Tema 1
Transformada de Laplace
Contenidos
•
Transformada de Laplace
•
Transformada inversa de Laplace
Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´atica Aplicada. Universidad de M´alaga 1
Ampliaci´on de C´alculo 12/13. Escuela Polit´ecnica Superior Tema 1: Transformada de Laplace
1.1.
Transformada de Laplace
Se define la
transformada de Laplace
de una funci´on
F
:
R
+!
R
y se denota por
L
h
F
(
t
)
i
a la funci´on
f
(
s
)
determinada por
L
h
F
(
t
)
i
=
f
(
s
) =
Z
10
e
stF
(
t
) d
t
siempre que dicha integral exista.
Ejemplo 1.1
Soluci´
on:
L
h
t
i
=
Z
10
e
stt
d
t
=
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
integraci´on por partes
u
=
t
d
v
= e
std
t
d
u
= d
t
v
=
e
sts
9
>
>
>
>
>
>
=
>
>
>
>
>
>
;
= l´ım
n!1
t
e
sts
Z
e
sts
d
t
n
0
= l´ım
n!1
t
e
sts
e
sts
2n
0
= l´ım
n!1✓
n
e
sns
e
sns
2+ 0 +
e
0s
2◆
=
1
s
2(siempre que
s >
0)
⇤⇤
Obs´ervese que esa condici´on es necesaria para que la integral sea convergente.
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Ampliaci´on de C´alculo 12/13. Escuela Polit´ecnica Superior Tema 1: Transformada de Laplace
Transformadas de Laplace de las funciones elementales
L
h
1
i
=
1
s
s >
0
L
h
e
ati
=
1
s
a
s > a
L
h
t
ni
=
n
!
s
n+1s >
0
L
h
t
xi
=
(
x
+ 1)
s
x+1x >
1 ;
s >
0
L
h
sen(
at
)
i
=
a
s
2+
a
2s >
0
L
h
cos(
at
)
i
=
s
s
2+
a
2s >
0
L
h
senh(
at
)
i
=
a
s
2a
2s >
|
a
|
L
h
cosh(
at
)
i
=
s
s
2a
2s >
|
a
|
Ejemplo 1.2
Demostrar que
L
h
1
i
=
1
s
y que
L
h
e
ati
=
1
Soluci´
on:
L
h
1
i
=
Z
10
e
st1 d
t
= l´ım
n!1
e
sts
n
0
= l´ım
n!11
s
⇣
e
sne
0⌘
=
1
s
(siempre que
s >
0)
L
h
e
ati
=
Z
10
e
ste
atd
t
=
Z
10
e
t(s a)d
t
= l´ım
n!1
e
t(s a)(
s
a
)
n0
= l´ım
n!11
s
a
⇣
e
n(s a)e
0⌘
=
1
s
a
(siempre que
s > a
)
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Ampliaci´on de C´alculo 12/13. Escuela Polit´ecnica Superior Tema 1: Transformada de Laplace
Propiedades de la transformada de Laplace
Sean
f
(
s
) =
L
h
F
(
t
)
i
y
g
(
s
) =
L
h
G
(
t
)
i
.
•
L
es un
operador lineal
, es decir,
L
h
a F
(
t
) +
b G
(
t
)
i
=
a f
(
s
) +
b g
(
s
)
•
Traslaci´on
: si
H
(
t
) =
⇢
F
(
t
a
)
t > a
0
t < a
entonces
L
h
H
(
t
)
i
= e
asf
(
s
)
•
Cambio de escala
:
L
h
F
(
at
)
i
=
1
a
f
⇣
s
a
⌘
8
a >
0
•
Transformada de la derivada
:
L
h
F
0(
t
)
i
=
sf
(
s
)
F
(0)
y, generalizando para derivada de orden
n
:
L
h
F
(n)(
t
)
i
=
s
nf
(
s
)
s
n 1F
(0)
s
n 2F
0(0)
· · ·
sF
(n 2)(0)
F
(n 1)(0)
•
Transformada de la integral
:
L
Z
t0
F
(
u
) d
u
=
f
(
s
)
s
•
Divisi´on por
t
: si
l´ım
t!0+F
(
t
)
t
existe (
6
=
1
), entonces
L
F
(
t
)
t
=
Z
1s
f
(
u
) d
u
•
Multiplicaci´on por exponenciales
: si
↵
2
R
,
entonces
L
h
e
↵tF
(
t
)
i
=
f
(
s
↵
)
•
Convoluci´on
: si
F
⇤
G
=
Z
t0
F
(
u
)
G
(
t
u
) d
u
entonces
L
h
F
⇤
G
i
=
f
(
s
)
·
g
(
s
)
Ejemplo 1.3
Calcular:
(a)
L
h
3 e
2t+ 2 cos(5
t
)
i
(b)
L
Z
t0
cosh (5
t
) d
t
(c)
L
h
t
2sen(2
t
)
i
(d)
L
1
cos(2
t
)
t
(e)
L
h
e
7tt
28i
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Soluci´
on:
(a)
L
h
3 e
2t+ 2 cos(5
t
)
i
= 3
L
h
e
2ti
+ 2
L
h
cos(5
t
)
i
= 3
1
s
2
+ 2
s
s
2+ 25
(b)
L
Z
t0
cosh (5
t
) d
t
=
L
h
cosh (5
t
)
i
s
=
s
s
225
s
=
1
s
225
(c)
L
h
t
2sen(2
t
)
i
= ( 1)
2d
2
d
s
2L
h
sen(2
t
)
i
!
=
✓
2
s
2+ 4
◆
00= 2
✓
2
s
(
s
2+ 4)
2◆
0(d)
l´ım
t!0+1
cos(2
t
)
t
=
✓
0
0
◆
L0H
= l´ım
t!0+
2 sen(2
t
)
1
= 0
existe. Por lo tanto,
L
1
cos(2
t
)
t
=
Z
1s
L
h
1
cos(2
t
)
i
d
u
=
Z
1s
✓
1
u
u
u
2+ 4
◆
d
u
= l´ım
n!1
ln
u
1
2
ln
u
2
+ 4
n
s
= l´ım
n!1
ln
p
u
u
2+ 4
ns
= l´ım
n!1
ln
p
n
n
2+ 4
ln
s
p
s
2+ 4
=
ln
s
p
s
2+ 4
= ln
p
s
2+ 4
s
(e)
Como
L
h
t
28i
=
28!
s
29,
entonces
L
h
e
7tt
28i
=
28!
(
s
7)
29Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´atica Aplicada. Universidad de M´alaga 9
Ampliaci´on de C´alculo 12/13. Escuela Polit´ecnica Superior Tema 1: Transformada de Laplace
C´
alculo de integrales impropias
Teniendo en cuenta las propiedades de las integrales dependientes de un par´ametro, si
F
(
t
)
es
una funci´on continua (o posee un n´umero numerable de discontinuidades) y
f
(
s
) =
L
h
F
(
t
)
i
,
se tendr´a que
Z
1
0
F
(
t
) d
t
= l´ım
s!0Z
10
e
stF
(
t
) d
t
= l´ım
s!0f
(
s
)
ya que
l´ım
s!0e
st
F
(
t
) =
F
(
t
).
Observaci´on: si la transformada
f
(
s
)
existe para
s >
0
,
el l´ımite anterior s´olo tendr´a sentido
calcularlo por la derecha de
0. Esto es:
Z
10
F
(
t
) d
t
= l´ım
s!0+Z
10
e
stF
(
t
) d
t
= l´ım
s!0+f
(
s
)
Ejemplo 1.4
Calcular
Z
10
Soluci´
on:
l´ım
t!0+sen
t
t
=
✓
0
0
◆
L0H
= l´ım
t!0+
cos
t
1
= 1
existe
L
sen
t
t
=
Z
1s
L
h
sen
t
i
d
u
=
Z
1s
1
u
2+ 1
d
u
= l´ım
n!1h
arctg
u
i
ns
= l´ım
n!1h
arctg
n
arctg
s
i
=
⇡
2
arctg
s
Por lo tanto,
Z
10
sen
t
t
d
t
= l´ım
s!0+L
sen
t
t
= l´ım
s!0+⇣
⇡
2
arctg
s
⌘
=
⇡
2
arctg 0 =
⇡
2
0=
⇡
2
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Ampliaci´on de C´alculo 12/13. Escuela Polit´ecnica Superior Tema 1: Transformada de Laplace
Teoremas sobre transformadas de Laplace
Si
f
(
s
) =
L
h
F
(
t
)
i
se tiene que:
•
Comportamiento en el infinito
:
l´ım
s!1
f
(
s
) = 0
•
Teorema del valor inicial
: Si
l´ım
t!0+
F
(
t
)
existe, entonces
tl´ım
!0+F
(
t
) = l´ım
s!1sf
(
s
)
•
Teorema del valor final
: Si
l´ım
t!1
F
(
t
)
existe, entonces
tl´ım
!1F
(
t
) = l´ım
s!0+sf
(
s
)
Ejemplo 1.5
Demostrar que no existe ninguna funci´on
F
(
t
)
tal que
L
h
F
(
t
)
i
=
s
2
s
2+ 2
s
+ 7
.
Soluci´
on:
l´ım
s!1s
21.2.
Transformada inversa de Laplace
En la pr´actica, es de vital importancia el poder recuperar
F
(
t
)
a partir de su transformada de
Laplace
f
(
s
) =
L
h
F
(
t
)
i
.
Para ello, se define la
transformada inversa de Laplace
y se denota
por
L
1h
f
(
s
)
i
,
a la funci´on
F
(
t
)
tal que
L
h
F
(
t
)
i
=
f
(
s
).
Transformadas inversas de Laplace de las funciones elementales
L
1
1
s
= 1
s >
0
L
1
1
s
a
= e
at
s > a
L
1
1
s
n+1=
t
nn
!
s >
0
L
1
1
s
x+1=
t
x(
x
+ 1)
x >
1 ;
s >
0
L
1
1
s
2+
a
2=
sen(
at
)
a
s >
0
L
1
s
s
2+
a
2= cos(
at
)
s >
0
L
1
1
s
2a
2=
senh(
at
)
a
s >
|
a
|
L
1
s
s
2a
2= cosh(
at
)
s >
|
a
|
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Propiedades de la transformada inversa de Laplace
Sean
F
(
t
) =
L
1h
f
(
s
)
i
y
G
(
t
) =
L
1h
g
(
s
)
i
.
•
L
1es un
operador lineal
, es decir,
L
1h
a f
(
s
) +
b g
(
s
)
i
=
a F
(
t
) +
b G
(
t
)
•
Traslaci´on
:
L
1h
e
asf
(
s
)
i
=
H
(
t
)
siendo
H
(
t
) =
⇢
F
(
t
a
)
t > a
0
t < a
•
Cambio de escala
:
L
1h
f
(
as
)
i
=
1
a
F
✓
t
a
◆
•
Transformada de la integral
:
L
1
f
(
s
)
s
=
Z
t0
F
(
u
) d
u
•
Multiplicaci´on por potencias de
t
:
L
1
d
nf
(
s
)
d
s
n= ( 1)
n
t
nF
(
t
)
•
Divisi´on por
t
:
L
1Z
1s
f
(
u
) d
u
=
F
(
t
)
•
Multiplicaci´on por exponenciales
: Si
↵
2
R
,
entonces
L
1h
f
(
s
↵
)
i
= e
↵tF
(
t
)
•
Convoluci´on
: Si
F
⇤
G
=
Z
t0
F
(
u
)
G
(
t
u
) d
u
entonces
L
1h
f
(
s
)
·
g
(
s
)
i
=
F
⇤
G
Ejemplo 1.6
Calcular:
(a)
L
1
3
s
s
2+ 4
5
s
7
(b)
L
1
1
s
(
s
2+ 9)
(c)
L
1
ln
✓
s
+ 1
s
◆
(d)
L
1Z
1s
1
u
236
d
u
(e)
L
1
1
(
s
2)
2+ 9
Soluci´
on:
(a)
L
1
3
s
s
2+ 4
5
s
7
= 3
L
1
s
s
2+ 4
5
L
1
1
s
7
= 3 cos(2
t
)
5 e
7t
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(b)
L
1
1
s
(
s
2+ 9)
=
L
1
2
6
6
4
1
s
2+ 9
s
3
7
7
5
=
Z
t 0L
1
1
s
2+ 9
d
u
=
Z
t0
sen(3
u
)
3
d
u
=
1
3
cos(3
u
)
3
t 0=
1
9
⇣
cos(3
t
)
cos 0
⌘
=
1
9
⇣
cos(3
t
)
1
⌘
Otra forma:
L
1
1
s
(
s
2+ 9)
=
L
1
1
s
2+ 9
·
1
s
=
L
1
1
s
2+ 9
⇤
L
1
1
s
=
sen(3
t
)
3
⇤
1
=
Z
t0
sen(3
u
)
3
·
1 d
u
=
· · ·
=
1
9
⇣
cos(3
t
)
1
⌘
(c)
Tenemos
ln
✓
s
+ 1
s
◆
0=
h
ln(
s
+ 1)
ln
s
i
0=
1
s
+ 1
1
L
1"
ln
✓
s
+ 1
s
◆
0#
= ( 1)
1t
1L
1
ln
✓
s
+ 1
s
◆
L
1
1
s
+ 1
1
s
=
t
L
1
ln
✓
s
+ 1
s
◆
e
t1 =
t
L
1
ln
✓
s
+ 1
s
◆
y, por lo tanto,
L
1
ln
✓
s
+ 1
s
◆
=
e
t1
t
(d)
L
1Z
1s
1
u
236
d
u
=
L
1
1
u
236
t
=
senh (6
t
)
6
t
=
senh (6
t
)
6
t
(e)
L
1
1
(
s
2)
2+ 9
= e
2tL
1
1
s
2+ 9
= e
2t
sen(3
t
)
3
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Ampliaci´on de C´alculo 12/13. Escuela Polit´ecnica Superior Tema 1: Transformada de Laplace
C´
alculo de la transformada inversa de Laplace de funciones racionales
Si
f
(
s
) =
P
(
s
)
Q
(
s
)
(cociente de polinomios), debido al teorema del comportamiento en el
infinito, la transformada inversa existir´a siempre que el grado del polinomio del numerador
P
(
s
)
sea menor que el grado del denominador
Q
(
s
)
,
y la forma de calcular dicha transformada inversa
consistir´a en descomponer en fracciones simples
f
(
s
)
,
para posteriormente, utilizando la linealidad
de
L
1,
obtener
L
1h
f
(
s
)
i
como suma de las transformadas inversas de cada fracci´on simple.
Ejemplo 1.7
Calcular la transformada inversa de Laplace de
f
(
s
) =
s
6
2
s
3+ 5
s
1
(
s
2)(
s
3)
2(
s
2+ 4) (
s
24
s
+ 8)
Soluci´
on:
f
(
s
) =
A
s
2
+
B
s
3
+
C
(
s
3)
2+
Ds
+
E
s
2+ 4
+
F s
+
G
s
24
s
+ 8
=
A
s
2
+
B
s
3
+
C
(
s
3)
2+
Ds
+
E
s
2+ 4
+
F s
+
G
(
s
2)
2+ 4
=
A
s
2
+
B
s
3
+
C
(
s
3)
2+
Ds
+
E
s
2+ 4
+
F
(
s
2) +
G
+ 2
F
(
s
2)
2+ 4
=
A
1
s
2
+
B
1
s
3
+
C
1
(
s
3)
2+
D
s
s
2+ 4
+
E
1
s
2+ 4
+
F
s
2
(
s
2)
2+ 4
+(
G
+ 2
F
)
1
(
s
2)
2+ 4
Grupo EDUMATICUS. Departamento de Matem´atica Aplicada. Universidad de M´alaga 19
Ampliaci´on de C´alculo 12/13. Escuela Polit´ecnica Superior Tema 1: Transformada de Laplace
As´ı,
L
1h
f
(
s
)
i
=
A
e
2t+
B
e
3t+
C t
e
3t+
D
cos(2
t
) +
E
2
sen(2
t
) +
F
e
2t
cos(2
t
)
+
G
+ 2
F
2
e
2t