PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2000 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA JUNIO - 2000

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- Todas las preguntas se puntúan igual. BLOQUE 1

1-A) Sea la función

( )

n x nx x

f = − , siendo n un número entero distinto de 0 y 1.

a ) Comprobar que, para cualquier valor de n distinto de 0 y 1, f(x) tiene un extremo re-lativo en x = 1. Averiguar si depende o no del valor de n, el que este extremo sea máxi-mo o mínimáxi-mo.

b ) Suponiendo ahora que n > 1, determinar, según los valores de n, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Utilizar esto para probar que nx−xn ≤n−1, ∀x≥0 y ∀n>1. ---

a )

Las derivadas sucesivas de f(x) son las siguientes:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)(

)

( )

(

)(

)

( )

0

(

1

)

0 ;; 1 0 1, ,

{ }

1

'

! ·

1 · ·

2 1 ···

2 1 '

' '

1 '

'

1 '

1 1

0 )

3 2

1 1

> ∈

∀ = ⇒ = − =

− ⇒ =

  

   

 

− = ⋅⋅

⋅⋅ ⋅ − − − =

− − − =

− − =

− = −

=

⇒ −

=

− −

n N n x

x x

n x

f

n x

n n n x f

x n n n x f

x n n x f

x n x n n x f

x nx x f

n n

n

n n

n

( )

x n

(

n

)

x x R y n N

{ }

n Máximo f =− − n− < ∀ ∈ ∀ ∈ > _⇒

1 ,

, 0 ·

1 '

' 2

(2)

b )

( )

(

)

( )

{ }

( )

{ }

( )

     

      

 

     

⇒ > ⇒

→

⇒ < ⇒

→ ⇒

− <

⇒ > ∈

∀ >

∈ ∀ <

⇒ > ∈

∀ <

∈ ∀ >

⇒ −

= −

Creciente x

f par n

e Decrecient x

f Par

n x

Para

e Decrecient n

N n y x R x x

f

Creciente n

N n y x

R x x

f

x n

x

f n

0 '

Im

0 '

1

1 ,

1 , ,

0 '

1 ,

, 0 '

1 ·

(3)

1-B) Dada la función

( )

2

5 x

x x

f = − , se pide:

a ) Dominio y cortes con los ejes. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. b ) Calcular el área encerrada entre la gráfica de f(x) y el eje de abscisas.

--- a )

El dominio de f(x) es el conjunto de números reales que hacen 5−x2 ≥0 ;;

( )

[

5, 5

]

5

; ;

5≥ 2 ≤ _⇒ _⇒ − +

f D x

x .

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

  

   

 

→ = ⇒

      

− → − =

→ =

⇒ = − =

= ⇒ ⇒

0 , 0 0

0 , 5 5

0 , 0 0

0 5

; ; 0

3 2 1

2

O x

Y

B x

A x

O x

x x

x f y X ejes

los con Corte

( )

(

)

   

   

 

− = = =

⇒ = −

= − =

− − ⇒ =

= − − = − − =

− +

= − =

2 10 2 10 0

0 2

5 ; ; 0 2 5 ; ; 0 5

2 5 0 '

' 5

2 5

5 2

4 10 '

; ; 5

5

2 2 1

2 3

4 2

3

4 2

3

4 2

3 4

2 2

x x x

x x

x x x

x x x x

f

x f x x

x x x

x x x x

f x

x x

x x f

Tomamos un valor intermedio de las raíces, por ejemplo x = 1, para el cual el va-lor de la derivada es:

( )

  

   

 

⇒     

  

+ ∪

    

  

− ⇒ <

⇒     

   ∪     

  

− −

⇒ >

⇒ > = − − =

e Decrecient x

f

Creciente x

f

5 , 2 10 0

, 2 10 0

'

2 10 , 0 2

10 ,

5 0

'

0 2 3 1 5

2 5 1 '

b )

Por ser positivas todas las ordenadas de la función

( )

2 2 4 5

5 x x x

x x

f = − = − , y

(4)

S u t

t t

dt t dt t

dt t

S t

x

t x

dt dx

x

t x dx

x x

S

= =

− =

   

  =   

 

  

 

= =

− =

=      

− =

⇒     

    

= → =

− =

= − ⇒ −

=

∫

2 5

0 5

0 2 3 5

0 2 1 0

5

0

5 2

5

0

2

3 5 10 0 3

5 · 5 · 2 3

2

2 3 ·

·

· 2 1 · · 2 5

0

0 5

2 1 5

· 5 · · 2

(5)

BLOQUE 2

2-A) Si la matriz

          = i h g f e d c b a

A tiene determinante n, averiguar el valor del

determi-nante de las siguientes matrices:

          + + + + + + =           = h i h i g b c b c a e f e f d C y c b a i h g f e d B 3 6 9 2 3 2 4 6 . --- B n c b a i h g f e d c b a i h g f e d c b a i h g f e d B n

A = ⇒ = = =6· 2·3· =36 =

(6)

2-B) Se considera la función

( )

x x x

b a b

a x f

1 0

0

0 1

0

0 0 1

3 2

− − −

−

= . Sabiendo que f(0) = -3 y que

f(1) = f(-1), determinar a y b.

---

( )

) ( 3 2 2

3

1 0

0 1

3 2 ·

1 1

0

0 1

0 0 ·

1 0

0

0 1

0

0 0 1

3 2

2 3 2

3

x f b ax bx

x a ax b bx x a

x x

b a b

x x x a x x x

b a b

a x f

= + − + =

− + + =

= −

− − +

− − =

− − −

−

=

( )

a a a

f

ax x

ax x f b

b f

= − − = − − − ⇒ − =

− − − = −

= −

= ⇒ − =

3 ; ; 1 3 2 1 1

1

3 2 ;

; 1 ;

; 3 3

3

0 3 2

( )

= −3 3 − 2 +6 −3

x x x x

f

(7)

BLOQUE 3

3-A) Dada la recta

  

= −

= + − ≡

1 0 3

y x

z y x

r , se pide:

a ) Determinar la ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2, -1, 0) y corta perpen-dicularmente a r. Calcular el punto Q intersección de r y s y el simétrico de P con res-pecto a r.

b ) Obtener, explicando el procedimiento utilizado, una recta paralela a s que se cruce con r.

---

a ) La situación del apartado está representada en la figura adjunta.

La expresión de la recta r por unas ecuaciones paramétricas es de la forma siguiente:

= − = =

− −

− =

− − = ⇒    − = + −

− = − ⇒

⇒ = ⇒ 

 

= −

= + − ≡

1 ;

; 1 ;

; 2 1 2 1

; ; 1 2

1 3

1 0 3

x y y

x x

x y

x y x

z y

x

z y x r

λ

λ λ

λ

  

   

 

= − − =

− − =

≡ ⇒ =

− − = − − − =

λ

λ λ

z y x r y

2 1 2 3

2 1 2 1

2 1 2 3 1 2 1 2 1

Un vector director de r puede ser w =

(

1, 1, −2

)

.

El haz de planos perpendiculares a r tiene por expresión x+ y−2z+D =0, y de ellos, sea π el que contiene a P(2, -1, 0); la ecuación general de π es la siguiente:

(

)

2 1 0 0 ;; 1 2 1 0

0 , 1 , 2

0 2

= − − + ≡ ⇒ − = =

+ − − ⇒    −

= + − +

z y x D

D P

D z y x

π .

Q P

P’

r

s

(8)

El punto Q de corte de la recta r con el plano π es el siguiente:

(

0, 1, 1

)

1 ;

; 0 1 ; ; 0 3 3

; ; 0 1 2 2

1 2 3 2

1 2 1

0 1 2

2 1 2 3

2 1 2 1

− − ⇒

− = =

+ =

− −

= − − − − =

− −    

 

− − +    

 

− − ⇒

   

    

 

= − − + ≡

  

   

 

= − − =

− − =

≡

Q z

y x

z y x r

λ λ

λ

λ λ λ

λ λ

π

λ

λ λ

Un vector director de la recta r puede ser v , siendo:

(

) (

)

v

P Q PQ

v = = − = 0, −1, −1 − 2, −1, 0 = −2, 0, −1 =

La recta s pasa por P y tiene como vector director v :

    

− =

− = ≡

λ λ

z y x

s 1

2 2

El punto P’, por pertenecer a la recta r es de la forma P'

(

2−2λ, −1, −λ

)

. De la observación de la figura se deduce por simetría que: PQ =QP' ⇒

(

) (

)

(

) (

)

2 '

(

2, 1, 2

)

1 1

2 2 2 1

, 0 , 2 2 1 , 0 , 2

; ; 1 , 1 , 0 ,

1 , 2 2 0 , 1 , 2 1 , 1 , 0 '

− − − ⇒ = ⇒    

 

+ − = −

− = − ⇒ + − −

= − −

− − − − − −

= −

− − − ⇒

− = − ⇒

P Q

P P Q

λ λ

λ

λ λ

b )

Cualquier recta r’, paralela a r, puede tener como vector director al vector w , director de la recta r; como punto puede tomarse cualquier punto del plano π que no sea el punto Q; podemos tomar, por ejemplo el punto P(2, -1, 0):

(

)

(

)



   

− =

+ − =

+ = ≡ ⇒

    

    

− − =

λ λ λ

2 1 2

' 0

, 1 , 2

2 , 1 , 1

z y x r P

w

(9)

3-B) Se considera la recta

  

− = + −

= − ≡

1 2

z y x

y x

r , se pide:

a ) De todos los planos que se pueden representar por una ecuación de la forma:

0 1 2

5 + − + =

≡ x my z

α , probar que hay un único plano π que es paralelo a r. Compro-bar si el plano π obtenido contiene o no a la recta r y en caso negativo, determinar el plano π1 que es paralelo a π y contiene a r.

b ) Obtener la ecuación de una recta t contenida en π1 que sea perpendicular a r.

¿Cuán-tas hay?

--- a )

Si el plano π es paralelo a la recta r, el sistema que forman tiene que ser incom-patible, es decir, que no tienen ningún punto en común.

Las matrices de coeficientes y ampliada del sistema resultante son:

  

 

  

 

− − − − − =

  

 

  

 

− − − =

1 1 1

2 5

2 1 1

0 1 2 ' ; ; 2 5

2 1 1

0 1 2

m M

Veamos el rango de M’ considerando las columnas 1ª, 3ª y 4ª ⇒

3 ' 0

20 4

10 2 4 1 2 5

1 2 1

1 0 2

= ⇒

≠ − = − − − − = − −

−

⇒ _Rango _M

Como el rango de M tiene que ser diferente, ha de ser, necesariamente, M =0:

2 ;

; 8 4

; ; 0 2 4 10 4 ; ; 0 2 5

2 1 1

0 1 2

− = −

= =

− − − =

− − −

m m

El plano π pedido, único, tiene por ecuación π ≡5x−2y−2z+1=0.

La expresión por unas ecuaciones paramétricas de la recta r es la siguiente:

    

= + =

+ = ≡ ⇒ =

+ = − + = − = =

−

+ = ⇒    + = + −

= − 

  − − = −

= − ⇒ = ⇒ 

 

− = + −

= − ≡

λ λ λ λ

λ

λ λ

z y x r y

x y y

x

x y

x y x y

x y x z

z y x

y x r

4 3

2 2

4 3 1 4 4 1 2 ;

; 1 2

; ; 2 2 2

1 1 2

2 1 1 2

1 2

(10)

Si el plano π contiene a la recta r tiene que satisfacer su ecuación ∀λ∈R:

(

) (

)

r a contiene no

z y x r

z y x

π λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λ π

⇒ =

= + − − − +

= + − + − + ⇒

      

    

= + =

+ = ≡

= + − − ≡

?? 0 5 ; ; 0 1 2 8 6 10 10

; ; 0 1 2 4 3 2 2 2 5 4

3 2 2

0 1 2 2 5

El plano π1 paralelo a π que contiene a la recta r es el siguiente:

(

) (

)

0 4 2 2 5 4

; ; 0 4

; ; 0 2

8 6 10 10

; ; 0 2

4 3 2 2 2 5 4

3 2 2

0 2

2 5

1 ≡ − − − =

⇒ − = =

+ =

+ − − − +

= + − + − + ⇒

      

    

= + =

+ = ≡

= + − − ≡

z y x D

D D

D z

y x r

D z y x

π λ

λ λ

λ λ λ

λ λ λ π

b )

Un vector director de r es v =

(

2, 4, 1

)

.

Tomamos un punto genérico Q, perteneciente al plano π1, que

tenga una componente nula con obje-to de facilitar el cálculo, por ejemplo x = 0; sería:

(

0, , 2

)

2

; ; 0 2 ;

; 0 4 2 2 0

0 4 2 2 5 1

− − ⇒

− − =

= + + =

− − − ⇒

⇒    =

= − − − ≡

y y Q y

z

z y z

y x

z y x

π

El vector u = PQ es:

(

y y

) (

y y

)

u

P Q PQ

u = = − = 0, , − −2 − 2, 3, 0 = −2, −3, − −2 =

P Q

r

u

1

π

t

(11)

El vector u va a ser el director de la recta t, que pasará por el punto P. Los vecto-res u y v tienen que ser perpendiculares, por lo tanto, su producto escalar tiene que ser cero: