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Técnicas de control basadas en pasividad aplicadas a un motor de inducción

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Academic year: 2020

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T M Z 5 8 5 3

(3)
(4)

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

T E C N I C A S DE C O N T R O L

BASADAS EN PASIVIDAD APLICADAS A UN M O T O R DE

I N D U C C I O N

TESIS

Q U E P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E

M A E S T R O E N C Í E N C I A S E N I N G E N I E R I A E L E C T R I C A

C O N E S P E C I A L I D A D E N C O N T & §

PRESENTA:

MARIA DEL CARMEN PACHECO ARTËÀGÀ

(5)

T M

F i K e

? 3

FONDO TESIS

(6)

TECNICAS DE CONTROL

BASADAS EN PASIVIDAD APLICADAS A UN MOTOR

DE INDUCCION

Los m i e m b r o s del C o m i t é a p r u e b a n la Tesis d e M a e s t r í a d e M a r í a del C a r m e n Pacheco A r t e a g a

D r . J e s ú s d e L e ó n M o r a l e s

Asesor

D r . J o a q u í n Collado M o c t e z u m a &MU

(7)

Dedicado con mucho cariño a

Emilio,

quien siempre me acompaño y apoyo a

(8)

AGRADECIMIENTOS

Al C o n s e j o Nacional de Ciencia y Tecnología.

A la Universidad A u t ó n o m a de Nuevo León.

A la F a c u l t a d d e Ingeniería Mecánica y Eléctrica.

Al Dr. Jesús de León Morales por su asesoría y dedicación.

Al Dr. Joaquín Collado Moctezuma y al Dr. José Antonio de la O Sema p o r sus

comentarios.

Al Dr. Edgar Nelson Sánchez Camperos por su interés y sus c o m e n t a r i o s .

(9)

RESUMEN

El principal objetivo d e este trabajo es aplicar algunas técnicas d e control no-lineal p a r a controlar un motor de inducción.' Resolviendo a d e m á s , t a m b i é n m e d i a n t e h e r r a m i e n t a s d e control no-lineal, los p r o b l e m a s que se p r e s e n t a n al aplicar u n algoritmo q u e r e q u i e r e del conocimiento d e todos los p a r á m e t r o s y la medición c o m p l e t a del estado.

Algunas d e las técnicas consideradas aquí, p r o c u r a n a p r o v e c h a r las p r o p i e d a d e s del m o d e l o m a t e m á t i c o q u e r e p r e s e n t a las dinámicas d e un m o t o r d e inducción, p r i n c i p a l m e n t e las p r o p i e d a d e s de entrada-salida y de disipación d e energía, otras metodologías estudiadas, c o m o el algoritmo d e Slotine-Li, sirven p a r a h a c e r u n a c o m p a r a c i ó n en el d e s e m p e ñ o de los controladores propuestos.

(10)

INDICE

C A P I T U L O 1 INTRODUCCION 1

1.1 R e s u l t a d o s R e c i e n t e s 2

1.2 O b s e r v a b i l i d a d y C o n t r o l a b i l i d a d p a r a s i s t e m a s n o - l i n e a l e s 3

1.3 R o b o t s 5

1.4 P r e s e n t a c i ó n del c o n t e n i d o de la tesis 6

CAPITULO 2 MODELO DEL MOTOR 8

2.1 M e c á n i c a Clasica 8

2.2 M o d e l o del M o t o r 9

2.3 M o d e l o E u l e r - L a g r a n g e 11

2.3.1 R e p r e s e n t a c i ó n en un M o d e l o dq 14

2.3.2 M o d e l o No-lineal Afín en el C o n t r o l 16

CAPITULO 3 ALGORITMO DE CONTROL 19

3.1 Definición de c o n t r o l a b i l i d a d 19

3.2 E s q u e m a s de C o n t r o l B a s a d o s en P a s i v i d a d 21

3.2.1 P r o p i e d a d de P a s i v i d a d del M o d e l o del M o t o r d e I n d u c c i ó n 23

3.2.2 C o n t r o l del P a r G e n e r a d o 25

3.2.3 E s t a b i l i z a c i ó n de S i s t e m a s en C a s c a d a 29

3.3 A l g o r i t m o de Slotine-Li 37

3.4 S i m u l a c i o n e s 40

3.4.1 S e g u i m i e n t o en el P a r G e n e r a d o 40

3.4.2 E s t a b i l i z a c i ó n del S i s t e m a en C a s c a d a 42

(11)

3.5 C o n c l u s i o n e s 44

C A P I T U L O 4 O H Ó E P Y A I X 45

4.1 Definición de O b s e r v n b i l i d a d 46

4.2 O b s e r v a d o r e s 47

4.2.1 O b s e r v a d o r No-lineal p a r a u n a clase de S i s t e m a s N o - L i n e a l e s 47

4.2.2 O b s e r v a d o r N o - L i n e a l en C a s c a d a 52

4.2.3 O b s e r v a d o r de Velocidades 5^ 4.3 S i m u l a c i o n e s 59

4.3.1 C o n t r o l del P a r con O b s e r v a d o r p a r a u n a c l a s e de s i s t e m a s 59

4.3.2 C o n t r o l del P a r con O b s e r v a d o r en C a s c a d a 61

4.4 C o n c l u s i o n e s 6.?

C A P I T U L O 5 RÓ " : M A C I O \ DI" P A A M P O S 64

5.1 C o n t r o l de la Velocidad 65

5.2 Ley de C o n t r o l con E s q u e m a A d a p t a b l e 70

5.3 R e s u l t a d o s y S i m u l a c i o n e s 74

5.3.1 C o n t r o l de la Velocidad 74

5.3.2 C o n t r o l de la Velocidad con E s q u e m a A d a p t a b l e 75

5.4 C o n c l u s i o n e s 77

CONCI.l'óIONTó 78

C o m e n t a r i o s 78

P e r s p e c t i v a s 79

(12)

INDICE DE HOJEAS

C A P I T U L O 3

Fig. 3.1 S i s t e m a en c a s c a d a 30

Fig, 3.2 I n t e r c o n e x i ó n de o p e r a d o r e s p a s i v o s 30

Fig. 3.3 S e g u i m i e n t o en el p a r eléctrico 41

Fig. 3.4 Velocidad a n g u l a r del r o t o r 41

Fig. 3.5 C o r r i e n t e s en el e s t a t o r 41

Fig. 3.6 C o r r i e n t e s en el r o t o r 41

Fig. 3.7 C o r r i e n t e s del m o t o r is d, i , i , ir d 42

Fig. 3.8 Velocidad a n g u l a r del r o t o r 42

Fig. 3.9 E s t a b i l i z a c i ó n dei p a r eléctrico en u n v a l o r d e s e a d o 43

Fig. 3.10 S e g u i m i e n t o en el p a r eléctrico 43

Fig. 3.11 Velocidad a n g u l a r del r o t o r 43

Fig. 3.12 S e g u i m i e n t o en las c o r r i e n t e s 43

CAPITULO 4

Fig. 4.1 P a r eléctrico 60

Fig. 4.2 P a r m e c á n i c o y su o b s e r v a c i ó n 60

Fig. 4.3 C o r r i e n t e en el eje d i r e c t o del r o t o r 60

Fig. 4.4 C o r r i e n t e en el eje c u a d r a t u r a del r o t o r 60

Fig. 4.5 C o r r i e n t e s en el e s t a t o r 61

Fig. 4.6 Velocidad a n g u l a r y su o b s e r v a c i ó n 61

Fig. 4.7 P a r eléctrico 61

Fig. 4.8 P a r m e c á n i c o y su e s t i m a d o 61

Fig. 4.9 C o r r i e n t e en el eje d i r e c t o del e s t a t o r 62

(13)

Fig. 4.10 Corriente en el eje c u a d r a t u r a del e s t a t o r 62

Fig. 4.11 Corriente en el eje directo del rotor 62

Fig. 4.12 Corriente en el eje c u a d r a t u r a del rotor 62

Fig. 4.13 Velocidad a n g u l a r y su observación 62

CAP ITU.O 5

Fig. 5.1 Seguimiento en la velocidad 74

Fig. 5.2 Resistencia del rotor vv su estimación 75

Fig. 5.3 Seguimiento en la velocidad 75

Fig. 5.4 Observación de la velocidad 75

Fig. 5.5 C o r r i e n t e i«, \ su estimado 16

Fig. 5.6 Corriente iv(] y su e s t i m a d o 76

Fig. 5.7 C o r r i e n t e ird y su e s t i m a d o 76

Fig. 5.8 C o r r i e n t e ir[| y su estimado 76

Fig. 5.9 P a r mécanico y su e s t i m a d o 76

(14)

Nomenclatura

M V a r i e d a d del Espacio-Estado U Espacio d e Funciones de E n t r a d a U C o n j u n t o d e E n t r a d a s Admisibles

Rn Espacio de n ú m e r o s reales de dimensión n

C™ C o n j u n t o de funciones c o n t i n u a m e n t e diferenciables !!„ Matriz identidad de dimensión nxn

0n Matriz d e ceros de dimensión nxn

G L ( n , R) G r u p o Lineal General ( f o r m a d o de todas las matrices reales positivas n o -singulares de dimensión n x n )

Xm j n(A) valor característico mínimo d e A (matriz hermítica)

L i s t a d e v a r i a b l e s

T p a r eléctrico p a r mecánico

1sd c o m p o n e n t e d

*sq c o m p o n e n t e q

lrd c o m p o n e n t e d

*rq c o m p o n e n t e q

V Sd c o m p o n e n t e d

c o m p o n e n t e q

Ls inductancia en

de corriente en el estator de corriente en el estator d e corriente en el rotor de corriente en el rotor del voltaje en el estator del voltaje en el estator

(15)

inductancia en el rotor inductancia mutua resistencia en el estator resistencia en el rotor velocidad angular del rotor frecuencia primaria

(16)

Capítulo 1

INTRODUCCIÓN

Los m o t o r e s d e corriente directa son muy utilizados d e b i d o a que el p a r y el flujo p u e d e n ser fácilmente controlados, m a n i p u l a n d o las corrientes d e c a m p o y d e a r m a d u r a . Sin e m b a r g o , la existencia de c o n m u t a d o r y escobillas r e p r e s e n t a n desventajas ya q u e r e q u i e r e n d e m a n t e n i m i e n t o periódico, así que no p u e d e n ser utilizados en a m b i e n t e s corrosivos, a d e m á s d e tener una capacidad limitada en o p e r a c i o n e s d e alta velocidad y alto voltaje. P a r a sobrellevar estos problemas se han e m p l e a d o los m o t o r e s d e inducción con estructura simple y robusta, de n i a \ o r economía, i n t e n t a n d o o b t e n e r un d e s e m p e ñ o igual o m e j o r q u e el d e los m o t o r e s d e corriente directa. Estas características convierten al m o t o r d e inducción en una área de aplicación de m u c h a importancia en la industria, por lo que su estudio resulta de gran interés.

A d e m á s d e esto, j u n t o con algunos de los p r o b l e m a s más i m p o r t a n t e s q u e p r e s e n t a para su control, tales como:

i) El m o d e l o dinámico del sistema es no-lineal.

ií) Dos d e los estados (corrientes en el rotor) no son medibles por lo general, y iii) Los p a r á m e t r o s del rotor, como es el caso d e la resistencia, varían

considera-b l e m e n t e deconsidera-bido al calentamiento con un e f e c t o c o r r e s p o n d i e n t e significativo sobre las dinámicas del sistema.

(17)

1.1 R E S U L T A D O S R E C I E N T E S

A n t e s d e que la teoría de control no-lineal f u e r a desarrollada, e r a n muy utilizadas en aplicaciones las técnicas de localización y d e d e s a c o p l a m i e n t o d e entrada-salida, las cuales r e q u i e r e n del conocimiento del vector de estado para t r a n s f o r m a r un sistema no-lineal d e múltiples entradas en uno no-lineal y controlable.

Las aplicaciones indican que mientras las no-linealidades no sean e x a c t a m e n t e m o d e l a d a s , los p a r á m e t r o s involucrados no serán conocidos con precisión. Por ello han surgido estudios de versiones adaptables d e linealización d e entrada-salida y p o r retroalimentación d e estado, ya que se requiere la cancelación d e las no-linealidades q u e c o n t i e n e n p a r á m e t r o s desconocidos.

Con el desarrollo de las técnicas no-lineales se han p r o p u e s t o algunas p a r a el control del m o t o r d e inducción, tales como retroalimentación d e e s t a d o no-lineal y cambio d e c o o r d e n a d a s del espacio-estado no-lineal, Marino-Valigi [9] e m p l e a n estas técnicas p a r a construir un control desacoplante y linealizante exacto en el q u e n o se r e q u i e r e conocer el par de carga y la resistencia del rotor.

Diversas metodologías han surgido para el control del m o t o r d e inducción, en las que se intenta llevar la máquina a un funcionamiento óptimo, resolviendo el p r o b l e m a d e r e q u e r i m i e n t o del exacto conocimiento de todos los p a r á m e t r o s .

(18)

E n un trabajo más rccícntc. Ortega-Espinosa [7] o b t i e n e n u n a nueva r e p r e s e n t a c i ó n para el m o d e l o del m o t o r de inducción en su f o r m a E u l e r - L a g r a n g e , en el cual aplican u n a metodología de diseño de! controlador, a p r o v e c h a n d o las p r o p i e d a d e s d e disipación d e energía de la estructura del m o d e l o . Utilizan un o b s e r v a d o r d e e s t a d o no-lineal para reconstruir el estado, y consideran un e s q u e m a a d a p t a b l e q u e n o r e q u i e r e el exacto c o n o c i m i e n t o de la resistencia del rotor y del par d e carga.

La v e n t a j a de representar el m o t o r de inducción en f o r m a similar a la d e un r o b o t es la d e aplicar las técnicas clásicas para el control del robot al p r o b l e m a del control del m o t o r . E n este t r a b a j o se intenta llevar a cabo esto, a d e m á s d e introducir un o b s e r v a d o r tipo K a l m a n para u n a clase de sistemas no-lineales desarrollado p o r H a m m o u r i - D e L e ó n [13]. T a m b i é n a m o d o de comparación se aplicó al m o d e l o la técnica p r e s e n t a d a p o r Berghuis-Lohnberg-Nijmeijer (14], quienes utilizan control d e par calculado p a r a r o b o t s c o m b i n a d o con un observador lineal. En un estudio posterior extienden el o b s e r v a d o r e m p l e a n d o un c o n t r o l a d o r b a s a d o en pasividad.

1.2 OBSERVABILIDAD Y C O M R O L A B I L I D A D PARA S I S T E M A S N O - L I N E A L E S

La observabilidad, alcanzabilidad y controlabilidad son h e r r a m i e n t a s claves en el análisis del c o m p o r t a m i e n t o de los sistemas para resolver los p r o b l e m a s d e control d e estos.

A diferencia de los sistemas lineales, en los sistemas no-lineales n o hay u n a metodología para hacer uso de estas h e r r a m i e n t a s de análisis ya q u e no p u e d e n ser aplicadas u m v e r s a l m e n t e .

(19)

observabilidad d e sistemas no-lineales, se basa en la deficiencia del sistema (o q u e sea i n a d e c u a d a m e n t e r e p r e s e n t a d o ) para distinguir e n t r e dos estados d o n d e algún control g e n e r a e f e c t o s observables diferentes.

La controlabilidad estudia la posibilidad d e conducir el e s t a d o por m e d i o d e u n a e n t r a d a aplicada. El p r o b l e m a general d e la controlabilidad es que, p a r a un c o n j u n t o d e p u n t o s dados, estos p u e d a n ser alcanzados desde un estado inicial en un intervalo finito, y e q u i v a l e n t e m e n t e en la alcanzabilidad que para un e s t a d o final d e s e a d o p u e d a ser alcanzado d e s d e un estado inicial.

E n el estudio d e la controlabilidad para sistemas no-lineales, la t e n d e n c i a más simple es la linealización, la cual no siempre es satisfactoria, ya q u e m e d i a n t e la l o c a l i z a c i ó n un sistema no-lineal puede p e r d e r mucho de la estructura del sistema, en particular un sistema no-lineal p u e d e ser controlable, mientras que su linealización no lo sea. Por ello se requiere aplicar técnicas sistemáticas para llevar el sistema a u n a r e p r e s e n t a c i ó n que preserve la estructura de entrada-salida del m o d e l o .

D e b i d o a que los sistemas no-lincalcs p u e d e n ser m u c h o más ricos y c o m p l e j o s que los sistemas lineales, su análisis es m u c h o más difícil. M a t e m á t i c a m e n t e , esto se refleja en q u e las ecuaciones no-lineales no p u e d e n ser resueltas a n a l í t i c a m e n t e y p o r lo tanto es m u c h o más difícil e n t e n d e r c o m p l e t a m e n t e el c o m p o r t a m i e n t o d e un sistema no-lineal. A d e m á s , herramientas matemáticas poderosas c o m o las t r a n s f o r m a d a s de Laplace y d e F o u r i c r no p u e d e n ser aplicadas.

(20)

P a r a p o d e r aplicar estas técnicas, se dará especial importancia a la f o r m a d e r e p r e s e n t a r el m o d e l o matemático del motor d e inducción.

1,3 R O B O T S

Típicamente, el diseño de control para robots se basa en Jas ecuaciones dinámicas E u l e r - L a g r a n g e :

D ( q ) q - C(q, + g(q) = r (L 1)

d o n d e D ( q ) es Ja matriz d e inercia, g(q) las fuerzas graviracionales, C(q, Jas f u e r z a s centrípetas y d e coriolis, el vector q representa las c o o r d e n a d a s generalizadas ( j u n t a s del r o b o t ) y r es la fuerza generalizada (función d e entrada).

Los algoritmos de control para el robot se basan en algunas p r o p i e d a d e s del m o d e l o dinámico del manipulador muy importantes, tales c o m o :

i) La matriz d e inercia D(q) es simétrica positiva definida, la cual satisface

a < D(q) < a, p > Ü

ii) La matriz N(q, £]) = ^ ( q ) - C{q. q) es antisimétríca p a r a u n a particular C(q, Q) escogida, Ja cual no es única y siempre existe, es decir

z ' N ( q . q ) z = 0 Vz

iii) D a d o s cualquier x, y en Rn, e n t o n c e s

C ( q , x ) y = C ( q , y ) x

(21)

d e Lyapunov), debido a las p r o p i e d a d e s de pasividad q u e p o s e e el m o d e l o del m a n i p u l a d o r .

Se han desarrollado diversas técnicas para resolver el p r o b l e m a del control del robot, p a r t i c u l a r m e n t e de seguimiento de trayectoria. En este trabajo, r e p r e s e n t a n d o el m o t o r d e inducción en f o r m a similar a la d e un robot, se o b t i e n e la v e n t a j a d e p o d e r aplicar estas técnicas y algunos m é t o d o s clásicos e m p l e a d o s para el control del r o b o t al p r o b l e m a del control del motor.

1.4 P R E S E N T A C I Ó N D E L C O N T E N I D O DE LA T E S I S

E n el capítulo 1, se considera el m o d e l a d o de! m o t o r de inducción. E n especial, se busca u n a representación, adecuada para propósitos de control, d e este sistema electro-mecánico, que como tal, su m o d e l a d o involucra considerar las dinámicas eléctricas (ecuaciones d e voltaje) y por otro lado las mecánicas (leyes d e N e w t o n ) . U n a m a n e r a relativamente fácil y sobre todo provechosa para lograr el objetivo d e este t r a b a j o es la de relacionar las ecuaciones diferenciales que describen estas dinámicas por m e d i o d e las ecuaciones de Lagrange.

Esta representación, obtenida en el capítulo 1. será de gran utilidad e n el capítulo 2, d o n d e se presentan diferentes e s q u e m a s para controlar el m o t o r , p r i n c i p a l m e n t e aquellos q u e aprovechan las p r o p i e d a d e s de disipación de energía d e la r e p r e s e n t a c i ó n E u l e r - L a g r a n g e .

(22)

sistemas no-lineales referida en [ 13]. El s e g u n d o observador es u n o o b t e n i d o e n cascada, d o n d e se construye u n o para la parte mecánica (velocidad angular y p a r m e c á n i c o ) q u e d e p e n d e del segundo subsistema f o r m a d o por un observador p a r a la p a r t e eléctrica (corrientes en el estator y en el rotor), con lo cual se p o d r á resolver el p r o b l e m a d e medición en las corrientes en el estator y estimar el par d e carga. P o r último, e n esta sección se p r e s e n t a b r e v e m e n t e el observador de velocidades utilizado en robótica y su aplicación al caso del m o t o r d e inducción.

E n el capítulo 4. se presenta un e s q u e m a de control más c o m p l e t o d o n d e se p r o p o n e el uso d e u n a ley adaptable con la cual se resuelve el p r o b l e m a d e estimación d e la resistencia del rotor que, c o m o antes se mencionó, varía con el c a l e n t a m i e n t o del rotor. E n este e s q u e m a , también se resuelve el p r o b l e m a del control d e la velocidad angular del rotor, a d e m á s de utilizar un observador para o b t e n e r las corrientes del r o t o r (no mediblcs) y estimar el par de carga.

(23)

Capítulo 2

MODELO DEL MOTOR

2.1 M E C Á N I C A CLÁSICA

Las ecuaciones q u e describen un sistema electro-mecánico complicado, tal c o m o un r o b o t manipulador, p u e d e n ser expresadas e f i c i e n t e m e n t e a través del u s o d e un m é t o d o desarrollado por el m a t e m á t i c o francés Lagrange. Las e c u a c i o n e s diferenciales q u e resultan d e este m é t o d o son derivadas d e las leyes d e N e w t o n del movimiento.

Las leyes d e Kirchhoff para escribir las ecuaciones diferenciales d e r e d e s eléctricas y las leyes d e Newton para las ecuaciones de movimiento de sistemas m e c á n i c o s p u e d e n ser aplicadas, d e p e n d i e n d o de la relativa complejidad del sistema. E n m u c h o s casos existen sistemas q u e combinan c o m p o n e n t e s eléctricos y mecánicos. E l u s o d e las ecuaciones d e Lagrange proporciona un procedimiento para m a n i p u l a r u n a amplia clase d e sistemas físicos, no importa que tan compleja sea su estructura.

El principio f u n d a m e n t a l de este procedimiento es la r e p r e s e n t a c i ó n del sistema por u n c o n j u n t o d e c o o r d e n a d a s q; ( i = 1, 2, ..., n), una por c a d a g r a d o d e libertad del

(24)

La función Lagrangiano esta f o r m a d a como:

L = T ( q , q ) - V(q) C2-1)

Las ecuaciones d e movimiento deseadas son derivadas utilizando las e c u a c i o n e s d e Lagrange:

£ dt

/ \ 3 L

áí¡, - Q, i = 1, 2, .... n

( 1 2 )

d o n d e Q¡ r e p r e s e n t a las fuerzas externas al sistema ( P a r e s y f u e r z a s e n sistemas mecánicos y f u e n t e s de voltaje o corriente en circuitos eléctricos) o q u e se derivan d e u n a función escalar d e energía.

C a d a ecuación d e (2.2) será una ecuación d e s e g u n d o o r d e n , y el c o n j u n t o d e estas un sistema dinámico con "n" grados de libertad.

La principal ventaja de las ecuaciones d e Lagrange es el uso d e un p r o c e d i m i e n t o simple y sistemático, eliminando la necesidad de considerar s e p a r a d a s las leyes d e Kirchhoff para aspectos eléctricos v d e Newton para los aspectos mecánicos del sistema.

2.2 M O D E L O D E L M O T O R

La m á q u i n a asincrona o máquina de inducción r e p r e s e n t a u n a de las f o r m a s más utilizadas d e máquinas electro-mecánicas de c o r r i e n t e alterna. Esta p u e d e ser construida sin conexiones físicas a los circuitos del rotor. Las corrientes del r o t o r son g e n e r a d a s debido al a c o p l a m i e n t o magnético entre el estator y rotor, y llega a ser e x t r e m a d a m e n t e robusta, confiable, y relativamente, de económico m a n t e n i m i e n t o .

(25)

m á q u i n a s d e inducción operan g e n e r a l m e n t e desde un sistema d e suministro d e tres fases b a l a n c e a d o . Por lo tanto, aquí es considerado un m o t o r de inducción t e n i e n d o tres fases d e d e v a n a d o s d e estator y tres d e devanados de rotor,

P a r a la obtención de un m o d e l o del m o t o r d e inducción se a s u m e n algunas consideraciones que lo simplifican y que g e n e r a l m e n t e se admiten en f u n c i o n a m i e n t o normal. M e d i a n t e el uso de una transformación de tres a dos fases, es derivado un m o d e l o ab d e dos fases equivalente del modelo trifásico, el cual p u e d e ser analizado en t é r m i n o s d e un m o d e l o dq obtenido de una transformación ab a dq. Utilizando t r a n s f o r m a c i o n e s inversas, los resultados del análisis del m o d e l o dq p u e d e n ser relacionados al m o d e l o ab de dos fases e incluso al motor trifásico.

C o n s i d e r a n d o que el motor es balanceado, o sea q u e las resistencias e inductancias d e cada fase del estator son iguales, y de igual f o r m a en c a d a f a s e del rotor, las ecuaciones clcctro-magncticas del motor son las siguientes:

•abe •

Ks =

Ks

Ks =

Kr Kr Kr -dt dt dt ¿Kr R, 'A,

d f '

hr dt

dt - ' V r r

(26)

La p a r t e mecánica esta dada por:

J ( j + b a ) = T - Tl

d o n d e G> r e p r e s e n t a la velocidad angular del rotor, T el par eléctrico o p a r g e n e r a d o p o r Ja m á q u i n a y TL el p a r de carga o par mecánico. Las constantes J y b d e n o t a n la inercia

y el a m o r t i g u a m i e n t o .

La matriz de transformación [19| q u e lleva a un m o d e l o ab ( s o l a m e n t e p a r a excitaciones trifásicas balanceadas):

T .ib 0

2

d e la siguiente m a n e r a :

V

=T ab

as

bs

así los voltajes en el estator equivalentes a dos fases son dados por:

V

vh<

-as

y*

vh<

Ks.

2.3 M O D E L O E U L E R - L A G R A N G E

(27)

Con la definición de las energías del sistema, se p u e d e establecer el m o d e l o del m o t o r en f o r m a Euler-Lagrange. s e m e j a n t e a la d e un robot, cuya e s t r u c t u r a h a sido b a s t a n t e estudiada y técnicas bien definidas para controlarlo han sido desarrolladas. T a m b i é n resultan de gran interés, en esta representación, las p r o p i e d a d e s d e e n t r a d a -salida y d e disipación de energía derivadas d e ella.

C o n s i d e r e el anterior m o t o r d e inducción trifásico con las mismas consideraciones, r e p r e s e n t a d o en un modelo de dos fases conocido c o m o m o d e l o ab, el cual c o n s i d e r a dos bobinas e n el estator y dos en el rotor, cada par en dos ejes o r t o g o n a l e s a, b\ en el estator son fijos y en el rotor están girando a la velocidad angular a>r. Siguiendo el

p r o c e d i m i e n t o descrito a n t e r i o r m e n t e para o b t e n e r un m o d e l o E u l e r - L a g r a n g e se d e f i n e n las c o o r d e n a d a s generalizadas para un modelo de este tipo:

f o r m a d o por las cargas eléctricas en a y b para el estator y rotor, r e s p e c t i v a m e n t e y por la posición angular del rotor.

C o n s i d e r a n d o la definición (2.1). el Lagrangiano obtenido en [19] está d a d o p o r la energía cinética del sistema:

< U * qh s qa r ^ b r er l

T

L( qa h. qnJ = Xr hDa b( qa b) qa b

2 (2.3)

d o n d e :

D

ab

(q

ab

)

(28)

respectivamente, y J es la inercia del rotor. Las fuerzas generalizadas son d a d a s p o r :

V Qab = M

Vt

- R < U - i

con:

M ¿ R a

R( 0

0 b

eUT"5, í á ÍO 0 0 0 - T j1" e R5

X i

2

n i

R„ *

c i 0 R r* 2

d o n d e Va s, Vb s son los voltajes en el estator en los ejes a y b r e s p e c t i v a m e n t e .

Aplicando las ecuaciones Fulcr-Lagrangc se obtiene el m o d e l o a¿>:

2

ab

:

{ D

a h

( q

a b

) q

a h +

C a b K b ' A a b ) ^ = Qab

D o n d e la matriz Ca h, cuya selección no es única, es escogida para satisfacer la

p r o p i e d a d d e las matrices antisimótrica^:

zT[Da b(qa b) - 2 Cl b( qa b Jda b) ] z = 0, V z e R5

la cual resultó c o m o sigue:

(29)

U

6 R ~^ah3S e n®r " < W o S 0r

^ b 3 C 0 s er - < W e n 0r

- ¿ j ,b Is e n 0r - Aa b 2coser

- Qa b lc o s 0r - Aab2sen0r

Diversas representaciones p u e d e n ser obtenidas m e d i a n t e cambios d e c o o r d e n a d a s . N o t e que las matrices en Xa b d e p e n d e n del ángulo del rotor, u n a m a n e r a

de simplificarlas es refiriéndolas al marco de referencia dq.

2.3.1 R e p r e s e n t a c i ó n en un Modelo dq

P a r a la obtención del modelo dq, d o n d e el marco d e r e f e r e n c i a gira a la f r e c u e n c i a angular del suministro de energía, la frecuencia primaria o)a, se d e f i n e la

matriz d e rotación [7J:

T ( 0r, 0 ) a

U ( 8 ) 0 i 0

n u(0 - e

r

) i o

o o • i

,5x5

= 0).

entonces, las derivadas de las c o o r d e n a d a s y las fuerzas generalizadas p r o y e c t a d a s en el eje dq se d e f i n e n como:

C| a T(0r, 9)C|,h. Q & T(8r, 6 ) Q ab

(30)

'dq •

D q - C ( q , u3) q - R¿i = Mu + i

V = h(q)

(2.5)

d o n d e

CI à l'sd '«q 'rd "rq '' e ^ U è

V sq

cuya notación es dada al final del capítulo en la tabla 2.1, y las matrices D, C(C\, u3) y

R están d a d a s por:

D

De 0 0 v J

C ( q , u O =

'Ce(u3,G>) -C«0)

c'

r

(q) o

R =

Re 0

0 v b

v M a ,5x2

(2.6)

con:

De é V 2

M Z

CC(U3, (tí) A 0>s

2

Ls rJ2 LrJ2

c(q) = v((Lsq2 + L5rCj4) - ( L ^ + M 3 ) 0 O)1

d o n d e D r e p r e s e n t a la matriz d e ¡ricrcla de) sistema y la matriz J2 es una matriz

antisimétrica d e la forma:

(31)

L a frecuencia de deslizamiento cus está d a d a por:

= u , - v e |5, u3 & o>a (2.7)

Las matrices Re> \ son las definidas e n (2.4) y el par eléctrico está d a d o p o r la

siguiente ecuación:

T = L( r( ^3 - (2.8)

E s t e m o d e l o del m o t o r de inducción, p u e d e reescribirse en c o o r d e n a d a s d-q:

U3LS

Rs + Lsp - u3L5 Ls rp - u3Ls r

R S + LSP U3Ls r Ls r P

Ls r P " (U3 " v (l < )L Sr Rr + Lr P ' (u3 ~ v W Lr

(u3 - v £ |5) Ls r Ls r p (u-, - v ^ L f Rr + Lrp

J q5 - b q5 = Ls r ( q2 ¿13 - ¿h C {4) - TL

d o n d e p es el o p e r a d o r d e derivada i i .

d t

V ' «

" l

U2

<b 0

/

> J

0 ,

2.3.2 Modelo No-Linea! Afín en el Control

D e b i d o al uso más f r e c u e n t e de una representación más general, c o m o la f o r m a afín en el control, se escribirá el vector de estado como:

x = q

d o n d e x = \ x

(32)

El m o d e l o se reescribe como;

De Q

0 vJ

' Ce( u3, w ) -c(x)

cT(x) 0

X Re fi

0 vb 0

u.

u-í O l - VTl

d o n d e 0 es una matriz de ceros de las dimensiones adecuadas. D a d o que la matriz De

es no singular y escogiendo:

M ü = M u - C ( X ) Ü )

ü = u - Msc(x)(i) Ms = ( MTM ) "1MT = M T

Ms es la pseudoinversa de M. Separando la parte mecánica y la p a r t e eléctrica, el

modelo se reescribe como:

' N L

x = f ^ x ) + G ( x ) u Ù = f2(x, (o)

d o n d e

(2.10)

f i W w.

L L - y V i - *2 + - y V :

x, - — R1 g Ís x, * — R 2 5 r 4 r x4

L, Ls

— R „ x, - _ Rrx , * x,

5 8 1 S r 3 4

L . L,

5 RSX2 - X3 " JRTX4

G ( X ) =

L-r 0 1 "

0 Lr 5 Ls r

0 S

0 0

8

h 1 T . t

f2(x, Cü) = - - 0 3 - —c(x) x " TL

J VJ

Y S = L L - Ls 2 es la raiz del determinante de DE.

(33)

El sistema en f o r m a más general p u e d e ser e x p r e s a d o c o m o :

x = f ( x ) + G ( x ) u (2.11)

d o n d e :

f ( x ) =

W 1 f2fx, co)

G ( x ) = diag(G,(x), 0)

Tabla 2.1 Lista de Símbolos

TL p a r mecánico K inductancia m u t u a

'sd c o m p o n e n t e d de corriente en el estator resistencia e n el e s t a t o r

hq c o m p o n e n t e <7 de corriente en el estator resistencia e n el r o t o r

Vd c o m p o n e n t e d de corriente en el rotor 0) velocidad angular del rotor

•rq c o m p o n e n t e q de corriente en el rotor f r e c u e n c i a p r i m a r i a c o m p o n e n t e d del voltaje en el estator

0r posición angular del r o t o r

c o m p o n e n t e q del voltaje en el estator b a m o r t i g u a m i e n t o del m o t o r

(34)

Capítulo 3

ALGORITMO DE C O T O O L

I N T R O D U C C I Ó N

E n este capítulo se trata de p r e s e n t a r diferentes técnicas del control no-lineal, las cuales son aplicadas para resolver el p r o b l e m a de control del m o t o r d e inducción. A n t e s que nada se dará una definición d e controlabilidad para sistemas no-lineales, ya que es una característica esencial de los sistemas. D e b i d o a que, en el caso del m o t o r d e inducción, distintas situaciones se presentan ( m o d o s de o p e r a c i ó n ) en el r e q u e r i m i e n t o del f u n c i o n a m i e n t o del sistema, se considerarán en este t r a b a j o dos p r o b l e m a s en el control del motor, su estabilización y el p r o b l e m a de seguimiento. E n la sección 3.2, se p r e s e n t a r á n diferentes e s q u e m a s que se basan en la p r o p i e d a d d e pasividad del m o d e l o del m o t o r d e inducción, tratando de resolver el p r o b l e m a d e seguimiento e n el p a r generado, a d e m á s de mostrar un e s q u e m a para la estabilización del sistema r e p r e s e n t á n d o l o c o m o dos sistemas intcrconcctados en cascada. E n el tercer p u n t o , para resolver el p r o b l e m a de seguimiento exacto se p r e s e n t a r á el algoritmo d e Slotine-Li, aplicándolo al m o d e l o del m o t o r de inducción r e p r e s e n t a d o en f o r m a E u l e r - L a g r a n g e .

3.1 D E F I N I C I Ó N D E C O N T R O L A B I L I D A D

(35)

S : x = f(N) * £ g,(x) u, u = ( u j , ...,um) e U c Rm ;

d o n d e U es el espacio d e funciones de e n t r a d a , x son c o o r d e n a d a s locales e n u n a variedad suave M (variedad del espacio-estado) <= Rn y f, gj, gm son c a m p o s

vectoriales sobre M.

Considérese las siguientes suposiciones acerca del espacio U y del c o n j u n t o d e controles admisibles:

i) El espacio de funciones de e n t r a d a U es tal q u e el c o n j u n t o d e c a m p o s vectoriales asociados al sistema X

contiene los c a m p o s vectoriales f, gj, gm.

ii) El c o n j u n t o d e funciones de entrada admisibles V consiste d e f u n c i o n e s constantes a pedazos, las cuales son continuas por la d e r e c h a .

Si u ( - ) es u n a función de entrada constante a p e d a z o s e n t o n c e s p a r a t s u f i c i e n t e m e n t e p e q u e ñ o , existe una solución x(t) única d e 2 . Para garantizar q u e existen soluciones únicas para entradas más generales se r e q u e r i r á la condición local d e Liptchitz sobre el c a m p o vectorial f, es decir, existe u n a vecindad N d e XQ en M tal q u e para cada e n t r a d a u ( - ) e U se tiene:

y para toda t e (t0-e, t0+ e ) , d o n d e K > 0 y e > 0 son constantes y la n o r m a H d e n o t a

la n o r m a Euclideana.

m

(36)

L a única solución d e X en t > 0 , t e [0, T], para u n a función d e e n t r a d a (control) particular u ( - ) y condición inicial x(0)=xn es d e n o t a d a c o m o x(T, 0, XQ, u). E n t o n c e s , se

define lo siguiente.

Definición 3.1 (1]: El sistema X se dicc controlable si para algún p a r d e p u n t o s xv x2 e n

M, existe un t i e m p o T finito y una función d e control admisible UJQ, T] e U , tal q u e :

x(T, 0, x,, u) = x2.

P a r a la definición general de alcanzabilidad para sistemas no-lineales c o n s i d e r e la definición d e c o n j u n t o alcanzable en [1]. Si M es un subespacio d e Rn, e n t o n c e s

c o n s i d e r e las siguientes definiciones para controlabilidad y alcanzabilidad.

Definición 3.2 [16]: U n estado x0 en M del sistema X se dice q u e será controlable en el

tiempo t0 e R si existe un t, > tn y una función d e e n t r a d a admisible u ^ t j e U , tal q u e :

x(tt, tn, XG, U ) = 0

El sistema X se dicc controlable si para cada estado x0 que p e r t e n e c e a M es c o n t r o l a b l e

para t o d o t0 € R.

Definición 3.3 [16]: Un estado x0 en M del sistema X se dice q u e será alcanzable en t0 e R si existe un S t0 y una función de e n t r a d a admisible u ^ t j e U, tal que:

x(tn, t.]5 0, u) = Xq

La variedad del espacio-estado M del sistema X se dice alcanzable si para c a d a e s t a d o Xq en M es alcanzable para todo tn 6 IR.

(37)

3.2 E S Q U E M A S D E C O N T R O L BASADOS EN PASIVIDAD

E n el estudio de sistemas físicos, tales c o m o u n a r e d eléctrica y m a q u i n a s eléctricas, el c o n c e p t o de energía resulta de gran utilidad p a r a d e d u c i r el c o m p o r t a m i e n t o del sistema.

T a m b i é n en el análisis de estabilidad, es muy útil m a n e j a r este c o n c e p t o p a r a estudiar las p r o p i e d a d e s del m o d e l o matemático d e un proceso general, c o m o es el caso d e ios sistemas disipativos. Estos sistemas se definen [15] c o m o sistemas p a r a los cuales u n a función d e energía de e n t r a d a y una de energía a l m a c e n a d a p u e d e n ser e n c o n t r a d a s , con la p r o p i e d a d d e que siempre disipará energía.

Existen diferentes tipos de sistemas disipativos, los cuales se d e f i n e n d e a c u e r d o al tipo d e suministro de entrada (energía de e n t r a d a ) del sistema. U n a i m p o r t a n t e clase de sistema disipativo es la clase d e sistemas pasivos, en los cuales, c o m o e n el caso d e las r e d e s eléctricas, la energía de e n t r a d a está dada por el p r o d u c t o d e la e n t r a d a y la

salida del sistema.

U n a clase d e c o n s o l a d o r e s q u e surge d e este c o n c e p t o p u e d e s e r l l a m a d a "controladores basados en pasividad", debido a que explotan las p r o p i e d a d e s d e pasividad de las dinámicas del sistema. C o m p a r a d o con los m é t o d o s d e linealización, lo q u e se espera d e estos esquemas, u s u a l m c n t c llamados c o n t r o l a d o r e s pasivos, es t e n e r m e j o r e s p r o p i e d a d e s robustas ya que no d e p e n d e n de la exacta cancelación d e las no-linealidades del sistema c o m o en el caso de la lincalización exacta, la que d e p e n d e d e la e s t r u c t u r a del m o d e l o .

(38)

p r e s e n t a d o s en esta sección.

Definición 3.4 [IT]: Considere ci sistema no-líneaJ de la f o r m a :

¡ x = f(x) - G(x) u, x(0) = x0 e Rn, u e Rm d ' l y = h(x), y e Bp

Con suministro d e energía w. se dicc que el sistema es disipativo si y solo si V(-): Rn -*• R, llamada función de energía almacenada, es u n a función definida positiva

en el estado, para toda u, x soluciones del sistema d e ecuaciones y para t o d o t > 0 , se tiene

r ) d r > V(x(t)) - V(x(0))

El sistema se dice que será pasivo si este es disipativo con suministro d e energía d a d o por el p r o d u c t o interior w = < u , y > = vru y la función de energía V satisface V(0)=0.

Definición 3.5 [5]: U n a función p: [0, a) [0, ©o) se dice q u e p e r t e n e c e a la clase J f si esta es e s t r i c t a m e n t e creciente y 3(0) = 0.

Definición 3.6 (12J: Considere el sistema no-lineal de la f o r m a Zd, se dice q u e la

aplicación H: u -* y es estrictamente pasiva en relación con las f u n c i o n e s V(x) y p(x) si y solo si V(-): Rn R es una función definida positiva en el estado, p(-): R R+ es

una función d e el a s e . p a r a toda u, y, x soluciones del sistema d e ecuaciones y p a r a t o d o t > 0 , se tiene

(39)

3.2.1 P r o p i e d a d de Pasividad de! Modelo del M o t o r d e Inducción

Proposición 3.7 [7]: El m o d e l o del motor de inducción (2.5) d e f i n e un m a p e o e s t r i c t a m e n t e pasivo e n t r e los voltajes del estator y las corrientes del estator.

D e m o s t r a c i ó n : La función de energía total del m o t o r d e inducción, d a d a p o r el H a m i l t o n e a n o , p u e d e ser expresada como sigue:

H ( q ) = 1 e,1 D q

derivando en el tiempo, con par de la carga igual cero:

H(q) = qT( - { C ( q , u3) - R } ( \ + M u )

d o n d e C(¿}, u3) es una matriz antisimctrica y satisface la p r o p i e d a d :

qrC ( q , u O q = 0, V q

H(¿J) = ¿ )tM u - í \tR §

integrando a ambos lados de la ecuación anterior, resulta

H ( t ) - H(0) - | [ 3 ( q ) d r < | yTu d r

El m o d e l o define un m a p e o estrictamente pasivo entre los voltajes del e s t a t o r uJ } u2 y

con y a MTq , p ( q ) a Xm a x(R) ¿| \

(40)

Esta propiedad d e disipación de energía de entrada-salida, a d e m á s d e ser útil para el diseño del control, p u e d e interpretarse físicamente en la m á q u i n a d e inducción, ya q u e todos los sistemas pasivos son estables [15], c o m o u n a característica d e estabilidad d o n d e para u n a e n t r a d a d e voltaje acotada (energía eléctrica de e n t r a d a ) , la energía m e c á n i c a e n t r e g a d a por el sistema será acotada también debido a los t é r m i n o s d e disipación (resistencias y amortiguamiento).

D o s e s q u e m a s que se basan en esta propiedad de estricta pasividad serán m o s t r a d o s enseguida. El primer e s q u e m a intenta resolver el p r o b l e m a d e s e g u i m i e n t o para el m o d e l o del m o t o r de la f o r m a 2d q y el segundo trata de garantizar la estabilidad

asintótica del sistema.

3.2.2 C o n t r o l del P a r G e n e r a d o

El objetivo d e esta metodología aplicada al control del m o t o r d e inducción es construir u n a ley de control a partir de las p r o p i e d a d e s estudiadas del m o d e l o , tal q u e el p a r g e n e r a d o siga una señal de referencia, a s u m i e n d o q u e el par d e la carga es conocido, o b t e n i e n d o así un controlador que regula el par asintóticamente.

C o n s i d e r e el sistema :

D q - C(¿],u3)q + R q = Mu + $

y = h(£j)

(3.1)

D e f i n i e n d o la ecuación de error:

c M - qd

(3.2)

(41)

Reescribiendo el sistema (3.1) en términos del error d e seguimiento, se t i e n e que:

D e - C(q, u-;)c - R e = iJj, d o n d e D = DT > 0 (3-3)

i M Mu - (Dqd * C(¿j, u3) qd - R¿|d) * £

y ia ecuación d e par deseado es:

(3.4)

Td s M ^ d a - < M d 4 )

Escogiendo el término \|r idéntico a cero, se podrá o b t e n e r u n a ley d e control tal que las p r o p i e d a d e s de estabilidad del sistema se preservan y sea el p u n t o d e equilibrio e=ü estable. Para verificar estabilidad asintótica se establece lo siguiente.

P r o p o s i c i ó n 3.8: Considere el sistema en lazo c e r r a d o (3.2):

D e + C(q, u3) e * R e =

i

|

j

Escogiendo el vector ijr=0, entonces, el error d e seguimiento converge a s i n f ó t i c a m e n t e a cero.

D e m o s t r a c i ó n : Seleccionando la f u n c i ó ñ S i ^ L y a p u n o v Hd y derivando c o n r e s p e c t o al

t i e m p o a lo largo d e las trayectorias de (3.2), se obtiene lo siguiente:

(3.5)

- c r { C K j . u O - R } e

(42)

Hd = - eTR e < O

lo q u e implica q u e e O c u a n d o t

Sólo q u e d a resolver:

M ú - (DÉ}d + C f t , u3) ¿ ld + R 4d) + 5 = 0 (3.6)

Las entradas de control u] t u2 y los valores deseados de las corrientes s e r á n

obtenidos de (3.6) debido a que no p u e d e n ser seleccionados arbitrariamente, ya q u e el n ú m e r o de e n t r a d a s es m e n o r al n ú m e r o de estados. P o r lo t a n t o el g r a d o de libertad es dos, así u1 y u2 determinan ¿)dl y qd 2. Esta selección de iJr e n las ecuaciones del

motor, p u e d e interpretarse, para la parte eléctrica, c o m o un balance de voltajes igualados a cero.

C o n s i d e r e el siguiente conjunto de valores de las c o o r d e n a d a s del m o d e l o

= °> <ld4 = Y

c o m o referencias a las corrientes en el rotor, sustituyéndolos en (3.6), resulta

= G1 + « 5 < M d 2 + Ls r P > + v( M 2 + k r ^ d S " R s 4dl

f 2 = ü2 - o >s{ Lsqd l} - v ( Lsq j + Ls rq3) ^d 5 - Rs qd 2

= + <->s{Ls r¿jd 2 + Lr(3}

= " " s í ^ d l * " R rP

= - ív j £í d 5 + v( ( M 2 + L s r W d l " ( M i - K ^ W + v b ^d 5 - VTl>

(43)

Adi

Ls r Y

Qd2 = - r - Y

sr

y

d

qd5 = - j (b^ 5 + M 2 + di - ( M i - M3) qd 2 + TL)

d o n d e y es u n a constante. N o t e que ¿jdl, Qd2, Qd3> qd 4 están a c o t a d a s y esto garantiza

q u e ¿Id5 es también acotada. A d e m á s ¿}d5 tiende al p u n t o d e equilibrio d e C{5 , el cual

es estable.

A p l i c a n d o las leyes de control en lazo c e r r a d o al m o d e l o d e inducción:

Ul = " ( M d 2 + LsrQd4)Ws " M 2 + L A M d 5 " ^ d

( 3 . 8 )

R L.

U2= ( M d l + M d í K + M i + M s M a s "

Ls r

la f r e c u e n c i a d e deslizamiento resulta una constante:

RrY <!>.=

M d l

(44)

P a r a reducir la sensibilidad a ciertos p a r á m e t r o s q u e d e t e r m i n a n el a m o r t i g u a m i e n t o natural del sistema, ( c o m o los d e la matriz R) se a ñ a d e un t é r m i n o proporcional en los controles anteriores.

U1 = ~ ( M d 2 + M ( m X - ( M ? + Lsr^4)vQd5 - f ^ d " kpel

J'rY (3.9)

u2 = ( M d i + M d 3 K + ( M i + M3 M d 5 - -7—Y - kpe2> kp > 0

Estas leyes d e control requieren de la retroalimentación c o m p l e t a del vector d e estado, el cual no es totalmente mcdiblc, así que se p r o p o n d r á el uso d e un observador d e e s t a d o en el capítulo 4.

3.2.3 Estabilización de Sistemas en C a s c a d a

D a d o s dos sistemas globalmentc asintóticamente estables (GAS), si se c o n e c t a n en cascada, g e n e r a l m e n t e este sistema a u m e n t a d o no es un sistema G A S . Sin e m b a r g o , se h a d e m o s t r a d o en estudios recientes, [12], r e q u e r i m i e n t o s más restrictivos h a c e n q u e el sistema en cascada sea GAS. Debido a eso, se r e q u i e r e del establecimiento d e condiciones p a r a la estabilización global d e sistemas en cascada.

El siguiente resultado [12], d e m u e s t r a que la estabilidad global d e un sistema en cascada, c o m o el que se muestra en la figura 3.1, p u e d e lograrse si e) p r i m e r sistema X2

es e s t r i c t a m e n t e pasivo para una salida y2 la cual expande u n a p a r t e del c a m p o vectorial

del s e g u n d o sistema (es decir, la parte del c a m p o vectorial d e Xt q u e p e r t e n e c e al

espacio g e n e r a d o por el c o n j u n t o d e salidas d e X2), T a m b i é n m u e s t r a las p r o p i e d a d e s

(45)

F i g . 3 . 1 S i s t e m a e n c a s c a d a . F i g . 3 . 2 I n t e r c o n e x i ó n d e o p e r a d o r e s p a s i v o s

C o n s i d e r e el sistema no-lineal en cascada:

X r :

x = f(x, O , x e Rn, i € Rv (a)

(3.10)

^ i = m ( 0 + G ( 5 ) u , u 6 Rm (b)

d o n d e f: Rn + V ^ Rn, m: Rv — Rv y G: Rm — Rv p e r t e n e c e n a y a s u m a que:

A l ) El sistema * = f(x, 0), x e Rn tiene en x=0 un p u n t o d e equilibrio

global-m e n t e asintóticaglobal-mentc estable (GAS). A 2 ) El sistema £ = m( £ ) también es G A S .

Con el propósito d e d e t e r m i n a r u n a ley d e control u(x, £) tal q u e el sistema 2C

resulte u n a interconexión r e t r o a l i m e n t a d a de dos o p e r a d o r e s e s t r i c t a m e n t e pasivos, se considerará la siguiente proposición. Entonces, la estabilidad asintótica global del sistema en lazo c e r r a d o será d e t e r m i n a d a p o r la p r o p i e d a d d e pasividad estricta del m a p e o en la retroalimentación del lazo.

Proposición 3.9 [12]: Considere el sistema en cascada (3.10) b a j o la hipótesis A l , £c es

estabilizable si:

A 2 ' ) el subsistema (3.10b) define un o p e r a d o r e s t r i c t a m e n t e pasivo H2: u y

(46)

m

f ( x , 5 ) - f ( x , 0 ) = E y , f ¡ ( x , 5 )

(3.H)

p a r a algunas f u n c i o n e s fj: Rn x Rv - * R , j= 1, ..., m . A d e m á s , u n a ley

e s t a b i l i z a n t e está d a d a p o r :

U j(x, {) á - VxV ( x )Tf j ( x , a i = h »., m (3.12)

D e m o s t r a c i ó n : D e f i n i e n d o p a r a el sistema (3.10b) u n o p e r a d o r H2: u y, c o m o :

H2 :

i = m ( 5 ) - G ( 5 ) u y = h ( 5 )

el cual, b a j o la condición A 2 ' es e s t r i c t a m e n t e pasivo, es decir, d e la definición 3.4:

J yTu d r a V2U ( t ) ) - V2( £ ( 0 ) ) + J p2( | í | ) d r (3.13)

B a j o las condiciones de expansión y A l se p u e d e definir p a r a el s i s t e m a (3.10a) un o p e r a d o r H , : y - * v, d o n d e la e n t r a d a d e (3.10b) e s t a r á d a d a p o r la salida del s u b s i s t e m a (3.10a) y )a salida d e (3.30b) es escogida c o m o :

x = f ( x , 0 ) + E y ^ f r O H , : i j - i

v ; = ^ V j f / x , ? ) , j = 1, 2, m

e n t o n c e s ,

J vTy d r = E j v ^ f ^ O y j d r

O j"

1

o

- Iy* v ,

m

E f j f c O y j U"i

d r

(47)

j V y d r = V¿x(t)) - Vj(x(0)) +

j ^ ( \ x \ ) á r

(3.14) o o

d o n d e :

t

P i ( l * l ) = - J vxV1f (X, 0 ) d r

o

es u n a función de clase J(, cuya existencia está garantizada p o r la condición de estabilidad A l . Por lo tanto, H2 es también un o p e r a d o r estrictamente pasivo.

Seleccionando la ley de control (3.11):

U:(x, 5) = - V:

J J (3.15)

u / x . S ) = " VxV(x)1fj(x, í ) , j = 1, 2 m

se obtiene una interconexión retroalimentada de o p e r a d o r e s pasivos, c o m o la r e p r e s e n t a d a en la figura 3.2, para y ^ v y2=y.

Para probar que el sistema general es GAS, se p r o p o n e la siguiente función candidato de Lyapunov:

VT( t ) = V ^ t ) + V2(t)

D e las ecuaciones anteriores (3.13), y utilizando (3.15) se obtiene que:

t t vt( t ) + v2( t ) < V^O) + v2( 0 ) - J p , ( | x | ) d T - J p2( 1$ ) d r

o o

(48)

V,(t) - Vj(0) < - J p , ( t ) d r

d o n d e pT( t ) = p , ( [ x ) * p2( í | )

VT( t ) * - pT( t ) , pT( t ) > 0 Vt

VT( t ) < 0

Satisface la condición de Lyapunov para estabilidad asintótica. La p r u e b a t a m b i é n p u e d e ser c o m p l e t a d a utilizando el t e o r e m a 6 d e [18] d o n d e se d a u n a c o n e x i ó n p r e c i s a e n t r e "disipatividad" y estabilidad asintótica.

C a s o del m o t o r de i n d u c c i ó n

R c c s c r i b i c n d o las e c u a c i o n e s del sistema del m o t o r d e inducción XN I, se o b t i e n e

el siguiente sistema en cascada:

x = f

2

(jr, 5). •í f ®> 5 f R

4

(a)

i = f

t

CO + G(Oü, S e l

2

(b)

d o n d e :

x = O)

\T 5 = x = (¡s d ' s q >rd i j1

E s c o g i e n d o la e n t r a d a c o m o en (2.10):

ü = u - Mrc ( x ) w

(49)

f i ( 0 = Ci),

Lr K

^ ~ yR s ^ 2 * T R r $ 4

- y Rr« 3 + «4

G « ) = L . r

0 T

K

0 r

Ur sr 0

L

0 s r T

f & o « -íc +

-la frecuencia d e deslizamiento ü), será considerada constante y 5 = LsLr - Ls r es la raiz

del d e t e r m i n a n t e de D.

E n el caso del motor de inducción, el cual es estable, se busca la estabilización del sistema en un valor d e referencia deseado, a p r o v e c h a n d o la p r o p i e d a d d e pasividad del m o d e l o (proposición 3.7), se o b t e n d r á una ley para esta clase d e sistemas en cascada utilizando el resultado anterior. Nótese que el m o d e l o del m o t o r d e inducción r e p r e s e n t a d o b a j o esta forma, se caracteriza por t e n e r un subsistema que está f o r m a d o por un c o n j u n t o d e ecuaciones diferenciales, Jas cuales r e p r e s e n t a n la dinámica d e las c o r r i e n t e s y un segundo subsistema que d e t e r m i n a la dinámica de la velocidad angular del m o t o r .

Rcescribiendo el sistema como:

' D j + Cc( £ ) í + Re£ = MU

Jt = -)x * " " y

* N L •

(a)

(50)

B a j o esta n u e v a r e p r e s e n t a c i ó n , c o n s i d e r a n d o c e r o p a r d e c a r g a (TL=0)> se

c a l c u l a r á la ley d e c o n t r o l estabilizante. P r i m e r o se verificarán las c o n d i c i o n e s p a r 3 q u e sea e s t o posible.

A l )

f2( j r , 0 ) = - 5 * b, J > 0

e n t o n c e s , í2(x, 0) es G A S .

A 2 ' ) SN L( a ) d e f i n e un m a p c o pasivo e n t r e u15 u2 y las salidas:

a «i

y 2* h

(3.19)

P a r a las c u a l e s se satisface la p r o p i e d a d d e expansión (3.11) d e la aplicación f2( x , í ):

f2( x , 0 - f2 M ) = - 5 ^ 4 ) = ¿ y jf 2 jM )

J j=i d o n d e r e s u l t a q u e :

f = - L r t f

21 " T ^4

L (3'2° )

fc - f €3

P a r a calcular la ley de control estabilizante c o n s i d e r e la siguiente f u n c i ó n c a n d i d a t o d e L y a p u n o v :

V(x) = i *2 (3.21)

2

la cual es u n a f u n c i ó n de Lyapunov para x = f2(-í, 0 ) , d o n d e :

(51)

Utilizando (3.12), la ley de control r e t r o a l i m e n t a d a para la interconexión d e los o p e r a d o r e s pasivos resulta ser:

í Ui ^

i

,

L« r .

(3.22)

N o t e q u e esta ley estabilizante d e p e n d e de £3 y d e S4 que r e p r e s e n t a n las c o r r i e n t e s en

el rotor, las cuales no son medibles. Para resolver este p r o b l e m a , se r e q u e r i r á utilizar el observador q u e se describirá en el capítulo 4.

Con esta ley de control y considerando el par d e carga nulo el sistema es estabilizado en el p u n t o de equilibrio q =0, al variar la carga el p u n t o d e equilibrio de la velocidad es modificado. Para resolver el p r o b l e m a de regulación del sistema, el m o d e l o se rccscribc en función del error c o m o en (3.2):

' N I . 1

D A - + C c(u3 ' * )cc * Rcec = M Ü

Jf - - J j f * - - ^

(a)

(b)

d o n d e : ec = £ - 5d con £d el valor deseado de i y

ü = u - MT{ DcÉd - C( u3 >* ) 5d - M d >

(52)

3.3 A L G O R I T M O D E S L O T I N E - L I

Considere el caso c u a n d o se requiere seguir u n a trayectoria d e s e a d a en vez d e alcanzar un p u n t o deseado. El problema de seguimiento d e trayectoria, e n el espacio d e ias c o o r d e n a d a s generalizadas, consiste en seguir u n a trayectoria d e s e a d a variante en el t i e m p o qd( t ) y sus derivadas sucesivas ¿}d(t) y qd( t ) q u e describen la velocidad

d e s e a d a y aceleración deseada, respectivamente. U n simple c o n t r o l a d o r P D no s i e m p r e p u e d e satisfacer las d e m a n d a s dinámicas de seguimiento de trayectoria e f e c t i v a m e n t e , debido a esto se considerará eí siguiente e s q u e m a para llevar a cabo un control d e seguimiento d e trayectoria exacto.

P a r a el m o d e l o (3.1), considere e) t é r m i n o de error d e velocidad:

s & Q - =£\ + AQ (3*2 3)

d o n d e ¿jr & £}d - AQ es c) vector de r e f e r e n c i a d e velocidad f o r m a d o p o r el

c o r r i m i e n t o d e velocidad d e s c a d a con respecto al e r r o r d e seguimiento d e posición q = q • qd y A es una matriz diagonal definida positiva. Esta manipulación d e notación

p e r m i t e trasladar las p r o p i e d a d e s relacionadas con la energía a p r o p i e d a d e s d e control de trayectoria.

El t é r m i n o s conlleva información acerca d e q, ¿j ya q u e (3.23) p u e d e ser vista

c o m o u n a ecuación diferencial de primer o r d e n en q con s c o m o u n a e n t r a d a , d e la siguiente f o r m a :

<5 = - Aq • , (3.24)

(53)

velocidad son acotados y por lo tanto q y Cj; en f o r m a similar la solución d e (3.24) t e n d e r á a c e r o si s tiende a ccro.

P a r a el sistema en lazo cerrado, se p u e d e d e m o s t r a r q u e el e r r o r d e seguimiento tiende a c e r o verificando la condición de Lyapunov.

C a s o del m o t o r de inducción

R e e s c r i b i e n d o las ecuaciones que describen el m o d e l o del m o t o r d e inducción en la r e p r e s e n t a c i ó n Euler-Lagrangc Xti , ^c tiene:

A s u m i e n d o que la perturbación en la carga es conocida, c o n s i d e r e la siguiente ley d e control:

D q + C(q, u3)¿i + R¿j « r + r = M u (3.25)

r = D qr + C ( q , u3) qr + R qr - $ - K ¿ s (3.26)

d o n d e Kd es u n a matriz diagonal definida positiva.

y utilizando las definiciones anteriores, se p u e d e reescribir c o m o :

Ds C(q. u-\) s + Ks * K dj = 0

(54)

Proposición 3.10: Considere el sistema en lazo c e r r a d o (3.27), con el control d a d o p o r

(3.26), entonces, los errores de seguimiento Q, $ convergen asintóticamente a c e r o si

Lim s - 0

\ -*co

Demostración: Considere la siguiente función de Lyapunov:

v

s

=

T

D(q

* q

T

Pq

(3.28)

d o n d e P • PT = A KD> 0 (diagonal), define f o r m a l m e n t e una función c a n d i d a t o de

Lyapunov, la cual d e p e n d e de los errores de seguimiento.

P r o c e d i e n d o c o m o en (3,5), es fácil demostrar q u e la derivada en el t i e m p o de V a lo largo d e las soluciones de (3.27) resulta ser:

Vs = -sl( R + K D)s + 2 qrp q (3.29)

utilizando (3.23)

vs = -stR s - (q + A q )1' Kn( q * Aq) + 2 qTATKDq

« -stR s - qTKDq - qTKDA q - qTA KDq - qTA KDA q + 2 qTA KDq

stR s - qTKDq - qrA KnA q < 0

N o t e q u e a h o r a la derivada de (3.28) d e p e n d e de los errores d e velocidad y posición, lo cual garantiza que el error de seguimiento converge asintóticamente a cero.

(55)

3.4 S I M U L A C I O N E S

La estabilización del m o t o r f u e analizada por m e d i o d e simulaciones, así c o m o el f u n c i o n a m i e n t o de la ley de control. Las simulaciones f u e r o n hechas p a r a un m o t o r d e inducción de jaula de ardilla de cuatro polos, utilizando los siguientes valores numóricos, e m p l e a d o s en [7]:

3.4.1 Seguimiento en el P a r Generado

Las simulaciones del sistema bajo la ley d e control (3.9), f u e r o n h e c h a s c o n s i d e r a n d o un valor constante en el par de carga de 50 N-m, con un valor d e estado estable en el par g e n e r a d o (T) de 25 N-m y las condiciones iniciales ¿} = [-21.87, -14.8, 0, 14.1, 175Q]T.

Las gráficas presentadas en la figura 3.3, m u e s t r a n la r e s p u e s t a del par c o n t r o l a d o , p a r a dos experimentos u t i W a n d o u n a ganancia del t é r m i n o p r o p o r c i o n a l ( kp)

de 0 y 10, ante un cambio tipo cucalón en la referencia (Td) del p a r eléctrico,

inicialmcnte Td = 25 N-m y en t « O.OjWt» se aplicó Td = 50 N-m.

Tabla 3.1 Valores N u m é r i c o s

Rs = 0.687 H

Rr = 0.842 H

Ls = 84.0 mH

L„ = 85.2 mH

Ls = 81.3 mH

(56)

E n la figura 3.4, se presenta la respuesta de la velocidad angular.

-te-10

"-fczfT:

V ' ' 1 w 1 B • rr-1 ~TT

F i g , 3 . 3 S e g u i m i e n t o e n e ! p a r e l é c t r i c o

V 1 '1 K1 1 1' I* • 1' V " ' 5' *" 1 W ' ' 1 ^ 1 1' N ' 1

F i g , 3 . 4 VELOCIDAD ANGULAR DEL ROTOR.

^ 1 ' ' Vi

En la figura 3,5 y en la figura 3.6, se muestra la respuesta d e las c o r r i e n t e s en el estator y las corrientes en el rotor, respectivamente, para las c o r r e s p o n d i e n t e s simulaciones considerando diferente ganancia proporcional de 0, 10.

T—.

Ü L

<LL

HJ í

<12

Í3

(57)

3.4.2 Estabilización riel Sistema en Cascada

E n las siguientes figuras se muestra, para un valor d e TL= 0 , c o m o las c o r r i e n t e s

son estabilizadas utilizando (3.22).

F i g . 3 . 7 C o r r i e n t e s d e l m o t o r is q. itf1, ir q. F i g . 3 . 8 V e l o c i d a d a n g u l a r d e l r o t o r u .

Con el fin de probar esta metodología en el seguimiento d e un escalón d e referencia en el par eléctrico, se obtuvo el siguiente resultado;

(58)

3.4.3 Algoritmo de Slotine-Li

Las simulaciones son obtenidas aplicando !a ley de control (3.26) p a r a lograr un exacto seguimiento, utilizando los valores de referencia calculados en (3.7). D e la misma f o r m a q u e en las simulaciones anteriores, inicialmente el valor d e s e a d o ( T d ) p a r a el seguimiento d e un escalón en el par g e n e r a d o de 25 N-m a un valor d e s e a d o d e 50 N-m

y c o n s i d e r a n d o el par de carga ( T ¡ ) constante de 50 N-m.

E n seguida se muestra el resultado obtenido b a j o este e s q u e m a d e control, con las mismas condiciones iniciales para el \ c c t o r de estado que en la sección 3.4.1, para los valores d e KD = diag{20, 20, 20, 20. 20} y A = II5, a s u m i e n d o q u e todo el vector d e

estado es medible.

T, r T

F i g . 3 . 1 0 S e g u i m i e n t o e n ci p a r e l é c t r i c o F i g . 3 . 1 1 V e l o c i d a d a n g u l a r d e l r o t o r .

'I

r

F i g . 3 . 1 2 S c j j u i m u n t o e n las c o m e n t e s .

(59)

3.5 C O N C L U S I O N E S

E n e s t e capítulo, se analizaron las p r o p i e d a d e s d e e n t r a d a - s a l i d a del s i s t e m a descrito p o r las e c u a c i o n e s Eulcr-L.agrangc. D a d o q u e este sistema d e f i n e un m a p e o e s t r i c t a m e n t e pasivo, resulta ser estable con un p u n t o d e equilibrio g l o b a l m e n t e a s í n t ó t i c a m e n t e estable, q u e será distinto d e c e r o p a r a u n a f u n c i ó n d e e n t r a d a u ( - ) distinta de c e r o .

E n los r e s u l t a d o s d e simulación, se aprecia c o m o el principal objetivo, el d e s e g u i m i e n t o e n el p a r eléctrico, f u e a l c a n z a d o a s i n t ó t i c a m e n t e , así c o m o el c o n t r o l d e las c o r r i e n t e s , utilizando c u a l q u i e r a de los e s q u e m a s d e c o n t r o l p r o p u e s t o s . T a m b i é n se p u e d e a p r e c i a r q u e el c o n t r o l a d o r b a s a d o en pasividad p r e s e n t a d o e n la sección 3.2 t i e n e un m e j o r d e s e m p e ñ o q u e el calculado para estabilizar sistemas e n c a s c a d a .

(60)

Capitulo 4

OBSERVADORES

I N T R O D U C C I Ó N

Existen m u c h o s sistemas en los cuales un d e s e m p e ñ o a c e p t a b l e p u e d e ser alcanzado r c t r o a l i m c n t a n d o sólo las variables d e estado accesibles para la medición. F r e c u e n t e m e n t e no es posible lograr c^to utilizando ú n i c a m e n t e las variables medibles. Si el sistema es observable es posible estimar aquellas variables d e e s t a d o q u e no son d i r e c t a m e n t e medibles, utilizando los datos de medición disponibles. Con el uso de los estimados d e las variables de estado, en lugar d e e m p l e a r las mediciones, u s u a l m e n t e p u e d e alcanzarse esc d e s e m p e ñ o aceptable del sistema. E n m u c h a s circunstancias resultan ser preferibles en vez de las mediciones directas, d e b i d o a q u e el e r r o r introducido por los instrumentos que proporcionan estas mediciones p u e d e ser más g r a n d e q u e el e r r o r en la estimación de estas variables, c o m o en el caso del r o b o t , el cual será m e n c i o n a d o más adelante,

(61)

E n los sistemas no-lineales la aplicación es la misma p e r o e n d i f e r e n t e f o r m a , ya que se p u e d e aplicar un observador lineal al sistema linealizado, s i e m p r e y c u a n d o esto sea factible; d e otra f o r m a un observador no-lineal tendría q u e s e r d a d o p a r a un caso específico. O t r a m a n e r a es llevar el sistema a una forma canónica observable para la cual ya exista una estructura del observador lineal, tal es el caso del o b s e r v a d o r

no-lineal p a r a una elase de sistemas aliñes en c! estado p r e s e n t a d o s en [13], el cual es p r e s e n t a d o en la sección dos, Después se definirán otros tipos d e o b s e r v a d o r p a r a un sistema Euler-Lagrange.

4.1 D E F I N I C I Ó N D E OBSERVAHILIOAD

P a r a p o d e r definir la observabilidad en sistemas no-lineales se r e q u i e r e d e las siguientes consideraciones y d e f i n i c i o n e s en la misma f o r m a q u e en el capítulo 3.

Considere el siguiente sistema no-lineal afín en la entrada;

d o n d e U es el espacio d e funciones de entrada, x son c o o r d e n a d a s locales en una variedad suave M (variedad del espacio-estado) y f, g1? ..., g ^ son c a m p o s vectoriales

suaves sobre M, b a j o la misma suposición hecha en el capítulo 3 acerca del espacio U y del c o n j u n t o d e controles admisibles, Sea el m a p e o de salida:

y, = h,(x) i = 1, 2, ..., p

d o n d e h = ( hp hp): M Y = Rr es un m a p e o suave.

El t é r m i n o y(t, 0, x0, u) denota ia salida de 2 para u con condición inicial x(0) =

x0 y t a 0.

(62)

Definición 4.1 [1]: D o s estados Xj, x2 e M se dice q u e serán indistinguibles si p a r a c a d a

función d e e n t r a d a admisible u, la salida y(t, 0, xx°, u) d e X p a r a x(0) = y la salida y(t, 0, x2°, u ) d e X para x(0) = x2°, son idénticas sobre su d o m i n i o c o m ú n .

Definición 4.2: El sistema 2 se dice observable si para cada xv x2 indistinguibles implica

q u e x1 =x2.

N ó t e s e q u e esta definición no significa que toda u ( - ) distinga p u n t o s d e M. Sin e m b a r g o , si la función de salida es la suma d e una función del e s t a d o inicial y u n a función d e la e n t r a d a , c o m o en sistemas lineales, e n t o n c e s si alguna e n t r a d a distingue dos estados iniciales toda u ( - ) lo hará.

4,2 O B S E R V A D O R E S

E n esta sección se estudia la aplicación de los observadores p a r a resolver el p r o b l e m a d e control en las distintas representaciones del m o d e l o del m o t o r c o n s i d e r a d a s en este trabajo.

4,2.1 O b s e r v a d o r No-Lineal p a r a una clase de Sistemas No-Lineales

El sistema d e la forma:

es un sistema no-lineal en una forma canónica observable, d o n d e x(t) e Rn, y(t) e Rp,

u(t) 6 Rm; A(u,y) es una matriz que d e p e n d e no-linealmente sobre u, y; C es u n a matriz

Figure

Tabla 2.1 Lista de Símbolos
Tabla 3.1 Valores  N u m é r i c o s  R s  = 0.687 H  R r  = 0.842 H  L s  = 84.0 mH  L„ = 85.2 mH  L s  = 81.3 mH  J = 0.03 Kg-m 2 b = 0.01 Kg-m2 /seg
Fig. 4.13 Ve (\-¡d.i ! angular &gt; «u obsennción.

Referencias

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