RESPUESTA Como (IR,+) es un grupo abeliano se tiene que todo subgrupo de IR es

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Universidad Nacional Abierta ÁLGEBRA I (701)

Vicerrectorado Académico Fecha: 17 / 04 /2004

Área de Matemática Cód. Carrera: 106 - 120 - 508

MODELO DE RESPUESTAS

OBJ 1 PTA 1

Demostrar que (A ∪ B) ∩ B’ = A, si y solo si, A ∩ B = φ

Respuesta: Por definición se tiene

(A ∪ B) ∩ B’ = (A ∩ B’) ∪ (B ∩ B’) = A ∩ B’ Hay que demostrar, pues que A ∩ B’= A, si y solo si, A ∩ B = φ.

i) Supongamos que A ∩ B = φ , es A ⊆ B’ y A ∩ B’ = A. ii) Supongamos que A ∩ B’ = A , es A ⊆ B’ y A ∩ B = φ. Así que (A ∪ B) ∩ B’ = A si (por a)) y solo si (por b)) A ∩ B = φ 

OBJ 2 PTA 2

Definimos sobre R2 la siguiente relación binaria

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c Estudie si se trata de una relación de equivalencia o no.

Respuesta: Según la definición debemos chequear que ∼ verifica las siguientes propiedades:

i) Reflexiva: (a, b) ∼ (a, b) ⇔ a + b = b + a, lo cual es cierto.

ii) Simetría: (a, b) ∼ (c, d) entonces (c, d) ∼ (a, b). Es cierto, en efecto (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c ⇔ (c, d) ∼ (a, b)

iii) Transitividad: (a, b) ∼ (c, d) y (c, d) ∼ (e, f) entonces (a, b) ∼ (e, f). Por hipótesis tenemos que:

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ a + d = b + c (1)

y

(c, d) ∼ (e, f) ⇔ c + f = d + e (2)

haciendo (1) – (2) obtenemos b + e = a + f y por tanto (a, b) ∼ (e, f).

En vista de que (i), (ii) y (iii) se satisfacen entonces ∼ es de equivalencia. 

OBJ 3 PTA 3

Demuestre que sif : A → B y g: B → C tienen funciones inversas f –1 : B A y g –1: C B,

entonces la composición g o f : A → C posee una inversa (g o f) –1: C → A y (g o f) –1 = f –1 o g –1.

Respuesta: Para demostrar que (g o f) –1 = f –1o g –1 , basta con verificar que:

[(g o f) o (f –1 o g –1)] = IC [ (f –1o g –1) o(g o f)] = IA (1)

Aplicando la ley asociativa a la composición de funciones resulta

(f –1o g –1) o (g o f) = f –1o [g –1o (g o f )]

(2)

Obsérvese que se han usados los hechos (g –1o g ) es la identidad y el de la composición con la identidad. De manera análoga:

(g o f)o(f –1o g –1) = g o [f o (f –1o g –1)] = g o[(f o f –1) o g –1] = go (IA o g –1) = g o (I o g –1)

= g o g –1 = IC (3) Finalmente de (2) y (3) se deduce (1).  

OBJ 4 PTA 4

Sobre un conjunto cualquiera se elige como ley de composición a * b = b. Estudiese la conmutatividad y asociatividad. ¿Qué sucede con el elemento neutro?

Respuesta. La ley no es conmutativa pero si es asociativa porque

(a * b) * c = b *c = c y a * (b * c) = a * c = c

Cualquier elemento es neutro a la izquierda en virtud de la definición. Si existiera un elemento neutro a la derecha debería ser idéntico a todos los elementos. El conjunto constaría así de un solo elemento y la propiedad resultaría trivial  

OBJ 5 PTA 5

Sea G = Z x Z el producto cartesiano de Z consigo mismo, cuyos elementos son los pares ordenados de números enteros (m, n). Podemos definir una operación en este conjunto mediante:

(m1 , n1) ⊕ (m2 , n2) = (m1 + m2 , n1 + n2 )

donde + representa la suma de números enteros. Demuestre si ( G, ⊕ ) un grupo.

RESPUESTA Claramente la operación es cerrada pues la suma de enteros es cerrada y por lo tanto el par (m1 + m2 , n1 + n2) está en G. Probaremos que ⊕ es asociativa, para lo cual usaremos la asociatividad de los números enteros. En efecto

(m1 , n1) ⊕ [(m2 , n2) ⊕ (m3 , n3 )] = (m1 , n1) ⊕ [(m2 + m2 ,n2 + n3 )] = (m1 + (m2 + m3), n1 + (n2 + n3))

= (m1 + m2 , n1 + n2 ) ⊕ (m3, n3) = [(m1 , n1) ⊕ (m2 , n2)] ⊕ (m3 , n3 )

También se demuestra que (0, 0) es el elemento neutro para esta suma. Sea (m, n) un elemento cualquiera de G, luego

(0, 0) ⊕ (m, n) = (m, n) ⊕ (0, 0) = (m, n)

Finalmente se deduce que todo elemento (m, n) de G posee un inverso, el cual viene dado por (– m, – n) pues

(m, n) ⊕ (– m, – n) = (m – m, n – n) = (0, 0) (– m, – n) ⊕ (m, n) = (m – m, n – n) = (0, 0)

Por lo tanto G es un grupo. Además este grupo es abeliano, pues para todo par de elementos (m1 , n1) y (m2 , n2) en G se tiene

(m1 , n1) ⊕ (m2 , n2) = (m1 +m2 , n1 + n2 )

(3)

 

OBJ 6 PTA 6

Demuestre que todo grupo cíclico es abeliano.

RESPUESTA Consulta el Texto UNA (701).  

OBJ 7 PTA 7

Enuncie y demuestre el Teorema fundamental de Homomorfismo

RESPUESTA Consulta el Texto UNA (701).  

OBJ 8 PTA 8

Considere el conjunto Z de los números enteros como subgrupo aditivo del conjunto IR

de los números reales. Demuestre que Z es un subgrupo normal de IR y que si f : IR → IR es una función periódica de periodo 1 (esto es f (x+1) = f (x), para todo x),

entonces la función f : (IR/Z) → R, dada por

f

(

x

) = f (x) está bien definida, es decir que si

x

=

y

, entonces f (x) = f (y).

RESPUESTA Como (IR,+) es un grupo abeliano se tiene que todo subgrupo de IR es normal (¿Por qué?). En particular (Z,+). Sea f : IR → IR una función periódica de periodo 1, queremos verificar que

f

(

x

) =

f

(

y

) si

x

=

y

.

Pero si

x

=

y

entonces x – y = k ∈ Z y por tanto, x = k + y, pero esto implica que

f (x) = f (y + k) = f (y) (¿Por qué la última igualdad?),

lo que demuestra que f está bien definida.  

OBJ 9 PTA 9

Sean m y n enteros positivos tales que m divide a n, y σ ∈ Sn un ciclo de longitud n.

Demostrar que σm es producto de m ciclos disjuntos de longitud

m

n

.

RESPUESTA Sean d = n/m ∈ Z y τ = σ m. En virtud de de las propiedades del orden de un elemento tenemos:

o (τ) =

( )

( )

(

σ

)

σ

o

m,

mcd

o

=

(

m,

n

)

mcd

n

=

m

n

= d

Queremos demostrar que las órbitas

τ

× En→ En : (τk , j) →τk (j); donde En = {1,2, … , n}

tienen d elementos. En tal caso, como las orbitas constituyen una partición de En, el número de orbitas es

( )

d

E

card

n

=

d

n

= m

y τ será composición de m ciclos de longitud d.

Ahora bien, si j ∈ En, card (0j) ≤ d, pues como,

(4)

0j = {j, τ (j), …, τd – 1 (j)}

Sólo queda demostrar que los d elementos del miembro de la derecha en la igualdad anterior son distintos.

Supongamos por reducción al absurdo que

τl (j) = τk (j) para ciertos 0 l k d – 1 (tomemos j = τ0 (j)) .En este caso, si i = k – l, se tiene

σmi (j) = τi (j) = j , m mi m (d – 1) Sien embargo, si

σ = (a1, a2 , … , an) y j = ap

σmi (j) = σmi (ap) =

>

+

+

− + +

n

mi

p

si

a

n

mi

p

si

a

n mi p

mi p

luego sería

ap = j = σmi (j) =

>

+

+

− + +

n

mi

p

si

a

n

mi

p

si

a

n mi p

mi p

de donde

p = p + mi, si p + mi ≤ n p = p + mi – n, si p + mi > n Lo primero es falso, pues

p + mi ≥ p + m > p. Lo segundo también, pues

p + mi – n ≤ p + m (d – 1) – n = p – m < p.  

OBJ 10 PTA 10

Demuestre si el conjunto S = { x + y 3

3

+ z 3

9

: x, y, z Q} es un anillo con respecto a la adición y multiplicación en R.

RESPUESTA Para demostrar lo que se pide, se demuestra primero que S es cerrado con

respecto a las operaciones mencionadas en el enunciado. Se tiene para a + b 3

3

+ c 3

9

, d + e 3

3

+ f 3

9

S

(a + b 3

3

+ c 3

9

) + (d + e 3

3

+ f 3

9

) = (a + d) + (b +c ) 3

3

+ (c + f ) 3

9

S y

(a + b 3

3

+ c 3

9

) (d + e 3

3

+ f 3

9

) = (ad + 3bf + 3ce) + (ae + bd + 3cf ) 3

3

+ + (cd + af +be ) 3

9

S

Ahora bien, como S es un subconjunto del anillo IR, las propiedades asociatividad respecto a la suma y producto se satisfacen, más aún las siguientes propiedades distributiva respecto a la suma a izquierda y derecha , conmutatividad respecto a la suma también se cumplen. Ahora bien,

(5)

y además el inverso respecto a la adición de a + b 3

3

+ c 3

9

es – (a + b 3

3

+ c 3

9

). Por todo lo ante expuesto tenemos que el conjunto S = { x + y 3

3

+ z 3

9

: x, y, z Q} es un anillo con respecto a la adición y multiplicación en IR.  

OBJ 11 PTA 11

Considere el anillo Apl (X, A), de todas las funciones de un conjunto X en un anillo A. Sea S ⊆ X, S ≠ φ , demuestre si el conjunto IS = {f ∈ Apl (X, A) / f(x) = 0 ∀ x ∈ S} es un ideal de Apl (X, A)

RESPUESTA Consulta el Texto UNA (701).  

OBJ 12 PTA 12

Determínese los números racionales x e y, tales que x + y

2

=

17

+

12

2

.

RESPUESTA Queremos calcular x e y tal que

x + y

2

=

17

+

12

2

elevando al cuadrado se tiene

( x + y

2

) 2 = (

17

+

12

2

) 2 x2 + 2xy

2

+ 2y2 = 17 + 12 2 lo que es equivalente a

x2 + 2y2 = 17 (1) 2xy

2

=12 2 (2)

de (2) resulta

xy = 6

sustituyendo en (1) tenemos que x = ± 3, y = ± 2, correspondiéndose los signos. Se deduce así que la solución posible es x = 3 , y = 2. Verificando así

2 12

17+ = 3 + 2 2. 

OBJ 13 PTA 13

Sobre Z3 determínese un polinomio P (x) = ax2 + bx + c, tal que P (2) = 0, P (0) = 1 ; P (1) = 2.

RESPUESTA Como P(2) = 0, P(0) = 1 ; P (1) = 2, entonces a, b y c deben ser tales que:



=

+

+

=

+

+

=

+

+

2

c

)

1

(

b

)

1

(

a

1

c

)

0

(

b

)

0

(

a

0

c

)

2

(

b

)

2

(

a

2 2 2 ⇔



=

+

+

=

=

+

+

2

c

b

a

1

c

0

c

b

2

a



=

=

+

+

=

+

+

1

c

2

1

b

a

0

1

b

2

a

resolviendo obtenemos

(6)

En conclusión a= 0, b = 1 y c= 1, por lo tanto

P(x) = x + 1.  

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