Colegio Universitario Boston Función Logarítmica

Texto completo

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Función Logarítmica

Una función logarítmica es una función de la forma , donde representa a la base de la función, y cumple el papel de argumento.

Para que una función se considere logarítmica se debe cumplir que el valor de la base sea un número positivo y diferente de uno. Es decir y .

Para la función logarítmica se tiene que:

Dominio:

El dominio de una función logarítmica es el conjunto de los números reales positivos.

Ámbito o Rango:

El ámbito de una función logarítmica es el conjunto de los números reales.

Intersecciones con los ejes.

La intersección con el eje de las no está determinada por lo tanto:

(3)

228 Monotonía

La monotonía de una función logarítmica, estará determinada por el valor de la base de la misma, por lo que tenemos que:

Si , se tiene que la función logarítmica es estrictamente decreciente.

Si , se tiene que la función logarítmica es estrictamente creciente.

3

2

1

-1

-2

-3

-2 2 4 6 8

3

2

1

-1

-2

-3

(4)

229

Cabe agregar que en una función logarítmica de la forma si el valor de , entonces la monotonía de la función logarítmica cambiará.

Es decir que si la base nos indica que la función es creciente y el valor de , es negativo entonces la gráfica de la función será decreciente y si la base nos indica que la función es decreciente y el valor de , es negativo entonces la gráfica de la función será creciente.

Biyectividad

La función logarítmica es una función de tipo biyectiva es decir sobreyectiva e inyectiva, al mismo tiempo. Lo que nos indica que la función logarítmica posee inversa.

Ejemplos

Determine si las siguientes funciones son o no exponenciales y si lo son indique si son crecientes o decrecientes y además calcule la intersección con el eje de las .

1.

Si es logarítmica, pues la base es , que es un número positivo y diferente de uno.

La función es estrictamente creciente, pues . Su intersección con el eje de las es: .

2.

No es logarítmica, pues la base es

y es un número negativo.

3.

Si es logarítmica, pues la base es , que es un número positivo y diferente de uno.

(5)

230

4.

Si es logarítmica, pues la base es , que es un número positivo y diferente

de uno.

La función es estrictamente creciente, pues .

Su intersección con el eje de las es: .

5.

Si es logarítmica, pues la base es , que un número positivo y diferente de uno.

La función es estrictamente decreciente, pues . Su intersección con el eje de las es: .

Práctica

1. La gráfica adjunta corresponde a entonces podemos afirmar con certeza que pertenece a

A.

B.

C. D.

2. Si la gráfica adjunta corresponde a entonces con certeza a

pertenece a

A.

B.

C. D.

x y

f

x y

(6)

231

3. Para la función dada por tal que para se cumple que es

A. estrictamente decreciente con B. estrictamente creciente con C. estrictamente decreciente con D. estrictamente creciente con

4. De acuerdo con los datos de la gráfica la función dada por es estrictamente

A. estrictamente decreciente con B. estrictamente creciente con C. estrictamente decreciente con D. estrictamente creciente con

5. De las siguientes gráficas ¿cuál puede representar el gráfico de ?

I. II. III. IV.

A. I. B. II. C. III. D. IV.

6. De acuerdo con los datos de la gráfica de la función logarítmica , se cumple que

A. para

B. para

C. para

D. para

(7)

232

7. Si es negativo si se cumple que

A B. C. D.

8. Si , entonces la gráfica de función interseca al eje en el punto

A. B. C.

D.

9. La gráfica de la función dada por interseca al eje en

A.

B.

C.

D.

10. La gráfica de la función dada por interseca el eje x en

A. B. C. D.

11. Un par ordenado que pertenece al gráfico de corresponde a

A. B. C. D.

(8)

233

12. La función dada por es positiva en el intervalo

A.

B.

C. D.

13. Dada la función definida por con se cumple que

A. la gráfica de f no interseca al eje x. B. la gráfica de f interseca el eje y. C. tiene por dominio máximo . D. tiene por ámbito

14. Dada la función definida por con entonces es cierto

A. la gráfica de f interseca al eje y.

B. la gráfica de f interseca el eje x en el punto . C. f tiene por dominio máximo .

D. f tiene por ámbito .

15. Una función creciente corresponde a

A.

B.

C.

D.

16. El ámbito de es

A. B.

C.

(9)

234

17. Para la función dada por , si entonces pertenece a

A.

B.

C. D.

18. Para la función dada por analice las siguientes proposiciones

I. para todo

II. para todo

De ellas son verdaderas

A. solo la I. B. solo la II. C. ambas. D. ninguna.

19. La función con , si , cumple que entonces,

m puede ser cualquier elemento del intervalo

A.

B.

C.

D.

20. Si f es una función dada por con y , entonces es un número que pertenece a

A.

B.

C.

(10)

235

21. Para la función dada por analice las siguientes proposiciones.

I. La gráfica de f interseca al eje x en

II. El ámbito de f es .

De ellas son verdaderas

A. solo la I. B. solo la II. C. ambas. D. ninguna.

22. En la función cuyo criterio es se cumple que

A. la gráfica de f interseca el eje y en un punto.

B. f es estrictamente decreciente.

C. el dominio de f es

D. el ámbito de f es

23. Considere las siguientes proposiciones respecto a la función

I.

II.

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

(11)

236

24. Considere las siguientes proposiciones referidas a la función

I. La gráfica interseca al eje x en

II.

¿Cuáles de ellas son verdaderas? A. Ambas.

B. Ninguna. C. Solo la I. D Solo la II.

25. La gráfica de la función interseca al eje en

A.

B.

C.

D.

26. Si f es una función logarítmica de base a y para , entonces se cumple que

A.

B.

C.

D.

27. Si entonces el ámbito de es

A.

B.

C.

(12)

237

28. Considere las siguientes afirmaciones. Si

I. es estrictamente creciente. II. es cóncava hacia abajo.

III. interseca al eje de las abscisas en el punto

De las anteriores proposiciones son verdaderas con certeza

A. la I y la II. B. la I y la III. C. la II y la III. D. solo la III.

29. Si entonces es igual a

A.

B.

C.

D.

30. Para la función con , el ámbito es A.

B.

C.

D.

31. Para la función dada por , entonces se cumple que

A.

B. C.

(13)

238

32. Para la función , la preimágen de 2 es

A. B. C D

33. Si el ámbito de la función es , entonces el dominio de

es

A.

B.

C.

D.

34. Si la función es asintótica al semieje negativo, entonces

podemos afirmar que esta función es:

A. Constante

B. Estrictamente decreciente C. Estrictamente creciente D. Decreciente.

35. Una función logarítmica que es estrictamente creciente tiene el siguiente

criterio:

(14)

239

36. De las siguientes gráficas ¿cuál puede representar la gráfica de

?

A. I B. II C. III D. IV

37. Para la función dada por , si entonces pertenece a

A.

B.

C.

D.

38. Si f es una función tal que y su criterio es , entonces el ámbito de esa función corresponde a

A. B. C. D.

39. El conjunto al que pertenece k para que la función sea

creciente corresponde a

A. , 1

B.

3 1 ,

C. , 3 1

(15)

240

40. Si la función es tal que entonces puede ser el siguiente valor:

A. B. C. D.

Propiedades de los Logaritmos

Para iniciar este apartado debemos comenzar conociendo las propiedades que nos permiten trabajar con los logaritmos.

1. Propiedad de Nulidad.

El logaritmo en cualquier base de uno nos dará como resultado cero. Es decir:

2. Propiedad de la unidad.

El logaritmo cuya base y argumento posean el mismo valor nos dará como resultado uno. Es decir:

3. Propiedad de la potencia

Cuando se presenta en el argumento de un logaritmo una potencia el exponente pasara a multiplicar al logaritmo, es decir:

4. Propiedad del producto.

(16)

241

5. Propiedad del cociente.

En un logaritmo cuando en el argumento es un cociente, este lo podemos expresar como una resta, de la siguiente forma:

6. Propiedad exponencial.

Si un número tiene como exponente, un logaritmo cuya base sea el mismo número, el resultado de esta expresión, es la expresión que se encuentre en el argumento del logaritmo.

7. Propiedad del cambio de base.

Dado un logaritmo en base cuyo argumento es , este lo podemos expresar como el cociente del logaritmo de entre el logaritmo de , de la siguiente forma:

Ejemplos.

1. El resultado de simplificar – es el siguiente:

Para obtener el resultado tenemos que:

Aplicando la propiedad del cociente.

Ahora aplicando la propiedad del producto.

(17)

242

2. El resultado de simplificar es el siguiente:

Aplicando la propiedad del producto.

Ahora aplicando la propiedad de la potencia obtenemos:

Si multiplicamos la expresión en el primer logaritmo tenemos que:

Finalmente aplicamos la propiedad del cociente:

Por lo tanto:

Práctica

41. La expresión es equivalente a

A.

B.

C.

(18)

243

42. La expresión es equivalente a

A.

B.

C.

D.

43. La expresión es equivalente a

A.

B.

C.

D.

44. El valor de la expresión es A.

B.

C .

D.

45. La expresión es equivalente a

A. B. C.

D. 16

1

46. La expresión es equivalente a

A.

B.

C.

(19)

244

47. La expresión es equivalente a A.

B.

C.

D.

48. La expresión es equivalente a A.

B.

C.

D.

49. La expresión es igual a

A.

B.

C.

D.

50. La expresión – – es equivalente a

A. –

B. –

C.

D.

51. La expresión es equivalente a

A.

B.

C.

(20)

245

52. La expresión es equivalente a A.

B.

C.

D.

53. La expresión es equivalente a

A.

B.

C.

D.

54. La expresión es equivalente a

A.

B.

C

.

D

.

55. La expresión es equivalente a

A.

B.

C.

(21)

246

56. La expresión escrita en base equivale a

A.

B.

C.

D.

57. La expresión es igual a

A. –

B.

C.

D.

58. Una expresión equivalente a es igual a

A.

B.

C.

(22)

247

59. El valor de la expresión es:

A. B. C. D.

60. La expresión es equivalente a

A.

B.

C.

D.

61. Considere las siguientes proposiciones:

I.

II.

De ellas son verdaderas

(23)

248

62. Considere las siguientes proposiciones:

I.

II.

De ellas son verdaderas A. ambas.

B. ninguna. C) solo I. D) solo II.

63. La expresión es igual a:

A. B. C. D.

64. La expresión es igual a:

(24)

249

Ecuaciones Logarítmicas

El procedimiento para resolver ecuaciones logarítmicas se encuentra basado en el mismo procedimiento que utilizamos para trabajar las propiedades logarítmicas, por lo que es de suma importancia manejar cada una de las propiedades para facilitarnos la compresión. Además las soluciones deben comprobarse, ya que el argumento de un logaritmo debe ser un número mayor que cero y ciertas soluciones no lo cumplen.

Ejemplos.

1. La solución de la ecuación , es el siguiente conjunto.

Dada la ecuación tenemos que si utilizamos la propiedad del cambio de base.

Despejamos la y obtenemos que:

Por lo tanto:

2. La solución de la ecuación , es el siguiente conjunto.

Dada la ecuación tenemos que si utilizamos la propiedad del cambio de base.

Resolvemos la ecuación que nos queda plantea.

(25)

250

3. La solución de la ecuación , es el siguiente conjunto.

Dada la ecuación tenemos que si utilizamos la propiedad del producto.

Como la base del logaritmo es 5 entonces tomemos esa misma base y planteamos a ambos lados de la ecuación una potencia cuya base sea 5 es decir:

Aplicamos la propiedad de la potencia y obtenemos que:

Finalmente resolvemos la ecuación:

Resolviendo esta ecuación cuadrática y tenemos que:

Verificamos las soluciones y tenemos que:

Por lo cual no puede ser solución de la ecuación.

Por lo cual no puede ser solución de la ecuación.

(26)

251

Práctica

65. El valor de en la expresión es

A. B. C. 16 1

D. 4

2 1

66. El valor de en la expresión es

A. 3

B. 3

2

C.

D.

67. El valor de para que se cumpla que es

A. 32 1 B. 25 1 C. D.

68. El valor de en la expresión es

A. 3

3 1

B. 3 3

C. 27

1

D. 3

3 1

(27)

252

69. El valor de en la expresión es

A. 2 3 B. 3 2 C. 8 1 D. 4 3

70. El valor de para que se cumpla que es

A. 9 1 B. 3 1 C. 9 D. 3

71. El valor de en la expresión es

A. 2 1

B. 8

(28)

253

72. El valor de para que se cumpla que es

A. 8

B 16

C. 4 8

D. 4

512

73. Analice las siguientes proposiciones.

I. Si y log55 entonces y 0. II. Si y loga1 entonces y 0.

III. Si y loga1 entonces ay 1.

De ellas son verdaderas

A. solo la I y la II. B. solo la I y la III. C. solo la II y la III. D. todas.

74. El conjunto solución de log3(2x 1) log3 x 1 la ecuación es A.

B. 3 2

C.

2 1 , 1

D. 2

3 , 1

75. El conjunto solución de 2log9(x 1) 1 corresponde a

A. .

B.

C.

(29)

254

76. El conjunto solución de corresponde a

A. 4 3 B. 2 1 C. 11 D. 9

77. La solución de corresponde a

A. B. C. 2 3 D. 4 21

78. El conjunto solución de corresponde a

A. B. 2 1 C. 3 1 D. 3 2

79. La solución de la ecuación es

(30)

255

80. La solución de corresponde a

A.

B. 9 5

C. 2 5

D.

81. La solución de corresponde a

A.

B.

C. 6

D.

82. El conjunto solución de corresponde a

A.

B.

C.

D.

83. La solución de es

A.

B. 5 1

C. 3 4

D. 3

(31)

256

84. El conjunto solución de corresponde a

A.

B.

C.

D.

85. El conjunto solución de corresponde a

A. 3

9

B. 3

2

C. 3

D. 1

86. La solución de es

A. 2 B. 3 C. 6 D. 1

87. La solución de es

A. 40

B. 48

C. 256

D. 512

88. La solución de es

A. 4

B. 5

C. 8

(32)

257

89. La solución de la ecuación es

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

90. La solución de es

A.

B. 3 7

C.

D. 3 19

91. El conjunto de solución de es

A.

B.

C.

D.

92. La solución de es

A. 512

B. 36

C. 81

D. 9

93. Una solución de es A. 3

B. 5

C.

(33)

258

94. El conjunto solución de es

A.

B.

C.

D.

95. La solución de es

A. 3 2 B. 3 1 C. 3 10 D. 3 1

96. El conjunto solución de es

A. 3

B. 4 1 C. 3 1

D. 3

97. El conjunto solución de log2 log(2x 1) 1 es

(34)

259

98. El conjunto solución de log2 log3 x2 2x 0 es A.

B. C. D.

99. El conjunto solución de log3 log(1 3x) 0 es

A. 1

B. 3 1 C. 3 4 D. 9 2

100. El conjunto solución de log(5x 2) log(x 3) 1 es

A. -1 B. 2 11 C. 5 32 D. 4 5

101. La solución de es:

A. B. C. D.

102. El conjunto solución de es

A. B.

C.

(35)

260

Soluciones.

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

1 A 26 C 51 D 76 D

2 D 27 B 52 A 77 D

3 D 28 D 53 B 78 B

4 D 29 A 54 B 79 D

5 B 30 C 55 A 80 D

6 B 31 B 56 B 81 D

7 B 32 A 57 D 82 C

8 D 33 B 58 D 83 B

9 A 34 C 59 D 84 C

10 D 35 C 60 C 85 A

11 B 36 C 61 A 86 C

12 B 37 D 62 C 87 D

13 D 38 C 63 D 88 A

14 C 39 D 64 C 89 D

15 C 40 A 65 A 90 D

16 A 41 C 66 D 91 B

17 D 42 C 67 A 92 C

18 A 43 B 68 A 93 A

19 A 44 D 69 C 94 A

20 A 45 A 70 A 95 C

21 D 46 A 71 A 96 D

22 C 47 D 72 B 97 D

23 A 48 A 73 C 98 B

24 C 49 B 74 A 99 C

(36)

261

Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

101 A

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Referencias

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