DOMINIO, RECORRIDO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

CONCEPTO DE FUNCIÓN. EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UNA FUNCIÓN 2. A partir de los siguientes enunciados determina:

a) Las variables que intervienen, considerando la unidad de su medida.

b) Las variables dependientes e independientes y la función que establece dicha dependencia.

 El coste de consumo de electricidad se factura con la siguiente regla: un coste fijo de 11,78 euros por la potencia contratada y 0,092834 euros por kWh.

 El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a 1,14 euros.

 La longitud de una circunferencia y la longitud de su radio.

 El volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura h.

 La hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 cm y x cm respectivamente.

 El precio de un artículo y la rebaja de un 5 % que realiza un determinado centro comercial sobre dicho artículo.

SOLUCIÓN:

 El coste de consumo de electricidad se factura con la siguiente regla: un coste fijo de 11,78 euros por la potencia contratada y 0,092834 euros por kWh.

Variables que intervienen:

x: consumo de electricidad en kWh

y: importe en euros

La función que establece la dependencia sería:

x y11,780,092834

 El importe a pagar en una gasolinera en la que cada litro de gasolina se cobra a 1,14 euros.

Variables que intervienen:

x: número de litros de gasolina

y: consumo en euros

La función que establece la dependencia es:

x y1,14

 La longitud de una circunferencia y la longitud de su radio. Variables que intervienen:

x: longitud del radio de la circunferencia, por ejemplo en cm.

y: longitud de la circunferencia, en cm. La función que establece la dependencia es:

x y2

 El volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura h. Variables que intervienen:

x: altura en cm del cilindro (h en el enunciado)

y: volumen del cilindro en centímetros cúbicos. La función que establece la dependencia es:

x x y32 9

Variables que intervienen:

x: longitud de uno de los catetos en cm.

y: longitud de la hipotenusa en cm.

La función que establece la dependencia es: 2

9 x y 

 El precio de un artículo y la rebaja de un 5 % que realiza un determinado centro comercial sobre dicho artículo.

Variables que intervienen:

x: precio del artículo en euros.

y: rebaja que se realiza sobre el precio del artículo en euros. La función que establece la dependencia es:

x x

y  0,0 5 1 0 0

5

DOMINIO, RECORRIDO Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN 7. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

a) ( )_ 2_1 x x

f _{b) 4}

1 ) (  2_

x x g

c) h(x) x2

d) 4 2

1 2 )

(x  x  x

j _e) k(x) 2x1 3x2

SOLUCIÓN: a) ( ) 21

x x f

Como el cuadrado de un número se puede realizar siempre, al igual que la diferencia entre dos números reales, Dom(f)R

b) 4

1 )

( ₂

 

x x g

Los valores que anulan el denominador se obtienen resolviendo la ecuación x240_,

cuyas soluciones son x₁ 2,x₂ 2_{. Por tanto Dom(g)}_{xR_/x_2,x_2}R_{2,_2}

c) h(x) x2



      

{ / 2 0} { / 2} 2, )

(h x x x x

Dom R R

d) _j(x)4 _x2_2x₁

} 0 1 2 / { )

(j  x x2 x 

Dom R

Resolvamos la inecuación _x2_2_x1_0

Como x22x1(x1)2_{, y} (x1)20 _{para todos los valores de x, tenemos que}

R



) (j Dom

e) k(x) 2x1 3x2





          

{ /2 1 0,3 2 0} { / 1/2, 2/3} 1/2, )

(k x x x x x x

Dom R R

8. Dada la función f(x)x22x _{construye una tabla para los valores de x: –5, –4, –3, –2, –1, 0,}

SOLUCIÓN:

La tabla de valores es:

x y

-5 -35 -4 -24 -3 -15 -2 -8 -1 -3

0 0

1 1

2 0

3 -3 4 -8 5 -15

y su representación gráfica:

9. Dadas las funciones:

a) f1(x)x5 b) f2(x)5x c) 1

5 ) (

3  _

x x f

Determina si las siguientes curvas son la gráfica de alguna de las funciones anteriores:

i) ii) iii)

SOLUCIÓN:

La función b tiene como gráfica i) La función c tiene como gráfica ii)

10. Las siguientes curvas son las gráficas de varias funciones. Determina para cada una de ellas su dominio y su recorrido:

a) b) c)

SOLUCIÓN: a)

 

Dom , Rec(f)



 



b)





)

(f  c f 

Dom

c)



) (f 

CARACTERÍSTICAS GENERALES DE LAS FUNCIONES.

13. Las siguientes curvas son las gráficas de tres funciones f(x), g(x) y h(x):

Gráfica de f(x) Gráfica de g(x) Gráfica de h(x)

Determina en cada una de ellas los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos, y si están acotadas.

SOLUCIÓN:

 Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

o Crecimiento: (1,0)(1,).

o Decrecimiento: (,1)(0,1).

 Máximo: (0,0).

 Mínimos: (-1,-1) y (1,-1).

 Acotación: está acotada inferiormente por -1. No está acotada superiormente.

 Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

o Crecimiento: todo R.

o Decrecimiento: no decrece.

 Máximos: no tiene.

 Mínimos: no tiene.

 Acotación: no está acotada inferior ni superiormente.

 Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

o Crecimiento: (2,).

o Decrecimiento: (,2).

 Máximos: no tiene.

 Mínimo: (2,0).

 Acotación: está acotada inferiormente por 0. No está acotada superiormente.

a) f(x)x63x2 _b) 5 2

3 )

(x x x

g  

c) h(x)3x22x d) j(x) 3x3 2x

SOLUCIÓN:

a) f(x)x63x2

) ( 3 )

( 3 ) ( )

( _{x x} 6 _x2 _x6 _x2 _{f x}

f         _{. Por tanto, se trata de una función simétrica}

respecto del eje OY. Es una función par.

b) 5 2

3 )

(x x x

g  

            

) (

) ( 3

) ( 3 ) ( )

( 5 2 5 2

x g

x g x x x x

x g

luego no es una función par ni impar. No tiene simetrías respecto del eje OY ni respecto del origen de coordenadas.

c) h(x)3x22x

           

) (

) ( 2 3 ) ( 2 ) ( 3 )

( 2 2

x h

x h x x x x

x h

, luego no es una función par ni impar. No tiene simetrías respecto del eje OY, ni respecto del origen de coordenadas.

d) j(x)3x3 2x

) ( 2 3 ) ( 2 ) ( 3 )

( x x3 x x3 x j x

j         _{se trata de una función impar, simétrica respecto}

del origen de coordenadas.

15. Construye la gráfica de dos funciones periódicas, la primera de periodo 3 y la segunda de periodo 5.

SOLUCIÓN: De periodo 3:

FUNCIONES POLINÓMICAS

20. Determina la expresión analítica de una función lineal f que verifica: f(1)=3, f(–1)=6, cuyo dominio de definición es [–1,3]. Representa gráficamente dicha función.

SOLUCIÓN:

Sea la función lineal f(x)axb

Como f(1)=3, 3ab, y como f(-1)=6, 6ab

Resolvamos el sistema de ecuaciones:

  

  

 

6 3

b a

b a

2 / 9 9

2   

 b b . Deducimos el valor de a: a3ba39/23/2

Por tanto la función lineal que verifica las dos condiciones iniciales es:

2 / 9 2 / 3 )

(x  x f

Como su dominio está limitado al intervalo

 

/ 9 2 / 3 )

(x  x

f si x





La gráfica de la función es:

21. Determina la expresión analítica de una función afín que verifica: f(3)=7 y cuya pendiente es –2, definida en [0,5).

SOLUCIÓN:

Sea la función lineal f(x)axb.

Como la pendiente es -2, entonces a=-2.

Por otro lado como f(3)=7, tenemos que 6b7b13.

Por tanto la función pedida es:

13 2 )

(x  x

22. Representa las siguientes funciones cuadráticas y determina su recorrido:

a) 3

8 2 )

(

2 1

   x x x

f

b) f₂(x)x25x4 _c) f₃(x)x24x6

d) f4(x)x25x4 e) ( ) 3 9 16

2 5 x  x  x

f _f) f6(x)4x22

SOLUCIÓN: a)

3 8 3 2 3 1 3

8 2 )

( 2

2

1   

 

x x x x

x f

 Como a=1/3>0, es una parábola abierta hacia arriba.

 Vértice: 1

3 / 2

3 / 2 ) 3 / 1 ( 2

) 3 / 2

( _{ }

 

v

x , 3

3 8 2 1 ) 1 ( )

( 1 

     f x f

yv v , luego el vértice es

(1,-3).

 Cortes con el eje X: resolvemos la ecuación de segundo grado:

0 3 8 3 2 3

1 2_{  }

x x

y obtenemos como soluciones: x=4, x=-2, por lo que la parábola corta al eje X en los puntos (4,0), (-2,0).

 Cortes con el eje Y: si x=0 entonces y=-8/3. Representamos la función:

b) ( ) 2 5 4

2 x x  x

f

 a=1>0. Por tanto, es una parábola abierta hacia arriba.

 Vértice: 2 5

  v x

, y_v  f₂(x_v) f₂(5/2)9/4_{, luego el vértice es (-5/2,-9/4).}

 Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación _x2_5_x4_0

obtenemos como soluciones

x=-4, x=-1, luego los puntos de corte son (-4,0), (-1,0).

 Cortes con el eje Y: si x=0 entonces y=4, luego pasa por (0,4). Representando la función:

c) ( ) 2 4 6

3 x x  x

f

 a=1>0, luego la parábola es abierta hacia arriba.

 Cortes con el eje X: si intentamos resolver la ecuación x24x60, observamos que

no tiene soluciones reales; por tanto, la parábola no corta al eje X.

 Cortes con el eje Y: (0,6). Representamos la función:

d) f4(x)x25x4

 a=-1<0, luego la parábola es abierta hacia abajo.

 Vértice: xv 5/2 f4(5/2)41/4 .

 Cortes con el eje X: resolvemos la ecuación x25x40_{; sus soluciones son}

2 41 5

1   x

, 2

41 5

2   x

. Así pues, la parábola corta aproximadamente por los puntos (-0,7, 0), (5,7 ,0).

 Cortes con el eje Y: (0,4). La representación gráfica es:

e) f5(x)3x29x16

 a=3>0, luego la parábola es abierta hacia arriba.

 Vértice: xv 3/2, yvf5(3/2)37/4

 Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación 3_x2_9_x16_0 obtenemos que no

existen soluciones reales, por lo que no corta al eje X.

 Cortes con el eje Y: (0,16).

f) f6(x)4x22

 a=4>0 por lo que la parábola es abierta hacia arriba.

 Vértice: xv0, yv 2 luego el vértice es (0,2)

 Cortes con el eje X: resolviendo la ecuación 4x220 _{no obtenemos ninguna}

solución real, por lo que no corta al eje X.

 Cortes con el eje Y: (0,2) (el vértice).

La representación gráfica es:

23. Representa las funciones:

a) f₁(x)x22x3,x[1,1) _b) f₂(x)x29,x(1,2)(3,6)

c) f3(x)x25x4,x

 

) 0 , 2 ( , 2 4

1 )

( 2

4 x  x x x 

f

SOLUCIÓN:

a) f1(x)x22x3,x[1,1)

Representamos en primer lugar la función cuadrática en todo el dominio:

 a=-1<0 por tanto es una parábola abierta hacia abajo

 Vértice: x_v2/21, f₁(x_v)2, luego el vértice es (-1,-2).

 Puntos de corte con el eje X: como la ecuación x22x30 no tiene soluciones

reales, no existen puntos de corte con el eje X.

 Puntos de corte con el eje Y: (0,-3).

Teniendo en cuenta que la función está definida en el intervalo [1,1) _{y que los}

valores en los extremos son f₁(1)2_, f₁(1)6_{, limitamos la curva a dicho}

intervalo. Puesto que el punto (-1,-2) está en la gráfica pero (1,-6) no, obtenemos:

b) f₂(x)x29,x(1,2)(3,6)

Representamos en primer lugar la función cuadrática en todo el dominio:

 a=1>0; se trata de una parábola abierta hacia arriba.

 Vértice: x_v0 , yv 9, luego el vértice es (0,-9).

 Puntos de corte con el eje X: resolviendo la ecuación x290, obtenemos como

soluciones x=3, x=-3. Por tanto corta al eje X en los puntos (3,0), (-3,0).

 Puntos de corte con el eje Y: (0,-9), el propio vértice. La representación gráfica de la parábola es:

Teniendo en cuenta que el dominio de definición de la función es (1,2)(3,6)_{, y}

considerando el valor de la expresión cuadrática en los extremos de los intervalos: si x=-1, y=-8; si x=2, y=-5; si x=3, y=0; y si x=6, y=27.

c) f3(x)x25x4,x

 

Representamos en primer lugar la función cuadrática en todo el dominio:

 a=1>0, luego es una parábola abierta hacia arriba,

 Vértice: x_v5/2, yv9/4.

 Puntos de corte con el eje X: las soluciones de la ecuación x25x40 son x=4, x=1; por tanto la parábola corta al eje X en los puntos (4,0) y (1,0).

 Puntos de corte con el eje Y: (0,4).

La representación gráfica de la parábola es:

Teniendo en cuenta que la función está definida en el intervalo [0,4], y como el valor de la expresión cuadrática que la define en x=0 es y=4 y en x=4 es y=0, entonces la representación gráfica de la función es el trozo de parábola comprendida entre los puntos (0,4) y (4,0) inclusive, es decir:

d) 2, ( 2,0)

4 1 )

( 2

4 x  x x x 

f

Representamos en primer lugar la función cuadrática en todo el dominio:

 a=¼ > 0 luego es una parábola abierta hacia arriba.

 Vértice: xv1/(2/4)2, yv f4(2)3, luego el vértice es (-2,-3).

 Puntos de corte con el eje X: si resolvemos la ecuación 2 0 4

1_x2_{x } obtenemos como

soluciones x2 32, x2 32, aproximadamente x=-5,46 y x=1,46. Luego la

parábola completa corta al eje X en los puntos (2 32,0) y (2 32,0).

La representación gráfica de la parábola es:

Teniendo en cuenta que la función está definida en el intervalo (-2,0), y como el valor de la expresión cuadrática en x=-2 es y=-3 y en x=0 es y=-2, entonces la gráfica de la función

) (

4 x

f es el trozo de parábola comprendida entre los puntos (-2,-3) y (0,-2) sin incluir dichos

puntos, es decir:

FUNCIONES RACIONALES

24. Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones:

a) 30

2 3 )

( ₂

1 _{ }

  x x x x f

b) x x x

x x x f 36 3 3 7 3 4 )

( _{3 2}

2 2     

c) 6 30

5 2 ) ( 2 3 3      x x x x x f

d) 17 15

1 2 )

( _{3 2}

4 _{  }

  x x x x x f

e) 10 17 8

2 )

(

2 3

5 _{  }

  x x x x x f SOLUCIÓN: a) 30 2 3 ) ( ₂

1 _{ }

  x x x x f } 0 30 / { ) ( 2

1  x x x 

f

Dom R

Las soluciones de la ecuación x2x300 son x=-6, x=5, entonces

}. 5 , 6 { } 5 , 6 / { )

(f₁  xR x x R  Dom b) x x x x x x f 36 3 3 7 3 4 )

( _{3 2}

2

2 _{ }

   } 0 36 3 3 / { )

(f₂  x x3 x2 x

Para revolver la ecuación 3x33x236x0, sacamos factor común 3x en el primer miembro y obtenemos: 0 ) 12 (

3xx2x 

Luego una solución es x=0, y las otras dos se obtienen de resolver x2x120, que arroja

x=-4 y x=3. Por tanto: } 3 , 0 , 4 { } 3 , 4 , 0 / { )

(f2  xR x x x R 

Dom c) 30 6 5 2 )

( _{3 2}

3 _{  }

  x x x x x f } 0 30 6 / { )

(f3  x x3 x2x 

Dom R

Resolviendo la ecuación _x3_6_x2_x30_0 obtenemos como soluciones x=3, x=-2, x=5, por

lo que:





} 5 , 2 , 3 / { )

(f3 x x x x ,

Dom  R    R 

d) Factorizando el denominador de la función tenemos:

) 1 )( 5 )( 3 ( 1 2 15 17 1 2 )

( _{3 2}

4 _{  }

       x x x x x x x x x f

por tanto Dom(f₄)R{3,5,1}

e) Factorizando el denominador:

) 8 ( ) 1 ( 2 8 17 10 2 ) ( 2 2 3 5          x x x x x x x x

f , luego Dom(f5)R{1,8}

25. Representa gráficamente las siguientes funciones: a) f x x

3 ) (

1 

b) f x x

4 ) (

2 

c) f x x

5 ) (

3 

d) f x x

6 ) (

4 

e) f x x

3 ) (

5 

f) f x x

4 ) (

6 

g) f x x

5 ) (

7 

h) f x x

6 ) (

8 

i) f x 2x

1 ) ( 9  j) x x f 2 1 ) (

10 

SOLUCIÓN: a)

x x

f₁( ) 3 b)

x x

f₂( )4 c)

x x

f₃( )5 d)

x x f₄( ) 6

Representaremos las gráficas de estas funciones en los mismos ejes de coordenadas, de modo que f1(x) es la curva dibujada en rojo, f2(x) la dibujada en verde, f3(x) la dibujada en azul y

) (

4 x

e)

x x

f₅( )3 f)

x x

f₆( )4 g)

x x

f7( )5 h)

x x f8( )6

Las gráficas de estas funciones las representamos en los mismos ejes de coordenadas, con

) (

5 x

f la curva dibujada en rojo, f6(x) la dibujada en verde, f7(x) la dibujada en amarillo y

) (

8 x

i)

x x f

2 1 ) (

9  :

j)

x x f

2 1 ) (

10  :

FUNCIONES IRRACIONALES

27. Determina el dominio de definición de las siguientes funciones: a) f1(x) 3x2x b)

5 2(x) x2

f

c) f3(x)4 x2x30 d) 6 4

3 2 ) (

 

x x x f

SOLUCIÓN:

a) f x  x2x

1( ) 3 ( ) { /3 0} ( , 1/3] [0, ).

2

1  x x x     f

Dom R

b) 5

2(x) x2

Como se trata de una función irracional con índice impar, Dom(f₂)R.

c) 4 2

3(x) x x30 f

R R _{   }



{ / 30 0}

)

( 2

3 x x x

f Dom

d) 6

4

3 2 ) (

 

x x x f

) , 0 [ ) 3 , ( } 0 3 2 / { )

( 4   _     

x x x

f

Do m R .

28.Dada la función f(x)1 0x, determina su dominio y recorrido, construye una tabla de valores y realiza una representación aproximada de la función. Representa en el mismo sistema de ejes la función g(x) x.

SOLUCIÓN:

) , 0 [ } 0 / { )

(f  x x  

Dom R

) , 0 [ )

(f   Rec

x y 0 0,00 1 1,00 2 1,07 3 1,12 4 1,15 5 1,17 6 1,20 7 1,21 8 1,23 9 1,25 10 1,26

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

31. Representa las siguientes funciones y determina en cada una de ellas su dominio y recorrido: a)               4 2 2 2 1 1 3 1 1 2 ) ( 1 x x x x x x f b)       2 2 / 1 ) ( ₂ 2 x x x x x f c)          4 2 2 2 0 3 ) ( 3 x x x x

f d)

            3 2 1 2 2 1 ) ( 2 4 x x x x x f e)               3 2 2 0 0 5 2 ) ( 2 5 x x x x x x

f f)

         1 1 1 / 1 ) ( 6 x x x x f SOLUCIÓN: a)               4 2 2 2 1 1 3 1 1 2 ) ( 1 x x x x x x f





) (f₁  

Dom , Rec(f1)





b)         2 2 / 1 ) ( ₂ 2 x x x x x f R  ) (f₂

c)

  

 

   

4 2 2

2 0 3 ) ( 3

x x x x f

 

Dom , Rec(f₃)1,3



d)

  

  

    

3 2

1

2 2

1 )

(

2

4

x x

x x

x f



 



)

(f4   

Dom , Rec(f4)

 

e) _

  

 

  

   

3 2

2 0

0 5 2 ) (

2 5

x x

x x

x x

f





) (f₅  

f)

  

  

  

1 1

1 /

1 ) (

6

x x x x f

R 

) (f6

Dom , Rec(f6)





INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN LINEAL.

35. El número de alumnos matriculados en las universidades de España en el curso 2004/2005 fue 1523130; en el curso 2006/2007, 1 483 181. Estima cuántos alumnos se matricularon en el curso 2005/2006 y el número de alumnos que se espera se matriculen en el curso 2008/2009.

SOLUCIÓN:

Los datos que ofrece el problema podemos recogerlos en la siguiente tabla: Curso académico Número de alumnos matriculados 2004/20051 1.523.130

2005/20062 ?

2006/20073 1.483.181

2008/20095 ?

Consideremos los cursos con el valor variable asignado en el cuadro. Hallamos la función de interpolación lineal que pasa por los puntos (1; 1 523 130) y (3; 1 483 181):

) 1 ( 2 39949 1523130

) 1 ( 1

3

1523130 1483181

1523130     

  

 x y x

y

Luego la función de interpolación lineal es:

) 1 ( 2 39949 1523130

)

(x   x

f

Por INTERPOLACIÓN podemos obtener el valor estimado del número de alumnos que se han matriculado el curso 2005/2006, teniendo en cuenta que el valor que representa dicho curso es el valor de x=2:

1.503.156 2

39949 1523130

) 2

(   

f alumnos.

Por EXTRAPOLACIÓN, teniendo en cuenta que el curso 2008/2009 se representa con el valor de

x=5, tendríamos:

1.443.232 4

2 39949 1523130

) 5

(   

f alumnos.

36. Hemos realizado un experimento con un muelle elástico y hemos anotado en una tabla los centímetros que se ha estirado el muelle según diferentes pesos:

Peso (kg) 10 20 30 Elongación (cm) 9,5 17 25,5

a) Calcula el polinomio interpolador.

b) Estima cuál sería la elongación para 15 kg y 35 kg.

SOLUCIÓN:

a) Consideramos una función definida en dos trozos. La primera de ellas es la función lineal que pasa por los puntos (10; 9,5) y (20;17):

4 8 3 ) 10 ( 75 , 0 5 , 9 ) 10 ( 10 5 , 7 5 , 9 ) 10 ( 10 20 5 , 9 17 5 ,

9           

  

 x y x x y x

y

La segunda función lineal pasa por los puntos (20; 17) y (30; 25,5), luego la función será:

20 17 ) 20 ( 85 , 0 17 ) 20 ( 10 5 , 8 17 ) 20 ( 20 30 17 5 , 25

17 x y x x y x

y          

   

luego la función de interpolación es:

        20 20 ) ( 2 0 1 7 4 8 3 x x x f _x x

b) Por INTERPOLACIÓN, la elongación para 15 kg será 1 3,2 5 4

5 3 ) 1 5

(  

f cm; por

EXTRAPOLACIÓN la elongación para 35 kg será 2 9,7 5 4

1 1 9 ) 3 5

(  

f cm.

VALOR ABSOLUTO

38. Representar y definir como funciones definidas a trozos:

a) f₁(x)|x28x7| b) f₂(x)|x2x12| c)

x x

f₃( ) 4 d)

3 5 ) ( 4   x x f SOLUCIÓN:

a) f₁(x)|x28x7|

               0 7 8 7 8 0 7 8 7 8 ) ( 2 2 2 2 1 x x si x x x x si x x x f

Como la solución de la inecuación _x2_8_x7_0 es 



) , 7 [ 1 ,   

 , la función definida a trozos es: 



b) f₂(x)|x2x12|                  0 12 12 0 12 12 ) ( 2 2 2 2 2 x x si x x x x si x x x f

Como la solución de la inecuación _x2_x120 es









La representación gráfica es:

c)

x x f₃( ) 4

       0 / 4 / 4 0 / 4 / 4 ) ( 3 x si x x si x x f

Como la solución de la inecuación 4/x0 es [0,), la función definida a trozos es:

         ) 0 , ( / 4 ) , 0 [ / 4 ) ( 3 x si x x si x x f

d)

3 5 ) (

4



 x

x f

  

   



  



0 3 / ) 5 ( 3

/ ) 5 (

0 3 / ) 5 ( 3

/ ) 5 ( ) (

1

x si x

x si x

x f

Como la solución de la inecuación (x5)/30 es [5,), la función definida a trozos es:

  

   



   



) 5 , ( 3

/ ) 5 (

) , 5 [ 3

/ ) 5 ( ) (

1

x si x

x si x

x f