ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

Distribución Uniforme

Una v.a.c. X, con valores en el intervalo (a, b), a,b ∈ R, a < b, tiene distribución uniforme en (a, b) si la f.d.p de X es:

k

a

x

b



_<

_<



2

( )

0

. . .

k

a

x

b

f x

e o c



_<

_<

Decimos que X se distribuye uniforme en el intervalo (a, b).

Notación: X ∼ U(a, b).

¿qué valor debe tener k, para que f(x) sea una distribución de densidad?

1

( )

a

x

b

f x

=







_b

−

_a

< <

4

( )

0

e.o.c

f x

=



_b

−

_a

¿Cuál es la esperanza y la varianza?

2

a

b

µ

=

+

5 2

2

(

)

1 2

b

a

¿Cuál es su función de distribución acumulada?

0

( )

x

a

x

a

F x

a

x

b

b

a



_≤



 −



Ejemplo:

Los buses de cierta línea salen a un intervalo exacto de 8 minutos. Un pasajero llega de improviso a un determinado paradero. Si X representa la v.a. el tiempo de espera del pasajero.

¿Cuál es la función de densidad de la v.a.?

X : tiempo de espera del pasajero

X ∼ U (a, b)



8

1

( )

0

e.o.c

a

x

b

f x

=







_b

−

_a

< <

X : tiempo de espera del pasajero X ∼ U (0, 8)

1

0

8

( )

₉

x

f x

= 





< <

9

( )

₉

0

e.o.c

f x

= 



< <

¿Cuál es la probabilidad de que espere menos de 5 minutos?

P(X<5) = ?

( )

(

)

P X

<

a

=

∫

f x dx

10

( )

(

)

P X

a

f x dx

−∞

¿Cuál es la probabilidad de que espere menos de 5 minutos?

P(X<5) = ?

5

5 ₅

1 1

(

5)

P X

<

=

∫

dx

=

x

=

11 5

1 1

0

8 8 8

0

(

5)

¿Cuál es la probabilidad de que espere más de 2 minutos?

P(X>2) = ?

¿Cuál es la probabilidad de que espere más de 2 minutos?

P(X>2) = ?

8

8 _{6 3}

1 1 2

(

2)

1

P X

>

=

∫

dx

=

x

= − = =

13

8 _{6 3}

1 1 2

2

8 8 8 8 4

2

(

2)

1

¿Cuál es la probabilidad de que espere exactamente 7 minutos?

P(X = 7) = ?

¿Cuál es la probabilidad de que espere exactamente 7 minutos?

P(X = 7) = ?

7 1

(

7)

0

P X

=

=

∫

dx

=

15 1

8 7

(

7)

0

¿Cuál es el tiempo promedio de espera? E(X) = ?

2

a

b

µ

=

+

16

¿Cuál es el tiempo promedio de espera? E(X) = ?

0

8

4

2

µ

=

+

=

17

Distribución Exponencial

Recordemos que la v.a de Poisson, se definió como el Número de ocurrencias de un evento en un intervalo (0, t). Si T es el tiempo hasta la ocurrencia del primer evento de un proceso de Poisson, entonces se dice que T tiene

λ

18

distribución exponencial de parámetro λ.

Diferencia entre la distribución Exponencial y la Poisson A la distribución de Poisson le interesa el número de ocurrencias, mientras que a la exponencial le interesa el tiempo transcurrido entre las ocurrencias.

Ejemplo:

19

Poisson: el número de personas en la cola del banco durante …

T: tiempo transcurrido hasta que ocurra el primer éxito.

Notación: T ∼ Exp(λ₎

0

( )

0

0

e

t

f t

t

λ



>



= 

_

≤



Además µ = 1/λ y σ 2 = 1/λ2

20 0

0

0

( )

1

0

x

F t

e

dt

e

x

λ



_<





= 

_

= −

≥





∫

( )

f t

=

λ

e

µ=1/λ

T ∼ Exp(λ₎

21 µ=1/λ

Suponga que la vida útil de cierto tipo de ampolletas tiene una distribución exponencial, con vida media 500 hrs.

¿Cuál es la probabilidad de que se queme antes de las 300 hrs.?

X : tiempo de duración de la ampolleta (primer éxito = que se descomponga)

X ∼ Exp (λ) λ = ?

X : tiempo de duración de la ampolleta (primer éxito = que se descomponga)

X ∼ Exp (λ) λ = ?

24 µ= 1/λ = 500

300

(

300)

P X

<

=

∫

λ

e

dx

¿Cuál es la probabilidad de que se queme antes de las 300 hrs.?

•P(X<300) = ?

25

0

(

300)

¿Cuál es la probabilidad de que se queme antes de las 300 hrs.?

P(X<300) = ?

0

0

( )

x

F t



_<





= 

( )

1

0

F t

e

dt

e

x

¿Cuál es la probabilidad de que se queme antes de las 300 hrs.?

P(X<300) = ?

300 500

( ) 1

(300) 1

x

F x e

¿Cuál es la probabilidad de que dure por lo menos 300 horas?

P(X 300) = ?≥

¿Cuál es la probabilidad de que dure por lo menos 300 horas?

P(X 300) = ?

0,55

≤

≥

29

0,55

¿Si la ampolleta en particular ha durado por lo menos 300 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dure unas 400 horas más?

≤

30

¿Si la ampolleta en particular ha durado por lo menos 300 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dure unas 400 horas más?

≤

(

)

P x ≥ x ≥ =

31

Distribución Normal

Esta es la distribución más importante de la

estadística. Se le usa como modelo en un

gran número de aplicaciones.

Definición: Una variable aleatoria continua,

32

Definición: Una variable aleatoria continua,

tiene distribución normal, si su función de

densidad de probabilidades es

Notación X ∼ N( µ ,σ 2)

Los parámetros µ, σ corresponden a la media aritmética y a desviación estándar de la distribución

∞ < < ∞ − −

= − x

x e x f 2 ) ( 2 1 2 2 1 ) (

σ

µ

πσ

aritmética y a desviación estándar de la distribución normal.

Donde µ y σ son constantes tales que:

∞ < <

∞

El gráfico de esta función de probabilidad:

• tiene forma de campana.

• es simétrico con respecto a x=

µ

.

• es cóncavo hacia abajo entre

µ−σ

y

µ

+

σ

,

34

• los puntos (µ−σ , f(µ−σ)) y (µ+σ , f(µ+−σ)), son puntos de inflexión.

• la curva es asintótica con respecto al eje x. • su máximo está en x= µ.

En toda distribución normal se cumple que:

µ ± σ contiene el 68.27% de los valores

µ ± 2σ contiene el 95.45% de los valores

µ ± 3σ contiene el 99.73% de los valores

Teorema. Sea X

∼

N(

µ ,σ

) y Y = aX + b,

a

≠

0 , entonces

Y

∼

N( a

µ

+ b

,

a

σ

)

En particular

σ

µ

− = X

Z

38

Si Y=aX+b

E(Y) = E(aX+b) = a E(X) + b = a + b

V(Y) = V(aX+b) = a2 V(X) = a2

x

µ

2

x

σ

39

Entonces

(

)

;

x x

1 1

X

Z µ X µ

σ σ σ

−

= = −

( )

1

1

0

E Z

a

µ

b

µ

µ

σ

σ

=

+ =

−

=

 

( )

2 2

1

1

x x

x

V Z

a

σ

σ

σ

 

 

=

=

_{ }

_{ }

=

 

(

)

Z _∼ N

2 1 2 2 2 1 1 ( ) 2 0 x

f x e x

z µ σ π σ  _  _  _  _ − _ _  _  _    _  _  _  _ − _{ } −

= − ∞ < < ∞

− 41 2 1 2 2 1 2 0 1 ₁ ( ) 2 1 1 ( ) 2 z z

f z e z

f z e z

π π  _  _ − _{ }  _  _   − −

= − ∞ < < ∞

La función de distribución acumulada de Z

se denota por

Si X

∼

N(

µ ,σ

), entonces

F (x) = P( X

≤

x) = P((X-

µ

)/

σ

<((x-µ)/

σ

)

F(z)

z)

Z

P(

(z)

=

≤

=

Φ

42

F

(x) = P( X

≤

x) = P((X-

µ

)/

σ

<((x-µ)/

σ

)

Uso de la Tabla de la Normal

La tabla entrega el área de la curva desde infinito negativo hasta el valor z₀.

43 2

0 0

2

1

( )

2

z z _z

f z dz

e

dz

π

−

−∞ −∞

=

El área bajo la curva hasta el punto z=-1,96 es 0,025.

1,96

( )

0,025

f z dz

−

−∞

=

∫

44

El área bajo la curva, desde infinito negativo, hasta el punto z₀=1,96 es 0,975

1,96

( ) 0, 975

f z dz

−∞

=

∫

b b a

= −

∫

∫

∫

El área bajo la curva entre a y b:

45

( ) ( ) ( )

a

f z dz f z dz f z dz

−∞ −∞

= −

1

1

( )

1

( )

z

z

f z dz

f z dz

∞

−∞

= −

∫

∫

Área bajo la curva, desde z₁ hasta infinito positivo:

Área bajo la curva comprendida en las zonas pintadas:

46

2

2

( )

z

f z dz

−

−∞

∫

• Ejercicios. Obtenga el área bajo la curva o el valor de z según corresponda.

Una fábrica de neumáticos produce un tipo de neumáticos que tiene una vida útil media de 80.000 Km y una desviación estándar de 8.000 Km. Suponiendo que esta vida útil se distribuye normal:

¿Cuál es la probabilidad de que los neumáticos duren más de 96.000 Km? 0,0228

48

más de 96.000 Km? 0,0228

El fabricante garantiza que reemplazará gratis cualquier neumático cuya duración sea inferior a x. Determinar el valor de x de modo que tenga que reemplazar sólo el 1% de los neumáticos.

61.360 km

Un combustible de aviones contiene cierto porcentaje de un compuesto particular. Las especificaciones exigen que este porcentaje este entre un 30% y un 35%. El fabricante tendrá una utilidad neta en el combustible (por galón) la siguiente función de X.

( )

$0,10 si 30 35 $0, 05 si 35 40

25 30 x x U x x < < 

 _{≤ <}

 =  ≤ <  50 25 30 $0,10 . .

x

e o c

≤ <

 ₋ 

Obtenga la esperanza de X si:

X : porcentaje de cierto compuesto

(0,0774)

(

33 ; 9

)