COLEGIO SAN ANTONIO DE PADUA – CARCAIXENT

MATEMÁTICAS

APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II

COLEGIO SAN ANTONIO DE PADUA – CARCAIXENT

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ÍNDICE

BLOQUE DE ÁLGEBRA:

TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

TEMA 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL

BLOQUE DE ANÁLISIS

TEMA 4: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD

TEMA 5: DERIVADAS Y APLICACIONES A LAS DERIVADAS

TEMA 6: INTEGRALES Y CÁLCULO DE ÁREAS

BLOQUE DE PROBABILIDAD

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TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

1.- Matrices. Definiciones 2.- Operaciones con matrices 3.- Determinantes

4.- Matriz inversa

5.- Resolución de ecuaciones matriciales

6.- Aplicaciones de las matrices a la resolución de problemas

1.- Matrices. Definiciones

Matriz

Se llama matriz de dimensión mn a una tabla de números que consta de m filas y n columnas. La expresamos en la siguiente forma:

             mn m2 m1 2n 22 21 1n 12 11 a ... a a ... ... ... a ... a a a ... a a A

Cuando m = n la matriz es cuadrada.

Por ejemplo, _

      2 0 3 3 1 2

A , es una matriz con dos filas A1 = ( 2, 1, 3 ) ; A2 = (3, 0, 2 )

Y con tres columnas _

      3 2

A1 ; _

      0 1

A2 ; _

      2 3 A3

¿Cuál es el elemento a13? ¿Y el a21?

Igualdad de matrices

Dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión y son iguales elemento a elemento.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cam-biando filas por columnas. Si A es de dimensión mn At es de dimensión nm

Ejemplo:

Si _

      6 4 0 3 2 1

-A que es de dimensión 2 x 3

           6 3 4 2 0 1

Matriz simétrica.

Una matriz cuadrada es simétrica si coincide con su traspuesta. Ejemplo:            5 7 0 7 4 2 0 2 1

A es simétrica ya que

           5 7 0 7 4 2 0 2 1 At

Obsérvese que doblada por la diagonal principal los números que coinciden son iguales.

Matriz identidad.

Es la que tiene la diagonal principal formada por unos y los demás elementos nulos. Se designa por I.

Ejemplo:                   1 0 0 0 1 0 0 0 1 ; 1 0 0 1 3 2 I I

2.- Operaciones con matrices

 Suma de matrices: Dos matrices A y B se pueden sumar si tienen la misma dimensión.

       1 3 2 -4 2 5

A ; _

      1 4 2 3 1 0

B ; _

       2 7 0 7 3 5 B A

 Producto de un número por una matriz:

       1 3 2 -4 2 5

A ; _

       3 9 6 -12 6 15 A 3

 Producto de matrices: Dos matrices A y B se pueden multiplicar si el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

       5 1 2 2 0 1 A ;            0 2 3 3 1 1

B ; _

       5 15 1 5 B A

¿Se puede multiplicar B·A?

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3.- Determinantes

Determinante de segundo orden.

Sea una matriz cuadrada de orden 2: _

       22 21 12 11 a a a a A

Se llama determinante de la matriz A al número real obtenido de la siguiente forma:

21 12 22 11 22 21 12 11 a a a a a a a a      A

El valor obtenido se denota también por det (A).

Ejemplo: 3 4 1 ( 2) 14

4 1 2 3      

Determinante de tercer orden

Sea una matriz cuadrada de orden 3:

           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A

Se llama determinante de la matriz A al número real obtenido de la siguiente forma:

33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

A  = =a11.a22.a33a12.a23.a31a13.a21.a32a31.a22.a13a23.a32.a11a33.a21.a12

Ejemplo: 1 5 10 (2) 6 ( 7) 3 4 8 3 5 ( 7) 6 8 1 10 4 ( 2) 367

10 8 7 -6 5 4 3 2 1                      

4.- Matriz inversa

Matriz inversa.

Dada una matriz cuadrada A, Si existe otra matriz B, tal que AB BAI, se dice que A es inver-tible y la matriz B recibe el nombre de inversa de A. Se expresa por A-1.

Para calcular la matriz inversa de una matriz A podemos seguir dos métodos:

1. Utilizando la definición, es decir escribir A-1 con incógnitas a, b, c, … , calcular el producto, igua-lar las matrices y resolver el sistema.

Menor complementario y adjunto.

Dada una matriz A cuadrada de orden n y uno de sus elementos aij, se llama menor complementario de dicho elemento al determinante de la matriz que resulta de suprimir la fila i y la columna j.

Adjunto de aij es el menor complementario precedido del signo + o – según que i + j sea par o impar. Se representa por Aij

Ejemplo:

  

 

  

  

4 1 2

3 0 1

-0 2 1 A

Menor complementario del elemento 2,3: 1 4 3

1 2

2 1

23    

M

Adjunto del elemento a23: ( 3) 3

1 2

2 1 ) (

23     

A .

Se pone signo negativo porque 2 + 3 es impar.

Adjunto del elemento a22: 4

4 2

0 1

22  

A . Se pone signo positivo porque 2 +2 es par.

Cálculo de la matriz inversa a través de determinantes.

Se siguen los siguientes pasos:

1. Se halla el determinante de la matriz. Si es cero no existe inversa.

2. Se hallan los adjuntos de la matriz dada, Aij

3. Se forma la matriz traspuesta de los de adjuntos obtenida dividida por el determinante de A.





t

A Adj A

A1  1 ( )

5.- Resolución de ecuaciones matriciales

Hay dos formas de resolver ecuaciones matriciales:

1. Resolución de ecuaciones matriciales directamente: Muchas ecuaciones matriciales se pueden resolver directamente; para ello se despeja la matriz incógnita y luego se hacen las operaciones.

a) Una matriz que está sumando pasa al otro miembro restando.

b) Una matriz que está multiplicando pasa al otro miembro la inversa, pero multiplicando por el mismo lado que estaba.

2. Resolución de ecuaciones matriciales pasando a un sistema:

a) Se escribe la matriz incógnita con variables a, b, c …en todos sus elementos. b) Se efectúan las operaciones de cada uno de los miembros de la ecuación. c) Mediante la igualdad de matrices se pasa a un sistema lineal.

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6 .- Aplicaciones de las matrices a la resolución de problemas

Una de las aplicaciones más importantes de las matrices es su aplicación a la resolución de problemas algebraicos cuando hay muchos datos y éstos se pueden organizar en tablas de doble entrada, que son matrices

Ejemplo: Una fábrica distribuye sus productos alimenticios A, B y C a cuatro países P, Q, R y S, según se describe en la matriz M (cantidades de toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas E y F para el transporte de los productos a los países de destino, como indica la matriz N (en euros por tonelada).

Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones:

a) ¿Qué representa el elemento a11 de la matriz producto?

b) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa F?

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATRICES Y DETERMINANTES

1. Dadas las matrices _        1 3 2 7

A y _

        2 2 0 3

B , calcula:

a) 2A3B b) A B c) B A d) A2

2. Sean las matrices: _

        3 2 1 0 4 1 A _         3 1 1 0 4 1 B _         0 1 10 1 8 7

C . Calcula 2A3BC

3. Efectúa todos los posibles productos entre las siguientes matrices:

        1 5 2 3 2 1 A               4 1 1 0 3 0 1 7 B              0 0 5 1 0 1 5 3 7 2 6 2 C              3 3 2 2 5 0 1 1 1 D

4. Efectúa el producto





_              1 0 2 5 1 1 2 3

5. a) ¿Son iguales las matrices _       3 2

A y B



2 3



?

b) Halla si es posible las matrices _{A B B A A} ; _ ; _{B A}; t_B

6. Encuentra dos matrices A y B que cumplan _        2 4 5 1 3

2X Y y _

       6 3 0 1 Y X

7. Determina las matrices A y B que son solución del siguiente sistema matricial:

                             2 5 10 7 6 6 2 1 7 2 4 4 15 0 9 5 4 5 0 2

3A B A B

8. Halla X e Y sabiendo que _

        15 4 0 2 3

5X Y y _

         9 2 1 1 2 3X Y

9. Resuelve: _

                          2 3 1 1 2 3 1 1 y x y x

10.Calcula el valor de los siguientes determinantes:

0 2 3 10 ; 4 2 8 4 ; 2 3 1 2       ; 0 4 3 2 0 2 1 3 0 ; 1 0 1 3 7 0 0 8 7 ; 5 3 5 1 1 2 6 4 3     

11.Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices:

                 3 5 1 1 2 0 0 1 4 7 2 4 1

12.Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices: _                       2 1 1 2 3 5 2 3 0 1 1 1 1

13.Resuelve la ecuación AXBC donde

           0 0 2 0 1 1 3 1 0 A             4 0 1 3 1 2 B              2 1 1 1 0 1 C

14.Resuelve la ecuación matricial 2AAXB0 siendo _        1 1 0 1

A y _

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15.Resuelve la ecuación matricial: _

                    14 22 4 6 0 1 2 4 4 3 1 1 X

16.Dadas las matrices _

        5 1 1 1 0 2 A             2 1 1 1 0 3 B _       4 3 2 1 C _         17 8 3 9

D halla la matriz X que verifica

D CX

AB 

17.Resuelve la ecuación AXBC siendo _       3 4 2 3 A _       2 1 3 2 B _       1 1 1 1 C

18.Dada la matriz _       2 1 3 2

A , halla una matriz X tal que _

      3 2 1 1 AXA

19.Resuelve la ecuación matricial

                                             1 1 4 2 1 3 1 1 1 2 1 1 5 0 2 z y x

20.Obtener de forma razonada la matriz X que verifica AX 2BC, siendo:

        0 5 1 2

A _

        1 1 4 3

B _

       2 13 7 2

C (septiembre-2002)

21.Calcular la matriz X que verifica la ecuación AXB2C, siendo:

       1 1 0 4

A , _

      0 2 2 1

B y _

       2 1 0 2

C (junio-2004)

22.Obtener la matriz X que verifica: AXB3X, siendo:

            3 1 2 1 0 3 1 2 3

A y

             1 1 2

B (septiembre -2004)

23.Calcula la matriz _       c b a X

0 que verifica la ecuación matricial AXBC siendo:        1 1 0 1 A _         3 1 2 1

B _

          8 3 2 1 C (Septiembre-2005)

24.Determinar la matriz A que verifica t B A

AB 2 , donde _

       2 0 1 3

B y t

B representa la matriz

traspuesta de B. (septiembre – 2006)

26.En un edificio hay tres tipos de viviendas: L3, L4 y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 grandes; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes, y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes. Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 6 bisagras.

a) Escribe una matriz que describa el número y tamaño de ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana.

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TEMA 2 : SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definición.

En general, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones de la forma:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... ...

... ...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

    



 _{   }

 

 _{   }



donde x1, x2,...,xn son las incógnitas, los números reales aij reciben el nombre de coeficientes de las incógnitas y los números b1, b2,...,bm son los términos independientes.

Se llama solución de un sistema general de ecuaciones lineales a los números reales ordenados



1,2,...,n



que verifica todas las igualdades del sistema.

Atendiendo al número de soluciones podemos clasificar los sistemas en la forma siguiente:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: CLASIFICACIÓN Incompatibles (S.I)

(No tienen solución)

Compatibles

(Tienen solución)

Determinados(S.C.D)

(Tienen solución única)

Indeterminados (S.C.I)

(Tienen infinitas soluciones)

Sistemas homogéneos.

Son los que tienen todos los términos independientes nulos. Estos sistemas siempre admiten la solu-ción (0, 0, 0,...,0) que recibe el nombre de solusolu-ción trivial, por tanto, los sistemas homogéneos son siempre compatibles.

Sistemas equivalentes.

Son los que tienen las mismas soluciones.

Es fácil probar que las siguientes transformaciones, efectuadas sobre las ecuaciones de un sistema lineal, lo convierten en otro equivalente:

 Cambiar el orden de las ecuaciones.

 Multiplicar una de las ecuaciones por un número distinto de cero.  Sumar a una de las ecuaciones una combinación lineal de las demás.

 Sustituir una ecuación por una combinación lineal en la que ella intervenga, siempre que su coefi-ciente sea distinto de cero.

Método de Gauss.

Se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Consiste en sustituir el sistema por otro equivalente. Después de sucesivas transformaciones se llega a un sistema escalonado, es decir, que tiene nulos todos los coeficientes debajo de la diagonal del sistema.

Se realizan tres operaciones fundamentales:

1. Intercambio de ecuaciones (el primer coeficiente de la 1ª ecuación ha de ser distinto de cero y, a ser posible, que valga 1)

2. Multiplicación de una ecuación por un número distinto de cero. 3. Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número.

Discusión del método.

Aplicado el método de Gauss, en el sistema escalonado resultante puede ocurrir: 1. Que haya alguna ecuación de la forma 0 = c; c≠0  S.I

2. Que el número de ecuaciones sea igual al número de incógnitas S.C.D 3. Que el número de ecuaciones sea menor que el número de incógnitas S.C.I

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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

1. Resuelve siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss:

a)                2 2 2 4 2 3 2 z y x z y x z y x b)                5 5 2 3 2 1 2 4 3 z y x z y x z y x c)                4 5 2 4 3 2 3 2 z y x z y x y x

2. Resuelve siguientes sistemas de ecuaciones utilizando la regla de Cramer:

a)                9 8 4 2 24 5 3 y x z y x z y x b)              10 3 2 8 2 y x z y x z y x c)               11 7 5 3 2 4 3 5 2 z y x z y x z y x

3. Dada la siguiente ecuación matricial:

                                        3 6 10 1 0 1 2 2 3 z y x y x

obtener de forma razonada los

valores de x, y, z. (junio-2003)

4. Sea           1 5 2 1 3 2 1 2 2

la matriz de los coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y           1 1 1

la matriz de

sus términos independientes. Se pide:

a) Escribir las tres ecuaciones que forman el sistema. b) Obtener todas las soluciones del sistema. (junio-2005)

5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de Crámer :

             11 2 5 6 2 y x z x z y x (junio-2006)

6. Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 € y un total de 2 000 € . Si el número de billetes de 10 € es el doble que el número de billetes de 20 € , averigua cuántos billetes hay de ca-da tipo.

8. Juan decide invertir una cantidad de 12 000 € en bolsa, comprando acciones de tres empresas dis-tintas, A, B y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se han revalorizado un 4%, las de B un 4% y las de C han perdido un 2% de su valor ori-ginal. Como resultado de todo ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5 €. Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas. (junio-2004)

9. Elena, Pedro y Juan colocan diariamente hojas de propaganda sobre los parabrisas de los coches aparcados en la calle. Pedro reparte siempre el 20% del total de la propaganda, Juan reparte 100 hojas más que Elena y entre Pedro y Elena colocan 850 hojas en los parabrisas. Plantear un sistema de ecuaciones que permita averiguar cuántas hojas reparten respectivamente, Elena, Pedro y Juan y calcular estos valores. (junio-2005)

10. Dos hermanos deciden invertir 10000 € en distintos productos financieros. El mayor invirtió una cantidad A en un producto que ha proporcionado un beneficio del 6 %, una cantidad B en otro que ha dado una rentabilidad del 5 % y el resto a un plazo fijo al 2 % de interés. El hermano menor invirtió las mismas cantidades en otros productos que le han proporcionado, respectivamente, unos beneficios del 4, 3 i 7 %. Determina las cantidades A, B y C invertidas si las ganancias del her-mano mayor han sido 415 € y las del pequeño 460 €. (septiembre-2005)

11. En el primer curso de bachillerato de un instituto hay matriculados un total de 65 alumnos divididos en tres grupos: A, B y C. Comen en el centro 42 de ellos, que corresponden a la mitad del grupo A, las cuatro quintas partes de los del grupo B y las dos terceras partes de los del

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TEMA 3: PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar o minimizar una fun-ción lineal son dos variables sujeta a unas restricciones que están dadas por inecuaciones lineales. La función objetivo en un problema de programación lineal es la función lineal en dos variables que se desea optimizar. Se representa por: f(x, y) = ax + by

La región factible de una función objetivo es un polígono convexo finito o infinito en el que toma va-lores la función objetivo; es decir, son todos los puntos del plano que verifican todas las restricciones del enunciado del problema.

La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están sobre uno de los lados. Para hallar la solución óptima, se prueba en la función objetivo cada uno de los vértices de la región factible.

Para resolver un problema de programación lineal se sigue el procedimiento: a) Se hace una tabla con los datos del problema.

b) Se representa la región factible.

c) Se calculan los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. d) Se escribe la solución.

Orientaciones para construir la tabla:

 En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientes a los conceptos de las

variables y la etiqueta restricciones.

 En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan a las variables.  En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que da origen a una restricción, es

decir, a una inecuación.

 En la última fila se escriben los valores correspondientes a la función objetivo y si se trata de maximizar o minimizar.

Ejemplo:

Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de alumi-nio, y para construir una bicicleta de montaña se necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las bicicletas de paseo a 200 € y las de montaña a 150 €, ¿cuántas bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?

b) Región factible

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. f(0, 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0 €

f(40, 0) = 200 · 40 + 150 · 0 = 8 000 €

f(20, 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 8 500 € Máximo f(0, 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 6 000 €

d) La solución óptima es B(20, 30), es decir, 20 bicicletas de paseo y bicicletas de montaña.

Número de soluciones de un problema de programación lineal:

Un problema de programación lineal tiene infinitas soluciones si tiene la solución óptima en dos vértices de la región factible. En este caso, todos los puntos del lado que une ambos vértices son solu-ciones óptimas.

Un problema de programación lineal puede que no tenga solución, debido a dos razones: a) Porque la región factible sea vacía.

18

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

1. Dibuja el recinto que cumple estas restricciones:                 0 5 2 0 4 0 1 0 x y y x y x

a) Localiza los puntos de este recinto en los que la función objetivo F(x, y)=x + y se hace máxi-ma y mínimáxi-ma, respectivamente.

b) Sobre el mismo recinto, haz máxima y mínima la función G(x, y)=5x + y.

2. Calcula los puntos del recinto

           20 0 20 2 20 2 y y x y x

que hacen mínima o máxima la función z =2x + y.

¿Cuántas soluciones hay?

3. Calcular los puntos de la región definida por

5 2 6 3 15 2 6         y x y x y x

donde la función z3x2y alcanza los valores máximo y mínimo. Calcular dichos valores. (sep-tiembre -2004)

4. Representar la región factible dada por el sistema de inecuaciones:

2 1 y 3 x 1 y 2 x 1 y x        

y hallar los puntos de la región en los que la función f(x,y)2x3yalcanza el valor máximo y mínimo y obtener dichos valores. (septiembre -2005)

6. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecá-nicos que de electricistas y del número de mecámecá-nicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 150 € por electricista y 120 € por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegir-se para obtener el máximo beneficio?

7. El INSERSO debe organizar un viaje para 800 personas con cierta empresa que dispone de 16 au-tobuses de 40 plazas cada uno y 20 auau-tobuses de 50 plazas cada uno. El alquiler de un autobús pequeño cuesta 3000 ptas y el alquiler de un autobús grande cuesta 4000 ptas. Averiguar razo-nadamente cuántos autobuses de cada clase hay que contratar para minimizar el coste y cuál ser-ía el mínimo coste, sabiendo que la empresa sólo dispone de 18 conductores. (septiembre-2001)

8. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafeína y de 180 refrescos de cola sin cafeína. Los refres-cos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen tres refresrefres-cos con ca-feína y tres sin caca-feína, y los paquetes de tipo B contienen dos con caca-feína y cuatro sin caca-feína. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda del tipo A y 5 euros por cada uno que venda del tipo B. Calcular de forma razonada cuántos paquetes de cada tipo debe vender para maximi-zar los beneficios y calcular éste. (junio-2002)

9. Una empresa fabrica dos tipos de aparatos A y B que necesitan pasar por los talleres X e Y. En ca-da uno de los talleres se trabaja 100 horas a la semana. Caca-da aparato A requiere 3 horas del taller X y 1 hora del Y y cada aparato B, 1 y 2 horas, respectivamente. Cada aparato A se vende a 100 euros y cada aparato B, a 150 euros.

a) Obtener razonadamente cuántos aparatos de cada tipo han de producirse para que el ingre-so por ventas sea máximo.

b) ¿Cuál es el ingreso máximo? (septiembre-2002)

10.Una compañía fabrica y vende dos tipos de lámparas A y B. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo A y 30 minutos para el modelo B; y un trabajo de máquina de 20 minutos para el modelo A y de 10 minutos para el modelo B. Se dispone para el trabajo manual de 6.000 minutos al mes y para el de máquina de 4.800 minutos al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 € para el modelo A y de 10 € para el modelo B, planificar la producción mensual para obtener el máximo beneficio y calcular éste. (junio -2003)

20

12.Se pretende invertir en dos productos financieros A y B. La inversión en B ha de ser al menos de 3000 euros y no se quiere invertir en A más del doble que en B. Se supone que A proporcionará un beneficio del 10% y B del 5%. Si se dispone de 12000 euros, calcular de forma razonada cuánto se debe invertir en cada producto para maximizar el beneficio y determinar éste. (sept-2003)

13.Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7%, respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de présta-mos para maximizar el beneficio y calcular éste. (junio-2004)

14.Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta co-ches y motocicletas. Para coco-ches debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los ingresos de la compañía ferro-viaria son de 540 € por vagón de coches y 360 € por vagón de motocicletas, calcular cómo se de-ben distribuir los vagones para que el de-beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho beneficio. (junio-2004)

15.Un fabricante produce en dos talleres tres modelos distintos de archivadores, el A, el B y el C. Se ha comprometido a entregar 12 archivadores del modelo A, 8 del B y 24 del C. Al fabricante le cuesta 720 € al día el funcionamiento del primer taller y 960 € el del segundo. El primer taller produce diariamente 4 archivadores del modelo A, 2 del B y 4 del C, mientras que el segundo produce 2, 2 y 12 archivadores, respectivamente. ¿Cuántos días debe trabajar cada taller para, cumpliendo con el contrato, conseguir reducir al máximo los costes de funcionamiento? ¿Cuál es el valor de dicho coste? ¿Quedaría algún excedente de algún producto en los talleres? En caso afirmativo, determinar cuánto. (septiembre -2004)

16.Las necesidades vitamínicas diarias de una persona son de un mínimo de 36 mgr. de vitamina A, 28 mgr. de vitamina C y 34 mgr. de vitamina D. Estas necesidades se cubren tomando pastillas de marca Energetic y de marca Vigor. Cada pastilla de la marca Energetic cuesta 0,03 € y proporcio-na 2 mgr. de vitamiproporcio-na A, 2 mgr. de vitamiproporcio-na C y 8 mgr. de vitamiproporcio-na D. Cada pastilla de la marca Vigor cuesta 0,04 € y proporciona 3 mgr. de vitamina A, 2 mgr. de vitamina C y 2 mgr. de vitami-na D. ¿Cuántas pastillas de cada marca se han de tomar diariamente si se desean cubrir las nece-sidades vitamínicas básicas con el menor coste posible? Determinar dicho coste. (junio -2005)

22

TEMA 4: FUNCIONES: LÍMITES Y CONTINUIDAD

Límite de una función:

Si a y b son dos números reales, la expresión f x b a

x ( )

lim quiere decir que si x toma valores próxi-mos, tanto mayores como menores, al número a, los correspondientes valores de f se aproximan al número b.

 Si se aproxima por valores menores de a, se llama límite por la izquierda y se escribe f x b a

x





 ( )

lim

 Si se aproxima por valores mayores de a, se llama límite por la derecha y se escribe f x b a

xlim  ( )

Ejemplo: Sea la función f (x) = x2 – 1

Límite determinado e indeterminado

Un límite determinado es un número real, o bien  o . En otro caso es indeterminado. Los tipos de indeterminaciones son los siete siguientes. Se representan entre corchetes:

0 0

       ,

   

 , , 0, 1     

 , 0,    00

Límite en el infinito de una función polinómica:

24 Límite en el infinito de una función racional:

Es equivalente al cálculo del límite tomando los infinitos de orden superior en el numerador y deno-minador. Se tiene:

Regla práctica:

a) Si el grado del numerador es menor que el del denominador, el límite es cero. b) Si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.

c) Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el límite es o , según re-sulte de operar los signos de los coeficientes principales con las potencias correspondientes.

Límite en un punto de una función polinómica:

Se sustituye el valor al que tiende la x en la función.

Límite en un punto de una función racional:

Se sustituye el valor al que tiende la x en la función.

Pueden aparecer dos indeterminaciones:

 Indeterminación 0

0

     

 : Se factoriza numerador y denominador y se simplifica:

 Indeterminación

0

k      

Continuidad:

Una función f(x) es continua en el punto xa si cumple estas tres condiciones: a) La función está definida en a, es decir, existe f(a)

b) Existe y es finito el límite lim f(x)

a

x (xlima f x( )=xlima f x( ))

c) Los dos valores anteriores coinciden: lim f(x)

a

x = f(a) Ejemplo:

Una discontinuidad en x = a es evitable si existe el límite de la función en dicho valor y es finito pero es distinto del valor de la función en x = a, o no existe el valor de la función en x = a

Ejemplo 1:

26

Una discontinuidad en un punto es de salto finito si existen los límites laterales y son distintos.

Una discontinuidad en un punto es desalto infinito si alguno de los límites laterales es infinito.

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE FUNCIONES

1. Calcula el límite de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) lim( 2 3 1)

2  

 x x

x c) ₁

) 1 ( lim ₂ 2 0    _x x x

b) lim( 3 2 )

1 x x x

x   d) limx8 x1x

2. Calcula los siguientes límites: a) lim( 2 3 1)



 x x

x b) lim( 3 1)

2  



 x x

x c)

3

lim ( 3 1)

x x  x d) _{lim (} 3 _{3 1)}

x x  x e)

2 4

lim ( 2 )

x x  x f)

2 4

lim ( 2 )

x x  x

3. Calcula el límite de las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) 2 3 3 2 lim ₂ 2

1  

 

 _{x x}

x x

x c) 0 2

2 lim x x x 

 e)

2 1 2 1 lim 1 x x x    b) x x x x 2 3 lim 2 0 

 d) ₆

4 4

lim ₂

2 3

2  

  

 _{x x}

x x x

x f) 0 2

4 lim x x x  

4. Calcula los siguientes límites:

a) 1 2 4 5 3 lim ₂ 2      _x x x

x b) _{x x}

x x x ₄ 1 2 lim ₅ 3    

 c) _{2 5}

3 lim ₃ 2 4     _x x x x d) 4 2 3 3 lim 2 5 x x x x  

 e)

3 1 lim 2 x x x  

 f)

3 1 lim 2 x x x   

5. Estudia la continuidad de las funciones y represéntalas gráficamente: a)         2 6 2 2 3 ) ( x si x x si x x

f b)

         2 1 2 2 1 ) ( 2 x si x x si x x f

6. Estudia la continuidad de las funciones y represéntalas gráficamente:

a)

2

1 0

( ) 1 0 2

2 1

si x

f x x si x

x x si x

   _        b) 2 3 3

( ) 3 3 6

0 6

x x si x

f x x si x

si x     _     _ 

7. Estudia la continuidad de las funciones: a) 2 4 ) ( 2    x x x

f b)

28

8. a) Estudia la continuidad en el intervalo [-3, 3] de la función:





    

  

  

     

3 1

2 3

1 2

2 3

10 3

)

( 2

x x

x x

x x

x f

b) Halla la integral entre 2 y 3 de la función f(x)2x3 3x2. (junio 2006)

9. a) Determinar el valor de a para que la siguiente función sea continua en x1:





    

 



   

  



1 ) 3 ( 11 2

1 1 2

1 3

) (

x x

x

x ax

x a

x

x f

b) Estudia la continuidad de la función anterior en el caso a0

TEMA 5: FUNCIONES: LÍMITES Y CONTINUIDAD

30

Pasos a seguir para representar gráficamente una función: Dominio: Son los valores de x para los que existe la función.

 _{Para las funciones polinómicas, la función existe para todos los valores de x. Dom(f) = R.}

 Para las funciones racionales f(x) = ) x ( P

) x ( Q

la función existe para todos los valores de x menos los que hacen cero el denominador. Dom(f) = R - {x / P(x) = 0}.

 _{Para las funciones irracionales f(x) =}parP(x)_{, la función existe para todos los valores de x menos} los que hacen negativa la raíz. . Dom(f) = {x  R / P(x)  0}.

Puntos de corte:

 _{Puntos de corte con el eje OX}  _{Se obtienen resolviendo la ecuación f(x) = 0.}

 Puntos de corte con el eje OY  Se obtienen sustituyendo la x por cero, es decir, y = f(0)

Crecimiento y decrecimiento:

1. Hacer la primera derivada f ´(x)

2. Igualar a cero la primera derivada f ´(x) = 0 . Las soluciones son candidatos a máximos o mínimos.

3. Ponemos en la recta de los reales los valores de x que anulan la primera derivada y los puntos que no son dominio.

4. Sustituimos en la primera derivada valores comprendidos en los intervalos de la recta y vemos el signo.

Máximos y mínimos:

Los puntos del dominio donde la función pasa de ser creciente a decreciente son máximos relativos. Los puntos del dominio donde la función pasa de ser decreciente a creciente son mínimos relativos.

Concavidad y convexidad:

1. Igualamos a cero la segunda derivada f ´´(x) = 0. Las soluciones son candidatos a puntos de in-flexión.

2. Ponemos en la recta de los reales los valores de x que anulan la segunda derivada y los puntos que no son dominio.

3. Sustituimos en la segunda derivada valores com-prendidos en los intervalos y vemos el signo.

f´(x0) > 0  CRECIENTE

f´(x0) < 0  DECRECIENTE

Puntos de inflexión:

Los puntos del dominio donde la función pasa de ser cóncava a convexa o al revés son puntos de in-flexión.

Asíntotas de funciones racionales:

Para hallar las asíntotas verticales, x = k, se resuelve la ecuación que se obtiene al igualar a cero el denominador; se toman solo las raíces que no lo sean del numerador.

Para conocer la posición de la curva respecto de las asíntotas, se hallan los límites laterales.

Nota: Las curvas nunca cortan a las asíntotas verticales.

Para hallar la asíntota horizontal, y = k, se calcula: lim  

x

k f x

 

Para conocer la posición de la curva respecto de la asíntota horizontal, se hallan: lim



 



x f x k

Si el límite tiende a 0+, la curva está encima de la asíntota, y si tiende a 0–, está debajo.

32

Máximos y mínimos absolutos de una función en un intervalo cerrado [a, b]

a) Se calculan los máximos y mínimos relativos en el intervalo abierto ]a, b[. b) Se calculan los valores de la función en los extremos del intervalo.

c) El máximo absoluto es el valor mayor de ellos, y el mínimo absoluto es el valor menor de ellos.

Ejemplo: Halla el máximo y el mínimo absolutos de f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 1 en el intervalo [0, 2]

a) f '(x) = 3x2 – 12x + 9 = 0 obtenemos x = 1, x = 3. Tomamos solo el valor 1 ya que 3 no está en el in-tervalo ]0,2[. Calculamos f(1) = 3

b) f(0) = –1 y f(2) = 1

c) La función alcanza el máximo absoluto en A(1, 3), y el mínimo absoluto en B(0, –1).

Cálculo de una función con condiciones

En algunos problemas se pide determinar una función que cumple ciertas condiciones. Para resolver estos problemas, se transforman las condiciones en ecuaciones y se resuelve el sistema resultante

Problemas de optimización

Para resolver los problemas de optimización, se sigue el procedimiento: a) Se escriben los datos, las incógnitas y se hace un dibujo si es posible.

b) Se escribe la función que se desea maximizar o minimizar y las condiciones del problema, que serán ecuaciones que relacionan las variables y los datos.

c) Se escribe la función con una sola variable, mediante las ecuaciones utilizadas. d) Se calculan los máximos y los mínimos de esta función derivando.

e) Se comprueban los valores en la segunda derivada.

EJERCICIOS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1. Halla la derivada de las siguientes funciones:

a) y3x2 4 b) y2x46x3x2x100 c)  1₃  2₂ 34 x x x y

2. Halla la derivada de las siguientes funciones:

a)



2



3

4

3 

 x

y b)

1 1    x x

y c)

3 3 2 2    x x

y d) ₂1

1

y x 



3. Representa gráficamente las siguientes funciones hallando previamente su dominio, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos locales:

a) 3 2

3 )

(x x x

f   b) f x( ) x3 3x2 c) f(x)x42x2 d)f(x)x48x27

f) ( ) ₂ 1

x f x

x 

 g) 2 2

1 ) ( ₂    x x x

f h) ₂

2 9 ) ( x x x f   i) 2 ₁

( ) x

f x x

 

4. Dada la función yx3x25x3, se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Máximos y mínimos locales.

d) Representación gráfica a partir de la información de los apartados anteriores. (junio 2006)

5. Dada la función

1 2 ) ( ₂   x x x

f , se pide:

a) Dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. b) Ecuación de sus asíntotas.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. d) Máximos y mínimos relativos.

e) Utiliza la información anterior para representarla gráficamente. (septiembre 2006)

6. Los beneficios anuales B(x), en miles de euros, previstos para una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual:

16 25 ) ( ₂   x x B

a) ¿Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio?

a) ¿Puede esta empresa tener pérdidas algún año? ¿Por qué? (junio 2006)

7. Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función x

x x

I( )28 2 36000 , mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función G(x)44x2 12000x700000, donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar:

34

b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo. Justificar que es máximo.

c) El beneficio máximo. (junio-2004)

8. El coste de producción de x unidades diarias de un determinado producto es 35 25 4

1 )

(x  x2  x

c y

el precio de venta de una de ellas es

4

50 x euros. Hallar el número de unidades que deben

ven-derse diariamente para que el beneficio sea máximo.

9. Se cree que el número de unidades vendidas de un cierto producto en función de su precio en euros, x, viene dado por y = 50 - x, donde el precio varía entre 0 y 50 euros. Si por cada unidad vendida se obtiene un beneficio x - 10, determinar de forma razonada el precio x que producirá un mayor beneficio, el número de unidades vendidas y el beneficio obtenido. (junio-2003)

10.Un almacenista quiere poner en el mercado 100 000 kg de naranjas al precio 0’5 euro/kg. Cada semana que pasa se estropean 2 000 kg de naranjas, por lo que, para compensar las pérdidas de-cide aumentar semanalmente 0’02 € el precio de cada kg.

a) Escribe la función que determina el beneficio en función del tiempo, en semanas que transcu-rren.

b) Calcula el número de semanas que deben pasar para que los beneficios del almacenista sean máximos, y obtener dicho beneficio.

11.Una empresa de telefonía quiere lanzar al mercado una oferta de tarifa plana de internet. Se ha realizado un estudio que determina que si la tarifa fuera de 36 € podrían conseguirse 4800 contra-tos. Sin embargo, por cada euro menos en la tarifa, el número de contratos previsto anteriormen-te se incrementan en 150. Se pide:

b) Expresar el ingreso total previsto como una función de una variable. Explicar el significado de la variable utilizada.

c) ¿Cuál debería ser la tarifa para que la empresa obtuviera el beneficio máximo? ¿Cuál es este y con cuantos abonados se conseguiría? Justificar que el ingreso obtenido es realmente máximo. (junio-2005)

12.En unos almacenes se tiene 2000 Kg. de alimentos perecederos que se pueden vender a 3 € el Kg., pero si se venden más tarde, el precio aumenta 0,1 € el Kg. cada día. Calcular cuándo interesa vender estos alimentos para tener los máximos ingresos si cada día que pasa se estropean 50 Kg. de ellos. ¿Cuáles son estos ingresos máximos? ¿Cuántos los kilos que se venden y a qué precio? Justificar que es máximo. (septiembre-2005)

13.Se sabe que los costes totales de fabricar x unidades de un determinado producto vienen dados por la expresión c(x)3x227x108.Cuántas unidades hay que producir para maximizar el coste

14.El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto viene dado por

800 5

2 1 )

(x  x2  x

C . Definir la función que determina el coste medio por litro producido y de-terminar de forma razonada con qué producción dicho coste medio será mínimo. ¿Cuál es el valor de dicho coste? (septiembre-2003)

15.El valor en miles de millones, de una empresa en función del tiempo t, viene dado por

2

) 2 ( 9 )

(t   t

f , 0t4'5

a) Deduce en que valor de t la empresa alcanzó su máximo y mínimo valor. b) ¿Cuáles fueron su valor máximo y mínimo?

c) ¿En que periodos de tiempo aumentó su valor y en que periodos disminuyó?

16.La velocidad (en m/seg.) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros viene dada en función del espacio recorrido, x, por la siguiente expresión :f(x)0'00055x



x300



. Deducir de forma razonada:

a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? ¿Cuál es esa velo-cidad?

b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando? ¿Y disminuyendo? c) ¿A qué velocidad llega a la meta? (junio-2002)

17.Se estima que los beneficios mensuales de una fábrica de golosinas, en miles de euros, vienen dados por la función f

 

x 0,1x22,5x10, cuando se venden x toneladas de producto.

a) Calcular la cantidad de toneladas que se han de vender para obtener el beneficio máximo y calcular este. Justificar que es máximo.

b) La cantidad mínima que se ha de vender para no tener perdidas.

c) ¿Qué cantidad produce el máximo beneficio por tonelada vendida? Calcular el máximo benefi-cio y justificar que es máximo. (junio-2005)

18.Se calcula que entre las 2000 y 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de un motor viene dado por la función f(x)2x2 12x23, donde f(x) indica los litros consumidos en una hora y x viene expresada en miles de revoluciones por minuto. Hallar de forma razonada:

a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mínimo. b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máximo, y c) Dichos consumos. (Septiembre-2002)

19.La concentración C de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en una ciudad durante los 20 primeros días de un determinado mes se puede aproximar por la función

2

6 ' 0 15 90 )

(x x x

C    , donde x representa el tiempo transcurrido en días.

36

b) ¿Cuál es la concentración máxima de ozono alcanzada durante esos 20 días? Justificar la res-puesta. (septiembre-2003)

20.El dinero en efectivo, en euros, de una oficina bancaria durante las seis primeras horas que

per-manece la caja abierta al público viene dado por la expresión 2

27 234 2000 )

(t t t

C    , siendo t

el tiempo transcurrido desde la apertura. Determina:

a) ¿En qué momento hay más dinero en efectivo y cuánto? b) ¿En qué momento hay menos dinero en efectivo y cuánto?

Justifica que son máximos y mínimos respectivamente. (septiembre 2006)

21.Un restaurante abre a las 8 de la noche y cierra cuando todos los clientes se han ido. La función

 

2

10 60t t t

C   representa el número de clientes que hay en el restaurante en función del número de horas t que lleva abierto el establecimiento. Se pide:

a) Determinar el número máximo de clientes que van una determinada noche al restaurante. Jus-tificar que es un máximo.

b) Si deseamos ir al restaurante cuando haya al menos 50 personas y no más de 80, ¿entre qué horas tendríamos que ir? (septiembre-2004)

22.Halla las dimensiones de una ventana rectangular de 6 metros de perímetro para que tenga la máxima superficie posible, y así, produzca la máxima luminosidad.

23. De todas las parcelas rectangulares de 1600 m2 de superficie, ¿cuál es la más barata de cercar con una valla?

24.Se quiere construir un marco de una ventana rectangular de 8 m2 de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 2’5 €, mientras que el metro lineal de tramo vertical cuesta 5 €. Determi-nar:

a) Las dimensiones de la ventana para que el coste sea mínimo. b) ¿Cuánto cuesta el marco?

25.Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que el resultado de sumar el cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo sea mínimo. (junio-2003)

26.Se quiere imprimir un cartel anunciador rectangular que debe contener 18 cm2 de texto impreso (también rectangular). Los márgenes superior e inferior deben ser de 2 cm cada uno, mientras que los laterales deben ser de 1 cm cada uno. Calcular las dimensiones del cartel para que el gasto de papel sea mínimo y justificar que dicho gasto es realmente mínimo. (septiembre-2004)

TEMA 6: INTEGRALES

La integración es el proceso inverso a la derivación, es decir, dada una función f '(x) hay que hallar la función f(x)

La integral de una función f(x) se representa por



f x dx( ) y se lee “integral de f(x) diferencial de x”

F(x) es una primitiva de f(x) si F´(x) = f(x)

La integral indefinida de una función f(x) es la primitiva general de la función, es decir, se le suma una constante de integración que llamaremos K.

Integrales Inmediatas

1. Tipo constante



dxx

2. Tipo potencial

1

1

n

n f

f f dx n

 

 





Caso particular

1

1

n

n x

x dx n

 





Propiedades:





kf(x)dx k f(x)dx



3

2 2 3

6 6 6 2

3

x

x dx x dx  x K





 

_

_



f(x)g(x) dx f(x)dx g(x)dx





(6x8 4x35)dx 



6x8dx



4x3dx



5dx 6



x8dx4



x3dx5



dx

9 4 9

4

6 4 2

5 5

9 4 3

x x x

x x x K

38

La integral definida de una función f(x) continua en el intervalo [a, b] viene dada por la regla de Ba-rrow:

( ) ( ) ( )

b

a

f x dxF b F a



siendo F(x) una primitiva de f(x)

.

Procedimiento para aplicar la regla de Barrow:

a) Dada la función f(x), se halla una primitiva F(x) sin constante. b) Se calcula F(a) y F(b)

c) Se halla la diferencia F(b) – F(a)

Ejemplo:

Área comprendida entre el eje X y la función f(x) en el intervalo [a, b]

a) Se calculan las raíces de la ecuación f(x) = 0 y se toman aquellas que están en el intervalo [a, b], por ejemplo c y d

b) Se descompone el intervalo [a, b] en los intervalos necesarios: [a, c], [c, d], [d, b] c) Dada la función f(x), se halla la primitiva F(x) sin constante.

d) Se calculan F(a), F(c), F(d) y F(b)

e) Se calcula cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow y tomando el valor absoluto. f) Se suman todas las áreas obtenidas.

Área comprendida entre dos funciones

a) Se calculan las abscisas de los puntos de corte de las dos funciones resolviendo la ecuación f(x) = g(x)

b) Se halla la función diferencia de las dos funciones: f(x) – g(x) c) Dada la función f(x) – g(x), se halla la primitiva F(x) sin constante. d) Se calcula F(a), F(b), F(c), ...

e) Se calcula cada una de las áreas aplicando la regla de Barrow y tomando el valor absoluto. f) Se suman todas las áreas obtenidas.

Área de una función definida a trozos:

40

EJERCICIOS DE CÁLCULO DE ÁREAS:

1. Dada la función f (x)= 2x2 - 3x, calcula:

6

0 ( )



f x dx y

0

1 ( )





f x dx

2. Calcula el área encerrada por la gráfica de la función 2

2 3 2

y x  x , el eje de abscisas y las rectas verticales x 1 y x2.

3. Calcula el área comprendida entre la función y = x2 + 3x + 3, el eje X y las rectas x = -1 y x = 1 4. Calcula el área comprendida entre la función y = x2 – 1 y el eje X en el intervalo [0,2]

5. Halla el área encerrada por la gráfica de la función 2

2 2

yx  x y las rectas y0, x 2 y x0

6. Calcula el área encerrada por la gráfica de la función y_x3_6x2_8x _{y el eje de abscisas.}

7. Halla el área del recinto limitado por la función f(x) = x3 – 4x y el eje X. 8. Calcula el área del recinto limitado por las curvas y = x2 – 1 e y = 1– x2. 9. Calcula el área del recinto limitado por las curvas f(x) = x3 – 2x y g(x) = x2. 10.Calcular el área encerrada por las gráficas de las funcionesy8xx2, y x2 . 11.Calcular el área encerrada por las gráficas de las funciones 2

1

yx  , y3.

12.Dada la función

2

1 0

( ) 2 1 0 3

7 3

x si x

f x x si x

si x

  



_   

 _



Halla la integral definida entre 0 y 5

13.Calcula

2

0 ( )

f x dx



siendo

2

1 0 1

( )

2 1 2

x si x

f x

si x

   

  _{ }



14. Dada la función

2

2 0

( ) 2 0 3

2 4 3

x si x

f x si x

x si x

  



_  

 _{ }



, halla el área de la región del plano limitada por las rectas

de ecuación y = 0, x = 1 y x = 5 y la gráfica de y = f(x).

15.Dada la función

2

1 0

( ) 2 1 0 3

5 3

x si x f x x si x

si x

  



   

 _



, halla el área de la región del plano limitada por las rectas

TEMA 7: PROBABILIDAD

EXPERIMENTOS ALEATORIOS. SUCESOS

Llamamos experimentos aleatorios a aquellos que, al repetirlos en análogas condiciones, jamás se puede predecir el resultado que se obtiene.

Ejemplo: Extraer una carta de una baraja española, lanzar una moneda sobre el suelo y anotar el re-sultado de la cara que aparece, lanzar un dado y anotar el rere-sultado de la cara que aparece, son expe-rimentos aleatorios.

Llamaremos espacio muestral de un experimento aleatorio al conjunto de todos los resultados posi-bles del experimento aleatorio. Al espacio muestral lo designaremos por la letra E.

Ejemplo: El espacio muestral del experimento consistente en lanzar un dado y anotar el resultado de la cara superior es E



1,2,3,4,5,6



Ejemplo: El espacio muestral del experimento consistente en lanzar dos monedas y anotar el resulta-do de las caras superiores es E



cc,c,c,



.

Se llama suceso de un experimento aleatorio a cada uno de los subconjuntos del espacio muestral E. Ejemplo: El espacio muestral del experimento consistente en lanzar un dado y anotar el resultado de la cara superior es E



1,2,3,4,5,6



. Un suceso podría ser A=”obtener un número par” así A2, 4,6

Hay diferentes tipos de sucesos entre los que cabe destacar:

Sucesos elementales: Sucesos formados por un solo resultado del experimento aleatorio. Sucesos compuestos: Sucesos formados por más de un resultado del experimento aleatorio Suceso cierto: Suceso que siempre se realiza. Es el propio E.

Suceso imposible: Suceso que no se realiza. Se designa por 0

Suceso contrario: Dado un suceso A cualquiera de un espacio de sucesos S, se llama suceso contrario al suceso A, a un suceso que se realiza cuando no se realiza A. Se designa por A Ejemplo: Al lanzar un dado, E



1,2,3,4,5,6



42 Dados dos sucesos A y B se llama

 UNIÓN:AB(se lee A unión B) al suceso formado por todos los elementos de A y de B. El suceso B

A se verifica cuando ocurre A, B o ambos.

 INTERSECCIÓN:AB(se lee A intersección B) al suceso formado por todos los elementos de A y de B. El suceso AB se verifica cuando ocurre simultáneamente A y B.

 DIFERENCIA:AB(se lee A menos B) al suceso formado por todos los elementos de A que no sonde B. El suceso AB se verifica cuando lo hace A y no B.

 COMPLEMENTARIO: AEA (se lee complementario de A) es el suceso que se verifica siempre y cuando no se verifica A.

Los sucesos A y B son sucesos incompatibles si no tienen ningún elemento en común, es decir, cuan-doAB0 . Los sucesos incompatibles no se pueden verificar simultáneamente.

Por el contrario, si AB0 entonces A y B son sucesos compatibles.

Propiedad 1: Leyes de Morgan

1) AB AB 2) AB  AB

FRECUENCIA Y PROBABILIDAD

Al realizar N veces un experimento aleatorio A

 Se llama frecuencia absoluta del suceso A al número de veces que ocurre A y se designa por

) (A

f .

 Se llama frecuencia relativa del suceso A al número de veces que ocurre A dividido por el número de veces que se realiza el experimento

N A f A

f_r( ) ( ).

Probabilidad: Al realizar un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de cierto suceso va tomando distintos valores. Estos valores al principio sufren grandes oscilaciones pero, poco a poco, se van esta-bilizando (oscilan cada vez menos). Cuando N crece mucho, se aproximan a un cierto valor que es la probabilidad de A.

Propiedades:

a) La probabilidad del suceso seguro es uno: P(E) = 1 b) La probabilidad del suceso imposible es cero: P(Ø) = 0

c) La probabilidad de cualquier suceso está comprendida entre cero y uno: 0P A( )1

d) P(A)1P(A)

LEY DE LAPLACE

Si lossucesos elementales son equiprobables (igualmente probables), entonces podemos utilizar la Ley de Laplace:

posibles casos

de número

A suceso al favorables casos

de número A

P( ) 

Ejemplo:

PROBABILIDAD CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES

Dados los sucesos A y B, se llama probabilidad de A condicionada a B y la denotamos por P(A/B) al siguiente cociente

) (

) (

) / (

B P

B A P B A

P   . Mide la proporción de veces que ocurre A de entre los que

ocurre B.

De la definición anterior se deduce que: P(AB)P(B)P(A/B)

Dos sucesos A y B son independientes si P(B)P(B/A). En caso contrario diremos que A y B son

dependientes.

Si A y B son sucesos independientes, entonces P(AB)P(A)P(B)

Diagrama en árbol

Un diagrama en árbol es un gráfico que nace de un tronco, cuyos trazos se van ramificando como un árbol. Se llama así porque está formado de ramas.

Una rama es cada una de las flechas del diagrama. Siempre se debe escribir en ellas la probabilidad, que corresponde a un experimento simple.

44

Tabla de contingencia

Una tabla de contingencia es una tabla que permite organizar los elementos de una población según dos características. Se llama tabla de contingencia porque permite calcular todas las posibilidades o contingencias.

A A

B P A



B



P A



B



P B( )

B P A



B



P A



B



P B( )

( )

P A _{P A( )} 1

PROBABILIDAD TOTAL

Teorema de la probabilidad total: Sean A1, A2,...,An n sucesos incompatibles dos a dos y tales que

E A A

A₁ ₂ _n  y B un suceso cualquiera, entonces se cumple

) / ( ) ( )

/ ( ) ( ) / ( ) ( )

(B P A1 P B A1 P A2 P B A2 P An P B An

P      

Se aplica la regla de la suma cuando se pregunta por la probabilidad total de un suceso, S, de la última experiencia y se conocen las probabilidades condicionadas de este suceso a los sucesos de la primera experiencia. Es decir, se debe calcular la probabilidad de un suceso al que se puede llegar por varios caminos del árbol.

TEOREMA DE BAYES

Teorema de Bayes: Sea A1, A2,...,An n sucesos incompatibles dos a dos y tales que

E A A

A₁ ₂ _n  y B un suceso cualquiera, entonces se cumple

) / ( ) ( )

/ ( ) ( ) / ( ) (

) / ( ) ( )

/ (

2 2

1

1 n n

i i

i

A B P A P A

B P A P A B P A P

A B P A P B

A P

 

 

 

 



En la práctica, más que la fórmula, resulta muy útil seguir el proceso en un diagrama en árbol y utili-zar:

) (

) (

) / (

B P

B A P B A

P i

i

 

En la práctica se aplica Bayes cuando se pregunta por la probabilidad de haber recorrido un determi-nado camino del árbol para llegar a un suceso, S, de la segunda experiencia, entre todos los caminos posibles que llevan al mismo suceso.