Problemas de Optimización

(1)

MATEMATICAS 2º Bachillerato

A

s = B + m v r = A + l u

B

d

CIENCIAS

MaTEX

Optimiz

a

ci

´on

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Proyecto

MaTEX

Optimizaci´

on

Fco Javier Gonz´alez Ortiz

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c

2004gonzaleof@unican.es

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A

s = B + m v r = A + l u

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Tabla de Contenido

1. Introducci´on

2. Esquema general

3. Ejercicios

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Secci´on 1: Introducci´on 3

1. Introducci´on

Una de las aplicaciones m´as usuales del c´alculo, en otros campos de las

matemáticas, consiste en el cálculo de valores máximos y m´ınimos.

Consid´erese con qu´e frecuencia o´ımos o leemos frases como el mayor

be-neficio, el menor coste, el producto más barato, el tamaño óptimo, el menor

´

area, la menor distancia.

Este tipo de preguntas se realizan constantemente en el campo de la econom´ıa, del transporte, de la ingenier´ıa, medicina, etc.

En el campo de las matem´aticas estos problemas ocupan un lugar

im-portante y requieren el esfuerzo de especialistas que trabajan en resolverlos

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Ejemplo 1.1.Un rect´angulo tiene un per´ımetro de 100cm. ¿Cu´ales han de

ser las dimensiones del rectángulo para obtener un área máxima?

Soluci´on: Realizamos un dibujo y planteamos las inc´ognitas. Siendobel lado

del rect´angulo yhla altura del rect´angulo,

h

b

lafunción objetivoes el área que viene dado porA=b h, larestricción es el

per´ımetrop= 100 del rect´angulo

p= 2b+ 2h= 100

Despejamosh,

h= 100−2b

2 = 50−b

y sustituimos enA

A=b(50−b)

Para encontrar el valor m´aximo, derivamos

A0 = 50−2b= 0 =⇒b= 25

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Ejemplo 1.2. A partir de 12cm2 de material queremos construir una caja

abierta con un ancho fijo de 2 cm. ¿Cu´ales han de ser el largo xy el alto h

de la caja para obtener un volumen m´aximo?

Soluci´on: Siendoxel largo de la base yhla altura de la caja, la lafunci´on objetivoes el volumen viene dado por

V = 2x h

La restricci´on es la superficie de todas las caras excepto la superior, y

tiene que serS= 12. De la figura se tiene

S= 2x+ 4h+ 2x h= 12

Despejando, expresamoshen funci´on dex:

h=6−x

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y sustituimos enV

V = 2x6−x

2 +x=

12x−2x2

2 +x

V0= (12−4x) (2 +x)−(12x−2x

2₎

(2 +x)2

= −2x

2₋₈_x_{+ 24}

(2 +x)2

IgualamosV0= 0,

V0 = 0 =⇒, x2+ 4x−12 = 0 =⇒ x= 2 x=−6

Comprobamos que enx= 2 hay un m´aximo

x −∞ −6 2 +∞

V0 − 0 + 0 −

V & % 4 &

quedando las dimensiones de la caja ´optima

x=2 h=1

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Secci´on 2: Esquema general 7

2. Esquema general

Para la mayor´ıa de los ejercicios de optimizaci´on damos un esquema

gen-eral que ayuda a resolver los problemas.

1. Asignar s´ımbolos a todas las cantidades y si es posible

repre-sentar gr´aficamente el problema

2. Escribir lafunci´on objetivoque hay que minimizar-maximizar,

que en general tendr´a m´as de una variable.

3. Escribir larestricci´ondel problema que relacionan las variables.

4. Obtener a partir de la restricci´on la funci´on objetivo con una

sola variable.

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Ejemplo 2.1.¿Qu´e n´umero positivoxminimiza la suma dexy su rec´ıproco?

Soluci´on: Lafunci´on objetivo es la suma dada por

S(x) =x+ 1

x

solo hay una variable con larestricci´on x >0

Para encontrar el valor m´ınimo, derivamos

S0(x) = 1− 1

x2 = 0 =⇒x=±1

comox >0

x= 1 S(1) = 2

Se puede comprobar que es un m´ınimo con la segunda derivada

S00(x) = 2

x3 =⇒S

00_{(1) = 2}_>₀

luegox= 1 es un m´ınimo.

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Ejemplo 2.2.La suma de un número con el doble de otro es 24. ¿Qué números

se elegir´an para que su producto sea m´aximo?

Soluci´on: Lafunci´on objetivo es el producto dado por

P(x, y) =x·y

hay dos variables con larestricci´on

x+ 2y= 24

Como tenemos que hacer m´aximo el producto, es conveniente expresarP en

una sola variable. Despejamosxde la restricci´on,x= 24−2y y sustituimos

enP

P(y) = (24−2y)y

P0(y) = 24−4y= 0 =⇒y= 6

quedando los n´umeros buscados

x= 12 y= 6 P = 72

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Secci´on 3: Ejercicios 10

3. Ejercicios

Ejercicio 2.

A una ventana rectangular se le abre un tri´angulo

equil´atero sobre el lado superior. Si el per´ımetro

total de la figura as´ı formada es de 11 m,

determi-nar las dimensiones para que el ´area sea m´axima.

b h b

Ejercicio 3. Hallar las coordenadas del punto de la curva y = √x m´as

cercano al puntoP(4,0).

Ejercicio 4. Hallar dos n´umeros positivos cuyo producto sea 192 y cuya suma sea m´ınima

Ejercicio 5. Un trapecio is´osceles tiene una base menor de 14 cm y lados

oblicuos de 6 cm. ¿Cuál es el área máxima de este trapecio?.

Ejercicio 6. En una oficina de correos s´olo se admiten paquetes en forma de paralelep´ıpedo rectangular, tales que la anchura sea igual a la altura y

adem´as, la suma de ancho, alto y largo sea de 72 cm. Hallar las dimensiones

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Ejercicio 7.

Los barriles que se utilizan para

alma-cenar petr´oleo tienen forma cil´ındrica y

una capacidad de 160 litros. Hallar las di-mensiones del cilindro para que la chapa

empleada en su construcci´on sea m´ınima.

r

h

Ejercicio 8.

Una ventana normanda consiste en un

rect´angulo coronado con un semic´ırculo.

Encontrar las dimensiones de la ventana

de ´area m´axima si su per´ımetro es de 10

metros

r

x

Ejercicio 9.

Un jardinero desea construir un parterre de forma de sector circular. Si dispone de

10 m. de alambre para rodearlo, ¿qu´e

ra-dio debe tener el sector para que tenga la

mayor superficie posible?. α

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Ejercicio 10. A un cilindro se le adosan dos semiesferas. Hallar la altura

del cilindro y el radio de la esfera para que el volumen sea de 1 dm3 y la

superficie del recipiente sea m´ınima.

Ejercicio 11.Sea una figura de altura hm. sobre un pedestal dep m. ¿A

qu´e distanciaδdel pedestal nos debemos situar para que el ´anguloβ bajo el

que se ve la estatua sea m´aximo?.

2

d

a b

h

p

Ejercicio 12. A 10 km de tu casa te acuerdas que te has dejado el agua

corriendo, lo que te cuesta 10pts. a la hora. Volver a casa a una velocidad

constante dex km/hte cuesta en combustible, 9 +x/10pts/kmSe pide:

1. ¿Cu´anto te cuesta volver a casa ax km/h(en combustible)?

2. ¿Qu´e tiempo tardas en llegar a casa si viajas a esa velocidad ?

3. ¿Cu´anto te cuesta el consumo de agua mientras regresas a casa?

4. ¿A qu´e velocidad debes regresar a casa para que el coste total del

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Ejercicio 13. Una huerta tiene actualmente 25 ´arboles, que producen 600

frutos cada uno. Se calcula que por cada ´arbol adicional plantado, la

produc-ci´on de cada ´arbol disminuye en 15 frutos. Calcular:

1. La producci´on actual de la huerta.

2. La producción que se obtendr´ıa de cada árbol si se plantan xárboles

m´as.

3. La producci´on que se obtendr´ıa en total de la huerta si se plantan x

´

arboles m´as.

4. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener la huerta para

que la producci´on sea m´axima?. Interpretar el resultado.

Ejercicio 14.Un cosechero calcula que si la recogida de la fruta se realiza

hoy, obtendr´ıa una cosecha de 120 hect´olitros de fruta que podr´ıa vender a

2.500 pts. cada hect´olitro. Calcula tambi´en que si esperatsemanas, la cosecha

aumentará a razón de 20 hectólitros cada semana, aunque a cambio el precio

del hectólitro disminuirá en 250 pts. cada semana. ¿Cuándo debe recolectar

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Soluciones a los Ejercicios 14

Soluciones a los Ejercicios

Ejercicio 1. Llamamos a los catetos x ey respectivamente. El ´area viene dado por

A=1

2x y

La restricci´on viene dada por

x+px2₊_y2_{= 10}

Despejamosy=√100−20x, y sustituimos enA

A= 1

2x

√

100−20x=x√25−5x

A0 =√25−5x− 5x

2√100−20x= 0 =⇒x=

10 3

quedando las dimensiones del tri´angulo rect´angulo

x=10

3 y=

10

√

3

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Ejercicio 2.Llamamos a la base y la altura del rect´angulo,b y h

respecti-vamente. El ´area viene dado por

A=b h+

√

3

4 b

2

p= 3b+ 2h= 11

Despejamosh=11−3b

2 , y sustituimos enA

A=b11−3b

2 +

√

3

4 b

2 _b

h b

A0 =11

2 −3b+

√

3

2 b= 0 =⇒b=

11

6−√3

b= 11

6−√3 h=

7−√3

2

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Ejercicio 3.Sea X(x, y) un punto de la curva y =√x, la funci´on objetivo

es la distancia deX aP

d=d(X, P) =p(x−4)2_{+ (}_y₋₀₎2

y=√x

Como tenemos que hacer m´ınima la distancia, es conveniente expresar den

una sola variable. De la restricci´on sustituimos end

d=p(x−4)2₊_x

d0 = 2x−7

2p(x−4)2₊_x= 0 =⇒x=

7 2

quedando el punto buscado

x= 7

2 y=

r

7 2

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Ejercicio 4.Lafunci´on objetivoes la suma dada por

S(x, y) =x+y

x·y= 192

Como tenemos que hacer m´ınima la suma, es conveniente expresarS en una

sola variable. Despejamosy de la restricci´on,y= 192

x y sustituimos enS

S(x, y) =x+192

x

S0= 1−192

x2 = 0 =⇒x=

√

192 = 8√3

quedando los n´umeros buscados

x= 8√3 y= 8√3

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Ejercicio 5. Siendo la base menor b = 14, la base mayor en el dibujo es

B = 14 + 2xy la altura del trapecio hrespectivamente. El ´area viene dado

por

A=(B+b)

2 h=

(14 + 2x+ 14)

2 h

h2= 36−x2=⇒h=p36−x2

y sustituimos enA

6

x h

b

A= (14 +x)p36−x2

A0 =−2x

2₋₁₄_x_{+ 36} √

36−x2 = 0 =⇒x=−9, 2

B= 32 h=√32 Area 27√32

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s = B + m v r = A + l u

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Ejercicio 6.Con los datos del dibujo, el volumen viene dado por

V =x2y

2x+y= 72 =⇒y= 72−2x

y sustituimos enV

V =x2(72−2x)

x

y

V0 = 144x−6x2= 0 =⇒x= 24

quedando las dimensiones del paralelep´ıpedo

x= 24 y= 24 Volumen 243

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Ejercicio 7.Con los datos del dibujo, la chapa empleada viene dada por

S= 2π r2+ 2π r h

V =π r2h= 160 =⇒h= 160

π r2

y sustituimos enS

S= 2π r2+ 2160

r

h

S0= 4π r−2160

r2 = 0 =⇒r=

3 r

80

π

quedando las dimensiones del cilindro

r= 3 r

80

π h= 2

3 r

80

π

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s = B + m v r = A + l u

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Ejercicio 8.

Con los datos del dibujo, el ´area de la ventana

viene dada por

S=x2+π r

2

p=π r+ 3x= 10 =⇒x=10−π r

3

y sustituimos enS

S = (10−π r

3 )

2₊π r2

2

r

x

S0= −20π+ 2π

2_r_{+ 9}_{π r}

9 = 0 =⇒r=

20

9 + 2π

quedando las dimensiones de la ventana

r= 20

9 + 2π x=

30

9 + 2π

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A

s = B + m v r = A + l u

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Ejercicio 9.

Con los datos del dibujo, el ´area del sector viene

dada por

A= 1 2π α r

2

p=α r+ 2r= 10 =⇒α=10−2r

r

y sustituimos enA

A= 1

2π

10−2r

r r

2₌_π₍₅₋_r₎_r

α

r

A0=π(5−2r) = 0 =⇒r= 5

2

quedando las dimensiones del sector circular

r= 5

2 α= 2

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A

s = B + m v r = A + l u

B

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Ejercicio 10.Con los datos del dibujo, la superficie del recipiente viene dada por

S= 4π r2+ 2π r h

La restricci´on viene dada por el volumen

V = 4

3π r

3₊_{π r}2_h_{= 1 =}

⇒h= 1

π r2 −

4

3r

y sustituimos enS

S=4

3π r

2

+2

r

S0= 8

3π r−

2

r2 = 0 =⇒r=

3 r

3

4π

h

r r

quedando las dimensiones del dep´osito

r= 3

r

3

4π h= 0

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A

s = B + m v r = A + l u

B

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Ejercicio 11.Con los datos del dibujo, se tiene

tanα=p−2

δ

tan(α+β) = p−2 +h

δ (1)

De la expresi´on

tan(α+β) = tanα+ tanβ

1−tanαtanβ

despejamos tanβ

tanβ = tan(α+β)−tanα

1 + tanαtan(α+β)

Sustituimos por los valores de (1)

2

d a b

h

p

tanβ=

p−2 +h

δ −

p−2

δ

1 +p−2

δ

p−2 +h δ

= h δ

δ2_{+ (}_p₋_{2) (}_p₋_{2 +}_h₎ (2)

derivando (2) respecto deδe igualando a cero, se obtiene

(25)

A

s = B + m v r = A + l u

B

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Ejercicio 12.

1. A raz´on de 9 +x/10pts/km, en 10km, el coste en combustibleCcomb,

es

Ccomb= (9 +x/10) 10 = 90 +x pts

2. A una velocidad de x km/h, en 10km, el tiempo empleado, es

t= 10

x h.

3. A raz´on de 10pts/h, en un tiempo det horas, el coste en aguaCagua,

es

Cagua= 10t=

100

x pts

4. El coste total CT =Ccomb+Cagua = (90 +x) +

100

x . Derivando para

hallar el m´ınimo

(CT)0= 1−

100

x2 = 0 =⇒x= 10 km/h

(26)

A

s = B + m v r = A + l u

B

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Ejercicio 13. Sea xel número de árboles añadidos a los 25 que tenemos y

P(x) la producci´on de frutos para esosx´arboles.

x= 1 P(x= 1) = (25 + 1)·(600−15·1)

x= 2 P(x= 2) = (25 + 2)·(600−15·2)

Para el caso general, la producci´on es

P(x) = (25 +x)·(600−15·x)

derivandoP(x) respecto dexe igualando a cero, se obtiene

P0(x) =−30x+ 225 = 0 =⇒x= 705

comoxtiene que ser un número entero, el máximo se alcanzará en x= 7 o

x= 8. Siendo

P(7) = 32·495 = 15840 =P(8) = 33·480

(27)

A

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Ejercicio 14.Seatel n´umero de semanas hasta la recogida yG(t) la ganancia

de esastsemanas.

t= 1 G(t= 1) = (120 + 20·1)·(2500−250·1)

t= 2 G(t= 2) = (120 + 20·2)·(2500−250·2)

Para el caso general, la ganancia es

G(t) = (120 + 20·t)·(2500−250·t)

derivandoG(t) respecto de te igualando a cero, se obtiene

G0(t) = 20000−10000·t= 0 =⇒t= 2

el m´aximo se alcanzar´a en t= 2 y la ganancia corresponde a

G(2) = 320000pts