TUTORIAL DE INTRODUCCIÓN A MATLAB

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(1)TUTORIAL DE INTRODUCCIÓN A MATLAB. Manuel Vargas Villanueva Este tutorial está basado en un trabajo original de: Manuel Berenguel Soria y Teodoro Álamo Cantarero.

(2) Contenido. ´ A MATLAB 1 INTRODUCCION. 1. 1.1. ´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Introduccio. 1. 1.2. ´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Instalacio. 2. 1.3. Primeros pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.4. Funciones y s´ımbolos relacionados con el entorno . . . . . . . . . .. 4. 1.5. ´ n de datos. Uso de la ventana de comandos . . . . . . . Introduccio. 6. 1.6. Variables de entorno y variables especiales . . . . . . . . . . . . . .. 7. 1.7. Elementos de las matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 1.8. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 1.9. ´lisis de datos . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones orientadas al ana. 10. 1.10 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. ´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Otras funciones de intere. 11. ´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Gra. 12. 1.13 Programando en matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.13.1 Operadores l´ ogicos y relacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.13.2 Bucles y estructuras condicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 1.

(3) 2. CONTENIDO 1.13.3 Ficheros .m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. 1.14 Resumen de los comandos de matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18.

(4) Cap´ıtulo 1. ´ A MATLAB INTRODUCCION 1.1. ´n Introduccio. En estas notas se pretende realizar una introducci´ on muy b´ asica a matlab, orient´ andola en el siguiente cap´ıtulo al estudio de sistemas de control. En l´ıneas generales, matlab es una herramienta interactiva basada en matrices para c´ alculos cient´ıficos y de ingenier´ıa (de hecho, el t´ermino matlab procede de matrix laboratory). Desde el punto de vista del control, matlab se puede considerar un entorno matem´atico de simulaci´on que puede utilizarse para modelar y analizar sistemas. Permitir´a el estudio de sistemas continuos, discretos, lineales y no lineales, mediante descripci´on interna y externa, en el dominio temporal y frecuencial. matlab constituye un entorno abierto, para el cual numerosas paquetes espec´ıficos adicionales (toolboxes) han sido desarrollados. En el caso que nos ocupa se utilizar´ a fundamentalmente el Control System Toolbox. Estos paquetes espec´ıficos adicionales est´an constituidos por un conjunto de funciones que pueden ser llamadas desde el programa y mediante las cuales se pueden realizar multitud de operaciones. Las referencias al Control System Toolbox se realizar´an directamente en los ejemplos que acompa˜ nan a estas notas. Las notas se centrar´an fundamentalmente en aquellos aspectos y funciones que m´ as inter´es tengan desde el punto de vista de control, instando al lector a que busque en el manual de usuario cualquier informaci´ on adicional que desee ([4], [3], [2]). Para el desarrollo de las mismas se ha utilizado asimismo, una serie de referencias b´asicas en control: [1], [5], [6], [7], etc. 1.

(5) 2. 1.2. ´n Instalacio. ´n Instalacio. La forma normal en la que se encuentra el sistema una vez instalado es la siguiente (versi´ on 3.5.1):. \matlabr11\bin \extern \help \notebook \simulink \sys \toolbox \control \local \matlab \simulink \work. El n´ ucleo fundamental de matlab se encuentra en los subdirectorios BIN y MATLAB. En BIN se encuentran los programas ejecutables. El subdirectorio MATLAB contiene los ficheros .m (aunque ser´ an explicados posteriormente, comentamos brevemente que consisten en ficheros escritos a base de comandos de matlab y que realizan una funci´ on determinada), que contienen las funciones b´ asicas para el funcionamiento de matlab. En este sentido, es necesario comentar que matlab cuenta con dos tipos b´ asicos de funciones:. Funciones denominadas built-in functions: Son funciones que matlab tiene incorporadas internamente y por tanto no son accesibles al usuario.. Funciones llamadas m functions: Son funciones cuyo c´ odigo es accesible. Las que se encuentran en el subdirectorio MATLAB son las b´ asicas para el funcionamiento del sistema.. Como se desprende del ´arbol de directorios, los toolboxes se suelen instalar en forma de subdirectorios en el disco duro, colgando del subdirectorio TOOLBOX. En ellos se encuentran tambi´en funciones .m orientadas al control de sistemas. Adem´as, se pueden incorporar otros toolboxes (signal processing, image processing, robust control, non-linear control, system identification, etc), e incluso funciones propias del usuario..

(6) ´ A MATLAB INTRODUCCION. matlab\general matlab\ops matlab\lang matlab\elmat matlab\elfun matlab\specfun matlab\matfun matlab\datafun matlab\polyfun matlab\funfun matlab\sparfun matlab\graph2d matlab\graph3d matlab\specgraph matlab\graphics matlab\uitools matlab\strfun matlab\iofun matlab\timefun matlab\datatypes matlab\winfun matlab\demos simulink\simulink simulink\blocks simulink\simdemos toolbox\control toolbox\local. -. Comandos de prop´ osito general Operadores y caracteres especiales Constructores del lenguaje de programaci´ on Matrices elementales y manipulaci´on matricial Funciones matem´aticas elementales Funciones matem´aticas especiales Funciones matriciales - ´algebra lineal num´erica An´ alisis de datos y transformada de Fourier Interpolaci´ on y polinomios Funciones de funciones y m´etodos para ODE Funciones para matrices dispersas Gr´ aficos en dos dimensiones Gr´ aficos en tres dimensiones Gr´ aficos especializados Manipulaci´ on de gr´ aficos Herramientas de interfaz gr´ afica de usuario (GUI) Cadenas de caracteres Funciones para entrada/salida de ficheros Hora y fecha Tipos de datos y estructuras Ficheros de interfaz con Windows (DDE/ActiveX) Ejemplos y demostraciones Simulink Librer´ıa de bloques de Simulink Ejemplos y demostraciones de Simulink Paquete de Control de Sistemas Librer´ıa de funciones locales Tabla 1.1: Listado del comando help. 3.

(7) 4. 1.3. Primeros pasos. Primeros pasos. Una vez arrancado matlab , se abre la ventana de comandos en la que aparece el prompt o l´ınea de comandos (representado con el s´ımbolo ). Este es el momento de comentar la existencia del comando m´as famoso de cualquier aplicaci´on: help. Introduciendo este comando aparecer´ an todas las citadas built-in functions, tanto las contenidas en el subdirectorio MATLAB, como otras contenidas en subdirectorios eventualmente a˜ nadidos por el usuario (ver Tabla 1.1). Para obtener informaci´ on sobre cualquiera de las funciones se introduce help nombre-funci´ on. Ejemplo: help impulse (impulse es una funci´ on que calcula la respuesta impulsional de un sistema y que se encuentra en el control system toolbox). Una cuesti´ on importante a tener en cuenta es que matlab distingue entre may´ usculas y min´ usculas. En este sentido, los nombres de funci´ on se introducir´ an en min´ usculas. El comando demo permite obtener una demostraci´ on de las ”posibilidades” de matlab.. 1.4. Funciones y s´ımbolos relacionados con el entorno. – Con el comando path puede comprobarse cu´ales son las localizaciones de los ficheros y programas con los que va a trabajar matlab, pudiendo a˜ nadirse nuevos subdirectorios (incluso personales) a conveniencia. La forma m´as c´omoda de interactuar con dichas localizaciones es mediante la opci´on File/Set-Path... en el men´ u de la ventana de comandos. Para poder usar cualquier funci´ on .m, como por ejemplo las contenidas en el paquete de control, bastar´ a con que el camino \matlabr11\toolbox\control est´e incluido en el path de matlab (cosa que ocurrir´ a si el paquete se instal´o adecuadamente). – Por otro lado, matlab comienza trabajando, por defecto, en el subdirectorio matlabr11\work. Si queremos cambiar de directorio de trabajo en cualquier momento, podemos hacerlo con el comando cd camino. Puede utilizarse en nombre completo del comando si se desea: chdir. Cabe decir que todas las funciones .m que existan en el directorio de trabajo ser´ an localizadas sin necesidad de tener que incluir dicho directorio en el path de matlab. – El comando pwd nos indica cu´ al es el directorio de trabajo actual. – Para mostrar el contenido del directorio de trabajo, se pueden emplear los comandos dir ´o ls. El comando delete nombre-fichero puede emplearse para eliminar un archivo del directorio de trabajo. Asimismo, se pueden realizar operaciones t´ıpicas de l´ınea de comandos del sistema operativo DOS, introduciendo el comando correspondiente precedido por el s´ımbolo ”!”..

(8) ´ A MATLAB INTRODUCCION. 5. – Resulta interesante tener en cuenta que la l´ınea de comandos de matlab posee ”memoria” y podemos recuperar comandos introducidos previamente, haciendo uso de las teclas de movimiento de cursor arriba y abajo. Para una localizaci´ on m´as eficaz de alg´ un comando introducido previamente, podemos teclear los primeros caracteres del mismo antes de usar el cursor arriba y s´ olo buscar´ a entre los comandos ya introducidos aqu´ellos cuyos primeros caracteres coincidan con los introducidos. – Otra posibilidad que se ofrece es la de introducir varios comandos en una misma l´ınea de la ventana de comandos, separados por coma o punto y coma. – Puede ”limpiarse” el contenido de la ventana de comandos mediante la instrucci´ on clc. – El s´ımbolo % sirve para introducir comentarios. Todo lo escrito desde ese s´ımbolo hasta el final de la l´ınea ser´a ignorado por el int´erprete de matlab. El uso de comentarios puede no resultar demasiado interesante en la l´ınea de comandos, aunque s´ı lo ser´a cuando se est´en escribiendo programas, como se ver´a m´as adelante. – Si se quiere guardar toda la sesi´ on en un archivo, basta usar el comando diary nombrearchivo. Dicho archivo contendr´ a los comandos introducidos y los correspondientes resultados. Cuando no se quiera seguir almacenando la informaci´ on se introducir´ a diary off. – Si se desean almacenar todas las variables de memoria en un fichero, junto con sus valores actuales, se usa el comando save nombre-fichero. Esto crea un fichero binario en el directorio de trabajo actual con el nombre introducido y con extensi´ on .mat. Si no se da el nombre del fichero, se crea uno llamado matlab.mat. En caso que se desee guardar en un fichero con formato ascii, se introducir´ a en el comando un modificador: save -ascii nombre fichero. Si s´ olo se quieren guardar una serie de variables, se introducir´ a save nombre-fichero nombre-variables separadas por espacios. – Para recuperar los ficheros generados con el comando save se utilizar´ a load nombre-fichero. – El formato de visualizaci´ on en la ventana de comandos puede modificarse usando format: • format long: Presentar´ a mayor n´ umero de decimales en pantalla al presentar los resultados en punto flotante. • format short: Es el modo por defecto, presenta un n´ umero de decimales menor. Este formato no afecta para nada a la precisi´ on de los c´alculos, es sencillamente una cuesti´ on de visualizaci´ on. • format compact: Deja menor n´ umero de l´ıneas en blanco en la visualizaci´ on de los resultados, permitiendo dar cabida a m´ as informaci´ on previa en la ventana de comandos sin necesidad de hacer scroll. • format loose: Es el modo por defecto, se dejan m´as l´ıneas de separaci´on durante la visualizaci´ on. Tambi´en puede modificarse el formato de visualizaci´ on a trav´es de las opciones de men´ u: File/Preferences/General – Para detener la ejecuci´ on de un comando, se usa Ctrl-C. – La salida del sistema se efect´ ua al introducir quit ´o exit, o simplemente cerrando la ventana de comandos..

(9) 6. ´ n de datos. Uso de la ventana de comandos Introduccio. 1.5. ´ n de datos. Uso de la ventana de comandos Introduccio. El elemento b´asico en matlab es la matriz compleja de doble precisi´ on, estructura que abarca realmente todo tipo de datos, desde escalares tales como n´ umeros reales o complejos, hasta vectores o matrices de tama˜ nos arbitrarios. Impl´ıcitamente se usa la notaci´on matricial para introducir polinomios y funciones de transferencia, de la forma que se explicar´ a m´as adelante. Por otro lado, si se dispone de una representaci´ on de un sistema lineal en el espacio de estados de la forma: x˙ = A x + B u y. =. Cx + Du. bastar´ıa con introducir los valores de los elementos de las matrices A, B, C y D, para tener descrito al sistema. Estos elementos se podr´ıan introducir de la siguiente forma:. A=[1 0 2;2 2 0;0 0 1] B=[1, 0,0]’ C=[1 1 sqrt(2)] D=0;. A la vista de esta serie de comandos se pueden comentar varias cosas:. – Si al final de la introducci´ on de un comando cualquiera no se pone punto y coma (;), aparecer´a expl´ıcitamente en pantalla el resultado de dicho comando. En caso contrario, el comando se ejecutar´a pero no se mostrar´a su resultado. Dicho resultado se habr´ a almacenado en la variable a la que se asigna o, si no se realiza asignaci´ on, se guardar´ a en una variable de entorno llamada ans. En caso de que se asigne a una variable, ´esta se crear´a autom´ aticamente, sin necesidad de una declaraci´on previa. – Los elementos de cada fila de una matriz se pueden introducir separados por espacios o por comas, indistintamente. – Para separar filas de una matriz se usa ; o un simple retorno de carro. Esta u ´ltima opci´ on puede facilitar muchas veces la visualizaci´ on de la matriz que se est´a introduciendo. – Para transponer matrices se usa el ap´ ostrofe. – Los elementos de vectores y matrices pueden ser reales, complejos e incluso expresiones, como vemos en el caso del u ´ ltimo elemento del vector C. – Si se est´a introduciendo un comando o conjunto de ellos cuya sintaxis sea muy larga, se puede continuar en la siguiente l´ınea introduciendo al final de la actual tres puntos seguidos (...). – Las variables a las que se asignan resultados, as´ı como las variables de entorno, se almacenan en lo que se denomina el espacio de trabajo de matlab (workspace)..

(10) ´ A MATLAB INTRODUCCION. 7. En este caso, se han creado una serie de variables (en particular, matrices) mediante la introducci´ on expl´ıcita de sus elementos en l´ınea de comandos. Otras formas de producir variables podr´ıan ser: gener´andolas mediante funciones y declaraciones, cre´andolas en un archivo .m, carg´ andolas desde un archivo de datos externo mediante el comando load (bien se trate de ficheros de datos ASCII o bien de ficheros binarios con formato de datos de matlab .mat). Adem´as de variables num´ericas, escalares o matriciales, en matlab pueden usarse cadenas de caracteres. Para ello se delimita una secuencia de caracteres mediante ap´ostrofes: cadena = ’ejemplo de cadena de caracteres’ Para hacer referencia a cualquiera de los caracteres que componen una cadena, podemos hacerlo como si de un vector se tratara (la forma de indexar vectores y matrices se ver´a m´as adelante).. 1.6. Variables de entorno y variables especiales. Existen una serie de variables predefinidas en matlab, son las siguientes:. – ans: Contiene la respuesta (answer) del u ´ltimo comando ejecutado, cuando el resultado de dicho comando no se asigna expl´ıcitamente a ninguna variable. – eps: Da el valor de la precisi´ on con la que la m´ aquina realiza las operaciones en punto flotante. T´ıpicamente, esta precisi´on es del orden de 10−17 . – pi: π. √ – i, j: −1. Constante imaginaria. – inf: ∞. Se trata de un valor excesivamente grande para ser almacenado. – NaN: Not a number. Es el resultado que se proporciona si durante una operaci´ on se produce 0 ∞ , etc. una indeterminaci´ on, del tipo 0 · ∞, , 0 ∞ – clock: Reloj. – date: Fecha. – flops: N´ umero de operaciones en punto flotante realizadas hasta el momento.. El comando who muestra las variables existentes en el espacio de trabajo generadas por el usuario, pero no las variables especiales..

(11) 8. Elementos de las matrices. Para borrar alguna variable de memoria se utiliza clear nombre-variables separadas por espacios. Pueden borrarse todas las variables a la vez si no se especifica ning´ un nombre a continuaci´ on del nombre del comando.. 1.7. Elementos de las matrices. En este punto es importante comentar uno de los elementos m´as potentes de matlab, que es el s´ımbolo :, que permite generar una secuencia, y en particular permitir´ a referenciar varios elementos de una matriz. Veamos algunos ejemplos en los que se usa este operador: 1:0.1:10 Generar´ a una secuencia comenzando por 1 hasta 10, cada elemento de la secuencia estar´a separado del anterior en 0.1. 1:10 Si se obvia el valor central, la separaci´ on entre cada dos elementos de la secuencia ser´a 1. [1:0.1:10] Si lo ponemos entre corchetes, estaremos generando un vector con los elementos de la secuencia. En la forma m´ as directa, los elementos de una matriz se referencian mediante A(i, j), donde i y j son los ´ındices del elemento correspondiente. Podemos usar una secuencia que facilitar la indexaci´ on de m´ ultiples elementos, como en los siguientes ejemplos: A(1,2:3) dar´ıa como resultado los elementos de las columnas 2 y 3 pertenecientes a la primera fila. A(:,2) dar´ıa como resultado todos los elementos pertenecientes a la segunda columna. L´ ogicamente, en estos casos, los elementos especificados como inicio, final e incremento para producir la secuencia deben ser enteros. Otra forma de generar datos secuencialmente es usando los comandos linspace y logspace, su formato es: t = linspace(n1,n2,n); w = logspace(n1,n2,n); El comando linspace genera un vector desde n1 a n2 de longitud n, cuyos componentes poseen valores espaciados linealmente. Por su parte, logspace produce tambi´en un vector de n elementos, pero sus valores est´an espaciados logar´ıtmicamente desde 10n1 a 10n2 . Este u ´ltimo comando resultar´ au ´til para la generaci´ on de escalas frecuenciales para el an´ alisis de sistemas mediante diagramas de Bode, Nyquist, etc..

(12) ´ A MATLAB INTRODUCCION. 1.8. 9. Operaciones con matrices. Las operaciones comunes con matrices son:. – Suma: + – Resta: – Multiplicaci´ on: * – Divisi´ on derecha / (x = b/A es la soluci´on del sistema de ecuaciones x ∗ A = b. Es decir calcula la inversa de la matriz A y multiplica b por la derecha por dicha inversa) – Divisi´ on izquierda \ (x = A \ b es la soluci´on de A ∗ x = b. Es decir, igual que en el caso anterior, pero realiza la multiplicaci´ on de la inversa con b por la izquierda) – Potenciaci´ on ^. Este operador permite, en particular, implementar otra forma de realizar la inversi´ on de una matriz: A^(-1). – Conjugada traspuesta ’ Cabe mencionar la potencia de los operadores /, \, y ^, puesto que si la matriz A no es cuadrada, autom´ aticamente se realiza el c´alculo de su pseudoinversa, lo que equivaldr´ıa a resolver el sistema de ecuaciones correspondiente por m´ınimos cuadrados. Las mismas operaciones que se han enumerado se pueden realizar elemento a elemento, anteponiendo un punto a cualquiera de los operandos anteriores. Como ejemplo, el siguiente comando realizar´ıa el producto de cada elemento de la matriz A con su correspondiente de la matriz B (para que dicho producto sea realizable, obviamente, dichas matrices deben tener las mismas dimensiones): A .* B Adem´as de los operadores anteriores, existen funciones tales como:. – Trigonom´etricas est´andar: sin, cos, tan, asin, acos, atan, atan2 – Trigonom´etricas hiperb´ olicas: sinh, cosh, tanh, asinh, acosh, atanh – Trascendentales: log, log10, exp, sqrt – Manipulaci´ on de n´ umeros complejos: • real: parte real de un escalar o de los elementos de una matriz. • imag: parte imaginaria. • conj: proporciona el conjugado de un escalar o la matriz conjugada a una dada..

(13) 10. ´lisis de datos Funciones orientadas al ana. – C´alculo del m´ odulo: abs permite calcular tanto el valor absoluto de un escalar real como el m´odulo de un escalar complejo o el m´ odulo de un vector. – Funciones t´ıpicas de matrices: • det: determinante de una matriz • inv, pinv: inversa y pseudoinversa • eig: obtenci´ on de autovalores • rank: rango de la matriz • norm: norma de una matriz (norma 2, norma 1, norma infinito, norma de Frobenius) • trace: traza de la matriz • diag: produce un vector conteniendo los elementos de la diagonal de una matriz, o si recibe un vector como par´ametro, genera una matriz diagonal. • tril: devuelve la matriz triangular inferior de una matriz dada • triu: devuelve la matriz triangular superior de una matriz dada – funciones para generar matrices: • eye(n): produce una matriz identidad de dimensi´ on n × n • zeros(n,m): genera una matriz de ceros de dimensi´on n × m • ones(n,m): genera una matriz de unos de dimensi´ on n × m • rand(n,m): permite generar una matriz de valores aleatorios, entre 0 y 1, de dimensi´ on n × m • A = [A11,A12;A21,A22]: podemos producir una nueva matriz por bloques, mediante su composici´on a partir de submatrices ya existentes.. 1.9. ´lisis de datos Funciones orientadas al ana. Se trata de funciones que operan con vectores. Si se aplican a matrices operan columna a columna. Permiten realizar an´ alisis sobre el conjunto de datos contenido en los vectores correspondientes, tales como calcular su valor m´ınimo, m´ aximo, media, mediana, desviaci´on t´ıpica, suma de los elementos de dicho vector, etc. min, max, mean, median, std, sum, prod, etc.. 1.10. Polinomios. Esta es una secci´on importante, dado que las funciones de transferencia de los sistemas se introducir´ an habitualmente en la forma numerador-denominador, los cuales ser´an tratados.

(14) ´ A MATLAB INTRODUCCION. 11. como polinomios por matlab. En las demos que acompa˜ nan a estas notas se podr´an analizar numerosos ejemplos. Los polinomios se representan por vectores, cuyos elementos son los coeficientes del polinomio en orden descendente. Por ejemplo, el polinomio s3 + 2s2 + 3s + 4 se representa: p=[1 2 3 4]; que muy bien podr´ıa ser el denominador de una funci´ on de transferencia. Mediante la funci´ on roots se pueden encontrar las ra´ıces de esa ecuaci´on: roots(p) De modo complementario, se puede calcular un polinomio a partir de sus ra´ıces usando la funci´ on poly: p2=poly([-1 -2]); Si el argumento de entrada a poly es una matriz, devuelve el polinomio caracter´ıstico de la matriz (det(λI − A)) como un vector fila. Un polinomio puede ser evaluado en un punto determinado usando polyval(p,s), donde p es el polinomio y s es el punto donde va a ser evaluado. Por ejemplo: p2=[1 3 2]; a=[1 2; 3 4]; polyval(p2,a) si se introduce, como en este caso, un vector o una matriz, en lugar de un valor individual, la evaluaci´ on se hace elemento a elemento. Podemos realizar c´omodamente operaciones de multiplicaci´ on y divisi´ on de polinomios mediante las funciones conv y deconv, respectivamente: conv([1,2],[2,0]). 1.11. ´s Otras funciones de intere. En esta secci´on simplemente comentaremos, de forma r´apida, la existencia de una serie de funciones muy u ´tiles en problemas de integraci´ on num´erica (quad, quad8), soluci´ on de ecuaciones diferenciales (ode23, ode45 y muchos otros), importantes cuando se estudian los sistemas din´ amicos, ecuaciones no lineales (fmin, fsolve, etc.), interpolaci´ on (spline, etc.)....

(15) 12. 1.12. ´ficos Gra. ´ficos Gra. matlab es muy potente a la hora de generar gr´ aficos (sobre todo en sus u ´ltimas versiones), no s´olo por la variedad de comandos que ofrece para ello, sino tambi´en por la versatilidad de dichos comandos. En las demostraciones aparecer´an varios tipos de gr´ aficos. De momento, comentaremos los comandos fundamentales para la realizaci´ on de los mismos. En primer lugar, comandos gen´ericos y comandos orientados a gr´aficos bidimensionales:. – figure(n): Las representaciones de gr´aficos en matlab se realizan en ventanas gr´ aficas. En un momento dado puede haber varias ventanas gr´ aficas abiertas. La funci´ on figure se utiliza para abrir una nueva ventana gr´ afica que ser´ a numerada de acuerdo con el par´ ametro, o bien, si ya existe una ventana con ese n´ umero, se convertir´ a en la ventana gr´ afica activa, donde se realizar´a la pr´ oxima representaci´on gr´ afica. – clf: Limpia la ventana gr´ afica activa. – close(n): Para cerrar una ventana gr´ afica. close all cierra todas las ventanas gr´ aficas. – plot: es la funci´ on b´ asica de representaci´on gr´ afica de datos en dos dimensiones. La representaci´on se realiza en la ventana gr´afica que est´e activa en un momento dado. En caso de no haber ninguna, se crea una ventana gr´ afica nueva. Ejemplos de uso: • plot(v): representa en el eje vertical los valores contenidos en el vector v, frente a los valores del ´ındice en el eje horizontal. • plot(t,v): representa los valores del vector v frente a los del vector t. • plot(t,A), plot(t,[v1,v2]): presentar´ a varias gr´ aficas, puesto que cada columna de la matriz A es considerada como un vector a representar frente al vector t. En la segunda variante indicada, se consigue lo mismo mediante la agrupaci´ on de los vectores v1, v2 en una matriz. • plot(t1,v1,t2,v2): En este caso tambi´en se obtendr´ an dos gr´ aficas, pero cada una de ellas tiene un conjunto de valores diferente para el eje horizontal. – loglog: representaci´ on en escala logar´ıtmica en ambos ejes. – semilogx: representaci´ on en escala semilogar´ıtmica, el eje vertical aparecer´a en escala lineal. – semilogy: representaci´on en escala semilogar´ıtmica, el eje horizontal aparecer´a en escala lineal. – polar: representaci´ on de datos dados en forma polar, es decir en lugar de dar un par de vectores de componentes horizontales y verticales, se dan los vectores conteniendo el vector de ´angulo y m´ odulo.. Cuando se representan varias curvas simult´ aneamente en una misma ventana gr´afica, se utiliza una secuencia predefinida de colores para aplicar uno diferente a cada una de ellas. Se puede.

(16) ´ A MATLAB INTRODUCCION. 13. cambiar manualmente el color que por defecto tendr´ a una determinada curva con la adici´ on de un par´ ametro: plot(t,y,’r’). En este ejemplo, en lugar de representarse la curva con el color por defecto (azul), aparecer´a en color rojo. Para ver los c´ odigos de colores, puede consultarse la ayuda del comando plot. Tambi´en pueden realizarse gr´ aficos en tres dimensiones:. – plot3(x,y,z): comando an´ alogo a plot para dibujar curvas, pero en tres dimensiones. – mesh(x,y,Z): para dibujar superficies, Z debe ser una matriz con tantas filas como longitud del vector x y tantas columnas como la longitud del vector y. Los puntos que se representan son: (x(i), y(j), Z(i, j)). – contour: representa en un plano horizontal las curvas de nivel de una superficie tridimensional.. Por otro lado, existen comandos que permiten a˜ nadir determinados complementos a estos gr´ aficos:. – title: permite a˜ nadir un t´ıtulo a la gr´ afica – xlabel: a˜ nadir una etiqueta al eje horizontal de la gr´ afica – ylabel: a˜ nadir etiqueta al eje vertical – grid: a˜ nadir una rejilla – axis: permite modificar los l´ımites de los ejes horizontal y vertical – text: a˜ nadir un texto en una posici´ on cualquiera de la gr´ afica – gtext: igual que text pero permite seleccionar la ubicaci´on del texto mediante el rat´ on.. Por otra parte, muchos de los elementos gr´ aficos pueden manipularse como objetos que tienen una serie de propiedades asociadas. Por ejemplo: handlePlot = plot(x,y); con este comando estamos asignando el objeto de tipo plot a una variable. Podemos ver las propiedades asociadas a un objeto mediante la funci´ on get(handlePlot), o bien especificar alguna de ellas: get(handlePlot,’LineStyle’). Cualquiera de las propiedades de un objeto pueden ser alteradas mediante la funci´ on set(handlePlot,’Color’,’g’). Por otra parte, tambi´en se dispone de cierta capacidad de modificaci´ on de las gr´ aficas mediante opciones de la propia ventana gr´ afica, en lugar de usar instrucciones desde la ventana de comandos..

(17) 14. Programando en matlab. 1.13. Programando en matlab. matlab permite a la hora de programar una serie de elementos t´ıpicos para la modificaci´ on del flujo de una secuencia de instrucciones. La sintaxis es muy parecida a la de cualquier lenguaje de programaci´ on. Todos estos operadores se pueden usar en la ventana de comandos, en l´ınea, o en un fichero .m.. 1.13.1. Operadores l´ ogicos y relacionales. Permiten la comparaci´ on de escalares (o de matrices elemento a elemento). Si el resultado de la comparaci´ on es verdadero, devuelven un 1, en caso contrario devuelven un 0. Los operadores elementales son: < >. menor que mayor que. <= >=. menor o igual mayor o igual. == ∼=. igual no igual. Es importante no dejar espacios entre los operadores formados por dos s´ımbolos. Si los datos a comparar son matrices, la comparaci´on se hace elemento a elemento, devolviendo una matriz binaria.. 1.13.2. Bucles y estructuras condicionales. En esta secci´on se explica una serie de comandos importantes a la hora de hacer un programa en matlab: for, while, if-else.. • for La sintaxis de este comando es la siguiente: for variable = expresion hacer algo; end La expresion es un vector, una matriz o cualquier comando de matlab que produzca como salida un vector o una matriz. La ejecuci´ on se realiza una vez por cada elemento del vector o de una columna de la matriz. Tanto los bucles como las estructuras condicionales se terminan con end. Presentamos un primer ejemplo en el que la variable i toma los valores 10, 9, ..., 1:.

(18) ´ A MATLAB INTRODUCCION. 15. for i=10:-1:1 kk(11-i)=i; end A continuaci´ on otro ejemplo en el que aparecen dos bucles anidados: x = [0:0.1:pi]’; y = x; for f=1:length(x) for c=1:length(y) Z(f,c) = sin(x(f)).^2 + cos(y(c)).^2; end end mesh(x,y,Z); Es importante evitar en lo posible el uso de bucles en matlab, ya que consumen mucho tiempo, pudi´endose en muchos casos realizar las mismas operaciones de una forma m´as eficiente y compacta. Los siguientes ejemplos calculan logaritmos de n´ umeros desde 1 a 10.000. Se har´ a de diferentes maneras para comparar. Se utilizan los comandos clock (que devuelve la hora actual) y etime (que devuelve el tiempo en segundos que ha transcurrido entre dos instantes) para calcular el tiempo consumido en las operaciones. t1=clock; for i=1:10000, a(i)=log(i); end; e1=etime(clock,t1); t1=clock; ind=[1:10000]; for i=ind, a(i)=log(i); end;... e2=etime(clock,t1); t1=clock; a=zeros(1,10000); ind=[1:10000];... for i=ind, a(i)=log(i); end; e3=etime(clock,t1); t1=clock; ind=[1:10000]; a=log(ind); e4=etime(clock,t1); t1=clock; ind=[1:10000]; a=zeros(1,10000); a=log(ind); ... e5=etime(clock,t1); Los tiempos de computaci´on para los diferentes m´etodos son: 86.17. 86.56. 2.42. 0.27. 0.28. Las causas de la disminuci´ on importante de tiempos es que en los primeros m´etodos, matlab tiene que recalcular la dimensi´ on del vector cada pasada por el bucle (importancia de las inicializaciones), y adem´ as usa bucles for, que como se ha indicado, consumen mucho tiempo. Esto por supuesto no quiere decir que no deban usarse, pues habr´ a ocasiones en que no haya m´ as remedio, pero siempre que haya una forma alternativa de hacerlo, ´esta ser´a preferible al uso de bucles..

(19) 16. Programando en matlab • while Permite implementar bucles condicionales. Su sintaxis es: while expresion hacer algo; end La expresi´ on es de la forma X operador Y, donde X e Y son escalares o expresiones que devuelven escalares y los operadores suelen ser operadores relacionales. En el siguiente ejemplo se busca una matriz aleatoria estable (parte real de autovalores negativa): A = randn(2); % Genera numeros aleatorios con distribucion normal while max(real(eig(A))) >= 0 A=randn(2); end; eig(A) Se puede usar el comando break para salir de un bucle en funci´ on de una determinada condici´ on. • if, else, elseif La sintaxis es la siguiente: if expresion 1 hace algo elseif expresion 2 hace algo else hace algo end else y elseif son opcionales.. 1.13.3. Ficheros .m. matlab puede ejecutar programas que se encuentren almacenados en ficheros ASCII que pueden encuentrarse en alguno de los subdirectorios indicados en el camino de b´ usqueda o bien en el subdirectorio de trabajo actual y tengan adem´ as extensi´on .m. Hay dos tipos de ficheros .m: script files y function files Scripts Son ficheros .m en los que se ponen secuencialmente comandos de matlab que se ejecutan en ese orden al introducir el nombre del fichero .m (sin extensi´on). Operan globalmente con.

(20) ´ A MATLAB INTRODUCCION. 17. los datos que se encuentran en la memoria. Los ejemplos que ilustran estas notas son en s´ı script-files, pues llevan un conjunto de comandos matlab y comentarios. funciones Son tambi´en ficheros .m, pero a diferencia de los anteriores, se le pueden pasar argumentos y pueden devolver resultados. Por tanto utilizan variables globales que se pasan por valor. La mayor´ıa de los ficheros contenidos en los toolboxes son funciones. La sintaxis de todas las funciones almacenadas en ficheros .m es la siguiente:. function [out1,out2,...] = nombre_fichero (in1,in2,...) % Comentarios adicionales para el help comandos de MATLAB return;. Una funci´ on puede tener m´ ultiples par´ ametros de entrada y salida. Numerosos ejemplos de funciones ser´ an utilizados en las demostraciones. Para finalizar, comentar que existen una serie de utilidades a la hora de programar en matlab. Las m´as comunes son:. – pause: Para la ejecuci´ on hasta que se pulsa una tecla. Puede usarse para pausar la ejecuci´on durante un n´ umero de segundos determinado, en lugar de esperar a que se pulse una tecla: pause(n).. – disp: Muestra una cadena de caracteres por pantalla.. – input: Muestra una cadena de caracteres por pantalla y espera a que el usuario introduzca un valor, que generalmente ser´ a asignado a una variable..

(21) 18. 1.14. Resumen de los comandos de matlab. Resumen de los comandos de matlab. = [ ] ( ) . ... , ; % : !. ans eps pi i,j inf NaN clock date flops nargin narout. Caracteres especiales Instrucci´on de asignaci´ on Usado para formar vectores y matrices Ver [ Precedencia aritm´etica Ver ( Punto decimal La instrucci´ on contin´ ua en la siguiente l´ınea Separa ´ındices y argumentos de funci´ on Acaba filas, suprime la impresi´ on Comentarios Indexaci´ on, generaci´ on de vectores Ejecuta instrucci´ on del sistema operativo Valores Especiales Respuesta cuando no se asigna la expresi´on Precisi´ on π √ −1 ∞ No N´ umero (Not-a -Number) Reloj Fecha N´ umero de operaciones N´ umero de argumentos de entrada de una funci´ on N´ umero de argumentos de salida de una funci´ on. chdir delete diary dir load save type what fprintf pack. Archivos de disco Cambiar de directorio Borrar archivo Diario de la sesi´on Directorio de archivos en el disco Cargar variables de un archivo Guardar variables en un archivo Mostrar funci´ on o archivo Mostrar archivos .m en el disco Escribir en un archivo Compactar memoria v´ıa save.

(22) ´ A MATLAB INTRODUCCION. compan diag eye gallery hadamard hankel hilb invhilb linspace logspace magic meshdom ones pascal rand toeplitz vander zeros. rot90 fliplr flipud diag tril triu reshape ’ :. 19 Matrices especiales Compa˜ nera Diagonal Identidad Esot´erica Hadamard Hankel Hilbert Inversa de Hilbert Vectores igualmente espaciados Vectores logar´ıtmicamente espaciados M´ agica cuadrada Dominio para puntos de malla Matriz constante de unos Pascal Elementos aleatorios Toeplitz Vandermonde Matriz de ceros. ´ n de matrices Manipulacio Rotaci´on Invierte el orden de las columnas Invierte el orden de las filas Diagonal Parte triangular inferior Parte triangular superior Reordena una matriz en otra Traspuesta Convierte una matriz en una columna simple. any all find isnan finite isempty isstr strcomp. ´ gicas y relacionales Funciones lo Condiciones l´ ogicas Condiciones l´ ogicas Encuentra ´ındices de valores l´ ogicos Detecta NaNs Detecta infinitos Detecta matrices vac´ıas Detecta variables de cadena Compara variables de cadena.

(23) 20. Resumen de los comandos de matlab. if elseif else end for while break return pause. Control de flujo Ejecuta instrucciones condicionalmente Usado con if Usado con if Termina if, for, while Repite instrucciones un n´ umero de veces Repite instrucciones mientras una sentencia l´ ogica sea verdadera Sale de los bucles for y while Salida desde funciones Pausa hasta que se pulse una tecla. abs eval num2str int2str setstr sprintf isstr strcomp hex2num. input keyboard error function eval feval echo exist casesen global startup getenv menu etime. Texto y cadenas Convierte cadena en valores ASCII Eval´ ua texto como instrucciones Convierte n´ umeros en cadenas Convierte enteros en cadenas Indicador de cadenas Convierte n´ umeros en cadenas Detecta variables de cadena Compara variables de cadena Convierte cadenas hexadecimales en n´ umeros ´ n y archivos .m Programacio Obtiene n´ umeros desde el teclado Llamada al teclado como si fuera un archivo .m Muestra mensaje de error Define funci´ on Eval´ ua texto en variables Eval´ ua funci´ on dada por una cadena Permite mostrar las instrucciones en pantalla Comprueba si las variables existen Sensibilidad a las may´ usculas Define variables globales Archivo de inicializaci´ on Accede a una variable de entorno Genera un men´ u Tiempo gastado. clc home format disp fprintf echo. ´rica Ventana alfanume Limpia pantalla Mueve cursor al comienzo Establece el formato de salida Muestra matriz o texto Imprime n´ umero formateado Permite la muestra de las instrucciones.

(24) ´ A MATLAB INTRODUCCION. plot loglog semilogx semilogy polar mesh contour meshdom bar stairs errorbar. title xlabel ylabel grid text gtext ginput. axis hold shg clf subplot. abs angle sqrt real imag conj round fix floor ceil sign rem exp log log10. 21 ´ficos Gra Gr´ afico lineal en el plano XY Gr´ afico logar´ıtmico en el plano XY Gr´ afico semilogar´ıtmico Gr´ afico semilogar´ıtmico Gr´ afico polar Superficie de malla tridimensional Plano de contornos Dominio para gr´ aficos de superficie Gr´ aficos de barras Gr´ aficos de escaleras A˜ nade barras de errores ´ n Gra ´fica Anotacio T´ıtulo Anotaci´ on en eje x Anotaci´ on en eje y Dibuja cuadriculado Posiciona un texto arbitrariamente Posiciona un texto con el rat´ on input gr´ afico ´fica Control de la ventana gra Escalado manual de ejes Mantiene gr´ afico en pantalla Muestra la pantalla gr´ afica Limpia la pantalla gr´ afica Divide la pantalla gr´ afica Funciones elementales M´ odulo complejo Argumento complejo Ra´ız cuadrada Parte real Parte imaginaria Conjugado complejo Redondeo al entero m´ as cercano Redondeo hacia cero Redondeo hacia −∞ Redondeo hacia ∞ Funci´ on signo Resto Exponencial base e Logaritmo natural Logaritmo base 10.

(25) 22. Resumen de los comandos de matlab. sin cos tan asin acos atan atan2 sinh cosh tanh asinh acosh atanh. bessel gamma rat erf inverf ellipk ellipj. balance backsub cdf2rdf chol eig hess inv lu nnls null orth pinv qr qz rref schur svd. ´tricas Funciones Trigonome Seno Coseno Tangente Arcoseno Arcocoseno Arcotangente Arcotangente de x/y Seno hiperb´ olico Coseno hiperb´ olico Tangente hiperb´ olica Arcoseno hiperb´ olico Arcocoseno hiperb´olico Arcotangente hiperb´ olica. Funciones especiales Funci´ on de Bessel Funci´ on gamma Aproximaci´ on racional Funci´ on de error Inversa de la funci´ on de error Integral completa el´ıptica de primera especie Integral el´ıptica de Jacobi. Descomposiciones y factorizaciones Forma equilibrada Sustituci´ on regresiva Convierte diagonales complejas en diagonales reales Factorizaci´on de Cholesky Autovalores y autovectores Forma de Hessenberg Inversa Factores de la eliminaci´on gaussiana M´ınimos cuadrados con restricciones Base ortonormal del n´ ucleo Base ortonormal de la imagen Pseudoinversa Factorizaci´on QR Algoritmo QZ Forma escalonada reducida por filas Descomposici´on de Schur Descomposici´on en valores singulares.

(26) ´ A MATLAB INTRODUCCION. cond norm rank rcond. Condicionamiento de matrices N´ umero de condici´ on en la norma 2 Norma 1, norma 2, norma de Frobenius, norma ∞ Rango Estimaci´ on de la condici´ on (inverso). expm logm sqrtm funm poly det trace kron. poly roots roots1 polyval polyvalm conv deconv residue polyfit. 23. Funciones matriciales elementales Matriz exponencial Matriz logaritmo Matriz ra´ız cuadrada Funci´ on arbitraria de matriz Polinomio caracter´ıstico Determinante Traza Producto tensorial de Kronecker. Polinomios Polinomio caracter´ıstico Ra´ıces de polinomios - m´etodo de la matriz compa˜ nera Ra´ıces de polinomios - m´etodo de Laguerre Evaluaci´ on de polinomios Evaluaci´ on de polinomio matricial Multiplicaci´ on Divisi´ on Desarrollo en fracciones parciales Ajuste por un polinomio. max min mean median std sort sum prod cumsum cumprod diff hist corrcoef cov cplxpair. ´lisis de datos por columnas Ana Valor m´ aximo Valor m´ınimo Valor medio Mediana Desviaci´on t´ıpica Ordenaci´ on Suma de elementos Producto de elementos Suma acumulativa de elementos Producto acumulativo de elementos Derivadas aproximadas Histogramas Coeficientes de correlaci´on Matriz de covarianza Reordena en pares complejos.

(27) 24. Resumen de los comandos de matlab. abs angle conv corrcoef cov deconv fft fft2 ifft ifft2 fftshift. quad quad8. ode23 ode45. fmin fmins fsolve fzero. ˜ales Tratamiento de sen M´ odulo complejo Argumento complejo Convoluci´ on Coeficientes de correlaci´on Covarianza Deconvoluci´ on Transformada r´ apida de Fourier FFT 2-dimensional FFT inversa FFT inversa 2-dimensional Cambia las dos mitades de un vector ´ n nume ´rica Integracio Funci´ on de integraci´ on num´erica Funci´ on de integraci´ on num´erica. ´ n de ecuaciones diferenciales Solucio M´etodo Runge-Kutta de orden 2/3 M´etodo Runge-Kutta-Fehlberg de orden 4/5 ´n Ecuaciones no lineales y optimizacio M´ınimo de una funci´ on de una variable M´ınimo de una funci´ on de varias variables Soluci´ on de un sistema de ecuaciones no lineales (ceros de una funci´ on de varias variables) Cero de una funci´ on de una variable. spline table1 table2. ´n Interpolacio Spline c´ ubico Genera tablas 1-D Genera tablas 2-D.

(28) Bibliograf´ıa [1] R.H. Bishop. Modern Control Systems Analysis and Design Using matlab. AddisonWesley, 1993. [2] The MathWorks Inc. Control System Toolbox User’s Guide. 1999. [3] The MathWorks Inc. simulink User’s Guide, version 3. 1999. [4] The MathWorks Inc. Using matlab, version 5.3.1. 1999. [5] K. Ogata. Solving Control Engineering Problems with matlab, year=1994, publisher=Prentice Hall International Editions. [6] B. Shahian and M. Hassul. Control System Design using matlab, year=1993, publisher=Prentice Hall. [7] K. Sigmon. Introducci´ on a matlab, Segunda Edici´ on. Department of Mathematics, U. Florida. Traducido del ingl´es por Celestino Montes, Dep. Matem´atica Aplicada II, U. Sevilla, 1992.. 25.

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