I
I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ
A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2000
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B).
2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.
3.- Todas las preguntas se puntúan igual. BLOQUE 1
1-A) Sea la función
( )
n x nx xf = − , siendo n un número entero distinto de 0 y 1.
a ) Comprobar que, para cualquier valor de n distinto de 0 y 1, f(x) tiene un extremo re-lativo en x = 1. Averiguar si depende o no del valor de n, el que este extremo sea máxi-mo o mínimáxi-mo.
b ) Suponiendo ahora que n > 1, determinar, según los valores de n, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Utilizar esto para probar que nx−xn ≤n−1, ∀x≥0 y ∀n>1. ---
a )
Las derivadas sucesivas de f(x) son las siguientes:
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)(
)
( )
(
)(
)
( )
0(
1)
0 ;; 1 0 1, ,{ }
1'
! ·
1 · ·
2 1 ···
2 1 '
' '
1 '
'
1 '
1 1
0 )
3 2
1 1
> ∈
∀ = ⇒ = − =
− ⇒ =
− = ⋅⋅
⋅⋅ ⋅ − − − =
− − − =
− − =
− = −
=
⇒ −
=
− −
− −
− −
n N n x
x x
n x
f
n x
n n n x f
x n n n x f
x n n x f
x n x n n x f
x nx x f
n n
n
n n
n n
n
( )
x n(
n)
x x R y n N{ }
n Máximo f =− − n− < ∀ ∈ ∀ ∈ > ⇒1 ,
, 0 ·
1 '
' 2
b )
( )
(
)
( )
{ }
( )
{ }
( )
( )
⇒ > ⇒
→
⇒ < ⇒
→ ⇒
− <
⇒ > ∈
∀ >
∈ ∀ <
⇒ > ∈
∀ <
∈ ∀ >
⇒ −
= −
Creciente x
f par n
e Decrecient x
f Par
n x
Para
e Decrecient n
N n y x R x x
f
Creciente n
N n y x
R x x
f
x n
x
f n
0 '
Im
0 '
1
1 ,
1 , ,
0 '
1 ,
1 ,
, 0 '
1 ·
1-B) Dada la función
( )
25 x
x x
f = − , se pide:
a ) Dominio y cortes con los ejes. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b ) Calcular el área encerrada entre la gráfica de f(x) y el eje de abscisas.
--- a )
El dominio de f(x) es el conjunto de números reales que hacen 5−x2 ≥0 ;;
( )
[
5, 5]
5; ;
5≥ 2 ≤ ⇒ ⇒ − +
f D x
x .
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
→ = ⇒
− → − =
→ =
→ =
⇒ = − =
= ⇒ ⇒
0 , 0 0
0 , 5 5
0 , 5 5
0 , 0 0
0 5
; ; 0
3 2 1
2
O x
Y
B x
A x
O x
x x
x f y X ejes
los con Corte
( )
( )
( )
( )
(
)
− = = =
⇒ = −
= − =
− − ⇒ =
= − − = − − =
− +
= − =
2 10 2 10 0
0 2
5 ; ; 0 2 5 ; ; 0 5
2 5 0 '
' 5
2 5
5 2
4 10 '
; ; 5
5
2 2 1
2 3
4 2
3
4 2
3
4 2
3 4
2 2
x x x
x x
x x x
x x x x
f
x f x x
x x x
x x x x
f x
x x
x x f
Tomamos un valor intermedio de las raíces, por ejemplo x = 1, para el cual el va-lor de la derivada es:
( )
( )
( )
⇒
+ ∪
− ⇒ <
⇒
∪
− −
⇒ >
⇒ > = − − =
e Decrecient x
f
Creciente x
f
f
5 , 2 10 0
, 2 10 0
'
2 10 , 0 2
10 ,
5 0
'
0 2 3 1 5
2 5 1 '
b )
Por ser positivas todas las ordenadas de la función
( )
2 2 4 55 x x x
x x
f = − = − , y
S u t
t t
dt t dt t
dt t
S t
x
t x
dt dx
x
t x dx
x x
S
= =
− =
=
= =
− =
=
− =
⇒
= → =
= → =
− =
= − ⇒ −
=
∫
∫
∫
∫
2 5
0 5
0 2 3 5
0 2 1 0
5
0
5 2
5
0
2
3 5 10 0 3
5 · 5 · 2 3
2
2 3 ·
·
· 2 1 · · 2 5
0
0 5
2 1 5
· 5 · · 2
BLOQUE 2
2-A) Si la matriz
= i h g f e d c b a
A tiene determinante n, averiguar el valor del
determi-nante de las siguientes matrices:
+ + + + + + = = h i h i g b c b c a e f e f d C y c b a i h g f e d B 3 6 9 2 3 2 4 6 . --- B n c b a i h g f e d c b a i h g f e d c b a i h g f e d B n
A = ⇒ = = =6· 2·3· =36 =
2-B) Se considera la función
( )
x x x
b a b
a x f
1 0
0
0 1
0
0 0 1
3 2
− − −
−
= . Sabiendo que f(0) = -3 y que
f(1) = f(-1), determinar a y b.
---
( )
) ( 3 2 2
3
1 0
0 1
3 2 ·
1 1
0
0 1
0 0 ·
1 0
0
0 1
0
0 0 1
3 2
2 3 2
3
x f b ax bx
x a ax b bx x a
x x
b a b
x x x a x x x
b a b
a x f
= + − + =
− + + =
= −
− − +
− − =
− − −
−
=
( )
( )
( )
a a af
ax x
ax x f b
b f
= − − = − − − ⇒ − =
− − − = −
= −
= ⇒ − =
3 ; ; 1 3 2 1 1
1
3 2 ;
; 1 ;
; 3 3
3
0 3 2
( )
= −3 3 − 2 +6 −3x x x x
f
BLOQUE 3
3-A) Dada la recta
= −
= + − ≡
1 0 3
y x
z y x
r , se pide:
a ) Determinar la ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2, -1, 0) y corta perpen-dicularmente a r. Calcular el punto Q intersección de r y s y el simétrico de P con res-pecto a r.
b ) Obtener, explicando el procedimiento utilizado, una recta paralela a s que se cruce con r.
---
a ) La situación del apartado está representada en la figura adjunta.
La expresión de la recta r por unas ecuaciones paramétricas es de la forma siguiente:
= − = =
− −
− =
− − = ⇒ − = + −
− = − ⇒
⇒ = ⇒
= −
= + − ≡
1 ;
; 1 ;
; 2 1 2 1
; ; 1 2
1 3
1 0 3
x y y
x x
x y
x y x
z y
x
z y x r
λ
λ λ
λ
= − − =
− − =
≡ ⇒ =
− − = − − − =
λ
λ λ
λ λ
z y x r y
2 1 2 3
2 1 2 1
2 1 2 3 1 2 1 2 1
Un vector director de r puede ser w =
(
1, 1, −2)
.El haz de planos perpendiculares a r tiene por expresión x+ y−2z+D =0, y de ellos, sea π el que contiene a P(2, -1, 0); la ecuación general de π es la siguiente:
(
)
2 1 0 0 ;; 1 2 1 00 , 1 , 2
0 2
= − − + ≡ ⇒ − = =
+ − − ⇒ −
= + − +
z y x D
D P
D z y x
π .
Q P
P’
r
s
El punto Q de corte de la recta r con el plano π es el siguiente:
(
0, 1, 1)
1 ;
; 0 1 ; ; 0 3 3
; ; 0 1 2 2
; ; 0 1 2 2
1 2 3 2
1 2 1
0 1 2
2 1 2 3
2 1 2 1
− − ⇒
− = =
+ =
− −
= − − − − =
− −
− − +
− − ⇒
= − − + ≡
= − − =
− − =
≡
Q z
y x
z y x r
λ λ
λ
λ λ λ
λ λ
π
λ
λ λ
Un vector director de la recta r puede ser v , siendo:
(
) (
) (
)
vP Q PQ
v = = − = 0, −1, −1 − 2, −1, 0 = −2, 0, −1 =
La recta s pasa por P y tiene como vector director v :
− =
− =
− = ≡
λ λ
z y x
s 1
2 2
El punto P’, por pertenecer a la recta r es de la forma P'
(
2−2λ, −1, −λ)
. De la observación de la figura se deduce por simetría que: PQ =QP' ⇒(
) (
) (
) (
)
(
) (
)
2 '(
2, 1, 2)
1 1
2 2 2 1
, 0 , 2 2 1 , 0 , 2
; ; 1 , 1 , 0 ,
1 , 2 2 0 , 1 , 2 1 , 1 , 0 '
− − − ⇒ = ⇒
+ − = −
− = − ⇒ + − −
= − −
− − − − − −
= −
− − − ⇒
− = − ⇒
P Q
P P Q
λ λ
λ λ
λ
λ λ
b )
Cualquier recta r’, paralela a r, puede tener como vector director al vector w , director de la recta r; como punto puede tomarse cualquier punto del plano π que no sea el punto Q; podemos tomar, por ejemplo el punto P(2, -1, 0):
(
)
(
)
− =
+ − =
+ = ≡ ⇒
− − =
λ λ λ
2 1 2
' 0
, 1 , 2
2 , 1 , 1
z y x r P
w
3-B) Se considera la recta
− = + −
= − ≡
1 2
1 2
z y x
y x
r , se pide:
a ) De todos los planos que se pueden representar por una ecuación de la forma:
0 1 2
5 + − + =
≡ x my z
α , probar que hay un único plano π que es paralelo a r. Compro-bar si el plano π obtenido contiene o no a la recta r y en caso negativo, determinar el plano π1 que es paralelo a π y contiene a r.
b ) Obtener la ecuación de una recta t contenida en π1 que sea perpendicular a r.
¿Cuán-tas hay?
--- a )
Si el plano π es paralelo a la recta r, el sistema que forman tiene que ser incom-patible, es decir, que no tienen ningún punto en común.
Las matrices de coeficientes y ampliada del sistema resultante son:
− − − − − =
− − − =
1 1 1
2 5
2 1 1
0 1 2 ' ; ; 2 5
2 1 1
0 1 2
m M
m M
Veamos el rango de M’ considerando las columnas 1ª, 3ª y 4ª ⇒
3 ' 0
20 4
10 2 4 1 2 5
1 2 1
1 0 2
= ⇒
≠ − = − − − − = − −
−
⇒ Rango M
Como el rango de M tiene que ser diferente, ha de ser, necesariamente, M =0:
2 ;
; 8 4
; ; 0 2 4 10 4 ; ; 0 2 5
2 1 1
0 1 2
− = −
= =
− − − =
− − −
m m
m m
El plano π pedido, único, tiene por ecuación π ≡5x−2y−2z+1=0.
La expresión por unas ecuaciones paramétricas de la recta r es la siguiente:
= + =
+ = ≡ ⇒ =
+ = − + = − = =
−
+ = ⇒ + = + −
= −
− − = −
= − ⇒ = ⇒
− = + −
= − ≡
λ λ λ λ
λ
λ λ
λ λ
z y x r y
x y y
x
x y
x y x y
x y x z
z y x
y x r
4 3
2 2
4 3 1 4 4 1 2 ;
; 1 2
; ; 2 2 2
1 1 2
2 1 1 2
1 2
Si el plano π contiene a la recta r tiene que satisfacer su ecuación ∀λ∈R:
(
) (
)
r a contiene no
z y x r
z y x
π λ
λ λ
λ λ λ
λ λ λ π
⇒ =
= + − − − +
= + − + − + ⇒
= + =
+ = ≡
= + − − ≡
?? 0 5 ; ; 0 1 2 8 6 10 10
; ; 0 1 2 4 3 2 2 2 5 4
3 2 2
0 1 2 2 5
El plano π1 paralelo a π que contiene a la recta r es el siguiente:
(
) (
)
0 4 2 2 5 4
; ; 0 4
; ; 0 2
8 6 10 10
; ; 0 2
4 3 2 2 2 5 4
3 2 2
0 2
2 5
1 ≡ − − − =
⇒ − = =
+ =
+ − − − +
= + − + − + ⇒
= + =
+ = ≡
= + − − ≡
z y x D
D D
D z
y x r
D z y x
π λ
λ λ
λ λ λ
λ λ λ π
b )
Un vector director de r es v =
(
2, 4, 1)
.Tomamos un punto genérico Q, perteneciente al plano π1, que
tenga una componente nula con obje-to de facilitar el cálculo, por ejemplo x = 0; sería:
(
0, , 2)
2
; ; 0 2 ;
; 0 4 2 2 0
0 4 2 2 5 1
− − ⇒
− − =
= + + =
− − − ⇒
⇒ =
= − − − ≡
y y Q y
z
z y z
y x
z y x
π
El vector u = PQ es:
(
y y) (
) (
y y)
uP Q PQ
u = = − = 0, , − −2 − 2, 3, 0 = −2, −3, − −2 =
P Q
r
u
1
π
t
El vector u va a ser el director de la recta t, que pasará por el punto P. Los vecto-res u y v tienen que ser perpendiculares, por lo tanto, su producto escalar tiene que ser cero:
(
) (
)
(
)
(
(
)
)
− =
+ =
− = ≡ ⇒
= − −
⇒ ⇒ −
− = ⇒
⇒ = =
= + + − − = −
− − −
⇒ =
λ λ λ
8 3 3
2 2
0 , 3 , 2
8 , 3 , 2 8
, 3 , 2
6 ;
; 3 18 ; ; 0 2 4
12 4 1 , 4 , 2 · 2 ,
3 , 3 0
·
z y x t P
u t
u
y y y
y y
y v
u