APLICACIONES DE LA INTEGRAL GUIA 5
La funcion costo total de producir q unidades es C(q) ,tambien CT(q)
derivando esta funcion se obtiene el costo marginal o costo aproximado por articulo extra que se produzca es decir
dq dC
Cuando se conoce la función de costo marginal y se desea hallar el costo total de producir q unidades se debe integrar la funcion costo marginal es decir :
El costo total es la integral del costo marginal dq dq dC q
T( )=
∫
C
1-EJEMPLO
La función de costo marginal está dada por
( )
C =0.003q2 −0.4q+40dq d
T
donde el número de unidades producidas es q. Si el costo fijo por semana son de $5000, ¿cuál es el costo total de producir 100 unidades por semana?
Solución: Se conoce el costo marginal o derivada de la funcion costo total y se debe determinar el costo total, por lo tanto debemos hacer el proceso inverso a derivar, es decir integrar
( )
∫
=∫
− += C dq q q dq
dq d
CT T (0.003 2 0.4 40)
aplicando las propiedades y reglas de la integral indefinida se obtiene
c q q
q q
CT( ) =0.001 3 −0.2 2 +40 +
Podemos calcular el valor de la constante c por medio de la condición inicial. Suponemos que al inicio no se han producido ninguna unidad (es decir, q=0), pero los costos fijos son constantes independientes de la producción, esto es
0
cuando
5000
fijos
costos
=
=
=
q
C
TEstá es la condición inicial, sustituyendo estos valores en la ecuación (resulta
c
C
T=
5000
=
0.001(0)
3−
0
.
2
(
0
)
2+
40
(
0
)
+
5000 40 2 . 0 001 . 0 )
(q = q3 − q2 + q+
CT
De lo anterior tenemos que si q=100, entonces
C
T=
8000
. Así el costo totalde producir 100 unidades por semana es de $8000.
2-EJEMPLO
El costo marginal en función de las q unidades producidas está dado por
q dq dCT 4 . 0 3000− =
Si el costo total de fabricar cinco unidades es $ 25000, Hallar: a)Costo total en función de las q unidades producidas
b) Costo fijo c) Costo promedio
Como el costo marginal esta dado por la ecuación q dq dCT 4 . 0 3000− =
a-el costo total se obtiene al integrar la función anterior, es decir
C q q C dq q dq C dq q C dq q dq C dq d T T T T + − = − = − = − =
∫
∫
∫
∫
∫
2 2 , 0 3000 4 , 0 3000 ) 4 , 0 3000 ( ) 4 , 0 3000 ( ) (Como el costo total de producir cinco unidades es $25000, entonces
10005 ) 5 ( 2 , 0 ) 5 ( 3000 25000 2 , 0 3000 2 2 = + − = + − = C C C q q C T
Por lo tanto la función de costo total en función de q unidades es
10005
2
,
0
3000
C
T=
q
−
q
2+
a) El costo fijo se obtiene cuando q es igual a 0.es decir CF =10005 b) el costo promedio se obtiene de la ecuación
q
T = C
C
dividiendo el costo total entre la cantidad q así
es decir
q
q
q
C
T10005
2
,
0
3000
2
+
−
=
1
10005
2
,
0
3000
C
T=
−
q
+
q
−3-EJEMPLO
La función utilidad total se obtiene al integrar la utilidad marginal es decir .
∫
= dq
dq dU U
La utilidad marginal en función de las q unidades producidas y vendidas está dado por =−2q+140
dq dU
Hallar:
a)La función utilidad
b)Si la utilidad cuando se producen y se venden 80 unidades es $ 4400 ¿Cuál es la función utilidad en este caso?
a)La función utilidad total se obtiene al integrar
(
)
∫
∫
∫
∫
+
+
−
=
+
−
=
+
−
=
c
q
q
dq
qdq
U
dq
q
dq
U
dq
d
140
140
2
140
2
)
(
2
Por lo tanto la utilidad es :
U
=
−
q
2+
140
q
+
c
b.) Para hallar la constante en la función anterior reemplazamos en la ecuación U por $4400 y q por 80.
c
+
+
−
=
(
80
)
140
(
80
)
4400
2 se despeja c4-EJEMPLO
La funcion ingreso total r(q) es la integral del ingreso marginal ( o ingreso aproximado por la venta de una unidad adicional de producción es decir
dq dq dr q
El ingreso también es el producto del precio por la cantidad
r
=
pq
Si el ingreso marginal está dado por 500
4 + − = q dq
dr
en donde q son las unidades vendidas, hallar: a-Ingreso en función de las q unidades vendidas b-Ingreso promedio (Demanda)
c-Ingreso cuando se venden 35 unidades
d-Valores de q para los cuales el ingreso es nulo
La función ingreso total se obtiene al integrar el ingreso marginal
(
)
c
q
q
r
dq
q
r
q
dq
dr
+
+
−
=
+
−
=
+
−
=
∫
500
2
500
4
500
4
2
Entonces el ingreso es
r
=
−
2
q
2+
500
q
+
c
Cuando se venden cero unidades es decir no hay ventas el ingreso es nulo, por lo tanto si r=0 y q=0 entonces el valor de la constante es c= 0. luego reemplazando c se obtiene
a.) La ecuación es
r
=
-
2q
2+
500
q
.b.)La ecuación de la demanda es
q r =
P donde se remplaza r por lo
hallado en el punto anterior.
q q 500 +
y simplificando q
P 2
2 − =
500 2 + − = q P
c.) Se reemplaza q por 35. y se obtiene el ingreso
) 35 (
500 =13050
2(35)
-r= 2 +
EJEMPLO
INTEGRAL DEFINIDA
La función de ingreso marginal de un fabricante es
q dq dr 100 1000 =
Si r está en dólares encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la producción aumenta de 400 a 900 unidades.
Solución: La función de ingreso es r(q) y queremos calcular la diferencia r(900)-r(400). Como r(q) es una Antiderivada de
dq dr q
r'( )= , por el teorema fundamental tenemos que
)
(
)
(
)
(
'
ba
r
q
dq
=
r
b
−
r
a
∫
por lo tanto,
[
]
2000 cálculo del l fundamenta ma teore 400 900 200 200 integrales para potencia la de regla la aplicando 1 2 / 1 100 ndo simplifica 100 100 1000 ) 400 ( ) 900 ( 900 400 2 / 1 900 400 1 2 / 1 900 400 900 400 900 400 = − = = + − = = = = − + −∫
∫
∫
q q dq q dq q dq dq dr r rEJEMPLO
ÁREAS ENTRE CURVAS
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR Y EXCENTE DEL FABRICANTE
( EC) Y (EF) Y
Objetivos Específicos
Determinar el área entre dos o más curvas y su aplicación en el cálculo del excedente del consumidor y del productor.
Sea P=f(q) la funcion de demanda para un producto, la funcion indica el precio P por unidad al que un fabricante vende o suministra q unidades
Sea P=g,esta (q) la funcion de demanda para un producto esta funcion indica el precio P por unidad al que los consumidores compran o demandan q unidades
PUNTO DE EQUILIBRIO
Es el punto en el que las curvas de oferta y demandas se intersecan , siendo es el precio por unidad al que los consumidores compraran la misma cantidad de un producto que los fabricantes desean vender a ese precio es decir es el precio en el que se presenta estabilidad en la relación productor –consumidor
)
,
(
q
op
oo
p
o
q
o
p
EXCEDENTE DEL CONSUMIDOR:
Es la ganancia total de los consumidores que estaban dispuestos a pagar mas que punto de equilibrio , el EC es la integral entre o hasta cantidad de equilibrio
o
p
q
oEC= o f q p dq
q
o]
) ( [
0
∫
− es decir qo[demanda preciode equilibrio]dq 0∫
−
EXCENTE DEL FABRICANTE
Es la ganancia total de los fabricantes que estaban dispuestos a vender un producto a precios menores que el precio de equilibrio , el EF es la integral entre o hasta cantidad de equilibrio
o
p
o
q
es el área comprendida por debajo del precio de equilibrio y por encima de la funcion de oferta
EF=
p
g
q
dq
o
q
o
(
)]
[
0
−
∫
es decir qo[preciodeequilibrio oferta]dq 0∫
−EJEMPLO
La funcion de demanda para un producto es : p = f(q) =100−0.05q q
q g
p ( )=10+0.1
La funcion de oferta para el producto es : =
SOLUCION
Primero se halla el punto de equilibrio igualando las ecuaciones de oferta y demanda y resolviendo el sistema
Demanda=oferta
q
05 . 0
100− =10+0.1q
0.15q=90 q=600
cuando q vale 600 p=10+0.1(600)=70 entonces el punto de equilibrio es =70 , =600 entonces
o
p
q
oEC= qo[f(q) po]dq=
0
∫
−∫
600 − −0 100 0.05q 70)dq
= 600
0 2
) 2 05 . 0 30
( q− q =9000
EF=
p
g
q
dq
=o
q
o
(
)]
[
0
−
∫
∫
600 − +0 70 (10 0.1q)dq
= 600
0 2
) 2 1 . 0 60
( q− q =18.000
EJEMPLO
LA CURVA DE LORENTZ
Se utiliza para estudiar las distribuciones de ingresos
Si x es el porcentaje acumulativo de receptores de ingresos ,ordenados de los mas pobres a los mas ricos , y el porcentaje acumulativo de ingresos , entonces la igualdad de la distribución de ingresos esta dada por la recta y=x, donde x y y se representan como decimales
la recta y=x se deforma en la curva de Lorentz
El grado de desviación de la igualdad de ingresos se mide por el coeficiente de desigualdad para una curva de Lorentz
El coeficiente de desigualdad =
diagonal la
bajo área
diagonal la
y curva la entre area
Es decir área roja dividida en área total o amarilla,
Halle el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz definida por: x
x y
21 1 21
20 2 +
CD=
diagonal la
bajo área
diagonal la
y curva la entre area
=
∫
∫
− +1 0 1
0
2
) 21
1 21
20 (
xdx
dx x x
x
ACTIVIDAD
Resolver los siguientes problemas de aplicación de las integrales indefinidas:
1-El ingreso y costo marginal, en miles de pesos, están dados respectivamente por dr = -2q+150 y =50
dq dC
Si el costo fijo es de $ 1600 miles de pesos, hallar: a-Función ingreso en términos de la cantidad vendida b-Función costo total en términos de la cantidad producida
2-La función de costo marginal de un fabricante es 8 2 . 0 +
= q
dq dC
Si C está en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 65 a 75 unidades. Rta. $220
3-La función de costo marginal de un fabricante es 40 6 . 0 003 .
0 2− +
= q q
dq dC
4-Si C está en dólares, determine el costo de incrementar la producción desde 100 a 200 unidades. Rta. $2000
5-La función de ingreso marginal de un fabricante es 2 3 90 250 q q dq
dI
− + =
Si r está en dólares encuentre el cambio en el ingreso total del fabricante si la producción aumenta de 10 a 20 unidades. Rta. $9000
6-Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un fabricante está dada por donde p es el precio por unidad cuando se demandan q unidades. Suponga que el equilibrio de mercado ocurre cuando . Determine el excedente de los consumidores bajo el equilibrio de mercado. ) 1 1 . 0 (
)
10
(
10
)
(
=
+
− +=
qe
q
q
f
p
20 = q7-La ecuación de demanda para el producto de un fabricante está dada por
6 7 ) 3 ( 200 ) ( 2 + + + = = q q q q f
p donde p es el precio por unidad cuando se demandan q
unidades. Suponga que el equilibrio de mercado ocurre cuando q=20 y 22
325 =
p . Determine el excedente de los consumidores bajo el equilibrio de mercado.
8-Halle el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz definida por: x x y 12 1 12
11 2 +
=
9--Halle el coeficiente de desigualdad de la curva de Lorentz definida por: x x y 6 1 6 5 2 +
=
10-Determine el excedente del consumidor y del fabricante, bajo equilibrio en el mercado si la oferta y la demanda son.
a. b. c.