Análisis del flujo de aire generado por un ventilador axial en el interior de un tubo circular giratorio

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN UNIDAD PROFESIONAL ZACATENCO

A

NÁLISIS DEL

F

LUJO DE

A

IRE

G

ENERADO POR UN

V

ENTILADOR

AXIAL EN EL

I

NTERIOR DE UN

T

UBO

C

IRCULAR

G

IRATORIO

TESIS

Q

P

O

G

M

C

I

M

P

:

T

IBURCIO

F

ERNÁNDEZ

R

OQUE

D

:

DR.CARLOS MANUEL RODRÍGUEZ ROMÁN DR.MIGUEL TOLEDO VELÁZQUEZ

Director Co-Director

Dedicatoria

Agradecimientos

Agradezco infinitamente a todas las instituciones, empresas y personas que de una u otra forma apoyaron la realización de este trabajo y todo el proceso requerido para llegar a la consecución de los objetivos del autor.

Instituciones:

• Instituto Politécnico Nacional

• Sistema de Becas de Exclusividad de COFAA

• Programa de Estímulo al Desempeño Docente del I.P.N.

• Programa SUPERA de la ANUIES

• Comité Técnico de Prestaciones a Becarios del I.P.N., COTEPABE

• Laboratorio de Ingeniería Térmica e Hidráulica Aplicada, LABINTHAP, de la SEPI

de ESIME Zacatenco.

• Laboratorio de Aerodinámica de la ESIME Ticoman

Empresas:

• Motores SIEMENS

• NACOBRE

• Taller METAMAQ

• SYSTELECTRO S.A.

• NYLAMID

Personas:

• Dr. Carlos Manuel Rodríguez Román

• Dr. Miguel Toledo Velásquez

• Dr. Fermín Viniegra Heberlein

• Dr. Ignacio Carbajal Mariscal

• Dr. José Félix Vázquez Flores

• M. en C. Willibaldo Tolentino Eslava

• Dr. Florencio Sánchez Silva

• Dr. Samuel Alcántara Montes

• M. en C. Luis A. Moreno Pacheco

• Ing. Fausto Rodríguez Ibarra

• Ing. René Tolentino Eslava

• Ing. Antonio Medrano Mejía

• Ing. Jaime Carrasco Rendón

• Físico Héctor Murillo R.

• Ing. Jose R. Aguirre

Í

ndice

Nomenclatura

Relación de Figuras y Tablas Resumen

Abstract Introducción Antecedentes

Hipótesis de Trabajo Justificación

Objetivo

Capítulo I.- Descripción del Flujo en Torbellino

1.1.- Rompimiento del Vórtice.

1.2.- Flujo Turbulento en Torbellino en un Tubo Fijo

1.2.1.- Decaimiento de la Intensidad del Torbellino y del Esfuerzo Cortante

en la Pared

1.2.2.- Distribución de Velocidad y Presión 1.3.- Flujo turbulento en un Tubo que Gira

1.3.1.- Flujo No-Desarrollado

1.3.2.- Flujo Turbulento Desarrollado en un Tubo que Gira 1.3.3.- Resultados Numéricos

Capítulo II.- Modelo Matemático del Flujo Turbulento en Torbellino

2.1.- Métodos de Análisis del flujo en Torbellino 2.2.- Ecuaciones Fundamentales

2.2.1.- Conservación de la Masa: Ecuación de Continuidad 2.2.2.- Ecuación de la Conservación del Momentum 2.2.3.- Ecuaciones de Navier-Stokes

2.2.4.- Sistema de Coordenadas No-Inercial o Acelerado 2.2.5.- Sistema de Coordenadas Cilíndricas Polares

2.2.6.- Leyes de Conservación en Coordenadas Polares Cilíndricas para un

v ix xiv xv xvi xviii xix xx xxi

1 2 10 11

13 16 16 19 22

2.3.- Modelado de la Turbulencia

2.3.1.- Modelo de Turbulencia de esfuerzos de Reynolds 2.3.2.- Modelo para la Difusión Turbulenta

2.3.3.- Modelo para la Relación Presión-Deformación

2.3.4.- Modelo Cuadrático de la Relación Presión-Deformación 2.3.5.- Modelo para la Energía Cinética Turbulenta

2.3.6.- Modelo para la Rapidez de Disipación

Capítulo III.- Desarrollo Experimental

3.1.- Descripción del Equipo Experimental

3.2.- Descripción de la Instrumentación Empleada 3.3.- Mediciones Realizadas

3.3.1.- Caracterización del Torbellino Generado por el Ventilador 3.3.2.- Caracterización del Torbellino generado por el Tubo Giratorio 3.3.3.- Efecto de la Rotación del Tubo Sobre el Torbellino Generado por el

Ventilador

Capítulo IV.- Análisis de las Mediciones Experimentales

4.1.- Procesamiento de las Mediciones Experimentales 4.2.- Caída de Presión Entre las Estaciones 1 y 2. 4.3.- Distribución de Presión

4.4.- Distribución de Velocidad Tangencial Media 4.5.- Distribución de la Velocidad Axial Media

Conclusiones

Recomendaciones y Sugerencias Referencias

Anexo I, Tablas con Datos y Resultados Experimentales Anexo II, Análisis de Incertidumbre Experimental

31 33 35 36 37 38 39

41 42 43 46 46 50 51

54 55 56 60 62 65

Figura Descripción Página

1.1 1.2 1.3 1.4

1.5

1.6

1.7

1.8 1.9 1.10

1.11

1.12 1.13 1.14 1.15

1.16

1.17 1.18 1.19 1.20

1.21

1.22

1.23

Visualización del rompimiento del vórtice en un ala delta. Rompimiento del vórtice tipo burbuja en un tubo circular.

Rompimiento del vórtice en forma de doble hélice en un tubo circular. Distribución de velocidad axial en las estaciones x=-4.0 mm, x=-6.6 mm y x=-14.6 mm a partir de la nariz de la burbuja.

Distribución de velocidad axial en las estaciones x=-1.0 mm y x=-3.0 mm a partir de la nariz de la burbuja.

Disminución de la velocidad axial en el centro del tubo corriente arriba de la nariz de la burbuja.

Distribución de velocidad axial en las estaciones x=+10.0 mm, x=+15.0 mm y x=+24.0 mm a partir de la nariz de la burbuja.

Perfiles de velocidad axial media dentro de la burbuja. Líneas de corriente media dentro de la burbuja.

Distribución de velocidad tangencial media en las estaciones x=-22.6 mm, x=-6.0 mm, x=-3.0 mm y x=0 mm a partir de la nariz de la burbuja.

Distribución de velocidad tangencial media en las estaciones x=+8.0 mm, x=+15.0 mm y x=24.0 mm a partir de la nariz de la burbuja. Perfiles de la velocidad tangencial media dentro de la burbuja. Caída de presión en un flujo en torbellino.

Sistema de coordenadas y velocidades para un flujo en torbellino.

Decaimiento de la intensidad del torbellino Ω a lo largo del eje del

tubo para Re=50000.

Variación del esfuerzo cortante axial en la pared, τ_xw, con la intensidad del torbellino, Ω.

Distribución de velocidad tangencial, axial y radial.

Distribución de presión a través de una sección transversal. Perfil de velocidad axial adimensional en una tubería que no gira. Distribución de velocidad tangencial media y axial media en un tubo con rotación axial.

Distribución de las fluctuación de las componentes de la velocidad y distribución de los esfuerzos de Reynolds.

Distribución de los términos de producción de la energía turbulenta adimensional en las estaciones x/d=2.7 y x/d=28.5.

Variación del factor de forma de la capa límite a lo largo del tubo.

2 3 3 5

5

6

6

7 7 8

8

9 10 10 12

13

14 15 16 17

18

18

Figura Descripción Página

1.24

1.25

1.26 1.27 2.1 2.2 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

3.6

3.7

3.8

3.9

3.10

3.11

3.12

3.13

3.14

3.15

3.16

Distribución de velocidad axial media y esfuerzo cortante axial del flujo desarrollado en un tubo que no gira.

Distribución de velocidad axial media del flujo en una tubería que gira alrededor de su eje.

Distribución de la velocidad tangencial media en un tubo que gira. Distribución de esfuerzos cortantes en un tubo con rotación axial. Sistemas de referencia inercial y no inercial.

Variación de la velocidad en flujos estables e inestables. Esquema y fotografía del equipo experimental

Esquema de los mini-sensores de presión tipo Pitot Sistema StreamLine.

Sensores de hilo caliente 55p13 y 55p14.

Variación de la presión estática en la pared del tubo en las estaciones E1 y E2.

Distribución de presión axial, tangencial y estática en la estación x/d=6 cuando solamente gira el ventilador.

Distribución de velocidad axial en la estación x/d=6 cuando solamente gira el ventilador.

Distribución de velocidad tangencial en la estación x/d=6 cuando solamente gira el ventilador.

Distribución de la intensidad de la turbulencia en la estación x/d=6 con y sin rotación del tubo.

Distribución de la presión tangencial en la estación x/d=6 cuando solamente gira el tubo.

Distribución de velocidad tangencial en la estación x/d=6 cuando solamente gira el tubo.

Distribución de la presión axial en la estación x/d=6 con y sin rotación del tubo.

Distribución de la presión estática en la estación x/d=6 con y sin rotación del tubo.

Distribución de la presión tangencial en la estación x/d=6 con y sin rotación del tubo.

Distribución de velocidad axial en la estación x/d=6 cuando el ventilador y el tubo giran simultáneamente en sentidos opuestos.

Distribución de velocidad tangencial en la estación x/d=6 cuando el ventilador y el tubo giran simultáneamente en sentidos opuestos.

20

21

21 22 28 33 42 y 43

44 45 45 47

48

48

49

49

50

50

51

51

52

52

Figura Descripción Página

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5 4.6 4.7

4.8 4.9 4.10

4.11

4.12

4.13

4.14

Diferencia de presión estática entre las estaciones E1 y E2 en función de Rrpm.

Coeficiente de la diferencia de presión estática entre las estaciones E1 y E2 en función de las rpm del ventilador.

Coeficiente de la diferencia de presión estática entre las estaciones E1 y E2 en función de N y de Rrpm.

Variación de la velocidad axial media general en función de las rpm del ventilador.

Distribución del coeficiente de presión axial en la estación x/d=6. Distribución de presión tangencial en la estación x/d=6.

Distribución de la velocidad tangencial media adimensional en la estación x/d=6.

Distribución de velocidad tangencial media adimensional para Rrpm≈1.

Distribución de velocidad tangencial media en la estación x/d=6.

Variación de la relación de velocidad tangencial media general en función de Rrpm en la estación x/d=6.

Distribución de velocidad axial media adimensional en la estación x/d=6.

Distribución de velocidad axial media adimensional para Rrpm≈1 en la

estación x/d=6.

Variación de la relación de velocidad axial media general en función de Rrpm para la estación x/d=6.

Variación de la intensidad del torbellino en función de Rrpm para la

estación x/d=6.

56

58

58

59

61 61 62

63 63 64

65

66

67

Tabla Descripción Página 1.1 1.2 3.1 4.1 F3.5 F3.6 F3.7 F3.8 F3.9 F3.10 F3.11 F3.12 F3.13 F3.14 F3.15 F3.16 F4.1 F4.2 F4.3 F4.4 F4.5 F4.6 F4.7 F4.8 F4.9 F4.10 F4.11 F4.12 F4.13 F4.14 A2.1 A2.2

Coeficientes 2Ai y Bi para la ecuación (1.3).

Simbología utilizada en las figura 1.17 y 1.18. Matriz de experimentos.

Números de Reynolds de los flujos utilizados.

Presión estática en la pared de las estaciones E1 y E2. Variación de la presión axial, tangencial y estática.

Distribución de velocidad axial cuando solamente gira el ventilador. Distribución de velocidad tangencial cuando solamente gira el ventilador.

Distribución de la intensidad de la turbulencia.

Distribución de presión tangencial cuando solamente gira el tubo. Distribución de velocidad tangencial cuando solamente gira el tubo. Distribución de presión axial.

Distribución de presión estática. Distribución de presión tangencial.

Distribución de velocidad axial, ventilador y tubo giran. Distribución de velocidad tangencial, ventilador y tubo giran. Diferencia de presión estática entre las estaciones E1 y E2. Variación del coeficiente de la diferencia de presión estática. Variación del coeficiente de la diferencia de presión estática. Variación de la velocidad media axial.

Distribución del coeficiente de presión axial. Variación de la presión tangencial.

Distribución de relación de velocidad tangencial. Distribución de relación de velocidad tangencial. Distribución de velocidad tangencial.

Variación de la relación de velocidad tangencial. Distribución de la relación de velocidad axial. Distribución de velocidad axial.

Variación de la relación de velocidad axial. Variación de la intensidad del torbellino.

Estimación de la incertidumbre relativa total para U=0.5 m/s. Estimación de la incertidumbre relativa total para U=5 m/s.

Símbolo Descripción

a

i i y B A

Cp

d

f

g

h

H1

k

l

m

N

q

Re

r

r0 ó R

x

S

P ó p

Pr

Pw

x, y, z

z y x,~, ~

~

V W U~, ~, ~

0

x

'

x

r x

m

U

m W

z

Aceleración absoluta

Constantes de la ecuación (1.3) Coeficiente de presión

Diámetro interior del tubo

Fuerza aplicada por unidad de volumen Aceleración de la gravedad

Entalpía

Factor de forma de la capa límite

Coeficiente de conducción térmica o energía cinética turbulenta Longitud del rompimiento del vórtice tipo burbuja

Masa específica Relación de rotación Presión dinámica Número de Reynolds

Posición radial dentro del tubo Radio del tubo

Estación o posición axial a lo largo del tubo Punto de estancamiento dentro de la burbuja Presión estática

Presión estática de referencia

Presión estática en la pared del tubo en la estación 2 Sistema de coordenadas cartesianas.

Sistema de coordenadas local

Velocidades medias respecto al sistema de coordenadas local Origen virtual

Distancia a partir del origen virtual Posición axial de referencia

Velocidad axial media general Velocidad tangencial media general

Símbolo Descripción T

u’, v’, w’

uw vw

uv −

− , ,

1

Pr

2

Pr

Rrpm

RWm

RUm

W ó uθ

U ó uz

V ó ur

r, θ (ó φ), z w

φ

τ

xw

τ

λ

ρ θ Ω ó IT

Ωsvg

Ωtvg x

θ

ω ó Ω

θ

τ_r ,τ_rz ,τ_θz

δ δ* µ

ij

τ

ij

δ

Temperatura

Fluctuaciones de las componentes de la velocidad debido a la turbulencia Esfuerzos cortantes de Reynolds

Primer término adimensional de producción de energía turbulenta Segundo término adimensional de producción de energía turbulenta Relación de rpm

Relación de velocidad tangencial media general Relación de velocidad axial media general Velocidad tangencial media

Velocidad axial media Velocidad radial media

Coordenadas polares cilíndricas

Esfuerzo cortante tangencial en la pared del tubo Esfuerzo cortante axial en la pared del tubo

Coeficiente de fricción del tubo o segundo coeficiente de viscosidad en la ecuación (2.7)

Densidad del fluido

Dirección del flujo respecto al eje del tubo Intensidad del torbellino o Número de Squire

Intensidad del torbellino cuando solo gira el ventilador

Intensidad del torbellino cuando el tubo y el ventilador giran simultáneamente

Espesor de cantidad de movimiento de la capa límite Velocidad angular del tubo

Esfuerzos cortantes de Reynolds Espesor de la capa límite

Espesor de desplazamiento de la capa límite Viscosidad dinámica del fluido

Símbolo Descripción ν

κ ∆P

∆Cp

ij

C

T ij D

L ij D

ij

P

ij

F

ij

φ

ij

b

ij Ω

ij

S

ij

ε

ε

Viscosidad cinemática del fluido Constante de Kármán

Diferencia de presión estática Coeficiente de presión diferencial Término de convección

Difusión turbulenta Difusión molecular Producción de esfuerzos

Producción de esfuerzos debido a la rotación del sistema Relación presión-deformación

Tensor de esfuerzos anisotrópicos de Reynolds Tensor de rapidez de rotación media

Tensor de rapidez media de deformación Tensor de disipación

Resumen

En este trabajo se analiza de manera experimental el flujo generado por un ventilador axial que no cuenta con enderezadores de flujo en el interior de un tubo de sección transversal circular que gira alrededor de su eje longitudinal en sentido contrario al giro del ventilador. Para tal fin se diseñó y construyó un equipo experimental que permite variar las revoluciones por minuto del ventilador mientras que las revoluciones por minuto del tubo son constantes. El flujo de aire analizado es incompresible y no desarrollado. Con el fin de caracterizar los diversos torbellinos que componen al flujo se realizaron mediciones para tres condiciones de operación del equipo experimental: (a) cuando solo gira el ventilador, (b) cuando solo gira el tubo y (c) cuando el tubo y el ventilador giran simultáneamente. Para los casos (a) y (c) el rango del número de Reynolds es de 1.56 x104 a 3.5 x 104. Las variables físicas medidas son la

presión estática en la pared del tubo en las estaciones, x/d, 1.4 y 6.5 y la distribución de

presión y de velocidad axial y tangencial en el interior del tubo en la estación 6. El efecto de la rotación del tubo en sentido contrario a la del ventilador se midió para un rango de la relación de rotación, N, de 0 a 7 y para una relación de revoluciones por minuto, Rrpm, de 0 a 1.75.

Los resultados obtenidos indican que la presión manométrica negativa que aparece en la zona del núcleo cuando solamente gira el ventilador se elimina cuando el tubo gira a una relación de

Rrpm menor a 1.1. También se observa que la velocidad tangencial disminuye notablemente en

prácticamente toda la sección transversal del tubo, determinándose que la máxima reducción de la velocidad tangencial media general, Wm, es del 33% cuando Rrpm es 1.1. De igual manera

y también para Rrpm igual a 1.1, la intensidad del torbellino se reduce hasta 40%. La

comparación de la diferencia de presión estática en la pared, ∆p, entre las dos estaciones antes

indicadas, muestra que ∆p es mayor cuando el tubo gira, por lo que se determina que el efecto

de la rotación del tubo es incrementar el flujo másico de aire a través del mismo. Este resultado es consecuencia de la disminución de la velocidad tangencial media general, de la disminución o eliminación de la succión en el núcleo del torbellino y de la disminución de la intensidad del torbellino. De lo anterior, se deduce que en el tubo existe un flujo inverso y que

este es mayor cuando solo gira el ventilador y que para Rrpm menores a 1.1 este flujo inverso

Abstract

An experimental investigation is performed to analyze the flow generated by an axial fan that does not have stators inside a pipe of circular cross-section that turns around its longitudinal axis in counter sense of the fan. For such aim, an experimental equipment was designed and constructed that allows to vary the rpm of the fan whereas the rpm of pipe are fixed. The air flow is incompressible and not developed. Data are measured for three way of working of the experimental equipment: (a) when only the fan turns, (b) when only the pipe turns and (c) when both, the pipe and the fan turns simultaneously. The Reynolds number for the cases (a) and (c) goes from 1.4 x 104 to 3.5 x 104. The static pressure distribution are measured at the

pipe stations, x/d, 1.4 and 6.5 and the axial and tangential speed distribution are measured

inside of pipe at station 6. The effect of the rotation of pipe in counter sense to fan was measure for a rank of the rotation relation, N, from 0 to 7 and for a rpm relation, Rrpm, from 0

to 1.75.

The results obtained show that the negative gauge pressure at the nucleus when only the fan

turns is eliminated when Rrpm is less than 1.1. Also it is observed that the tangential speed

diminishes remarkably in practically all the cross-section of the pipe. The greater reduction of the bulk tangential speed, Wm, is 33% when Rrpm is 1.1. The swirl intensity decay notably up to

40%, too. The comparison of the differential static pressure in the wall, ∆p, between the two

stations before indicated, sample that ∆p is greater when the pipe rotate, so, the effect of the

rotation of pipe is to increase the air mass flow through the pipe. This asseveration is reinforced with the decaying of the bulk tangential speed, with the diminution or elimination of the suction in the nucleus of the swirling flow and with the swirl intensity diminution. The inverse flow is greater when only the fan turns and that this inverse flow is eliminated when

Rrpm is 1,1 or smaller. Finally, the increase of the mass flow attributed to the rotation of pipe

Objetivos

Objetivo General

• Analizar experimentalmente el flujo en torbellino generado por un ventilador axial, que

no cuenta con enderezadores de flujo, en el interior de un tubo de sección transversal circular que gira alrededor de su eje longitudinal y en sentido contrario al giro del ventilador.

Objetivos Específicos

a) Recopilar información numérica y experimental sobre flujos en torbellino en tubos de

sección transversal circular con y sin rotación.

b) Construir un modelo experimental para analizar flujos en torbellino en tubos de

sección transversal circular con una relación de la longitud del tubo respecto al diámetro, x/d, menores a 7, con y sin rotación.

c) Obtener información experimental del flujo no desarrollado (o no establecido)

Justificación

La razón principal para desarrollar el tema que aquí se analiza radica en que algunos flujos de interés tecnológico son fuertemente influenciados por la rotación. La rotación produce la aparición de una componente tangencial de la velocidad por lo que las líneas de corriente de este flujo describen espirales o torbellinos en dirección del flujo general [3]. Por esta razón a este tipo de flujo se les denomina flujo “arremolinado” o en torbellino (swirling flow). La rotación que adquiere el flujo se puede deber a la rotación de alguna frontera sólida como en el caso del flujo generado por la rotación de un disco de alabes de un compresor o una turbina o bien por la rotación que induce al flujo una serie de alabes fijos (estator). El flujo que se

genera en estos casos se les clasifica dentro de la categoría de flujos turbulentos complejos

dado que el campo de flujo es tridimensional, anisotrópico y no homogéneo. Otros flujos de interés práctico de este tipo son los que se producen en los ciclones o separadores de fases, en los chorros de escape (jets) con rotación, en los tanques de mezclado y en tubos giratorios (tal como las cavidades en equipos giratorios) [4].

Por otra parte, se ha determinado que el análisis del flujo en una tubería que gira posibilita la comprensión de los flujos “arremolinados”, los cuales también son importantes en aplicaciones relacionadas con el diseño de cámaras de combustión [5]. Este mismo campo de flujo se le utiliza para analizar, dadas las semejanzas que tienen entre si, a los flujos en capas límites tridimensionales tal y como la que aparece en un ala de avión con flechado [5].

Además, se sabe que el flujo turbulento complejo tridimensional mas simple que se puede reproducir es el que se genera cuando un flujo turbulento fluye por un tubo de sección transversal circular que gira alrededor de su eje longitudinal [6]. Así mismo, se ha concluido que realizar experimentos en tuberías que giran es mas sencillo que en muchos de los ejemplos antes mencionados [5, 6].

También se ha comprobado que el flujo turbulento en un tubo que gira u oscila alrededor de su eje desarrolla menores coeficientes de fricción (menores pérdidas de energía) que cuando el tubo esta fijo [5, 6, 7, 8]. Esto representa una gran expectativa para el ahorro de energía en aplicaciones industriales tales como el transporte de petróleo, gas y agua a través de tubos [5] y para incrementar la eficiencia de dispositivos en donde se presentan flujos turbulentos en torbellino como lo son las toberas de admisión y de escape de las turbinas de gas [8].

Antecedentes

En 1988 en la ESIME Ticoman, Fernández, Caprile y Hernández [1] desarrollaron el diseño de

un sistema sustentador para aeronaves que utiliza el fenómeno conocido como Efecto Magnus1

como principio físico para generar la fuerza de sustentación. Este diseño se muestra en la figura 1.

Figura 1.- Sistema sustentador desarrollado en la ESIME ticoman.

El diseño consiste de una serie de tubos, uno de los cuales es un conducto giratorio de sección transversal circular. Por el sistema de tubos se conduce un flujo de aire generado por una hélice o un ventilador axial acoplado al mismo motor que genera la rotación del tubo. El flujo

de aire se descarga directamente sobre el cilindro giratorio que se encuentra colocado transversalmente a la dirección del flujo.

En el año de 1992 se construyó un modelo experimental con el fin de determinar el flujo de aire en la salida del tubo giratorio. En dicho modelo experimental, tanto el ventilador como el tubo giraban en el mismo sentido y a las mismas revoluciones. La velocidad del flujo a la salida del tubo giratorio se calculó a partir de la presión estática y de la presión total medidas con un tubo Pitot y un manómetro. El análisis de los resultados experimentales indicaron que el flujo generado en la salida del tubo giratorio era apenas perceptible por lo que se concluyó que el aire se estancaba en el cilindro giratorio [2].

Puesto que un aspecto importante del diseño desarrollado en la ESIME Ticoman es la eficiencia del sistema en la generación del flujo rectilíneo y la magnitud de este en la descarga del sistema de tubos y dado que la configuración ventilador-tubo giratorio analizada experimentalmente no tuvo éxito, en este trabajo de tesis se pretende analizar el campo de flujo generado por un ventilador axial en el interior de un tubo de sección transversal circular que gira alrededor de su eje y el efecto que tiene en dicho campo de flujo el hecho de que la rotación del tubo sea en sentido contrario a la rotación del ventilador bajo la siguiente:

Hipótesis de Trabajo

“Un Tubo que gira en sentido contrario a la rotación de un ventilador axial disminuye la intensidad del torbellino que genera el propio ventilador dentro del tubo giratorio con lo cual se disminuyen las pérdidas de energía y se incrementa el flujo de aire a través del mismo tubo”

En lo particular, esta tesis pretende analizar el efecto de la rotación del tubo en la caída de

presión en dirección axial en función de la relación de la rotación del tubo, N, definida como

la relación de la velocidad tangencial de la pared interior del tubo respecto a la velocidad axial

media general del flujo y con respecto a la relación de revoluciones por minuto, Rrpm

Introducción

El tema “Análisis del Flujo de Aire Generado por un Ventilador Axial en el Interior de

un Tubo Circular Giratorio” fue seleccionado porque el flujo en tubos que giran alrededor de su eje longitudinal presenta un interés tanto a nivel científico, por ejemplo para validar modelos de turbulencia mas adecuados al flujo en torbellino, como tecnológico en donde se ha demostrado que la rotación del cilindro disminuye las pérdidas de energía en la conducción de fluidos o para mejorar los procesos de combustión de la mezcla aire-combustible en motores de combustión interna. El flujo en cuestión se analiza únicamente mediante técnicas experimentales. Enseguida se describe brevemente la forma como fue desarrollado este trabajo y la estructura del reporte final así como los alcances del mismo.

El trabajo fue desarrollado en tres etapas:

1. En la primera etapa se realizó una investigación hemerográfica bastante exhaustiva con

Fluent 5.5_{. El modelo recomendado forma parte de los modelos de turbulencia con}

cerramiento de segundo orden y está basado en la ecuación de transporte de los esfuerzos de Reynolds. Es conveniente aclarar que aunque se hace mención de la metodología que se debe aplicar para analizar numéricamente este flujo, aquí no se realizará ninguna aplicación al respecto. Se reitera que el capítulo II se presenta como parte del estado del arte de los flujos en torbellino.

2. La segunda etapa consistió en el diseño y la construcción del modelo experimental, el

cual en su totalidad está formado de elementos de acero disponibles comercialmente. La construcción del tubo giratorio fue realizada por el taller mecánico METAMAQ S.A. con recurso aportados por ANUIES a través de la beca SUPERA que se otorgó al autor y con recursos propios del mismo autor. Al conjunto de tubos fijo y giratorio se le adaptó un ventilador axial y una tobera propiedad del Laboratorio de Aerodinámica de la ESIME Ticoman. El dispositivo experimental permite variar solamente las rpm del ventilador mientras que las rpm del tubo son fijas. Además se fabricaron tres sensores de presión tipo pitot de diámetro pequeño con el fin de evitar las oscilaciones de presión y de disminuir la perturbación del flujo. La descripción del equipo construido se presenta en el capítulo III.

3. La tercera etapa fue el desarrollo experimental y el análisis de datos obtenidos con el

fin de determinar en primera instancia la distribución de presión axial, tangencial y estática así como los perfiles de velocidad media axial y tangencial en la estación

x/d=6 del tubo giratorio y la caída de presión entre dos estaciones separadas 84 cm

entre si para diversos valores de los parámetros adimensionales de rotación N y Rrpm y

para diversos valores de intensidad del torbellino, Ω, lo cual se logró al variar las

Capítulo I

Descripción del Flujo

en Torbellino

1.1.- Rompimiento del Vórtice

Muchos ejemplos en nuestra vida diaria muestran que la rotación de un fluido es un mecanismo importante con efectos positivos o negativos (desastrosos incluso). Diversas aplicaciones del flujo arremolinado o en torbellino así como sus efectos nocivos, por ejemplo en la aerodinámica de aviones, han despertado el interés de los científicos con el fin de tratar de entender y controlar la dinámica de estos flujos [9].

En particular, un fenómeno que a menudo se observa en flujos en torbellino es el que se

conoce con el término de Rompimiento del Vórtice (vortex breakdown). Este fenómeno, a

pesar de que ha sido objeto de extensas investigaciones, su naturaleza básica aun presenta muchas dudas experimentales y teóricas [10] y es de gran importancia ya que su formación establece la separación de los flujos en torbellino en dos grupos: aquellos que no presentan flujo axial inverso y los que si lo presentan [11]. En general el concepto de vórtice se refiere a un campo de flujo giratorio el cual puede ser un flujo en torbellino en un tubo pero también puede ser una zona de baja presión, cuyo núcleo es la zona donde se concentra la mayor parte de la vorticidad. El término Rompimiento del Vórtice comúnmente se refiere al cambio drástico y abrupto de la estructura del núcleo del vórtice. Este fenómeno está caracterizado por una repentina desaceleración axial del flujo lo cual lleva a la formación de un punto de estancamiento libre y atrás de este una región de flujo separado dando la impresión de que un cuerpo de revolución imaginario se ha colocado sobre el eje del vórtice, alrededor del cual el fluido es obligado a moverse. Este fenómeno fue observado por primera vez en 1957 por Peckham y Atkinson al realizar experimentos sobre un ala delta en un túnel de viento encontrando que el rompimiento del vórtice se producía cuando el ángulo de ataque del ala excedía un valor crítico, el cual depende de las condiciones del flujo y de la geometría del ala. Esta visualización se muestra en la figura 1.1 [9].

Figura 1.1. Visualización del Rompimiento del Vórtice en un ala delta.

del torbellino crítico , algunas veces denominado número de Squire, el cual es proporcional a la relación máxima entre la velocidad tangencial y la velocidad axial:

. Cuando la intensidad del torbellino excede al valor

crit

Ω

U W/

∝

Ω

Ω

Harvey, se forma una burbuja la cual se mueve corriente arriba cuando se incrementa y

eventualmente, cuando Ω se incrementa aun mas, el tubo completo se llena con una región de

flujo inverso. Una vez que se produce esta región, el flujo ya no cambia y se mantiene por un tiempo relativamente largo tal y como se muestra en la figura 1.2. En los inicios de los setenta, T. Sarpkaya [12] publicó resultados de estas mediciones que confirmaron lo observado por Harvey y mostró adicionalmente que existen varios tipos de rompimiento del vórtice. Estos iban desde el tipo doble hélice y espiral, figura 1.3, hasta el tipo burbuja axial-simétrica, figura 1.2. La formación de uno de estos tipos depende de la intensidad del torbellino así como del

número de Reynolds, , y para un amplio rango de combinaciones ( , Re) se observan

diferentes tipos de transiciones.

Ω

e

R

Figura 1.2.- Rompimiento del vórtice tipo burbuja en un tubo circular

De acuerdo con J. H. Faler y S. Leibovich [13], si el gasto del flujo se mantiene constante y la intensidad del torbellino se incrementa lenta y establemente desde valores bajos, se observa una secuencia de perturbaciones de amplitud muy grande azimutalmente asimétrica. Las perturbaciones observadas siguen un orden definido de progresión conforme la intensidad del torbellino se incrementa y existe una clara evolución del patrón de flujo. Todas las perturbaciones de este tipo, incluyendo el rompimiento de vórtice en forma de burbuja, son azimutalmente asimétricas.

Dado que hay una progresión de formas definidas, existen numerosos rangos de condiciones del flujo para el cual las perturbaciones cambian a formas vecinas aparentemente de manera espontánea o por lo menos sin que se note ninguna perturbación adicional. En la progresión de formas, conforme la intensidad del torbellino se incrementa, el rompimiento del vórtice en espiral siempre ocurre antes que el tipo axial-simétrico o burbuja, el cual será siempre la forma final en la progresión.

Ambos rompimientos de vórtice, en espiral y axial-simétrico, muestran alto grado de estabilidad estructural, excepto para flujos con condiciones que permiten la transformación espontánea entre tipos distintos. Por otra parte, estos flujos exhiben una inestabilidad posicional considerable ya que los rompimientos de vórtice tienden a viajar hacia delante y hacia atrás sobre el eje de una manera impredecible, sin cambios notables en las condiciones externas. Estos movimientos ocurren dentro de límites específicos respecto de la posición media del rompimiento. La posición media del rompimiento en espiral a cualquier número de Reynolds dado siempre está bastante mas corriente abajo de la posición del rompimiento axial-simétrico.

El movimiento interior del rompimiento axial-simétrico es visualmente inestable y asimétrico azimutalmente. Se observa que el fluido se inyecta y se extrae del interior mediante un proceso de llenado y vaciado en la parte trasera de la burbuja.

La información cuantitativa que se presenta a continuación está tomada de Faler y Leibovich [13] y se refiere únicamente al tipo de rompimiento de vórtice axial-simétrico (tipo burbuja), las mediciones fueron realizadas con Anemometría Láser-Dopler utilizando un flujo de agua en el interior de un tubo divergente cuyo diámetro menor era de 3.81 cm y su diámetro mayor de 5.080 cm y una longitud de 25.40 cm. Las mediciones se realizaron en la zona de presión del flujo y el torbellino se produjo con un conjunto de 32 álabes colocados en la entrada del tubo de prueba. A los álabes se les puede cambiar el ángulo de incidencia y así producir diferentes intensidades de torbellino. En las figuras 1.4, 1.5, 1.6 y 1.7 se muestran los perfiles

de velocidad axial media temporal para un flujo en torbellino con R_e =2560 y para

diversas estaciones o posiciones a lo largo del tubo. En las figuras 1.4 y 1.5 se observa que la velocidad en el eje del tubo decrece rápidamente en la región que se extiende desde –14.6 mm hasta la nariz de la burbuja. Esta rápida desaceleración reduce la velocidad en dicha línea central desde su máximo valor a cero en una distancia axial de ~15 mm o la longitud de una burbuja como se observa en la figura 1.6, la cual muestra el decaimiento de la velocidad axial conforme se acerca al rompimiento del vórtice (el punto cero corresponde a la nariz de la burbuja y los demás valores corresponden a puntos adelante de la burbuja, corriente arriba).

Figura 1.4.- Distribución de velocidad axial en las estaciones x=–4.0 mm, x=-6.6 mm y x=–14.6 mm a partir de la nariz de la burbuja.

Figura 1.6.- Disminución de la velocidad axial en el centro del tubo corriente arriba de la nariz de la burbuja.

En la figura 1.7 se muestran los perfiles de velocidad axial atrás de la nariz de la burbuja

(corriente abajo), observándose que fuera de la burbuja (x=+24 mm), la velocidad axial

incrementa su velocidad conforme las mediciones se realizan mas corriente abajo de la burbuja y que dentro de la burbuja se encuentran zonas de flujo inverso, para r/r0<0.2.

x=+24 mm a partir de la nariz de la burbuja.

En la figura 1.8 se muestran los perfiles de velocidad axial media temporal dentro de la burbuja y en la figura 1.9 se muestran las líneas de corriente media dentro de la burbuja.

Figura 1.8.- Perfiles de velocidad axial media dentro de la burbuja. La letra S representa los puntos de estancamiento.

Figura 1.9. Líneas de corriente media dentro de la burbuja. La letra C representa el núcleo de los vórtices.

De estas figuras se determina que las velocidades mas altas dentro de la burbuja fueron positivas (en dirección de la corriente), las cuales se presentan cerca de la envolvente de la burbuja (línea de corriente que separa la burbuja del flujo general) y tomaron valores de cerca del 15% de la velocidad máxima medida en la línea central corriente arriba de la burbuja. Las

velocidades medias inversas fueron mas grandes en r/r₀ ≈0.0656 y en la posición entre

y (siendo

6875 . 0 /l=

x x/l =0.8125

l

arriba de conforme el fluido recirculante se movía corriente arriba y hacia la envolvente de la burbuja.

6875 . 0 /l=

x

En las figuras 1.10 y 1.11 se muestran los perfiles de velocidad tangencial media a lo largo del eje del tubo y en la figura 1.12 se muestran los perfiles de velocidad tangencial dentro de la burbuja.

Figura 1.10.- Distribución de la velocidad tangencial media en las estaciones x=-22.6 mm, x=-6.0 mm, x=-3.0 mm y x=0 mm a partir de la nariz de la burbuja.

Figura 1.11.- Distribución de la velocidad tangencial media en las estaciones x=+8.0 mm, x=+15.0 mm y x=24.0 mm a partir de la nariz de la burbuja.

En la figura 1.11 se observa que la velocidad tangencial presenta un incremento brusco cerca de la línea central y fuera de la burbuja, x=+24.0 mm, es decir, en la región cercana a la estela,

lo cual, Faler y Leibovich, indican que se debe a la convergencia del flujo corriente abajo del rompimiento del vórtice. También se observa que la velocidad tangencial dentro de la burbuja

y en regiones cercanas al eje del tubo ( ~0.2) sufre una caída notable la cual se hace

evidente también en posiciones fuera de la burbuja aunque con una velocidad tangencial mayor. Este efecto se comprueba también con la figura 1.12 en donde se representan los perfiles de velocidad tangencial para diversas posiciones axiales dentro de la burbuja.

0

/r r

Figura 1.12.-Perfiles de la velocidad tangencial media dentro de la burbuja

T. Sarpkaya [12] indica que la burbuja no se forma cuando el flujo presenta números de

Reynolds bajos y altos números de intensidad del torbellino (R_e <2000 y ). También

establece que partiendo de una condición de estado estable y provocando un incremento del torbellino muy rápido, la burbuja primero se mueve una distancia corta corriente abajo

(aproximadamente , siendo el diámetro del tubo) y después rápidamente corriente

arriba, excediendo su posición de estado estable por una distancia de cerca de .

Enseguida la burbuja se mueve lentamente hacia atrás (~ ) a su nueva posición final. Un

rápido decremento del torbellino produce movimientos semejantes pero en dirección contraria. 3

. 2 > Ω

d

2 .

0 d

d

2 . 0

d

2 . 0

El diámetro de la burbuja, la cual fue de aproximadamente para la condición estable, se

incrementó rápidamente durante el movimiento corriente abajo de la burbuja y disminuyó cuando la burbuja se movió corriente arriba. Cuando se incrementó la intensidad del torbellino y la burbuja empezó a moverse rápidamente corriente arriba, su diámetro se redujo cerca de y la longitud de la burbuja se incrementó aproximadamente 30%. Cuando la burbuja alcanzó su estado estable final, la relación longitud-diámetro de esta varió entre 1.35 y 1.4. La burbuja alcanzó su diámetro máximo a una distancia de 67% de su longitud a partir del punto de estancamiento frontal.

d

3 . 0

d

La variación de la presión en la pared a lo largo del tubo se muestra en la figura 1.13. Como se observa hay un ligero gradiente de presión positivo corriente arriba del rompimiento del vórtice y un gradiente negativo inmediatamente corriente abajo.

Figura 1.13.- Caída de presión en un flujo en torbellino

La información cualitativa y cuantitativa antes presentada fue obtenida de artículos publicados en 1962, 1971 y 1977. A continuación se presenta información empírica mas reciente: obtenida de artículos publicados en 1991, 1996 y 1997. Como detalle curioso, ninguno de los artículos mas recientes hace referencia al rompimiento del vórtice y solamente el artículo de Kitoh [3] hace referencia a la zona de flujo inverso mencionada previamente. Por el contrario, estos artículos le dan mayor énfasis al análisis de la turbulencia. La información que se presenta corresponde al flujo en torbellino en un tubo fijo y al flujo turbulento en un tubo que gira para las condiciones de flujo no-desarrollado y para flujo desarrollado.

1.2- Flujo Turbulento en Torbellino en un Tubo Fijo.

Figura 1.14.- Sistema de coordenadas y velocidades para un flujo en torbellino

La velocidad en la tubería es la del flujo axial sobre la cual se sobreponen las componentes del torbellino, por tanto las líneas de corriente son espirales en la dirección corriente abajo y la estructura de la turbulencia esta sujeta a los efectos de mezclado de la fuerza centrifuga debido a la curvatura de la línea de corriente y a la asimetría del flujo causado por el paso no uniforme de la espiral en el flujo. Se ha establecido que aunque el cuerpo del flujo es significativamente oblicuo existe una delgada capa viscosa cerca de la pared donde el flujo no es muy oblicuo. En esta delgada capa, denominada la región de la pared, la turbulencia es afectada solamente por la curvatura de la línea de corriente.

1.2.1. Decaimiento de la Intensidad del Torbellino y del Esfuerzo Cortante en la Pared

Para propósitos de ingeniería es importante entender el proceso de decaimiento de la intensidad del torbellino a lo largo de la tubería ya que está directamente relacionado con el esfuerzo cortante en la pared y por tanto con las pérdidas de energía por fricción en el tubo.

Para flujo axial-simétrico, la intensidad del torbellino Ω, representa el flujo de momentum

angular adimensional y se define con la siguiente ecuación:

∫

=

Ω 3 2

0 2

2

m U r dr

UWr _ρπ

πρ (1.1)

donde U, W y

U

r

r

Con base en resultados empíricos se sabe que la intensidad del torbellino decae debido a la fricción tangencial con la pared. Para valores de Ω<0.04, este decaimiento corriente abajo se considera que es exponencial a lo largo del eje de la tubería y está dado por la siguiente ecuación [3]:

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ −

Ω = Ω

d x x

a r

donde y son la intensidad del torbellino y la posición axial de un punto de referencia

seleccionado adecuadamente, respectivamente y a

r

Ω x_r

1 es el primer coeficiente del polinomio

empleado para ajustar los datos empíricos del esfuerzo cortante adimensional.

La figura 1.15 muestra el decaimiento de la intensidad del torbellino, Ω, obtenido por Kitoh.

La curva está graficada en una escala semi-logarítmica para R_e =50000 y para diversas

intensidades de torbellino en la entrada del tubo. La intensidad del torbellino, Ω, fue evaluada a partir de las mediciones de U y W con un tubo Pitot cilíndrico de tres orificios de 2.5 mm de

diámetro exterior. La abscisa

x

'

0

x

0

x

Figura 1.15.- Decaimiento de la intensidad del torbellino Ω a lo largo del eje del tubo para Re=50000, x’ es la distancia a partir del origen virtual xo.

Para valores de intensidad de torbellino grandes, mayores a 0.04, y considerando una relación lineal del esfuerzo tangencial en la pared, τ_φw, con la intensidad del torbellino, , la fórmula del decaimiento del torbellino se expresa como:

Ω

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ Ω + − =

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ Ω

i i r

i i

i

A B r d

x x A A

B

log 2

log (1.3)

en donde las constantes y dependen del número de Reynolds y de la intensidad del

torbellino como se muestra en la tabla 1.1.

i

A

B

Tabla 1.1.- Coeficientes 2A_i y

B

50000 =

e

R R_e =100000 R_e =150000

0-0.04 -0.038 0 -0.0291 0 -0.0282 0 0.04-0.09 -0.0274 -0.000131 -0.0227 -0.00128 -0.0206 -0.00013 0.09-0.45 -0.0208 -0.000425 -0.0187 -0.000313 -0.0152 -0.000406

0.45-0.80 -0.0277 0.000987 -0.0257 0.0119 -0.0253 0.0016

La tabla 1.1 comprueba que la ley de decaimiento exponencial (ecuación (1.2)) es correcta solamente en el rango 0<Ω<0.04.

Las variaciones del esfuerzo cortante axial en la pared,

τ

e

R

xw

τ

casi el doble del valor para cero torbellino cuando Ω=0.55. La dependencia del esfuerzo

cortante en la pared con el número de Reynolds se puede estimar considerando la variación del coeficiente de fricción de la tubería,

λ

R

( )

( )

( )

( )

xw e xw

R

R

R

R

λ

λ

τ

τ

₌

(1.4)

la cual está dentro de una exactitud del ±2% en el rango de . Una

relación similar se cumple para los esfuerzos cortantes tangenciales pero con una exactitud del .

4 4 _{15 10}

10

5x <Re< x

Figura 1.16.- Variación del esfuerzo cortante axial en la pared, τ_xw, con la intensidad del torbellino, Ω.

1.2.2.- Distribución de Velocidad y Presión

La figura 1.17(a, b) muestra los perfiles de la distribución de velocidad tangencial y axial, W y

U, respectivamente en diversas estaciones a lo largo del eje del tubo. De la forma del perfil de

velocidad tangencial, Kitoh [3] concluye que el flujo en torbellino tiene una estructura de tres regiones, las cuales son: la pared, anular y núcleo. En la región de la pared, el gradiente de velocidad es bastante pronunciado y la asimetría del flujo aquí es despreciable. Las regiones anular y del núcleo se caracterizan por una distribución de velocidades tipo vórtice libre y vórtice forzado, respectivamente. En la figura, la distribución del modelo de vórtice forzado-libre puro (vórtice combinado de Rankin) se muestra para comparación. Excepto en la región cercana al punto de unión de los dos vórtices, el vórtice de Rankin es un modelo

cualitativamente razonable de la distribución de velocidad tangencial a menos que Ω sea muy

bajo. La extensión de cada una de las regiones de vórtice cambia de acuerdo con la intensidad

del torbellino. En un torbellino débil, Ω menor que 0.2, el límite entre la región anular y el

núcleo es obscura, y finalmente, cuando Ω≤0.1, el movimiento tipo forzado domina la

sección completa.

La distribución de la velocidad radial V para una sección transversal se muestra en la figura

1.17(c). La magnitud de V es del orden de 1/1000 de la velocidad axial promedio global ,

por lo que la dirección de la velocidad resultante se considera que casi siempre es paralela a la superficie de la pared aunque inclinada respecto al eje del tubo.

m

Figura 1.17.- (a) Distribución de velocidad tangencial, (b) distribución de velocidad axial y (c) distribución de velocidad radial.

La figura 1.18 muestra la distribución de presión en diversas estaciones del tubo y para diferentes intensidades del torbellino. Kitoh adimensionalizó las presiones utilizando la

presión en la pared, , como el valor medio de las presiones obtenidas en cuatro tomas de

presión igualmente espaciadas alrededor de la circunferencia del tubo. Debido al decaimiento del torbellino a lo largo del eje del tubo, la fuerza centrifuga se debilita y gradientes de presión adverso y favorables aparecen en el centro (núcleo) y en la región exterior (anular), respectivamente. Estos gradientes de presión tienen un considerable efecto sobre la distribución de velocidad axial, es decir, producen una velocidad baja en la región central limitada o rodeada por velocidad alta en la región anular, figura 1.17(b). En los experimentos realizados por Kitoh, el flujo inverso aparece en el centro del tubo cuando la intensidad del torbellino tiene un valor de 0.42 y el área afectada y la magnitud de la velocidad axial del flujo inverso se incrementan conforme la intensidad del torbellino,

w

Ρ

Figura 1.18.- Distribución de presión a través de una sección. Pr es la presión de referencia correspondiente a la presión en la pared en la posición x/d=41.1.

Con el fin de facilitar la interpretación de la figuras 1.17 y 1.18, en la tabla 1.2 se resume la simbología utilizada.

Tabla 1.2.- Simbología Utilizada en las Figuras 1.17 y 1.18.

Símbolo x/d Re Ω

∆ 12.3 5x104 1.18

Ο 5.7 5x104 0.97

12.3 5x104 0.83

19 5x104 0.67

25.7 5x104 0.60

32.4 5x104 0.47

39 5x104 0.42

25.7 5x104 _0.18

--- vórtice combinado _{de Rankin}

1.3.- Flujo Turbulento en un Tubo que Gira 1.3.1 Flujo No desarrollado.

Cuando un flujo axial, es decir, que no gira, entra a una tubería que gira respecto a su eje, actúan fuerzas tangenciales entre la pared del tubo giratorio y el fluido provocando que el fluido gire con el tubo, resultando un patrón de flujo bastante diferente respecto al observado en la tubería que no gira. Para fines de comparación en la figura 1.19 se muestra el cambio corriente abajo en los perfiles de velocidad axial cuando la tubería es estacionaria, de acuerdo a las mediciones realizadas por K. Kikuyama y K. Nishibori [8], las cuales se comparan con los perfiles calculados con la teoría de Blasius para flujo laminar y de Nikuradse para flujo turbulento. En la gráfica las posiciones radiales a partir de la pared del

tubo, z, se adimensionalizan utilizando el espesor de cantidad de movimiento de la capa

límite, θ_x.

Figura 1.19.- Perfil de velocidad axial adimensional en una tubería que no gira.

La figura 1.19 indica que cuando la tubería no gira, los perfiles exhiben flujo turbulento a

partir de . En la figura 1.20 se observan los perfiles de velocidad cuando la tubería

gira para las estaciones desde 2.7 hasta 28.5 para y . Aquí, N es la

relación de rotación y se define como 7

. 12 /d=

x

d

x/ Re =6x104 N=0.83

m U

r

N =ω 0 (1.5)

La velocidad axial, U, en las diferentes estaciones muestra prácticamente el mismo perfil el

cual se ubica entre dos curvas de referencia correspondientes a los estados laminar (Blasius) y

turbulento (Nikuradse). Con respecto a la velocidad tangencial, V, se observa que conforme las

estaciones están mas corriente abajo, las curvas se mueven hacia la curva correspondiente al flujo desarrollado debido al efecto de la rotación de la pared del tubo.

Figura 1.20.- Distribución de (a) velocidad tangencial media y (b) velocidad axial media en un tubo con rotación axial.

La distribución de las fluctuaciones de velocidad de las componentes (u’, v’ y w’) y de los

esfuerzos cortantes de Reynolds (−uv,vw, y −uw) en la sección se muestran en

la figura 1.21. Se observa que todas las fluctuaciones de las componentes disminuyen con el incremento en la relación de rotación

5 . 28 /d =

x

N

efecto de la rotación es dominante sobre el esfuerzo axial 2

e

/U uw

− el cual disminuye con el

incremento de

N

En la figura 1.22 se muestran los términos de producción de la energía turbulenta

adimensionales, y , correspondientes a las estaciones x/d=2.7 y x/d= con el fin de

estimar la contribución de cada uno de los términos de la ecuación de la energía turbulenta en

la energía turbulenta total. Los parámetros y se definen con las siguientes ecuaciones:

1

r

P

P

1

r P

P

z U uw

U_e ∂

∂ −

= ₃

1

Pr δ Pr_{2 3} ( )

r V z r vw

U_e ∂

∂ −

= δ (1.6)

en donde δ es el espesor de la capa límite, r la distancia radial y Ue la velocidad del flujo libre

Figura 1.21.- (a).- Distribución de la fluctuación de las componentes de la velocidad y (b) distribución de los esfuerzos de Reynolds.

Figura 1.22.- Distribución de los términos de producción de la energía turbulenta adimensional, (a) estación x/d=2.7 y (b) estación x/d=28.5.

En la sección el primer término de producción, , es mayor que el observado

para y el segundo término, , el cual aparece solamente cuando el tubo gira, tiene un

valor positivo pequeño. Consecuentemente la suma de los dos términos tiene un valor mucho

mas grande que en el estado estacionario. En la sección corriente abajo , los

términos de producción y disminuyen y su suma es mas pequeña que el término de

producción en estado estacionario de la tubería, lo cual corresponde con la disminución en la fluctuación de las componentes de la velocidad tal como se muestra en las figura 1.21.

7 . 2 /d =

x Pr₁

0 =

N Pr2

5 . 28 /d =

x

1

Incrementando la relación de rotación, N, y utilizando tubos mas largos, Kikuyama y Nishibori

determinaron el cambio en el factor de forma de la capa límite, , a lo largo del

tubo lo cual se muestra en la figura 1.23 para . es el espesor de desplazamiento

de la capa límite. Como se sabe, el valor de para el perfil parabólico del flujo laminar vale

2.5 y se muestra en la figura 1.23 con una línea discontinua para fines de comparación. Para

las relaciones de rotación y 0.5, el valor de casi no cambia a lo largo del tubo y el

flujo se considera que es turbulento, pero para

x

H₁ =δ*/θ

4

10 2x

R_e = δ∗

1

H

0 =

N H1

0 . 1 =

N el valor de se incrementa

aproximadamente a 2.0, lo cual significa que la capa límite turbulenta corriente abajo de la entrada se estabiliza notablemente por la generación abrupta de la aceleración tangencial.

Cuando N se incrementa arriba de 1.0, se aproxima gradualmente a su valor final de 2 en

las secciones , lo cual indica que el flujo turbulento tiende a hacerse laminar aunque

esto no fue logrado en los experimentos de Kikuyama y Nishibori.

1

H

1

H

/d >

x

Figura 1.23.- Variación del factor de forma de la capa límite a lo largo del tubo.

1.3.2.- Flujo Turbulento Desarrollado en un Tubo que Gira.

La información que se presenta fue obtenida del artículo de C. G. Speziale y colaboradores [6], el cual utiliza datos experimentales obtenidos por S. Imao y colaboradores en 1996 con el fin de comparar los diferentes modelos de turbulencia que utilizan para analizar el flujo turbulento en un tubo de sección transversal circular que gira alrededor de su eje. En las figuras que aquí se reproducen los círculos representan los datos experimentales y las diversas curvas representan los resultados numéricos obtenidos por Speziale empleando los modelos de turbulencia que se describen brevemente en 1.3.3.

En la figura 1.24 se muestran los datos experimentales para la velocidad axial media, u_z , y el

esfuerzo cortante de Reynolds axial, τ_rz, para un tubo circular estacionario, , para un

número de Reynolds de 10000, basado en la velocidad axial media general y el radio del tubo. 0

=

N

Figura 1.24.- (a) Velocidad axial media y (b) esfuerzo cortante axial del flujo desarrollado en un tubo que no gira.

En la figura 1.25 se muestra la velocidad axial media para un tubo que gira con una relación de rotación N =0.5. Respecto a la relación de la velocidad axial media (uz/Uo) se observa que

el perfil de velocidades es muy parecido al caso del tubo sin rotación aunque la velocidad axial media en el centro del tubo cuando este gira presenta un incremento del 12%.

En la figura 1.26 (a) se muestran las mediciones de la velocidad media tangencial, u_θ

relativas al tubo que gira y adimensionalizadas con la velocidad axial media general, U0. Aquí

se observa que la velocidad tangencial adquiere un valor máximo de aproximadamente un 19% de la velocidad axial media general. Aunque parece ser engañosamente grande cuando se le mide con respecto a un sistema inercial y se le adimensionaliza en la forma tradicional con

respecto a la velocidad tangencial de la pared del tubo, RΩ, un efecto que se debe a la

Figura 1.25.- Velocidad axial media del flujo en una tubería que gira alrededor de su eje. Los círculos son los datos experimentales obtenidos por Imao y colaboradores.

figura 1.26.- Distribución de la velocidad tangencial media en un tubo que gira (a) velocidad relativa al tubo y (b) velocidad relativa a un sistema inercial.

En la figura 1.27 se muestran los esfuerzos cortantes de Reynolds asociados a este fenómeno. De la comparación de la mediciones experimentales del esfuerzo cortante de Reynolds axial

adimensional, 2

0

U

rz

τ _{, en el tubo sin rotación y con rotación axial se determina que el esfuerzo}

cortante en la pared del tubo es 36% menor en el caso del tubo girando lo cual indica que se presenta una menor resistencia por fricción al flujo (una menor caída de presión) en esta

disponibles indican que representa un valor muy bajo, del orden de 10-5, respecto al esfuerzo que se produce en la pared en dirección del flujo (τrz), cuyo orden de magnitud es de 10-3.

Figura 1.27.- Esfuerzos cortantes de Reynolds en un tubo con rotación axial. Los círculos son los datos experimentales obtenidos por Imao y colaboradores.

1.3.3.- Resultados Numéricos

De la investigación bibliográfica realizada solamente se encontró resultados numéricos para el flujo turbulento desarrollado en una tubería que gira. Estos se muestran en las figuras 1.25 y 1.27 tomadas del artículo de Speziale [6]. En este artículo se emplean diversos modelos de turbulencia, todos basados en las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas en la forma de Reynolds (ver capítulo II). En las figuras se presentan los resultados que se obtuvieron con el

para la razón de disipación de la energía turbulenta

ε

stress model) es un modelo de los denominados de dos ecuaciones (como el

k

−

ε

emplea ecuaciones iguales o semejantes a las empleadas en el modelo

k

−

ε

ecuaciones de transporte para la energía cinética turbulenta y para su relación de difusión con la diferencia de que el tensor de esfuerzos de Reynolds se expresa con una ecuación algebraica explicita.

Los modelos SSG (Speziale, Sarkar y Gatski) y LRR (Launder, Reece y Rodi) son modelos con cerramiento de segundo orden basados en las ecuaciones de transporte de los esfuerzos de Reynolds (ver capítulo II) con la suposición de que existe isotropía local. La diferencia entre ambos modelos estriba en las ecuaciones empleadas para la correlación presión-deformación. El modelo LRR emplea un modelo algebraico lineal mientras que el modelo SSG utiliza una forma cuadrática.

De acuerdo con Speziale, el modelo

k

−

ε

Capítulo II

Modelo Matemático

del Flujo Turbulento

en Torbellino

2.1.- Métodos de Análisis del Flujo en Torbellino

Las ecuaciones del flujo viscoso se conocen desde hace mas de 100 años. En su forma completa, estas ecuaciones son muy difíciles de resolver, aún para las computadoras digitales actuales. De hecho, para flujos turbulentos con números de Reynolds altos, las ecuaciones son imposibles de resolver con las actuales técnicas matemáticas disponibles, debido a que las condiciones de frontera son dependientes del tiempo en forma aleatoria. El problema se complica aun mas cuando el sistema de referencia es no inercial y aun mas si el flujo es no-desarrollado.

En el análisis de un flujo incompresible turbulento se debe ser capaz de predecir por lo menos los perfiles de velocidad y la fricción en la pared. Adicionalmente sería deseable obtener información de las propiedades estadísticas de la turbulencia, lo cual sin embargo, es esencialmente imposible de predecir analíticamente, aunque si se puede hacer mediante algún modelo semi-empírico o mediante la simulación numérica.

Las ecuaciones que rigen al flujo turbulento son las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas pueden ser modeladas en computadoras digitales mediante algún método numérico tal como el de diferencias finitas o el de elemento finito. Esta forma de atacar al problema de la turbulencia se le conoce como Simulación Numérica Directa (DNS por sus siglas en inglés). Debido al amplio rango de escalas de turbulencia que se involucran, las soluciones numéricas requieren de la utilización de supercomputadoras y aun así las soluciones están limitadas para números de Reynolds muy bajos, menores a 5000 [5]. White [14] indica que la simulación de un flujo turbulento en un tubo que no gira con un número de Reynolds igual a requeriría operaciones numéricas. Si se pudiera realizar el mallado requerido en una supercomputadora que tuviera una velocidad óptima de un nanosegundo por operación, el cálculo podría tomar 320 000 años. Por lo anterior y para fines prácticos de ingeniería, se prefiere trabajar sobre ideas de modelado empírico. Esta metodología es la que se presenta en detalle en este capítulo, en particular se analiza el modelo que emplea las ecuaciones promediadas de Navier-Stokes conjuntamente con las ecuaciones de transporte de los esfuerzos de Reynolds y otras ecuaciones constitutivas requeridas para cerrar el sistema de ecuaciones resultante.

7

10

22

10

2.2.- Ecuaciones Fundamentales

Las ecuaciones básicas que rigen al flujo de un fluido de composición homogénea y uniforme en el cual se desprecia la difusión de la masa y las reacciones químicas, son las tres leyes de conservación para sistemas físicos siguientes [14]:

Ley de conservación de la masa (ecuación de continuidad) Ley de conservación del momentum (segunda ley de Newton) Ley de conservación de la energía (primera ley de la termodinámica)