DIAGONALES
HACIA UN ENCUENTRO MÁGICO
El Placer del Encuentro: Mirar, Ver y Reconocer
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Llegar allí es tu destino.
LA DIAGONAL
Una
diagonal
es todo
segmento
que une dos vértices no
consecutivos de un polígono o de
un poliedro.
Etimología
La palabra
diagonal
proviene
del g
riego (diagonios
), utilizada tanto
por E
strabón c
omo por E
uclides p
ara
referirse al segmento que conecta dos
vértices de un r
ombo o
de un c
uboide,
y está formada por
dia-
("a través")
y
gonia
("ángulo", relacionada a
gony
,
"rodilla"). Luego fue adoptada por el
la
tín co
mo
diagonus
("recta
EN EL TRIÁNGULO
Un triángulo (tres ángulos) no tiene diagonales.
La figura nos introduce en el concepto de DEMOSTRACIÓN: la suma de los tres ángulos de cualquier triángulo es siempre 180º.
Se trata de un INVARIANTE de la forma triangular.
EN EL CUADRADO
El cuadrado tiene dos diagonales IGUALES que se cortan en el punto medio
(esto caracteriza al rectángulo)
1 1
1
La Escuadra
X
DATOS e INCÓGNITA
El Teorema de Pitágoras
La medida indirecta (mediante el uso de FÓRMULAS –Teorema de Pitágoras-) conduce a
es un NÚMERO que multiplicado por sí mismo da 2
Y, según cuenta la leyenda, Hipaso fue el culpable (si se me permite la expresión) de un descubrimeinto que paralizó la matemática griega durante un siglo.
Al parecer Hipaso se planteó el problema de medir la diagonal de un cuadrado
utilizando el lado como unidad de medida. Por plantear el problema de la forma más simple posible, tomemos un cuadrado de lado 1. En esta situación la pregunta que según parece se realizó Hipaso fue: ¿cuánto mide la diagonal de este cuadrado?
Teniendo en cuenta la condición de pitagórico de Hipaso, es posible que él mismo esperara que la medida de esta diagonal pudiera expresarse como un número natural o una fracción… pero en realidad no fue así. Hipaso se dio cuenta de que esta medida no podía expresarse ni como un número natural ni como una fracción formada por números naturales. Ahora sabemos que esta diagonal mide raíz de dos, y que es un número de los conocidos como irracionales.
Al menos esto cuenta la leyenda, esto es, que Hipaso fue el descubridor de este hecho. Lo que parece más cercano a la realidad fue que el propio Hipaso comunicó este descubrimiento fuera de la comunidad pitagórica… y esto fue lo que significó el final de Hipaso. Según algunas fuentes, los pitagóricos lo arrojaron al mar por revelar fuera de la secta esta catástrofe pitagórica, aunque otras aseguran que lo que hicieron los pitagóricos fue organizar un simulacro de funeral, con tumba incluida, que simbolizaba que para ellos Hipaso pasaba a estar muerto.
La demostración MÁS HERMOSA
Partiendo de un formato de lados a y b, el formato superior tendrá 2a por b, para que la proporción entre sus lados sea la misma tendrá que cumplirse que:
EL RECTÁNGULO MOD
El DIN A = Mod
Es el rectángulo de módulo
que le hace imprescindible como
formato de papel de fotocopiadora:
es el único que permite hacer
EN EL PENTÁGONO
El pentágono tiene cinco diagonales que son del mismo tipo: conforman la Estrella Pitagórica,
Triángulos Sublimes
Triángulos ISÓSCELES sublimes
1 1
Estos dos triángulos son semejantes
(existe una homotecia que tranforma uno en otro)
Tienen ángulos iguales como se demuestra a continuación
α
α
α
La clave está en el cinco
A
B
C
Teniendo en cuenta que los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia
son iguales tenemos que la diagonal en rojo es bisectriz del
ángulo B. Es decir, los ángulos del triángulo isósceles ABC
están en proporción de 1:2:2.
ABC BCD
Luego ABC y BCD tienen dos ángulos homólogos iguales, y,
por tanto, SON SEMEJANTES.
D
2α 2α α 2α 2α α ¿Cuánto vale α?2α α
Teorema de Tales
Seguidamente, aplicamos el Terorema de Tales:
“Los tiángulos semejantes
tienen los lados proporcionales”
1
X 1
X-1
Y, para finalizar, un poco de
álgebra nos conduce a que
X
2– X – 1 = 0
Lado igual del grande
Lado desigual del grande
=
Lado igual del pequeño
EL NÚMERO DE ORO
1
1
Un número con nombre propio
SECCIÓN AÚREA
El punto C divide al segmento AB
“en media y extrema razón” Es decir
“El total es a la parte mayor, como la parte mayor es la
…que desvela la irracionalidad
Todo parece indicar [Boyer] que fue en figuras como ésta donde los griegos tuvieron la intuición de la irracionalidad (en este caso de Ф) Además, si aplicamos el algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números a Ф y 1, veremos palpa-blemente que son inconmensurables. Contemplaremos, además, como aparecen los cocientes parciales de su desarrollo en fracción continúa y cómo se delata el aspecto recursivo que tiene Ф visto como razón de una progresión geométrica tal que un término cualquiera es la suma de los dos anteriores. Teniendo en cuenta que Ф – 1 = 1/Ф, y dividiendo reiteradamente por Ф, se tiene que:
Restos Cocientes … … … … 1/Ф7 1/Ф6 1/Ф5 1/Ф4 1/Ф3 1/Ф2 1/Ф 1/Ф6 1/Ф5 1/Ф4 1/Ф3 1/Ф2 1/Ф 1 Ф 1 1 1 1 1 1 1 Algoritmo de Euclides para
el cálculo del máx. c. d.
Ф = 1/Ф + 1/Ф2 + 1/Ф3 + 1/Ф4 + 1/Ф5 + 1/Ф6 + …
Consideremos la sucesión de término general:
. Si
calculamos los primeros términos, podemos observar una curiosa
relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias
podemos concluir que la sucesión dada se convierte en
En efecto, el secreto de Φ es que es razón de la única progresión geométrica que también es `sumativa´
que presagia la estrecha relación de Ф con la Sucesión de Fibonacci
1, Ф, Ф
2, Ф
3, Ф
4, … 1 + Ф = Ф
2, Ф + Ф
2=Ф
3,
…
Crecimiento gnomónico del Rectángulo Áureo
La respuesta es que ese rectángulo es un rectángulo que tiene sus lados en Razón
Áurea y por eso recibe el nombre de Rectángulo Áureo.
Nos preguntamos ahora qué rectángulo tiene como gnomón un cuadrado. De la figura
se desprende que:
El crecimiento homotético
La sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34, 55…
EN EL HEXÁGONO
EN EL HEXÁGONO
Lado
Lado = Radio
60º
EN EL HEXÁGONO
1
2
EN EL HEXÁGONO
1
1
2
1
plegando
Rectángulo módulo
desplegando
EL RECTÁNGULO MOD
Rombo
Triángulo
equilátero Cartabón
2
1
EN EL HEPTÁGONO
El heptágono tiene también dos tipos de diagonales,
Constucciones con regla y compás
La construcción con regla y compás es el trazado de puntos, segmentos de recta y ángulos usando exclusivamente una regla y compás idealizados. A la regla se le supone longitud infinita, carencia de marcas que permitan medir o trasladar distancias, y un solo borde. Del compás se supone que se
cierra súbitamente cuando se separa del papel, de manera que no puede utilizarse directamente para trasladar distancias, porque "olvida" la
separación de sus puntas en cuanto termina de trazar la circunferencia. Esta restricción del compás parece muy incómoda para los usuarios de compases
reales, pero carece por otro lado de importancia matemática, porque el traslado de distancias se puede realizar de forma indirecta.
Los problemas más famosos que se propusieron para su resolución "con regla y compás" son la proverbial cuadratura del círculo, la duplicación
del cubo y la trisección del ángulo, a los que a veces se añade la construcción del heptágono regular: el primero de los infinitos polígonos regulares imposibles de trazar mediante regla y compás. Tienen en común ser de resolución imposible: está matemáticamente demostrado que no se puede cuadrar el círculo, ni duplicar el cubo, ni trisecar el ángulo,
EN EL OCTÓGONO
El octógono tiene tres tipos de diagonales
y volvemos a encontrarnos con y sus versiones 1+
NÚMERO DE ORO
NÚMERO DE PLATINO
3
Simetría pentámera: característica de la vida.
Simetría 6, 8, 10, 12: propia del crecimiento cristalino.
El Podium de los Irracionales Algebraicos
NÚMERO DE PLATA
PENTÁGONO
HEXÁGONO
EN EL CÍRCULO:
un polígono de infinitos lados
El círculo tiene infinitas diagonales
IGUALES
EN EL CÍRCULO
Estudiaremos, en este caso, la razón (
L/d)
La definición de un número:
Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante,
independientemente del tamaño de la misma.
Euclides
fue el primero endemostrar
que las razones así definidas en distintas circunferencias forman proporción, es decir,es una cantidad constante que no depende del tamaño.
Con el tiempo, a ese número, que muchos siglos
más tarde se demostró
cuántas veces cabe
el diámetro
d
de una
circunferencia en la
longitud
L
de su
perímetro.
L
En definitiva,
cuenta
= 3,1415… d
d/10
Se denomina cuadratura del
círculo al problema matemático consistente en hallar —sólo con regla y compás—
un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado.
Como se muestra en la figura adjunta,
cuadrar un círculo equivale a construir π mediante regla y compás, es decir, a
demostrar que π es euclideano.
La cuadratura del círculo
La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad clásica hasta el siglo XIX, momento en que se demostró que este problema no tiene solución, lo que es
equivalente a demostrar qe π es un número trascendente.
Hablando en sentido figurado, se dice de algo que es la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible de
En
1882,
el matemático
alemán
Ferdinand Lindemann
probó
que
π
es un
número trascendente,
lo
que implica que es imposible cuadrar el
círculo usando regla y compás,
resolviendo completamente el problema.
Las pruebas usuales usan álgebra
(teoría de Galois
por ejemplo) y
variable
compleja.
LA VESÍCA PISCIS
La vesica piscis (vejiga de pez en latín) es un símbolo hecho con dos círculos del mismo radio que se intersecan de manera que el centro de cada círculo está en la circunferencia del otro. Esta forma se denomina también mandorla (que significa "almendra" en italiano).
HISTORIA
En diversos periodos de la historia ha sido tema de especulaciones místicas; probablemente los primeros fueron los Pitagóricos, que la consideraban una
figura sagrada. La razón matemática de su anchura (medida por los puntos extremos del "cuerpo", sin incluir la "cola") por su altura fue aproximada por el cociente 265:153. Esta razón, que da 1,73203, se consideró un número sagrado
llamado la medida del pez.
Exactamente, la razón geométrica de estas dimensiones es la raíz cuadrada de 3, o 1,73205... (ya que si se traza la línea recta que une los centros de ambos círculos, junto con los dos puntos donde los círculos se intersecan, se obtienen
dos triángulos equiláteros unidos por un lado). El cociente 265:153 es una aproximación a la raíz cuadrada de 3, y tiene la propiedad de que no se
puede obtener ninguna aproximación mejor con números más pequeños. El número 153 aparece en el Evangelio de Juan (21:11) como el número de peces que Jesús hizo que se capturaran en la milagrosa captura de los peces, lo
que algunos consideran como una referencia cifrada de las creencias pitagóricas. Coventry Patmore escribió un poema titulado Vessica Piscis, en la parte XXIV del
PERÍMETRO
1
DIAGONAL
La diagonal de Vésica Piscis es la diagonal del rombo
del hexágonoinscrito en el círculo
Compendio de IRRACIONALES
El número e es la base de los logaritmos naturales o neperianos. Es el único número real cuyo logaritmo natural es 1. El número e fue descubierto por Leonhard Euler, matemático suizo del siglo XVIII. Es el límite de la sucesión de término general (1+1/n)n. Es un número irracional: posee infinitas cifras decimales no periódicas que no siguen ningún patrón repetitivo (e = 2, 71828...). También es un número trascendente o trascendental: no proviene de una simple relación algebraica sino que se define como una propiedad fundamental de las matemáticas. Es trascendente porque no es raíz de ningún polinomio (no nulo) con coeficientes racionales. La espiral logarítmica está generada por el número e, la constante de Euler, desde una fórmula abierta que crece exponencialmente hacia el infinito en progresión geométrica.
Primer Día Segundo Día Tercer Día
Cuarto Día Quinto Día Sexto Día
El Todo se sirvió del Número
… para Crear todo cuanto existe.
Todo es Vibración (Geometría)
La permanencia de ondas da la ilusión de solidez que es la segregación del momentum que hace posible el nacimiento de la materia.
La Geometría Sagrada
La Geometría Sagrada es una expresión planteada en el esoterismo y el gnosticismo basada en la creencia de que existen relaciones
La Tetracto
LA UNIDAD
LA DUALIDAD
LA FORMA
LA MATERIA
1
2
3
4
La Fruta de la Vida
El Principio Holográfico
Polluelo áureo estirándose para salir del huevo
