Trigonometría IV

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(1)

Trigonometría

Resolución de triángulos.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo.

Consideraremos el triángulo rectángulo

ABC tal que A=90º

Recordemos que en triángulo rectángulo cualquiera se cumplía el teorema de Pitágoras:

2 2 2 b c a = +

Definimos seno del ángulo α y lo representamos por sen α

hipotenusa opuesto cateto

CB AB senα= =

Definimos coseno del ángulo α y lo representamos por cos α

hipotenusa contiguo cateto

CB CA cosα = =

Definimos tangente del ángulo α y lo representamos por tg α

contiguo o

catet

opuesto cateto

CA AB tgα= =

Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.

Sea el punto Q(x,y)

Consideramos la circunferencia de centro O que pasa por el punto Q y tiene radio r.

Consideramos el ángulo α =∠POQ Definimos:

r y senα =

r x cosα =

(2)

Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas.

Dado un ángulo α se cumplen las siguientes relaciones:

1 cos sen2α+ 2α =

α α = α

cos sen tg

Estas dos identidades se llaman relaciones fundamentales de la trigonometría.

Uso de la calculadora:

Modos angulares de la calculadora: MODE DEG medidas sexagesimales MODE GRA medidas centesimales MODE RAD medidas en radianes

Conociendo el ángulo α se pueden calcular las razones trigonométricas con las teclas sin cos tan

Ejemplo:

Calcula tg43º25'50", sen50º30’, Con calculadoras antiguas:

43 º ’ ” 25 º ’ ” 50 º ’ ” tan = 0.9467

50 º ’ ” 30 º ’ ” sin = 0.7716

Con calculadoras nuevas

tan 43 º ’ ” 25 º ’ ” 50 º ’ ” = 0.9467

sen 50 º ’ ” 30 º ’ ” = 0.7716

Conociendo las razones trigonométricas del ángulo α podemos calcular el ángulo α con las teclas 1

1 1

tan cos

sin− − −

Ejemplo:

Calcula el ángulo α tal que senα=0.34. α =arcsin(0.34) Con calculadoras antiguas:

0.34 sin−1 SHIFT º ’ ” 19º52’37”

Con calculadoras nuevas: 1

(3)

Resolución de triángulos rectángulos.

Resolver un triángulo es determinar los tres lados y los tres ángulos.

Con la ayuda del teorema de Pitágoras, de las razones trigonométricas, y de la calculadora se puede resolver cualquier triángulo rectángulo. Veamos los siguientes ejercicios:

Problema 1:

Del triángulo rectángulo

ABC tal que A =90º conocemos cm

4 b , cm 5

a= =

Determina todos los lados, los ángulos y el área del triángulo.

Aplicando el teorema de Pitágoras: 2

2 2 b c a = +

2 2 2 4 c

5 = + , 25=16+c2, c2 =9 Entonces c =3.

Aplicando cualquier razón trigonométrica podemos calcular el ángulo C.

a b C

cos = , 0'8 5 4 C cos = =

Con la ayuda de la calculadora C=arccos0.8=36º52'12"

Sabiendo que los tres ángulos de un triángulo suman 180º (A+B+C=180º) Tenemos que B+C=90º, entonces B =90º−C = 90º−36º52'12"=53º7'48"

Por ser el triángulo rectángulo, el área es 6cm2 2

3 4 2

c b

S= ⋅ = ⋅ =

Problema 2:

Para subir al Miquelet de Valencia utilizamos una escalera exterior de 55m, que forma con la horizontal un ángulo de 67º36’.

Con estos datos calcula la altura del Miquelet.

Notemos que la horizontal, y el Miquelet forman un ángulo recto. Sea x la altura del Miquelet,

Utilizando la razón trigonométrica seno,

55 x ' 36 º 67

sen =

Entonces, x=55⋅sen67º36'=50'85m

Problema 3:

El ángulo de elevación de la cima de una torre medido desde un punto C de La horizontal es de 22º. Avanzando 12 metros hacia a la torre, volvemos a medir El ángulo de elevación que es de 45º. Calcula la altura de la torre.

Solución:

Dibujamos el gráfico siguiente:

(4)

Sea el triángulo rectángulo ABC∆

x 12

h º 22 tg

+ =

Sea el triángulo rectángulo ABD∆

x h º 45 tg =

Con la ayuda de la calculadora tg22º=0'4040, tg45º=1 Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones:

⎩ ⎨ ⎧

⋅ =

+ =

º 45 tg x h

º 22 tg ) x 12 ( h

substituyendo ⎩ ⎨ ⎧

=

⋅ + =

x h

4040 ' 0 ) x 12 ( h

⎩ ⎨ ⎧

⋅ + = =

4040 ' 0 ) x 12 ( x

x h

⎩ ⎨ ⎧

+ =

=

x 4040 ' 0 8480 . 4 x

x h

⎩ ⎨ ⎧

= =

m 1342 ' 8 x

m 1342 ' 8 h

Entonces la altura de la torre es 8’1342m

Problema 4:

Calcula el lado y la apotema de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm.

Solución:

Sea r =OA =5 el radio de la circunferencia circunscrita al pentágono regular.

Sea el lado del pentágono x =AB Sea la apotema del pentágono y =OC

El ángulo 72º

5 º 360

AOB= =

Consideramos el triángulo isósceles

ABO

La altura del triángulo divide al triángulo

ABO en dos triángulos rectángulos iguales.

Consideramos el triángulo rectángulo

CBO

El ángulo 36º

2 º 72 COB= = ∠

Sean,

2 x 2 AB

CB= = OC=y

Aplicando las razones trigonométricas:

5 2 x

OB CB º 36

sen = =

(5)

Haciendo uso de la calculadora:

10 x 5878 '

0 = , entonces el lado del pentágono mide x=5'878cm

5 y

OB OC º 36

cos = =

Usando la calculadora:

5 y 8090 '

0 = , entonces la apotema del pentágono mide y=4'045cm

Teorema de los senos

Los lados de un triángulo

ABC son

proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:

Cˆ sen

c

Bˆ sen

b

Aˆ sen

a

= =

Teorema del coseno.

Sea el triángulo

ABC . Se cumplen las siguientes igualdades.

Cˆ cos ab 2 b a c

Bˆ cos ac 2 c a b

Aˆ cos bc 2 c b a

2 2 2

2 2 2

2 2 2

⋅ − + =

⋅ − + =

⋅ − + =

Cálculo del área de un triángulo.

2 Aˆ sen c b

S= ⋅ ⋅

2 Cˆ sen b a S 2

Bˆ sen c a

S= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

Para resolver los triángulos, es de gran ayuda tener nociones de dibujo.

Casi todos los problemas se pueden dibujar con regla, escuadra, compás y transportador de ángulos.

Problema 5:

Resuelve el triángulo

ABC , conocidos

º 105 Cˆ , º 45 Bˆ , 12

a= = =

Solución:

Las incógnitas son b,c,Aˆ

º 180 Cˆ Bˆ Aˆ + + =

( )

Bˆ Cˆ 180º (4º 105º) 30º º

180

Aˆ = − + = − + =

(6)

Cˆ sen c Bˆ sen b Aˆ sen

a = =

75 ' 21 º 25 sen º 50 sen 12 b º 50 sen b º 25 sen 12 ≈ ⋅ = ⇒ = 43 ' 27 º 25 sen º 105 sen 12 c º 105 sen c º 25 sen

12 = =

Problema 6:

Resuelve el triángulo

ABC , conocidos a=12,b=9,Cˆ =35º

Solución:

Las incógnitas son c,Aˆ,Bˆ A partir del teorema del coseno:

Cˆ cos ab 2 b a

c2 = 2 + 2− ⋅

º 35 cos 9 12 2 9 12

c2 = 2 + 2 − ⋅ ⋅ ⋅

93 ' 6 06 ' 48 c 06 ' 48 c 94 ' 176 225

c2 = − ⇒ 2 = ⇒ = ≈

Para calcular los ángulos Aˆ,Bˆ aplicaremos el teorema del coseno.

bc 2 ) c b ( a Aˆ cos Aˆ cos bc 2 c b a 2 2 2 2 2 2 − + − = ⇒ ⋅ − + =

(

)

0'1198

93 ' 6 9 2 06 ' 48 9 12 Aˆ cos 2 2 − = ⋅ ⋅ − + − =

Usando de la calculadora: ' 53 º 96 ) 1198 ' 0 arccos(

Aˆ = − ≈

º 180 Cˆ Bˆ

Aˆ + + = , por tanto,

' 7 º 48 ) ' 53 º 96 º 35 ( º 180 ) Cˆ Aˆ ( º 180

Bˆ = − + = − + ≈

Problema 7:

Resuelve el triángulo

ABC , conocidos a=16,b=8,c =12 Solución:

Las incógnitas son Aˆ,Bˆ,Cˆ

Podemos observar que el problema tiene solución, porque,

a c b b c a c b a > + > + > +

Aplicando el teorema del coseno:

(7)

Con la ayuda de la calculadora 104º29' 4

1 arccos

A ⎟≈

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ac 2 ) c a ( b Bˆ cos Bˆ cos ac 2 c a b 2 2 2 2 2 2 − + − = ⇒ ⋅ − + = 8 7 Bˆ

cos = Con la ayuda de la calculadora 28º57' 8

7 arccos

Bˆ ⎟≈

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = º 180 Cˆ Bˆ

Aˆ + + = , por tanto,

' 34 º 46 ) ' 57 º 28 ' 29 º 104 ( º 180 ) Bˆ Aˆ ( º 180

Cˆ = − + = − + ≈

Problema 8:

Resuelve el triángulo

ABC , conocidos º 25 Bˆ , 30 b , 60

a= = =

Solución:

Las incógnitas son c,Aˆ,Cˆ

Aplicando el teorema de los senos,

º 25 sen 30 Aˆ sen 60 Bˆ sen b Aˆ sen a = ⇒ = 84524 ' 0 30 º 25 sen 60 Aˆ

sen = ⋅ =

Con la ayuda de la calculadora:

⎩ ⎨ ⎧ ≈ = ' 18 º 122 ' 42 º 57 ) 84524 . 0 ( arcsen A

El problema tiene dos soluciones:

Primera solución: Si Aˆ ≈57º42'

º 180 Cˆ Bˆ

Aˆ + + = , por tanto,

' 18 º 97 ) Bˆ Aˆ ( º 180

Cˆ = − + ≈

Por el teorema de los senos:

41 ' 70 ' 42 º 57 sen ' 18 º 97 sen 60 Aˆ sen Cˆ sen a

c = ⋅ = ⋅ ≈

Segunda solución: Si 'Aˆ ≈122º18

' 42 º 32 ) Bˆ Aˆ ( º 180

Cˆ = − + ≈

Por el teorema de los senos:

35 ' 38 ' 42 º 57 sen ' 42 º 32 sen 60 a Aˆ sen Cˆ sen a

(8)

Problema 9:

Calcula el área del triángulo

ABC conocidos b=80cm,c=60cm,Aˆ =35º

Solución:

El área del triángulo es

2 Aˆ sen c b

S= ⋅ ⋅ , por tanto,

2 cm 58 ' 1375 2

º 35 sen 60 80 2

Aˆ sen bc

S= ⋅ = ⋅ ⋅ ≈

Problemas propuestos de triangulos

1 Resuelve los triángulos rectángulos

ABC , A=90º conocidos:

a) cma=100cm,b=7 b) mb=25m,c =35 c) a=10cm,B=40º35' d) ºb=75m,B=55 e) 'b=10cm,C=32º30

f)

5 1 senC , cm 10

c = =

g) b=10m,tgC=5

2 Calcula la altura de la torre.

3 Calcula el área y la apotema de un decágono regular de lado 20cm.

(9)

5 Calcula el lado y el área de un decágono regular inscrito en una circunferencia de radio 10cm

6 Calcula el área y la apotema de un pentágono regular de perímetro 100cm.

7 Calcula los ángulos y el lado de un rombo de diagonales 60cm, 80cm.

8 Calcula el área y el perímetro de un dodecágono regular inscrito en una circunferencia de 10cm de radio.

9 El área de un triángulo rectángulo es 6m2 y la hipotenusa mesura 5m. Calcula los ángulos y los catetos del triángulo rectángulo.

10 Calcula la altura de una torre, sabiendo que el ángulo de elevación desde un punto A y la horizontal es de 45º, que desde un punto B a 25m del punto A y más cerca de la torre el ángulo de elevación es de 60º.

11 Resuelve: a)

Datos conocidos:

º 45 ADC ,

º 60 ABC , cm 10

BD= ∠ = ∠ =

Incógnitas: BCD ,

BC ,

AC ∠

b)

Datos conocidos:

º 25 ADC ,

cm 4 AB , cm 10

CD= = ∠ =

Incógnitas: BCD ,

BD ,

BC ∠

c)

Datos conocidos:

º 25 BCD ,

º 30 ACB , cm 20

BC= ∠ = ∠ =

Incógnitas: BDC , CD ,

AC ∠

(10)

13 Determina los ángulos del paralelogramo siguiente:

14 Calcula la altura h de la siguiente figura:

15 Resuelve los siguientes triángulos conocidos: a) ºb=20cm,c =35cm,A=55

b) cma=15cm,b=25cm,c =35 c) a=20cm,A =35º,B=75º d) 'c=15cm,A =25º,B=65º30 e) ºa=30cm,b=55cm,B=80 f) cma=10cm,b=10cm,c =8 g) a=10cm,b=45cm,C=30º45' h) ºa=20cm,c =60,A=25

16 Calcula el área de los triángulos conocidos: a) a=25cm,c =35cm,B=55º

b) cma=10cm,b=25cm,c =30 c) ºc=25cm,A=35º,B=75 d) ºa=30cm,b=60cm,B=80

17 En el siguiente paralelogramo calcula las diagonales.

18 Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles sabiendo que la altura sobre el lado desigual mide 15cm y el ángulo desigual 80º.

19 Resuelve un triángulo isósceles sabiendo que los lados iguales miden 10cm y el área mide 2

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