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1

MATEMÁTICA 2 IPA PROF: ADRIÁN MILANO

Profesorado de Física 2018

SUBESPACIOS VECTORIALES

Si

P

(

K

)

es el conjunto de todos los polinomios de coeficientes en un cuerpo

K

y

P

n

(

K

)

es el conjunto cuyos elementos son el polinomio nulo y todos los polinomios con coeficientes en

K

de grado menor o igual a

n

y sobre

estos conjuntos se definen las operaciones habituales, entonces las cuaternas

(

P

(

K

)

,

K

,

+

,

)

y

(

P

n

(

K

)

,

K

,

+

,

)

son espacios vectoriales. Como además se cumple que

P

n

(

K

)

P

(

K

)

, diremos que

P

n

(

K

)

es un subespacio vectorial de

P

(

K

)

.

Dado que esta noción puede extenderse a otros espacios vectoriales es que damos la siguiente definición:

DEFINICIÓN DE SUBESPACIO VECTORIAL

Sea

(

V

,

K

,

+

,

)

un espacio vectorial y

S

un subconjunto no vacío de

V

.

Decimos que

S

es un subespacio vectorial de

V

o un subespacio de

V

si y solo si

(

S

,

K

,

+

,

)

es un espacio vectorial.

Es decir, un subespacio vectorial de un espacio vectorial

V

, es un subconjunto no vacío de

V

, que con las operaciones adición y multiplicación definidas en

V

es un espacio vectorial.

El subespacio vectorial

S

“hereda” las operaciones del espacio vectorial

V

. Esto quiere decir que la adición y multiplicación definidas en

S

son las mismas que las definidas en

V

en el sentido que, dado dos vectores

v

S

y

S

w

, la suma

v

+

w

y el producto

λ

v

dan respectivamente el mismo resultado en

S

que en

V

.

Dicho de otra manera, la suma y el producto por un escalar se calcula en

S

con el mismo procedimiento que se calcula en

V

. Aunque estrictamente hablando, las operaciones adición y multiplicación definidas en

S

, no son las mismas que las definidas en

V

por estar aplicadas sobre dominios distintos.

Enunciaremos a continuación un resultado que permite de manera sencilla decidir si un subconjunto no vacío de un espacio vectorial

V

es o no un subespacio vectorial de

V

.

TEOREMA 1

Si

(

V

,

K

,

+

,

)

es un espacio vectorial, entonces

S

es un subespacio vectorial de

V

sí y sólo si se cumplen las siguientes tres propiedades:

1)

S

es un subconjunto no vacío de

V

.

2) la suma de dos vectores pertenecientes a

S

es un vector perteneciente a

S

, es decir

v

S

y

w

S

se cumple:

v

+

w

S

(cuando ocurre esto se dice que

S

es cerrado frente a la adición de vectores)

3) el producto de un vector perteneciente a

S

por un escalar de

K

, es un vector perteneciente a

S

, es decir

v

S

y

λ

K

se cumple:

λ

v

S

(Es decir,

S

es cerrado frente a la multiplicación por un escalar)

Las propiedades 2) y 3) se pueden resumir en:

v

S

,

w

S

,

λ

K

y

µ

K

, se tiene

λ

v

+

µ

w

S

OBSERVACIÓN

Si

S

es un subespacio vectorial de

V

, entonces como consecuencia del teorema 1, el nulo de

V

pertenece a

S

. Por tal motivo si el vector nulo de

V

, no pertenece a

S

, entonces

S

no es un subespacio vectorial de

V

.

(2)

2

EJEMPLOS Y CONTRAEJEMLOS DE SUBESPACIOS VECTORIALES

a) Si

V

es un espacio vectorial, entonces

V

y

{ }

θ

son subespacios vectoriales de

V

. Estos subespacios, se llaman subespacios triviales de

V

.

b) El espacio vectorial

R

2 no es un subespacio vectorial de

R

3 ya que

R

2no es un subconjunto de

R

3

.

Sin embargo, el conjunto

V

=

{

(

x

,

y

,

0

)

/

x

R

,

y

R

}

, que es un subconjunto de

R

3, que “actúa “ como

R

2

, si es un subespacio de

R

3

.

c) Investiguemos si el conjunto

S

=

{

(

x

,

y

)

R

2

/

y

=

x

2

}

es un subespacio vectorial del espacio

R

2. Investiguemos para ello si el conjunto

S

cumple las hipótesis del teorema 1.

1)

(

0

,

0

)

S

S

φ

2) Si

v

=

(

x

1

,

y

1

)

S

y

w

=

(

x

2

,

y

2

)

S

nos debemos preguntar si

v

+

w

=

(

x

1

+

x

2

,

y

1

+

y

2

)

S

v

=

(

x

1

,

y

1

)

S

y

1

=

x

12

(*)

y

(

,

)

(**)

2 2 2 2

2

y

S

y

x

x

w

=

=

Para que

v

+

w

=

(

x

1

+

x

2

,

y

1

+

y

2

)

S

debe verificarse:

y

1

+

y

2

=

(

x

1

+

x

2

)

2

=

x

12

+

x

12

+

2

x

1

x

2. De (*) y (**) se puede concluir:

y

1

+

y

2

=

x

12

+

x

22 ,lo que implica que la igualdad

y

1

+

y

2

=

x

12

+

x

12

+

2

x

1

x

2 es verdadera solo cuando

x

1

x

2

=

0

.

Por lo tanto

S

no es un subespacio vectorial de

R

2 .

d) Estudiaremos ahora si el conjunto

S

=

{

f

:

R

R

función talque

f

(

x

+

1

)

=

f

(

x

)

,

x

R

}

es un subespacio vectorial del espacio vectorial

F

(

R

,

R

)

=

{

f

:

R

R

función

}

.

1) La función

O

:

R

R

tal que

O

(

x

)

=

0

verifica que

O

(

x

+

1

)

=

O

(

x

)

=

0

x

R

, por lo tanto

O

S

y entonces

S

φ

.

2) Si

f

S

y

g

S

, entonces

x

R

,

f

(

x

+

1

)

=

f

(

x

)

y

g

(

x

+

1

)

=

g

(

x

)

Dado que

x

R

,

(

f

+

g

)(

x

+

1

)

=

f

(

x

+

1

)

+

g

(

x

+

1

)

=

f

(

x

)

+

g

(

x

)

=

(

f

+

g

)(

x

)

concluimos que

f

+

g

S

cualesquiera sean las funciones

f

y

g

pertenecientes a

S

.

3) Si

f

S

, entonces

x

R

,

f

(

x

+

1

)

=

f

(

x

)

λ

R

,

(

λ

f

)(

x

+

1

)

=

λ

f

(

x

+

1

)

=

λ

f

(

x

)

x

R

λ

f

S

De lo demostrado en 1) , 2) y 3) concluimos que el conjunto

S

es un subespacio vectorial de

F

(

R

,

R

)

.

e) Si

V

es un espacio vectorial real y

v

V

con

v

θ

, entonces el conjunto

(

r

)

=

{

β

v

,

v

V

,

β

R

}

es un subespacio vectorial de

V

, el cual llamamos recta que contiene al origen y tiene la dirección del vector

v

f) Si

K

es un cuerpo numérico cualquiera, el subconjunto

S

K

n , formado por las soluciones de un sistema lineal no homogéneo

AX

=

B

no es un subespacio vectorial ya que el vector nulo de

K

n no pertenece a

S

. (¿y si el sistema es homogéneo?)

g) Si

a

1

,

a

2

,

...,

a

n son números reales, entonces

H

=

{

v

=

(

x

1

,

x

2

,...,

x

n

)

R

n

/

a

1

x

1

+

a

2

x

2

+

...

+

a

n

x

n

=

0

}

es un subespacio vectorial de

R

n. Para demostrar que

H

es un subespacio vectorial, justificaremos que

H

cumple las propiedades del teorema 1. 1)

H

φ

ya que el vector

v

=

(

0

,

0

,....

0

)

H

.

2) Si

v

=

(

v

1

,

v

2

,....

v

n

)

H

, entonces

a

1

v

1

+

a

2

v

2

+

...

+

a

n

v

n

=

0

Si

w

=

(

w

1

,

w

2

,....

w

n

)

H

, entonces

a

1

w

1

+

a

2

w

2

+

...

+

a

n

w

n

=

0

De estas dos igualdades se llega a:

a

1

(

v

1

+

w

1

)

+

a

2

(

v

2

+

w

2

)

+

...

+

a

n

(

v

n

+

w

n

)

=

0

y por tanto

v

+

w

H

3) Si

v

=

(

v

1

,

v

2

,....

v

n

)

H

, entonces

a

1

v

1

+

a

2

v

2

+

...

+

a

n

v

n

=

0

.

Por tanto

a

1

(

λ

v

1

)

+

a

2

(

λ

v

2

)

+

...

+

a

n

(

λ

v

n

)

=

0

,

λ

R

, lo que implica que

λ

v

H

.

(3)

3

Observar que el subespacio

H

definido en el ejemplo g) es

R

n cuando

a

1

=

a

2

=

...

=

a

n

=

0

. En el caso que exista algún

k

N

{ }

0

tal que

a

k

0

, decimos que

H

es un hiperplano de

R

n que contiene al origen. (Interpretar geométricamente en el caso

n

=

2

o

n

=

3

)

h) Si

F

(

R

,

R

)

=

{

f

:

R

R

función

}

es el conjunto de las funciones reales de variable real, entonces son subespacios de

F

(

R

,

R

)

, el conjunto

C

0

(

R

)

de las funciones continuas, el conjunto

C

(

R

)

de las funciones infinitamente derivables, el conjunto

C

k

(

R

)

de las funciones

k

veces derivables y con derivadas continuas, el conjunto

P

(

R

)

de las funciones polinómicas y el conjunto

P

n

(

R

)

cuyos elementos son la función polinómica nula y todas las funciones polinómicas de grado menor o igual que un natural n prefijado.

Observar además que cualesquiera sean los números naturales n y

k

se cumple lo siguiente:

P

n

(

R

)

P

(

R

)

C

(

R

)

C

k

(

R

)

C

0

(

R

)

i) El conjunto

S

C

n formado por las n- uplas de números complejos cuya parte real es cero, es un subespacio vectorial de

(

C

n

,

C

,

+

,

)

, pero el mismo conjunto no es un subespacio vectorial del espacio vectorial

(

C

n

,

C

,

+

,

)

(¿Por qué?). Con esto se quiere mostrar la importancia del cuerpo sobre el cual se está trabajando.

Ejercicio 1

En cada uno de los siguientes casos indicar si el conjunto

S

es un subespacio del espacio vectorial

V

definido sobre

R

1)

V

=

R

2 y

S

=

{

(

x

,

y

)

R

2

/

y

=

mx

+

n

}

Discutir según

m

R

y

n

R

2)

V

=

R

2 y

S

=

{

(

x

,

y

)

R

2

/

x

2

+

3

x

=

y

2

+

3

y

}

3)

V

=

R

2 y

S

=

{

(

x

,

y

)

R

2

/

x

2

+

y

2

+

2

x

=

0

}

4)

V

=

R

3 y

S

=

{

(

x

,

y

,

z

)

R

3

/

x

+

2

y

z

=

0

}

5)

V

=

R

3 y

S

=

{

(

x

,

y

,

z

)

R

3

/

x

=

z

y

2

z

=

0

}

6)

V

=

R

3 y

S

=

{

(

x

,

y

,

z

)

R

3

/

xy

=

0

}

7)

V

=

R

n y

S

=

{

(

x

1

,

x

2

,...,

x

n

)

R

n

/

x

1

0

}

Ejercicio 2

En cada uno de los siguientes casos indicar si el conjunto

S

es un subespacio del espacio vectorial

V

definido sobre

R

1)

V

=

F

(

R

,

R

)

y

S

=

{

f

F

(

R

,

R

)

/

f

(

a

)

=

0

,

a

esunnúmerorealdado

}

2)

V

=

F

(

R

,

R

)

y

S

=

{

f

F

(

R

,

R

)

/

f

(

x

)

0

,

x

R

}

3)

V

=

F

(

R

,

R

)

y

S

=

{

f

F

(

R

,

R

)

/

f

(

x

)

=

f

(

x

)

,

x

R

}

(conjunto de las funciones pares) 4)

V

=

C

(

R

)

y

S

=

{

f

C

(

R

)

/

f

´´(

x

)

2

f

´(

x

)

+

f

(

x

)

=

0

,

x

R

}

5)

V

=

M

n×n y

S

=

{

A

M

n×n

/

A

essimétrica

}

6)

V

=

M

n×n y

S

=

{

A

M

n×n

/

A

es antisimétrica

}

7)

V

=

M

n×n y

S

=

{

A

M

n×n

/

det

A

=

0

}

Ejercicio 3

Hallar

a

R

de modo que el conjunto

S

=

{

(

x

,

y

,

z

)

R

3

/

x

=

0

2

y

+

z

=

0

x

+

2

y

+

z

+

1

=

a

}

(4)

4

PROPIEDAD

Si

S

1 y

S

2 son subespacios vectoriales de un espacio vectorial

V

, entonces

S

1

S

2 es un subespacio de

V

. Además

S

1

S

2 es el mayor subespacio de todos los que están contenidos en

S

1 y

S

2.

En general, si

{ }

S

k kI es una colección (finita o infinita) de subespacios vectoriales de un espacio vectorial

V

, entonces la intersección

I

k k

S

∈ de todos estos subespacios es un subespacio vectorial de

V

.

Como corolario de esta propiedad, podemos afirmar que la intersección de

m

hiperplanos de

R

nque contienen al origen, es un subespacio de

R

n. Es decir, el conjunto de vectores que satisfacen el sistema de ecuaciones:

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

0

..

...

...

...

...

...

...

...

0

...

...

0

...

...

2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 n n m m m n n n n

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

es un espacio vectorial de

R

n

.

COMBINACIONES LINEALES - SUBESPACIO GENERADO

Sea

V

un espacio vectorial sobre un cuerpo

K

de escalares,

H

=

{

v

1

,

v

2

,

v

3

,...,

v

n

}

V

un conjunto de vectores de

V

y

λ

,

λ

,...,

λ

n

2

1 escalares del cuerpo

K

.

1) Decimos que

=

=

=

+

+

+

k n

k k k

n

n

v

v

v

v

1 2 2 1

1

λ

...

λ

λ

λ

es una combinación lineal de los vectores

v

1

,

v

2

,...,

v

n con coeficientes

λ

1

,

λ

2

,...,

λ

n.

2) Diremos que un vector

v

V

es combinación lineal de los vectores

v

1

,

v

2

,...,

v

n si y sólo si existen

escalares

µ

1

,

µ

2

,...,

µ

n pertenecientes a

K

tales que

= =

=

+

+

+

=

k n

k k k

n

n

v

v

v

v

v

1 2 2 1

1

µ

...

µ

µ

µ

EJEMPLO

Consideremos el conjunto de vectores

H

=

{

(

0

,

1

,

1

)

;

(

1

,

2

,

2

)

;

(

2

,

3

,

5

)

}

R

3.

Los vectores

v

=

(

0

,

3

,

3

)

y

w

=

(

5

,

7

,

13

)

son combinación lineal de los vectores de

H

, sin embargo el vector

z

=

(

2

,

4

,

1

)

no lo es. En efecto:

1)

v

=

(

0

,

3

,

3

)

=

3

(

0

,

1

,

1

)

+

0

(

1

,

2

,

2

)

+

0

(

2

,

3

,

5

)

2)

=

+

=

+

=

+

+

=

=

13

5

2

7

3

2

5

2

)

5

,

3

,

2

(

)

2

,

2

,

1

(

)

1

,

1

,

0

(

)

13

,

7

,

5

(

3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

w

Dado que este último sistema es compatible indeterminado, existen infinitas ternas

(

λ

1

,

λ

2

,

λ

3

)

que son solución. Una posible solución es

λ

1

=

1

,

λ

2

=

1

y

λ

3

=

2

Concluimos entonces, que existen infinitas formas de escribir

w

como combinación lineal de los vectores de

H

. ¿Ocurre lo mismo con

v

?

3)

=

+

=

+

=

+

+

=

=

1

5

2

4

3

2

2

2

)

5

,

3

,

2

(

)

2

,

2

,

1

(

)

1

,

1

,

0

(

)

1

,

4

,

2

(

3 2 1 3 2 1 3 2 3 2 1

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

z

(5)

5

Ejercicio 4

1) Demostrar que el vector

w

=

(

3

,

2

,

7

)

es combinación lineal de los vectores

u

=

(

1

,

2

,

3

)

y

v

=

(

3

,

2

,

1

)

¿Es única la forma de escribir

w

como combinación lineal de

u

y

v

?

2) Demostrar que el vector

a

=

(

1

,

2

,

2

)

no es combinación lineal de los vectores

b

=

(

1

,

1

,

2

)

y

c

=

(

1

,

2

,

1

)

. A partir de esto, formular un sistema lineal de tres ecuaciones y dos incógnitas que sea incompatible en el cual el vector

a

sea el término independiente.

3) Hallar los números reales

m

y

n

para que el vector

(

1

,

4

,

a

,

b

)

sea combinación lineal de los vectores

(

1

,

2

,

1

,

2

)

y

(

0

,

1

,

2

,

1

)

4) Demostrar que





=

16

6

4

4

A

es combinación lineal de





=

4

3

2

1

B

,





=

4

3

2

1

C

y





=

4

3

2

1

D

5) Demostrar que el polinomio

p

=

x

2

+

4

x

3

se puede escribir como combinación lineal de los polinomios

q

=

x

2

2

x

+

5

,

r

=

2

x

2

3

x

y

s

=

x

+

3

Ejercicio 5 (

DEFINICIÓN DE SUBESPACIO GENERADO)

Sea

V

un espacio vectorial sobre un cuerpo

K

de escalares y

H

un subconjunto finito de

V

.

Demostrar que el conjunto de todos los vectores de

V

que son combinación lineal de los vectores de

H

es un

subespacio vectorial de

V

, llamado subespacio generado por

H

y que anotaremos

[ ]

H

.

[ ]

H

es el “menor” subespacio vectorial de

V

que contiene a

H

.

En el caso particular que

H

sea un subespacio vectorial de

V

, se verifica:

[ ]

H

=

H

EJEMPLO

1) En el espacio vectorial

R

3 , el subespacio generado por el conjunto

H

=

{

(

1

,

0

,

1

)

,

(

0

,

1

,

2

)

}

es

[ ]

H

=

{

(

λ

1

,

λ

2

,

λ

1

+

2

λ

2

)

,

λ

1

R

,

λ

2

R

}

=

{

(

x

,

y

,

z

)

R

3

/

z

=

x

+

2

y

}

(plano que contiene al origen y tiene como vectores directores a los vectores de

H

)

2) Si

V

es un espacio vectorial sobre un cuerpo

K

y

v

un vector no nulo perteneciente a

V

, entonces el espacio generado por

v

es la recta que contiene al origen y al vector

v

.

3) Consideremos en el espacio vectorial

P

2

(

R

)

, cuyos vectores son los polinomios de grado menor o igual que dos y

coeficientes reales y el conjunto

{

}

3 2 1

,

p

,

p

p

H

=

con

p

1

=

x

2

x

+

1

,

p

2

=

x

2

+

x

+

1

y 2

1

3

=

x

+

p

Buscamos hallar el subespacio generado por

H

, es decir, el conjunto de los polinomios que se pueden escribir como combinación lineal de los polinomios

p

1 ,

p

2 y

p

3

Para ello encontremos las condiciones que deben cumplir los coeficientes de un polinomio

p

=

ax

2

+

bx

+

c

para pertenecer al subespacio generado por

H

.

p

[ ]

H

existenreales

λ

1

,

λ

2

,

λ

3 talesque

λ

1

p

1

+

λ

2

p

2

+

λ

3

p

3

=

p

=

+

+

=

+

=

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

+

c

b

a

S

c

bx

ax

x

x

x

x

x

3 2 1 2 1 3 2 1 2 2 3 2 2 2

1

(

1

)

(

1

)

(

1

)

(

)

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Dado que el sistema (S) es equivalente al sistema escalerizado

=

=

+

=

+

+

a

c

b

a

0

2 1 3 2 1

λ

λ

λ

λ

λ

y este último es compatible

(6)

6

Ejercicio 6

Sea

H

=

{

(

1

,

3

,

4

)

,

(

2

,

7

,

2

)

,

(

1

,

2

,

1

)

}

1) Investigar si los vectores

(

3

,

1

,

2

)

,

(

2

,

1

,

1

)

y

(

0

,

1

,

1

)

pertenecen al subespacio generado por

H

. 2) Hallar el subespacio generado por

H

e interpretar geométricamente.

Ejercicio 7

Hallar los números reales

a

y

b

para que el vector

(

1

,

0

,

a

,

b

)

pertenezca al subespacio generado por los vectores del conjunto

H

=

{

(

1

,

4

,

5

,

2

)

,

(

1

,

2

,

3

,

1

)

}

.

Ejercicio 8

Hallar en cada caso el subespacio generado por el conjunto

H

1)

H

=

{

(

1

,

0

,

1

)

,

(

0

,

1

,

1

)

,

(

1

,

1

,

2

)

}

2)

H

=

{

(

1

,

4

,

2

,

1

)

,

(

1

,

3

,

1

,

2

)

,

(

3

,

8

,

2

,

7

)

}

3)

H

=

{

x

3

,

1

+

x

2

,

x

2

1

,

x

3

2

x

2

4

}

,

x

R

4)













=

1

3

0

1

,

0

1

1

0

,

1

2

1

1

H

Ejercicio 9

Sean

v

1 ,

v

2 y

v

3 los vectores fila y

w

1 ,

w

2 y

w

3 los vectores columna de la matriz

=

9

8

7

6

5

4

3

2

1

A

1) Verificar que

v

3

=

2

v

2

v

1 y

w

3

=

2

w

2

w

1 2) Escribir

1

w

y

2

w

como combinación lineal de de

v

1 y

2

v

y viceversa.

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