SEPTIEMBRE 2008
Bloque A
1.- Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máximo de 27 camiones, para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable dedica un mínimo de 12 camiones y para medicinas debe dedicar un número de camiones mayor o igual que la mitad del número de camiones dedicados a llevar agua. Enviar un camión con agua potable tiene un coste de 9000 euros, mientras que el coste para un camión de medicinas es de 6000 euros. Calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cómo debe organizarse el convoy para que su coste sea mínimo ¿Cuánto es el coste de la solución óptima?
2.- Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la función:
S (t) = 660 – 231t + 27t2 – t3
donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la mañana.
a) A qué hora tiene máxima y mínima audiencia la cadena entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche? ¿Qué porcentaje de ciudadanos ven la cadena de TV a esas horas de máxima y mínima audiencia?
b) Dibuja la gráfica de la función S (t) para t comprendido entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche.
3.- En una encuesta se pregunta a 10000 estudiantes de Bachillerato sobre su consumo semanal de refrescos, encontrándose una media muestral de 5 refrescos. Se supone una desviación típica de la población de σ = 2 refrescos.
a) Halla el intervalo de confianza para el consumo medio semanal de refrescos en toda la población de estudiantes de Bachillerato, con un nivel de confianza del 80 %.
b) Si aceptamos un error máximo de ± 0,25 refrescos para la estimación de la media poblacional con un nivel de confianza del 80 %, ¿a cuántas personas es necesario entrevistar?
4.- En una reunión hay 7 personas de las que 4 son médicos y 3 abogados. Si elegimos dos personas de la reunión al azar, ¿cuál es la probabilidad de que uno sea médico y otro abogado?
Bloque B
1.- Sea la matriz A = .
5 4 2
2 1 1
4 4 1
−
−
− −
a) Prueba que A2 – 2A + I = 0 donde I es la matriz identidad y 0 es una matriz con todos sus elementos iguales a 0.
b) Calcula A3.
2.- Dada la función f (x) = 1
x se pide:
a) Representa la función f (x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) en el punto x = 1 2.
3.- En cierta población, un 20 % de los trabajadores trabaja en la agricultura, un 25 % en la industria y el resto en el sector servicios. Un 63 % de los que trabajan en la agricultura son mayores de 45 años, siendo el porcentaje de mayores de 45 años del 38 % y el 44 % en los otros sectores respectivamente.
a) Seleccionado un trabajador al azar, ¿qué probabilidad hay de que tenga menos de 45 años? b) Si sabemos que un trabajador en mayor de 45 años, ¿qué probabilidad hay de que proceda
de la agricultura?
SOLUCIONES Bloque A
1.- Una ONG organiza un convoy de ayuda humanitaria con un máximo de 27 camiones, para llevar agua potable y medicinas a una zona devastada por unas inundaciones. Para agua potable dedica un mínimo de 12 camiones y para medicinas debe dedicar un número de camiones mayor o igual que la mitad del número de camiones dedicados a llevar agua. Enviar un camión con agua potable tiene un coste de 9000 euros, mientras que el coste para un camión de medicinas es de 6000 euros. Calcula, utilizando técnicas de programación lineal, cómo debe organizarse el convoy para que su coste sea mínimo ¿Cuánto es el coste de la solución óptima?
Solución:
Se trata de un problema de programación lineal. Sean x e y, respectivamente, el número de camiones de agua potable y de medicinas que la ONG envía en el convoy. A partir de los datos del problema podemos plantear las siguientes restricciones:
x + y≤ 27
x≥ 12
y≥
2
x
La función que nos da los costes viene dada por F (x, y) = 9000x + 6000y.
Representemos la región factible:
Los vértices de esta región son:
A = (12, 15) B = (12, 6) C = (18, 9)
Veamos en cual de ellos se presenta el coste mínimo:
F (12, 15) = 9000 · 12 + 6000 · 15 = 198000 €
F (12, 6) = 9000 · 12 + 6000 · 6 = 144000 €
F (18, 9) = 9000 · 18 + 6000 · 9 = 216000 €
Por tanto, el coste mínimo se presenta cuando se flotan 12 camiones para agua potable y 6 camiones para medicinas. Dicho coste mínimo es de 144000 €.
2.- Una cadena local de TV ha determinado, por medio de encuestas, que el porcentaje de ciudadanos que la ven entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche viene dado por la función:
S (t) = 660 – 231t + 27t2 – t3
donde t indica las horas transcurridas desde las 12 en punto de la mañana.
a) A qué hora tiene máxima y mínima audiencia la cadena entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche? ¿Qué porcentaje de ciudadanos ven la cadena de TV a esas horas de máxima y mínima audiencia?
Solución:
a) Para calcular los máximos y mínimos de audiencia, debemos estudiar la derivada de S (t):
S (t) = 660 – 231t + 27t2 – t3 ⇒ S ‘(t) = – 231 + 54t – 3t2
Los extremos relativos de la función se alcanzan en los puntos singulares de la misma, que son las soluciones de la ecuación S ‘(t) = 0:
S ‘(t) = 0 ⇒ – 231 + 54t – 3t2 = 0 ⇒ t = 7 y t = 11
Veamos qué tipo de extremo se presenta en esos puntos. Para ello estudiemos el signo de S ‘’(t) en ellos:
S ‘’(t) = 54 – 6t ⇒ S ‘’ (7) = 12 > 0 y S ‘’(11) = –12 < 0
Por tanto, en t = 7, es decir, a las siete de la tarde la audiencia es mínima y en t = 11, es decir, a las 11 de la noche la audiencia es máxima. El porcentaje de ciudadanos que ven la cadena de TV a esas horas de máxima y mínima audiencia es:
S (7) = 660 – 231 · 7 + 27 · 72 – 73 = 660 – 1617 + 1323 – 343 = 23 %
S (11) = 660 – 231 · 11 + 27 · 112 – 113 = 660 – 2541 + 3267 – 1331 = 55 %
Nota: Obsérvese que las audiencias al principio (6 de la tarde) y al final (12 de la noche) no son ni máximas ni mínimas:
S (6) = 660 – 231 · 6 + 27 · 62 – 63 = 660 – 1380 + 972 – 216 = 32 %
S (12) = 660 – 231 · 12 + 27 · 122 – 123 = 660 – 2772 + 3888 – 1728 = 48 %
b) Para dibujar la gráfica de S (t), observemos que como para t = 7, S (t) tiene un mínimo, a su izquierda será decreciente y a su derecha creciente. De igual modo, al haber un máximo en t = 11, a la izquierda del mismo S (t) será creciente y a su derecha decreciente. Con esto, tenemos que la gráfica de la función S (t) para t comprendido entre las 6 de la tarde y las 12 de la noche es:
3.- En una encuesta se pregunta a 10000 estudiantes de Bachillerato sobre su consumo semanal de refrescos, encontrándose una media muestral de 5 refrescos. Se supone una desviación típica de la población de σ = 2 refrescos.
a) Halla el intervalo de confianza para el consumo medio semanal de refrescos en toda la población de estudiantes de Bachillerato, con un nivel de confianza del 80 %.
b) Si aceptamos un error máximo de ± 0,25 refrescos para la estimación de la media poblacional con un nivel de confianza del 80 %, ¿a cuántas personas es necesario entrevistar?
a) El intervalo de confianza pedido será de la forma x z / 2· ,x z / 2·
n n
α α
σ σ
− +
, en el que x = 5,
n = 10000, σ = 2, y para una confianza del 80 % le corresponde un zα / 2 = 1,28. Así pues:
I = x z / 2· ,x z / 2·
n n
α α
σ σ
− +
= (5 – 1,28 · 100002 , 5 + 1,28 · 100002 ) = (3,7; 6,3)
b) El error admitido, E, viene dado por E = zα/2 · n σ
, siendo σ la desviación típica poblacional, n
el tamaño muestral y zα/2 el valor correspondiente en la tabla normal para una confianza 1 − α. En nuestro caso, para una confianza del 80 %, zα/2 = 1,28.
Como además tenemos que σ = 2 y el error E ha de ser menor que ± 0,25, se tendrá:
1,28 · 2
n < 0,25 ⇒ n > 10,24 ⇒ n > 104,8576
Por tanto, el tamaño muestral debe ser n≥ 105 estudiantes.
4.- En una reunión hay 7 personas de las que 4 son médicos y 3 abogados. Si elegimos dos personas de la reunión al azar, ¿cuál es la probabilidad de que uno sea médico y otro abogado?
Solución:
Este problema se puede resolver utilizando el siguiente diagrama de árbol, donde por M
representamos la elección de un médico y por A la elección de un abogado:
3/6 M
M
4/7
3/6 A
4/6
3/7 M
A
2/6 A
Entonces, se tiene que:
P (1 médico y 1 abogado) = P (M∩A) + P (A∩M) = 4 3 3 4 12 12· · 24 4
7 6 7 6+ = 42 42+ =42 =7 = 0,5714
Otra forma de hacer este problema sería utilizando la combinatoria. Las distintas maneras de elegir de entre las 7 personas un grupo de 2 vienen dadas por las combinaciones simples de 7 en grupos de 2, , ya que el orden en que elijamos a las personas no importa y además estas no se pueden repetir. Esto es:
2 7 C
2 7
C = 7 7! 7!
2 2!·(7 2)! 2!·5!
= =
−
Por otra parte, el número de grupos de dos personas en las uno sea médico y otro abogado, viene dado por:
1 4· C C1
3 = 4 · 3 = 12
ya que el número de formas de elegir un médico entre 4 viene dado por C , y el número de formas de elegir un abogado entre 3 viene dado por . Así, la probabilidad pedida es:
1 4 1
3 C
P (1 médico y 1 abogado) = 14 1 2 7 ·
C C C
Bloque B
1.- Sea la matriz A = .
5 4 2
2 1 1
4 4 1
−
−
− −
a) Prueba que A2 – 2A + I = 0 donde I es la matriz identidad y 0 es una matriz con todos sus elementos iguales a 0.
b) Calcula A3.
Solución:
a)
A2 = ·
5 4 2
2 1 1
4 4 1
−
−
− −
5 4 2
2 1 1
4 4 1
− − − − =
9 8 4
4 3 2
8 8 3
−
−
− −
2A =
10 8 4
4 2 2
8 8 2
−
−
− −
A2− 2A + I = –
9 8 4
4 3 2
8 8 3
−
−
− −
10 8 4
4 2 2
8 8 2
− − − − + =
1 0 0 0 1 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0 0 0
b)
A3 = A2 · A = ·
9 8 4
4 3 2
8 8 3
−
−
− −
5 4 2
2 1 1
4 4 1
− − − − =
13 12 6
6 5 3
12 12 5
−
−
− −
2.- Dada la función f (x) = 1
x se pide:
a) Representa la función f (x).
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) en el punto x = 1 2.
c) Halla el área limitada por la recta y = –4x + 4 y la parte positiva de los ejes de coordenadas.
Solución:
a) Para representar la función f (x) = 1
x, estudiemos sus características. En primer lugar tenemos
que Dom f (x) = – {0}. Veamos sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. Para ello estudiemos f ‘(x):
\
f ‘(x) = 12
x
− ⇒ f ‘(x) es negativa siempre ⇒ f (x) es decreciente en todo su dominio Además, de su derivada primera se deduce fácilmente que f (x) no presenta ni máximos ni mínimos relativos, pues la ecuación f ‘(x) = 0 no tiene soluciones.
0 1 x Lim x +
→ = +∞ 0 1
x Lim
x −
→ = −∞ y
1 0 x Lim x →∞ =
Con los datos anteriores se puede ya dibujar la gráfica de f (x) (en rojo):
b) La ecuación de la recta tangente a la curva f (x) en el punto x = 1
2 viene dada por:
y – f 1
2
= f ‘ 1 2 1 2 x− Como: f 1 2
= 1/ 21 = 2 y f ‘ 12 = 2 1 (1/ 2)
− = –4
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f (x) en x = 1 2 es:
y – 2 = –4 1 2
x−
⇒ y = –4x + 4 (en azul en la gráfica anterior)
c) El área que nos piden está rayada en azul en la gráfica anterior. Los puntos de corte de la recta
y = –4x + 4 (tangente a la gráfica de f (x) = 1
x en el punto x =
1
2) con la parte positiva de los ejes de coordenadas son:
Eje OY (x = 0): y = 0 + 4 ⇒ y = 4 Eje OX (y = 0): 0 = –4x + 4 ⇒ x = 1 Entonces, el área pedida viene dada por:
Área = 1
0( 4− +x 4)dx
∫
= 2 10
2x 4x
− +
= (–2 + 4) – (0 + 0) = 2 u2
Nota: Dicho área también se puede calcular de una manera más sencilla observando que la figura rayada es un triángulo rectángulo de base 1 y altura 4.
Área = Base·Altura 1·4
2 = 2 = 2 u
3.- En cierta población, un 20 % de los trabajadores trabaja en la agricultura, un 25 % en la industria y el resto en el sector servicios. Un 63 % de los que trabajan en la agricultura son mayores de 45 años, siendo el porcentaje de mayores de 45 años del 38 % y el 44 % en los otros sectores respectivamente.
a) Seleccionado un trabajador al azar, ¿qué probabilidad hay de que tenga menos de 45 años? b) Si sabemos que un trabajador en mayor de 45 años, ¿qué probabilidad hay de que proceda
de la agricultura?
Solución:
a) Consideremos los siguientes sucesos:
“ A “ = “Trabajador dedicado a la agricultura” “ I “ = “Trabajador dedicado a la industria” “ S “ = “Trabajador dedicado al sector servicios” “ > 45 ” = “Ser mayor de 45 años”
“ ≤ 45 “ = “Tener 45 o menos años”
Para resolver el problema podemos confeccionar el siguiente diagrama de árbol:
0,63 > 45
A
0,37 ≤ 45
0,38 0,20
0,25 I > 45
0,62 ≤ 45
0,44 0,55
> 45
S
0,56 ≤ 45
Con esto:
P (≤ 45) = P (A) · P (≤ 45 / A) + P (I) · P (≤ 45 / I) + P (S) · P (≤ 45 / S) = = 0,20 · 0,37 + 0,25 · 0,62 + 0,55 · 0,56 = 0,537
b)
P (A / > 45) = ( 45) ( )· ( 45 / ) 0, 20·0,63 0,126 0, 2721
( 45) 1 ( 45) 0, 463 0, 463
P A P A P A
P P
∩ > >
= = =
> − ≤ ≈
4.- El 10 % de las personas tiene miedo a las arañas, el 30 % a las ratas y el 8 % a las dos, ¿cuál es la probabilidad de que una persona no tenga miedo a ninguna de las dos?
Solución:
Consideremos los siguientes sucesos: “ MA “ = “Tener miedo a las arañas” “ MR “ = “Tener miedo a las ratas”
Según los datos del problema sabemos que:
Lo que nos piden es la probabilidad de que una persona no tenga miedo a ninguna de las dos, es decir, P (MA∩MR). Procedamos a su cálculo, haciendo uso de las leyes de De Morgan:
P (MA∩MR) = P (MA MR∪ ) = 1 – P (MA∪MR) = 1 – [P (MA) + P (MR) – P (MA∩MR)] = = 1 – [0,1 + 0,3 – 0,08] = 1 – 0,32 = 0,68
Otra forma de resolver este problema es haciendo uso de diagramas de Venn. Si suponemos una población de 100 personas, el número de ellas que tienen miedo a las arañas y a las ratas a la vez es 8. Por tanto el número de personas que sólo tienen miedo a las arañas es 10 – 8 = 2. De igual modo, el número de ellas que sólo tienen miedo a las ratas es 30 – 8 = 22. Por tanto, el número total de personas que tienen miedo a las arañas, a las ratas o a las dos es:
2 + 8 + 22 = 32
Por tanto, el número de personas que no tienen miedo a ninguna es: 100 – 32 = 68
