1
MATEMÁTICA 2 IPA PROF: ADRIÁN MILANO
Profesorado de Física 2018
SUBESPACIOS VECTORIALES
Si
P
(
K
)
es el conjunto de todos los polinomios de coeficientes en un cuerpoK
yP
n(
K
)
es el conjunto cuyos elementos son el polinomio nulo y todos los polinomios con coeficientes enK
de grado menor o igual an
y sobreestos conjuntos se definen las operaciones habituales, entonces las cuaternas
(
P
(
K
)
,
K
,
+
,
⋅
)
y(
P
n(
K
)
,
K
,
+
,
⋅
)
son espacios vectoriales. Como además se cumple que
P
n(
K
)
⊂
P
(
K
)
, diremos queP
n(
K
)
es un subespacio vectorial deP
(
K
)
.Dado que esta noción puede extenderse a otros espacios vectoriales es que damos la siguiente definición:
DEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL
Sea
(
V
,
K
,
+
,
⋅
)
un espacio vectorial yS
un subconjunto no vacío deV
.Decimos que
S
es un subespacio vectorial deV
o un subespacio deV
si y solo si(
S
,
K
,
+
,
⋅
)
es un espacio vectorial.Es decir, un subespacio vectorial de un espacio vectorial
V
, es un subconjunto no vacío deV
, que con las operaciones adición y multiplicación definidas enV
es un espacio vectorial.El subespacio vectorial
S
“hereda” las operaciones del espacio vectorialV
. Esto quiere decir que la adición y multiplicación definidas enS
son las mismas que las definidas enV
en el sentido que, dado dos vectoresv
∈
S
yS
w
∈
, la sumav
+
w
y el productoλ
⋅
v
dan respectivamente el mismo resultado enS
que enV
.Dicho de otra manera, la suma y el producto por un escalar se calcula en
S
con el mismo procedimiento que se calcula enV
. Aunque estrictamente hablando, las operaciones adición y multiplicación definidas enS
, no son las mismas que las definidas enV
por estar aplicadas sobre dominios distintos.Enunciaremos a continuación un resultado que permite de manera sencilla decidir si un subconjunto no vacío de un espacio vectorial
V
es o no un subespacio vectorial deV
.TEOREMA 1
Si
(
V
,
K
,
+
,
⋅
)
es un espacio vectorial, entoncesS
es un subespacio vectorial deV
sí y sólo si se cumplen las siguientes tres propiedades:1)
S
es un subconjunto no vacío deV
.2) la suma de dos vectores pertenecientes a
S
es un vector perteneciente aS
, es decir∀
v
∈
S
y∀
w
∈
S
se cumple:v
+
w
∈
S
(cuando ocurre esto se dice queS
es cerrado frente a la adición de vectores)3) el producto de un vector perteneciente a
S
por un escalar deK
, es un vector perteneciente aS
, es decir∀
v
∈
S
y∀
λ
∈
K
se cumple:λ
⋅
v
∈
S
(Es decir,S
es cerrado frente a la multiplicación por un escalar)Las propiedades 2) y 3) se pueden resumir en:
∀
v
∈
S
,
∀
w
∈
S
,∀
λ
∈
K
y∀
µ
∈
K
, se tieneλ
⋅
v
+
µ
⋅
w
∈
S
OBSERVACIÓN
Si
S
es un subespacio vectorial deV
, entonces como consecuencia del teorema 1, el nulo deV
pertenece aS
. Por tal motivo si el vector nulo deV
, no pertenece aS
, entoncesS
no es un subespacio vectorial deV
.2
EJEMPLOS Y CONTRAEJEMLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES
a) Si
V
es un espacio vectorial, entoncesV
y{ }
θ
son subespacios vectoriales deV
. Estos subespacios, se llaman subespacios triviales deV
.b) El espacio vectorial
R
2 no es un subespacio vectorial deR
3 ya queR
2no es un subconjunto deR
3.
Sin embargo, el conjunto
V
=
{
(
x
,
y
,
0
)
/
x
∈
R
,
y
∈
R
}
, que es un subconjunto deR
3, que “actúa “ comoR
2, si es un subespacio de
R
3.
c) Investiguemos si el conjunto
S
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2/
y
=
x
2}
es un subespacio vectorial del espacioR
2. Investiguemos para ello si el conjuntoS
cumple las hipótesis del teorema 1.1)
(
0
,
0
)
∈
S
S
≠
φ
2) Si
v
=
(
x
1,
y
1)
∈
S
yw
=
(
x
2,
y
2)
∈
S
nos debemos preguntar siv
+
w
=
(
x
1+
x
2,
y
1+
y
2)
∈
S
v
=
(
x
1,
y
1)
∈
S
y
1=
x
12(*)
y
(
,
)
(**)
2 2 2 22
y
S
y
x
x
w
=
∈
=
Para que
v
+
w
=
(
x
1+
x
2,
y
1+
y
2)
∈
S
debe verificarse:y
1+
y
2=
(
x
1+
x
2)
2=
x
12+
x
12+
2
x
1x
2. De (*) y (**) se puede concluir:y
1+
y
2=
x
12+
x
22 ,lo que implica que la igualdad
y
1+
y
2=
x
12+
x
12+
2
x
1x
2 es verdadera solo cuandox
1x
2=
0
.Por lo tanto
S
no es un subespacio vectorial deR
2 .d) Estudiaremos ahora si el conjunto
S
=
{
f
:
R
→
R
función talquef
(
x
+
1
)
=
f
(
x
)
,
∀
x
∈
R
}
es un subespacio vectorial del espacio vectorialF
(
R
,
R
)
=
{
f
:
R
→
R
función}
.1) La función
O
:
R
→
R
tal queO
(
x
)
=
0
verifica queO
(
x
+
1
)
=
O
(
x
)
=
0
∀
x
∈
R
, por lo tantoO
∈
S
y entoncesS
≠
φ
.2) Si
f
∈
S
yg
∈
S
, entonces∀
x
∈
R
,f
(
x
+
1
)
=
f
(
x
)
yg
(
x
+
1
)
=
g
(
x
)
Dado que
∀
x
∈
R
,
(
f
+
g
)(
x
+
1
)
=
f
(
x
+
1
)
+
g
(
x
+
1
)
=
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
(
f
+
g
)(
x
)
concluimos quef
+
g
∈
S
cualesquiera sean las funcionesf
yg
pertenecientes aS
.
3) Si
f
∈
S
, entonces∀
x
∈
R
,f
(
x
+
1
)
=
f
(
x
)
∀
λ
∈
R
,(
λ
f
)(
x
+
1
)
=
λ
f
(
x
+
1
)
=
λ
f
(
x
)
∀
x
∈
R
λ
f
∈
S
De lo demostrado en 1) , 2) y 3) concluimos que el conjunto
S
es un subespacio vectorial deF
(
R
,
R
)
.e) Si
V
es un espacio vectorial real yv
∈
V
conv
≠
θ
, entonces el conjunto(
r
)
=
{
β
⋅
v
,
v
∈
V
,
β
∈
R
}
es un subespacio vectorial deV
, el cual llamamos recta que contiene al origen y tiene la dirección del vectorv
f) Si
K
es un cuerpo numérico cualquiera, el subconjuntoS
⊂
K
n , formado por las soluciones de un sistema lineal no homogéneoAX
=
B
no es un subespacio vectorial ya que el vector nulo deK
n no pertenece aS
. (¿y si el sistema es homogéneo?)g) Si
a
1,
a
2,
...,
a
n son números reales, entonces
H
=
{
v
=
(
x
1,
x
2,...,
x
n)
∈
R
n/
a
1x
1+
a
2x
2+
...
+
a
nx
n=
0
}
es un subespacio vectorial deR
n. Para demostrar queH
es un subespacio vectorial, justificaremos queH
cumple las propiedades del teorema 1. 1)H
≠
φ
ya que el vectorv
=
(
0
,
0
,....
0
)
∈
H
.2) Si
v
=
(
v
1,
v
2,....
v
n)
∈
H
, entoncesa
1v
1+
a
2v
2+
...
+
a
nv
n=
0
Si
w
=
(
w
1,
w
2,....
w
n)
∈
H
, entoncesa
1w
1+
a
2w
2+
...
+
a
nw
n=
0
De estas dos igualdades se llega a:
a
1(
v
1+
w
1)
+
a
2(
v
2+
w
2)
+
...
+
a
n(
v
n+
w
n)
=
0
y por tantov
+
w
∈
H
3) Si
v
=
(
v
1,
v
2,....
v
n)
∈
H
, entoncesa
1v
1+
a
2v
2+
...
+
a
nv
n=
0
.Por tanto
a
1(
λ
v
1)
+
a
2(
λ
v
2)
+
...
+
a
n(
λ
v
n)
=
0
,
∀
λ
∈
R
, lo que implica queλ
v
∈
H
.3
Observar que el subespacio
H
definido en el ejemplo g) esR
n cuandoa
1=
a
2=
...
=
a
n=
0
. En el caso que exista algúnk
∈
N
−
{ }
0
tal quea
k≠
0
, decimos queH
es un hiperplano deR
n que contiene al origen. (Interpretar geométricamente en el cason
=
2
on
=
3
)h) Si
F
(
R
,
R
)
=
{
f
:
R
→
R
función}
es el conjunto de las funciones reales de variable real, entonces son subespacios deF
(
R
,
R
)
, el conjuntoC
0(
R
)
de las funciones continuas, el conjuntoC
∞(
R
)
de las funciones infinitamente derivables, el conjuntoC
k(
R
)
de las funcionesk
veces derivables y con derivadas continuas, el conjuntoP
(
R
)
de las funciones polinómicas y el conjuntoP
n(
R
)
cuyos elementos son la función polinómica nula y todas las funciones polinómicas de grado menor o igual que un natural n prefijado.Observar además que cualesquiera sean los números naturales n y
k
se cumple lo siguiente:P
n(
R
)
⊂
P
(
R
)
⊂
C
∞(
R
)
⊂
C
k(
R
)
⊂
C
0(
R
)
i) El conjunto
S
⊂
C
n formado por las n- uplas de números complejos cuya parte real es cero, es un subespacio vectorial de(
C
n,
C
,
+
,
⋅
)
, pero el mismo conjunto no es un subespacio vectorial del espacio vectorial
(
C
n,
C
,
+
,
⋅
)
(¿Por qué?). Con esto se quiere mostrar la importancia del cuerpo sobre el cual se está trabajando.Ejercicio 1
En cada uno de los siguientes casos indicar si el conjunto
S
es un subespacio del espacio vectorialV
definido sobreR
1)
V
=
R
2 yS
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2/
y
=
mx
+
n
}
Discutir según
m
∈
R
y
n
∈
R
2)
V
=
R
2 yS
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2/
x
2+
3
x
=
y
2+
3
y
}
3)
V
=
R
2 yS
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2/
x
2+
y
2+
2
x
=
0
}
4)
V
=
R
3 yS
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3/
x
+
2
y
−
z
=
0
}
5)
V
=
R
3 yS
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3/
x
=
z
∧
y
−
2
z
=
0
}
6)V
=
R
3 yS
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3/
xy
=
0
}
7)
V
=
R
n yS
=
{
(
x
1,
x
2,...,
x
n)
∈
R
n/
x
1≥
0
}
Ejercicio 2
En cada uno de los siguientes casos indicar si el conjunto
S
es un subespacio del espacio vectorialV
definido sobreR
1)
V
=
F
(
R
,
R
)
yS
=
{
f
∈
F
(
R
,
R
)
/
f
(
a
)
=
0
,
a
esunnúmerorealdado}
2)
V
=
F
(
R
,
R
)
yS
=
{
f
∈
F
(
R
,
R
)
/
f
(
x
)
≥
0
,
∀
x
∈
R
}
3)
V
=
F
(
R
,
R
)
yS
=
{
f
∈
F
(
R
,
R
)
/
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)
,
∀
x
∈
R
}
(conjunto de las funciones pares) 4)
V
=
C
∞(
R
)
yS
=
{
f
∈
C
∞(
R
)
/
f
´´(
x
)
−
2
f
´(
x
)
+
f
(
x
)
=
0
,
∀
x
∈
R
}
5)
V
=
M
n×n yS
=
{
A
∈
M
n×n/
A
essimétrica}
6)
V
=
M
n×n yS
=
{
A
∈
M
n×n/
A
es antisimétrica}
7)V
=
M
n×n yS
=
{
A
∈
M
n×n/
det
A
=
0
}
Ejercicio 3
Hallar
a
∈
R
de modo que el conjuntoS
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3/
x
=
0
∧
2
y
+
z
=
0
∧
x
+
2
y
+
z
+
1
=
a
}
4
PROPIEDAD
Si
S
1 yS
2 son subespacios vectoriales de un espacio vectorialV
, entoncesS
1∩
S
2 es un subespacio deV
. AdemásS
1∩
S
2 es el mayor subespacio de todos los que están contenidos enS
1 yS
2.En general, si
{ }
S
k k∈I es una colección (finita o infinita) de subespacios vectoriales de un espacio vectorialV
, entonces la intersección∩
I
k k
S
∈ de todos estos subespacios es un subespacio vectorial de
V
.Como corolario de esta propiedad, podemos afirmar que la intersección de
m
hiperplanos deR
nque contienen al origen, es un subespacio deR
n. Es decir, el conjunto de vectores que satisfacen el sistema de ecuaciones:
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
0
..
...
...
...
...
...
...
...
0
...
...
0
...
...
2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n n m m m n n n nx
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
es un espacio vectorial de
R
n.
COMBINACIONES LINEALES - SUBESPACIO GENERADO
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
de escalares,H
=
{
v
1,
v
2,
v
3,...,
v
n}
⊂
V
un conjunto de vectores deV
yλ
,
λ
,...,
λ
n2
1 escalares del cuerpo
K
.1) Decimos que
=
=
=
+
+
+
k nk k k
n
n
v
v
v
v
1 2 2 11
λ
...
λ
λ
λ
es una combinación lineal de los vectores
v
1,
v
2,...,
v
n con coeficientesλ
1,
λ
2,...,
λ
n.2) Diremos que un vector
v
∈
V
es combinación lineal de los vectoresv
1,
v
2,...,
v
n si y sólo si existenescalares
µ
1,
µ
2,...,
µ
n pertenecientes aK
tales que
= =
=
+
+
+
=
k nk k k
n
n
v
v
v
v
v
1 2 2 11
µ
...
µ
µ
µ
EJEMPLO
Consideremos el conjunto de vectores
H
=
{
(
0
,
1
,
−
1
)
;
(
1
,
2
,
2
)
;
(
−
2
,
−
3
,
−
5
)
}
⊂
R
3.Los vectores
v
=
(
0
,
−
3
,
3
)
yw
=
(
−
5
,
−
7
,
−
13
)
son combinación lineal de los vectores deH
, sin embargo el vectorz
=
(
2
,
−
4
,
1
)
no lo es. En efecto:1)
v
=
(
0
,
−
3
,
3
)
=
3
(
0
,
−
1
,
1
)
+
0
(
1
,
2
,
2
)
+
0
(
−
2
,
−
3
,
−
5
)
2)
−
=
−
+
−
−
=
−
+
−
=
−
⇔
−
−
−
+
+
−
=
−
−
−
=
13
5
2
7
3
2
5
2
)
5
,
3
,
2
(
)
2
,
2
,
1
(
)
1
,
1
,
0
(
)
13
,
7
,
5
(
3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
w
Dado que este último sistema es compatible indeterminado, existen infinitas ternas
(
λ
1,
λ
2,
λ
3)
que son solución. Una posible solución esλ
1=
1
,λ
2=
−
1
yλ
3=
2
Concluimos entonces, que existen infinitas formas de escribir
w
como combinación lineal de los vectores deH
. ¿Ocurre lo mismo conv
?3)
−
=
−
+
−
−
=
−
+
=
−
⇔
−
−
−
+
+
−
=
−
−
=
1
5
2
4
3
2
2
2
)
5
,
3
,
2
(
)
2
,
2
,
1
(
)
1
,
1
,
0
(
)
1
,
4
,
2
(
3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
z
5
Ejercicio 41) Demostrar que el vector
w
=
(
−
3
,
2
,
7
)
es combinación lineal de los vectoresu
=
(
1
,
2
,
3
)
yv
=
(
3
,
2
,
1
)
¿Es única la forma de escribir
w
como combinación lineal deu
yv
?2) Demostrar que el vector
a
=
(
1
,
2
,
2
)
no es combinación lineal de los vectoresb
=
(
1
,
1
,
2
)
yc
=
(
1
,
2
,
1
)
. A partir de esto, formular un sistema lineal de tres ecuaciones y dos incógnitas que sea incompatible en el cual el vectora
sea el término independiente.3) Hallar los números reales
m
yn
para que el vector(
1
,
4
,
a
,
b
)
sea combinación lineal de los vectores(
1
,
2
,
−
1
,
−
2
)
y(
0
,
1
,
2
,
1
)
4) Demostrar que
−
−
=
16
6
4
4
A
es combinación lineal de
=
4
3
2
1
B
,
−
−
=
4
3
2
1
C
y
−
−
=
4
3
2
1
D
5) Demostrar que el polinomio
p
=
x
2+
4
x
−
3
se puede escribir como combinación lineal de los polinomiosq
=
x
2−
2
x
+
5
,r
=
2
x
2−
3
x
ys
=
x
+
3
Ejercicio 5 (
DEFINICIÓN DE SUBESPACIO GENERADO)
Sea
V
un espacio vectorial sobre un cuerpoK
de escalares yH
un subconjunto finito deV
.Demostrar que el conjunto de todos los vectores de
V
que son combinación lineal de los vectores deH
es unsubespacio vectorial de
V
, llamado subespacio generado porH
y que anotaremos[ ]
H
.[ ]
H
es el “menor” subespacio vectorial deV
que contiene aH
.En el caso particular que
H
sea un subespacio vectorial deV
, se verifica:[ ]
H
=
H
EJEMPLO
1) En el espacio vectorial
R
3 , el subespacio generado por el conjuntoH
=
{
(
1
,
0
,
1
)
,
(
0
,
1
,
2
)
}
es
[ ]
H
=
{
(
λ
1,
λ
2,
λ
1+
2
λ
2)
,
λ
1∈
R
,
λ
2∈
R
}
=
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3/
z
=
x
+
2
y
}
(plano que contiene al origen y tiene como vectores directores a los vectores deH
)2) Si
V
es un espacio vectorial sobre un cuerpoK
yv
un vector no nulo perteneciente aV
, entonces el espacio generado porv
es la recta que contiene al origen y al vectorv
.3) Consideremos en el espacio vectorial
P
2(
R
)
, cuyos vectores son los polinomios de grado menor o igual que dos ycoeficientes reales y el conjunto
{
}
3 2 1
,
p
,
p
p
H
=
conp
1=
x
2−
x
+
1
,p
2=
x
2+
x
+
1
y 21
3
=
x
+
p
Buscamos hallar el subespacio generado por
H
, es decir, el conjunto de los polinomios que se pueden escribir como combinación lineal de los polinomiosp
1 ,p
2 yp
3Para ello encontremos las condiciones que deben cumplir los coeficientes de un polinomio
p
=
ax
2+
bx
+
c
para pertenecer al subespacio generado porH
.p
∈
[ ]
H
⇔
existenrealesλ
1,
λ
2,
λ
3 talesqueλ
1p
1+
λ
2p
2+
λ
3p
3=
p
=
+
+
=
+
−
=
+
+
⇔
+
+
=
+
+
+
+
+
+
−
c
b
a
S
c
bx
ax
x
x
x
x
x
3 2 1 2 1 3 2 1 2 2 3 2 2 21
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
)
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
Dado que el sistema (S) es equivalente al sistema escalerizado
−
=
=
+
−
=
+
+
a
c
b
a
0
2 1 3 2 1λ
λ
λ
λ
λ
y este último es compatible
6
Ejercicio 6Sea
H
=
{
(
1
,
3
,
4
)
,
(
2
,
7
,
2
)
,
(
−
1
,
2
,
1
)
}
1) Investigar si los vectores
(
−
3
,
1
,
2
)
,
(
2
,
1
,
1
)
y(
0
,
1
,
1
)
pertenecen al subespacio generado porH
. 2) Hallar el subespacio generado porH
e interpretar geométricamente.Ejercicio 7
Hallar los números reales
a
yb
para que el vector(
1
,
0
,
a
,
b
)
pertenezca al subespacio generado por los vectores del conjuntoH
=
{
(
1
,
4
,
−
5
,
2
)
,
(
1
,
2
,
3
,
−
1
)
}
.Ejercicio 8
Hallar en cada caso el subespacio generado por el conjunto
H
1)
H
=
{
(
1
,
0
,
1
)
,
(
0
,
1
,
1
)
,
(
1
,
1
,
2
)
}
2)H
=
{
(
1
,
−
4
,
−
2
,
1
)
,
(
1
,
−
3
,
−
1
,
2
)
,
(
3
,
−
8
,
−
2
,
7
)
}
3)
H
=
{
x
3,
1
+
x
2,
x
2−
1
,
x
3−
2
x
2−
4
}
,
x
∈
R
4)
−
=
1
3
0
1
,
0
1
1
0
,
1
2
1
1
H
Ejercicio 9
Sean
v
1 ,v
2 yv
3 los vectores fila yw
1 ,w
2 yw
3 los vectores columna de la matriz
=
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A
1) Verificar que
v
3=
2
v
2−
v
1 yw
3=
2
w
2−
w
1 2) Escribir1
w
y2
w
como combinación lineal de dev
1 y2