PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CASTILLA Y LEÓN SEPTIEMBRE - 2002 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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(1)

I

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PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CASTILLA Y LEÓN

SEPTIEMBRE - 2002

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Criterios generales de evaluación de la prueba: Se observarán fundamentalmente los siguientes aspectos: correcta utilización de los conceptos, definiciones y propiedades relacionadas con la naturaleza de la situación que se trata de resolver. Justificaciones teóricas que se aporten para el desarrollo de las respuestas. Claridad y coherencia en la exposición. Precisión en los cálculos y en las notaciones.

Datos o tablas (si ha lugar): Podrá utilizarse una calculadora “en línea”. No se admitirá el uso de memoria para texto, ni las prestaciones gráficas.

Optatividad: Se proponen dos pruebas, A y B. Cada una de ellas consta de dos proble-mas y cuatro cuestiones. Cada problema tendrá una puntuación máxima de tres puntos, y cada cuestión se puntuará, como máximo, con un punto. El alumno deberá escoger una de las pruebas, A o B, y desarrollar las preguntas de la misma.

PRUEBA A

PROBLEMAS

1º) Se consideran los planos π1 ≡x+ y+ z=0 y π2 ≡xy+ z=1. Se pide:

a ) Hallar un plano π , perpendicular a ambos y que pase por el punto P(1, 2, -1). b ) Determinar una recta r paralela a ambos pasando por el punto Q(2, 1, 1). c ) Calcular el ángulo que forman π1 y π2.

--- a )

El plano π pedido puede determinarse por tener como vectores directores a dos vectores normales a los planos π1 y π2 y que pasa por P.

Los vectores normales a los planos π1 y π2 pueden ser:

(

)

(

)

    

− = =

1 , 1 , 1

1 , 1 , 1

2 1

n n

(2)

(

)

0 2 0 4 2 2 ; ; 0 2 1 1 1 2 1 ; ; 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ,

; 1 2

= − − ≡ ⇒ = − − = + − − + − − − − − + − = − + − − ≡ z x z x y x z z y x z y x n n P π π b )

Los planos π1 y π2 determinan la recta

   = − + − = + + ≡ 0 1 0 ' z y x z y x

r , que expresada en

unas ecuaciones paramétricas es:

(

1, 0,1

)

2 1 2 1 ' 2 1 2 1 ; ; 2 1 ; ; 2 1 2 1 0 1 0 ' − = ⇒          = − = − = ≡ ⇒ = − = − + − = − − = − = + − = − = ⇒    − = − − = + ⇒ = ⇒    = − + − = + + ≡ v k z y k x r y k k k x y k y x k x k x k y x k y x k z z y x z y x r

La recta r es paralela a r’ y pasa por Q(2, 1, 1):

(

)

(

)

     + = = − = ≡ ⇒       = k z y k x r Q v r 1 1 2 1 , 1 , 2 1 , 0 , 1 c )

El ángulo que forman los planos π1 y π2 es el mismo que forman sus vectores

normales, por lo cual:

(3)

2º) a ) Enunciar el teorema de los incrementos finitos.

b ) Una función f(x), derivable en toda la recta, verifica: f(0) = -2; f(2) = 6.

b1 ) Aplicando el teorema anterior, probar que existe un punto c en el intervalo

( )

0, 2 tal que f'

( )

c =4.

b2 ) Si además f(x) tiene derivada continua y f’(0) = 0, probar que hay un punto

en el intervalo

( )

0, 2 en el que la derivada de f toma el valor 3. ---

a )

El teorema de los incrementos finitos, del valor medio o de Lagrange se puede enunciar diciendo:

Si f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y derivable en (a, b), enton-ces, existe al menos un punto c

( )

a, b que cumple:

( ) ( ) ( )

a b

a f b f c f

− − =

' .

b)

b1)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( )

4 '

( )

, . . . 2

8 2

2 6 0

2 0 2

6 2

2 0

' f f f c cq p

f f

a b

a f b f c

f = − − = = =

− − ⇒

   

 

= − = ⇒

− − =

b2)

( )

( ) ( )

( ) ( )

2

( )

2 3 ;;

( )

3 2 '

( )

3 0

0 3

' = − − = + = = − ⇒ =

− − ⇒

= f x x f x

x x f x

x f x

f x f c

(4)

CUESTIONES 1ª) Dadas las matrices 

     =       =

2 2

1 3 ,

0 2

1 1

B

A , hallar para qué valores de m la matriz

mA

B+ no tiene inversa.

---

Para que una matriz no sea inversible, (no tenga inversa) es condición necesaria que su determinante sea distinto de cero.

   

 

+

+ +

=

   

 

+

     

=

     

+

     

= +

2 2

2

1 3

0 2 2 2

1 3 0 2

1 1 · 2 2

1 3 ·

m

m m

m m m m

A m

B .

(

+

) (

− +

)(

+

)

= + − − − − = =

+

+ +

=

+ 2

2 2 2 1 2 6 2 2 1 3

2 2 2

2

1 3

· m m m m m m m

m

m m

A m B

± − = ± − = + ± − = =

− + =

− + =

− − =

2 3 1 2

9 1 2

8 1 1 ;

; 0 2 ;

; 0 4 2 2 ; ; 0 2 2

5 m m2 m2 m m2 m m

1 ;

;

2 2

1 =− =

m m .

1 2

,

· ∀ ∈ =− =

+m A es inversible m R excepto para los valores m y m B

(5)

2ª) Calcular el valor de α para que el producto vectorial de los vectores u =

(

a,a, 2

)

y

(

2 a, ,1

)

v = sea proporcional al vector w =

(

1,1, 0

)

. ---

(

) (

+ −

)

+

(

+

)

= =

− − + + + − = −

=

ai j a k ak ai aj a i a j a ak

a a a

k j i

v

u 4 2 2 3 4 2

1 2

2 2 2

(

aa a + a

)

= uv

= 3 , 4 , 2 2 .

(

)

(

)

2 0 ;;

2 0

4 3 0

, , 2

, 4 ,

3 2

2

2 + =

    

+ =

− =

− =

= + −

=

a a

a a

a a

a a a a w

v

u λ

λ λ

λ λ

(

)

  

− = =

= +

2 0 0

2

2 1

a a a

a .

Para α = 0 Valor no útil

a a

⇒ 

 

≠ = − =

= − =

0 4 4

0 3

λ λ

Para α = -2

( )

Valor útil

a a

⇒ 

 

= + = − =

= − − = − =

6 2 4 4

6 2 · 3 3

λ λ

(6)

3ª) Calcular

x sen

x x

x

lím + − −

1 1

0 .

---

(

)

1 1 1 1

2 1 2 1 cos

1 2

1 1

2 1 0

´ Re

0 0 0

1 1 1

1 0

= = + = − − − + →

⇒ ⇒

= − = − − + →

x x x

x lím

Hopital L

de gla la

Aplicando x

sen

x x

x lím

(7)

4ª) Calcular dx x x

· 2

1 2

+ .

---

I C x C

t C

t

C t

dt t t

dt I

dt dx x

dt dx x

t x

dx x x I

= + +

= + =

+ =

= + + − = =

= ⇒

  

  

 

  

  

 

= =

= +

⇒ +

=

+ − −

2 2

1

1 2 1

2 1 2

2

2 1 · 2 1 ·

2 1 2

1 · 4 1

1 2 1 · 4 1 ·

· 4 1 ·

4 1

4 1 4

2 1 ·

2 1

(8)

PRUEBA B

PROBLEMAS

1º) La circunferencia x2 +

(

y+4

)

2 =25 corta al eje OX en dos puntos P1 y P2.

a ) Hallar las coordenadas de los puntos P1 y P2.

b ) Hallar la ecuación de la elipse cuyos focos son P1 y P2 y cuyo eje mayor es igual al

diámetro de la circunferencia anterior.

--- a )

Los puntos de corte con el eje OX se obtienen haciendo y = 0:

(

0 4

)

25 ;; 16 25 ;; 25 16 9 ;; 3 1

( )

3, 0 ;; 2

(

3, 0

)

2 2

2

2 + + = + = = − = =±

P P

x x

x x

b )

Del apartado anterior se deduce que c = 3.

El radio de la circunferencia es 5, que equivale al semieje mayor de la elipse, por lo cual: a = 5.

Siendo la relación fundamental de la elipse: a2 =b2 +c2 ⇒ 25=b2 +9 ;; 4

16 9 25

2 = − = =

b

b .

Sabiendo que la ecuación de la elipse es: 1 16 25 1

2 2

2 2

2 2

= + ⇒

=

+ x y

b y a x

A continuación ilustramos la situación:

O’

X

Y

P1

P2

(9)

2º) La gráfica de la función y=cos x en el intervalo 

2 ,

0 π determina con los dos ejes de coordenadas un recinto que queda dividido en dos partes por la gráfica de la función

x sen

y= . Determinar el área de cada una de estas partes. ---

La representación gráfica de la situación es la siguiente:

El punto de corte de las dos funciones en el intervalo 

2 ,

0 π es:

x x x tag x x

sen = = ⇒ = = =

4 º 45 1 ; ; cos π

[

] [

]

1 2 2 4 4 0 2 4 4 0 1 586 ' 0 414 ' 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 º 45 º 90 º 0 cos º 45 cos 4 2 0 cos 4 cos cos · cos · S u sen sen sen sen x sen x dx dx sen S = = − = − = − + + − = − + + − = =       − +       + − = + − = + =

ππ π π π π π π π

(

)

[

]

(

)

2 2 4 0 4 0 2 414 ' 0 1 414 ' 1 1 2 0 1 2 2 2 2 º 0 º 0 cos º 45 cos º 45 0 cos 0 4 cos 4 cos · cos S u sen sen sen sen x x sen dx x sen x S = = − = − = − − + = − − + = = + −       + = + = − =

π π π π

y = cos x

0 1 2 π 3 π 4 π

y = sen x

S

2

O

S

1

(10)

CUESTIONES

1ª) Si los determinantes de las matrices cuadradas de orden tres A y 2A son iguales, cal-cular el determinante de A. ¿Existe la matriz inversa de A?

---

El determinante de la matriz 2A es 8 veces mayor que el determinante de A. Ello se debe a lo siguiente:

Si se multiplica una matriz por un números resulta otra matriz cuyos elementos quedan multiplicados todos por el número. Por otra parte, si los elementos de una fila o de una columna de un determinante se multiplican o dividen por un número, el valor del determinante queda multiplicado o dividido por el número. Como quiera que la matriz que nos ocupa es de orden 3, resulta:

0 ·

8 ·

2 A = A = AA =

El valor del determinante de A, necesariamente, tiene que ser cero.

No existe la matriz inversa de A por ser condición necesaria para que una matriz tenga inversa que su determinante sea distinto de cero.

(11)

2ª) Hallar el plano π que contiene a la recta 3 1 2 2 1

3== − −

x y z

r y es paralelo a la

   = − − = + − − ≡ 0 1 2 0 2 z y z y x s recta . ---

La expresión de la recta s por unas ecuaciones paramétricas es:

     = + = + − = ≡ ⇒ = + − = + + + − = + + − = = + − − + = ⇒ = ⇒    = − − = + − − ≡ k z k y k x s x k k k k y x z y x k y k z z y z y x s 2 1 3 1 3 1 2 1 2 2 ; ; 0 2 2 1 0 1 2 0 2

El plano π pedido se puede determinar por los vectores directores de las rectas r y s y por un punto cualquiera de la recta r.

Un punto de r es P(3, 2, 1) y un vector director de r es u =

(

1, 2, 3

)

. Un vector director de s es v =

(

3, 2,1

)

.

(

)

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

3

) (

8 2

) (

4 1

)

0 ;; 4 12 8 16 4 4 0 ;; 4 ; ; 0 2 3 6 1 6 1 2 2 9 3 2 ; ; 0 1 2 3 3 2 1 1 2 3 , ; = + − − + + − = − − − + − − = − − − − − − − + − + − = − − − ≡ z y x z y x y x z z y x z y x v u P π 0 4 8

4 − + =

x y z

(12)

3ª) Dada la función

( )

(

)

(

1

)

cos cos

1 + −

+ +

=

x x

x sen x sen x

f en el intervalo 

2 ,

0 π , demostrar, calcu-lando su derivada, que f(x) es constante.

---

( )

[

(

)

]

[

[

(

)

]

[

(

)

]

(

)

]

[

(

)

]

(

)

[

]

[

(

)

]

(

)

[

]

[

(

)

(

(

)

]

)

(

)

[

(

)

(

)

]

(

)

[

]

[

(

)

]

(

)

[

]

f

( )

x

x x

x x

x x

x sen x

x sen x

x x

x sen x

sen x

x x

x

x sen x

sen x

x

x x

x sen x sen x

sen x sen x

x x

x x

f

' 0 1 cos cos

0

1 cos cos

1 1 1

cos cos

1 1

cos cos

1 cos cos

1 1

cos cos

1 cos cos

1 1

cos cos

1 cos cos

1 ·

1 1

cos cos

· 1 cos cos

'

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2

= = + −

=

= + −

− =

+ −

+ +

+ −

+ =

= +

+ + −

+ −

= +

− + −

+ −

=

= +

+ +

− + +

− + −

+ +

=

(13)

4ª) Hallar a, b, c para que la función f

( )

x =x3 +ax2 +bx+c tome valor 0 para x = 1, presente un máximo relativo en x = -1 y un mínimo relativo en x = 0.

---

( )

1 =0⇒1+a+b+c=0 ;; a+b+c=−1 (1)

f

( )

3 2 ; '

( )

1 0 3 2 0 (2) '

1

. =− = 2 + + − = → − + =

b a f

b ax x

x f x

para Máx

( )

3 2 ; '

( )

0 0 0 '

0

. = = 2 + + = → =

b f

b ax x

x f x

para Mín

Sustituyendo el valor de b en las expresiones (1) y (2) y resolviendo el sistema:

2 5 ;

; 5 2 ; ; 2 2 3 ; ; 1 2

3 ; ; 1 ;

; 2 3 0

2 3

1

− = −

= −

= + −

= + −

= + =

⇒    = −

− = +

c c

c c

c a a

a c a

La función resultante es la siguiente:

( )

2 5 2

3 2 3 + −

=x x

x f

Figure

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