Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional Sintonización mediante algoritmos genéticos de un controlador PID, con base en la teoría de control combinado

Centro de Investigación y Estudios Avanzados

del Instituto Politécnico Nacional

Sintonización mediante algoritmos genéticos de un

controlador PID,

con base en la teoría de control combinado

H H

_{2 ∞}

.

Aplicación a un sistema servo hidráulico.

Tesis que para obtener el grado de Maestro en Ciencias

con la especialidad en Control Automático

presenta el

Ing. Arturo Rangel Merino

Director de Tesis: Dr. Alberto Soria López. Departamento de Control Automático

AGRADECIMIENTOS:

A mi asesor:

Dr. Alberto Soria López.

Por su valiosa asesoría, su paciencia y los consejos prodigados para

concluir con éxito este proyecto.

A los investigadores:

Moisés Bonilla Estrada.

Rubén Garrido Moctezuma.

Juan Carlos Martínez García.

Por sus atinados comentarios para complementar este trabajo por aceptar

formar parte del jurado.

A todos los investigadores, compañeros y amigos del Departamento de

Control Automático por compartir conmigo sus conocimientos.

INDICE

INTRODUCCIÓN ... 2

1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y DESARROLLO DE LA SOLUCIÓN ... 5

INTRODUCCIÓN... 5

1.1 CONTROL COMBINADO H H2 ∞ ... 7

1.2 FUNCIÓN DE ERROR Y FUNCIÓN DE COSTO PARA EL CONTROLADOR PID ... 9

1.2.1 FORMULACIÓN PARA EL CÁLCULO DE LA INTEGRAL TOTAL DE FUNCIONES CUADRÁTICAS DE SISTEMAS CONTINUOS... 12

1.3 CONDICIÓN DE ATENUACIÓN DE PERTURBACIONES PARA EL CONTROLADOR PID... 13

1.4 FUNCIONES DE COSTO PARA EL CONTROLADOR PI+D ... 15

1.5 CONDICIÓN DE ATENUACIÓN DE PERTURBACIONES PARA EL CONTROLADOR PI+D ... 17

CONCLUSIÓN... 17

2 LOS ALGORITMOS GENÉTICOS COMO MÉTODO DE OPTIMIZACIÓN ... 19

INTRODUCCIÓN... 19

2.1 ROBUSTEZ DE LOS MÉTODOS DE OPTIMIZACIÓN TRADICIONALES... 20

2.2 LOS ALGORITMOS GENÉTICOS... 22

2.3 CARACTERÍSTICAS DE LOS ALGORITMOS GENÉTICOS... 23

2.4 OPERADORES DE LOS ALGORITMOS GENÉTICOS... 25

2.5 DETERMINACIÓN DE PARÁMETROS DE LOS ALGORITMOS GENÉTICOS... 28

CONCLUSIÓN... 30

3 APLICACIÓN A UN SISTEMA SEVO HIDRÁULICO Y RESULTADOS... 31

INTRODUCCIÓN... 31

3.1 DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO DE IDENTIFICACIÓN... 32

3.4 FUNCIONES DE COSTO Y CONDICIÓN DE ATENUACIÓN DE PERTURBACIONES PARA EL

CONTROLADOR PI+D ... 38

3.5 FACTORES DE PONDERACIÓN E_e y E_u... 41

3.5.1 OPTIMIZACIÓN... 41

3.5.2 APLICACIÓN DE LOS DISTINTOS CONTROLADORES OBTENIDOS... 43

CONCLUSIÓN... 45

4 CONCLUSIONES GENERALES... 46

5 BIBLIOGRAFÍA ... 48

6 ANEXOS ... 53

6.1 PROGRAMAS MAPLE... 53

6.1.1 PROGRAMA PARA EL CÓMPUTO DE LA INTEGRAL TOTAL DE FUNCIONES CUADRÁTICAS DE SISTEMAS CONTINUOS... 54

6.1.2 PROGRAMA PARA LA OBTENCIÓN DE LAS CONDICIONES DE ESTABILIDAD DE HURWITZ... 54

6.1.3 PROGRAMA PARA LA OBTENCIÓN DE LAS EXPRESIONES DEL ERROR Y EL CONTROL PARA EL CONTROLADOR PID ... 55

6.1.4 PROGRAMA PARA LA OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ENTRE LA SALIDA Y LA PERTURBACIÓN PARA EL CONTROLADOR PID ... 56

6.1.5 PROGRAMA PARA LA OBTENCIÓN DE LA CONDICIÓN DE ATENUACIÓN DE PERTURBACIONES PARA EL CONTROLADOR PID ... 56

6.1.6 PROGRAMA PARA LA OBTENCIÓN DE LAS EXPRESIONES DEL ERROR Y EL CONTROL PARA EL CONTROLADOR PI+D ... 56

6.1.7 PROGRAMA PARA LA OBTENCIÓN DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA ENTRE LA SALIDA Y LA PERTURBACIÓN PARA EL CONTROLADOR PI+D... 57

6.1.8 PROGRAMA PARA LA OBTENCIÓN DE LA CONDICIÓN DE ATENUACIÓN DE PERTURBACIONES PARA EL CONTROLADOR PI+D ... 58

6.2 PROGRAMAS MATLAB... 59

6.2.1 PROGRAMA PARA LA SINTONIZACIÓN DEL CONTROLADOR PID... 59

6.3 COEFICIENTES DE LOS POLINOMIOS... 64

6.3.1 CONTROLADOR PID... 64

6.3.2 CONTROLADOR PI+D... 65

6.3.3 CONTROLADOR PID PARA SERVO HIDRÁULICO... 66

6.3.4 CONTROLADOR PI+D PARA SERVO HIDRÁULICO... 67

6.4 ESQUEMAS SIMULINK... 68

6.4.1 MODELO DE IDENTIFICACIÓN... 68

6.4.2 MODELO DE SIMULACIÓN PARA EL CONTROLADOR PID ... 69

6.4.3 MODELO DE SIMULACIÓN PARA EL CONTROLADOR PI+D ... 69

6.4.4 ESQUEMA DE EXPERIMENTACIÓN EN LABORATORIO... 70

NOMENCLATURA ,

a b Parámetros de sistema.

( )

C s Controlador.

( )

d s Señal de perturbación.

( )

e s Error de seguimiento.

e

E Factor de ponderación del error.

u

E Factor de ponderación del control.

( )

G s Función de transferencia genérica.

n

J Función de costo de grado n.

1

k Parámetro de controlador (ganancia proporcional).

2

k Parámetro de controlador (ganancia integral).

3

k Parámetro de controlador (ganancia derivativa).

( )

P s Función de transferencia.

( )

P t Variable auxiliar para identificación.

( )

r s Señal de referencia.

s Variable en el dominio de la frecuencia.

t Variable de tiempo.

( )

u s Señal de control.

( )

W s Función de transferencia.

( )

y t Respuesta instantánea de un sistema.

( )

α ω Polinomio denominador función de ω.

( )

β ω Polinomio numerador función de ω.

( )

η ω Polinomio numerador función de ω.

γ Nivel de atenuación de perturbación.

λi Raíces de polinomio función de ω.

⋅ ₂ Norma H2.

∞

⋅ Norma H∞.

( )

L t Variable auxiliar para identificación.

( )

λ t Factor de olvido.

( )

φ t Vector regresor (datos para identificación).

( )

ˆ

INTRODUCCIÓN

Los sistemas físicos reales están sometidos a la acción de perturbaciones indeseables: así sucede con los aviones en vuelo, sujetos a la presencia de corrientes turbulentas. De allí que una de las metas fundamentales del control automático sea la atenuación de los efectos causados por las perturbaciones sobre los sistemas. En tal caso, es común fijar como objetivo de control el seguimiento por la señal de salida del sistema de una señal de referencia. Por supuesto, seguir una referencia atenuando paralelamente las perturbaciones carece de sentido si no se asegura la estabilidad del sistema, esto es, su insensibilidad ante variaciones acotadas de la(s) señal(es) de entrada. Para alcanzar estos tres objetivos (seguimiento de señal, atenuación de perturbaciones y estabilidad), suelen utilizarse diversos tipos de control retroalimentado, entre los cuales el control Proporcional Integral Derivativo (PID) es la opción más común en la industria. En efecto, los valores de las ganancias proporcional, integral y derivativa de un controlador pueden ser ajustados para mejorar el desempeño del sistema. Así, cuando el ajuste de éstos parámetros es adecuado, el sistema tiene un buen desempeño; de lo contrario, el desempeño resulta muy pobre. El procedimiento para encontrar los parámetros del controlador que permiten alcanzar el desempeño deseado es conocido como sintonización.

derivado otros más, como el de [CHIEN 52] y el de [HAALMAN 65]. Todos ellos se basan en reglas simples de sintonización utilizando criterios sencillos (seguimiento de una referencia o atenuación de perturbaciones), y requieren conocimiento del proceso por controlar. Por su parte, los métodos de sintonización mediante conformación de lazo (loop-shaping), entre ellos el de [DIGGELEN 92] y el de [SPARKS 91], se inspiran en el diseño clásico de control y se basan en la respuesta en frecuencia del sistema por controlar. En cuanto al método analítico, originalmente propuesto por [NEWTON 57], se basa en la cancelación de polos y ceros de la función de transferencia del proceso para el diseño del controlador, perdiéndose con esto la observabilidad y la controlabilidad. Se hallará un resumen muy completo de los métodos anteriores en [ASTRÖM 95]. También es necesario mencionar aquí el método basado en la técnica LQR [CHANDLER 94], [LUO 95], mediante un criterio de tipo cuadrático que permite ponderar el error de seguimiento y la energía de control.

Ahora bien, en la práctica, los métodos anteriores no proporcionan directamente los valores de los parámetros del controlador y, por ende, requieren de ajustes manuales finales. Es por ello que se han desarrollado otros métodos que, si bien continúan utilizando los criterios clásicos del control, se apoyan también en técnicas computacionales no convencionales como son los algoritmos genéticos. Estos métodos se distinguen de los métodos clásicos de sintonización por no requerir de una solución analítica. Entre éstos métodos de sintonización basados en criterios clásicos de control y apoyados en técnicas de cómputo no convencionales se encuentran los desarrollados por [CHEN 95], [MEI 00], [OLIVEIRA 91] y [ONNEN 97], que tienen la ventaja de capturar diferentes aspectos del problema de diseño de un controlador.

El presente trabajo es una extensión de la metodología propuesta por [CHEN 95] para la sintonización de un controlador PID. En efecto, se decidió incluir directamente la energía de control en el criterio de optimización con el fin de obtener los parámetros del controlador sin ajustes manuales finales y lograr así su aplicación a un sistema real.

La metodología de sintonización de un controlador PID aquí propuesta fue aplicada a un servomecanismo hidráulico real. La sintonización se basa en la metodología llamada

∞

2

A. A diferencia de [CHEN 95], se recurrió a una estructura fija de controlador que incluye un lazo en velocidad;

B. Además, en la función de costo de control óptimo se consideró no solo el error de seguimiento sino también la señal de control.

Tomando en cuenta estas dos propuestas (A y B) se presenta el análisis de un sistema retroalimentado en lazo cerrado, sin alterar el procedimiento establecido por [CHEN 95]. Así, en primer lugar, el análisis considera nula la referencia de entrada para obtener la expresión de la función de transferencia entre la perturbación y la salida. En segundo lugar, cuando la perturbación a la salida es nula, se obtiene la expresión de la señal de error de seguimiento del sistema. Con estas expresiones [(1.3.8) y (1.2.5)], se inicia el proceso de búsqueda del conjunto de parámetros del controlador que cumplen las condiciones de control combinado H H2 ∞ mediante de algoritmos genéticos.

1

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Y

DESARROLLO DE LA SOLUCIÓN

Introducción

En este capítulo se abordará el diseño de un controlador PID con base en la teoría de control combinado H H2 ∞ . Dicho diseño puede ser interpretado como un problema de desempeño óptimo nominal sujeto a la condición de atenuación de perturbación.

El problema consiste en encontrar un controlador PID que cumpla las dos condiciones del control combinado H H2 ∞ . Por un lado, la condición de control óptimo consiste en minimizar la norma H2 del error de seguimiento. Por otro lado, la condición de

El objetivo de este capítulo es describir los procedimientos para obtener las condiciones del control óptimo combinado H H2 ∞ para un sistema retroalimentado utilizando dos controladores distintos: un controlador PID y un controlador PI con lazo en velocidad. Así, en las secciones segunda y tercera los resultados se obtienen utilizando un controlador PID mientras que en las dos últimas el controlador utilizado es de tipo PI con lazo en velocidad.

En las secciones 1.2 y 1.4 se aplicará la integral total de funciones continuas [JURY 65] a la norma H₂ de la función del error de seguimiento para obtener las funciones de costo. En las secciones 1.3 y 1.5 se aplicará la norma H∞ a la función de transferencia entre la salida y la perturbación para obtener la condición de atenuación de perturbaciones.

1.1 Control combinado H H 2 ∞

Para ilustrar el procedimiento de diseño de un controlador con base en la teoría de control combinado H H2 ∞ , considérese un sistema retroalimentado constituido por un controlador C s

( )

y una planta P s

( )

en forma de función de transferencia de acuerdo al esquema de la figura 1:

Figura 1. Sistema controlado sujeto a perturbaciones en planta.

La planta incierta P s 1

( )

[

+ ∆P s

( )

]

posee como planta nominal a P s

( )

y el perfil de la incertidumbre corresponde a ∆P s

( )

, el controlador PID C s

( )

es de la siguiente forma:

( )

= 1+ 2 + 3

C s k k s k s (1.1.1)

La perturbación ∆P s

( )

se considera estable pero incierta. Supóngase que ∆P s

( )

es acotada de acuerdo con:

( )

ξ

( )

∆P s < s (1.1.2)

donde ξ

( )

s es el perfil de la incertidumbre estable y conocida en forma de función de transferencia.

El resultado de estabilidad robusta en [DOYLE 92] y [VIDYASAGAR 85] revela que si el controlador C s

( )

es seleccionado de tal forma que el sistema en lazo cerrado (sin perturbación) es asintóticamente estable y la desigualdad:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

ξ _∞ ≤

+

P s C s s

1

1 P s C s (1.1.3)

y(t)

( )

C s P s 1

( )

[

+ ∆P s

( )

]

r(t) e(t) _u(t)

es respetada, entonces, el sistema en lazo cerrado de la figura 1 de acuerdo a la ecuación (1.1.2), es asintóticamente estable bajo la perturbación ∆P s

( )

.

Cabe señalar que ⋅ _∞ en la expresión (1.1.3) denota la norma H∞ definida como:

( )

[ , )

(

)

sup

ω ω

∞

∈ ∞ ≡

0

G s G j (1.1.4)

esto es, el máximo valor de la densidad espectral de G s

( )

.

Además de la estabilidad robusta se requiere asegurar el seguimiento óptimo de la señal de referencia. Por lo que el problema de control combinado H H2 ∞ para el sistema en lazo cerrado nominal de la figura 1 es formulado mediante:

(min1,2,3)

( )

2 C k k k

0

e t dt

∞

∫

(1.1.5)

sujeto a la condición de estabilidad robusta (1.1.3). Dado lo anterior, el problema de diseño de control combinado H H2 ∞ consiste en cómo elegir las ganancias proporcional, integral y derivativa de un controlador PID de la forma (1.1.1) para lograr el seguimiento óptimo (1.1.5) sujeto a la restricción de estabilidad robusta (1.1.3).

Ahora bien, se considera que las perturbaciones pueden presentarse a la salida de un sistema, como se muestra en el esquema de la figura 2. En tal caso, si se especifica γ , el nivel de atenuación de la perturbación, la norma H∞ de la función de transferencia entre la salida y la perturbación se puede expresar como:

( )

( )

( )

( ) ( )

sup γ

∈2 = + _∞ ≤

2 d t L ₂

y t 1

d t 1 P s C s (1.1.6)

donde γ ∈

[

0 1,

]

, L2 denota el conjunto de funciones cuadrático integrables y y t

( )

denota

la respuesta de la salida debida solamente a la perturbación externa d t

( )

. La expresión (1.1.6) representa la ganancia L2 de d t

( )

a y t

( )

con:

( )

2

( )

2 0

y t y t dt

∞

Figura 2. Sistema controlado con perturbaciones inciertas.

El problema de control combinado H H2 ∞ consiste en cómo especificar un controlador C s

( )

que cumpla (1.1.5) sujeto a la condición de atenuación de perturbación dada por:

( )

( ) ( )

_∞ ≤γ

+

W s

1 P s C s (1.1.8)

donde W s

( )

es una función que es elegida para ponderar frecuencialmente la atenuación de la perturbación externa d t

( )

.

1.2 Función de error y función de costo para el controlador PID

Con el fin de obtener la función de costo para un sistema retroalimentado bajo perturbaciones de salida, considérese el sistema descrito en la figura 3.

Figura 3. Sistema controlado bajo perturbaciones de salida.

Para el sistema de la figura 3, sea el controlador PID C s

( )

de la forma siguiente:

y(t)

C(s) P(s)

r(t)

d(t)

e(t) u(t)

r(s)

d(s)

k1

P(s)

W(s)

e(s) u(s)

k3

k2

s 1/s C(s)

+ -

+ -

+ +

+ +

+ +

( )

= 1+ 2 + 3

C s k k s k (1.2.1)

y sea P s

( )

la planta con la siguiente estructura:

( )

=

₍

₎

+

b P s

s s a (1.2.2)

La función de la señal de error en lazo cerrado para una perturbación de salida d s

( )

nula está dada por:

( )

= e

( ) ( )

e s T s r s (1.2.3)

donde,

( )

:

_{( ) ( )}

e

1 T s

1 P s C s

=

+ (1.2.4)

si se elige la señal de entrada r s

( )

igual a un escalón unitario y se emplea el controlador (1.2.1) se tiene que la función de la señal de error es:

( )

( )

_{( )}

3

₍

2

₎

2

3 1 2

A s s as

e s

B s s a bk s bk s bk

+

= =

+ + + + (1.2.5)

La expresión anterior es una función estríctamente propia. Dicho de otra manera, el grado del numerador es menor que el grado del denominador. Aplicando el criterio de Routh-Hurwitz el rango de los parámetros que aseguran la estabilidad interna del sistema son:

(

)

> 



> − _



> + _

2 3

1 2 3

k 0

k a b

k k a bk

(1.2.6)

Ahora bien, para obtener la expresión que se denominará función de costo se utilizará la condición de control óptimo que se cumple al minimizar [DOYLE 92]:

( )

2 0

e t dt

∞

∫

. (1.2.7)

de acuerdo al teorema de Parseval [VIDYASAGAR 85] se tiene que:

( )

j

( ) ( )

2 1

2 j

0 j

e t dt _π e s e s ds

∞ ∞

− ∞

= −

∫

∫

(1.2.8)

sustituyendo (1.2.5) en la expresión anterior se obtiene

( ) ( )

( ) ( )

_{( ) ( )}

j j

1 1

2 j 2 j

j j

B s B s

e s e s ds ds

A s A s

π π

∞ ∞

− ∞ − ∞

−

− = ₋

donde

( )

n i i i 0

A s a s

=

=

∑

y

( )

n 1 i i i 0

B s b s

− =

=

∑

. Con lo anterior, la minimización de (1.2.7) se puede expresar como:

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

, , , ,

min min

1 2 3 1 2 3

j

2 1

2 j

k k k k k k

0 j

B s B s

J e t dt ds

A s A s

π ∞ ∞ − ∞ − = = −

∫

∫

. (1.2.10)

Aplicando el teorema del residuo a la expresión (1.2.10) se tiene que:

(

)

( )

( )

, ,

n 1 n 1

i i

i i

i 0 i 0

n n

i i

i i

i 0 i 0

b s b s j

1 n 1 2 3 2 j

j a s a s

J k k k _π ds

− − = = = =      −  ∞ _ _ _       − ∞ −       ∑ ∑ = ∑ ∑

∫

. (1.2.11)

Para sistemas internamente estables -lo que se garantiza con (1.2.6)- el valor de la integral es fácilmente calculado mediante la formulación desarrollada por [JURY 65] para sistemas continuos. En el apartado 1.2.1 de esta sección se presentará dicho procedimiento. En el anexo 6.1.1 se consigna una rutina en lenguaje Maple que computa dicho cálculo.

Lo anterior da por resultado que el índice de desempeño o función de costo (1.2.7) es de la forma J k k kn

(

1, ,2 3

)

donde n es el grado del polinomio del denominador de la

función de la señal de error (1.2.5). Utilizando los procedimientos programados en los anexos 6.1.1 y 6.1.3 para la función de la señal de error (1.2.5) se tiene que:

(

+

)

= + − 2 1 3

1 1 3 2

1 bk a

J

2 b ak bk k k (1.2.12)

siendo esta última, la integral total del error a ser minimizada para cumplir la condición de control óptimo para el sistema de la figura 3.

Por otra parte, se tiene que la función de la señal de control es:

( )

= +

(

₍

+

)

₎

+

(

+

)

+

+ + + +

3 2

3 3 1 1 2 2

3 2

3 1 2

k s ak k s ak k s ak

u s

s a bk s bk s bk (1.2.13)

1.2.1 Formulación para el cálculo de la integral total de funciones cuadráticas de sistemas continuos

El procedimiento desarrollado por [JURY 65] para sistemas continuos es bastante sencillo. En él se establece que el valor de la integral total de funciones cuadráticas que cubren ciertas condiciones puede calcularse mediante la división de los determinantes de dos matrices construidas a partir de los coeficientes de los polinomios que forman la función a integrar. Ahora bien, sea la integral total:

( ) ( )

j 1 n 2 j _j

J _π ∞ G s G s ds

− ∞

=

∫

− (1.2.14)

donde G s

( )

es una función estrictamente propia e internamente estable de la forma:

( )

A s

( )

_{( )}

G s

B s

= (1.2.15)

donde

( )

n i i i 0

A s a s

=

=

∑

, a0 ≠0 a, n >0 y

( )

n 1

i i i 0

B s b s

− = =

∑

.

i

a y bi son los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador

respectivamente, con los que se pueden construir las matrices:

− − −           Ω =             0

2 1 0 4 3 2 1

5 4 3 5

n 2 n 3 n n 1

a 0 0 0 0 0

a a a

a a a a

a a a

a

a a

0 0 0 0 a a

L M M M M M M L (1.2.16) y: − − −           Ω =             0 0

2 1 0 1

4 3 2 1

1 5 4 3

5

n 2 n 2 n n 1

a 0 0 0 0 d

a a a d

a a a a

a a a

a 0

a d

0 0 0 0 a d

L M

M

M M

M M M

M

L

con

( )

,

, −

=

=

∑

n 1 − i + =

m i j

i j 0

d 1 b b i j 2m.

entonces el valor de la integral (1.2.14) se puede calcular como:

( )

₋ − _Ω = Ω n 1 1 n n 1 J

2a . (1.2.18)

La expresión (1.2.18) es la utilizada para obtener (1.2.12), a partir de (1.2.5).

1.3 Condición de atenuación de perturbaciones para el controlador PID

Si se considera que en el sistema de la figura 3 W s

( )

es conocida y que se especifica el valor del nivel de atenuación de perturbaciones γ ∈

[

0 1,

]

, entonces, para una entrada

( )

r s nula:

( )

( ) ( )

∞ γ

≤ +

W s

1 P s C s (1.3.1)

donde ⋅ _∞ denota la norma H∞ la cual se puede rescribir como:

( )

( ) ( )

[ )

(

)

(

) (

)

, sup 0

W s W j

1 P s C s ω 1 P j C j

ω

ω ω

∈ ∞ ∞

=

+ + (1.3.2)

De lo anterior se puede ver que:

[ )

(

)

(

) (

)

[ )

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

(

) (

)

)

[ )

( )

( )

, , , sup sup sup ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω β ω α ω ∈ ∞ ∈ ∞ ∈ ∞ − = + + + − − = 0 0 0

W j W j W j

1 P j C j 1 P j C j 1 P j C j

[ )

( )

( )

, sup ω β ω _γ α ω ∈ ∞ = ≤ 0 (1.3.3) donde:

( )

(

) (

)

( )

(

(

) (

)

)

(

(

) (

)

)

W j W j

1 P j C j 1 P j C j

β ω ω ω

α ω ω ω ω ω

= −

esto es, para todo el espectro de frecuencias la perturbación es atenuada a la salida, en el peor de los casos, en un factor de γ .

Para calcular los valores máximos del radicando β ω α ω ω

( ) ( )

, ,∈

[

0 ∞

)

de la expresión (1.3.3) se debe satisfacer la expresión

( )

( )

2

( )

( )

d

0 d

β ω η ω

ω α ω_  =_ α ω = (1.3.4)

donde:

( )

( )

( )

( )

( )

η ω =α ω d_ωβ ω −β ω d_ωα ω

d d (1.3.5)

es claro que el resultado de (1.3.4) es una fracción de polinomios en ω con coeficientes de funciones de ki y se satisface con las raíces λi del polinomio (1.3.5). Hay que señalar que

en la expresión (1.3.3) solo se evalúan la raíces reales λi para verificar el cumplimiento de

la condición de atenuación de perturbaciones, por lo que (1.3.3) se puede expresar como:

( )

( )

max λ β λ _γ α λ ≤ i i i (1.3.6) Con lo antes anotado, para efectos ilustrativos y de comparación posterior,

considérese que la señal de perturbación d s

( )

junto con la función W s

( )

son modeladas por la función de transferencia de la siguiente forma:

( )

( )

= +

W s 1

d s s 1 (1.3.7)

Entonces, para el sistema de la figura 3 la función de transferencia entre la salida y la perturbación es:

( )

( )

= +

(

+ +

)

+

(

+

(

+ +

)

)

+

(

+

)

+

3 2

4 3 2

3 1 3 1 2 2

y s s as

d s s a 1 bk s a b k k s b k k s bk (1.3.8)

con los polinomios:

( )

;

( )

α ω ω β ω ω

= =

=

∑

6 i =

∑

8 i

i i

i 0 i 0

a b (1.3.9)

( )

η ω ω

= =

∑

13 i

i i 0

Los coeficientes de los polinomios (1.3.9) y (1.3.10) están registrados en el anexo 6.3.1. Finalmente, la expresión:

( )

( )

max λ

β λ _γ

α λ ≤

i

i i

(1.3.11) es evaluada con las raíces reales de (1.3.10) para verificar el cumplimiento de la condición

de atenuación de perturbaciones del sistema.

1.4 Funciones de costo para el controlador PI+D

En este apartado se considerará una estructura de controlador que permita incluir un lazo de control en velocidad y siguiendo el mismo procedimiento del apartado 1.2 se encontrará una función de costo que incluye la señal de control. Considérese el esquema de la figura 4.

Figura 4. Sistema controlado bajo perturbaciones (Controlador PI con lazo en velocidad).

El controlador C s

( )

presentado en la figura 4 se puede dividir en dos partes, esto es:

( )

1

( )

2

( )

C s =C s +C s (1.4.1)

donde:

( )

( )

1 1 2

2 3

C s k k s

C s k s

= +

= (1.4.2)

la finalidad de esta propuesta en la ley de control es la de incluir el lazo de control en velocidad formado por C2 aparte del lazo de control en posición formado por C1 según lo

y(s) k1

P(s)

W(s)

e(s) u(s)

k3

k2

s 1/s

d(s)

r(s)

C(s)

+

- -

+ +

hace [KELLY 01], con lo cual, se puede incluir la señal del control en una función de costo. Utilizando las mismas funciones r s

( )

, P s

( )

y d s

( )

que en el apartado 1.2 y empleando el procedimiento codificado en el programa consignado en el anexo 6.1.6, se tiene que la función de la señal de error de seguimiento es:

( )

=

₍

+

(

₎

−

)

+ − + +

2

3

3 2

3 1 2

s a bk s

e s

s a bk s bk s bk (1.4.3)

De acuerdo al criterio de Routh-Hurwitz los parámetros del controlador C s

( )

deben cumplir con:

(

)

> _  > _ 

> − _

2 3

1 2 3

k 0

k a b

k k a bk

(1.4.4)

Utilizando el método de [JURY 65], el valor de la integral total del error de seguimiento

( )

2

0 e t dt

∞

∫

es:

( )

(

)

(

)

(

)

+ + − = _{− −} e s 2 2

1 3 3

3

3 1 2

a b k bk 2ak

1 J

2 b a bk k k (1.4.5)

Con el fin de complementar la evaluación del comportamiento del sistema, la función de la señal de control es:

( )

=

₍

+

(

₎

+

)

+

+ − + +

2

1 1 2 2

3 2

3 1 2

k s ak k s ak

u s

s a bk s bk s bk (1.4.6)

Se puede observar que u s

( )

cumple con los requisitos para el cálculo de la integral total de funciones cuadráticas de sistemas continuos [JURY 65]. El valor de la integral total de la señal de control 2

( )

0 u t dt

∞

∫

es:

( )

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

+ + − + = − − u s

2 2 2 2

1 2 1 2 3 2

3 2

3 1 2

b bk k a b k k k ak

1 J

2 b a bk k k (1.4.7)

( ) ( )

= e 3_{e s} + u 3_{u s}

J E J E J . (1.4.8)

Los factores Ee y Eu permiten ponderar linealmente el error de seguimiento y la señal de

control en la búsqueda de los parámetros k1, k2, y k3 para la sintonización del controlador.

1.5 Condición de atenuación de perturbaciones para el controlador PI+D

La condición de atenuación de perturbaciones para el controlador PI con lazo en velocidad se obtiene utilizando el mismo procedimiento que el usado en el apartado 1.3. La función de transferencia entre la salida y la perturbación es:

( )

( )

= +

(

+ −

)

+

(

+

(

+ −

)

)

+

(

+

)

+

3 2

4 3 2

3 1 3 1 2 2

y s s as

d s s a 1 bk s a b k k s b k k s bk (1.5.1)

y los polinomios correspondientes son:

( )

;

( )

α ω ω β ω ω

= =

=

∑

6 i =

∑

8 i

i i

i 0 i 0

a b (1.5.2)

( )

η ω ω

= =

∑

13 i

i i 0

n (1.5.3)

Los coeficientes de los polinomios (1.5.2) y (1.5.3) están registrados en el anexo 6.3.2. Para verificar el cumplimiento de la condición de atenuación de perturbaciones se utilizan los polinomios (1.5.2). Las raíces reales del polinomio (1.5.3) se utilizan para evaluar la expresión (1.3.6).

Conclusión

En este capítulo se mostró cómo se obtienen los rangos de parámetros de estabilización de un sistema, y al aplicar la teoría de control óptimo a la función de la señal de error se obtiene la función de costo dependiente exclusivamente de los parámetros del controlador. También se ilustró cómo, al aplicar la teoría de control robusto a la función de transferencia entre la perturbación y la salida, se obtiene la condición que se debe cubrir para la atenuación de perturbaciones.

perturbaciones, no es un problema que se pueda resolver por métodos de optimización tradicionales debido a que el problema de optimización es altamente no-lineal [CHEN 95]. Para resolver este problema, en los capítulos posteriores se verá como la utilización de los algoritmos genéticos permiten solucionar el problema de optimización.

En cuanto a funciones de error se refiere, es notable que los resultados para los apartados 1.2 y 1.4 son similares, pues cambian solamente algunos signos y coeficientes. Sin embargo, en el caso del controlador (1.2.1), la función de la señal de control no es una función estrictamente propia, por lo que no es posible obtener la integral total de funciones cuadráticas. En el caso del controlador (1.4.1) la función de la señal de control sí es una función estrictamente propia por lo que si resulta posible obtener la integral total.

Por lo anterior, al utilizar los controladores (1.2.1) y (1.4.1) para la misma planta, las funciones de costo difieren significativamente debido a que en el caso del controlador (1.4.1) es posible incluir la señal de control como criterio de desempeño adicional en la función de costo del sistema, lo que no permite el uso del controlador (1.2.1).

Para las funciones de transferencia entre la salida y la perturbación, los resultados de los apartados 1.3 y 1.5 son muy similares y no representan dificultad para la verificación de la condición de atenuación de perturbaciones.

2

LOS ALGORITMOS GENÉTICOS COMO MÉTODO

DE OPTIMIZACIÓN

Introducción

Los técnicas evolutivas son metodologías paralelas y globales de optimización robusta. Se basan en los principios de la selección natural [DARWIN 59] y en la teoría de la población genética [FISHER 30]. La aplicación de las técnicas evolutivas como una abstracción de la evolución natural ha sido ampliamente probada [CHANNON 88]. En general, toda propuesta iterativa basada en población y que usa selección y variación aleatoria para generar nuevas soluciones puede ser vista como un técnica evolutiva.

valor de adaptación, el cual expresa que tan bueno es como solución para resolver el problema. El valor de adaptación determina probabilísticamente cuán exitoso será el individuo al propagar sus genes a las generaciones siguientes. La evolución es realizada por un conjunto de operadores estocásticos que manipulan el código genético, y con los cuales se determina sucesivamente la generación siguiente hasta llegar a encontrar el individuo más exitoso o mejor adaptado.

Las técnicas evolutivas han sido amplia y exitosamente aplicadas en el diseño de controladores fuera de línea, han sido usadas para obtener los parámetros o la estructura de un controlador -o ambos-, para identificar modelos, para analizar estabilidad robusta y confiabilidad de sistemas, para diagnosticar fallas y para algunos otros propósitos más en el área de control, tal como lo muestran los trabajos de [CHEN 95], [MEI 00], [OLIVEIRA 91] y [ONNEN 97].

El objetivo de este capítulo es el de exponer cuál es el funcionamiento de los algoritmos genéticos, cuales son los operadores que usan, cómo logran el objetivo de minimizar o maximizar una función y finalmente cuáles pueden ser los valores adecuados de los parámetros propios del algoritmo para una búsqueda.

2.1 Robustez de los métodos de optimización tradicionales

Es importante preguntarse si los métodos de búsqueda convencionales cumplen los requerimientos de robustez. La literatura actual identifica tres tipos de métodos de búsqueda: los basados en cálculo, los enumerativos, y los aleatorios.

métodos directos de búsqueda encuentran un máximo local moviéndose sobre la función en la dirección relativa del gradiente local. Ambos métodos han sido mejorados y extendidos, sin embargo, carecen de robustez por dos razones principales. Primero, tienen un enfoque meramente local, ya que buscan el máximo en la vecindad del punto analizado. Segundo, los métodos basados en cálculo dependen de la existencia de las derivadas, aún cuando se permita una aproximación numérica de la derivada. Se sabe que muchos espacios de parámetros prácticos respetan poco la noción de derivada y suavidad. El mundo real está lleno de espacios cargados de ruido y discontinuidades y no es motivo de asombro que los métodos dependientes de los requerimientos restrictivos de continuidad y existencia de las derivadas sean aplicables a un conjunto muy pequeño de problemas.

Los esquemas enumerativos han sido aplicados en muchas formas y tamaños. La idea es bastante directa: dentro de un espacio de búsqueda finito, o un espacio de búsqueda discretizado infinito, los algoritmos inician localizando los valores de la función objetivo en cada punto del espacio, uno a la vez. La simplicidad de este tipo de algoritmo es muy atractiva (cuando el número de posibilidades es muy pequeño). No obstante, estos esquemas resultan a menudo ineficientes, pues no cumplen los requisitos de robustez en aquellos espacios que son demasiado grandes o de alta de dimensionalidad.

Dados los inconvenientes de los esquemas basados en cálculo y la ineficiencia de los esquemas enumerativos, los algoritmos de búsqueda aleatorios han incrementado su popularidad entre los investigadores, entre ellos [CHEN 98], [I-JENG 99] y [MITSUKUTA 99].

El algoritmo genético es un ejemplo de procedimiento de búsqueda que usa la elección aleatoria para la optimización de una función través de la codificación del espacio de parámetros.

Si bien presenta el inconveniente de que generalmente exige cambiar o aumentar el espacio de parámetros de búsqueda, esta dificultad es superable, ya que el problema en si mismo define los rangos de búsqueda de la función a optimizar, quedando por definir los parámetros propios del algoritmo genético. En la última sección de este capítulo se tratará un estudio que aborda este problema y permite establecer un juego de parámetros para la aplicación tratada en esta tesis.

2.2 Los algoritmos genéticos

Los algoritmos genéticos fueron desarrollados por [HOLLAND 75], sus colegas y sus estudiantes en la universidad de Michigan, para describir y explicar el proceso de adaptación de los sistemas naturales y para diseñar software de sistemas artificiales que conserve las características de dichos sistemas. Quizá la referencia más popular del algoritmo genético sea [GOLDBERG 97]. Los temas centrales de la investigación de los algoritmos genéticos ha sido la robustez y el balance entre la eficiencia y la eficacia para la supervivencia en los ambientes más diversos. Las implicaciones de la robustez para los sistemas artificiales son múltiples, dado que la posibilidad de hacer más robustos los sistemas artificiales permite reducir e inclusive eliminar los costos de rediseño. El hecho de poder alcanzar altos niveles de adaptación permite asimismo a los sistemas desarrollar sus funciones mejor y durante más tiempo.

Los algoritmos genéticos están basados en la mecánica de la selección y genética natural, cuyo fin es optimizar un sistema con una ó múltiples funciones objetivo. En principio, y de acuerdo con la precisión requerida, codifican el espacio de búsqueda en cadenas de bits equivalentes a las cadenas genéticas, considerando cada una de éstas como un individuo. Se apoyan en operadores de selección y combinación aleatoria, y determinan el alcance del objetivo en relación con el cumplimiento del objetivo buscado, es decir, verificando si el valor alcanzado satisface la condición buscada de maximización o minimización de la función objetivo.

Los algoritmos genéticos aseguran la supervivencia del individuo mejor adaptado, aún después del intercambio aleatorio de información de la estructura de la cadena genética en la reproducción, que da origen a nuevos individuos con nuevas aptitudes. En cada generación, un nuevo conjunto de criaturas artificiales (cadenas) es creado usando porciones del más apto de los individuos de la generación anterior. Aunque los algoritmos genéticos usan procesos aleatorios, no poseen una forma aleatoria simple, ya que explotan eficientemente la información histórica para especular sobre nuevos puntos de búsqueda con el propósito de mejorar el objetivo.

2.3 Características de los algoritmos genéticos

Los algoritmos genéticos se caracterizan fundamentalmente por los siguientes aspectos:

• Trabajan con base en la codificación del conjunto de parámetros.

• Buscan dentro de una población de puntos, y no dentro de un rango simple (paralelismo).

• Utilizan información que proviene directamente de una función objetivo, no de las derivadas ni de otro conocimiento auxiliar.

Los algoritmos genéticos requieren un conjunto de parámetros naturales del problema de optimización para ser codificados como una cadena de longitud finita sobre un alfabeto finito. Por ejemplo, considérese el problema de maximizar la función:

( )

= 2, ∈

[

,

]

f x x x 0 31 (2.3.1)

Con los métodos más tradicionales, claramente se puede apreciar que el máximo valor de la función se encuentra en el máximo valor del rango de búsqueda, después de haber probado cada punto del intervalo. Con los algoritmos genéticos, el primer paso en nuestro proceso de optimización es codificar el parámetro x como una cadena de longitud finita.

Ahora bien, hay diversas formas de codificar el conjunto de parámetros. Para ilustrar la codificación del conjunto de parámetros considérese una caja negra con cinco interruptores, para cada combinación de los cinco interruptores se tiene una señal de salida

F, matemáticamente F s

( )

=s, donde s representa una combinación particular en los cinco interruptores. El objetivo del problema es saber para cuál combinación de los interruptores la función F presenta el valor máximo posible. Con los algoritmos genéticos, primeramente se codifican los interruptores como una cadena de longitud finita. Si se representa con un 1 un interruptor cerrado y con un 0 un interruptor abierto, el espacio de parámetros de la función F(s) puede ser codificado con una cadena de longitud de 5 ceros y unos. Con esta codificación, la cadena 01111 representa el primer interruptor abierto y los cuatro restantes cerrados. Este ejemplo ilustra el requerimiento de codificación del espacio de parámetros propio de los algoritmos genéticos.

Otro aspecto de la codificación del espacio de parámetros es la obtención de una base de datos (población de cadenas) rica en individuos candidatos para cubrir el espacio de búsqueda de la función a optimizar.

Una vez que el algoritmo genético ha codificado el espacio de parámetros, inicia la búsqueda, verificando la función objetivo para cada individuo; y a partir de la información obtenida, crea un nueva generación de individuos, preservando las aptitudes de los más adaptados. Para realizar lo anterior, utiliza como ya se ha mencionado más arriba, métodos aleatorios de intercambio de información de las cadenas genéticas de los individuos.

La mecánica de un algoritmo genético es sorprendentemente simple, no involucran nada más complejo que la copia de la cadena y el intercambio de cadenas parciales.

2.4 Operadores de los algoritmos genéticos

Un algoritmo genético básico que produce resultados aceptables en muchos problemas prácticos se compone de tres operadores:

• Reproducción. • Cruza.

• Mutación.

artificial, la función objetivo es el árbitro final de vida o muerte de un individuo o cadena artificial.

Para ilustrar lo anterior considérese el ejemplo de los cinco interruptores ya mencionado, y supóngase que se tienen los datos de la tabla 1.

No. Cadena Aptitud % Total

1 01101 169 14.4

2 11000 576 49.2

3 01000 64 5.5

4 10011 361 30.9

Total 1170 100.0

Tabla 1. Datos de muestras y valores de aptitud del ejemplo de los cinco interruptores.

Figura 6. Rueda de ruleta de acuerdo a la tabla 1.

Por su parte, el operador cruza interviene después de la reproducción y funciona en dos pasos sencillos. Primero, se seleccionan los individuos más aptos de acuerdo a sus atributos en la función objetivo. Segundo se toman cadenas parciales de cada uno y se mezclan entre si de manera aleatoria. Con estas nuevas combinaciones, aunadas a los individuos que tuvieron éxito en la reproducción, se integra una nueva generación.

Figura 7. Ilustración del funcionamiento del operador cruza.

En los sistemas biológicos este proceso representaría lo que es la descendencia de los individuos más aptos, pues son los que más probabilidad tienen de contribuir a las nuevas generaciones. El operador cruza equivale a explotar una zona del espacio de parámetros, pues busca intensamente si el valor óptimo de la función objetivo se encuentra en esa zona.

el caso de los sistemas artificiales, este cambio no ocurre de forma aleatoria simple, sino que se produce en los individuos más aptos de la población con el propósito de mejorar el valor de la función objetivo. El operador de mutación equivale a un cambio de la zona de exploración donde se busca el valor optimo de la función objetivo.

En las descripciones anteriores se menciona el término “generación”. Recuérdese que el algoritmo genético es un proceso iterativo que se aplica a una población o conjunto de individuos. Este conjunto en sí es una generación; se dice que se forma una nueva generación cuando se han aplicado todos los operadores genéticos a todos los individuos de la generación anterior. Dada la naturaleza estocástica de los operadores, esta nueva generación puede o no tener individuos de la generación anterior, conservando la cantidad de individuos de la población definida en principio.

Los operadores funcionan a nivel de las cadenas genéticas que han sido generadas a partir del espacio de parámetros. Por lo tanto, resulta razonable preguntarse cuál es la longitud de estas cadenas para un mejor resultado. Cabe aclarar que la longitud de la cadena genética depende de la precisión requerida en el resultado; por ejemplo, en el caso de la función (2.3.1) del apartado 2.3, si se quiere una precisión de 0.01 en el resultado para el intervalo [0,31], la cadena genética de cada individuo debe ser al menos de 12 bits.

2.5 Determinación de parámetros de los algoritmos genéticos

quién señala que el desempeño de un algoritmo genético decrece tanto para poblaciones mayores a 200 -cuando la probabilidad de mutación es mayor a 0.05- como para poblaciones menores de 20 -cuando la probabilidad de mutación es menor a 0.002-.Cabe citar asimismo las conclusiones de [GREFENSTETTE 86], quién menciona que los mejores resultados de un algoritmo genético se dan con una probabilidad de cruza de 0.95, una probabilidad de mutación de 0.01 y una población de 30 individuos. En cuanto al número de generaciones, es preciso recordar que a mayor número de generaciones, mayor es el tiempo de cómputo para llegar al objetivo. Este parámetro se selecciona en el menor valor que permita al algoritmo genético lograr el objetivo en el menor tiempo posible. En lo que respecta a la selección, se toma en cuenta el elitismo de la rueda de ruleta con el fin de no perder soluciones óptimas cuando no se ha cubierto el total de las generaciones. A partir de lo anterior, se propone el conjunto de parámetros de control para el algoritmo genético señalado en la siguiente tabla:

Número de generaciones 57

Tamaño de población 47

Probabilidad de cruza 0.60

Probabilidad de mutación 0.03

Selección Ruleta

Conclusión

3

APLICACIÓN A UN SISTEMA SEVO HIDRÁULICO Y

RESULTADOS

Introducción

Este capítulo se inicia con la descripción del método de identificación de los parámetros del modelo matemático propuesto para un sistema servo hidráulico. El modelo así obtenido será utilizado para las pruebas en tiempo real.

Posteriormente, con el modelo del servomecanismo junto con un controlador PID se construirá un sistema en lazo cerrado para el cual se obtendrá la función de costo compuesta únicamente de la señal de error de seguimiento. Se mostrarán además los parámetros del controlador obtenidos de la optimización utilizando los algoritmos genéticos. Se presentarán los resultados de control tanto en simulación como en el sistema real. Aquí será evidente cómo las ganancias del controlador producen un sobretiro en las respuestas del sistema.

velocidad (PI+D). Al igual que en la sección anterior se presentarán los parámetros del controlador obtenidos así como los resultados de control. Aquí será evidente como las ganancias del controlador no producen un sobretiro en la respuesta del sistema ya que la función de costo incluye la señal de control.

Finalmente se abordará un estudio de los factores que permiten ponderar las señales del error y del control, Ee y Eu respectivamente, incluidos en la función de costo para el

controlador PI+D.

3.1 Descripción del método de identificación

Las regresiones lineales están entre los modelos más comunes utilizados en estadística siendo la técnica de mínimos cuadrados basada en el trabajo de [GAUSS 63] la más clásica. La teoría estadística de la regresión está involucrada con la predicción de la variable dependiente y (para nuestro caso, "salida del sistema") sobre la base de información proporcionada por otras variables medidas ,...,φ1 φd, conteniendo información

del comportamiento histórico del sistema y las cuales son conocidas como regresores, que se denotará por el regresor φ =

[

φ ,...,φ

]

T

1 d . El problema consiste en encontrar una función

del regresor g

( )

φ tal que la diferencia y g−

( )

φ llegue a ser muy pequeña, con

( )

ˆ = φ

y g siendo una buena predicción de y. Si y y φ están descritas en un marco estocástico se puede minimizar la expresión E y g

[

−

( )

φ

]

, donde E es el operador esperanza. La función g

( )

φ que minimiza la expresión anterior es la esperanza condicional de y dados ,...,φ1 φd, esto es, g

( )

φ =E y

[

φ

]

, que se conoce como la

regresión de y sobre φ.

Ahora bien, si las propiedades de las variables y y φ no se conocen, no es posible determinar a priori la función regresión g

( )

φ , y para ello es necesario realizar una parametrización adecuada. Una parametrización podría ser, por ejemplo, ajustar y con una combinación lineal de φ, esto es, g

( )

φ =θ φ θ φ1 1 + 2 2 +....+θ φd d, o en forma compacta:

( )

φ =φ θT

relacionan a y t

( )

y a φ

( )

t para t =1 N,... , se puede reemplazar la esperanza matemática por la varianza muestral que para el caso lineal es:

( )

θ

[

( )

φ θ

]

=

=

∑

N − _T 2

N

t 1

1

V y t

N (3.1.1)

la cual con una adecuada θ minimiza θˆN =arg minVN

( )

θ que es conocida como la

estimación por Mínimos Cuadrados. Por tanto, se puede usar como un predictor a φT

( )

θˆ N

t

basado en observaciones previas y, ˆθN es sencillamente el valor que da el mejor desempeño

del predictor cuando se usan datos históricos. La característica única de (3.1.1) es que es una función cuadrática de θ, por lo tanto, puede ser minimizada analíticamente y se tiene que para toda ˆθN que satisface:

( ) ( )

ˆ

( ) ( )

φ φ θ φ = =   ₌   

∑



∑

N N T N

t 1 t 1

1 1

t t t y t

N N (3.1.2)

se produce un mínimo global de (3.1.1). Si la matriz del lado izquierdo de (3.1.2) es invertible se tiene que la estimación de mínimos cuadrados es:

( ) ( )

( ) ( )

ˆ θ φ φ φ − = =   = _

∑

_

∑

1 N N T N

t 1 t 1

1 1

t t t y t

N N (3.1.3)

Con algunas consideraciones adicionales, como la ponderación del vector regresor y con algunas manipulaciones matemáticas, no es difícil llegar a la deducción de las expresiones del método recursivo de esta técnica de identificación (ver [LJUNG 99] cap. 11, sec. 2).

El método de identificación que se utilizó es el de mínimos cuadrados con factor de olvido, cuyas expresiones matemáticas son las siguientes:

( )

= _λ

_{( )}

_φ

(

_{( ) (}

−

) ( )

φ

_{) ( )}

_φ

+ T −

P t 1 t

L t

t t P t 1 t (3.1.4)

( )

=_λ

_{( ) (}

1

[

−

)

−

( ) ( ) (

φT −

)

]

P t P t 1 L t t P t 1

t (3.1.5)

( )

(

)

( ) ( )

( ) (

)

ˆ ˆ ˆ

θ _t =θ _{t 1}− +_{L t} _{y t} −φT _t θ _{t 1}− _ _(3.1.6) donde φ

( )

t es el vector regresor conteniendo los datos históricos del sistema, λ

( )

t es el

el vector de parámetros del modelo aproximado, y t

( )

es la respuesta de salida instantánea del sistema.

3.2 Identificación del modelo matemático del sistema servo hidráulico

La implementación del esquema de identificación del modelo matemático del sistema real, se realizó bajo el entorno de simulación [SIMULINK 00].

El modelo matemático propuesto para el sistema servo hidráulico es:

( )

=

₍

₎

+

b P s

s s a (3.2.1)

En el esquema de identificación en tiempo real incluye un bloque de comunicación entrada/salida para la tarjeta [SERVOTOGO 96]. Dicho bloque permite manipular el sistema real a través de la salida analógica y tomar lecturas de la respuesta del mismo a través de la entrada analógica. Los datos obtenidos son procesados por los bloques restantes del algoritmo recursivo de identificación mencionado anteriormente.

Para el modelo matemático propuesto en (3.2.1) el proceso de identificación en línea proporciona el siguiente resultado:

,

= =

3.3 Función de costo y condición de atenuación de perturbaciones para el controlador PID

Para la estructura del controlador PID (1.2.1) la expresión de error (1.2.5) es:

( )

=

₍

₎

+

+ + + +

2

3 2

3 1 2

s 56s

e s

s 56 1965k s 1965k s 1965k (3.3.1)

de (1.2.12), las condiciones de estabilidad son:

(

)

> 



> − _



> + _

2 3

1 2 3

k 0

k 56 1965

k k 56 1965k

(3.3.2)

de (1.3.11), la función de costo del error es:

(

+

)

 

= _{ +}1 ₋ _

3

1 1 3 2

1 1965k 3136

J

2 1965 56k 1965k k k (3.3.3)

de (1.3.8), la función de transferencia entre la salida y la perturbación es:

( )

( )

= +

(

+

)

+

(

+

(

+ +

)

)

+

(

+

)

+

3 2

4 3 2

3 1 3 1 2 2

y s s 56s

d s s 57 1965k s 56 1965 k k s 1965 k k s 1965k

de la cual se obtienen los polinomios:

( )

;

( )

α ω ω β ω ω

= =

=

∑

6 i =

∑

8 i

i i

i 0 i 0

a b (3.3.4)

( )

η ω ω

= =

∑

13 i

i i 0

n (3.3.5)

( )

( )

max λ β λ α λ i i i (3.3.6) cuyos coeficientes se consignan en el anexo 6.3.3. La condición de atenuación de

perturbaciones se verifica con las raíces reales de (3.3.5) en (3.3.6) con los polinomios (3.3.4) utilizando el entorno [MATLAB 00].

Los datos asentados en la tabla 3 muestran el conjunto de parámetros del controlador obtenido con el algoritmo genético.

a. b.

Gráfica 1. Evolución de optimización para el controlador PID.

Ganancia Proporcional 2.9985 Ganancia Integral 0.1117 Ganancia Derivativa 0.0284

3 2

J

0.0068

d y

T

∞

0.0094

2

e

∫

_{(simulación)} 0.0001

Tabla 3. Resultados para el controlador PID.

a. (Simulación) b.

c. (Experimentación) d.

Gráfica 2. Señales características para el controlador PID.

3.4 Funciones de costo y condición de atenuación de perturbaciones para el controlador PI+D

Para la estructura de controlador PI con lazo en velocidad (PI+D) la expresión de la función de la señal de error (1.4.3) es:

( )

₍

2

(

₎

3

)

3 2

3 1 2

s 56 1965k s

e s

s 56 1965k s 1965k s 1965k

+ −

=

+ − + + (3.4.1)

de (1.4.4), las condiciones de estabilidad son:

(

)

> _



> _



> − _

2 3

1 2 3

k 0

k 56 1965

k k 56 1965k

(3.4.2)

de (1.4.5), la evaluación de la integral total 2 0 e dt

∞

∫

de la señal del error es:

( )

(

)

(

)

(

)

+ + − = − − e s 2

1 3 3

3

3 1 2

3136 1965 k 1965k 112k

1 J

2 1965 56 1965k k k (3.4.3)

de (1.4.6), la expresión para la función de la señal de control es:

( )

=

₍

+

(

₎

+

)

+

+ − + +

2

1 1 2 2

3 2

3 1 2

k s 56k k s 56k

u s

s 56 1965k s 1965k s 1965k (3.4.4)

de (1.4.7), la evaluación de la integral total 2 0 u dt

∞

∫

de la señal de control es:

( )

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

+ + − + = − − u s

2 2 2

1 2 1 2 3 2

3

3 1 2

1965 1965k k 3136 1965 k k k 56k

1 J

2 3861225 56 1965k k k (3.4.5)

con lo cual ya se puede realizar la expresión de la función de costo (1.4.8) como:

( ) ( )

= e 3_{e s} + u 3_{u s}

J E J E J (3.4.6)

de (1.5.1) la función de transferencia entre la salida y la perturbación es:

( )

( )

= +

(

−

)

+

(

+

(

+ −

)

)

+

(

+

)

+

3 2

4 3 2

3 1 3 1 2 2

y s s 56 s

d s s 57 1965k s 56 1965 k k s 1965 k k s 1965k

de la cual obtienen los polinomios:

( )

;

( )

α ω ω β ω ω

= =

=

∑

6 i =

∑

8 i

i i

i 0 i 0

( )

η ω ω

= =

∑

13 i

i i 0

n (3.4.8)

( )

( )

max λ

β λ α λ

i

i i

(3.4.9) los coeficientes de los polinomios (3.4.7) y (3.4.8) se consignan en el anexo 6.3.4. La

condición de atenuación de perturbaciones se verifica en (3.4.9) con las raíces de (3.4.8), utilizando el entorno [MATLAB 00].

Para minimizar (3.4.6) es necesario establecer los parámetros E_e y E_u, ya que son éstos los factores que permiten la ponderación tanto de la señal de error como de la señal de control. Para tener una idea del efecto de los parámetros de ponderación E_e y E_u en la sección siguiente se abordará un estudio del comportamiento de la función de costo (3.4.6) para diferentes valores de los factores de ponderación mencionados.

A fin de contrastar los resultados obtenidos para el controlador PID presentados en el apartado anterior, se utilizarán los valores 0.85 y 0.15 para los parámetros Ee y Eu

respectivamente para la sintonización del controlador PI+D. El conjunto de parámetros encontrados por el algoritmo genético [FTGAM 94], son los asentados en la tabla 4. Usando los datos de dicha tabla y los esquemas de los anexos 6.4.3 y 6.4.4, para el caso del controlador (1.4.1) se obtiene la gráfica 3 que presenta los resultados tanto en simulación como en el sistema real.

Ganancia Proporcional 2.3685 Ganancia Integral 0.0446 Ganancia Derivativa 0.0282

( ) ( )

3 3

2

0.85 0.15

e s u s

J + J 0.0586

d

y

T

∞

0.0127

2

e

∫

_{(simulación)} 0.0025

a. (Simulación) b.

c. (Experimentación) d.

Gráfica 3. Señales características para el controlador PI con lazo en velocidad.