ESTRUCTURAS LIBRES EN
TEORIA DE CAMPOS
En este cap´ıtulo presentamos la teor´ıa necesaria para demostrar la existencia de campos de rotura, la unicidad de los minimales y la construcci´on de automorfismos por medio de funciones sobre ra´ıces virtuales de polinimios. Aqu´ı llamaremos “semigrupo” a un conjunto S, junto con una operaci´on, denotada multiplicativamente, que es aso-ciativa y modulativa. Un subsemigrupo de S es un semigrupo S1 contenido en S, cuya operaci´on es la restricci´on de la de S y con el mismo m´odulo de S. Se tiene entonces que si Si∈I es una familia de semigrupos deS, entonces tambi´en lo es∩Si∈I y existen dos subsemi-grupos triviales deS,{1} yS. Adem´as siB ⊆S entonces el conjunto de los productos finitos de elementos deB∪ {1} es un subsemigrupo deS. Es el menor subsemigrupo de S que contiene a B el cual, como es lo normal, se llama “el subsemigrupo generado porB”. Se denota por Sg < B >cuando no hay lugar a error o Sg < S, B >. Es claro queSg < B >es la intersecci´on de todos los subsemigrupos deS que contienen aB.
En lo que sigue todos los semigrupos que usemos ser´an abelianos mien-tras no se diga lo contrario.
En cuanto a construcci´on de semigrupos, naturalmente siSes un semi-grupo y∼es una relaci´on de equivalencia compatible con el producto de S, entonces S/ ∼ es un semigrupo. As´ı mismo si (S, .) es una operaci´on asociativa entonces S∪ {e} con e /∈S, es asociativo y mo-dulativa para la operaci´on de S extendida a S∪ {e} con e.e = e y
a.e=e.a=a ∀a∈S. As´ı que siX es un conjunto no vac´ıo, entonces podemos construir un semigrupoS y un subsemigrupo (abeliano) que contiene a X as´ı:
El semigrupo es NX con la operaci´on, que denotamos multiplicativa-mente dada por (f g)(x) = f(x) +g(x), para f, g ∈ NX. Para un elemento x se denotax1 :X → Na la funci´on que tiene imagen de x a 1 y de cualquier otro elemento a 0. Usualmente se identifica a xcon x1 y se considera aX como un subconjunto deNX. Con esta identifi-caci´onx2 =x.xque es la funci´on que env´ıa axen 2 y a cualquier otro elemento de X en 0.
Supongamos que {x, y, z} ⊆ X y f : X → N est´a dada por f(x) = n, f(y) = m, f(z) = r y cualquier otro elemento tiene imagen 0. Evidentemente f =xnymzr. En efecto (f =xnymzr)(x) = (xn)(x) + ym(x) +zr(x) =n[xn(x)] +m[y1(x)] +r[Z1(x)] =n.1 +m.0 +r.0 =n. Similarmente se tiene que (xnymzr)(y) = m, que (xnymzr)(z) = r y que si t /∈x, y, z, entonces (xnymzr)(t) = 0. En general recuerde que el soporte de f esSop(f) ={x∈X |f(x)6= 0}. Por ejemplo x1 tiene soporte x, para cadax∈X.
Sif(∈NX) tiene soporte finito digamos{x
1, x2, . . . , xn} ⊆Xyf(xi) = mi entonces se tiene que f = xm11x
m2
2 . . . xmnn. En particular cuando X ={x1, x2, . . . xn}, entoncesNX tiene escritura muy simple as´ı:
NX ={xm11x m2
2 . . . x mn
n |mi ∈N}
Con operaci´on
(xm1
1 x m2
2 . . . x mn
n )(xt11x t2
2 . . . x tn
n) =xm11+t1x m2+t2
2 . . . x mn+tn
n
Si se denota xm1
1 x m2
2 . . . xmnn = n
Y
i=1 xmi
i entonces f de arriba ser´a
f = n
Y
i=1 xmi
i = n
Y
i=1
xfi(xi). Como en el caso de series formales a´un en el caso no finito o de soporte no finito se denota a f ∈ Nx por
f = Y
x∈X
xf(x), a NX se le llama el conjunto de “productos formales
En cuanto al subsemigrupo, como X ⊆ P F(X), denotamos por SAL(X) = Sg(P F(X), X). Es decir que SAL(X) es el semigrupo generado porX. Se tiene queSAL(X) ={f ∈P F(X)|#Sopf <∞}
y que enP F(X), Y x∈X
xnx = Y
x∈X
xmx ↔ ∀x∈X, n
x=mx. Note que
1 = Y x∈X
x0. Note adem´as que en P F(X), Y x∈X
xf(x) es una simple
no-taci´on mientras que sif ∈SAL(X) el producto es real y no formal ya que los factores que intervienen sonx0(= 1) excepto a lo mas para un n´umero finito dex∈X.
Semigrupos Libres
9.1 Definici´on.
1. Un subconjunto B de un semigrupo S se dice una “base de S” si cada funci´on f : B → S1, en donde S1 es un semigrupo cualquiera, se extiende, de una ´unica manera, a un homomor-fismo (funci´on que preserva productos) F :S →S1.
2. Si un semigrupo S tiene una base entonces se dice que es un
semigrupo libre 2
Por ejemplo SAL(X) es un semigrupo libre. Una base de SAL(X) esX y la notaci´on SAL significa, por supuesto, “semigrupo abeliano libre”. De hechoSAL(X) se llama el “semigrupo libre generado por el conjuntoX”. Se tiene pues la generaci´on y escritura ´unica en t´erminos de elementos deX. Formalmente, enSAL(X) se tiene
9.2 Proposici´on.
i. < X >=SAL(X)
ii. Si xn1
1 x n2
2 . . . x nt
t = ym11y m2
Demostraci´on: Que < X >=SAL(X) es evidente seg´un la descrip-ci´on de los elementos de SAL(X) hecha arriba. En cuanto a la parte ii cada lado de la igualdad es una funci´on. Sixi no aparece en el lado derecho entonces este lado calculado en xi es cero, mientras el lado izquierdo calculado en xi esni 6= 0. Esto no puede ser. Asi existe yi que es xi (xi =yj). Calculando el lado derecho e izquierdo en xi se recibe respectivamente ni ymj luegoni =mj 2
Ahora s´ı podemos concretar lo que deseabamos
9.3 Proposici´on. X es una base deSAL(X)
Demostraci´on: Sea S1 un semigrupo y f : X → S1 una funci´on cualquiera. Para un elemento h de SAL(X), si h ∈ SAL(X),
h = Y
x∈X
xh(x),tomamos F(h) = Y x∈X
f(x)h(x). El producto en efecto
existe puesto que h(x) = 0 excepto a lo mas para un n´umero finito de x ∈X. Es evidente que F preserva el producto, adem´as si h ∈X entonces existe y ∈ X tal que h(y) = 1 yh(x) = 0, ∀x 6= y, es decir h=y1 yF(h) =f(y)h(y)=f(y).
Ahora bien siG:SAL(X)→S1es un morfismo de semigrupos tal que G|X =FentoncesG(h) =G(Y
x∈X
xh(x)) = Y x∈X
G(x)h(x) = Y x∈X
f(x)h(x)=
F(h) 2
Naturalmente las conexiones entre bases de semigrupos libres producen conexiones entre los semigrupos mismos.
9.4 Proposici´on.
i. Sif :X →Y es una funci´on, entonces existe un ´unico morfismo SAL(f) :SAL(X)→SAL(Y) tal que SAL(f)/X=f.
ii. SAL(g◦f) =SAL(g)◦SAL(f)
iii. SAL(1X) = 1SAL(x)
v. Un semigrupo T es libre, si y s´olo si T ∼= SAL(X) para alg´un conjuntoX.
vi. SeaB⊆SdondeSes un semigrupo. EntoncesB es una base de Ssi y s´olo si todo elemento deS, se escribe de una ´unica manera (salvo por el orden) en t´erminos de potencias de elementos deB.
Demostraci´on: i. SAL(f) es el ´unico homomorfismo SAL(X) →
SAL(Y) que extiende a la funci´on fe : X → SAL(Y) con fe(x) =
f(x),∀x∈X.
ii. Suponga f :X →Y y g:Y →Z. Se tiene que SAL(g)◦SAL(f) es un homomorfismoSAL(X)→SAL(Z) adem´as si x∈X, entonces
(SAL(g)◦SAL(f))(x) =SAL(g)◦(SAL(f)(x)) =SAL(g)◦SAL(f(x))
Comof(x) ∈Y, entonces SAL(g)(f(x)) =g(f(x)) = (g◦f)(x). As´ı queSAL(g)◦SAL(f) extiende ag◦f. Pero el ´unico morfismo que lo hace esSAL(g◦f), por ende, ii se d´a.
iii. Es obvio.
iv. Sigue de ii y iii y del hecho queX ≡Y si y s´olo si existen funciones f :X→Y yg:Y →X tales que g◦f = 1X yf◦g= 1Y.
v. SiT es libre y B es una base deT, entoncesT ∼=SAL(B).
vi. Si B es una base de S usamos el isomorfismo de v) para S. Es decir que como existe la funci´oni:B →SAL(B) dada pori(b) = [(b)] esta se extiende a un isomorfismoI :S →SAL(B).
Ahora si s ∈ S, entonces I(s) ∈ SAL(B) y por tanto se escribe de
una ´unica manera como I(s) = m
Y
i=1
[(bi)]ni, la cual se corresponde de
manera ´unica cons= m
Y
i=1 bni
Como ejemplo, el semigrupo libre generado por un s´olo elementob, o mejor, generado por {b} es, por supuesto, {bn | n = 0,1,2, . . .}. El producto es bn.bm =bn+m y 1 es b0.
Es claro adem´as que N = {0,1,2,3. . .} con la operaci´on + es un semigrupo, que es libre y que tiene base (´unica) {1}. En cuanto el caso finito siX={a, b, c}entonces, con notaci´on aditiva, el semigrupo generado por X es {na+mb+rc|n, m, r ∈ N} evidentemente este semigrupo es isomorfo a (N3,+).
Es importante notar que ning´un elemento de una base B de un semi-grupo (S,•) puede ser producto de potencias de otros elementos de la base. Esto contradecir´ıa el principio de escritura ´unica en t´erminos de la base.
A´un cuando nosotros no hacemos uso del teorema que sigue es un cl´asico de las estructuras libres y una forma equivalente de ´el ser´a crucial en el caso de campos de rotura, pero para el caso de ´algebras sobre un campo.
9.5 Proposici´on. Todo semigrupo es un cociente de un semigrupo libre.
Demostraci´on: Sea (A,•) un semigrupo. Consideramos SAL(A). Como se tiene una funci´on 1A : A → A, entonces existe un ´unico homomorfismo H : SAL(A) → A, extensi´on de la funci´on 1A. La relaci´on x ∼ y ↔ H(x) = H(y) es una relaci´on de equivalencia en SAL(A), compatible con el producto, por tanto SAL(A)/ ∼ es un semigrupo y adem´as la asignaci´onϕ:SAL(A)/∼→A,[x]→H(x) es una funci´on sobreyectiva (H lo es), inyectiva y evidentemente respeta el producto. As´ı que ϕes un isomorfismo yA∼=SAL(A)/∼. 2
Algebras Libres
9.6 Definici´on.
1. Un subconjunto B de una K−´algebra A se dice unaa−base de
A sobre K, si cada funci´on f : B → A1, en donde A1 es una K−´algebra cualquiera, se puede extender de una ´unica manera a un morfismo de K−´algebras F :A→A1.
2. Una K−´algebra se dicelibre sobre K si tiene una a−base 2
Note que siS es un semigrupo yK es un campo, entonces existe una construcci´on de ´algebra de manera natural a partir deS. En efectoK5 es el espacio de las sumas formales X
s∈S
ksS con suma y producto por
escalar sobre los coeficientes con la identificaci´on corrientes⊆KS. En el subespacio vectorial generado por S (denotado ⊕
s K) de sumas con
soporte finito tomamos el producto “polinomial” (X s∈S
ksS)(
X
s∈S lsS) =
X
s∈S (X
rt=1
krlt)s que es la escritura t´ıpica simplificada de
n
X
i=1 kisi•
n
X
j=1 ljtj =
n X i=1 n X j=1
kili(siti), ki, lj ∈K, si, tj ∈S
Es claro que el producto, as´ı definido, es asociativo, conmutativo y modulativo y que adem´as si x, y ∈⊕
s K y k ∈ K entonces k(xy) =
x(ky) = (kx)y. Todo ello puede ser verificado de rutina. A esta ´algebra la denotaremos (temporalmente) por A(S) o por AK(S) cuando el campo debe resaltarse. Note adem´as que sif :S1 →S2es un morfismo de semigrupos entoncesf se extiende de manera ´unica a un morfismo de ´algebras A(f) :A(S1)→A(S2), tomando
A(f)( n
X
i=1
kisi) = n
X
i=1 kif(si)
9.7 Proposici´on.
1. A(f) es un morfismo de K−´algebras
2. A(g◦f) =A(g)◦A(f)
3. A(1S) = 1A(S)
4. SiS1 ∼=S2 →A(S1) =A(S2) 2
En t´erminos de la teor´ıa de categor´ıas esto significa queAes un funtor covariante de la categor´ıa de los semigrupos en la de las ´algebras sobre K.
Naturalmente un espacio vectorial es una estructura libre pero como adem´as hay un producto involucrado no se puede esperar que una funci´on por ser lineal adem´as preserve el producto. Para que este se preserve, a partir de un conjunto, de manera funcional, la parte multiplicativa debe ser libre tambi´en. Esto sugiere un paso intermedio entre los conjuntos y las ´algebras libres.
9.8 Definici´on. Una K−´algebra A se dice libre sobre un semi-grupo S, si S es un subsemigrupo de (A, .) y todo morfismo f :S→(B, .) de semigrupos, en donde (B,+, .) es un ´algebra so-bre K, se extiende de una ´unica manera a un morfismo F : A → B de K−´algebras. Es decir, si existe un ´unico mor-fismo F :A→B de K−´algebras tal que F|S =f 2
9.9 Proposici´on. Si S es un semigrupo libre con base B, entonces A(S) es una ´algebra libre sobreK, con baseB.
Demostraci´on: Sea f :B → W una funci´on del conjunto B es una K−´algebra W. Puesto que (W,•) es un semigrupo, entonces existe un ´unico homomorfismo de semigrupos f1 : S → W extensi´on de la funci´onf. Pero comoSes una base del espacioAK(S) entonces existe una funci´on K−linealF :AK(S)→W que es la ´unica extensi´on lineal
def1aAK(S). Veamos queF preserva el producto: parax= n
X
i=1 kisi;
y= m
X
j=1
vljtj se tiene:
F(xy) =F( n X i=1 kisi m X j=1
ljtj) =F( n X i=1 m X j=1
(kisi)(ljtj) = n X i=1 m X j=1 kiljf1(sitj) = n X i=1 m X j=1
kiljf1(si)f1(tj) = n
X
i=1
kif1(si) m
X
j=1
ljf1(tj) =F(x)F(y).
Ahora supongamos queG:Ak(S)→W es un morfismo de K−´algebras conG/B = f. Six ∈S entonces x = bn1
1 . . . b nt
k y por tanto G(x) = G(bn1
1 . . . bnkt) = G(b1)n1. . . G(bt)nt = f(b1)n1. . . f(bt)nt = f1(x). As´ı queG es una extensi´on lineal de f1 a Ak(S) y puesto que la ´unica es F se tiene queG=F. 2
Note: Que en AK(S), cuando B es una base de S, todo elemento es de la forma
n
X
i=1
kisi en dondesi=bni1i1b ni2
i2 . . . b nij
ij
y esta forma es ´unica para cada elemento de AK(S).
El siguiente paso es otro cl´asico en las estructuras libres: demostrar que todas las estructuras libres de un tipo son del mismo tipo de las del ejemplo. Para iniciar llenamos algunos detalles.
denotamos aAK(SAL(f)) porALK(f). Omitiremos la letraKcuando el campo K est´a claro. La siguiente proposici´on es evidente de la correspondiente sobre semigrupos.
9.10 Proposici´on.
1. Sif :X →Y es una funci´on, entoncesAL(f) :AL(X)→AL(Y) es un morfismo de K−´algebras.
2. AL(f ◦g) =AL(f)◦AL(g)
3. AL(1X) = 1AL(X)
4. SiX ≡Y →AL(X)∼=AL(Y)
5. Una K−´algebra T es libre si y s´olo si T ∼= AL(X) para alg´un conjunto X
6. Sea B ⊆ A en donde A es una K−´algebra. Entonces B es una base de A sobre K si y s´olo si todo elemento de A se escribe de una ´unica manera como una combinaci´on lineal aditiva sobre K de combinaciones lineales multiplicativas sobre N, de elemento de B 2
En cuanto a la parte 6) un producto del tipobn1
1 b n2
2 . . . b nt
t ser´a escrito XN en donde X representa la t-upla (b1, . . . , bt) con bi 6= bj y N representa a (n1, n2, . . . , nt) con tal notaci´on
< B >={XN|dimX= dimN, X∈BdimN}
y por tanto los elementos de AL(B) ser´an del tipo n
X
i=1
kiXiNi donde
ki ∈K yXNi
i ∈< B >.
su imagen debe ser 1. Cuando B es una base en el sentido que todo elemento de A se escribe de una ´unica manera (como combinaciones lineales aditivas sobreK de las combinaciones lineales multiplicativas de elementos de B), si suponemos escritura ´unica de 1 se llega a una contradicci´on por ejemplo suponemos 1 = 3b1b2 + 2b22b43+ 5b1b44 en-toncesb1 = 3b21b2+ 2b1b22b43+ 5b31b44 y como la escritura es ´unica esto es imposible. Por tanto la unicidad de la escritura hace referencia a elementos distintos de 0 y de 1 y se acepta, como es el caso del ´algebra lineal, que la unicidad hace referencia a cualquier subestructura gene-rada por parte cualquiera de la base. Por esto, para 0 y 1 se aceptan escrituras posiblemente infinitas, as´ı 0 = X
x
0x en donde x recorre
productos finitos de elementos (distintos) de la base. Igualmente la escritura ´unica de 1 esQ
b∈Bb0. Naturalmente en el ´algebra libre ge-nerada por B la base del espacio vectorial consta de 1 y de todos los productos de la forma bn1
1 . . . b nt
t conbi6=bj sii6=j yni>0.
Recordemos ahora que, las ´algebras sobre K que nosotros usamos, digamos (A,+,•) son, como m´ınimo, dominios. Pero se tiene un re-sultado cuya demostraci´on se deja como ejercicio.
9.11 Proposici´on. Si A es un ´algebra libre sobre K, entonces los ´
unicos elementos invertibles son de la forma k.1 conk∈K 2
Es decir que las unidades son exactamente los elementos deK, o sus representantes enA en el sentido que sigue.
9.12 Proposici´on. SiAes un ´algebra sobreK, entonces
i. Ke ={k·1|k∈K}es un subcampo deA.
ii. ϕ:K→K,e k7→k1 es un isomorfismos de campos.
iii. Si • denota la multiplicaci´on por escalar y × la multiplicaci´on enA entoncesk•a=ϕ(k)×a 2
Dada la proposici´on precedente se identifica K con Ke por medio de
entonces, por la identificaci´on hecha, k•a = k×a es decir que el producto por escalar coincide con el producto en A por elementos de K. As´ı que en adelante las K−´algebras ser´andominios extensiones de K.
Extensiones Libres (de Campos)
Naturalmente una extensi´on libreAdeK, es una extensi´on que, como ´
algebra sobre K, es libre. Se dan entonces hechos interesantes as´ı :
9.13 Proposici´on.
1. Si A es una extensi´on libre, de K, entonces U(A) = K (donde
U(A) es el conjunto de unidades deA, junto con cero. Ver anillos algebr´aicos para ejemplos de su uso)
2. Una funci´on F :A→L es un morfismo de K−´algebras si y s´olo si es un morfismo de dominios que deja fija K.
3. Si B es una a−base (base de K−´algebra libre) de A, entonces
∀b∈B,bes trascendente sobreK
4. Toda extensi´on deK, es un cociente de una extensi´on libre
5. AL(x)∼=K[x] 2
Todas las afirmaciones de esta proposici´on son consecuencias inme-diatas de lo precedente. Naturalmente se tienen casos particulares importantes. Por ejemplo
9.14 Corolario. SiLes una extensi´on algebr´aica sobreK, entoncesL no es una extensi´on libre deK. En particular, parap(x)∈K[x], CR(p) no es una extensi´on libre deK 2
que en los campos de rotura minimales de un polinomio no es posi-ble seleccionar un juego de ra´ıces del mismo que produzca escritura ´
unica de sus elementos o la determinaci´on completa de morfismos de K−´algebra con dominio ese campo de rotura.
No hay pues sobre los n´umeros complejos una base, como ´algebra, sobre los reales. Evidentemente {1, i} no garantiza escritura ´unica de elementos. Por ejemplo (−1)1 + 0i+ 0i2 y (0)1 + 0i+ (1)i2 son dos representaciones distintas, con los mismos generadores, del mismo elemento.
La parte 5 de 9.13 nos permite usar una notaci´on simple debido a que el ´algebra libre (sobre K) generada por S, es seg´un nuestras identifi-caciones una extensi´on libre de K.
Polinomios con Indeterminadas en S
9.15 Definici´on. El ´algebra libre generado por un conjunto S se llamar´ael ´algebra de polinomios con coeficientes enK e indeter-minadas en S y ser´a denotada porK[S]. Si S ={x1, . . . xn} se denotar´a K[x1, . . . xn] 2
Ilustramos la demostraci´on de la parte 4 de la proposici´on 9.13 con nuestra nueva notaci´on. Claramente toda extensi´on A de K tiene un conjunto de generadores sobreK. A misma es un ejemplo de ellas. Si f :S → A es una funci´on cualquiera tal que A =< f(S) > entonces se tiene una ´unica extensi´on a K−´algebras F : K[S] → A de f y claramenteF es un epimorfismo. As´ı queA∼=K[S]/kerF.
Por otro lado si X ⊆ Y entonces la inclusi´on i : X → Y induce un morfismoI:K[X]→K[Y] el cual es, por supuesto, inyectivo y provee un mecanismo simple de identificaci´on deK[X] con una sub´algebra li-bre deK[Y] de manera obvia. De acuerdo con esto siX⊆Y, entonces K[X] es una sub´algebra libre deK[Y].
representar a t(de manera ´unica) forman un conjunto finito deS, di-gamosX. EvidentementeK[X] es la m´ınima sub´algebra libre deK[S] que contiene a t. Los elementos de S se llamanlas variables de K[S] y los de X las variables de t.
Note que si F(A) denota el campo de fracciones de un dominioA, en-toncesK[x1, . . . , xn−1, xn] se puede obtener deK[x1, . . . , xn−1] usando
polinomios sobre campos. En efecto
9.16 Proposici´on.
i. K[x1, . . . , xn] es una K−´algebra dominio, ∀n∈N
ii. K[x1, . . . , xn] es un subdominio del dominio de polinomios con indeterminada xn y coeficiente en el campo de fracciones de K[x1, . . . , xn−1].
Demostraci´on: Por inducci´on sobre n. Para n = 1 sabemos que K[x1] es un ´algebra dominio (sobre K). El ´algebra generada por
{x1, x2} es el subconjunto de polinomios con indeterminada x2 y co-eficientes en el campo F(K[x1]) cuyo denominador es 1. Es decir que K[x1, x2] es el conjunto de polinomios de la forma
q0(x1) +q1(x1)x2+q2(x1)x22+. . .+qn(x1)xn2 (∗)
en donde qi(x1) es un polinomio en x1 (es decir fracci´on polin´omica con denominador 1). Evidentemente un elemento de la forma ∗ es un elemento de K[x1, x2]. Adem´as todo elemento de K[x1, x2] es de la forma mencionada por simple organizaci´on sobre potencias as-cendentes de x2. Ahora bi´en puesto que f(K[x1])[x2] es un dominio K[x1, x2] tambi´en lo es.
Supongamos que K[S] es un dominio si S tiene menos de n elemen-tos. De nuevo K[x1, . . . , xn−1] es entonces un dominio. El campo F(K[x1, . . . , xn−1]) existe y por tanto tambi´en el ´algebra sobre
de los elementos de la forma
q0(x1, . . . , xn−1) +q1(x1, . . . , xn−1)xn+. . . qt(x1, . . . , xn−1)xtn (∗)
en dondeqi(x1, . . . , xn−1) es una fracci´on con denominador 1 en
F(K[x1, . . . , xn−1]). Claramente los elementos de la forma ∗ son
pre-cisamente los deK[x1, . . . , xn] 2
Lo precedente se extiende a K[S], cualquiera que sea el cardinal del conjunto S. De hecho se tiene que si S1 es un subconjunto finito de S, entonces K[S1] ⊆ K[S] y K[S] = ∪K[T] en donde T recorre los subconjuntos finitos deS. As´ı que si f y g∈K[S] y siK[X] y K[Y] son las sub´algebras libres m´ınimas que contienen a f y g, entonces f, g∈K[X∪Y], que es un subdominio del ´algebra (anillo) K[S]. As´ı que f g = 0 en K[S], f g = 0 en K[X∪Y] y por ende bien f = 0 ´o g= 0. En resum´en:
9.17 Corolario. El ´algebra libre, sobreK, generada por un conjunto S (es decir K[S]) es un dominio 2
Algebras Libres y Campos de Rotura
El dominioK[S], de polinomios con indeterminadas enS es ´util en el c´alculo o representaci´on directa de campos de rotura minimales. En la demostraci´on de la proposici´on que sigue se hace una construcci´on que usaremos mas adelante.
9.18 Proposici´on. Sea p(x) ∈ K[x], con grado n, y CR(p) es un campo de rotura minimal cualquiera de p, entonces existe un ideal maximal deK[S], digamosM tal queCR(p)∼=K[S]/M.
funci´on conf(S) =<(p) la cual existe porque el cardinal deSes mayor o igual que el de <(p). Ahora, f se extiende en un ´unico epimorfismo de ´algebras F : K[S] → CR(p) y por ende CR(p) ∼= K[S]/kerF. Naturalmente kerF es un ideal maximal (el cociente es un campo).
Adem´as en el cociente se tiene que, sip(x) = n
X
i=0
aixi , entonces:
F(p(j, p)) =F( n
X
i=0
ai(j, p)i) = n
X
i=0
aiF(j, p)i = n
X
i=0
aif(j, p)i = 0
As´ı pues p(j, p)∈kerF, para cada j= 1,2, . . . , n. M = kerF es pues un ideal maximal que contiene al ideal generado porp(S) enK[S] 2
Ra´ıces Virtuales de Polinomios
En la proposici´on precedente (i, p) se llama una ra´ız virtual de
p(x) ∈ K[x]. De hecho las clases [(i, p)] son las ra´ıces de p(x) con repeticiones, est´en o no en K[x]. En efecto F, de arriba, induce naturalmente un isomorfismo [F] : K[S]/M → CR(p) con [F][t] = F(t). Si denotamos por L a K[S]/M entonces [F] induce un iso-morfismo, que hemos convenido con denotar con el mismo s´ımbolo [F] : L[x] → CR(p)[x] en cap´ıtulos anteriores. Cl´aramente [F](k) = [F][k] = F(k) = kF(1) = k1 = k seg´un identificaci´on previa. Por tanto [F](p(x)) = p(x) y entonces, en la extensi´on L, p(x) = k(x −[1, p])(x −[2, p]). . .(x −[n, p]) que se corresponde con la de p(x) = k(x−f(1, p))(x−f(2, p)). . .(x−f(n, p)) por [F]. El ideal M sera denotado, para mayor ´enfasis por M < <(p) >. M(p) si no hay posibilidad de error. El conjuntoS tiene la ventaja de que si p(x) y q(x) son polinomios de K[x] y p(x) 6= q(x), entonces los conjuntos de sus ra´ıces virtuales son disjuntos dos a dos.
Note que [<(p)] genera a K[<(P)]/M.
A la funci´on F : K[<(p)] → K(α1, α2, . . . , αn) = L se le llama la extensi´on de f :<(p)→K(α1, α2, . . . , αn),(i, p)→αi.
p(<(p)), pero no hay garant´ıa de unicidad completa como cabr´ıa es-perarse. Sin embargo, s´ı la hay de manera d´ebil: Si I, J son ideales de un anillo A, entonces decimos que I es isomorfo a J si existe un automorfismo F : A → B tal que f(I) = J. Naturalmente en tal caso el morfismo de paso al cociente [f] :A/I → A/J existe y es un isomorfismo. En el caso de ideales maximales de K[p(<(p))] que ha-cen al cociente maximal, son isomorfos. El grado de dificultad de la demostraci´on hace que lo aceptemos sin presentarla. Acept´andolo se tiene de manera inmediata que:
9.19 Corolario. Si L1 y L2 son campos de rotura de p(x) ∈ K[x], entoncesL1∼=L2.
Demostraci´on: Para i = 1,2, existe Mi, maximal que contiene a p(<(p)) tal queLi ∼=K[S]/Mi. adem´as existef :K[<(p)]→K[<(p)] un automorfismo que f(M1) =M2.
As´ı queL1 ∼=k[<(p)]/M1 =∼k[<(p)]/M2∼=L2 2
Recordemos que un campoLes una cerradura de rotura de K si todo polinomio deK[x] se rompe enL[x]. Recordemos que en una cerradura de rotura L existe una extensi´on de K, que es la m´ınima cerradura de rotura de K en L, a saber la intersecci´on de todas las cerraduras rotura deKenL. Naturalmente si existe una cerradura de rotura deK entonces existe una minimal. Aqu´ı veremos que existe una cerradura de rotura y si dos son minimales entoces son isomorfas. Naturalmente el procedimiento es una generalizaci´on del precedente.
9.20 Proposici´on. Sea T ⊆ K[x]. Entonces existe una extensi´on minimalLdeK en la cual todos los polinomios deT se descom-ponen. Y los dos cualesquiera de ellos son isomorfos.
que podemos reducirnos a un conjunto T cuyos elementos son irre-ducibles. La demostraci´on sigue la misma l´ınea de 9.18 y 9.19 tomando
<(T) el conjunto de todas las ra´ıces virtuales de todos los elementos de T y E(T) es el conjunto de todos los p(i, p) con 1 ≤ i ≤ grad(p) o sean las evaluaciones de p en todas sus ra´ıces virtuales y esto para todos p ∈ T. Si M es un ideal maximal del ideal generado por E(T) entonces CR(T) =K[<(T)]/M es el campo deseado y el isomorfismo es una copia de la de 9.19 2
Note que CR(p) esta inmerso en CR(T). En efecto, consideremos la funci´on f :CR(p)→K[<(T)]/M dada por
f(q((1, p),(2, p), . . . ,(n.p)) +M < p(S)>) =
q((1, p),(2, p), . . . ,(n.p)) +M
el cual esta evidentemente bi´en definido y es un morfismo de cam-pos. Ahora, si [q((1, p),(2, p), . . . ,(n.p))] = 0 enK[<(T)]/M entonces q((1, p),(2, p), . . . ,(n, p))∈K[S]∩M y por tanto esta enM < p(S)>. As´ı pues f es una inmersi´on. Esto muestra queK[<(T)]/M no es tri-vial es decir que M 6= K[<(T)]. Note que, por esta misma raz´on, K esta inmerso K[<(p)]/M bajo la funci´onk7→k+M.
Note que en la proposici´on precedente hemos demostrado que siTes un conjunto de polinomios irreducibles, deK[x],<(T) es el conjunto de las ra´ıces virtuales de todos los p∈T yE(T) son sus evaluaciones (como en la proposici´on) entonces el ideal generado porE(T) enK[<(T)] no es todo este dominio y por tanto el ideal maximal tampoco lo es.
Naturalmente cuando T es el conjunto de todos los polinomios irre-ducibles de grado mayor que 1 de K[x] entonces se recibe como caso particular:
Naturalmente cuando T = K[x], CR(K[x], K) es la cerradura de ro-tura deK,CR(K) del cap´ıtulo 7 en donde dejamos paso a su existen-cia. Este es un:
9.22 Corolario. Para todo campo K existe un campo L, extensi´on de K, en donde todo polinomio de K se rompe. En cada tal L existe una ´unica cerradura de rotura minimal de K. Todas dos cerraduras de rotura minimales deK son isomorfas 2
Algebras libres y Grupos de Galois
Veamos ahora que existe una relaci´on entre ´algebras libres generadas por las ra´ıces virtuales de un polinomio y el grupo de Galois del mismo.
Para iniciar notamos que siX es un conjuntoAL(X) =K[X]. Por el hecho de lo visual que esK[X] como estructura, en el futuro dejaremos de lado la notaci´on AL y a este funtor lo denotaremos por K o para mayor claridad K[]. Es decir que si Kalg denota la categor´ıa de las ´
algebras sobreK yConj la categor´ıa de los conjuntos entonces
K : Conj→ Kalg
sera el funtor dado por X 7→ K[X] y si f : X → Y entonces K[f] :K[X]→K[Y] es el morfismo de ´algebras que en un polinomio con indeterninadas enX lo env´ıa en el polinomio obtenido cambiando en el original cada indeterminadax de X por f(x) de Y. As´ı
K[f]( n
X
i=1 kiXNi
i ) = n
X
i=1
kif(Xi)Ni
en donde, si Xi = (s1, s2, . . . , sn), entonces f(Xi) = (f(s1), f(s2), . . . , f(sn)).
Con esta notaci´on algunos hechos de funtorialidad llegan a ser
ii. K[1X] = 1K[x].
iii. Sif es biyectiva entoncesK[f] es un isomorfismo.
Adem´as, sobre K, los morfismos de Kalg son la identidad as´ı que K[f] |K= 1K. Usaremos adem´as Sim(X) para el grupo sim´etrico de un conjunto X y para un polinomio p ∈ K[x] denotaremos por Gr(p) el grupo de Galois de p. Como antes, para un polinomio p denotaremos por S =<(p) el conjunto de las ra´ıces virtuales de p y CR(p) a K[S]/M < p(S)>. Se tiene
9.23 Proposici´on. Si ρ ∈ Sim(<(p)) entonces K[ρ] : K[<(p)] →
K[<(p)] es un automorfismo que envia cada maximal de < P(R(p))>en otro de ellos.
Demostraci´on: QueK[ρ] es un automorfismo ya lo sabemos. Sabe-mos tambi´en que deja fijo aK. Es claro, adem´as que
K[ρ]( n
X
i=0
aj(i, p)j) = n
X
i=0
aj(i, p)j
y por tanto K[ρ](p(i, p))∈p(<(p)).
Puesto que ρ tiene inverso en Sim(<(p)) es claro entonces que K[ρ] restringida a p(<(p)) es una funci´on biyectiva. Ahora K[ρ], por ser isomorfismo, env´ıa ideales maximales en ideales maximales y por tanto K[ρ](M < p(<(p))>) es un maximal de< p(<(p)) 2
La proposici´on precedente implica queK[ρ] :K[R(p)]→K[R(p)] pasa al cociente si se toman como ideales un maximal de < p(R(p)) > en dominio y su im´agen en el codominio. Como ρ fue arbitrario, en el cociente tambi´en act´ua el morfismo inducido por ρ−1. As´ı pues para cada ρ ∈ Sim(<(p)) la funci´on de paso al cociente de K[ρ], es un isomorfismo de campos de rotura minimales de p y un automorfismo sobre los maximales que K[ρ] deja fijos.
deja fijo el conjunto de todas las clases de equivalencias de elemen-tos de <(p). Si S1 denota una clase completa de residuos de <(p), entonces f induce una funci´on f : S1 → S1 la cual se extiende a una funci´on ρ : <(p) → <(p). Se verifica de manera inmediata que K[ρ] :K[<(p)] → K[<(p)] deja fijo a M y por ende pasa al cociente como un automorfismo CR(ρ) :CR(p) → CR(p) que no es otra que f. As´ı pues
9.24 Proposici´on.
i. SeaMun ideal maximal fijo de< p(<(p))>yCR(p) =K[<(p)]/ M. Entonces el grupo de automorfismos deCR(p) que deja fijo aK es isomorfo al grupo de automorfismos deK[<(p)] que deja fijo aM.
ii. Consideremos la partici´on <(p)/M ⊆K[<(p)]/M, de<(p). Los elementos del grupo sim´etrico de<(p) que preservan la partici´on
<(p)/M forman un subgrupo isomorfo al grupo de Galois de p 2
El procedimiento de las ra´ıces virtuales es en general ineficiente. Por ejemplo es claro siT ⊆R(p) es tal queCR(p) =K(T) entonces es su-ficiente tomar un conjunto virtual de ra´ıces que represente ´unicamente a las de T y repetir todo el procedimiento. El conjunto ideal, de poder seleccionarse efectivamente, es una clase completa de residuos de R(p), m´odulo M. El problema es que no parece existir un meca-nismo de selecci´on can´onico del cardinal de las ra´ıces generadoras ni estas producen escritura ´unica porque de hacerlo ser´ıan una base de ´
algebra sobreK, lo cual como hemos visto no es posible. Esto dificulta los mecanismos funtoriales. En cambio usando tantas ra´ıces virtuales como el grado, la funtorialidad se puede llevar hasta el c´alculo (te´orico) mismo de los grupos de Galois, que es lo que hemos mostrado.
Problemas Suplementarios
2. Muestre que sip(x) es irreducible enK[x],{x1, . . . , xn} son inde-terminadas entonces ((p(x1), p(x2), . . . , p(xn)) = 1 en K[x1, . . . , xn]. Generalice el resultado a un conjuntoS cualquiera en cam-bio de{x1, . . . , xn}.
3. Muestre con detalle que, con las condiciones del problema 2, el ideal generado por {p(x1), p(x2), . . . , p(xn)} enK[x1, x2, . . . , xn] no es trivial sip(x) es de grado distinto de 1 en K[x].
4. Muestre que siXes un conjunto yp1(x)K[X]+p2(x)K[X]+. . .+ pn(x)K[X] = t[x]K[X] entonces ((p1(x), p2(x), . . . , pn(x)))
a = t(x) pero que el converso no es cierto. Use para ayudarse los problemas precedentes.
5. Demuestre que si X tiene m´as de un elemento entonces K[X] no es un dominio de ideales principales. De hecho muestre que si p(x)∈K[x] es irreducible (y de grado mayor que 1) entonces cualquier ideal generado con un subconjunto (con mas de 1 ele-mento) de {p(x)|x∈X} no es principal enK[X]
6. Suponga la existencia de una cerradura de rotura T ⊆ K[x] digamos N. Demuestre de manera directa que existe un ´algebra libre K[S] y un ideal maximal I tal que ∼=K[S]/I. Demuestre que el isomorfimso F : K[S]/I → N puede seleccionarse como un paso al cociente de un epimorfismo f :K[S]→N tal que si p(x)∈T, entonces existes∈S tal quep(s)∈kerf.
