Elementos que intervienen en la construcción de conexiones al resolver problemas geométricos

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE HIDALGO

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICAS E INGENIERÍA ÁREA ACADÉMICA DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA

“ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN LA CONSTRUCCIÓN DE CONEXIONES AL RESOLVER PROBLEMAS GEOMÉTRICOS”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRA EN CIENCIAS EN MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA

PRESENTA:

Yolanda Nataly Cortés Islas

DIRECTORES DE TESIS:

DR. FERNANDO BARRERA MORA DR. AARÓN REYES RODRÍGUEZ

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RESUMEN

El presente trabajo tiene el propósito de identificar y analizar los elementos que intervienen al construir conexiones cuando estudiantes de nivel secundaria resuelven problemas geométricos. El marco conceptual se estructura considerando la resolución de problemas, las características que deben tener las tareas para propiciar múltiples soluciones, las diversas representaciones en que estas pueden aparecer y cómo al conectarse robustecen el conocimiento, logrando un aprendizaje con entendimiento. La metodología empleada es de tipo cualitativo. Se analizaron las conexiones establecidas entre conceptos usados por estudiantes de tercer grado, recopilando la información a través de pruebas escritas y video. Los resultados de la investigación exponen que las conexiones entre representaciones dan muestra de los conocimientos del alumno, así como que elementos determinan que estas aparezcan.

ABSTRACT

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DEDICATORIA

A mis padres,

Yolanda y Santiago, que en todo momento me han inculcado la perseverancia, la

superación personal y el amor por la docencia, a través del ejemplo. Que han

creído en mi y me motivan a continuar en los momentos más difíciles, que me

tienden la mano y me levantan cuando ya no puedo más.

A mi esposo,

Alfredo, que es fuente principal de mi inspiración, que me hizo soñar con poder

introducirme en el mundo de las matemáticas, que creyó en mi capacidad y

me alentó a continuar en todo momento.

A mis hijos,

Marianne y Gabriel, que me motivan a ser una mejor persona cada día, a luchar por

conseguir mis sueños y enseñarles con el ejemplo que vale la pena alcanzarlos.

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AGRADECIMIENTOS

Agradezco a la Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo por brindarme la oportunidad de realizar mis estudios de posgrado, así como las facilidades y apoyo prestados para concluir.

A los Servicios Educativos Integrados al Estado de México, por las facilidades económicas y administrativas para poder realizar mis estudios de maestría, brindándome con esto una gran oportunidad y a su vez un alto compromiso con mi labor diaria.

De manera muy especial al Dr. Fernando Barrera Mora y al Dr. Aarón Reyes Rodríguez, por ser guía, no solo de mi investigación, sino de todo el camino recorrido en la maestría, mostrarme el valor de la perseverancia y la importancia de la constancia. Mi admiración y respeto.

A mis sinodales, el Dr. Cutberto Rodríguez Álvarez y al M. en C. Marcos Campos Nava, por su tiempo, dedicación y apoyo para lograr concluir satisfactoriamente mi trabajo de investigación con valiosas aportaciones que lo enriquecieron.

A mis profesores y compañeros de la maestría por su apoyo en todo momento, por su paciencia y compartir sus aprendizajes, en especial a Ingrid Raygadas, que siempre estuvo dispuesta a ayudarme.

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN...8

CAPÍTULO I I. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN I.1. Antecedentes ...11

I.2. Revisión de la literatura...12

I.3. Planteamiento del problema ... 15

CAPÍTULO II II. MARCO CONCEPTUAL II.1 Introducción………..……17

II.2. La resolución de problemas...17

II.3. Aprendizaje con entendimiento...21

II.4. Características de las tareas...22

II.5. Tipos de representaciones………..25

CAPÍTULO III III. METODOLOGÍA III.1. Participantes ...30

III.2. Análisis previo de las tareas ...31

III.3. Procedimiento ...38

III.4. Instrumentos de recolección de la información ...38

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CAPÍTULO IV

IV. PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

IV.1. Análisis general de procedimientos...41

IV.2. Análisis de las conexiones establecidas en las diferentes representaciones………...52

CAPÍTULO V V. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES V.1. Respuesta a las preguntas de investigación...64

V.2. Alcances y limitaciones del estudio ...66

V.3. Reflexiones finales ...66

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS...68

APENDICES APENDICE A: ESQUEMAS DE TAREA 1.……….. 73

APENDICE B: ESQUEMAS DE TAREA 2.……….. 74

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INTRODUCCIÓN

El presente trabajo, tiene el objetivo de identificar las conexiones que aparecen cuando estudiantes de nivel secundaria resuelven problemas geométricos, a partir del análisis de las diversas estrategias que utilizan. Este tema fue elegido para mostrar una perspectiva a los profesores de nivel secundaria, sobre la importancia de permitir que el estudiante elija su propia forma de resolver un problema geométrico y partir de eso para establecer vínculos que robustezcan su conocimiento, logrando un aprendizaje con entendimiento. El análisis de estas posibilidades propicia que, al encontrar un resultado a partir de diferentes alternativas, se generen más herramientas didácticas para el diseño de tareas y escenarios de instrucción.

En el primer capítulo, se exploran antecedentes relacionados a esta investigación, una descripción general de lo que representa un problema en matemáticas, desde la perspectiva de algunos autores. Se expone, además, una breve introducción sobre los constructos de resolución de problemas y aprendizaje con entendimiento. Para sustentar la necesidad del estudio y darle orientación, se llevó a cabo una revisión de literatura, que da muestra de investigaciones realizadas en diferentes grados escolares y países, dirigidas tanto a estudiantes como a docentes. Finalmente, se presenta el planteamiento del problema y las preguntas que orientan la investigación.

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En el capítulo 3, se detalla la metodología, la descripción de los participantes y un análisis de las tareas empleadas. Esta búsqueda previa de los múltiples caminos para llegar a una solución, permitió entender el propósito y las características que debían poseer las tareas, así como encontrar factores clave, para ser un mejor guía en la aplicación de las mismas. Además, se describen los pasos para llevar a cabo el procesamiento y el análisis de la información recabada, que incluye el resumen de la información, la descripción de las rutas de solución seguidas por cada estudiante para resolver las tareas y la construcción de diagramas que permitan visualizar las conexiones entre representaciones.

En el capítulo 4, el cual es considerado de gran importancia, se muestra el análisis realizado para la obtención de soluciones, que emplearon los alumnos, a las tareas planteadas para hallar un resultado. En una primera parte se hace una descripción del procedimiento que siguieron, se identificaron sub-configuraciones, qué conceptos poseen, cuáles exploran y los diversos intentos para resolverlos. También se examinan las conexiones logradas entre las representaciones utilizadas (Lesh, Post y Behr 1987), visual, física, contextual, verbal y simbólica.

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I. EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

I.1. Antecedentes

Uno de los principios rectores de la educación matemática, mencionados en “De los principios a la acción” (NCTM,2014), es: enseñanza-aprendizaje el cual dice que, para tener un programa de matemáticas de excelencia, se necesita una enseñanza eficaz que involucre a los estudiantes en un aprendizaje con entendimiento, mediante experiencias individuales y colaborativas que fomenten su habilidad para dar sentido a las ideas matemáticas y para razonar de una manera matemática.

Durante este proceso, hay aspectos vitales para la labor docente; en primer lugar, tener un entendimiento profundo del conocimiento matemático que se espera enseñar (Ball, Thames y Phelps 2008), además, una visión clara de la forma en que se desarrolla y progresa el aprendizaje matemático del estudiante a lo largo de los grados escolares (Daro, Mosher y Corcoran 2011; Sztajan et al. 2012).

Se ha determinado que el aprendizaje de las matemáticas incluya el desarrollo de cinco aspectos interrelacionados, que en conjunto conforman la destreza matemática (National Research Council 2001):

• Comprensión de conceptos (entendimiento y conexiones).

• Destreza en los procedimientos (flexibilidad en la resolución).

• Capacidad estratégica (habilidad para formular, representar y resolver).

• Razonamiento adaptativo (capacidad de pensamiento lógico y justificación del propio razonamiento).

• Disposición productiva (encontrar sentido a las matemáticas).

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Inicialmente, es importante intentar definir ¿qué es un problema en matemáticas? Para Schoenfeld (1985), la dificultad de definir el término “problema” radica en que es relativo: un problema no es inherente a una tarea matemática, más bien es una relación particular entre el individuo y la tarea; utiliza la palabra problema para referirse a una tarea que resulta difícil para el individuo que está tratando de resolverla. Santos Trigo (2014), menciona que el problema se vincula no solamente a situaciones específicas rutinarias, o no rutinarias, donde el estudiante intenta encontrar la solución o soluciones, sino también incluye tener que aprender un concepto matemático. Polya (1965), establece que tener un problema significa buscar conscientemente alguna acción apropiada para lograr una meta claramente concebida pero no inmediata de alcanzar.

La resolución de problemas nos permite analizar cómo el estudiante logra conectar conceptos y conectar es entender. El entendimiento de un concepto, idea o resultado, significa poder usarlo de manera flexible, adaptarlo para enfrentar situaciones problemáticas y emplearlo como base para aprender cosas nuevas (Hiebert et al., 1997).

I.2. Revisión de la literatura

El establecimiento de conexiones entre conceptos al resolver problemas ha sido objeto de estudio de diversas investigaciones, dirigidas tanto a docentes como a estudiantes. Con la finalidad de documentar qué elementos intervienen en el proceso que se sigue para estructurar estas conexiones, analizaremos algunos estudios que se relacionan con esta investigación.

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de geometría plana, 2) resolver cuatro problemas que requerían de aplicar el teorema de Pitágoras, 3) responder preguntas respecto al tema del que hablaron en la tarea 1. Se identificaron y organizaron las conexiones internas (diferentes propiedades de los cuadrados) y externas (relación de cuadrados con otras figuras) en cada prueba. Como resultado se observó que aquellos que poseían un conocimiento más robusto y organizado fueron capaces de aplicarlo en la resolución de tareas y construir nuevas conexiones más fácilmente en relación con aquellos cuyos conocimientos tenían menor nivel de organización.

Continuando con su investigación, Lawson y Chinnappan (2000), analizaron el desempeño de estudiantes menores de 10 años, al resolver problemas geométricos y la forma en que está organizado su conocimiento. Compararon indicadores de contenido y de conexiones en dos grupos: alto y bajo desempeño. Observaron la relación entre el rendimiento y el tiempo de respuesta. Concluyeron que los estudiantes de alto desempeño pueden recuperar y conectar más fácilmente los contenidos, mientras que los estudiantes de bajo desempeño no son capaces de utilizar sus conocimientos al resolver problemas por sí solos, sino que requieren ayuda del profesor.

Naďa Vondrová, Barbora Divišová (2013), identificaron tres tipos de estrategias utilizadas para resolver un problema geométrico, una de cuyas soluciones solo requería de observar que dos segmentos son iguales y sumar dos números: geométrico teórico, geométrico gráfico y trigonometría; utilizadas por 125 estudiantes de entre 12 y 17 años. En una primera etapa 9 estudiantes resolvieron tres problemas geométricos mientras se les entrevistaba acerca del proceso de solución. En la segunda etapa se aplicó el problema principal. Se concluyó que la mayoría de los estudiantes no son capaces de observar sub-configuraciones geométricas y tienden a utilizar áreas, teorema de Pitágoras, trigonometría como primeras aproximaciones para abordar el problema.

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pensaran en voz alta al resolver los problemas para poder explicar mejor sus procedimientos además de ir haciendo preguntas como ¿cómo pensaste eso? A partir de las tareas se buscó identificar habilidades analíticas, de generalización y de síntesis. Se concluyó que los estudiantes que poseen insuficiente conocimiento geométrico, falta de visualización de sub-configuraciones o formas geométricas y argumentos lógicos, también muestran dificultades para hacer justificaciones matemáticas.

Lemánska, Semanisinová, Soneira, Soto, Tarrío, (2014), realizaron un estudio que tuvo por objetivo determinar la predilección de los estudiantes a utilizar métodos geométricos para resolver cuatro problemas: 1) resolver un sistema de ecuaciones, 2) problema de máximos y mínimos, 3) problema de identificación de patrones, 4) problema de movimiento de un perro atado a una esquina de una casa. En la investigación participaron 263 estudiantes de primer grado de licenciatura, (5 carreras de 3 universidades europeas diferentes). A partir de las pruebas escritas se identificaron los procedimientos utilizados por los estudiantes, los cuales se clasificaron como geométricos, si aparecían dibujos, y analíticos. La mayoría no eligió métodos geométricos. Los estudiantes españoles tienen mayor tendencia a resolver problemas de forma analítica y los estudiantes eslovacos y polacos tienen mayor nivel de habilidades geométricas. Los resultados anteriores se relacionan con el currículum que se sigue en los países correspondientes.

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imitativo cuando la tarea no representa un reto. Las heurísticas más utilizadas son composición y descomposición en sub-configuraciones y aplicar procedimientos similares a tareas previamente resueltas.

A partir de esta revisión, podemos concluir que es de gran importancia el establecimiento de conexiones entre conceptos al resolver problemas, particularmente geométricos, para lograr el robustecimiento de los conocimientos. Que influyen factores como los conocimientos previos, las estrategias, incluso la tendencia de los planes de estudio nacionales, para la elección del camino a la solución correcta de un problema.

I.3. Planteamiento del problema

El objetivo general de esta investigación consiste en identificar y analizar, los conceptos explícitos e implícitos, así como las conexiones entre ellos, que exhiben estudiantes de tercer grado de secundaria, al resolver problemas de geometría a través de sus propias heurísticas.

Las preguntas que orientan el desarrollo de la investigación son:

¿qué elementos intervienen al establecer conexiones entre conceptos matemáticos en la resolución de problemas geométricos en estudiantes de tercer grado de secundaria?

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II. MARCO CONCEPTUAL

II.1. Introducción

Para orientar la investigación es necesario contar con un marco que dé sustento y estructura a las ideas y conceptos a utilizar, debe incluir los elementos teóricos de los que se parte y que son la base del proceso que se establece en el presente trabajo, para el estudio, análisis y aproximaciones del esquema que se plantea.

Según Reidl-Martínez (2012), un marco conceptual es una investigación bibliográfica que habla de las variables que se estudiarán en la investigación, o de la relación existente entre ellas, descritas en estudios semejantes o previos. Hace referencia a perspectivas o enfoques teóricos empleados en estudios relacionados, se analiza su bondad o propiedad y su pertinencia para el estudio actual.

El marco conceptual de este trabajo está estructurado en los siguientes elementos: (1) resolución de problemas, analizando las perspectivas de Polya, Schoenfeld y Santos Trigo; (2) aprendizaje con entendimiento, bajo la perspectiva de Hiebert; (3) las características que deben tener las tareas que se presentan a los estudiantes, según la taxonomía de Stein; (4) las representaciones que existen al intentar dar solución a las tareas y la importancia de las conexiones entre ellas, de acuerdo a los parámetros establecidos por el NCTM y al esquema realizado por Lesh, et al., (1987).

II.2. La resolución de problemas

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es muy común que: si el estudiante no le encuentra sentido o le parece muy difícil piense en abandonarlo, en no realizar ni el menor esfuerzo; pasa algo similar cuando se da un problema que para algunos no represente mayor complicación, lo resolverán sin mayor dificultad y lo dejarán. El rol del docente es de suma importancia para sacar el mayor provecho posible de la situación, en el primero, se debe orientar al estudiante de tal manera que no se le dé el camino a seguir, dejando a él una parte razonable del trabajo (Polya, 1965). Se puede apoyar al estudiante a través de algunas preguntas, haciendo énfasis, en primer lugar, a que entienda cuál es la incógnita, Polya menciona que se puede hacer uso del recurso repetidamente, pero cambiando por sinónimos, por ejemplo: ¿cuál es la incógnita?, ¿qué se requiere?, ¿qué quiere usted determinar?, esto ayudará a centrar la atención en el objetivo.

Para este fin, Polya (1965) establece una serie de fases a seguir:

En la primera fase, se espera lograr la comprensión del problema, en muchas ocasiones los docentes eligen las tareas sin un previo análisis, algunos hasta se lanzan sin haberlos resuelto primero, no se preocupan por la presentación o por generar el contexto de intriga para que los alumnos quieran resolverlo; considerando que se ha logrado establecer tal clima, lo siguiente es entender el problema, esto puede observarse cuando el estudiante es capaz de recordar literalmente el problema y poder reconocer sus partes, como: incógnitas, datos, condiciones, incluso esquemas y debe rondarlos hasta lograr familiarizarse con ellas para comenzar a trabajar.

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avanzar en el problema debes pensar en un problema más sencillo que sirva como base para este, por lo tanto, se debe orientar con preguntas a los alumnos para que lo relacionen con situaciones previas que hayan resuelto.

Verificar cada paso es parte primordial de la tercera fase, una vez que se estableció un plan para resolver el problema, el alumno debe ser capaz de verificar y demostrar (según el caso) que la secuencia de pasos elegidos, son el camino correcto a la solución.

Finalmente la visión retrospectiva, esta cuarta fase es tal vez, una de las más enriquecedoras; sucede en general, que cuando los alumnos llegan a la solución de un problema van a calificarse, y si reciben una buena nota, guardan su libreta y de algún modo queda en el olvido; si pudiéramos hacer reflexionar al estudiante que, probablemente existen otras formas de llegar al resultado, o que hay más conceptos a explorar a partir de este problema, es decir, que se cuestionen su alcance, llegar hasta las entrañas, tal vez lograrían un entendimiento más profundo.

Schoenfeld realizó un análisis sobre el trabajo de Polya, desarrollando el propio. Agregó ideas basadas en su experiencia tanto de estudiante de matemáticas como de sus años de profesor.

Schoenfeld (1985), consideró que las heurísticas de Polya pueden ser importantes en el aprendizaje de los estudiantes si se discuten en un nivel contextualizado. Afirmaba que “el rendimiento de la resolución de problemas de los estudiantes no es simplemente el producto de lo que saben, también es una función de sus percepciones de ese conocimiento, derivado de sus experiencias con matemáticas”, (Schoenfeld, 1985, p.14).

Para poder caracterizar este rendimiento estableció cuatro categorías:

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Heurísticas: aquellas técnicas y estrategias que el alumno utiliza ante un problema que desconoce, como: esquematizar, asemejar a problemas que ya conoce, reformular el problema, abordarlo en retroceso y realizar pruebas.

Control: tomar decisiones generales sobre los recursos y estrategias que se han seleccionado y se implementarán, como: la planificación, toma de decisiones y metacognición.

Sistema de creencias: es todo lo que uno cree de sí mismo, del medio que le rodea, del mundo de las matemáticas; de lo cual no necesariamente se es consciente.

Además, defendía que es muy importante que, al resolver un problema, los estudiantes se sientan en un medio como en el que los matemáticos exploran y desarrollan sus ideas matemáticas.

Algunas preguntas planteadas por Schoenfeld para ayudar a los estudiantes a pensar o reflexionar son: ¿Qué estoy haciendo ahora? ¿Me está llevando esto a algún lugar? ¿Qué otra cosa puedo hacer en lugar de continuar con esto? Lograr esta reflexión los ayudará a no perseverar en una estrategia que posiblemente no los conduzcan ningún lado.

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preguntas, usar ideas innovadoras para su solución, reflexionar sobre estas y además sean capaces de formular sus propios problemas.

II.3. Aprendizaje con entendimiento

El análisis de las soluciones a problemas permite explorar el nivel de entendimiento que posee cada estudiante, a través de las conexiones que establece entre los conceptos que subyacen en su saber. Para profundizar en cómo las personas establecen conexiones, se debe analizar el proceso de reflexión y comunicación que se siguió para llegar a una posible respuesta. Hiebert et. al. (1997) afirma: “las explicaciones suelen estar llenas de conexiones, ya sea implícitas o explícitas, entre la situación objetivo y otras cosas que la persona sabe” (p.4).

La reflexión se refiere a que poseas ideas y puedas verlas desde diferentes puntos de vista, ir y regresar entre ellas, mantenerlas presentes, y hacer consciencia de lo que estás haciendo y por qué lo estás haciendo. Al hacer esto es más probable que puedas establecer nuevas relaciones entre conceptos y lograr un mayor entendimiento.

La comunicación engloba, entre otras, cosas escuchar ideas, expresar las propias, observar procedimientos alternos; este proceso de intercambio entre pares ayuda a estructurar conceptos más robustos. Además, al intentar explicar y defender sus ideas, profundizarán logrando apropiarse de conceptos más sólidos.

Los estudiantes que reflexionan sobre lo que hacen y se comunican con los demás al respecto están en la mejor posición para construir conexiones útiles en matemáticas (Hiebert et. al., 1997), aquellos que logren estos procesos, lograrán un aprendizaje con entendimiento.

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matemático: tareas, rol del docente, cultura social, herramientas y equidad. Este marco puede servir también como referencia para reflexionar sobre qué se está haciendo en la práctica docente.

Acerca de la primera dimensión, la naturaleza de las tareas:

Las tareas que se brinden, idealmente, deben cumplir las siguientes características: • Deben significar un verdadero problema, con sentido y necesidad de

búsqueda de solución.

• Los estudiantes deben poder usar los conceptos y las habilidades que ya poseen para comenzar a desarrollar un método de solución.

• Deben ofrecer una oportunidad de reflexión ante ideas matemáticas importantes y aprender de la experiencia.

Para poder iniciar un cambio hay que dar un vistazo a las tareas que se utilizan en el aula, haciendo las siguientes preguntas: ¿Las tareas diseñadas fomentan la reflexión y la comunicación? ¿Hay alguna forma en que se puedan convertir las tareas utilizadas en otras que fomentan la comprensión? ¿Qué otros aspectos de las tareas matemáticas se deben considerar?

II.4. Características de las tareas

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Niveles de exigencia de las tareas

• Exigencias de bajo nivel (memorización):

Incluyen la reproducción de memoria de hechos, reglas, fórmulas o definiciones previamente aprendidos o ya establecidos.

No se pueden resolver mediante procedimientos porque no existen o porque el tiempo asignado para completar la tarea es muy breve para emplear un procedimiento.

No son ambiguas. Dichas tareas involucran la reproducción exacta de material visto con antelación y aquello que se ha de reproducir se establece con claridad y de manera directa.

No tienen relación con los conceptos o el significado subyacente a los hechos, fórmulas o definiciones aprendidas o reproducidas.

• Exigencias de bajo nivel (procedimientos sin conexiones):

Son algorítmicas. Usan el procedimiento que se requiere de manera específica o que es evidente a partir de instrucciones, de experiencias o de la asignación de tarea previamente establecidas.

Requieren una exigencia cognitiva limitada para su exitosa consumación. Hay poca ambigüedad sobre lo que se necesita llevar a cabo y sobre cómo hacerlas.

No guardan relación con conceptos o con el significado subyacente al procedimiento empleado.

Se enfocan en generar respuestas correctas, en lugar de desarrollar la comprensión matemática.

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• Exigencias de alto nivel (procedimientos con conexiones):

Enfoca la atención del estudiante en la utilización de procedimientos, con el propósito de desarrollar niveles más profundos de comprensión de los conceptos e ideas matemáticas.

Sugiere seguir caminos implícitos o explícitos, los cuales son procedimientos muy generales que tienen estrechas relaciones con ideas conceptuales subyacentes, en contraposición con los limitados algoritmos que son poco claros respecto de los conceptos subyacentes.

Suelen representarse en multitud de formas, tales como diagramas visuales, objetos manipulables, símbolos y problemas contextualizados. Llevan a cabo conexiones entre una gran cantidad de representaciones que ayudan a desarrollar el significado.

Necesitan cierto grado de esfuerzo cognitivo. Aunque pueden seguirse procedimientos generales, no se puede hacer en forma irreflexiva. Los alumnos requieren involucrarse con ideas conceptuales que subyacen en los procedimientos (con el objeto de finalizar la tarea con éxito) y que desarrollan su comprensión.

• Exigencias de alto nivel (construcción de las matemáticas):

Requieren un pensamiento complejo y no algorítmico; la tarea, sus instrucciones o un ejemplo resuelto no sugieren en forma explícita un enfoque o camino predecible y trillado.

Demandan que los estudiantes exploren y entiendan la naturaleza de los conceptos matemáticos, así́ como los procesos o relaciones.

Requieren la autoverificación o la autoregulación de los procesos cognitivos de uno.

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Exigen que los estudiantes analicen la tarea y examinen de manera activa las restricciones de ésta, que pudieran limitar las posibles estrategias de solución y las soluciones mismas.

Esto nos da muestra del tipo de tareas que debemos diseñar de acuerdo a los objetivos que nos planteemos. ¿Qué es lo que se pretende al proporcionar al estudiante tareas de alto nivel?

• Perseveren en la indagación y el razonamiento de las tareas.

• Den sentido a las tareas y puedan relacionarlas con sus conocimientos previos y sus ideas anteriores.

• Utilicen diversas representaciones, a fin de apoyar su razonamiento y resolver problemas.

• Analicen y justifiquen sus estrategias.

• Logren un aprendizaje matemático con entendimiento.

Cuando el estudiante comienza a resolver estas tareas se debe prestar atención a los procesos que elige o diseña y aplica para encontrar una solución, es de suma importancia identificar las relaciones que establece entre los conceptos que posee y los que adquiere en el camino, así como las representaciones que utiliza.

II.5. Tipos de representaciones

NCTM (2000) subrayó el importante papel de las representaciones matemáticas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas al incluir los Estándares de procesos para la representación en su documento Principios y estándares para la educación matemática.

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las ideas matemáticas sólo mediante las representaciones de dichas ideas”(p.94). El grado de profundidad de la comprensión se relaciona con la solidez de las conexiones entre las representaciones matemáticas que los estudiantes hayan interiorizado (Pape y Tchoshanov 2001; Webb, Boswinkel y Dekker 2008).

El siguiente esquema muestra una clasificación para los tipos de representación mostrados. Señala conexiones importantes habidas entre las formas de representación contextual, visual, verbal, física y simbólica (Lesh, et al., 1987).

Conexiones entre las representaciones matemáticas. (Lesh et al.,1987).

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La representación física está relacionada con los objetos y su manipulación. Cuando se usan apropiadamente, brindan oportunidades para comparar, identificar patrones y observar representaciones de números de múltiples maneras.

La representación verbal es de suma importancia, los estudiantes tienen la oportunidad de expresar su razonamiento matemático en voz alta, es una forma posible de que puedan hacer explícitos algunos conocimientos que antes estaban implícitos para ellos.

La representación simbólica se refiere tanto a los símbolos matemáticos como a las palabras escritas que están asociadas con ellos. Para los estudiantes, los símbolos suelen ser más abstractos que las otras representaciones. Clement (2004), menciona que es ideal introducir símbolos después de que los estudiantes han tenido la oportunidad de hacer conexiones entre las otras representaciones, de modo que los estudiantes tengan múltiples formas de conectar los símbolos a las ideas matemáticas, aumentando así la probabilidad de que los símbolos sean comprensibles para los estudiantes.

La representación contextual se refiere a poder presentar una variedad de situaciones relevantes relacionadas a su vida o sus intereses y que involucren ideas matemáticas apropiadas a los conceptos que se pretenden abordar y desarrollar.

La comprensión de los estudiantes se profundiza mediante el análisis de las similitudes existentes en aquellas representaciones que revelan estructuras matemáticas subyacentes o características esenciales de las ideas matemáticas que persisten, independientemente de la forma (Zimba, 2011).

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conduzca a una solución. Lo anterior implica, que los estudiantes conciban las representaciones como herramientas que pueden emplear para ayudarles a resolver problemas, más que como un fin en sí mismo.

En la medida que los estudiantes utilicen y hagan conexiones entre las representaciones contextuales, físicas, visuales, verbales y simbólicas, se fortalecerá́ su concepción de las matemáticas en cuanto a que es una disciplina unificada y coherente.

Cabe mencionar que estas representaciones no están presentes en cada tarea, desde su diseño el docente debe determinar qué concepto(s) pretende explorar y lograr, partiendo de esto se estructuran las posibles conexiones que se pueden alcanzar.

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III. METODOLOGÍA

En este capítulo se definen los pasos realizados antes y durante la aplicación de las tareas. La etapa del análisis previo, permitió identificar los elementos que los alumnos podrían recuperar para contestar y una posible tendencia hacia los procesos que elegirían para encontrar una solución, esto ayudó a determinar elementos clave para guiar a los estudiantes en las diversas dudas que podrían surgir en el camino.

A partir de este capítulo se encontrará la palabra sub-configuración, Eppstein (2018) define:

A subconfiguration of a configuration S is any configuration that can be obtained from a realization of S by removing zero or more points. If T is a subconfiguration of S, an instance of T in S is a one-to-one matching of points in T to a subset of points in S so the matched points have the same orientations in T and in S. Each configuration is a subconfiguration of itself; T is a proper subconfiguration of S if it is a subconfiguration but unequal to S.(p.19)

Una sub-configuración de una configuración, se obtiene al eliminar uno o más puntos y los vertices que insiden en él.

III.1. Participantes

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secundaria. Se eligieron posterior a la observación en clase, de acuerdo con su participación activa, las calificaciones previas y a su interés por colaborar.

III.2. Análisis previo de las tareas

Las tareas a implementar son de suma importancia, ya que del tipo de tarea que se asigne depende la variedad de formas de dar solución y encontrar más elementos que robustezcan la información.

Se realizó un análisis preliminar de las tareas con la finalidad de prever posibles rutas que utilizaría los estudiantes para llegar a un resultado, así como establecer los conocimientos explícitos e implícitos en cada una.

Tarea 1. ABCD es un cuadrado y BFDE un paralelogramo. Si AF=7 y AD=5. ¿Cuál

es el valor de la suma de las áreas del cuadrado y el paralelogramo?

Fuente: Figura tomada de Rubinstein (1963; p. 374)

Solución 1

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Para el área del paralelogramo, si base BF=2 y AD=5, Área=10u2_. Por lo tanto, el área total=35u2_.

Conceptos y resultados involucrados en esta solución

Explícitos Implícitos

• Cuadriláteros.

• Cálculo de áreas de paralelogramos.

• Propiedad de aditividad de área.

• Alturas de paralelogramos.

Solución 2

El área del ∆ADF = (")($) % =

&"

% y el ∆BCE (")($)

% = &"

% , Área total= &"

% + &"

% = 35u

2_.

• Cálculo de áreas de cuadriláteros y triángulos.

• Reconocimiento de polígonos.

Solución 3

El área del cuadrado ABDC = 25u2_.

Se considera el paralelogramo BEDF como dos triángulos, ∆BDE y ∆BDF ambos con base=2 y altura=5.

Área de triángulos=[ (")(%)_% ]2= 10 u2_{. Por lo tanto, área total= 35u}2_.

• Cálculo de áreas de cuadriláteros.

• Líneas notables del triángulo.

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Tarea 2

Sea ABC un triángulo cuya área es igual a uno. Si AG = 2CG, ¿cuál es el área del rectángulo DEGF?

AG=2CG Þ FB=2CF ∆ CFG ~ ∆ ABC

CG CF= AC BC 1 3 AC CF = AC BC

(1_{3 AC)(BC)} AC = CF

1/3 BC = CF

Solución 1

Considerando lo anterior:

A∆CFG = /

0 u

2_.

Si bh = 1, bh=2 2

(2/3h)(2/3b) = 4/9 bh = 4/18 bh = 2/9 bh = 2/9 (2) = 4/9 2 2

Por lo tanto, A∆ADO+∆BEF = 1₀ u2

Si A∆ABC=1u2, entonces A DEFG = 1

0 u

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• Área de rectángulos.

• Áreas de triángulos.

• Criterios de semejanza

• Solución de ecuaciones por sustitución.

Solución 2

En ∆ABC si bh =1, b= 2 2 h

( 1 b)( 2 h)= A DEFG 3 3

Sustituyendo b

( 1 ( 2 )( 2 h)) = ( 2 )(2h) = 4 h = 4 u2 3 h 3 3h 3 9 h 9

Solución 3

A∆ADG = b1h

2

A∆BEF = b2h 2

b1=2b2

A∆= 2b2h 2

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.

Solución 4

Utilizando una sub-configuración, considerando un trapecio.

G F

A∆CFG = /₀2% por tanto, Atrapecio= 3₀2%

AABFG = (456)7_% =

89_:6;7

% =

% &bh

Si A = /_&bh es la mitad del área del trapecio, entonces A = 1₀2%

.

• Área del trapecio

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Tarea 3

En el diagrama, AC y AB son radios del círculo con centro en A. El área del sector ABC es 2p que es igual a un octavo del área total del círculo. ¿Cuánto mide el área no sombreada (Ans)?

Solución 1

AC=AB son radios

AABC= 2p = 1 pr2 8

3(%) p p = r2

r2_{= 16} _r=4

Por Teorema de Pitágoras

r2_{= a}2_{+ a}2

16= 2a2

a2_{= 16} 2

a = 2√2

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• Líneas notables del círculo.

• Áreas de círculos

.

• Teorema de Pitágoras

• Despeje de fórmulas

Solución 2

A∆ = (B CDE 1")(B EFG 1")_% =

(B H

√I) (B H √I)

% =

JI 1

Como r2_{=16 , A}_∆_{=16 = 4, entonces A}_ns_{= 2p - 4} 4

.

• Funciones trigonométricas

Solución 3

Considerando una sub-configuración como la siguiente

A = 2r2 _{Ao = 16p = pr}2

Ans = pJ I_{K %J}I

3 =

(p K %)JI

(38)

.

• Área de cuadrados

• Propiedad de aditividad de área

III.3.Procedimiento

Posterior a una semana de observación, su participación y su interés, se eligieron seis estudiantes de tercer grado de secundaria de diversos grupos; dos con calificaciones sobresalientes, entre 9.1 y 10, dos más con notas regulares de 8.1 a 9 y dos últimos con promedios de 7.1 a 8; estos derivados de su desempeño en la asignatura de matemáticas II, durante el ciclo escolar 2017-2018.

Se aisló a los estudiantes del resto de sus grupos, en un aula designada para la aplicación de tareas. Además, se distribuyeron 3 tareas a cada alumno, dando indicaciones de cómo serían realizadas. La primera tarea sería individual con un tiempo destinado de 80 minutos, la segunda tarea en plenaria y la tercera tarea en parejas, asignando 60 minutos para cada una de estas últimas.

III.4. Instrumentos de recolección de información

La recolección de datos se llevará a través de:

• Registro de observaciones en video

• Pruebas escritas

(39)

III.5. Procesamiento y análisis de información

Se analizaron las videograbaciones para identificar que procedimientos fueron empleados por los estudiantes para responder a cada tarea, y ser considerados como evidencia relevante para determinar los elementos que intervienen en el establecimiento de conexiones. Después, se realizó el análisis de estos procedimientos, con la información obtenida se describió de manera general la estrategia utilizada por cada estudiante, tratando de determinar cuáles fueron sus conocimientos previos, limitaciones o barreras, así como sus aciertos y deducciones favorables para la solución del problema.

(40)

(41)

IV. Presentación de resultados

IV.1. Análisis general de procedimientos

Tarea 1

ABCD es un cuadrado y BFDE un paralelogramo. Si AF=7 y AD=5. ¿Cuál es el valor de la suma de las áreas del cuadrado y el paralelogramo?

Fuente: Figura tomada de Rubinstein (1963; p. 374)

(42)

Alumno 1

El estudiante identifica los conceptos explícitos en la tarea; tales como, que el esquema está compuesto por un cuadrado y un paralelogramo, y la propiedad de aditividad de área; sin embargo, inicialmente no recuerda el proceso para calcular áreas, además, de no identificar la altura del paralelogramo. Se observa que puede visualizar algunas sub-configuraciones, y después de recibir apoyo, identifica el procedimiento correcto para calcular áreas, pero tiene una visión limitada, tiende a recurrir a la medición de datos no explícitos, lo que no le permite mayor flexibilidad en los procesos de solución.

Figura 4.1.1

Se aprecia que el estudiante identifica diversas sub-configuraciones

Alumno 2

(43)

paralelogramo. Es flexible en buscar alternativas de solución a través de diferentes representaciones, mas no logra conectar sus ideas para llegar a una solución.

Figura 4.1.2

Los diversos intentos que realiza para llegar a una solución muestran su flexibilidad para resolver tareas

Alumno 3

(44)

Figura 4.1.3

Dibuja con medidas reales el esquema, no lo concreta

Alumno 4

La alumna identifica una sub-configuración, tiene presente el concepto de área, intenta explorar una idea de proporcionalidad que relaciona con el concepto de escala, pero no logra conectar los conceptos para dar una solución.

Figura 4.1.4

(45)

Alumno 5

La estudiante, de primera mano, recurre al cálculo del área de los elementos explícitos en la oración, la tarea y el esquema, reconoce que no cuenta con los datos necesarios para llegara a una solución, no recuerda cómo definir alguna altura del paralelogramo. Identifica una sub-configuración de elementos básicos, de los cuales sí conoce más datos y es capaz de manipularlos para obtener un resultado. Con ayuda es capaz de determinar una altura y su base correspondiente, conectando todos los conceptos, estable una solución por otro método.

Figura 4.1.5

(46)

Tarea 2

Sea ABC un triángulo cuya área es igual a uno. Si AG = 2CG, ¿cuál es el área del rectángulo DEGF.

Alumno 1

Recurre a reconstruir el esquema para reconocer más claramente los datos e intentar dar solución a esta tarea, utiliza la proporcionalidad para establecer los valores faltantes y concreta el procedimiento, pero no llega al resultado correcto, probablemente porque no recuerda el orden de las operaciones.

Figura 4.1.6

Realiza el trazo de diversos esquemas con medidas que cumplan la condición del área, es decir, que sea igual a 1

Alumno 2

(47)

Este procedimiento es interesante porque está conectando el concepto de área con el de proporcionalidad, es una aproximación a la solución exacta de la tarea.

Figura 4.1.7

Hace uso de proporcionalidad para obtener un resultado aproximado

Alumno 3

De inicio opta por la medición en el esquema, pero no logra conectar el resultado con el concepto de proporción con respecto al área descrita en la tarea, pero muestra su flexibilidad en tanto que busca procedimientos alternativos, mas no logra llegar a un resultado.

Figura 4.1.8

(48)

Alumno 4

Observa una posible sub-configuración y realiza trazos auxiliares, intenta establecer relaciones entre medidas utilizando una representación geométrica, sin embargo, comienza a mezclar con mediciones del esquema, no logra conectar que es posible hacer operaciones con letras, necesita ver números concretamente. Tampoco contempla el concepto de fracción, opta por las operaciones con decimales.

Figura 4.1.9

Intenta diversas sub-configuraciones que no logra conectar, se introduce en el uso de lenguaje algebraico, pero carece de elementos para concluir.

Alumno 5

(49)

Figura 4.1.10

Busca otras sub-configuraciones, se puede observar el uso de proporcionalidad

Alumno 6

Parte de una idea interesante, dividir todo el triángulo en 9 triángulos, con apoyo logra conectar la segmentación que propone con el concepto de fracción, verlo como parte de un todo.

Figura 4.1.11

(50)

Tarea 3

En el diagrama AC y AB son radios del círculo con centro en A. El área del sector ABC es 2p que es igual a un octavo del área total del círculo. ¿Cuánto mide el área

no sombreada?

Alumno 1 y 4

(51)

Figura 4.1.12

Con apoyo logran el proceso inverso y encuentran la medida del radio

Alumnos 2 y 3.

(52)

Figura 4.1.13

Identifican el área que deben calcular, pero no concretan resultado.

IV.2. Análisis de las conexiones establecidas en las diferentes representaciones.

Entenderemos:

(53)

Tarea 1

Figura 4.2.1

(54)

Figura 4.2.2

(55)

Figura 4.2.3

Posterior a la observación del dibujo (RV), el alumno va directamente a las operaciones (RS), comienza a calcular el área del cuadrado y del paralelogramo, al encontrar fallas en su estrategia, recurre de nuevo a la visualización de otra sub-configuración (RV), analiza la nueva imagen (RF) y va a las operaciones (RS), es capaz de verbalizar (RVe) sus procedimientos, tanto de operaciones (RS) como las transformaciones que realiza a la configuración (RF).

(56)

En el caso de la alumna, una vez realizada una inspección inicial a la imagen (RV), encuentra elementos que le permiten hacer operaciones directamente (RS), también identifica que hay sub-configuraciones que puede explorar (RF), las cuales puede describir (RVe). Analiza sus diferentes estrategias, pero no logra conectarlas adecuadamente para obtener un resultado.

Figura 4.2.5

(57)

Tarea 2

Figura 4.2.6

(58)

Figura 4.2.7

El va directamente a las operaciones de cálculo de áreas (RS), pero regresa a la medición (RF) para recuperar información, y posteriormente comenzar con el cálculo de proporciones (RS), en todos los casos es capaz de expresar sus ideas (RVe) y estrategias para resolver la tarea.

(59)

Se aprecia un mayor número de conexiones que podrían indicar que posee un conocimiento más robusto, puede ir de la observación (RV) a la manipulación (RF) y al cálculo (RS), comunica (RVe) en todos los casos sus ideas y estrategias de solución, se aprecia que estuvo receptivo a las ideas de sus compañeros y se notó la influencia de las ideas de estos para reformular sus procedimientos.

Figura 4.2.9

(60)

Figura 4.2.10

La alumna comienza con los trazos auxiliares (RF), trata de identificar y comenzar con los cálculos (RS) que debe hacer, solo fue capaz de expresar su idea inicial (RVe) partiendo de sus trazos auxiliares, pero se mantuvo callada y poco receptiva en el resto de su procedimiento.

(61)

De la observación (RV) parte al trazo de líneas auxiliares (RF), expresa la idea que tiene para llegar a una solución, mas le cuesta trabajo identificar directamente un cálculo posible (RS), hasta que relaciona el concepto de fracción.

Tarea 3

Figura 4.2.12

(62)

Figura 4.2.13

(63)

(64)

V. DISCUSIÓN Y CONCLUSIONES

V. 1. Respuesta a las preguntas de investigación

Las tareas empleadas pretenden que los alumnos se comprometan a alcanzar un pensamiento de alto nivel, alentar el razonamiento y el uso de diversas representaciones, así como la resolución de problemas a través de diferentes estrategias de solución.

Los estudiantes recurrieron a la observación, exploración, medición, realizaron dibujos, hicieron algunas deducciones con la intención de que fueran útiles y les ayudaran a encontrar un camino a la solución. Se observó que, en algunos casos, los alumnos van sin rumbo obteniendo ideas desconectadas, pareciera que intentan encontrar una pista escondida que les permita encaminarse hacia un posible resultado.

Están acostumbrados a que se les asignen tareas de exigencias de bajo nivel, es decir, aquellas que el docente aplica al finalizar un tema y en la que el alumno limita su estrategia de solución al método visto y practicado una y otra vez en clase, de este modo, puede recurrir a un esquema adquirido que brinde una conclusión similar a la buscada. No todas las tareas ofrecen las mismas oportunidades para el razonamiento y el aprendizaje del alumno (Hiebert et al. 1997; Stein, Smith, Henningsen y Silver, 2009).

(65)

construyen una variedad de representaciones y se establecen conexiones funcionales entre ellas (Goldin, 2001). Autores como: Hiebert y Lefevre, 1986; Hiebert y Carpenter, 1992; Keller y Hirsch, 1997; sugieren que las conexiones entre las representaciones y entre las ideas son características importantes del conocimiento conceptual. En este punto, la capacidad de los estudiantes para identificar y establecer conexiones entre representaciones y entre conceptos, se establece como una etapa trascendental en el desarrollo de la comprensión conceptual de las matemáticas.

Que el alumno conecte más representaciones, involucra características fundamentales de los constructos y las acciones matemáticas, como dibujar diagramas y utilizar palabras para mostrar y explicar el significado (NCTM, 2014). Cuando los estudiantes aprenden a representar, analizar y hacer conexiones entre las ideas matemáticas de múltiples formas, demuestran un entendimiento matemático más profundo, así́ como el progreso de sus habilidades para resolver problemas (Fuson, Kalchman y Bransford 2005; Lesh, et al., 1987).

(66)

V.2. Alcances y limitaciones del estudio

En cada tarea se procuró involucrar diversas habilidades matemáticas y diferentes métodos para llegar a una solución satisfactoria, que dieran cuenta del dominio de conceptos previos de los estudiantes y cómo podrían ser aplicados para resolver un problema, dando paso con esto a la construcción de un concepto nuevo. Debido a que no todos los estudiantes tienen el mismo conjunto de experiencias previas y dominio de conceptos, se considera que el maestro pueda presentar múltiples representaciones a manera de propuestas para que las oportunidades e ideas matemáticas de los estudiantes se incrementen.

Sin embargo, el estudio no se introduce en los motivos por los cuales el alumno no ha logrado consolidar conceptos anteriores y utilizarlos estratégicamente al resolver problemas. Tampoco alcanza a abarcar qué características, perfil o habilidades debe poseer el docente que diseña tareas, la importancia de que estas puedan resolverse por múltiples representaciones y qué estrategias utiliza para guiar a sus alumnos.

V.3. Reflexiones finales

La investigación permite analizar una perspectiva interesante sobre el aprendizaje con entendimiento y cómo los alumnos logran llegar a él, a través del establecimiento de conexiones entre múltiples representaciones. Entender que cada estudiante ha estado expuesto a diversas formas de enseñanza, pero pueden unir sus conocimientos previos para alcanzar el éxito en una tarea.

(67)

tanto, muchos puntos de acceso. Los estudiantes mejoran y modifican su conocimiento al utilizar lo que ya saben, así que entre más conexiones se establezcan, es más probable llegar a una solución satisfactoria. Este proceso se puede usar para conectar las experiencias de los estudiantes con aquellas representaciones que son más abstractas (como los símbolos escritos), como en el caso de tareas de geometría que pueden resolverse con álgebra, pero en las cuales la mayoría de los estudiantes no supo cómo llegar.

Una dificultad que se encuentra en el análisis del establecimiento de conexiones entre representaciones es poder determinar con precisión en qué orden se dan las relaciones y cuando son bidireccionales, es decir, cuando son capaces de ir y venir entre representaciones, por ejemplo, iniciar con una representación física: manipular un esquema, medirlo, redibujarlo; partir de ahí para hacer operaciones, representación simbólica, determinar que algo les falta y regresar a la representación física; esto fue visible gracias a que se recabó evidencia en video, pero de no contar con este recurso no es tan fácil identificarlas.

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APÉNDICES

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