apuntes determinantes

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(1)DETERMINANTES Todas las matrices cuadradas tienen determinante. El determinante de una matriz determina si los elementos de está tienen o no solución única. Un determinante de una matriz de orden n se obtiene mediante el sumatorio de n! productos formados cada uno de ellos por las permutaciones n elementos, uno por fila y columna, pero sin que en la misma permutación halla dos elementos que pertenezcan a la vez a la misma línea (fila o columna).. Cálculo. Determinante de orden dos. a 1.1. a 1.2. a 2.1. a 2.2. = a 1.1 ⋅ a 2.2 − a 1.2 ⋅ a 2.1. Determinante de orden tres. Regla de SARRUS a 1.1 a 1.2 a 1.3. a 2.1. a 2.2. a 2.3 = a 1.1 ⋅ a 2.2 ⋅ a 3.3 + a 1.2 ⋅ a 2.3 ⋅ a 3.1 + a 1.3 ⋅ a 2.1 ⋅ a 3.2 −. a 3.1. a 3.2. a 3.3. − (a 1.3 ⋅ a 2.2 ⋅ a 3.1 + a 1.2 ⋅ a 2.1 ⋅ a 3.3 + a 1.1 ⋅ a 2.3 ⋅ a 3.2 ) que corresponde al producto de las 6 (3! = 6) permutaciones posibles tres positiva y tres negativas, viniendo el signo de cada permutación determinado por el número de inversiones de la permutación respecto del orden natural. Existen diversos métodos para recordar el cálculo de determinantes de orden tres, uno de los más sencillos se basa en repetir las dos primeras filas del determinante debajo de él, generándose 6 diagonales, tres descendentes (positivas) y tres ascendente (negativas).. Menor de una matriz. Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. Al determinante de esa submatriz cuadrada se llama menor de orden r de la matriz inicial  a 1.1 a 1.2 a 1.3 a 1.4    a 1.2 a 1.3 a 1.4  a 2.1 a 2.2 a 2.3 a 2.4  seleccionando F1 , F2 , F4 , C 2 , C 3 , C 4 : a 2.2 a 2.3 a 2.4 , menor de orden 3 a a 3.2 a 3.3 a 3.4   3.1  a 4.2 a 4.3 a 4.4 a   4.1 a 4.2 a 4.3 a 4.4  En una matriz existirán menores desde orden 1, cada uno de los elementos de la matriz es un menor de orden 1, hasta menores de orden la menor de las dimensiones de la matriz. Menor orlado de orden n es un menor de orden n+1 que contiene al menor de orden n. En la  a 1.1 a 1.2 a 1.3 a 1.4    a a 1.2 matriz  a 2.1 a 2.2 a 2.3 a 2.4  los menores orlados del menor 1.1 , son los menores a 2.1 a 2.2 a   3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.4 . 1.

(2) a 1.1 a 1.2 a 1.3 a 1.1 a 1.2 a 1.4 a 2.1 a 2.2 a 2.3 y a 2.1 a 2.2 a 2.4 , ya que son los únicos menores de orden tres que contienen al a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.1 a 3.2 a 3.4 menor de orden 2. La importancia de los menores orlados radica en que los no orlados, son combinación lineal de los orlados, por tanto, si los menores orlados a un menor de orden n son cero, se puede asegurar que en la matriz no existen menores de orden n+1 distintos de cero. Esta propiedad ayuda en el cálculo del rango de una matriz.. Menor complementario. Se denomina menor complementario de una matriz cuadrada n×n, al valor del determinante de orden n−1 que se obtiene cuando se elimina la fila i y la columna j, designándose por αi.j.. Adjunto. Se llama adjunto del elemento ai.j al número Ai.j = (−1)i+jαi.j A la matriz formada por todos los adjuntos de una matriz n×n se la denomina matriz adjunta y se la designa como Adj A.. Propiedades. i.. El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta: A = A t. ii. iii.. Si una matriz cuadrada tiene una línea (fila o columna) de ceros, su determinante es cero. Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo. a 1.1 a 2.1 a 3.1 a 2.1 a 2.2 a 3.2 a 2.2 a 2.1 a 3.2. iv. v.. vi. vii.. viii. ix.. x.. a 2.1 a 2.2 a 3.2 = {F1 ↔ F2 } = − a 1.1 a 2.1 a 3.1 = {C1 ↔ C 2 } = + a 2.1 a 1.1 a 3.1 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.2 a 3.1 a 3.3 Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, su determinante es cero. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una línea de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese número. a 1.1 a 2.1 a 3.1 a 1.1 a 2.1 a 3.1 k ⋅ a 2.1 k ⋅ a 2.2 k ⋅ a 3.2 = k ⋅ a 2.1 a 2.2 a 3.2 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.1 a 3.2 a 3.3 Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas proporcionales, su determinante es cero. a 1.1 a 2.1 + b 2.1 a 3.1 a 1.1 a 2.1 a 3.1 a 1.1 b 2.1 a 3.1 a 2.1 a 2.2 + b 2.2 a 3.2 = a 2.1 a 2.2 a 3.2 + a 2.1 b 2.2 a 3.2 . Está descomposición es a 3.1 a 3.2 + b 3.2 a 3.3 a 3.1 a 3.2 a 3.3 a 3.1 b 3.2 a 3.3 válida cualquiera que sea la fila o la columna en la que se hallen los sumandos. Si a una línea de una matriz le sumamos o restamos una línea paralela multiplicada por cualquier número, su determinante no varia. Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de las demás paralelas, entonces su determinante es cero, ya que se podría descomponer en suma de varios determinantes, cada uno de los cuales tendrían dos líneas proporcionales. A ⋅ B = A ⋅ B . Aplicaciones de esta propiedad: n. •. An = A. •. k ⋅ An = kn ⋅ An. •. A −1 =. 1 A. 2.

(3) xi.. Si los elementos de una línea (fila ó columna) de una matriz cuadrada se multiplican por sus respectivos adjuntos y se suman los resultados se obtiene el determinante de la matriz inicial. A está técnica se la denomina desarrollo del determinante por los elementos de una línea (fila o columna). a 1.1 a 1.2 a 1.3 a 1.4. xii.. a 2.1. a 2.2. a 2.3. a 2.4. a 3.1. a 3.2. a 3.3. a 3.4. a 4.1. a 4.2. a 4.3. a 4.4. = a 2.1 ⋅ A 2.1 + a 2.2 ⋅ A 2.2 + a 2.3 ⋅ A 2.3 + a 2.4 ⋅ A 2.4. Si los elementos de una línea (fila ó columna) de una matriz cuadrada se multiplican por los respectivos adjuntos de una paralela, el resultado de la suma es cero. a 1.1 a 1.2 a 1.3 a 1.4. a 2.1. a 2.2. a 2.3. a 2.4. a 3.1. a 3.2. a 3.3. a 3.4. a 4.1. a 4.2. a 4.3. a 4.4. = a 2.1 ⋅ A 3.1 + a 2.2 ⋅ A 3.2 + a 2.3 ⋅ A 3.3 + a 2.4 ⋅ A 3.4 = 0. Determinantes de orden superior. Se desarrollan aplicando la propiedad xi, de tal forma que un determinante de orden n se transforma en n determinantes de orden n−1. Para simplificar el cálculo conviene hacer ceros todos los términos de la línea (fila o columna) excepto uno, aplicando la propiedad vii., de está forma el determinante de orden n se transforma en un único determinante de orden n−1. a 1.1 a 1.2 a 1.3 a 1.4 a 1.1 a 1.2 a 1.3 a 1.4. a 2.1 a 3.1 a 4.1 a 1.1 0 a 3.1 a 4.1. a 1.2 0 a 3.2 a 4.2. a 1.3 a 2.3 a 3.3 a 4.3. a 2.2 a 3.2 a 4.2. a 2.3 a 3.3 a 4.3. a 2.4 0 PROP. VII   → a 3.4 a 3.1 a 4.4 a 4.1. a 1.4 a 1.1 0 2+ 3 = a 2.3 ⋅ A 2.3 = a 2.3 ⋅ (− 1) ⋅ a 3.1 a 3.4 a 4.1 a 4.4. 3. 0 a 3.2 a 4.2. a 1.2 a 3.2 a 4.2. a 2.3 a 3.3 a 4.3. 0 a 3.4 a 4.4. a 1.4 a 1.1 a 3.4 = −a 2.3 ⋅ a 3.1 a 4.4 a 4.1. a 1.2 a 3.2 a 4.2. a 1.4 a 3.4 a 4.4.

(4) Método de Chio. Existen dos versiones para el método de Chio.. 1ª. Para un determinante de orden n: 1 det A = n − 2 ⋅ A p P Donde p es el término de la matriz que se usa como pivote, n es el orden la matriz y Ap es la matriz formada por todos los adjuntos de orden 2 de la matriz donde interviene el pivote.  a11 a12 a13    A =  a 21 a 22 a 23  a   31 a 32 a 33  Si se toma el término a1.1 como pivote: a11 a12 a11 a13. A =. 1 a113 − 2. ⋅. a 21 a 22 a11 a12. a 21 a 23 a11 a13. a 31 a 32. a 31 a 33. Ejemplo: Calcular mediante el método de Chio el determinante de la matriz A.  2 4 1   A =  5 3 0  6 5 1   Solución. Tomando como pivote el elemento 1.1 (2):. A=. 1 2. 3− 2. ⋅. 2 4. 2 1. 5 3 2 4. 5 0 1 − 14 − 5 1 1 = ⋅ = ⋅ (− 14 ⋅ (− 4) − (− 5) ⋅ (− 14)) = ⋅ (− 14) = −7 2 1 2 − 14 − 4 2 2 6 1. 6 5. Ejemplo. Calcular el siguiente determinante por el método de Chio. 1 2 0 5. 4 −1 3. 2. 3. 6. 8. 5. 2. 3. 4 −4. Solución. Tomo como pivote el elemento 1.1 que es 1: 1 2 1 0 1 2 0 5 4 −1 4 3 4 −1 3 2 1 1 2 1 0 = 4−2 3 6 8 5 3 6 3 8 1 1 2 1 0 2 3 4 −4. 2 3. 2 4. 1 5 4 2 1 5 3 5 1 5. − 9 3 − 18 = 1⋅ 0. 8 − 10 =. − 1 4 − 14. 2 −4. Tomo como pivote el elemento 3.1 que es −1: − 9 3 − 9 − 18. =. 1. (− 1). 3− 2. ⋅. − 1 84 0 8 −1 4. − 33 108 − 1 − 14 = −1 ⋅ = −1 ⋅ (330 − 864) = 534 0 − 10 8 − 10 − 1 − 14. 4.

(5) 2ª. Consiste en fijar en una fila o columna un elemento pivote (que por comodidad suele ser un elemento que valga 1 ó −1), y hacer ceros utilizando las propiedades de los determinantes, todos los elementos de dicha fila o columna salvo el pivote. Posteriormente se desarrolla dicho determinante por los elementos de esa fila o columna. Con la este método el calculo de un determinante de orden n se reduce al calculo de un determinante de orden n−1. Por lo general, si uno quiere hacer ceros en una fila, opera con columnas ó viceversa. Ejemplo: Calcular mediante el método de Chio el determinante de la matriz A.  2 4 1   A =  5 3 0  6 5 1   Solución. Tomando como pivote el elemento 1.3 (1), y haciendo ceros los elemento de su columna (3): 2 4 1 2 4 1 5 3 det A = 5 3 0 = {F3 = F3 − F1} = 5 3 0 = 1 ⋅ (− 1)1+ 3 ⋅ = (5 − 12) = −7 4 1 6 5 1 4 1 0 Ejemplo. Calcular el siguiente determinante por el método de Chio. 1 2 0 5. 4 −1 3. 2. 3. 6. 8. 5. 2. 3. 4 −4. Solución. Tomando como pivote el elemento 1.1 (1) y haciendo ceros los elementos de la 1ª fila: 1 2 0 5 1 0 0 0 − 9 3 − 18 4 −1 3 2 C 2 = C 2 − 2C1  4 − 9 3 − 18 det A = = = 1 ⋅ (− 1) ⋅ 0 8 − 10 = = 3 6 8 5 C 4 = C 4 − 5C1  3 0 8 − 10 − 1 4 − 14 2 3 4 −4 2 − 1 4 − 14 Tomando como pivote el elemento 3.1 (−1) y haciendo ceros los elementos de la 1ª columna: − 9 3 − 18 0 − 33 144 − 33 108 = [F1 = F1 − 9F3 ] = 0 8 − 10 = 0 8 − 10 = −1 ⋅ (− 1)3+1 ⋅ = 8 − 10 − 1 4 − 14 − 1 4 − 18. = −1 ⋅ (330 − 864) = 534. Si observas el segundo ejemplo, los dos métodos llevan a los mismos determinantes si utilizas los mismos pivotes, en definitiva son caminos diferentes para llegar al mismo determinante. NOTA: En los pasos intermedios de este método se pueden aplicar otras propiedades de los determinantes para ir simplificando (principalmente sacar factor común).. 5.

(6)