rango es imagen de más de una x en el dominio.

Existe también un criterio sencillo para determinar si la gráfica de una ecuación corresponde a una función 1-1. Este criterio se conoce como:

Criterio de la recta horizontal.

Si toda recta horizontal corta a la gráfica de una función f en uno y solo un punto, entonces f es 1-1

Así por ejemplo, en la fig. 14. (a), aparece la gráfica de la función y = f(x) = x2 + 1 la cual de acuerdo al criterio de la recta horizontal no corresponde a una función 1-1.

Nótese que la recta y = 2, corta la gráfica en más de un punto: P1(-1, 2) y P2(1, 2) y de acuerdo al criterio de la recta horizontal, corresponde a una función 1-1.

(81)

Nótese que toda recta horizontal, corta a la gráfica en uno y solo un punto.

Si se analiza un poco más la gráfica de la función en la fig. 14 (b), se nota además que f es una función creciente en su dominio como toda función creciente (o decreciente) siempre tendrá valores diferentes de y, para valores distintos de x, se sigue entonces que toda función creciente (decreciente) en su dominio es 1-1.

1. ¿Cuál es el dominio de cada una de las siguientes funciones? a) f(x) x2x1 Respuesta: R

b)       

ln 1 3

) (

x x

f Respuesta:

 

3,

c) 27 3 2 ) ( 3   x x x

f Respuesta: R- 3

d) 2 3 2 ) (    x x x

f Respuesta: 

 

  

 ,2 2,

2 3 e) 1 ) ( 2   x e x x

f Respuesta: R- 0

f) 2 3 7 3 )

( 4 2

    x x x x

f Respuesta: R-

1,1, 2, 2

(82)

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82 u) f(x) =

7 6 1 3   x

x v)

 

4 7 

x x

f w) f x 3x2 x)

 

x x

f 42 y)

 

3 1   x x f z)

 

8 5 1   x x

f aa)     

x x x x f    3 1

bb)

    

1 2 4 4 3     x x x x x

f cc) f

 

xx3x2x2

2. En la función 3 2

( ) 5 8 4

f xxxx , comprobar que f(1) f(2).

3. En la función f x( ) x 1 x

  , hallar: 1) (0) ; 2) (f f h1); 3) ( ) 1f h  .

4. En la función f x( )2 ,x demostrar que ( 3) (4) ( 1) f a f f a    .

5. En la función ( ) 2 2 x f x x  

 , hallar:

1 1

1) ( ); 2) ( ) f

x f x

6. En la función: f x( )x3 , hallar f x( h) f x( ) h

 

7. En la función: f x( )x2 2x3, hallar f x( h) f x( ) h

 

8. Halle el dominio, rango y grafique las siguientes funciones:

9. Si f(x) = x+1 y g(x) = x+4, encontrar lo siguiente:

(83)

10. Si f(x) = x (x-1) entonces f(-x) es igual a: a) f(x-1)

b) -f(x) c) f(1-x) d) f(x) e) f(x+1)

11. Si f(x) = 2x+2 y g(x) = 3x, entonces g(f(-8)) es igual a: a) -17

b) -14 c) -24 d) -42 e) -18

12. Si f(x)=xx

3

2

y g(t)=

t t

3 4

2

, f(7) – g(3) resulta: ?

13. Dadas f, g y h definidas como f(x)x29, g(x) 2x7, h(x)5x, evaluar: f(7), g(5x), h(3a+2), g(x2+3) y g(f(x+5)).

14. Sean f(x)= 2x+5 y g(x)=7-3x, calcular: (f+g)(3), (f-g)(2), (f.g)(-2) y (f/g)      

3 1

.

15. Si f(x)2x26 y g(x)7x2 encontrar:

gf

 

4 ,

ff

 

3 ,

gg

 

2 ,

gf

 

5 ,

    

3 1

f

(84)

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84

17. Determinar cuáles de los puntos siguientes están sobre la gráfica de

x x x

f( ) 1

a) (1,2) b) (2,7/2) c) (-1,0) d) (-2,-5/2) e) (3,10/3)

18. Graficar la función: f(x) = 3x2-5x-1

19. Graficar la función: f(x) =

x       3 1

20. Hallar la intersección con los ejes de cada una de las siguientes funciones: a) f(x)x3x b) f(x)ln

2x6

c) f(x)x3 x d)

1 3 ) (   x x

f e) f(x)e2xex20

f) 2 1

)

(xx x

f g) f(x)x44x3

21. Representar gráficamente las siguientes funciones. a) y2x b)

x y        2 1

c) y

 

0.4x d) y

 

1.5x e) y2x1 f) y3x g) y2x1

h) x x

y2 2 i) ye2x j) ye0.5x k) ye2x l) ye0.5x

22. Representar gráficamente las siguientes funciones.

a) ylog2x b) ylog10x c) ylog1.5x d) ylog3.5x e) ylog2

x1

f) ylog3

x2

g) ylog2 x

23. Utilizar una calculadora para estimar con seis lugares decimales el valor de cada uno de los siguientes números.

a) 23 b) 23.1 c) 23.14 d) 23.141 e) 23.1415 f) 23.14159

24. Utilizar una calculadora para determinar en cada pareja cuál número es más grande. a) 5o 5 b) 3 3

8 8 o

25. Representar gráficamente.

a)             2 6 2 2 0 4 0 4 ) ( 2 x para x x para x x para x

f b)

(85)

c)         3 1 3 2 ) ( 2 x para x para x x

f d)

              3 10 3 2 1 2 3 ) ( 2 x para x x para x para x x f e)        0 1 0 1 ) ( x para x para x

f f)

     entero no x para entero un x para x f 2 2 ) (

Función Lineal

26. Los costos fijos mensuales para producir un artículo son de $2000000 y los costos variables por unidad son de $ 5000; si el precio de venta por unidad es de $9000. Hallar:

a) Ecuaciones de costos e ingresos en función del número de unidades y representarlas en un mismo plano.

b) Punto de equilibrio. c) Función de utilidad.

d) ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para obtener una utilidad mensual de $ 1500000?

27. Dadas las ecuaciones p + q = 100 y p - q = 20.

a) Identifique cuál corresponde a oferta y cuál a demanda, explique qué significan sus coeficientes.

b) Explique para p = 40 y p = 80 ¿qué sucede?

c) Halle el punto de equilibrio y represente en un mismo plano las dos ecuaciones.

28. Una máquina se adquiere por $ 12000000 y se deprecia en 15 años, hallar: a) P(t)

(86)

Área Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García

86

30. En 1950, la demanda de gas natural en Estados Unidos era de 20 billones de joules. En 1960 la demanda era de 22 billones de joules. Sea D la demanda de gas natural t años

después de 1950.

a) Ajusta una función lineal a los puntos dados.

b) Utiliza la función para predecir la demanda de gas natural en el año 2005.

31. Un contador determinó cinco pagos diferentes de impuestos en un año específico. Éstos eran los impuestos municipales para cinco ingresos distintos.

Ingreso (en miles de dólares) 8 15 25 40 75 Impuestos (en dólares) 24 70 180 300 560

Si una función lineal se ajusta a los datos, determínala, predice el impuesto que se debe pagar correspondiente a un ingreso de $55000, y predice el ingreso correspondiente a un impuesto de $240.

32. Cierto café instantáneo se vende en envases de distintos tamaños. Éstos eran los precios para cada uno de ellos en un supermercado.

Onzas 2 6 10 16 32

Precio $0.95 $2.15 $3.29 $4.89 $8.99

Si una función lineal se puede ajustar a los datos, determínala, predice el precio de un envase de 24 onzas y predice el tamaño de un envase que se vendería a $13.99.

33. Raggs, Ltd., una empresa de confecciones, determina que sus ingresos totales a partir de la venta de x vestidos son dados por la función R(x)200x50 donde R(x) son los

ingresos en dólares, de la venta de x vestidos. Halle R(10) y R(100).

34. El monto en dinero en una cuenta de ahorros al 6%, compuesto anualmente, depende de la inversión inicial x y está dado por la función A(x)x6%x, donde A(x) es el monto

(87)

Función Cuadrática

35. Encuentra la función cuadrática que se ajusta a los puntos

2,5

 

, 1,5

  

y 0,1. Respuesta: f(x)2x26x1

36. Encuentra la función cuadrática que se ajusta a los puntos

  

1,6 , 2,3

  

y 3,18 .

37. Un negocio obtiene ganancias de $38 el primer día, de $66 el segundo día y de $86 el tercero. El administrador dibuja los puntos

  

1,38 , 2,66

  

y 3,86 .

a) Encuentra una función cuadrática que se ajuste a estos datos. b) Utilizando la función, predice las ganancias para el cuarto día.

38. Un negocio gana $1000 el primer mes, $2000 el segundo mes y $8000 el tercero. El administrador dibuja los puntos

1,1000

 

, 2,2000

 

y 3,8000

.

a) Encuentra una función cuadrática que se ajuste a los datos. b) Utilizando la función, predice las ganancias para el cuarto mes.

(88)

Área Cuantitativa ENAHP-IUT Adaptación y Compilación: Prof. José Neptalí Lugo García

88 Definición de Límite de una función.

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga un punto “a”, no teniendo que estar definida en “a” y L un número real. La igualdad : f ( x ) = A se lee : “ El límite de f ( x ) , cuando x tiende a “a”, es igual a L “, o “ f ( x ) tiende a “L” , cuando x tiende a “a”. También se puede escribir sin el símbolo de límite:

f ( x )  L , cuando x a . Esta simbología implica la idea de que f (x) puede hacerse tan próximo a L como queramos, con tal que x se elija suficientemente próximo a “a”.

Se llama entorno del punto “a”, a cualquier intervalo abierto que contenga al punto “a” como su punto medio. Los intervalos:(2,6) ; (3,5) ; (3.9, 4.01 ) ; ( 3.99 , 4.01 ) ; (3.999 , 4.001) , son todos entornos del punto x = 4 . Entonces, podemos decir que el entorno del punto “a”, se puede representar de la siguiente manera: N (a) = (a - , a +  ) En esta expresión,  representa un número positivo, generalmente tan pequeño como se quiera, llamado radio o semiamplitud del entorno. El entorno de “a” lo podemos expresar de tres formas diferentes:

1. En forma de Intervalo : ( a -  , a + ) . 2. En forma de Módulo : xa <  .

3. En forma de desigualdad: a -  < x < a +  . Todas estas se representan de la misma forma gráfica:

Figure

Actualización...

Referencias

  1. http://usuarios.lycos.es/juanbeltran/id412_m.htm
  2. http://ocw.unizar.es/ciencias-sociales-y-juridicas/curso-cero-de-matematicas-para-estudiantes-de-empresariales/materiales/Materiales/Ejercicios/Unidad2/u2inecreto.pdf
  3. http://encina.pntic.mec.es/rroc0001/cidead/hojas1t4_9.pdf
  4. http://matematicasjjp.webcindario.com/inecuaciones_resueltas.pdf
  5. http://www.companiademariajerez.com/web/wp-content/uploads/2012/02/Inecuaciones-con-una-inc%C3%B3gnita.pdf
  6. http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/inecuaciones/impresos/quincena5.pdf
  7. http://fcqi.tij.uabc.mx/usuarios/giovana/2_1_Funciones-es.pdf
  8. http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/maria_victoria/funciones.pdf
  9. http://amolasmates.es/pdf/Temas/1BachCT/Tipos%20de%20funciones.pdf
  10. http://fp.educarex.es/fp/pruebas_acceso/gs_contenidos_matematicas/U6_Funciones.pdf
  11. http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/4esomatematicasB/funciones1/impresos/quincena8.pdf
  12. http://www.alcaste.com/departamentos/matematicas/secundaria/Tercero/07_08_funciones_f.lineal/funciones.pdf
  13. http://www.fic.umich.mx/~lcastro/graficas%20de%20funciones.pdf
  14. http://www.sectormatematica.cl/media/NM2/ECUACIONES%20DE%20LA%20RECTA%20EN%20EL%20PLANO%20CARTESIANO.pdf
  15. http://www.ciencias.ula.ve/matematica/publicaciones/guias/servicio_docente/primeras/tema9
  16. http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Limites/Problemas%20Resueltos%20de%20limites.pdf
  17. http://matessek.wikispaces.com/file/view/exercicis_adicionals_4t_eso_unitat+final.pdf
Related subjects : Matemática I