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Tema 3. Ecuaciones diferenciales de variables separables. 3.1 Introducción. Definición 3.1. Una ecuación diferencial (de primer orden) de variables separables es una ecuación del tipo. (3.1) x!(t) = g(t)h(x(t)) (de forma abreviada: x! = g(t)h(x)),. donde las funciones g y h son funciones de una sola variable, conocidas y definidas en ciertos intervalos I y J respectivamente. En el caso particular en que en la ecuación (3.1) no aparece expĺıcitamente la variable independiente t, es decir, es de la forma:. (3.2) x! = h(x). se dice que la ecuación diferencial es autónoma.. En muchos textos, a las ecuaciones de la forma (3.1) les llaman ecuaciones de variables sepa- radas. Véase que es una ecuación diferencial de primer orden x!(t) = f(t, x(t)), donde la función f : I ! J " R viene definida por f(t, x) = g(t)h(x), es decir, aparece con sus dos variables t y x separadas.. Los siguientes son ejemplos de ecuaciones de variables separables. En los casos (b), (c) y (e) tenemos ecuaciones autónomas.. (a) x!(t) = 2tx2(t) (b) x! = x3 (c) x! = 3x2/3. (d) x!(t) = e"t. 2 x(t). 1 + x2(t) (e) x! = ax # bx2, a, b $ R (f) x!(t) =. log(x(t)) cos(2t). 2x2(t) + 1. Las ecuaciones (a), (d) y (f) las escribiremos de forma abreviada aśı:. x! = 2tx2, x! = e"t. 2 x. 1 + x2 x! =. log x · cos(2t) 2x2 + 1. En los cinco primeros ejemplos las funciones g y h están definidas (y son continuas) en R, es decir, en estos casos I = J = R. En el último g está definida en I = R pero h sólo lo está en J = (0, %).. 41. 42 Ecuaciones diferenciales de variables separables. Una ecuación diferencial lineal homogénea x!(t) = a(t)x(t) también es una ecuación de variables separables.. Explicamos a continuación la forma en que son maltratadas estas ecuaciones en muchos textos, especialmente dirigidos a f́ısicos e ingenieros (y también a matemáticos). En el procedimiento que sigue se realizan ciertas manipulaciones donde falta el rigor matemático, algunas de ellas sin sentido, como dividir por funciones que pueden anularse, tratamiento de la derivada x! = dxdt como si fuese un cociente, despejar x como si esto se pudiera hacer siempre, . . . .. Se escribe la ecuación diferencial en forma abreviada y notando la derivada por dxdt aśı:. dx. dt = g(t)h(x).. Hasta aqúı correcto; es simplemente una notación. Sin embargo, el siguiente paso es muy conflictivo pues se escribe la ecuación de forma equivalente, cuando en general no lo es si cabe la posibilidad de estar dividiendo por valores que pueden anularse (no tendŕıa sentido):. 1. h(x). dx. dt = g(t).. Lo peor viene ahora, cuando interpretan dxdt como un cociente. El śımbolo dx dt no es más que una. notación para la derivada (dada por Leibnitz) que no se debe considerar como un cociente (en todo caso, es el ĺımite de unos cocientes):. 1. h(x) dx = g(t) dt.. Ahora aprovechan que a las integrales y primitivas se les ponen unos “adornos” (a veces impres- cindibles) del tipo dx, dt, . . . , que sólo indican las variables independientes x, t. . . . , con respecto a las cuales se integran, y escriben:. ! 1. h(x) dx =. ! g(t) dt + C, donde C $ R.. La aparición de la constante C en la ecuación anterior habŕıa que meditarla. Ahora se denota por H a una primitiva de 1h y por G a una primitiva de g y lo anterior se escibe aśı:. H(x) = G(t) + C.. Finalmente, a veces, se atreven a decir que las soluciones se obtienen de la expresión anterior despejando x; es decir,. x = x(t) = H !1 (G(t) + C).. Obviamente, esto último se podrá llevar a cabo si la función H posee una inversa global, lo que no es previsible que suceda en muchos casos.. Sin embargo, en muchas ocasiones, el procedimiento anterior funciona y es capaz de propor- cionarnos todas (o casi todas) las soluciones de la ecuación (3.1), por lo que podŕıamos considerarlo simplemente como una regla mnemotécnica.. Vamos a ilustrar el dudoso y atrevido procedimiento anterior con el ejemplo: x!(t) = 6tx2/3(t).. La cadena de equivalencias sugeridas seŕıa la siguiente:. dx. dt = 6tx2/3 &'. 1. x2/3 dx. dt = 6t &' x"2/3 dx = 6t dt &'. ! x"2/3 dx =. ! 6t dt + C. &' 3x1/3 = 3t2 + C &' x1/3 = t2 + K &' x = (t2 + K)3,. obtenéndose aśı las soluciones definidas por x K (t) = (t2 + K)3 , con K $ R.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.1. Introducción 43. Se puede comprobar fácilmente que todas estas funciones son efectivamente soluciones de la ecuación diferencial; curiosamente, son soluciones válidas en R y, sin embargo, en el caso K ( 0 cada una de ellas se anula en ciertos puntos. No obstante, podemos comprobar que las funciones obtenidas no son todas las soluciones de la ecuación diferencial. Es evidente que la función nula es solución en R y no está considerada dentro de esa familia de funciones. Por otra parte, obsérvese que para K = 0 tenemos la solución definida por x(t) = t6, que se anula en t = 0, pero la función,. definida a trozos mediante la anterior y la nula: x(t) =. " 0 si t ( 0 t6 si t ) 0. también es solución de la. ecuación en el intervalo R y no ha sido proporcionada por el método.. x!t" ! t6 x!t"! 0. "2 "1 " 1. 2 0. 1. 2 1 2. 300. 500. Figura 3.1: Gráfica de la solución anterior. De forma análoga podŕıamos obtener otras soluciones definidas a trozos, usando la función nula y las otras funciones x. K con K < 0, que no han sido dadas por el método anterior.. Obsérvese que las soluciones x omitidas son las que se anulan en algún intervalo I, que, pre- cisamente, son las que verifican h(x(t)) = 0 para cada t $ I. Estas no han sido inclúıdas porque el método usado divide alegremente por h(x(t)). El programa Mathematica tampoco proporciona estas soluciones, porque, posiblemente, lleve a cabo el mismo procedimiento.. Uno de nuestros objetivos es justificar, con rigor matemático, las ideas anteriores para la deter- minación de las soluciones de una ecuación de variables separables. También daremos resultados sobre existencia y unicidad para problemas de valores iniciales asociados a estas ecuaciones.. Algunas de las ecuaciones y problemas de Cauchy que veremos en este tema son de gran interés teórico porque, siendo ejemplos muy simples (en cuanto a cálculos), sin embargo, pueden servir para ilustrar y entender mejor cuestiones que se pueden plantear, de forma más general, en cualquier ecuación diferencial de primer orden y que se verán en próximos temas y también en un segundo curso sobre ecuaciones diferenciales ordinarias.. En cuanto al estudio y resolución de las ecuaciones de variables separables, se trate con menor o mayor rigor, la idea inicial es pasar la expresión h(x(t)) al primer miembro de la ecuación, con los problemas que esto puede acarrear en ciertos casos. Esto puede llamar la atención pues pasaŕıamos de una ecuación diferencial expĺıcita a una que no lo es. Por esta razón vamos a iniciar nuestro estudio con un tipo de ecuación diferencial en forma impĺıcita, donde la función incógnita x sólo aparece en el miembro de la izquierda y a este tipo de ecuación le vamos a llamar ecuación de variables separadas.. 44 Ecuaciones diferenciales de variables separables. 3.2 Ecuaciones diferenciales de variables separadas. Definición 3.2. Diremos que una ecuación diferencial de primer orden es de variables separadas cuando es de la forma. (3.3) q(x(t))x!(t) = p(t) (de forma abreviada: q(x)x! = p(t)),. donde las funciones p y q son conocidas y definidas en ciertos intervalos It e Ix respectivamente.. La única hipótesis que impondremos, en principio, para poder trabajar es que p: It " R sea continua en It y que q : Ix " R sea continua en Ix. De esta forma estas funciones poseen primitivas en los intervalos indicados.. Nuestro primer objetivo es ver cómo se obtendŕıan las posibles soluciones de la ecuación (3.3). No se trata de dar un resultado de existencia de soluciones sino únicamente, en caso de existir, cómo se obtendŕıan. La cuestión es muy fácil de responder sin más que usar la regla de la cadena. Obsérvese que para que tenga sentido decir que una función derivable x: I " R es solución de la ecuación diferencial, esta función debe tener la gráfica contenida en It ! Ix. A partir de ahora, supondremos siempre que I es un intervalo en R no degenerado.. Proposición 3.1. Sean It e Ix intervalos en R y p: It " R y q : Ix " R funciones continuas. Sean P y Q primitivas de las funciones p y q respectivamente en tales intervalos. Una función derivable x: I " R, con gráfica contenida en It ! Ix, es solución de la ecuación diferencial. q(x(t))x!(t) = p(t). si, y sólo si, existe una constante C $ R tal que x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación. Q(x) = P(t) + C,. es decir, Q(x(t)) = P(t) + C para cada t $ I.. Dicho de forma más coloquial, todas las posibles soluciones de la ecuación diferencial vienen dadas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. (3.4) # q(x) dx =. # p(t) dt + C donde C es constante.. Obsérvese que lo anterior justifica, en parte, algunos de los manipulaciones realizadas cuando explicamos la forma en que son tratadas estas ecuaciones en ciertos textos. Digamos que esto justificaŕıa la siguiente manipulación:. q(x)dxdt = p(t) &' q(x) dx = p(t) dt &' # q(x) dx =. # p(t) dt + C.. Prueba. Supongamos que x es solución de la ecuación diferencial. Entonces. q(x(t))x!(t) = p(t) para cada t $ I.. Usando la regla de la cadena, podemos afirmar que la composición (Q * x) es una primitiva de (q * x)x! en el intervalo I pues. d dtQ(x(t)) = Q. !(x(t))x!(t) = q(x(t))x!(t) para cada t $ I.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.2. Ecuaciones diferenciales de variables separadas 45. Por tanto, (Q * x) es una primitiva de p en el intervalo I. Como en un intervalo dos primitivas se diferencian en una constante, podemos asegurar que existe C $ R tal que. Q(x(t)) = P(t) + C para cada t $ I,. es decir, x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación Q(x) = P(t) + C.. Rećıprocamente, supuesto que x: I " R es derivable y viene definida impĺıcitamente en I por. Q(x) = P(t) + C. para algún C $ R, derivando en ambos miembros de la igualdad Q(x(t)) = P(t) + C, resulta q(x(t))x!(t) = p(t) para cada t $ I, es decir, x es solución de la ecuación diferencial en I.. Advertencias:. 1. La proposición anterior no es un resultado de existencia.. 2. En general, se plantea el problema de despejar x de las ecuaciones Q(x) = P(t) + C para obtener de forma expĺıcita las expresiones de las posibles soluciones. Desgraciadamente, esto no será siempre posible. Únicamente cuando la función Q posee una inversa global Q. !1. podŕıamos escribir x(t) = Q !1$. P(t) + C % .. 3. Hay que resaltar que, a diferencia de las ecuaciones diferenciales lineales, puede suceder que para ciertas constantes C no se obtengan soluciones para la ecuación diferencial, pues no está asegurado que para cada C $ R la ecuación Q(x) = P(t) + C defina impĺıcitamente una función derivable. Por otra parte, a priori, no podremos asegurar que las posibles soluciones que se obtengan estén definidas en el intervalo It donde la función p está definida y es continua.. Para clarificar lo dicho anteriormente proponemos el siguiente ejemplo.. Ejemplo 3.1. (cos x(t)) x!(t) = 2t.. Obsérvese que aqúı las funciones definidas por p(t) = 2t y q(x) = cos x están definidas y son continuas en R. En este caso las ecuaciones resultantes son. # cos x dx =. # 2t dt + C, equivalentemente, sen x = t2 + C. y está claro que si C = 2, en general si C > 1, la ecuación anterior no define impĺıcitamente una función. En los casos afirmativos, tampoco queda muy claro que se pueda despejar x de la ecuación anterior aśı: x = arc sen(t2 + C) pues la función arcoseno sólo toma valores en el intervalo [#!/2, !/2] y en la expresión sen x = t2 + C la variable x podŕıa tomar cualquier valor real. Para C = 0 la ecuación daŕıa lugar (entre otras) a la función derivable x(t) = arc sen(t2) , la. cual podemos comprobar que es solución de la ecuación diferencial, pero obsérvese que sólo estaŕıa definida en el intervalo [#1, 1] y parece que no se puede extender a una solución definida en un intervalo que contenga estrictamente a [#1, 1], mientras que la función p está definida en todo R .. A continuación intentamos obtener un resultado análogo para un problema de valor inicial. Este resultado se podŕıa deducir del anterior pero, a mi entender, queda más claro si lo obtenemos de una forma directa, con un razonamiento análogo.. 46 Ecuaciones diferenciales de variables separables. Proposición 3.2. Sean It e Ix intervalos en R, p: It " R y q : Ix " R funciones continuas y t0 $ It y x0 $ Ix. Una función derivable x: I " R, con gráfica contenida en It ! Ix, es solución del problema de valor inicial. (P):. " q(x(t))x!(t) = p(t). x(t0) = x0 si, y sólo si, verifica:. 1. x(t0) = x0. 2. x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación:. (3.5). ! x. x0. q(s) ds =. ! t. t0. p(s) ds.. Prueba. En el enunciado del teorema está impĺıcito que I un intervalo que contiene al punto t0.. Sea x: I " R, con gráfica contenida en It ! Ix, solución de (P). Por definición verifica la condición x(t0) = x0. Por otra parte, al ser p continua en I y, por tanto, (q * x)x! también lo es, estas funciones son integrables-Riemann en cualquier intervalo compacto contenido en I. Por tanto. ! t. t0. q(x(s))x!(s) ds =. ! t. t0. p(s) ds para cada t $ I.. Teniendo en cuenta que x(t0) = x0 y el teorema del cambio de variables para integrales definidas, obtenemos. ! x(t). x0. q(u) du =. ! x(t). x(t0) q(u) du =. u=x(s). ! t. t0. q(x(s))x!(s) ds para cada t $ I.. Por tanto, se deduce que x verifica. (+) ! x(t). x0. q(s) ds =. ! t. t0. p(s) ds para cada t $ I,. es decir, x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación (3.5).. Rećıprocamente, si x: I " R es una función derivable que viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación (3.5), derivando en ambos miembros de la expresión (+), usando el teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena, se obtiene. q(x(t))x!(t) = p(t) para cada t $ I.. Si, además, x verifica la condición x(t0) = x0, se concluye que x es solución del problema de Cauchy (P) en el intervalo I.. El resultado anterior no asegura que el problema (P) posea solución, ni que sea única en el caso de que haya solución; sólo da la forma de encontrar las posibles soluciones de (P), en el caso de que existan. Para clarificar esta cuestión exponemos tres ejemplos muy simples (que plantean cálculos inmediatos). En el primero vamos a ver que no hay solución, en el segundo vamos a tener dos soluciones y en el tercero hay una única solución.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.2. Ecuaciones diferenciales de variables separadas 47. Ejemplo 3.2. (P):. " x(t)x!(t) = #t x(0) = 0. El resultado anterior nos asegura que, si (P) posee soluciones en algún intervalo I con 0 $ I, éstas deben venir definidas impĺıcitamente por. ! x. 0 s ds =. ! t. 0 #s ds, es decir, x2 = #t2.. Sin embargo, no hay función x: I " R que verifique (x(t))2 = #t2 para todo t $ I, siendo I un intervalo no degenerado. Por tanto, el problema (P) no posee solución.. Ejemplo 3.3. (P):. " x(t)x!(t) = t. x(0) = 0. Aqúı la ecuación (3.5) resultante es ! x. 0 s ds =. ! t. 0 s ds, equivalentemente, x2 = t2.. La ecuación anterior define impĺıcitamente en cualquier intervalo I con 0 $ I (en particular en R ) infinitas funciones, pero entre ellas sólo hay dos funciones derivables: las definidas por x1(t) = t. y x2(t) = #t. Además, ambas verifican la condición inicial x(0) = 0. Por tanto, el problema de Cauchy (P) posee dos soluciones definidas en R, que son las dos indicadas anteriormente.. Ejemplo 3.4. (P):. " x(t)x!(t) = t. x(0) = 1. En este caso la ecuación (3.5) resultante es. # x 1 s ds =. # t 0 s ds, equivalentemente, x2 = 1 + t2.. La ecuación anterior define impĺıcitamente en cualquier intervalo I , 0 (en particular en R ) dos funciones derivables: las definidas por x1(t) =. - 1 + t2 y x2(t) = #. - 1 + t2, pero únicamente la. primera verifica la condición inicial x(0) = 1, por lo que en este caso tenemos una única solución. del problema válida en R, que es x(t) = & 1 + t2.. A la vista de lo anterior se hace necesario establecer un resultado que garantice la existencia y unicidad de solución para un problema de valor inicial y esto lo vamos a conseguir usando el teorema de la función impĺıcita (aunque cabe la posibilidad de usar un resultado más propio de un primer curso de Análisis, v́ıa funciones inversas). Esencialmente la única hipótesis adicional que va aparecer es una condición sobre la función q en el punto x0. Obsérvese que en los dos primeros ejemplos anteriores, se verifica q(x0) = 0 mientras que en el tercero q(x0) .= 0. Esta última condición va a resultar esencial para asegurar la existencia y unicidad. El método que vamos a usar aqúı para la prueba, usando el teorema de la función impĺıcita, lo adaptaremos y generalizaremos en próximos temas para otras ecuaciones diferenciales.. 48 Ecuaciones diferenciales de variables separables. Teorema 3.1 (Existencia y unicidad local). Sean It e Ix intervalos en R, p: It " R y q : Ix " R funciones continuas y t0 $. # It y x0 $. # Ix. Si q(x0) .= 0 existe un intervalo abierto I tal que. t0 $ I / It y tal que el problema de valor inicial. (P):. " q(x(t))x!(t) = p(t). x(t0) = x0. posee una única solución (de clase uno) definida en I. Esta solución viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación ! x. x0. q(s) ds =. ! t. t0. p(s) ds.. Observación: Para ser más preciso, el teorema asegura la existencia y unicidad de solución, con. gráfica contenida en # It !. # Ix, para el problema (P).. Prueba. (Usando el teorema de la función impĺıcita).. La última parte de este resultado está establecida en la proposición 3.2. Según esta misma proposición, una función derivable x: I " R, con gráfica contenida en It ! Ix, es solución del problema (P) si y sólo si, verifica la condición inicial y viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación ! x. x0. q(s) ds # ! t. t0. p(s) ds = 0,. que es una ecuación del tipo F(t, x) = 0, donde la función F está definida por. F(t, x) =. ! x. x0. q(s) ds # ! t. t0. p(s) ds.. Vamos a considerar el abierto en R2 dado por A = # It !. # Ix y F : A " R. Se verifica lo siguiente:. 1. (t0, x0) $ A y F(t0, x0) = 0; es decir, el punto (t0, x0) verifica la ecuación F(t, x) = 0.. 2. Al ser p y q continuas en It e Ix respectivamente, el teorema fundamental del cálculo, nos asegura que para todo (t, x) $ A existen las derivadas parciales !F!t (t, x),. !F !x (t, x) y verifican. "F. "t (t, x) = #p(t),. "F. "x (t, x) = q(x).. Luego F $ C 1 (A, R) y 0F(t0, x0) = (#p(t0), q(x0)).. 3. !F!x (t0, x0) = q(x0) .= 0.. Por tanto, podemos aplicar el teorema de la función impĺıcita a la función F en el punto (t0, x0) y, aśı, podemos afirmar que existe un intervalo abierto I, con t0 $ I, y una única función x: I " R de clase C. 1 tal que x(t0) = x0 y que verifica: x(t) $. # Ix y F(t, x(t)) = 0, para cada t $ I, es decir,. una única solución del problema (P) definida en I.. Observacion sobre la prueba: Otra forma posible de enfocar la prueba del teorema es la siguien- te. Según la proposición 3.2, una función derivable x: I " R, es solución del problema (P) si y sólo. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 49. si, verifica la condición inicial y viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación Q(x) = P(t), donde. Q(x) =. ! x. x0. q(s) ds y P(t) =. ! t. t0. p(s) ds.. Al ser q(x0) .= 0 y q continua, existe un intervalo J tal que x0 $ # J y q(x) .= 0 para cada x $ J. De. esta forma Q!(x) = q(x) .= 0 para cada x $ J y, dada la continuidad de Q!, se tiene que la función Q es estrictamente monótona en J y, por tanto, inyectiva en J. Arreglando un poco las cosas (no es trivial) podemos considerar Q biyectiva y conseguir que la ecuación Q(x) = P(t) sea equivalente a x = Q. !1 (P(t)) siempre que t se mueva en cierto intervalo abierto I que contiene a t0. De esta. forma la ecuación Q(x) = P(t) definiŕıa una única función derivable en el intervalo I, la definida por x(t) = Q. !1 (P(t)), que además verificaŕıa x(t0) = Q. !1 (0) = x0.. Observaciones:. 1. A priori no se conoce el intervalo I donde la solución está definida y en muchos casos, como ya veremos, será imposible conocerlo. Puede ser muy “pequeño” y no tiene porqué coincidir con It.. 2. La hipótesis esencial del teorema: q(x0) .= 0 es únicamente una condición suficiente para asegurar la existencia y unicidad de solución, pero no es necesaria, como se puede comprobar con el siguiente ejemplo.. Ejemplo 3.5. (P):. " x2(t)x!(t) = t2. x(0) = 0. Obsérvese que en este ejemplo se verifican todas las hipótesis del teorema anterior salvo la condición clave, pues q(0) = 0.. La proposición 3.2 nos asegura que, si (P) posee soluciones en algún intervalo I , 0 éstas deben venir definidas impĺıcitamente por. ! x. 0 s2 ds =. ! t. 0 s2 ds, equivalentemente, x = t.. Obviamente, la anterior ecuación sólo define una función derivable en cualquier intervalo. I , 0, que es la definida por x(t) = t , la cual verifica además la condición inicial. Por tanto, a pesar de que q(0) = 0, el problema (P) posee una única solución en cada intervalo I , 0.. 3.3 Ecuaciones diferenciales de variables separables. 3.3.1 Estudio y resolución de una ecuación diferencial de variables separables. Una vez vistas las ecuaciones de variables separadas, abordamos la resolución de ecuaciones de variables separables:. (3.6) x!(t) = g(t)h(x(t)). y, como caso especial importante, las ecuaciones autónomas x! = h(x). Aunque daremos aqúı un. resultado sobre problemas de valores iniciales, en un caso muy concreto, el estudio general de los problemas de Cauchy asociados a este tipo de ecuaciones lo dejaremos para la próxima subsección. Se pueden presentar aqúı dos situaciones:. 50 Ecuaciones diferenciales de variables separables. Caso I: Las funciones g : It " R y h: Ix " R son continuas y h no se anula en Ix.. Suponemos que It e Ix son intervalos no degenerados de R. Esta es por supuesto la situación más satisfactoria, pues en este caso nuestra ecuación (3.6) es equivalente a la ecuación de variables separadas. 1. h(x(t)) x!(t) = g(t). (equivalente en el sentido de que las soluciones con gráficas contenidas en It ! Ix son las mismas para ambas ecuaciones) y, por tanto, podemos aplicarle todos los resultados probados en la sección anterior. Aśı pues:. I) Una función derivable x: I " R, con su gráfica contenida en It ! Ix, es solución de (3.6) si, y sólo si, existe una constante C tal que x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación. (3.7). ! 1. h(x) dx =. ! g(t) dt + C,. donde la primitiva de g se toma en el intervalo It y la de 1/h en el intervalo Ix.. II) Al verificarse siempre que q(x0) = 1. h(x0) .= 0, tenemos, como consecuencia del teorema 3.1,. que para cada (t0, x0) $ # It !. # Ix existe un intervalo abierto I tal que t0 $ I / It y tal que el problema. de valor inicial. (P):. " x!(t) = g(t)h(x(t)). x(t0) = x0. posee una única solución (de clase uno) definida en I. Esta solución viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación. (3.8). ! x. x0. 1. h(s) ds =. ! t. t0. g(s) ds.. Ponemos en práctica lo anterior en el siguiente ejemplo.. Ejemplo 3.6. Soluciones de la ecuación diferencial x!(t) = te(x(t)"t 2) y estudio y resolución del. problema de valor inicial (P):. " x!(t) = te(x(t)"t. 2). x(0) = 0. La ecuación diferencial se puede escribir como una de variables separables aśı:. x!(t) = te"t 2 ex(t) = g(t)h(x(t)),. donde g(t) = te"t 2 y h(x) = ex. Las funciones g y h son continuas en R y h(x) .= 0 para cada x $ R.. Por tanto, según (3.7), una función derivable x: I " R es solución de la ecuación diferencial si, y sólo si, existe una constante K tal que x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación. ! e"x dx =. ! te"t. 2 dt + K.. Lo anterior plantea unos cálculos de primitivas inmediatas y la ecuación resultante. #e"x = # 1. 2 e"t. 2 + K. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 51. se escribe de forma equivalente aśı:. (+) x = # log ' C + 12e. "t2 (. donde C = #K. Obviamente, para cada valor de la constante C, la ecuación (+) sólo da lugar a una función derivable, la definida por. (3.9) x C (t) = # log. ' C + 12e. "t2 ( ,. pero ¡ojo!, siempre que tal expresión tenga sentido para todos los puntos t de un cierto intervalo no degenerado. Es decir, el procedimiento anterior nos asegura que para cada constante C, para la que realmente la expresión (3.9) defina una función derivable, tenemos una solución de la ecuación diferencial. Para esto necesitamos que se verifique C + 12e. "t2 > 0 para cada t de cierto intervalo I y esto depende esencialmente de los valores que tome C.. En efecto, si C ) 0 la función x C está bien definida para cada t $ R y, por tanto, es solución. de la ecuación diferencial en todo R (por si acaso se tiene dudas deŕıvese la expresión de x C. y compruébese que verifica la ecuación en cada punto t donde esté definida). Sin embargo, si C < 0 la expresión de x. C sólo está definida para aquellos t tales que t2 < # log(#2C), para lo cual es. necesario que sea log(#2C) < 0, es decir, 0 < #2C < 1, lo que solo es posible si C > #1/2. Aśı únicamente para los valores de C tales que #1/2 < C < 0 tendŕıamos una solución que, además, sólo seŕıa válida en el intervalo (#. - k, - k), donde k = # log(#2C).. En resumen, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones x C. definidas por (3.9). donde C > #1/2 . En el caso C ) 0 las soluciones son válidas en todo R, pero si #1/2 < C < 0 únicamente son válidas en ciertos intervalos abiertos y acotados.. Aśı pues, aunque la familia de soluciones (solución general) depende de un parámetro C, a diferencia del caso lineal, no sucede que para cada valor de C tengamos una solución. Esto, desgraciadamente, es una comprobación que tendŕıamos que hacer, cuando sea posible, en cada caso que se nos presente.. En relación al problema de valor inicial (P), podemos afirmar que existe un intervalo abierto I , 0 donde (P) posee una única solución, que viene definida impĺıcitamente por la ecuación. (3.10). ! x. 0 e"s ds =. ! t. 0 se"s. 2 ds.. No obstante, puesto que ya hemos determinado todas las soluciones x C de la ecuación diferencial,. la resolución del problema de Cauchy propuesto vamos a llevarla a cabo como en el caso lineal, es decir, en lugar de usar la ecuación (3.10), calculamos la constante C para que se verifique la condición inicial x. C (0) = 0. Esto nos lleva de forma inmediata al valor C = 1/2. Aśı pues, al ser. C > 0, podemos afirmar que la función definida por. x(t) = # log $ 1+e!t. 2. 2. % = log. $ 2. 1+e!t 2. %. es solución de (P) en el intervalo R. Además es la única solución de (P) en ese intervalo (y en cualquier otro má pequeño) pues realmente, según lo visto en la teoŕıa, una función derivable x: I " R es solución de (P) si, y sólo si, satisface la condición inicial y viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación (3.10). Si hacemos cálculos, resulta que la ecuación que aparece en (3.10) es equivalente a x = log( 2. 1+e!t 2 ), lo que nos confirma la expresión de la solución obtenida y la. unicidad como sólución válida en R.. 52 Ecuaciones diferenciales de variables separables. C ! 1. 2. !0, 0" C " 0. # 1 #2 $ C $ 0. #2 #1 1 2. 1. 2. 3. Figura 3.2: Gráficas de algunas x C , entre ellas la gráfica de (P).. Observación: De la propia ecuación diferencial se sigue inmediatamente que las soluciones deben ser estrictamente decrecientes en los intervalos contenidos en I = (#%, 0) y estrictamente crecientes en los intervalos contenidos en I = (0, %) y, por tanto, cada una de ellas alcanza un mı́nimo absoluto en t = 0.. Vemos a continuación la resolución de la ecuación diferencial con el programa Mathematica, tal como se explicó en el tema anterior. Como ya advertimos en el tema 2, en las versiones 6.0 y posteriores de este programa las expresiones de las soluciones aparecen con un aspecto más “amigable”, tal como aparecen en la tercera ĺınea. La expresión de la segunda ĺınea corresponde a versiones anteriores.. DSolve[x’[t] == t Exp[x[t] - t^2], x[t], t]. {{x[t] -> -Log[E^-t^2/2 - C[1]]}}. )) x[t] " #Log. * e!t. 2. 2 # C[1] +,,. Para la resolución del problema de valor inicial escribimos:. DSolve[{x’[t] == t Exp[x[t] - t^2], x[0] == 0}, x[t], t]. y se obtiene como respuesta: )). x[t] " #Log * 1 2 +. e!t 2. 2. +,,. Caso II: La función h se anula en uno o más puntos. Este es el caso que da problemas. Aqúı tenemos una novedad respecto al caso anterior. Concre- tamente, para cada punto x0 donde h se anule tenemos una solución constante; concretamente la. solución t 1" x(t) = x0 , que será válida en cualquier intervalo donde esté definida la función g. Es más estas son las únicas soluciones constantes de la ecuación diferencial (3.6).. En el caso de una ecuación autónoma x! = h(x) las soluciones constantes, si existen, dan mucha información. Un estudio avanzado de estas ecuaciones, que no se puede ver en este curso, muestra que el conocimiento de las posibles soluciones constantes de una ecuación autónoma dan información cualitativa sobre las demás soluciones de la ecuación; esto se podrá apreciar en algunos ejemplos de autónomas que veremos. Véase que la ecuación autónoma x! = x(13 # x) posee dos, y solamente dos, soluciones constantes válidas en R, que seŕıan las funciones definidas por x1(t) = 0 y x2(t) = 13.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 53. A continuación explicamos el procedimiento para intentar determinar las soluciones de la ecuación diferencial (3.6): x! = g(t)h(x).. 1. Calculamos los valores x0 $ R donde la función h se anula (los ceros de la función h). Para cada uno de estos x0 tenemos una solución constante t 1" x(t) = x0 , que será válida en cualquier intervalo donde esté definida la función g.. 2. Determinamos los intervalos maximales (con la relación de inclusión) It donde g está definida y es continua.. 3. Determinamos los intervalos maximales Ix donde h es continua y no se anula.. 4. Cada par de intervalos It, Ix obtenido en los dos pasos anteriores da lugar a una región del plano D = It ! Ix. Entonces, una función derivable x: I " R, con gráfica contenida en D, es solución de la ecuación diferencial (3.6) si, y sólo si, existe una constante C tal que x viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación. ! 1. h(x) dx =. ! g(t) dt + C,. donde la primitiva de g se toma en It y la de 1/h se toma en Ix.. Hay que advertir que el procedimiento anterior no garantiza que aśı se obtengan todas las soluciones de la ecuación diferencial. Hay casos donde śı y otros donde no. Expondremos ejemplos simples de ambas situaciones. En el caso negativo lo que puede suceder (aqúı surge el problema) es que existan soluciones cuyas gráficas no estén totalmente contenidas en los dominios D = It !Ix considerados; dicho de otra forma, cuando hay soluciones cuyas gráficas cortan a las gráficas de las soluciones constantes. En estos casos, las soluciones conflictivas se podrán construir a trozos con las soluciones obtenidas por el procedimiento anterior. No obstante, en muchos casos el procedimiento anterior proporciona todas las soluciones, pero habŕıa que esperar a ver ciertos resultados teóricos, más propios de la asignatura Ecuaciones Diferenciales II, para tener la seguridad de esto (véase el tema 6). De hecho, podemos adelantar que aśı sucede si la función h es una función derivable con derivada continua.. A continuación vamos a exponer unos ejemplos muy ilustrativos. En los dos primeros vamos a obtener todas las soluciones con el método expuesto y en el tercero nos vamos a encontrar con el problema señalado anteriormente.. Ejemplo 3.7. Soluciones de la ecuación diferencial x!(t) = 2tx2(t).. Esta ecuación no es propiamente de variables separadas pues aqúı la función h: R " R, dada por h(x) = x2 se anula en un punto, concretamente en x0 = 0. La función g : R " R, t 1" g(t) = 2t es continua en R. Siguiendo el procedimiento indicado tenemos, en primer lugar, que la ecuación tiene una, y sólamente una, solución constante, que es la función nula, la cual es solución en R. El procedimiento nos lleva a considerar las dos regiones del plano: D1 = R!(#%, 0) y D2 = R!(0, %). Las soluciones con gráficas contenidas en D1 o en D2 vienen dadas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. (+) !. 1. x2 dt =. ! 2t dt + C, equivalentemente, #. 1. x = t2 + C.. Esto nos lleva a considerar tres casos:. 54 Ecuaciones diferenciales de variables separables. Caso C > 0. En éste las funciones derivables que vienen dadas por (+) son las definidas por. x C (t) = #. 1. t2 + C ,. que, además, están definidas en R. El procedimiento nos asegura que estas son soluciones de la ecuación diferencial en R pero, no obstante, lo comprobamos. Sus gráficas están en la región D1 y todas tienen a la solución constante nula como aśıntota horizontal. Obsérvese que son decrecientes en I = (#%, 0) y crecientes en I = (0, %), lo que también se puede deducir directamente de la ecuación diferencial (sin necesidad de conocer las soluciones).. Caso C = 0. En este caso la función resultante de (+) es x(t) = # 1 t2. , que sólo está definida y es. derivable en los intervalos I = (#%, 0) e I = (0, %). En estos intervalos es solución de la ecuación diferencial. También tiene la gráfica en D1 y tiene a la gráfica de la solución nula como aśıntota horizontal (tiene una aśıntota vertical que es el eje de ordenadas).. Caso C < 0. Aqúı la expresión t2 + C se anula en los dos puntos t = ± - #C y, por tanto, las. funciones derivables que se definen a partir de (+) tienen la misma expresión que en los casos anteriores, es decir, x. C = # 1. t2+C , sólo que ahora hay tres intervalos maximales donde. están definidas: I = (#%, # - #C), I = (#. - #C,. - #C), I = (. - #C, %). Sobre dos de ellos. (los no acotados) tienen las gráficas en D1 y todas tienen a la gráfica de la solución nula como aśıntota horizontal (también tienen un aśıntota vertical). Sobre los intervalos acotados I = (#. - #C,. - #C) tienen las gráficas en la región D2 y poseen dos aśıntotas verticales.. En resumen, tenemos las siguiente familia de soluciones válidas en los intervalos indicados:. x(t) = 0 I = R x. C (t) = # 1. t2+C C > 0 I = R. x(t) = # 1 t2. (C = 0) I = (#%, 0), I = (#%, 0) x. C (t) = # 1. t2+C C < 0 I = (#%, #. - #C), I = (#. - #C,. - #C), I = (. - #C, %). Como se puede comprobar los intervalos de definición de las soluciones son muy variados a diferencia del caso lineal. Compárese con el caso lineal x! = 2tx en el que todas las soluciones están definidas en R. Sin embargo, a diferencia del ejemplo 3.6, en este caso, para cada constante C $ R tenemos una solución x. C de la ecuación diferencial.. Al no haber cortes entre las gráficas de las soluciones obtenidas y la nula, da la impresión de que no puede haber más soluciones. De hecho se puede demostrar (con herramientas que aún no se pueden explicar) que hemos obtenido todas las soluciones de la ecuación diferencial. Obsérvese que, en el caso que hemos tratado aqúı, la función h es derivable y con derivada continua en R.. Véase que Mathematica, al resolver esta ecuación, no proporciona la solución nula. De hecho, la soluciones que da son las que tienen las gráficas contenidas en D1 2 D2.. DSolve - x![t] == 2tx2[t], x[t], t. . ,. // x[t] ". 1. #t2 # C[1]. 00. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 55. !1.5 !1.0 !0.5 0.5 1.0 1.5. !6. !4. !2. 2. 4. 6. C = - 1/2. C = - 1. C = 1. C = 1/2. C = 0. C = - 1. C = 0. C = -1. Figura 3.3: Gráficas de las soluciones x C para C = 1/2, 1, 0, #1/2 y #1.. Ejemplo 3.8. Soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea x!(t) = a(t)x(t).. Suponemos que la función a es continua en un intervalo I de R.. Obsérvese que x!(t) = 2tx(t) es un caso particular y es una ecuación muy parecida a la vista en el ejemplo anterior; la única diferencia radica en que, en este caso, la función incógnita x no aparece elevada al cuadrado.. Si intentamos resolver la ecuación lineal como ecuación de variables separables daŕıa lugar a un caso análogo al anterior. Tenemos una única solución constante, que es la función nula, y las soluciones con gráficas contenidas en las regiones D1 = R ! (#%, 0) o D2 = R ! (0, %) vendŕıan dadas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. # 1 x dx =. # a(t) dt + C,. equivalentemente,. log | x | = # a(t) dt + C &' | x | = eCe. ! a(t) dt &' x = Ke. ! a(t) dt, con K .= 0. y aśı obtenemos las funciones definidas por x K (t) = Ke. ! a(t) dt con K .= 0. Estas junto con la. solución nula, se podŕıan englobar en la expresión:. x C (t) = Ce. ! a(t) dt donde C $ R.. Obsérvese que las gráficas de las x K no cortan a la de la función nula y, de hecho, el estudio que se. hizo en el tema anterior nos confirma que, en este caso, el método nos ha proporcionado todas las. 56 Ecuaciones diferenciales de variables separables. soluciones. La gran diferencia con el caso anterior es que aqúı todas las soluciones están definidas en I. En el caso concreto de x! = 2tx todas las soluciones están definidas en R.. Ejemplo 3.9. Soluciones de la ecuación diferencial autónoma x! = 3 x2/3.. Antes de empezar obsérvese que todas las soluciones de esta ecuación son monótonas crecientes pues sus derivadas siempre verifican x!(t) ) 0 en sus intervalos de definición.. Aqúı tenemos únicamente una solución constante, que es la función nula. Procediendo como en los dos casos anteriores se llega a que las soluciones con gráficas D1 = R!(#%, 0) o D2 = R!(0, %) viene definidas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. ! 1. 3x2/3 dx =. ! 1 dt + C,. equivalentemente, x1/3 = t + C, de donde se obtienen las funciones derivables definidas por. x C (t) = (t + C)3.. Podemos ahora comprobar que para cada C $ R la función x C es solución de la ecuación diferencial. en todo R, pero nos encontramos ahora con dos novedades:. 1. Las funciones x C : R " R, x. C = (t + C)3 no tienen las gráficas contenidas en D1 o en D2;. esto sólo sucede si las restringimos a ciertos intervalos; concretamente, x C : (#%, #C) " R. tiene la gráfica contenida en D1 y xC : (#C, %) " R la tiene en D2.. 2. Las gráficas de todas las soluciones x C : R " R cortan a la gráfica de la solución nula.. Esbozando las gráficas de las soluciones obtenidas, advertimos que, en este caso, con el procedi- miento llevado a cabo no hemos obtenido todas las soluciones de la ecuación diferencial. Vemos que se pueden obtener muchas más empalmando gráficas de las x. C con la función nula, dando lugar a. funciones definidas a trozos y definidas en R como son:. x(t) =. " 0 si t ( #C (t + C)3 si t ) #C. x(t) =. " (t + C)3 si t ( #C 0 si t ) #C. x(t) =. 1 23. 24. (t # #)3 si t ( # 0 si # ( t ( $ (t # $)3 si t ) $. .. !10 !5 5 10. !500. 500. 1000. !10 !5 5 10. 50. 100. 150. 200. !10 !5 5 10. !200. !150. !100. !50. !10 !5 5 10. !300. !200. !100. 100. 200. 300. " #. !C. !C. Figura 3.4: Gráficas de algunas soluciones definidas en R.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 57. (en el último caso se considera # < $). Todas las funciones anteriores son derivables en los puntos de empalmes (esto siempre sucederá como veremos más adelante). De esta forma hemos obtenido infinitas soluciones, todas válidas en R, que directamente el método no da, pues no vienen dadas en sus intervalos de definición por ecuaciones del tipo. # 1 3x. "2/3 dt = # dt + C,. pero, sin embargo, todas ellas las hemos construidos a trozos mediante las dadas por el método.. Obsérvese la respuesta de Mathematica a esta ecuación diferencial:. DSolve * x![t]==3 3. & (x[t])2, x[t], t. + // x[t] ". 1. 27. $ 27t3 + 27t2C[1] + 9tC[1]2 + C[1]3. %00. En este caso, igual que en el ejemplo 3.7, hemos introducido en Mathematica la ecuación diferencial mediante una paleta de caracteres que nos hace más agradable su expresión, en lugar de usar la primitiva instrucción: DSolve[x’[t] == 3 (x[t])^(2/3), x[t], t]. Podemos apreciar que el programa no proporciona la solución nula ni las soluciones definidas a trozos que hemos obtenido anteriormente y no da directamente la familia de soluciones x(t) = (t+C)3 = t3 +3t2C +3tC2 +C3, aunque la que da es equivalente a la anterior.. La situación dada con la ecuación diferencial anterior se suele dar con otras ecuaciones autónomas como x! = x1/3, x! =. & | x | y las del tipo x! = xa, donde la constante a verifica 0 < a < 1. Más. generalmente, con ecuaciones de variables separables del tipo x! = g(t)xa, donde 0 < a < 1. En estos casos y en el que hemos tratado aqúı: h(x) = x2/3, la función h no es derivable en x = 0. Se podrá probar, cuando se conozcan ciertos resultados generales, que si la función h es de clase uno, las gráficas de las soluciones de la ecuación de variables separables x! = g(t)h(x) no pueden cortarse y, aśı, el método proporciona todas las soluciones.. Observación Cada vez que hemos definido una función a trozos mediante soluciones de una ecuación diferencial, la función resultante ha sido derivable en su intervalo de definición y en este intervalo ha sido solución de la ecuación diferencial. Vamos a comprobar que esto siempre sucede con las soluciones de cualquier ecuación diferencial de primer orden x!(t) = f(t, x(t)). Aśı pues, las gráficas de las soluciones de una EDO de primer orden expĺıcita se pueden cortar pero los cortes han de ser tangenciales (cuando veamos el tema 6, comprobaremos que las gráficas de las soluciones de la mayoŕıa de las ecuaciones diferenciales de primer orden no se cortan).. En efecto, sean x: I " R e y : J " R dos soluciones de x! = f(t, x) tales que existe un punto t0. interior a I 3 J donde x(t0) = y(t0) y consideramos la función definida por z(t) = " x(t) si t ( t0 y(t) si t ) t0. en el intervalo I 3 J. Veamos que z es solución de la ecuación diferencial.. Si t < t0 se tiene z !(t) = x!(t) y si t > t0 se verifica z. !(t) = y!(t), por lo que z!(t) = f(t, z(t)) si t .= t0. Veamos que z es derivable en t0 y verifica z!(t0) = f(t0, z(t0)).. Se verifica que la derivada por la izquierda de z en t0 existe y coincide con la derivada por la izquierda de x en t0 ya que. z!"(t0) = lim t$t0, t<t0. z(t) # z(t0) t # t0. = lim t$t0, t<t0. x(t) # x(t0) t # t0. = x!"(t0).. Análogamente se ve que existe la derivada por la derecha de z en t0 y verifica z ! +(t0) = y. ! +(t0). De. esta forma, se obtiene. z!"(t0) = x ! "(t0) = x. !(t0) = f(t0, x(t0)) = f(t0, y(t0)) = y !(t0) = z. ! +(t0).. De lo anterior se deduce que las derivadas laterales de z en el punto t0 coinciden, por lo que z es derivable en ese punto y, además, z!(t0) = f(t0, z(t0)).. 58 Ecuaciones diferenciales de variables separables. t0. x y. x. y. 3.3.2 Problemas de Cauchy asociados a ecuaciones de variables separables. En la sección anterior hemos visto un resultado sobre existencia y unicidad local para un problema de valor inicial asociado a una ecuación de variables separables, pero es en un caso donde la ecuación es equivalente a una de variables separadas (pues supońıamos que la función h no se anula) y pod́ıamos aplicar directamente el teorema 3.1. Tratamos en esta sección un caso general.. Los ejemplos vistos anteriormente, especialmente el de la ecuación x! = 3x2/3, van a ser muy útiles para clarificar e ilustrar las situaciones que pueden darse. Todo va a depender de que se verifique la condición h(x0) = 0 o la condición h(x0) .= 0.. Teorema 3.2. Sea el problema de valor inicial. (P):. " x!(t) = g(t)h(x(t)). x(t0) = x0 ,. donde g y h son funciones definidas en los intervalos It e Ix respectivamente y t0 $ It y x0 $ Ix. Se verifica lo siguiente:. I) (Existencia sin unicidad) Si h(x0) = 0 la función constante x: It " R, t 1" x(t) = x0 es solución de (P), pero (P) puede tener más de una solución definida en el intervalo It.. II) (Existencia y unicidad local) Si g es continua en It, h es continua en Ix, t0 $ # It, x0 $. # Ix y. h(x0) .= 0 , entonces existe un intervalo abierto I tal que t0 $ I / It y tal que el problema (P) posee una única solución (de clase uno) definida en I. Dicha solución viene definida impĺıcitamente en I por la ecuación:. (3.11). ! x. x0. 1. h(s) ds =. ! t. t0. g(s) ds.. En un intervalo I! ! I no está asegurada la existencia de solución y, en el caso de que exista solución x: I! " R de (P), esta no tiene porqué ser la única ni tiene porqué venir definida impĺıcitamente en I! por la ecuación (3.11).. Prueba. I) Supuesto h(x0) = 0 es trivial comprobar que la función constante x: It " R, t 1" x(t) =. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 59. x0 es solución de (P). Para ver que no está asegurada la unicidad, recordamos el caso de la ecuación x! = 3x2/3.. El problema de Cauchy (P):. " x! = 3x2/3. x(0) = 0 , a parte de la solución nula, tiene como solución la. función definida por x(t) = t3 en cualquier intervalo abierto I , 0 (por pequeño que sea). Pero, de hecho, tal problema tiene infinitas soluciones definidas en R y en cualquier intervalo abierto I , 0, que seŕıan soluciones definidas aśı:. x(t) =. 1 23. 24. (t # #)3 si t ( # 0 si # ( t ( $ (t # $)3 si t ) $. donde #, $ $ I y # < 0 < $.. II) El segundo caso (existencia y unicidad local) se sigue del teorema 3.1 visto para ecuaciones de variables separadas, aunque la cuestión no es tan simple como parece (para asegurar la unicidad).. En efecto, como h(x0) .= 0, x0 $ # Ix y h es continua en Ix, existe un intervalo abierto Jx tal que. x0 $ Jx 4 Ix y tal que h(x) .= 0 para cada x $ Jx. De esta forma, podemos escribir 1. h(x(t)) siempre. que x(t) $ Jx, es decir, siempre que la gráfica de de la función t 1" x(t) se encuentre en It !Jx. Por tanto, x: I " R, con gráfica en It ! Jx es solución de (P) si, y sólo si, es solución del problema de variables separadas. (Q) :. " 1. h(x(t)) x!(t) = g(t). x(t0) = x0. (el que x sea solución de (Q) lleva ı́mpĺıcito que graf x / It ! Jx). El problema (Q) reúne todas las hipótesis del teorema 3.1 y, por tanto, podemos asegurar que existe un intervalo abierto I tal que t0 $ I 4 It y tal que existe una única función x $ C. 1 (I, R) que es solución del problema. (Q) en el intervalo I. En consecuencia, esta función es solución en el intervalo I del problema (P), obteniéndose aśı la existencia de solución para (P). Según el razonamiento anterior también seŕıa la única solución de (P) definida en I y con gráfica contenida en It ! Jx. Lo que no queda claro con este razonamiento es el que x sea la única solución de (P) definida en I. En mi opinión el razonamiento que nos puede llevar a esta conclusión no es simple y lo vamos a evitar (habŕıa que probar que existe un intervalo I%, como el solicitado, posiblemente I% " I, tal que cualquier solución de (P) definida en I% posee la gráfica en It ! Jx; de esta forma, śı se podŕıa concluir la unicidad de solución definida en el intervalo I%).. Una vez probada la existencia y unicidad, el que dicha solución venga definida impĺıcitamente en I por la ecuación ! x. x0. 1. h(s) ds =. ! t. t0. g(s) ds. es también consecuencia del teorema 3.1, o más precisamente de la proposición 3.2.. Aportamos ahora un par de ejemplos de problemas de Cauchy asociados a dos ecuaciones vistas en la sección anterior, para confirmar las dos afirmaciones que se dan en la segunda parte del teorema. Estos son. (P):. " x! = 2tx2. x(0) = 1 y (P):. " x! = 3x2/3. x(1) = 1. En ambos casos estamos en una situación considerada en la segunda parte del teorema pues las funciones g y h son continuas en R ( It = Ix = R) y h(x0) .= 0. Por tanto, se puede asegurar la. 60 Ecuaciones diferenciales de variables separables. existencia de un intervalo abierto I, conteniendo al punto t0 = 0 en el primer caso y a t0 = 1 en el segundo, donde el problema (P) posee una única solución. Ciertamente podŕıamos encontrar estas soluciones a partir de las resoluciones de las ecuaciones diferenciales x! = 2tx2 y x! = 3x2/3, vistas en la sección anterior, pero, para mayor claridad, conviene obtenerlas directamente, tal como se indica en (3.11).. En el primer caso, la solución viene definida impĺıcitamente por ! x. 1. 1. s2 ds =. ! t. 0 2s ds. de donde se obtiene trivialmente la expresión x(t) = 1 1"t2 . En principio, el resultado afirma que. existe un intervalo abierto I , 0 donde ésta es la única solución de (P). Por otra parte, observamos que x(t) = 1. 1"t2 está bien definida y es solución del problema en el intervalo (#1, 1). El teorema 3.2 no asegura que sea I = (#1, 1), pero, se puede demostrar que en el intervalo (#1, 1) es la única solución del problema. Para intuir porqué sucede esto, véase que la solución obtenida tiene su gráfica contenida en el dominio D = R ! (0, %) y, por tanto, verifica x2(t) .= 0 para cada t $ I = (#1, 1). De esta forma, x es solución en I del problema de variables separadas:. " 1. x2(t) x!(t) = 2t. x(0) = 1. y sabemos, por la proposición 3.2, que la únicas posibles soluciones de este problema deben venir definidas impĺıcitamente por la ecuación. # x 1. 1 s2. ds = # t 0 2s ds; pero esta ecuación sólo de-. fine impĺıcitamente la función derivable: x(t) = 1 1"t2 . Por tanto, ésta es la única solución de (P). definida en (#1, 1) y con la gráfica contenida en D.. Si consideramos un intervalo I! ! I, vemos que (P) no tiene solución definida en I!, ya que la solución obtenida no posee ĺımites finitos cuando t tiende a los extremos del intervalo I.. !0, 1". x!t"! 1 1"t2. D! !"!0, ## I ! !$1, 1"$1 1. D! !"!0, #" I! !0, ##. x!t"! t3 !1, 1#. x!t"! 0. En el segundo caso, la solución viene definida impĺıcitamente por ! x. 1. 1. 3s2/3 ds =. ! t. 1 ds. de donde se obtiene trivialmente la expresión x(t) = t3. Vemos que esta solución es válida en todo. R, pero el teorema no asegura que haya solución única definida en R; asegura la existencia y unicidad en algún intervalo abierto I , 1. Véase que si t $ I = (0, %) se tiene (t, x(t)) $ D = R ! (0, %). Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 61. y, por tanto, 3(x(t))2/3 > 0. De esta forma x: (0, %) " R, x(t) = t3, es solución del problema de variables separadas: ". 1 3x2/3. x! = 1. x(1) = 1. y, razonando de la misma forma que en el caso anterior, se concluye que es la única solución del problema (P) definida en (0, %) y con la gráfica en D. Se puede demostrar que x(t) = t3 es la única solución de (P) definida en I = [0, %). No obstante, en un intervalo I! # I, como por ejemplo R, hay definidas infinitas soluciones de (P). Una de ellas es x: R " R dada por. x(t) =. " 0 si t ( 0 t3 si t ) 0. y véase que no se obtiene impĺıcitamente en su intervalo de definición por # x 1. 1 3s2/3. ds = # t 1 ds. De. esta forma tenemos asegurada la existencia y unicidad de solución en cierto intervalo pero no en cualquier intervalo y, además, en ciertos intervalos la solución no viene dada por (3.11), de ah́ı que digamos que hemos obtenido un resultado de existencia y unicidad local.. Del teorema 3.2 se sigue el siguiente resultado sobre existencia de soluciones (cuya simpĺısima comprobación dejamos como ejercicio).. Corolario 3.2.1 (Existencia de soluciones). Si g y h son funciones continuas en los intervalos. It e Ix respectivamente y t0 $ # It y x0 $. # Ix, el problema de valor inicial. (P):. " x!(t) = g(t)h(x(t)). x(t0) = x0. posee al menos una solución.. Obsérvese que las hipótesis impuestas en el corolario anterior se traducen en que la función definida por f(t, x) = g(t)h(x) es continua en cierta región del plano y eso nos permite asegurar que el problema. (P):. " x!(t) = f(t, x(t)). x(t0) = x0. tiene al menos una solución. Ya se comentó en la introducción de la asignatura (tema 1) que para la existencia de soluciones iba a ser suficiente con la continuidad de f en cierta región.. Llegado aqúı, queremos hacer una advertencia sobre el uso de programas infórmaticos para la resolución de problemas matemáticos. En general, no podemos fiarnos plenamente de estos programas pues hay situaciones, ciertamente peculiares, en que dan soluciones incorrectas u omiten soluciones válidas. Esto último es lo que sucede con el Mathematica y las ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, hemos visto que el problema. (P):. " x! = 3x2/3. x(0) = 0. posee infinitas soluciones definidas en R y en cualquier intervalo que contenga a t0 = 0. Sin embargo, si le proponemos a Mathematica que resuelva el problema (P) mediante la instrucción. DSolve *). x![t] == 3(x[t]) 2 3 , x[0] == 0. , , x[t], t. +. 62 Ecuaciones diferenciales de variables separables. la respuesta que nos da es: x[t] " t3; es decir solo nos da una solución, ni siquiera nos da la solución nula. Por otra parte, si le damos instrucciones a Mathematica para que resuelva el problema. (Q):. " x! = x2. x(0) = 0. nos contesta diciendo que le es imposible encontrar una solución.. ¿Porqué sucede eso cuando trivialmente la función nula es solución de (P) y de (Q)?; de hecho, en el caso de (Q), es la única solución definida en R o en cualquier intervalo que contenga a t0 = 0. Porque Mathematica determina primero todas las soluciones de la ecuación diferencial (como usualmente hacemos nosotros) y después busca una solución que verifique la condición inicial. Pero, el programa no determina la solución nula (en general, no determina las posibles soluciones constantes de una ecuación de variables separables) ya que procede de la forma poco rigurosa que explicamos al principio del tema, en la que la manipulación de la ecuación diferencial lleva a dividir por valores que pueden anularse:. 1. 3x2/3 x! = 1. 1. x2 x! = 1.. Por esta razón pierde la solución nula; en el primer caso no puede dar la nula ni las que se obtienen, definidas a trozos, mediante la nula y, en el segundo caso es incapaz de dar una solución.. Se completa esta sección dando un ejemplo de un problema de valor inicial asociado a una ecuación de variables separables, que se encuentra en la segunda situación del teorema anterior, con el objetivo de hacer ver que en ciertos casos (más de los que uno cree) no es posible obtener expĺıcitamente las expresiones de las soluciones y, en consecuencia, tampoco podemos inspeccionar intervalos de existencia para tales soluciones. Este tipo de situación no se da con las ecuaciones diferenciales lineales.. Ejemplo 3.10. Estudio y resolución del problema (P):. 1 3. 4 x!(t) =. x(t) cos t. 1 + 2x2(t) x(0) = 1. La funciones definidas por g(t) = cos t y h(x) = x 1+2x2. son continuas en R y h(1) .= 0. Por tanto, existe un intervalo abierto I , 0 donde (P) posee una única solución que viene definida impĺıcitamente por la ecuación. ! x. 1. 1 + 2s2. s ds =. ! t. 0 cos s ds.. Los cálculos de primitivas son inmediatos y, finalmente, la ecuación resultante es. log x + x2 = 1 + sen t.. Desgraciadamente, tenemos que dejar el problema aśı pues no sabemos cómo despejar x de la expresión anterior. Por otra parte, al no saber despejar x tampoco podemos inspeccionar un intervalo de existencia para tal solución. No obstante, haciendo uso del teorema de la función impĺıcita, podemos confirmar el resultado obtenido (esto no es necesario, pero es una forma de comprobar que todo es correcto y no nos hemos equivocado en los cálculos).. Consideremos el abierto en R2 dado por D = R ! (0, %) y la función f : D " R definida por f(t, x) = log x + x2 # 1 # sen t. Obsérvese que nuestra ecuación se puede scribir aśı: f(t, x) = 0. Se verifica lo siguiente:. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.3. Ecuaciones diferenciales de variables separables 63. 1. f(0, 1) = 0. 2. f $ C 1 (D, R) y concretamente !f!t (t, x) = # cos t,. !f !x(t, x) =. 1 x + 2x.. 3. !f!x(0, 1) .= 0.. Por tanto, se tiene asegurado la existencia de un intervalo abierto I , 0 y una única función de clase uno x: I " R (con gráfica contenida en D), tal que x(0) = 1 y tal que f(t, x(t)) = 0 para cada t $ I, es decir,. (+) log x(t) + (x(t))2 = 1 + sen t para cada t $ I.. El mismo teorema de la función impĺıcita nos da también el cálculo de la derivada x! de la función definida impĺıcitamente aśı:. x!(t) = # !f !t (t, x(t)) !f !x(t, x(t)). = cos t. 1 x(t). + 2x(t) =. x(t) cos t. 1 + 2x2(t) ,. lo cual confirma que tal función x es solución del problema (P).. Si olvidamos la fórmula de la derivada de x usada anteriormente, sólo hay que derivar miembro a miembro en la igualdad. f(t, x(t)) = 0 para cada t $ I,. usando la regla de la cadena, para obtener. "f. "t (t, x(t)) +. "f. "x (t, x(t))x!(t) = 0 para cada t $ I.. De cualquier forma, para confirmar que una función derivable x, dada por (+), es solución de la ecuación diferencial, únicamente tendŕıamos que derivar miembro a miembro en tal expresión aśı:. x!(t). x(t) + 2x(t)x!(t) = cos t,. de donde se deduce ' 1 x(t). + 2x(t) ( x!(t) = cos t y, por tanto, x!(t) =. cos t 1. x(t) + 2x(t). = x(t) cos t. 1 + 2x2(t) .. Insisto en que todo lo visto al final no es necesario realizarlo en cada caso que nos encontremos, análogo a éste, si hemos usado correctamente el resultado del teorema 3.2 y hemos realizado bien los cálculos. Es simplemente una comprobación.. Obsérvese la respuesta del programa Mathematica a este problema. Damos el problema aśı:. DSolve. 5/ x![t] ==. x[t]Cos[t]. 1 + 2x[t]2 , x[0]==1. 0 , x[t], t. 6. y nos responde: 1 3. 4. 1 3. 4 x[t] ". 7 ProductLog. - 2e2+2Sin[t]. .. - 2. 8 9. :. 8 9. :. (¿que indica ProductLog ?) con las siguientes advertencias:. 64 Ecuaciones diferenciales de variables separables. InverseFunction::ifun: Inverse functions are being used. Values may be lost for multivalued. inverses. >>. Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found;. use Reduce for complete solution information. >>. Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found;. use Reduce for complete solution information. >>. Solve::ifun: Inverse functions are being used by Solve, so some solutions may not be found; use. Reduce for complete solution information. >>. General::stop: Further output of Solve::ifun will be suppressed during this calculation. >>. DSolve::bvnul: For some branches of the general solution, the given boundary conditions. lead to an empty solution. >>. 3.4 Algunos modelos matemáticos basados en ecuaciones autónomas: Modelos sobre poblaciones. El modelo de población más antiguo y usado durante cierto tiempo fue el modelo malthusiano (Malthus, 1798), que fue expuesto en el primer tema. Este dio lugar a una ecuación lineal homogénea muy simple: x!(t) = rx(t), que, como tal, es también una ecuación de variables separables, en este caso autónoma. El modelo malthusiano, que supone que el ritmo (velocidad) de variación de una población en un instante t es directamente proporcional al número de individuos que hay en ese instante, se ha comprobado que sólo resulta adecuado para predicciones a corto plazo pues este modelo supone un crecimiento ilimitado (de tipo exponencial) de la población, lo cual no es realista y sólo sucede con cierto tipo de colonias de bacterias.. Modelo de población de crecimiento limitado (modelo loǵıstico o de Verhulst). Parece más razonable suponer las siguientes hipótesis sobre una población de personas o ani- males que viven en un medio sin competencias con otras personas o especies.. 1. Supongamos que la tasa de natalidad n es superior a la de mortandad m, de manera que va a aparecer en nuestro modelo una constante r = n # m > 0, que va a ser una caracteŕıstica de la población (la misma constante r que aparece en el modelo malthusiano).. 2. La población no puede crecer de forma ilimitada y, por tanto, debe existir un tamaño máximo M para la población (0 < M < %), que puede entenderse como un indicador de la capacidad máxima del medio en que vive esa población. En muchas ocasiones este tamaño máximo es desconocido y hay que estimarlo.. 3. Al comienzo, cuando la población es aún pequeña, esta crece casi exponencialmente, como en el modelo malthusiano.. 4. Cuando la población va aumentando (siempre que no haya catástrofes, guerras u otros acon- tecimientos que puedan alterar significativamente el número de habitantes), en el transcurso del tiempo la población se va aproximando al tamaño máximo M. A medida que se aproxima a este valor, la población sigue creciendo pero a un ritmo cada vez más lento (el crecimiento se va amortiguando).. 5. Si en algún momento sucede que la población supera el tamaño máximo M, por ejemplo, si recibe una fuerte inmigración en muy poco tiempo, el número de habitantes deberá decrecer hasta aproximarse al valor de M.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.4. Algunos modelos sobre poblaciones 65. Teniendo en cuenta estas consideraciones, el modelo matemático que propuso el matemático y biólogo belga Verhulst en 1838 fue el siguiente:. (3.12) x!(t) = rx(t) ' 1 # x(t)M. (. donde x(t) indica el número de individuos existente en la población en el instante t. La ecuación anterior es una ecuación de variables separables, más concretamente autónoma, que posiblemente se entienda mejor si se escribe aśı:. (3.13) x!(t) = rM x(t) $ M # x(t). % .. La ecuación diferencial autónoma (3.13) deja bien claro que el ritmo (velocidad) de variación de la población en cada instante t es directamente proporcional, tanto al número de individuos x(t) que hay en ese momento como a la diferencia entre la población máxima y la existente: M # x(t). Por otra parte véase que si en un intervalo de tiempo la población x(t) es inferior al valor de M (lo usual) la derivada x!(t) es positiva por lo que la función población t 1" x(t) es estrictamente creciente en ese intervalo de tiempo. Si por alguna razón sucede que en un intervalo de tiempo los valores de x(t) son superiores a M (una fuerte inmigración) la derivada x!(t) seŕıa negativa y, aśı, la función t 1" x(t) seŕıa, en este caso, estrictamente decreciente.. En 1760 el matemático Daniel Bernoulli propuso el modelo. (3.14) x!(t) = k x(t)(M # x(t)) donde k > 0 y M > 0,. para explicar la propagación de una enfermedad contagiosa (como el virus de la gripe). En este modelo M representa el número de habitantes de la ciudad y x(t) el número de personas contagiadas en el instante t, por lo que su modelo expresaba que la velocidad con la que la enfermedad se propaga no sólo es proporcional al número de personas contagiadas: x(t), sino además, al número de personas que aún no se hab́ıan expuesto al contagio: M # x(t). Obsérvese la similitud entre el modelo de población de Verhulst y el de Bernoulli (por lo que se piensa que el modelo de Verhulst está inspirado en el de Bernoulli).. Véase que la ecuación de Verhulst (y también la de Bernoulli) es un caso especial de ecuación autónoma del tipo. (3.15) x! = ax # bx2 donde a, b son constantes,. concretamente a = r y b = rM . Obsérvese que a b = M. Está claro que podemos suponer b .= 0 pues. si b = 0 la ecuación (3.15) resultante es la simple ecuación lineal homogénea x! = ax que se usa en el modelo malthusiano. Las ecuaciones del tipo (3.15) son llamadas ecuaciones loǵısticas. De hecho, es usual llamar modelo de población loǵıstico al modelo de población dado por Verhulst.. A la vista de lo anterior vamos a determinar las soluciones de la ecuación loǵıstica (3.15) y como caso particular obtendremos las soluciones de (3.13). Vamos a suponer que en la ecuación loǵıstica las constantes a y b son positivas tal como sucede en la ecuación de Verhulst. Si escribimos la ecuación loǵıstica como. x! = x(a # bx). apreciamos que esta ecuación posee dos, y solamente dos, soluciones constantes válidas en R, que son las dadas por las funciones x: R " R, t 1" x(t) = 0 y x: R " R, t 1" x(t) = ab .. Siguiendo el método dado para ecuaciones de variables separables, podemos afirmar que las soluciones con gráficas contenidas en alguno de los tres dominios del plano que determinan las. 66 Ecuaciones diferenciales de variables separables. gráficas de estas dos soluciones constantes: D1 = R!(#%, 0), D2 = R!(0, a/b), D3 = R!(a/b, %), vienen dadas impĺıcitamente por ecuaciones del tipo. (3.16). ! 1. x(a # bx) dx = t + K, donde K $ R.. La primitiva que aparece en el primer miembro de (3.16) se determina descomponiendo la fracción 1. x(a"bx) en fracciones simples:. 1. x(a # bx) =. A. x +. B. a # bx =' A =. 1. a y B =. b. a ,. y, por tanto, ! 1. x(a # bx) dx =. 1. a log | x | #. 1. a log | a # bx | =. 1. a log. ;;; x. a # bx. ;;;.. De esta forma, la ecuación resultante queda aśı:. log ;;;. x. a # bx. ;;; = at + aK, o equivalentemente, x. a # bx = Ceat, donde C .= 0.. Despejando x de la ecuación anterior se obtiene x = aCe at. 1+bCeat y, por tanto, las funciones derivables. que se obtienen de (3.16) son las definidas por. x C (t) =. aCeat. 1 + bCeat con C .= 0.. Como b .= 0 podemos escribir la expresión anterior de una forma más adecuada; concretamente:. (3.17) x C (t) =. a/b. 1 + 1bC e "at. C .= 0.. Estas soluciones x C junto con las dos soluciones constantes son las únicas soluciones de la ecuación. diferencial (no tenemos aún herramientas matemáticas para probar esta afirmación, al igual que ha sucedido con otros ejemplos vistos en este tema; pero véase que la función h: R " R, x 1" h(x) = x(a # bx) es de clase uno.). Si C > 0 , al ser b > 0, las funciones anteriores están definidas en R y, de hecho, son soluciones de la ecuación loǵıstica en R. Obviamente estas funciones verifican 0 < x. C (t) < ab para cada t $ R. y son estrictamente crecientes. Esto último es mejor comprobarlo directamente desde la ecuación diferencial, pues al ser x. C (t) < ab se tiene que xC (t)(a # bxC (t)) > 0 y aśı x. ! C (t) > 0 para cada t.. Por otra parte, sus gráficas tienen a las gráficas de las dos soluciones constantes como aśıntotas horizontales:. lim t$"&. x C (t) = 0 y lim. t$& x. C (t) =. a. b .. Si C < 0 las funciones ya no están definidas en R, son estrictamente decrecientes y sus gráficas también tienen como aśıntota horizontal una de las soluciones constantes, aparte de que tienen una aśıntota vertical, de ecuación t = t0, siendo t0 = #. 1 a log(#bC) el único punto donde el denominador. se anula en la expresión (3.17). Concretamente si t < t0 es xC (t) < 0 y de la propia ecuación diferencial se deduce que x. C es estrictamente decreciente. Por otra parte verifica:. lim t$"&. x C (t) = 0 y lim. t$t0 x. C (t) = #%.. La situación anterior no tiene sentido en nuestro modelo de población pues la población x(t) no puede ser negativa.. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.4. Algunos modelos sobre poblaciones 67. Si t > t0 es xC (t) > a/b y de la expresión de la ecuación diferencial se deduce que xC es estrictamente decreciente. Por otra parte verifica:. lim t$t0. x C (t) = % y lim. t$& x. C (t) = a/b.. Esta situación reflejada en nuestro modelo de población śı puede tener sentido y se corresponde con el caso en que hay una fuerte inmigración y la población supera el valor ĺımite M = a/b.. 2.77. 2. C < 0. C < 0. C > 0. a/b = 2. Solución nula. Solución constante x(t) =. Figura 3.5: Gráficas de cinco soluciones de la ecuación loǵıstica x! = 0.5x # 0.25x2 (aqúı a/b = 2.). Llevado todo esto al modelo de población (3.13) (a = r y b = rM ), obtenemos dos soluciones constantes. x: R " R, t 1" x(t) = 0, x: R " R, t 1" x(t) = M. (que daŕıan lugar a dos situaciones ĺımites para la población, poco realistas) y las otras soluciones seŕıan las definidas por. (3.18) x C (t) =. M. 1 + MrC e "rt. con C .= 0.. Lo usual es conocer el valor x0 de la población en un instante determinado t0. Suponemos lógicamente que x0 > 0 y que x0 .= M. El problema de valor inicial correspondiente. (P):. " x!(t) = rM x(t). $ M # x(t). %. x(t0) = x0. posee, en algún intervalo, una única solución que vamos a determinar a partir de (3.18). Imponiendo que x. C (t0) = x0, obtenemos M. rC = ' M x0. # 1 ( ert0 ,. lo que llevado a la expresión (3.18) nos da la solución:. (3.19) x(t) = M. 1 + $ M x0. # 1 % e"r(t"t0). .. (Aunque suponemos x0 .= M, véase que en la expresión anterior se obtiene x(t) = M cuando x0 = M.) En el caso 0 < x0 < M (caso usual), la solución está definida en todo R, es estrictamente creciente y que verifica lim. t$& x(t) = M. Si x0 > M, la solución está definida en el intervalo [t0, %),. es estrictamente decreciente y también verifica lim t$&. x(t) = M.. 68 Ecuaciones diferenciales de variables separables. A continuación ponemos en práctica este modelo en un caso real, comparándolo con el modelo malthusiano.. Comparación entre la población real en EE.UU y los datos proporcionados por dos modelos de población. Año Censo de EE.UU Modelo malthusiano Modelo loǵıstico. 1790 3.93 3.93 3.93. 1800 5.31 5.19 5.30. 1810 7,24 6.48 7.13. 1820 9.64 9.03 9.58. 1830 12.87 11.92 12.82. 1840 17.07 15.73 17.07. 1850 23.19 20.76 22.60. 1860 31.44 23.40 29.70. 1870 39.83 36.15 38.65. 1880 50.16 47.70 49.69. 1890 62.95 62.95 62.95. 1900 75.99 83.07 78.37. 1910 91.97 109.63 95.64. 1920 105.71 144.67 114.21. 1930 122.78 190.91 133.28. 1940 131.67 251.94 152.00. 1950 151.33 332.47 169.56. 1960 179.32 438.75 185.35. 1970 203.21 579.00 199.01. 1980 226.50 764.08 210.46. Tabla 3.1: El censo de los EE.UU. (en millones de habitantes) de acuerdo con los modelos malthu- siano y loǵıstico (modelo de Verhulst).. Para el modelo loǵıstico: x(t) = M. 1 + $ M x0. # 1 % e"r(t"t0). se ha tomado, lógicamente, t0 = 1790. y x0 = 3.93 y, para estimar los valores de los parámetros M y r se han usado los valores de la población en los años 1840 y 1890, obteniendo aśı los valores M = 250 y r = 0.03. De esta forma, el modelo loǵıstico usado ha sido:. (3.20) x(t) = 250. 1 + 62.5 e"0.03(t"1790). Esto explica que los valores obtenidos para el modelo loǵıstico en los años 1840 y 1890 sean exactos.. Para el modelo malthusiano: x(t) = x0 e r(t"t0) se ha tomado t0 = 1790 y x0 = 3.93 y, para. estimar el valor del parámetro r se ha usado el valor de la población en el año 1890, obteniendo. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. 3.4. Algunos modelos sobre poblaciones 69. aśı: r = 0.027737. De esta forma, tomando como r el valor 0.028, el modelo aplicado ha sido:. (3.21) x(t) = 3.93 e0.028(t"1790). Esto explica que el valor obtenido por el modelo malthusiano en el año 1890 sea exacto.. Como muestra la tabla 3.1 la capacidad de predicción del modelo loǵıstico es sorprendente, incluso a un siglo vista, sobre todo si se tiene en consideración la enorme complejidad demográfica (inmigraciones, guerras,etc) de la población norteamericana. La guerra civil americana, también llamada guerra de Secesión americana, transcurrió entre 1861 y 1865. La guerra con Méjico, que tuvo como consecuencia la anexión de Texas, mitad del territorio mejicano, transcurrió entre 1846 y 1848. El modelo loǵıstico funciona también con enorme precisión con cultivos de bacterias y con ciertas poblaciones de parásitos de las frutas.. Por otra parte, en el año 1990, la población residente en EE.UU era aproximadamente de 249 millones de habitantes. A principios del año 2011 era aproximadamente de 310 millones. Obsér- vese que el modelo loǵıstico usado también predice una población máxima M de 250 millones de habitantes, predicción que se cumple hasta el año 1990.. Sin embargo, como se puede apreciar, el modelo malthusiano sólo resulta adecuado en los 110 primeros años (¡no está mal!) pero véase que a partir de 1920 los valores se disparan y son más del doble o del triple de los valores reales.. 1790 1840 18901930 1980. 3.93. 17.07. 62.95. 133.28. 210.46. 250. Figura 3.6: Una gráfica del modelo loǵıstico (3.20) usado para la población de EE.UU.. 1790 1840 1890 1930 1980. 17.07. 62.95. 190.91. 250. 438.75. 579. Figura 3.7: Una gráfica del modelo malthusiano (3.21) usado para la población de EE.UU.. 70 Ecuaciones diferenciales de variables separables. Ejercicios propuestos :. 1. Prueba que existe un intervalo donde el problema de valor inicial. " x x! = e. t. 1+et. x(0) = 1 posee una única. solución y determina tal solución. ¿Puedes precisar cuál es el mayor intervalo donde sucede lo anterior?.. 2. Comprueba que el problema. " (x # 1) x! = log t. t. x(1) = 1 posee únicamente dos soluciones en el intervalo. I = (0, %), hallando, a la vez, estas dos soluciones.. 3. Determina todas las soluciones de la ecuación diferencial: x x! + (1 + x2) sen t = 0.. 4. Comprueba que en cualquier intervalo que contenga al 0 el problema de Cauchy. " x! = 2 t"x. x(0) = 1 tiene. una única solución y halla tal solución.. 5. Comprueba que el problema. " x! = x2. x(0) = 1 posee solución en algún intervalo abierto I , 0 pero no posee. solución definida en R. 6. Resuelve la ecuación diferencial x! = x2 # 4 y, en particular, halla la solución que verifica x(0) = 0.. Comprueba que esta solución es válida en R y estudia su comportamiento cuando t " #% y cuando t " %. Comprueba que su gráfica tiene dos aśıntotas horizontales, que son las gráficas de las dos soluciones constantes de la ecuación.. 7. Determina, si es posible, una solución x: R " R de la ecuación diferencial x! = 3x2/3 que verifique: x(#3) = #1 y x(2) = 27.. 8. Comprueba que el problema de valor inicial. " x! = x2/3. x(1) = 1 27. tiene una única solución en un determinado. intervalo y, sin embargo, posee infinitas soluciones definidas en R. 9. Determina una solución, válida en R, para cada uno de los siguientes problemas. " x! = 2. & | x |. x(1) = 1. " x! = 2. & | x |. x(1) = #1 .. 10. Comprueba que el problema de valor inicial:. " x! = 3. 2 3 - x. x(1) = #1 posee una única solución en algún intervalo. abierto I , 1 y determina tal solución. Estudia si existe alguna solución de este problema que sea válida en R y, en caso afirmativo, da una solución.. 11. (La ecuación diferencial de Gompertz) Un modelo alternativo al modelo de población loǵıstico (de crecimiento limitado) se basa en la ecuación diferencial de Gompertz:. x! = k x (log M # log x) donde k y M son constantes positivas.. Esta ecuación se usa en modelos de población, ha sido utilizada para la simulación de crecimientos de tumores en animales y también se usa en ciertos modelos de la Economı́a. En cualquiera de estos casos M también indica un valor ĺımite. Determina las soluciones de dicha ecuación y estudia el comportamiento de éstas en los extremos de sus intervalos maximales de definición. [Indicación: se recomienda escribir la ecuación diferencial aśı: x! = k x log. $ M x. % .]. !. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez. Universidad de Málaga. Ecuaciones diferenciales de variables separables Introducción Ecuaciones diferenciales de variables separadas Ecuaciones diferenciales de variables separables Estudio y resolución de una ecuación diferencial de variables separables Problemas de Cauchy asociados a ecuaciones de variables separables. Algunos modelos sobre poblaciones Ejercicios propuestos

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