Valuación de Opciones Installment y Bermudas con Programación Dinámica

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Valuación de Opciones Installment y Bermudas con

Programación Dinámica

Title Valuación de Opciones Installment y Bermudas con Programación Dinámica

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opciones bermudas tradicionales, excepto que el comprador de estas opciones debe regularmente realizar un pago para mantener activa la opción. Las fechas preestablecidas llamadas fechas de decisión en las cuales la opción puede ser ejercida corresponden al calendario de pagos. En cada fecha de decisión, el comprador de una opción de este tipo debe elegir entre ejercer la opción, lo cual pone fin al contrato; no ejercer la opción y realizar un pago, con lo cual mantiene activa la opción para la siguiente fecha de decisión; y no ejercer la opción y no realizar el pago, lo cual pone fin al contrato. Debido a tales características de ejercicio este tipo de opciones son una innovación

financiera reciente que introduce cierta flexibilidad en la liquidez de los inversionistas, ya que en lugar de realizar un ínico desembolso (prima) por un instrumento derivado, el comprador realizará pagos en fechas futuras

predeterminadas. En particular, este tipo de instrumentos reduce considerablemente el costo de entrar en una estrategia de cobertura, ya que los administradores de riesgo pueden entrar en este tipo de contratos a un costo inicial bajo (prima) y ajustar el calendario de pagos de acuerdo a sus previsiones de efectivo y restricciones de liquidez. Adicionalmente, la no realización de un pago es suficiente para cerrar la posición sin costo de transacción. Esto reduce el riesgo de liquidez típicamente asociado con otros derivados sobre mostrador. Esta investigación pretende obtener o aproximar fórmulas de valuación cerradas o aproximadas de opciones bermudas y opciones “installments” bermudas a través de la teoría de valuación neutral al riesgo. Específicamente se utilizará

programación dinámica para calcular la prima en un mundo neutral al riesgo. Para aproximar la función de pagos se utilizará interpolación lineal por pedazos, herramienta que permitirá encontrar una fórmula cerrada para el valor esperado de la función de pagos en una fecha de ejercicio particular. Se aplicará este método de aproximación a dos modelos para representar la dinámica del precio del activo subyacente: el movimiento Browniano geométrico y el movimiento Browniano con reversión a la media, se obtienen fórmulas para encontrar el valor esperado de la función de pagos para algún periodo en particular para ambos modelos. Estas fórmulas serán posteriormente empleadas para obtener el precio de una opción bermuda e “installment” bermudas.

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Doctorado en Ciencias Financieras

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Dr. Francisco Venegas Martínez

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EGADE Business School

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Sede EGADE Ciudad de México

Rights Open Access

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SUPERIORES DE MONTERREY

CAMPUS CIUDAD DE M´EXICO

“VALUACI ´

ON DE OPCIONES INSTALLMENT Y BERMUDAS

CON PROGRAMACI ´

ON DIN ´

AMICA”

DOCTORADO EN CIENCIAS FINANCIERAS

TESIS PRESENTADA POR

EDUARDO HERN ´

ANDEZ P ´

EREZ

ASESOR

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COMITE DOCTORAL

Director de tesis: Dr. Francisco Venegas Mart´ınez

Codirector: Dr. José Antonio Núñez Mora

Lector: Dr. Guillermo Sierra Ju´arez

Lector: Dr. Gerardo Pioquinto Aguilar S´anchez

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AGRADECIMIENTOS

A mi mamá: Por todo el apoyo, comprensión y cariño incondicional que me has dado durante toda mi vida, por desvivirte por el bienestar de tus hijos sin importar los obstáculos que te encontraste y encuentres en la vida. Gracias por darme la familia que tenemos.

A mi papá: Por tu apoyo y comprensión durante esta etapa de mi vida, as´ı como tus enseñanzas.

A Paola: Por todo tu apoyo y comprensión incondicional, as´ı como tu ejemplo de nunca parar en la búsqueda de tus metas. Gracias por toda tu ayuda para terminar esta última etapa. Gracias por todos los jalones de oreja que me das para ser mejor persona, mil gracias por todo este tiempo que hemos pasado juntos y por ser parte de mi vida.

A mis hermanos: Xochitl, Mauricio, Patricia, Sandra y Claudia, por todos los momentos que hemos compartido, as´ı como sus consejos y compa˜n´ıa.

A jovanna: Por ser parte de nuestra familia.

Familia Pavón: Por hacerme sentir parte de su familia, por todo el apoyo brindado. Don Julio, Isabel y Maria luisa, por el cariño que me han dado en estos años de conocernos.

Mis amigos: Aarón, Adriana, Ambrosio, Ángel, Alex, Armando, Arturo, Cristián, Emma-nuel, Eduardo Lisci, Iván, Jorge, José Juan, Marcos, Miguel, Memo, Rafael, Roberto Chávez, Toño, Toño Lopez Velarde, Sergio, Yazm´ın Barcenas. A mis ex-compañeros de Ingenier´ıa de Riesgos.

Al comit´e doctoral: Por el tiempo dedicado a este trabajo.

Al Prof Venegas: Por su apoyo incondicional, as´ı como sus enseñanzas las cuales me motivaron a profundizar en este mundo de las Matemáticas aplicadas afinanzas.

A todos los profesores que contribuyeron en mi formación académica, en especial a Hum-berto Santillana, Jaime Vázquez, Marisa, Beatriz Rodr´ıguez, Agust´ın Cano, Sergio Fuentes Maya, Andrés Fund´ıa, Wojciech Szatzschneiderv.

A los asistentes del doctorado: Estrella, Igor, Martha y Roberto por su apoyo durante mi estancia en el programa doctoral. En especial a Martha por todo su apoyo en estos ´ultimos d´ıas.

A la M´usica y a las Matem´aticas.

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RESUMEN

Las opciones “installments” bermudas son un tipo de opciones bermudas tradicionales, excepto que el comprador de estas opciones debe regularmente realizar un pago para man-tener activa la opción. Las fechas preestablecidas llamadas fechas de decisión en las cuales la opción puede ser ejercida corresponden al calendario de pagos. En cada fecha de de-cisión, el comprador de una opción de este tipo debe elegir entre ejercer la opción, lo cual pone fin al contrato; no ejercer la opción y realizar un pago, con lo cual mantiene activa la opción para la siguiente fecha de decisión; y no ejercer la opción y no realizar el pago, lo cual pone fin al contrato. Debido a tales caracter´ısticas de ejercicio este tipo de opciones son una innovaciónfinanciera reciente que introduce ciertaflexibilidad en la liquidez de los inversionistas, ya que en lugar de realizar un único desembolso (prima) por un instrumento derivado, el comprador realizará pagos en fechas futuras predeterminadas. En particular, este tipo de instrumentos reduce considerablemente el costo de entrar en una estrategia de cobertura, ya que los administradores de riesgo pueden entrar en este tipo de contratos a un costo inicial bajo (prima) y ajustar el calendario de pagos de acuerdo a sus previsiones de efectivo y restricciones de liquidez. Adicionalmente, la no realización de un pago es suficiente para cerrar la posición sin costo de transacción. Esto reduce el riesgo de liquidez t´ıpicamente asociado con otros derivados sobre mostrador.

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´INDICE

P´ag.

Agradecimientos. . . .ii

Resumen. . . .1

´Indice. . . .2

Índice de gráficas. . . .4

´Indice de cuadros. . . .5

Introducci´on. . . .6

Cap´ıtulo 1. PROGRAMACI ´ON DIN ´AMICA. . . .14

1.1 Problema de control ´optimo determinista en tiempo discreto . . . .14

1.2 Programaci´on din´amica determinista. . . .17

1.2.1 Causalidad. . . .17

1.2.2 Solución al problema mediante programación dinámica. . . .18

1.3 Programación dinámica estocástica . . . .22

1.3.1 Planteamiento del problema. . . .22

1.3.2 Solución al problema formulado mediante programación dinámica. .24

1.4 Programaci´on din´amica continua . . . .26

1.4.1 Programación dinámica determinista continua a tiempo homogéneo. . . .26

1.4.2 Programación dinámica continua estocástica . . . .27

1.4.3 Extensi´on a m´ultiples variables de estado . . . .30

1.4.4 Extensi´on a la dependencia expl´ıcita del tiempo . . . .32

2. M´ETODO DE VALUACI ´ON DE OPCIONES CON DEPENDENCIA EN LA TRAYECTORIA. . . .33

2.1 Opciones ex´oticas . . . 33

2.2 Opciones tipo path dependent . . . .34

2.3 Caso movimiento Browniano geom´etrico . . . .36

2.4 Caso movimiento Browniano con reversi´on a la media . . . .40

3. OPCIONES BERMUDAS. . . .50

3.1 Opciones bermudas . . . .50

3.2 Funci´on de pago de una opci´on bermuda . . . .51

3.3 Propiedades de ejercicio para un “call” bermuda . . . .51

3.4 Valuaci´on de una opci´on bermuda. . . .57

3.4.1 Movimiento Browniano geom´etrico . . . .58

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4 OPCIONES INSTALLMENTS BERMUDAS. . . .62

4.1 Opciones installment . . . .62

4.2 Opciones installment bermudas . . . .63

4.3 Funci´on de pagos . . . .64

4.4 Valuaci´on de una opci´on installment bermuda . . . .65

4.4.1 Movimiento Browniano geom´etrico . . . .67

4.4.2 Movimiento Browniano con reversi´on a la media . . . .68

4.5 Propiedades te´oricas . . . .69

5. APLICACI ´ON NUM´ERICA. . . .72

5.1 Movimiento Browniano geom´etrico. . . .72

5.1.1 Opci´on bermuda tradicional . . . .72

5.1.2 Opci´on installment bermuda . . . .73

5.2 Movimiento Browniano con reversi´on a la media. . . .75

5.2.1 Opci´on bermuda tradicional . . . .75

5.2.2 Opci´on installment bermuda . . . .76

5.3 Comparaci´on de resultados . . . .78

6. CONCLUSIONES. . . .80

7. BIBLIOGRAF´IA. . . .82

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´INDICE DE GR ´AFICAS

5.1 Comportamiento de la prima. . . .74

5.2 Comportamiento del precio total . . . .75

5.3 Comportamiento de la prima . . . .77

5.4 Comportamiento de la prima total. . . .77

5.5 Posibles valores en un periodo de 2 meses . . . .78

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´INDICE DE CUADROS

5.1 Precios de opciones bermudas con el movimiento Browniano geom´etrico . . . .73

5.2 Precios de opciones “installment” bermudas con el movimiento Browniano

geom´etrico. . . .74

5.3 Precios de opciones bermudas con el movimiento Browniano con reversi´on

a la media. . . .76

5.4 Precios de opciones “installment” bermudas con el movimiento Browniano

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INTRODUCCI ´

ON

El mundo actual se caracteriza por cambios continuos, lo cual implica tomar acciones con rapidez. Sin embargo, la toma de decisiones en este ambiente implica asumir ciertos riesgos, los cuales deben ser minimizados en la medida de lo posible. El mundofinanciero es un claro ejemplo de lo anterior, ya que se ha observado, en los últimos años, que los mercados financieros en el mundo se han vuelto cada vez más vulnerables y sensibles. Se puede mencionar, por ejemplo, la crisis asiática (a fines de 1997 y principios de 1998), la cual ocasionó pérdidas de miles de millones de dólares en los fondos de inversión de diferentes pa´ıses. Esto muestra una gran interrelación entre las econom´ıas del mundo y, en consecuencia, cualquier problema que exista en una de ellas, influye en las demás. Asimismo, en 2002, Argentina se vio afectada por una crisis financiera y económica que le impidió liquidar sus obligaciones con el Banco Mundial, lo cual afecto a Brasil, su principal socio comercial. Como consecuencia de esto, varias econom´ıas de Sudamérica incrementaron su riesgo pa´ıs, teniendo como resultado que los inversionistas extranjeros buscaran otros mercados más seguros.

Debido a la inestabilidad de los mercados financieros, muchos inversionistas se vieron en la necesidad de buscar nuevas formas de invertir con menor riesgo. Si en las expectativas de los inversionistas se prevé un cambio desfavorable en los precios de los activos, entonces éstos deben tomar medidas para evitar cualquier impacto negativo en sus portafolios. Una particularidad de los mercados accionarios es que éstos tienen un componente de incertidumbre importante, lo cual hace que los pronósticos precisos no existan. En la década de los setentas se comenzaron a desarrollar diversas alternativas que permitieron minimizar el riesgo de mercado, tales como las estrategias de cobertura mediante el uso de “derivados financieros”.

Los instrumentos derivados son herramientas que permiten minimizar la exposición de los inversionistas al riesgo, el cual es considerado como peligroso pero a su vez retribuyente. Los derivados financieros más populares son: las opciones, los “forwards”, los futuros, los “swaps”, las notas estructuradas, etc. En los años 70 las opciones y los futuros tuvieron su mayor auge, debido en parte al modelo de Black-Scholes, el cual determina una formula de valuación para opciones europeas y, por otra parte, al arranque de la bolsa de opciones “Chicago Board of Options Exchange”, la cual ha operado, a la fecha, billones de dólares.

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radica, más que en un modelo de valuación de opciones, en el análisis cualitativo que subyace en el mismo. Este marco de valuación se fundamenta en condiciones de no arbitraje donde el objetivo es establecer una dependencia funcional entre el valor de un producto derivado y el valor de un activo subyacente. La idea fundamental de los modelos en tiempo continuo con condiciones de no arbitraje es que, bajo ciertas hipótesis, es posible crear una estrategia de cobertura, formada por un número determinado de derivados y una cierta cantidad del activo subyacente (negociable), de tal manera que ajustando continua y convenientemente el número de derivados se obtiene una cartera exenta de riesgo. Al suponer que el mercado no permite oportunidades de arbitraje, el rendimiento nominal instantáneo esperado de la cartera debe coincidir con la tasa de interés libre de riesgo. La conjunción de estas hipótesis proporciona un modelo de valuación descrito por una ecuación diferencial parcial, cuyas condiciones de frontera recogen las caracter´ısticas esenciales del derivado a valuar. Aunque este método de valuación es muy flexible, la mayor´ıa de sus aplicaciones dan origen a ecuaciones diferenciales sin solución anal´ıtica. Esto ha dado lugar a una extensa literatura sobre métodos numéricos aplicados a la valuación de opciones y de activos contingentes.

Después de haber trascurrido más de 30 años de la creación de los primeros derivados

financieros, éstos han ido evolucionando dando lugar a nuevos productos derivados, como son los derivados financieros de segunda generación, entre los cuales destacan las “notas estructuradas”. Estas notas nacen para satisfacer un mercado, en el que los inversionistas puedan invertir a corto plazo, pero con mayor liquidez. Este tipo de instrumentos requiere para su operación un tipo especial de opciones exóticas ligadas con bonos.

El desarrollo de las opciones exóticas tiene su origen en la década de los noventas, aunque se sabe que algunas de sus modalidades ya aparec´ıan en los mercados “Over The Counter” (“OTC”) afinales de la década de los setentas. Pero no fue sino hasta la década de los noventas cuando su negociación comienza a ser relevante. Las opciones exóticas son opciones que tienen una estructura diferente a la de las opciones tradicionales y sur-gen con la intención de abaratar las primas de los derivados tradicionales ajustándose adecuadamente a las necesidades de los inversionistas.

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la especulación. No obstante, su volumen de negociación no es todav´ıa lo suficientemente grande, pero se espera que se experimenten un mayor auge en el futuro sustentado en las caracter´ısticas de estos derivados. Actualmente, su uso se comienza a extender y se podr´ıa dar un salto de los mercados “OTC” hacia los mercados organizados, debido a la gran movilidad que los subyacentes están experimentando. Entre las opciones exóticas mas conocidas se encuentran: las asiáticas, de barrera, “lookback”, “leader”, “shout”, “cliquet”, bermudas, “chooser”, polinomiales, potenciales, digitales, “playlater, “quantos”, “compos” e “installments”, entre otras.

Las opciones tipo bermuda son un nuevo estilo de opciones, situado entre una opción europea, cuyo ejercicio sólo puede ser al vencimiento, y una americana, con ejercicio en cualquier momento antes de la fecha de vencimiento, es decir, pueden ser ejercidas de forma anticipada en un número determinado de fechas a lo largo de su vida, lo que constituye un caso intermedio entre las europeas y las americanas. Una caracter´ıstica de las opciones bermudas es que su precio de ejercicio puede ir aumentado con el paso del tiempo. Si estas opciones cotizan en mercados organizados, se denominan opciones japonesas. Otro tipo especial de opciones bermuda son las opciones “bermuda capped option” en las que el poseedor de ésta no tiene derecho a ejercerla antes de la fecha de vencimiento y el ejercicio se da de manera automática en un conjunto predeterminado de fechas si el valor del subyacente alcanza un determinado nivel denominado “cap”.

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as´ı como el método de Monte Carlo para determinar la evolución de las tasas forward. Asimismo, proponen una discretización del modelo. De igual forma, proporcionan dos estrategias de ejercicio subóptimo usando fronteras de ejercicio. También estudian los errores sistemáticos en la evolución de la tasa forward y discuten medidas simples para reducir su impacto en la valuación de la opción.

Las opciones “installments” bermudas son un tipo de opciones bermudas tradicionales, excepto que el comprador de estas opciones debe regularmente realizar un pago para man-tener activa la opción. Las fechas preestablecidas llamadas fechas de decisión en las cuales la opción puede ser ejercida corresponden al calendario de pagos. En cada fecha de decisión, el comprador de una opción de este tipo debe elegir entre lo siguiente:

(i) Ejercer la opci´on, lo cual pone ﬁn al contrato.

(ii) No ejercer la opción y realizar un pago, con lo cual mantiene activa la opción para la siguiente fecha de decisión.

(iii) No ejercer la opci´on y no realizar el pago, lo cual pone ﬁn al contrato.

Se considera a estas opciones como una innovaci´onﬁnanciera reciente que introduce cierta

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diferenciasfinitas y el método de Monte Carlo. Por último, Ben-Ameur, Breton y Franccois (2006) desarrollaron un procedimiento para valuar opciones “installments” bajo el cual se obtuvo un rango para el precio de este instrumento. Además, realizaron un análisis de simulación encontrando precios convergentes, los cuales eran cercanos a los observados en el mercado. Finalmente, aplicaron este procedimiento a los “warrants installments” los cuales son activamente negociados en Australia tomando en cuenta el efecto de difusión.

Por todo lo anterior se considera importante determinar el valor de las opciones bermu-das e “installments” bermuda, de acuerdo a su naturaleza, la cual involucra la toma de decisiones en fechas preestablecidas. La programación dinámica es una herramienta básica que toma en cuenta la toma de decisiones en un número determinado de periodos, en donde la decisión actual sólo depende de la decisión inmediata anterior.

El marco te´orico para valuar un instrumentoﬁnanciero que se negocia en un mercado

financiero completo es la teor´ıa de valuación neutral al riesgo, la cual mediante el teorema de Feynman-Kac, se puede llevar cabo bajo el contexto de ecuaciones diferenciales parciales o en el enfoque probabilista, donde ambos son equivalentes según dicho teorema y bajo algunas condiciones técnicas. En ambos enfoques se supone que el activo subyacente sigue un proceso de difusión. En el enfoque de ecuaciones diferenciales parciales la idea central es construir un portafolio libre de riesgo constituido por el activo subyacente y la opción. Posteriormente, a través de argumentos de arbitraje se iguala el rendimiento libre de riesgo con el del portafolio (el cual ya es libre de riesgo), y de este modo se obtiene una ecuación diferencial parcial de segundo orden la cual al resolverse proporciona el valor de la opción. Mientras que bajo el enfoque probabilista se tiene que el precio de la opción está dado por el valor esperado del pago de la opción en un mundo neutral al riesgo. Por lo tanto, el obtener una fórmula de valuación cerrada bajo ambos enfoques depende del tipo de derivado, el cual está determinado por la función de pagos del instrumento. En general existen muy pocos casos en los cuales se obtienen fórmulas de valuación cerradas, por lo que es necesario recurrir a métodos numéricos para estimar el valor del instrumentofinanciero. En el caso de ecuaciones diferenciales, el método numérico empleado es el de diferencias

finitas. En el caso del método probabilista se puede hacer v´ıa árboles binomiales o por simulación.

La valuación de instrumentos derivados financieros v´ıa simulación puede ser dividida en dos pasos básicos:

(i) Simulación del activo subyacente y algunos otros parámetros no estacionarios (por ejemplo tasa de interés, volatilidad del activo, etc.).

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En términos prácticos es adecuado utilizar el método de simulación de Monte Carlo cuando se tienen una o más de las siguientes caracter´ısticas:

(i) La din´amica que caracteriza el activo subyacente es complicada.

(ii) Existe dependencia del derivado en m´ultiples variables de estado.

(iii) El derivado depende de la trayectoria del activo subyacente.

La metodolog´ıa empleada para valuar la opción “installment” bermuda o bermuda se basará en la metodolog´ıa de valuación neutral al riesgo. Es decir, se descontará el valor presente de la función de pagos en un mundo neutral al riesgo. Para resolver este problema se vivirá en un mundo neutral al riesgo (espec´ıficamente se empleará el método probabilista) para calcular el valor esperado del pago de la opción que debe realizarse de contado. La valuación de este tipo de opción depende de la dinámica del activo subyacente y del calendario de fechas de pago del contrato, ya que a partir de estas fechas se determina si se ejerce o si se realiza un pago para mantener vigente la opción. Por lo que en cada una de estas fechas se tendrá una subestructura de valuación, la cual determinará si es óptimo mantener, abandonar o ejercer la opción. Es por lo anterior que una herramienta que es fundamental para desarrollar esta investigación es la programación dinámica.

A través de la programación dinámica el problema se puede resolver en subproblemas con estructuras óptimas siguiendo los siguientes tres pasos:

(i) Dividir el problema en subproblemas m´as peque˜nos.

(ii) Resolver estos subproblemas recursivamente de manera ´optima.

(iii) Usar las soluciones subóptimas para construir una solución óptima del problema ori-ginal.

Los subproblemas se resuelven a su vez dividiéndolos en subproblemas más pequeños hasta que se encuentra que la solución al problema es trivial. En resumen, la progra-mación dinámica hace uso de: subproblemas superpuestos, subestructuras óptimas y me-morización. Además, utiliza alguno de los siguientes enfoques:

(i) “Top-down” (de adelante hacia hacia atrás) : El problema se divide en subproblemas, los cuales se resuelven recordando las soluciones en caso de que sea necesario. Es una combinación de memorización y recursión.

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Esta tesis optará por el primer enfoque, ya que la naturaleza del problema requiere conocer el precio de la opción en cada fecha del calendario de pagos. Originalmente, el término de programación dinámica se designaba únicamente a la resolución de ciertos problemas de investigación de operaciones fuera del ámbito de la ingenier´ıa informática, al igual que lo hac´ıa la programación lineal. En este contexto, la programación dinámica no tiene ninguna relación con la programación (computacional o en sistemas) en absoluto; el nombre es pura coincidencia. El término también se usaba en la década de los cuarentas por Richard Bellman (matemático estodounidense) para describir el proceso de solución de problemas donde hace falta calcular soluciones recursivamente. Cuando se habla de op-timizar se hace referencia a buscar la mejor solución de entre muchas alternativas posibles. Dicho proceso de optimización puede ser visto como una sucesión (pol´ıtica) de decisiones que proporcionan la solución correcta. Si, dada una subsucesión (subpol´ıtica) de decisiones, siempre se sabe cual es la decisión óptima que se debe tomar a continuación, el problema es elemental y se resuelve trivialmente tomando una decisión detrás de otra, lo que se conoce como estrategia voraz. A menudo, aunque no es posible aplicar la estrategia voraz, se cumple el principio de optimalidad de Bellman que dice que “dada una pol´ıtica óptima de decisiones, toda subpol´ıtica de ella es, a su vez, óptima”. En este caso es todav´ıa posible ir tomando decisiones elementales, con la confianza de que la combinación de ellas seguirá siendo óptima, pero entonces será necesario explorar muchas sucesiones de decisiones para dar con la correcta, siendo aqu´ı donde interviene la programación dinámica.

Contemplar un problema como una secuencia de decisiones equivale a dividirlo en subproblemas más pequeños y por lo tanto más fáciles de resolver como se hace en “divide y vencerás”, técnica similar a la de programación dinámica. La programación dinámica se aplica cuando la subdivisión de un problema conduce a una enorme cantidad de subpro-blemas, subproblemas cuyas soluciones parciales se solapan o grupos de subproblemas de muy distinta complejidad.

Debido a que se está considerando calcular el valor esperado de un proceso de difusión se hará uso de programación dinámica estocástica.

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una secuencia de las decisiones estáticas óptimas para cada uno de los instantes o perio-dos que constituyen dicho contexto dinámico. Asimismo, las dicisiones óptimas a corto plazo, en general, no coinciden con las decisiones óptimas a largo plazo. La utilización de técnicas de optimización dinámica permiten obtener la solución óptima en cada caso. La optimización dinámica, como su nombre lo indica, estudia la optimización de sistemas dinámicos, es decir, la optimización de sistemas que evolucionan en el tiempo. Dado un sistema que evoluciona en el tiempo, se trata de guiar o controlar el sistema de manera ´

optima a lo largo de un horizonte de tiempo dado, de acuerdo a un objetivo previamente establecido. Es por esta razón que en esta tesis se desarrollará una metodolog´ıa para valuar este tipo de opciones a través de programación Dinámica. Este procedimiento numérico es apropiado para este tipo de opciones debido a que involucran un número limitado de fechas de ejercicio distantes.

Esta tesis está organizada de la siguiente manera: en el cap´ıtulo 1 se proporciona una introducción a la programación dinámica, sus propiedades y ventajas. El cap´ıtulo 2 muestra un método de aproximación a través de interpolación lineal por pedazos para encontrar el valor esperado de una opción cuyo pago es dependiente en la trayectoria del precio del activo subyacente y que puede ser ejercido en un número discreto de fechas. En particular se propone que la dinámica del activo subyacente es guiada por un movimiento Browniano geométrico y la modificación de éste que incorpora la propiedad de reversión a la media, el cual será denominado movimiento Browniano con reversión. En el cap´ıtulo 3 se obtiene un método de valuación de opciones bermudas para los modelos propuestos y en el cap´ıtulo 4 se obtiene un método de valuación de opciones “installment” bermuda para los modelos mencionados anteriormente y se analizan algunas propiedades de estas. En el cap´ıtulo 5 se presenta una aplicación numérica y finalmente en el cap´ıtulo 6 se presentan las conclusiones.

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CAP´ITULO 1

PROGRAMACI ´

ON DIN ´

AMICA

La programación dinámica estudia la obtención de soluciones óptimas de problemas que evolucionan en el tiempo y que son susceptibles de influencia mediante decisiones externas. La mejor decisión a tomar depende del horizonte de tiempo que se contemple en el problema a estudiar. En general, la decisión óptima en un contexto dinámico no se obtiene mediante una sucesión de decisiones estáticas óptimas en cada uno de los instantes o periodos que constituyen el horizonte de planeación. Asimismo, las decisiones óptimas a corto plazo, en general, no coinciden con las decisiones óptimas a largo plazo. Al respecto, la utilización de técnicas de optimización dinámica permite obtener la solución óptima en cada una de las situaciones anteriores.

La optimización dinámica, como su nombre lo indica, estudia la optimización de sis-temas dinámicos, es decir, la optimización de sistemas que evolucionan en el tiempo. Dado un sistema que evoluciona en el tiempo, se trata de guiar o controlar el sistema de manera ´

optima, de acuerdo a algún criterio preestablecido, a lo largo de un horizonte de tiempo dado, de acuerdo a un objetivo previamente establecido. En este cap´ıtulo se presenta el problema básico de control óptimo en tiempo discreto y un algoritmo que permite obtener su solución óptima: la programación dinámica la cual se debe a Richard Bellman cuyo su método que fue publicado en 1957.

1.1 Planteamiento del problema de Control ´

Optimo

de-terminista en tiempo discreto

Considere un sistema dinámico que evoluciona en el tiempo, formulado en tiempo discreto, para un número dado, N, de etapas o periodos, cuya situación inicial viene dada por el vector n-dimensional, x0. Al igual que en el caso de tiempo continuo, dicha evolución

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Sea u(k) un vector m-dimensional de variables de control en la etapa o periodo k, para k ∈ {0,1, ..., N −1}. Se deﬁne x(k), para cada k ∈ {0,1, ..., N −1}, como el vector

n-dimensional de variables de estado, el cual indica la situación del sistema en la etapa o periodo k. La evolución del sistema en el tiempo está determinada por un sistema de ecuaciones en diferencias finitas, conocido como ecuaciones de estado:

x(k+ 1) =f(x(k), u(k), k), para k = 0,1, ..., N −1,

con x(0) =x0 donde f es una funci´on tal que

f : D1(⊂Rn) × D2(⊂Rm) × {0,1, ..., N −1} → Rn

(x, u, k) _→ f(x, u, k).

Se supone que:

u(k)∈Ω(k)⊂Rm, para k = 0,1, ..., N −1,

en donde para cada k, Ω(k) es el conjunto de controles admisibles. La funcional objetivo que se considerar´a es del tipo:

J =

N₋1

k=0

F[x(k), u(k), k] +S[x(N)],

donde F y S son funciones deﬁnidas como

F : D1(⊂Rn) × D2(⊂Rm) × {0,1, ..., N −1} → R

(x, u, k) → F(x, u, k)

y

S : D1 ⊂Rn → R

x _→ S(x),

respectivamente. Es decir, el sistema din´amico parte del estado inicial x0. En el periodo

o etapa 1 (correspondiente a k = 0), el decisor debe elegir un controlu(0)∈Ω(0), el cual realiza una aportaci´on al funcional objetivo dada por:

F[x(0), u(0),0],

y se revisa el periodo o etapa 2 (correspondiente a k = 1) con el siguiente valor del vector de estado

x(1) =f(x(0), u(0),0).

En dicho periodo o etapa 2 (correspondiente ak = 1), hay que elegir un controlu(1)∈Ω(1), el cual realiza una aportaci´on al funcional objetivo dada por

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y se inicia el periodo o etapa 3 (correspondiente a k = 2) con el siguiente valor del vector de estado

x(2) =f(x(1), u(1),1).

Se procede, consecutivamente, de esta manera hasta que el decisor encuentra el periodo ó etapa N (correspondiente a k = N −1) con estado anterior, x(N −1), y tiene que elegir un controlu(N −1)∈Ω(N −1), el cual efectúa una aportación al funcional objetivo dada por

F[x(N ₋1), u(N ₋1), N ₋1], alcanzando ﬁnalmente el estado:

x(N) =f(x(N −1), u(N −1), N −1).

Por el hecho de terminar en dicho estado, se realiza también una aportación al funcional objetivo dada por S[x(N)]. Un control óptimo se define como un control tal que:

u(k)∈Ω(k)⊂Rn, para k = 0,1, ..., N −1,

es decir, un control admisible que, junto con los controles anteriormente seleccionados, maximiza el funcional objetivo. Por lo tanto, el problema en el que este trabajo estará interesado es: Dado un sistema dinámico con condición inicial, x0, que evoluciona en el

tiempo de acuerdo con la ecuaci´on de transici´on de estados

x(k+ 1) =f(x(k), u(k), k),

se desea encontrar para cadak un vector de controles que sea admisible y que haga que el funcional objetivo alcance su valor máximo. Si esto se expresa en términos más formales queda entonces de la siguiente forma:

max

{u(k)}N_k₌₀−1

J =

N₋1

k=0

F[x(k), u(k), k] +S x(N) ,

s.a.

x(k+ 1) =f(x(k), u(k), k), para k = 0,1, ..., N −1,

x(0) =x0,

u(k)∈Ω(k)

(1.1)

(23)

1.2 Programaci´

on Din´

amica Determinista

La programación dinámica, introducida por Bellman (1957), fue creada inicialmente para resolver problemas formulados en tiempo discreto, aunque posteriormente ser´ıa adaptada para la resolución de problemas en tiempo continuo. La programación dinámica transforma la solución de un problema deN etapas o periodos a la resolución deN problemas de una etapa cada uno, en donde la decisión en la etapa actual sólo depende de la decisión en la etapa anterior.

1.2.1 Causalidad

El problema de control ´optimo en tiempo discreto planteado anteriormente tiene una propiedad importante, llamada propiedad de causalidad, la cual se expresa en los siguientes t´erminos.

Propiedad de causalidad. Para cualesquiera j, r ∈ {0,1, ..., N −1}, con j < r, se veriﬁca que x(r) depende ´unicamente de x(j) y de los controles

{u(j), u(j+ 1), ..., u(r₋1)}.

Es decir, dado el estado x(j) en el que se encuentra el sistema dinámico al comienzo de la etapa (o periodo) j + 1, para cualquier etapa posterior r se verifica que el estado que se alcanzará al finalizar dicha etapa, x(r) depende exclusivamente del estado x(j) y de los controles que se apliquen entre las etapas j + 1 y r. En otras palabras, dados dos estados cualesquiera del sistema, uno anterior y otro posterior, el valor que tome el estado posterior depende únicamente del valor del estado anterior y de los valores de los controles intermedios entre ambos estados. Esta propiedad se verifica como consecuencia directa de la estructura del problema. En efecto, teniendo en cuenta la ecuación de estado se tiene que:

x(j+ 1) =f(x(j), u(j), j),

y que

x(j+ 2) =f(x(j+ 1), u(j + 1), j+ 1) =f(f(x(j), u(j), j), u(j+ 1), j + 1),

y as´ı sucesivamente, hasta obtener

x(r) =f(x(r−1), u(r−1), r−1)

=f(f(x(r₋2), u(r₋2), r₋2), u(r₋1), r₋1)

(24)

en donde esta última función Ψ se obtiene al ir sustituyendo de manera recurrente el vector de variables de estado por el valor que resulta al aplicar la ecuación de estado. Como consecuencia de esta propiedad, el estado inicial x(0) y el conjunto de controles

{u(0), u(1), ..., u(N ₋1)},

determinan la trayectoria del vector de estado

{x(0), x(1), ..., x(N)}.

Al utilizar la notaci´on

u[0, N −1] ={u(0), u(1), ..., u(N −1)},

y, en general,

u[j, N−1] ={u(j), u(j+ 1), ..., u(N −1)},

el funcional objetivo del funcional se puede escribir como

J =J0{x(0), u[0, N −1]},

por lo que, si x(0) est´a dado, para maximizar J s´olo hay que determinar los controles

u[0, N −1].

Como puede notarse, la propiedad de causalidad no siempre se cumple en módelos económicos dinámicos. Por ejemplo, una decisión a tomar en cierto momento futuro por una autoridad económica, puede estar afectando al estado presente de dicha econom´ıa, por medio de las expectativas de los agentes. En tales casos la formulación del modelo de opti-mización dinámica no se corresponde con el problema, en el que, como se ha comprobado, se cumple el supuesto de causalidad.

1.2.2 Solución al problema de control óptimo mediante programación dinámica

A continuación se presenta el método de programación dinámica, el cual permite obtener la solución óptima del problema (1.1). Para ello se demuestra el siguiente lema:

Lema 1.1 Sean D y D dos conjuntos cualesquiera. Sean g y h funciones reales, cuyos dominios son D y D×D , respectivamente, entonces se cumple que:

max

y_∈D,z_∈D {g

(y) +h(y, z)}= max

y_∈D g(y) + maxz_∈D {h

(25)

suponiendo la existencia de soluci´on ´optima para estos problemas.

Demostraci´on

a) La expresi´on a la izquierda de la igualdad es mayor o igual que la situada a la derecha. En efecto, es claro que

max

y_∈D,z_∈D {g

(y) +h(y, z)}≥g(y) +h(y, z),_∀ y_∈D, z_∈D .

En part´ıcular:

max

y_∈D,z_∈D {g

(y) +h(y, z)}≥g(y) + max

z_∈D {h

(y, z)},_∀ y_∈D,

por lo que

max

y_∈D,z_∈D {g(y) +h(y, z)}≥maxy_∈D g(y) + maxz_∈D {h(y, z)} .

b) Ahora se demostrar´a la desigualdad inversa. Es claro que

h(y, z)_≤max

z_∈D {h

(y, z)},_∀ y _∈D, z_∈D ,

por lo que para todo y∈D, z ∈D , se veriﬁca que

g(y) +h(y, z)_≤g(y) + max

z_∈D {h

(y, z)}≤max

y_∈D g(y) + max_z_∈_D {h(y, z)} ,

de donde se obtiene que

max

y_∈D,z_∈D {g

(y) +h(y, z)}≤max

y_∈D g(y) + maxz_∈D {h

(y, z)} ,

(26)

Proposici´on 1.1

Sea J∗(x0) el valor ´optimo del funcional objetivo del problema (1.1), entonces

J∗(x0) =J0∗{x0},

en donde la función J₀∗ viene dada por el último paso del siguiente algoritmo, el cual comienza al final del horizonte temporal y va hasta el principio de dicho horizonte. Por lo tanto, resolviendo hacia atrás se sigue que:

JN∗ {x(N)}=S[x(N)],

y para cada k _∈{N −1, N ₋2, ...,1,0}, se tiene que

Jk∗{x(k)}= max

u(k)∈Ω(k) F[x(k), u(k), k] +J

∗

k+1{f[x(k), u(k), k]} ,

las cuales son llamada las ecuaciones recursivas de Bellman. Adem´as, si u∗₍_k_{) maximiza}

la expresión situada a la derecha de la ecuación anterior, en función de x(k), para cada

k ∈{0,1, ..., N −1}, se obtiene que

u∗ = (u∗(0), u∗(1), ..., u∗(N ₋1)) ,

es el control ´optimo del problema planteado en (1.1).

Demostraci´on

A partir del enunciado del problema (1.1), es se sigue que

J∗(x0) = max

u(0)∈Ω(0),...,u(N₋1)∈Ω(N₋1)

N₋1

k=0

F[x(k), u(k), k] +S[x(N)] .

Por la propiedad de causalidad y el lema 1.1, la anterior expresi´on es equivalente a:

max

u(0)∈Ω(0) F[x(0), u(0),0] +u(1)max∈Ω(1){F[x(1), u(1),1]

+ max

u(2)∈Ω(2){F[x(2), u(2),2] +...+

+ max

u(N₋1)∈Ω(N₋1){F[x(N −1), u(N −1), N −1] +S[x(N)]}... .

Además la maximización esta sujeta a la restricción de la ecuación de transformación de estados del sistema:

(27)

con x(0) =x0. Si se deﬁne ahora

J_N∗ {x(N)}=S[x(N)], JN∗₋1{x(N −1)}

= max

u(N₋1)∈Ω(N₋1){{F[x(N −1), u(N −1), N −1] +J

∗

N{x(N)}},

donde

x(N) =f(x(N −1), u(N −1), N −1),

y as´ı, sucesivamente, hasta

J₁∗{x(1)}= max

u(1)∈Ω(1){{F[x(1), u(1),1] +J

∗

2 {x(2)}},

en donde

x(2) =f(x(1), u(1),1),

se tiene que

J₀∗{x(0)}= max

u(0)∈Ω(0){{F[x(0), u(0),0] +J

∗

1 {x(1)}},

con

x(1) =f(x(0), u(0),0), con x(0) =x0,

y de acuerdo con la cadena de igualdades que se tienen, la proposición queda demostrada con el contról óptimo u∗ = (u∗(0), u∗(1), ..., u∗(N ₋1)) . De esta manera, u∗(k) maxi-miza la expresión situada a la derecha de la ecuación de Bellman, en función de x(k), para cada k = 0,1, ..., N ₋1.

Como es lógico pensar, si el problema fuera de minimización, habr´ıa que minimizar el lado derecho de la ecuación de Bellman. Como ya se ha indicado anteriormente, la programación dinámica consiste en resolver un problema de N etapas o periodos, a través de la resolución de N problemas de una etapa o periodo. Cada uno de los N problemas se resolverá por el método que se considere oportuno en cada caso. No se ha supuesto diferenciabilidad de las funciones, pudiendo ser discretos o continuos los conjuntos de controles admisibles. La programación dinámica se apoya en el principio de optimalidad de Bellman que dice lo siguiente:

Principio de optimalidad de Bellman

Suponga que

u∗ = (u∗(0), u∗(1), ..., u∗(N ₋1))

es el control ´optimo del problema (1.1) y

(28)

es la correspondiente trayectoria de estados ´optima. Si se considera el subproblema que consiste en:

max

{u(k)}N_k₌−_j1

J =

N₋1

k=j

F[x(k), u(k), k] +S x(N) ,

s.a.

x(k+ 1) =f(x(k), u(k), k),para k =j, j+ 1, ..., N −1,

X(j) =x∗(j),

u(k)_∈Ω(k),parak =j, j+ 1, ..., N ₋1,

es decir, el subproblema que desea encontrar los controles ´optimos en las etapas j + 1 a

N−1, partiendo de la condición inicial x∗(j), en la etapaj+ 1, entonces el control óptimo del subproblema formulado es (u∗(j), u∗(j+ 1), ..., u∗(N −1)) , (vector truncado deu∗). En este caso, la función Jj∗{x(j)} que proporciona el valor óptimo del funcional objetivo

del problema truncado, en funci´on del estado inicial x(j), se llama funci´on valor de j a N.

1.3 Programaci´

on Din´

amica Estoc´

astica

La programación dinámica estocástica es uno de los métodos más importantes de opti-mización dinámica, tanto en el caso de tiempo discreto, como en el caso de tiempo continuo. Esta extensión estocástica se presenta a continuación:

1.3.1 Planteamiento del problema

Considere el siguiente sistema din´amico, formulado en tiempo discreto,

x(k+ 1) =f(x(k), u(k), v(k), k), para k = 0,1, ..., N −1,

con x(0) =x0,

en donde, para cada k:

x(k) es el vector de variables de estado, perteneciente al espacio Sk,

u(k) es el vector de variables de control, perteneciente al espacio Ck, y

v(k) es el vector de perturbaciones aleatorias, perteneciente al espacio Dk.

El control u(k) est´a restringido a tomar valores pertenecientes a un conjunto no vac´ıo

Ωk[x(k)], que depende del estado del sistema en ese periodo k, es decir: u(k)∈Ωk[x(k)], para cada x(k)∈Sk,∀ k = 0,1, ..., N −1.

La perturbaci´on aleatoria v(k) es caracterizada por una distribuci´on de probabilidad

(29)

que puede depender expl´ıcitamente de x(k),u(k), pero es independiente de las perturba-ciones aleatorias v(k−1), v(k−2),...,v(0). Si se consideran la pol´ıtica, que consiste en una sucesi´on de funciones:

π ={μ0,μ1, ...,μN−1},

en donde cada funci´on μk transforma el estado x(k) en el control u(k) =μk[x(k)], de tal manera que se veriﬁca que

μk[x(k)]∈Ωk[x(k)] ∀ x(k)∈Sk.

De esta forma las pol´ıticas de control que cumplen esta condici´on se llamar´an admisibles. As´ı pues, el problema consiste en: dado un estado inicial x0, se trata de encontrar una

pol´ıtica de control admisible

π ={μ0,μ1, ...,μN−1},

que maximiza el siguiente funcional

maxJπ(x0) = E

N₋1

k=0

F[x(k),μk[x(k)], v(k), k] +S[x(N)] ,

s.a.

x(k+ 1) =f[x(k),μk[x(k)], v(k), k],_∀k = 0,1, ..., N ₋1,

con

x(0) =x0,

μk[x(k)]∈Ωk[x(k)]∀x(k)∈Sk,

en donde E{·} denota el operador de esperanza matemática. Las funciones F, S y f se suponen conocidas. Se desea encontrar una pol´ıtica de control óptimo π∗, para la cual se verifique

Jπ∗(x₀) = max

π∈ΠJπ(x0),

en donde Πes el conjunto de pol´ıticas de control admisibles. La funci´on J∗, deﬁnida de la siguiente forma

J∗(x0) =Jπ∗(x₀),

es la funci´on que asigna a cada estado inicial x0 el valor objetivo J∗(x0) y se llama

(30)

1.3.2 Solución al problema formulado mediante Programación Dinámica

En esta sección se estudia a la programación dinámica, como método de solución del problema de control estocástico en tiempo discreto, el cual fue formulado en la sección anterior. De la misma forma que en el caso determin´ıstico, se empieza por el final del horizonte temporal y se va analizando el problema periodo por periodo hasta llegar al periodo inicial. La programación dinámica, en este caso, permite resolver un problema estocástico de N etapas mediante la resolución deN problemas estocásticos de una etapa.

Proposici´on 1.2

Sea J∗(x0) el valor ´optimo del funcional objetivo del problema establecido en la secci´on

anterior, entonces

J∗(x0) =J0∗(x0),

en donde la función J₀∗ está dada por el último paso del siguiente algoritmo, que comienza al final del horizonte temporal y va hasta el principio del mismo. Sea

JN∗ (x(N)) =s[x(N)],

y para cada k _∈{N −1, N ₋2, ...,1,0} deﬁna

Jk∗[x(k)] = max u(k)∈Ωk[x(k)]

Ev(k){F[x(k), u(k), v(k), k]

+J_k∗₊₁[f[x(k), u(k), v(k), k]] ,

que proporciona la ecuaci´on recursiva de Bellman. Si u∗(k) =μ∗_k[x(k)] maximiza el lado derecho de la ecuaci´on de Bellman, para cada x(k) y para cada k _∈ {0,1, ..., N ₋1}, la pol´ıtica de control

π∗ = μ∗₀,μ∗₁, ...,μ∗N₋1 ,

es ´optima.

Demostraci´on

(31)

1), v(k₋2), ..., v(0) son variables aleatorias independientes, permite escribir lo siguiente:

J∗(x0) = max

μo,μ1,...,μN−1

J(x0,μ0,μ1, ...,μN−1)

= max

μo,μ1,...,μN−1 E

N−1

k=0

F[x(k),μk[x(k)], v(k), k] +S[x(N)]

= max

μo,μ1,...,μN−1

Ev(0){F[x(0),μ0[x(0)], v(0),0]

+ Ev(1){F[x(1),μ1[x(1)], v(1),1]

+· · ·

+ Ev(N₋1){F[x(N −1),μN−1[x(N −1)], v(N −1), N −1]

+s[X(N)]} · · ·}].

Por ser un sistema causal, la expresi´on anterior se puede reescribir como:

J∗(x0) = max

μo

Ev(0){F[x(0),μ0[x(0)], v(0),0]

+ max

μ1 Ev(1){F[x(1),μ1[x(1)], v(1),1]

+· · ·

+ max μN−1

Ev(N₋1){F[x(N −1),μN−1[x(N −1)], v(N −1), N −1]

+ S[x(N)]}]· · ·}]}].

En esta ecuaci´on, la maximizaci´on afecta a todas las funciones μk tales que

μk[x(k)]_∈Ωk[x(k)].

Además, la maximización está sujeta a la restricción de la ecuación del sistema

x(k+ 1) =f(x(k),μk[x(k)], v(k), k), para k = 0,1, ..., N ₋1.

Si se deﬁnen las siguientes funciones

JN∗ [x(N)] =S[x(N)],

y para cada k _∈{N −1, N ₋2, ...,1,0}, se cumple que

Jk∗[x(k)] = max u(k)∈Ωk[x(k)]

[E{F[x(k), u(k), v(k), k]

+Jk∗+1[f[x(k), u(k), v(k), k]] ,

entonces la proposici´on queda demostrada; siendo la pol´ıtica de control ´optimo:

(32)

1.4 Programaci´

on din´

amica continua

En esta sección se discute un tipo de problemas de optimización, en tiempo continuo, y se proporciona la intuición que se encuentra detrás de los métodos empleados para resolverlos. Estos métodos han sido utilizados por diversos autores para estudiar: el equilibrio, las estrategias y la valuación de activos. La primera parte de esta sección se concentra en el caso de un horizonte infinito. Es importante destacar que se puede usar el principio del máximo o las técnicas del cálculo diferencial para resolver este tipo de problemas. Posteriormente se extiende el análisis a problemas similares en un ambiente estocástico.

1.4.1 Programación dinámica determinista continua a tiempo homogéneo

En esta sección se generalizará el método de programación dinámica a tiempo continuo, para ello suponga que se desea maximizar el funcional objetivo:

J(x(t), t) = max

u(t)

⎧ ⎨ ⎩

∞

t

F(x(t), u(t), t) ⎫ ⎬

⎭,

s.a.

dx

dt =f(x(t), u(t), t), x(0) =x0,

(1.2)

donde x(t) es la variable de estado y u(t) es la variable de control. Para resolver este problema se escribe:

J(x(t), t) = max

u(t)

⎧ ⎨ ⎩

∞

t

F(x(s), u(s), s) ds

⎫ ⎬ ⎭

= max

u(t)

⎧ ⎨ ⎩

t+dt

t

F(x(s), u(s), s)ds+

∞

t+dt

F(x(s), u(s), s) ds

⎫ ⎬

⎭.

Por el teorema del valor medio para integrales, se tiene que

J(x(t), t) = max

u(t) {F(x(t), u(t), t) dt+o(dt) +J(x(t) + dx(t), t+ dt)}

= max

u(t) {F(x(t), u(t), t) dt+o(dt)

(33)

Al expandir a dJ en una serie de Taylor, alrededor del punto (x(t), t), la expresi´on anterior se transforma en:

J(x(t), t) = max

u(t) {F(x(t), u(t), t) dt+o(dt) +J(x(t), t)

+Jtdt+Jxdx+o(dt)}

= max

u(t) {F(x(t), u(t), t) dt+o(dt) +J(x(t), t)

+Jtdt+Jxdx}.

En consecuencia,

max

u(t) {F(x(t), u(t), t) dt+o(dt) +Jtdt+Jxdx}= 0,

Despu´es de dividir la expresi´on anterior entre dty tomar el l´ımite cuando dt_{→ ∞}, se tiene que

max

u(t) F(x(t), u(t), t) +Jt+Jx

dx

dt = 0.

En virtud de (1.2), se obtiene que

max

u(t) {F(x(t), u(t), t) +Jt +Jxf(x(t), u(t), t)}= 0.

La ecuación anterior es conocida como la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman. De esta forma para resolver el problema de optimización con programación dinámica, en tiempo continuo, basta con resolver la ecuación anterior.

1.4.2 Programación dinámica continua estocástica

Se comenzará con el análisis de un problema de horizonte infinito, la ventaja de estos problemas en tiempo homogéneo es que el valor del funcional objetivo no depende expl´ı ci-tamente del tiempo. Lo anterior permite eliminar una variable de la ecuación diferencial parcial derivada. Si la optimización es tomada sobre un horizonte de tiempo finito, el problema es llamado a tiempo no homogéneo. El problema general puede ser establecido de de la siguiente forma: se desea maximizar el valor de una variable,V, la cual depende de un conjunto de variables de estado, X, la variable de tiempo,t y parámetros del problema. Además, el valor de V puede ser influenciado por algún control, u(t). Para un proceso estocástico, X, el problema anterior puede ser escrito como:

V = max

u(t) E0

∞

0

(34)

s.a.

dX =α(X, u(t)) dt+σ(X, u(t)) dW.

La consideraci´on de horizonte inﬁnito en este problema junto con la independencia deu,α

y σ de t, es de particular interés en esta sección. Es importante mencionar que en algunos casos,u(t) puede ser una constante. Si se puede determinar una solución en forma cerrada paraV, entoncesu(t) puede ser seleccionada a través del cálculo diferencial para maximizar el valor de V. También puede ser empleado el principio estocástico del máximo, el cual permite el estudio de controles más complejos. El problema anterior puede ser resuelto de la siguiente forma:

sea

J(t, Xt) = max

u(s)|[s,∞) E

∞

t

e−rsF(Xs, u(s))ds Ft

= max

u(s)|[s,∞) E

t+dt

t

e−rsF(Xs, u(s))ds+

∞

t+dt

e−rsF(Xs, u(s))ds Ft

= max

u(s)|[t,t+dt] E

t+dt

t

e−rsF(Xs, u(s))ds+J(t+ dt, Xt+ dXt) Ft .

Por el teorema del valor medio para integrales, se tiene que

J(t, Xt) = max

u(s)|[t,t+dt]

E e−rt_F₍_{Xt, u}₍_t_))d_t₊_o_(d_t_{) +}_J₍_t_{+ d}_{t, Xt}_{+ d}_Xt₎ _Ft _.

En virtud de la deﬁnici´on de diferencial, se obtiene que

J(t+ dt, Xt + dXt)₋J(t, Xt) = dJ(t, Xt),

entonces

J(t, Xt) = max

u(s)|[t,t+dt]

E e−rtF(Xt, u(t))dt+o(dt) + dJ(t, Xt) +J(t, Xt) Ft

= max

u(s)|[t,t+dt]

E e−rtF(Xt, u(t))dt+o(dt) + dJ(t, Xt) Ft +J(t, Xt)

0 = max

u(s)|[t,t+dt]

E e−rtF(Xt, u(t))dt+o(dt) + dJ(t, Xt) Ft .

Al aplicar, a la ecuaci´on anterior, el Lema de Itˆo, se produce

0 = max

u(s)|[t,t+dt]

E e−rtF(Xt, u)dt+o(dt) + Jt +α(X, u)JX+ 1 2σ

2₍_{X, u}₎_JXX _d_t

+JXσ(X, u(t))dW Ft .

(35)

Despu´es de tomar el valor esperado, se sigue que

0 = max

u(s)|[t,t+dt]

e−rtF(Xt, u)dt+o(dt) + Jt+α(X, u)JX+ 1 2σ

2₍_{X, u}₍_t₎₎_JXX _d_{t .}

Si se dividen ambos lados de la ecuaci´on anterior por dt y luego se toma el l´ımite cuando dt tiende a cero, se obtiene

0 = max

u(t) e

−rt_F₍_Xt_{, u}₍_t_{)) +}_Jt₊_α₍_{X, u}₍_t₎₎_JX₊ 1

2σ

2₍_{X, u}₍_t₎₎_JXX _. ₍₁_.₃₎

Debido a que la función objetivo tiene una forma separable entonces, se propone como candidato de la solución de la ecuación diferencial parcial anterior a:

J(t, X) =V(X)e−rt.

Al calcular Jt, JX, JXX, se tiene:

Jt =₋rV(X)e−rt_, JX =VX(X)e−rt, JXX =VXX(X)e−rt_.

Al sustituir lo anterior en (1.3), se obtiene

0 = max

u(t) e

−rt_F₍_{Xt, u}₍_t₎₎

−rV(X)e−rt₊_α₍_{X, u}₍_t₎₎_VX₍_X₎_e₋rt

+ 1 2σ

2₍_{X, u}₍_t₎₎_VXX₍_X₎_e−rt .

Si se dividen ambos miembros de la ecuaci´on por el factor e−rt_{, se sigue que}

0 = max

u(t) F(Xt, u(t))−rV(X) +α(X, u(t))VX(X) +

1 2σ

2₍_{X, u}₍_t₎₎_VXX₍_X₎ _.

Lo anterior es equivalente a

rV(X) = max

u(t) F(Xt, u(t)) +α(X, u(t))VX(X) +

1 2σ

2₍_{X, u}₍_t₎₎_VXX₍_X₎ _.

Para maximizar la expresión anterior se podr´ıa ocupar el cálculo diferencial si u(t) es constante, los métodos de maximización restringida si u(t) es variable y restringida, o el cálculo de variaciones. Una vez que el máximo deu(t) es encontrado, la ecuación diferencial puede ser resuelta utilizando técnicas de ecuaciones diferenciales parciales. La condición necesaria para un máximo es:

F(Xt, u(t)) +α(X, u(t))VX(X) + 1 2σ

(36)

La ecuaci´on anterior es conocida como la ecuaci´on de Hamilton-Jacobi-Bellman.

1.4.3 Extensi´on a m´ultiples variables de estado

Si hay mas de una variable estocástica (pero su valor no depende del tiempo) en el problema anterior, la extensión es directa. Al usar la extensión multivariada del lema de Itô, se puede calcular dV de forma directa. De esta manera la ecuación diferencial parcial que caracteriza al control óptimo mantiene la variable de estado extra.

Suponga que se desea maximizar el valor de una funci´on F(a, b, u, t), donde a y b

siguen el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales estoc´asticas:

da=f(a, b, u)dt+σ(a, b, u)dZa

db=g(a, b, u)dt+ν(a, b, u)dZb

dZadZb =ρdt

sujeto a las condiciones iniciales a(0) = a0 y b(0) =b0. As´ı, el problema queda planteado

como:

V = max

u E ∞

0

e−rtF(a, b, u, t) dt F0 .

Para encontrar el control ´optimo, se seguir´a el siguiente procedimiento, para ello sea:

J(t, at, bt)_≡ max

u|[t,∞] E

∞

t

F(a, b, u, s)e−rs_d_s _Ft _.

Se tienen las siguientes igualdades

J(t, at, bt) = max

u|[t,∞] E

t+dt

t

F(a, b, u, s)e−rsds+

∞

t+dt

G(s)e−rsds Ft

= max

u|[t,t+dt] E

t+dt

t

F(a, b, u, s)e−rsds+J(t+ dt, at + dat, bt+ dbt) Ft

= max

u|[t,t+dt]

E F(a, b, u, t)e−rsdt+o(dt) +J(t, at, bt) + dJ(t, at, bt) Ft

= max

u|[t,t+dt]

E F(a, b, u, t)e−rtdt+o(dt) +J(t, at, bt)

+ Jt+f(a, b, u)Ja+ 1₂σ2Jaa+g(a, b, u)Jb+ 1₂ν2Jbb+σνρJab dt

(37)

En consecuencia:

0 = max

u|[t,t+dt]

E F(a, b, u, t)e−rtdt+o(dt)

+ Jt+f(a, b, u)Ja+ 1₂σ2Jaa+g(a, b, u)Jb+ 1₂ν2Jbb+σνρJab dt

+σJadWt +νJbdVt Ft .

Si se toman valores esperados, se sigue que

0 = max

u|[t,t+dt]

F e−rt_d_t₊_o_(d_t₎₊ _Jt₊_f₍_{a, b, u}₎_Ja₊1 2σ

2_Jaa₊_g₍_{a, b, u}₎_Jb₊1 2ν

2_Jbb₊_σνρJab _d_t

Si ahora se divide entre dt y, posteriormente, se toma el l´ımite cuando dt→0, se tiene que

0 = max

u F(a, b, u)e −rt

+Jt+f(a, b, u)Ja+ 1₂σ2Jaa+g(a, b, u)Jb+ 1₂ν2Jbb+σνρJab .

Si u es m´aximo, entonces

0 =F(a, b, u, t) +Jt +f(a, b, u)Ja+ 1₂σ2Jaa+g(a, b, u)Jb+ ₂1ν2Jbb+σνρJab. (1.4)

Dada la forma separable de la funci´on objetivo, se propone como candidato de la ecuaci´on diferencial parcial anterior a

J(t, at, bt) =V(at, bt)e−rt.

De esta manera,

Jt =₋rV(a, b)e−rt_, Ja =Vae−rt,

Jb =Vbe−rt_, Jaa =Vaae−rt,

Jbb =Vbbe−rt, Jab =Vabe−rt.

Al sustituir las derivadas pariciales anteriores en (1.4), se tiene que

0 =F(a, b, u, t)₋rV +f(a, b, u)Va+ 1₂σ2Vaa+g(a, b, u)Vb + 1₂ν2Vbb+σνρVab.

Por lo tanto, la siguiente ecuaci´on diferencial parcial debe ser satisfecha en el ´optimo:

rV = max

u F(a, b, u, t) +Vaf +Vbg+

1 2Vaaσ

2₊_Vabσνρ₊ 1

2Vbbν

(38)

La ecuación anterior es una generalización de la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman, para dos variables de estado. Por un procedimiento similar al anterior se puede obtener la ecuación de Hamilton-Jacobi-Bellman paran variables de estado.

1.4.4 Extensi´on a la dependencia expl´_ıcita del tiempo

En teor´ıa, la extensión del modelo básico para incorporar la dependencia expl´ıcita del tiempo es directa. Sin embargo, la dificultad computacional es frecuentemente magnificada por ésta aparente extensión simple. Se considera una vez más el problema de maximización, pero adicionando algunos elementos:

V = max

u(t) E0

τ

0

e−rtF(X, s, u(t)) dt+e−rτB(X(τ),τ) F0

sujeto a:

dX =α(X, t, u(t)) dt+σ(X, t, u(t)) dZ.

de esta forma, la optimización es tomada en un horizontefijo de tiempo y alfinal la función de herencia es incluida en la función objetivo. La interpretación de la función de herencia puede diferir dependiendo del problema. Por ejemplo, un consumidor desea maximizar su utilidad más un consumo de supervivencia en una fecha determinada en el futuro. Al seguir la metodolog´ıa empleada anteriormente, se tiene que:

rV +Vτ = max

u(t) F(X, u(t),τ) +VXα(X, u(t),τ) +

1 2VXXσ

2₍_{X, u}₍_t₎_,_τ₎ _.

La diferencia de este caso con el anterior está en el lado izquierdo de la ecuación, la cual incluye la derivada parcial respecto del tiempo, además se deben satisfacer condiciones adicionales de frontera del comportamiento de V cuando τ _→0 es decir:

V(X,0) =B(X,0),

(39)

CAP´ITULO 2

M´

ETODO DE VALUACI ´

ON DE OPCIONES

CON DEPENDENCIA EN LA TRAYECTORIA

En este cap´ıtulo se presentará un método de valuación de opciones con dependencia en la trayectoria del precio del activo subyacente. Espec´ıficamente se utilizará programación dinámica para calcular la prima de una opción con dependencia en la trayectoria. Para aproximar la función de pagos se utilizará interpolación lineal por pedazos.

2.1 Opciones ex´

oticas

Las opciones exóticas tienen su origen en la década de los noventa, aunque se sabe que algunas de sus modalidades ya aparec´ıan en mercados “Over The Counter” (OTC) afinales de la década de los setentas. Sin embargo, no es hasta la década de los noventas cuando su negociación comienza a ser relevante. Las opciones exóticas son opciones con caracter´ısticas distintivas que difieren de las opciones clásicas, ya sea por el precio de ejercicio, el tipo de subyacente y las condiciones de pago. Este tipo de opciones también se les conoce con el nombre de opciones de segunda generación, ya que tratan de superar los l´ımites de las operaciones estándar, las cuales presentan en su mayor´ıa contratos sumamente r´ıgidos. A partir de una opción sencilla, con ciertas modificaciones y en función de ciertas condiciones, se pueden diseñar distintos tipos de opciones exóticas. Los factores determinantes de éste tipo de opciones son muy variados.

(40)

OTCs, a los mercados listados. Entre los tipos de opciones exóticas se pueden mencionar a las opciones “path-dependent” (dependientes de la trayectoria), opciones compuestas, op-ciones apalancadas, opop-ciones con pago singular y opop-ciones “rainbow”, entre otras. Dentro de este tipo de derivados, las opciones “path-dependent” juegan un papel muy importante en muchos mercadosfinancieros, en particular esta tesis se enfocará en dos opciones de éste tipo: las opciones bermudas e “installments” bermudas cuyo pago al vencimiento depende no sólo del valor que alcance el subyacente al vencimiento, sino también de su evolución en el tiempo. Por lo que la decisión de ejercer o no la opción depende de la evolución del precio del activo subyacente en el tiempo. Valuar este tipo de opciones es una tarea dif´ıcil, debido a su dependencia con la trayectoria del activo subyacente. En este caso, el uso de métodos de aproximación es muy útil para el proceso de valuación. En lo subsiguiente se supondrá una opción del tipo “path-dependent” cuyo ejercicio se puede realizar en un conjunto de fechas discretas hasta el vencimiento de este instrumento.

2.2 Opciones tipo Path-Dependent

En esta sección se describirá un método para calcular el precio de una opción del tipo “path-dependent” a través de una técnica llamada interpolación lineal por pedazos. (“Piecewise linear Interpolation”).

Considere una opci´on dependiente de la trayectoria cuyo ejercicio se puede realizar en un conjunto de fechas discretas hasta el vencimiento de este instrumento. Suponga que el valor de este instrumento (prima), al tiempo 0, est´a dado por v. Sean t0 = 0 la fecha de

emisión de la opción y t1, t2, ..., tn = T una colección de fechas de ejercicio de la opción,

donde T es el vencimiento del contrato. Considere que el precio del activo subyacente es conducido por la siguiente ecuaci´on diferencial estoc´astica:

dSt =μ(St, t) dt+σ(St, t) dWt. (2.1)

Suponga que vm es el pago de la opci´on al tiempo tm y

vm =f(Stm, t),

es decir, el pago de la opci´on depende de la trayectoria del activo subyacente hasta la fecha

tm. Con base en la metodolog´ıa de valuación neutral al riesgo, se tiene que el precio de esta opción al tiempo tm está dado por:

vm = E e−rdtvm+1(Stm+1)|Stm =s , para m= 0, ..., n−1. (2.2)

(41)

aproximado por algún método. Una técnica eficiente y que es de gran utilidad es la conocida como interpolación lineal por pedazos, la cual consiste en encontrar el valor de una función en un punto intermedio desconocido dados dos valores de esta función. Este método es muy popular en muchas aplicaciones tecnológicas tales como en fotograf´ıa digital, calibración de imágenes y registros, texturas y remuestreo. El objetivo de esta sección es plantear un método para calcular el valor esperado de la ecuación (2.1). Este método consiste en particionar el eje real positivo en una colección de intervalos y entonces aproximar el valor de la función de pagos por el método de interpolación lineal por pedazos. Para ello considere un conjunto de puntos a0 = 0 < a1 < ... < ap < ap+1 = +∞ y sea R0, ..., Rp

una partici´on de los reales enp+ 1 intervalos de la forma

Ri = (ai, ai+1] para i= 0, .., p.

Sivm es una aproximación del valor de la opción en los puntosaien el pasom, esta función es interpolada linealmente por pedazos, lo cual produce

ˆ

vm(s) =

p

i=0

(αmi +β m

i s)I(ai < s ≤ai+1), (2.3)

dondeI es una función indicadora. Los coeficientes locales de esta interpolación en el paso

m, que son los αm

i y los β m

i , son obtenidos al resolver la ecuaci´on lineal

vm(ai) = ˆvm(ai), para i= 0, ..., p−1,

donde:

αm i =

vm(ai)ai+1−vm(ai+1)ai

ai+1−ai

, (2.4)

βm i =

vm(ai+1)−vm(ai)

ai+1−ai

. (2.5)

Para el caso i=p, los valores para αm

p y βpm est´an dados por

αmp =α m

p₋1 y βpm=βpm−1.

Si ˆvm+1 es conocido. En virtud de (2.1), el valor esperado en (2.2) al paso m est´a dado

por la expresi´on:

vmh = E e− rdt

ˆ

(42)

por lo que al sustituir (2.3) en la ecuaci´on anterior, se tiene que:

vm =E e−rdtvm+1 Stm+1 |Stm =ak

=E e−rdt p

i=0

αmi +β m

i Stm+1 I(ai < s≤ai+1)|Stm =ak

=e−rdt p

i=0

αmi E [I(ai < s≤ai+1)|Stm =ak]

+e−rdt p

i=0

βm

i E Stm+1I(ai < s≤ai+1)|Stm =ak .

(2.6)

Si se denotan

Ak,i = E I ai < Stm+1 ≤ai+1 |Stm =ak , (2.7)

Bk,i = E Stm+1I ai < Stm+1 ≤ai+1 |Stm =ak (2.8)

entonces

vm=e−rdt p

i=0

αm

i Ak,i+e−rdt p

i=0

βm

i Bk,i. (2.9)

En las siguientes secciones se verán los casos particulares para el movimiento Browniano geométrico y el movimiento Browniano con reversión a la media.

2.3 Caso movimiento Browniano geom´etrico

A continuación se trabajará con el supuesto de que el proceso en (2.1) bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo sigue un movimiento Browniano geométrico de la forma:

dSt = (r₋δ)Stdt+σStdWt

(43)

A_k,i, dado en (2.7), satisface

Ak,i = E I ai < Stm+1 ≤ai+1 |Stm =ak

=

∞

0

I(ai < s ≤ai+1)fS_tm₊₁|S_tm (s|Stm =ak)ds

=

ai+1

ai fS_tm

+1|Stm (s|Stm =ak)ds

=

ai+1

0

fS_tm

+1|Stm (s|Stm =ak)ds−

ai

0

fS_tm

=N ₋d(2)_k,i₊₁ ₋N ₋d(2)_k,i .

La última igualdad es debida a la fórmula de valuación de Black-Scholes. Por lo tanto,

Ak,i =N −d

(2)

k,i+1 −N −d (2)

k,i , (2.10)

donde

d(2)_k,i = ln

Stm

ai + r−q− 12σ2 dt

σ√dt .

Sea μ=r−q− 1

2σ2. En virtud de que Stm =ak, se sigue que:

d(2)_k,i =

ln _aiak +μdt

σ√dt

= −

ln _akai +μdt

σ√dt .

Sea

xk,i =₋d(2)_k,i, (2.11)

entonces

xk,i =−d(2)_k,i =−−ln

ai

ak +μdt σ√dt =

ln _akai −μdt

σ√dt ,

es decir,

xk,i =

ln _akai ₋μdt

σ√dt . (2.12)

Por lo tanto, a partir de (2.10) y (2.12), se obtiene

(44)

A continuaci´on se analizar´an algunos casos especiales para el ´ındice i. Cuando i = 0, se tiene que

xk,0 =

ln a0

ak −μdt σ√dt =

ln _ak0 −μdt

σ√dt =

ln (0)₋μdt

σ√dt =−∞

ya que a0 = 0. De esta forma se obtiene

N(xk,0) =N (−∞) = 0.

Por lo tanto,

Ak,0 =N (xk,1)−N(xk,0) =N(xk,1). (2.13)

Para el caso i=p+ 1, se tieneap+1 =∞, por lo que

xk,p+1 =

ln ap_ak+1 −μdt

σ√dt =

ln _ak∞ −μdt

σ√dt =∞,

as´ı

N (xk,p+1) =N (∞) = 1,

por lo tanto

Ak,p =N (xk,p+1)−N(xk,p) = 1−N (xk,p).

De esta forma se tiene que

Ak,i = ⎧ ⎨ ⎩

N(xk,1) si i = 0,

N(xk,i+1)−N(xk,i) si 1≤i ≤p−1,

1₋N (xk,p) si i =p.

(2.14)

Ahora se calcular´a el segundo sumando de (2.9). De acuerdo con (2.8), se tiene que

Bk,i =E Stm+1I ai < Stm+1 ≤ai+1 |Stm =ak

=

∞

0

sI(ai < s≤ai+1)fS_tm₊₁|S_tm (s|Stm =ak)ds

=

ai+1

ai

sfS_tm

=

ai+1

0

sfS_tm

+1|Stm (s|Stm =ak)ds−

ai

0

sfS_tm