PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES JUNIO – 2012 (GENERAL) (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

11 

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES

JUNIO – 2012 (GENERAL)

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo.

OPCIÓN A

1º) a ) Calcule todas las matrices de dimensión 2x2 de la forma       =

d b a A

1 que

satisfa-gan A2 = O.

b ) Demostrar que las matrices del apartado anterior no son invertibles.

--- a )

(

)

→ =− ⇒

      

      

= +

= +

= +

= +

⇒       =    

 

+ +

+ +

=             =

= d a

d b

d a b

d a

d a

d b d a

bd ab b a d b a d b a A A A

0 0 0

0

0 0

0 0 1

· 1 ·

2 2

2 2

2

(

1

)

0 0 0 0 ;; 1 1 1

; ;

0 1 1 1 2 2 2

2− = − = = → = → = = → =− → =−

b d

a b

d a

a a a

a .

Las matrices que cumplen la condición dada son 

  

 

− − =

     

=

1 1

1 1 ;

; 0 1

0 0

2

1 A

A

b )

Una matriz es inversible cuando su determinante es distinto de cero.

⇒ = + − = − − = =

= 1 1 0

1 1

1 1 ;

; 0 0 1

0 0

2

1 A

A A1 y A2 no son inversibles.

(2)

2º) Calcule la recta perpendicular al plano π que pasa por los puntos

(

1,1, 1

)

1

P ,

(

0, 2,1

)

2

P , P3

(

0, 0, −1

)

y pasa por el punto O(0, 0, 0).

---

Los puntos P1

(

1,1,1

)

, P2

(

0, 2,1

)

y P3

(

0, 0, −1

)

determinan los siguientes vectores:

(

0, 2, 1

) (

1,1,1

) (

1,1, 0

)

1 2 2

1 = − = − = −

=PP P P

u .

(

0, 0, 1

) (

1, 1, 1

) (

1, 1, 2

)

1

3 3

1 = − = − − = − − −

=PP P P

v .

El vector normal del plano π es cualquiera que sea linealmente dependiente del

producto vectorial de los vectores u =

(

−1, 1, 0

)

y v =

(

−1, −1, −2

)

:

(

2, 2, 2

)

(

1,1, 1

)

2 2 2 2 2

2 1 1

0 1

1 =− + + − =− − + = − − ⇒ = −

− − − − =

i k k j i j k n

k j i v

u .

La recta r pedida es la que tiene como vector director a n =

(

1,1, −1

)

y pasa por el

origen de coordenadas; su expresión por unas ecuaciones paramétricas es la siguiente:

R z

y x

r ∀ ∈

    

− =

= =

≡ λ

λ λ λ

,

(3)

3º) Calcule los máximos y mínimos de la función

( )

3 2

1 2

2 + + + = x x x x f . ---

( )

(

(

)

(

)

) (

)

(

)

(

)

= + + + − − = + + − − − − + + = + + + + − + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2 2 3 2 2 2 4 4 6 4 2 3 2 2 2 · 1 2 3 2 · 2 ' x x x x x x x x x x x x x x x x x x f

(

)

(

)

f

( )

x x x x x ' 3 2 2 2 2 2 2 = + + − + − = .

Una función tiene un máximo o un mínimo relativo para los valores que anulan la primera derivada.

( )

(

)

(

)

2 ;; 1

2 3 1 2 8 1 1 ; ; 0 2 ; ; 0 3 2 2 2 0

' 1 2

2 2 2 2 = − = ⇒ ± − = + ± − = = − + = + + − + − ⇒

= x x x x x

x x x x x f .

( ) (

)

(

) (

) (

)

(

)

(

+ +

)

= + + + − + + + + − − = 4 2 2 2 2 2 3 2 2 2 · 3 2 · 2 · 2 2 3 2 · 2 4 '' x x x x x x x x x x x f

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

+ +

)

= − − + + + + − − − − − − = = + + + − + + + + − − = 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 2 3 2 2 2 8 6 4 2 12 8 4 3 2 1 2 8 3 2 · 2 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

(

)

(

)

f

( )

x

x x x x x x x x x x x x x '' 3 2 22 24 6 4 3 2 16 8 16 8 6 16 10 4 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 = + + − − + = + + − − + + − − − − = .

( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

]

(

)

Mínimo

f = > ⇒

+ − − + + − = + − + − − − − − + − = − 0 27 18 3 4 4 22 48 24 32 3 2 · 2 2 22 2 · 24 2 · 6 2 · 4 2

'' 3 3

2 2 3

.

( )

(

)

(

)

Máximo

f =− < ⇒

+ + − − + = + + − − + = 0 6 36 3 2 1 22 24 6 4 3 1 · 2 1 22 1 · 24 1 · 6 1 · 4 1

'' 3 3 6

2 2 3

.

( )

( )

( )

( )

1 :

(

2, 1

)

3 3 3 4 4 1 4 3 2 · 2 2 1 2 · 2

2 2 = − =− ⇒ − −

+ − + − = + − + − + − =

Mínimo relativo A

f .

( )

      ⇒ = = + + + = + + + = 2 1 , 1 : 2 1 6 3 3 2 1 1 2 3 1 · 2 1 1 1 · 2

1 2 Máximo relativo B

(4)

4º) Dibuje el recinto limitado por la curva

( )

3

2 + =

x x x

f entre los valores x = 0, x = 1 y el

eje OX. Calcule el área de este recinto.

---

La función

( )

3

2 + =

x x x

f está definida para cualquier valor real de x.

Por ser f

( )

x =−f

( )

x , la función es simétrica con respecto al origen.

Por ser

( )

0

3

2+ = ±∞

→ = ±∞

x

x x

lím x

f x

lím

, el eje X es asíntota horizontal de la función.

No tiene asíntotas horizontales por ser x2 +3≠0, ∀xR.

( )

(

)

(

)

(

)

(

2

)

2

2 2

2 2 2

2 2 2

3 3

3 2 3

3 2 · 3 ·

1 '

+ − = +

− + = +

− + =

x x

x x x

x

x x x

x

f .

( )

(

)

0 ;; 3 0 3 ;; 3 3

3 0

' 2 2 1 2

2 2

= −

=

= − =

+ −

= x x x

x x x

f .

( )

(

) (

) (

)

(

)

(

(

+

) (

)

)

=

− − + −

= +

+ −

− + −

= 3

2

2 2

4 2

2 2

2 2

3 3 4 3 ·

2 3

2 · 3 ·

2 · 3 3 ·

2 ''

x

x x x

x

x

x x

x x

x x

f

(

)

(

)

(

(

)

)

f

( )

x x

x x

x x x

x

x x x x

'' 3

9 2

3 18 2 3

4 12 6 2

3 2

2 3

2 3 3

2

3 3

= +

− =

+ − = +

+ − − −

= .

( )

(

(

)

)

0 3

6 3 12 3

3 9 3 3 2

'' 3 3 = 3 > ⇒ =−

+ − −

=

Mínimo relativo para x

f .

( )

(

(

)

)

0 3

6 3 12 3

3 9 3 3 2

'' 3 3 =− 3 < ⇒ =

+ −

= Máximo relativo para x

f .

( ) 

  

  

− −

− = + − =

6

3 , 3 :

6 3 3

3 3

3 Mínimo A

f .

Por simetría con respecto al origen:

  

  

6 3 , 3 : B

Máximo .

(5)

Como se observa en la figura, entre los valores x = 0 y x = 1, todas las ordenadas

de la función

( )

3

2+ =

x x x

f son positivas por lo que el área pedida es la siguiente:

[ ]

=

(

)

= =

= ⇒     

  

= → =

= → = =

= + ⇒ +

=

· 4 3

2 1 ·

2 1 · 1 · 2 1 3

0

4 1

3 ·

3

4 3 4

3 2

1 2 1

0

2 dt Lt L L

t S

t x

t x

dt xdx

t x

dx x

x S

S u

L ≅ = =

= 2

144 ' 0 2877 ' 0 · 2 1 3 4 2 1

.

********** B

X Y

A

O

f(x)

y= 0 − 3

3

1

(6)

OPCIÓN B

1º) a ) Calcule la posición relativa de las rectas   

= − +

− = + + ≡

0 1 3 2

1

z y x

z y x

r y

  

= +

= + ≡

1 2

0

2

y x

y x

r .

b ) Calcule, si procede, o bien el punto de intersección o bien la recta perpendicular a las dos rectas dadas y que las corte.

---

a )

Vamos a realizar el estudio mediante el sistema de cuatro ecuaciones con tres in-cógnitas que determinan las dos rectas expresadas por ecuaciones implícitas.

El sistema que forman las rectas r1 y r2 es

      

= +

= +

= − +

− = + +

1 2

0 0

1 3 2

y x

y x

z y x

z y x

, cuyo estudio mediante

el teorema de Rouché-Fröbenius se hace a continuación.

Las matrices de coeficientes y ampliada son:

   

 

   

 −

− =

   

 

   

 

− =

1 0 0 1

0 1 2

0 1 1

1 1 1

3 2 1

' ; ;

0 1 2

0 1 1

1 1 1

3 2 1

M

M .

En función de los rangos de las matrices M y M’, la posición relativa de las dos rectas es la siguiente:

Rango M = Rango M’ = 2 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Son rectas coincidentes.

Rango M = 2 ;; Rango M’ = 3 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Son rectas paralelas.

Rango M = Rango M’ = 3 ⇒ (Puntos comunes) ⇒ Las rectas se cortan en un punto.

Rango M = 3 ;; Rango M’ = 4 ⇒ (No hay puntos comunes) ⇒ Las rectas son secantes.

{

+

}

== = + =

⇒ 3 3 3 3 0

0 1 1

1 1 1

3 3 3

1 0 0 0

0 1 2

0 1 1

1 1 1

3 3 3

'

' F1 F1 F4 M

M Rango

3 '=

Rango M

(7)

{

}

3 2 3 1 1 0 3 0

1 1

1 1 1

3 2 1

,

, 2 3

1 F F ⇒ − = − − + =− ≠ ⇒ Rango M = F

punto un

en cor se s y r rectas Las M

Rango M

Rango = =3 ⇒ tan

b )

El punto de intersección es la solución del sistema

      

= +

= +

= − +

− = + +

1 2

0 0

1 3 2

y x

y x

z y x

z y x

, que sabemos

que es compatible determinado. Para resolverlo despreciamos una ecuación, por ejem-plo la primera, y resolvemos el sistema resultante.

z y

x z y

x y

x y x

y x

y x

z y x

= = + = −

= =

⇒   

= +

= − −

⇒     

= +

= +

= − +

0 ;

; 1 ;

; 1 1

2

0

1 2

0 0

.

El punto de corte es P(1, -1, 0).

(8)

2º) a ) Discuta el sistema      − = − + = − + − = + + 1 3 6 3 0 1 2 z y ax az ay x z y x

según los valores del parámetro α.

b ) Resuelva el sistema en el caso en que sea compatible indeterminado.

--- a )

Las matrices de coeficientes y ampliada son:

          − − − − =           − − = 1 0 1 3 6 3 1 1 2 1 ' 3 6 3 1 1 2 1 a a a M y a a a M .

El rango de la matriz de coeficientes en función del parámetro α es el siguiente:

(

− −

)

= ⇒ − = + + − = + + − − + − = − −

= 3 6 6 3 6 6 9 3 12 33 4 0

3 6 3 1 1 2 1 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a M 3 4 2 1 2 ; ; 1 6 7 1 6 49 1 6 48 1 1 ; ; 0 4

3aa− = a= ± + = ± = ± ⇒ a =− a = .

ado er Compatible incóg n M Rango M Rango a a

Para 1 ' 3 º . det min

3

4 ⇒ = = = ⇒

      ≠ − ≠

{

=

}

⇒ ⇒

{

}

⇒ ⇒           − − − − − = ⇒ −

= 1 3 ' 1, 3, 4

1 0 1 3 6 3 1 1 1 1 2 1 '

1 M C C Rango M C C C

a Para 2 ' 0 2 3 6 1 1 6 3 0 1 1 1 2 1 = ⇒ = + + − = − − − −

Rango M .

{

3

}

' 2

1 0 1 3 6 4 1 1 2 1

' 3 1 2 3

4 3 4 3

4 ⇒ + = ⇒ =

          − − − − = ⇒

= M F F F Rango M

a Para . ado er in Compatible incóg n M Rango M Rango a a

Para 1 ' 2 º . det min

3

4 ⇒ = = < ⇒

      = − = b )

(9)

Para α = -1 resulta el sistema

    

− = − + −

= + −

− = + +

1 3 6 3

0 1 2

z y x

z y x

z y x

.

Despreciando una ecuación, por ejemplo la tercera, y parametrizando una de las incógnitas, por ejemplo z=λ, resulta:

x y

x y

y y

x y x y

x y x

= − − = − = −

= −

= ⇒    =

+ −

− − = +    − = −

− − = +

λ λ

λ λ λ

λ

3 1 3

1 ;;

; ; 1 3 1

2 1

2

.

R z

y x

Solución ∀ ∈

    

= − =

− − =

λ λ

λ ,

: 13

3 1

Para α =34 resulta el sistema

    

− = − +

= − +

− = + +

1 3 6 4

0 1 2

3 4 3 4

z y x

z y x

z y x

.

Despreciando una ecuación, por ejemplo la segunda, y parametrizando una de las incógnitas, por ejemplo z=λ, resulta:

= − − − − = − − − = +

= ⇒    + − = +

+ = − −    + − = +

− − = +

λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

6 2 1 1

2 ; ; 6 2 3

1 6 4

3 3 6 3 3

1 6 4

1 2

x y

x y

x y x y

x y x

λ

λ 2

7 2 3

; ; 7

3− =− −

= y .

R

z y x

Solución ∀ ∈

    

= − − =

+ =

λ λ

λ λ

, 6 2

: 27

(10)

3º) Sea α un valor real que está estrictamente entre -1 y 1 (-1 < α < 1). Definimos la

función siguiente en función de α:

( )

3

3

1 3+ 2 + − = x ax x x

f . Demuestre que la función

ante-rior solo se anula para un valor de x.

---

El estudio del crecimiento y decrecimiento de la función

( )

3 3

1 3+ 2+ − = x ax x x

f es

el siguiente:

( )

1

2

1 2

2 2

4 4 2 0

1 2

' 2

2 2

2 + + = =− ± − =− ± − =− ± −

=x ax x a a a a a a

x

f .

Para −1<a<1 el valor de x de la expresión −a± a2−1 carece de soluciones reales, lo que implica que la función es monótona en su dominio, que es R, indepen-dientemente del valor real de α. Teniendo en cuenta que, por ser una función polinómica

de grado impar, su recorrido es R, implica necesariamente que:

( )

x x ax x se anula para un solo valor de x f

función

La 3

3

1 3 + 2+ −

=

(11)

4º) Calcule la siguiente integral indefinida: I =

x·3 4+x2 ·dx.

---

= + + =

= =

⇒     

    

= = = +

+ =

+

I t dt t dt t C

dt dx

x

dt dx x

t x dx

x x

I

1 3 1 · 2 1 · · 2 1 · · 2 1

· ·

· 2 4

· 4 ·

1 3 1 3

1 3

2 1 2

3 2

(

x

)

x C I C

t t C t C t

= + + +

= + =

+ =

+

= 3 3 2 3 2

4 3

4

4 · 4 · 8 3 ·

· 8 3 ·

8 3

3 4 · 2 1

.

Figure

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