Joaqu´ın Retamosa Granado ´ Alvaro Tejero Cantero Pablo Ruiz M´ uzquiz

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(1)Joaqu´ın Retamosa Granado ´ Alvaro Tejero Cantero Pablo Ruiz M´ uzquiz. libro abierto / serie apuntes. Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica ::::1.1.0. segunda parte. 0.4. 0.2. y0. –0.2. –0.4. –0.4.  Un libro libre de Alqua. –0.2. 0 x. 0.2. 0.4.

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(3) † lomo para ediciones impresas. ALQ. 539.1. IFC2. ´ n a la f´ısica cua ´ ntica Introduccio.

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(5) http://alqua.org/libredoc/IFC2. Joaqu´ın Retamosa Granado ´ Alvaro Tejero Cantero Pablo Ruiz M´ uzquiz. iokin@nuc3.fis.ucm.es alvaro@alqua.org pablo@alqua.org. http://nuclear.fis.ucm.es/ iokin/ http://alqua.org/people/alvaro http://alqua.org/people/pablo. Introducci´ on a la f´ısica cu´ antica versi´on 1.1.0 15 de abril de 2004. alqua,madeincommunity.

(6) c. copyleft ´ Copyright (c) 2004 Joaqu´ın Retamosa Granado, Alvaro Tejero Cantero and Pablo Ruiz M´ uzquiz. This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/ or send a letter to Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA. ´ Copyright (c) 2004 Joaqu´ın Retamosa Granado, Alvaro Tejero Cantero and Pablo Ruiz M´ uzquiz. Este trabajo cae bajo las provisiones de la licencia Atribuci´ on-No Comercial-Comparte Igual de Creative Commons. Para ver una copia de esta licencia visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/1.0/ o escriba una carta a Creative Commons, 559 Nathan Abbott Way, Stanford, California 94305, USA.. Serie apuntes ´ Area f´ısica cu´antica CDU 539.1. Editores ´ Alvaro Tejero Cantero. alvaro@alqua.org. Notas de producci´on ´ Plantilla latex-book-es-b.tex, v. 0.1 (C) Alvaro Tejero Cantero. compuesto con software libre.

(7) ´Indice general. Portada. I. Copyleft. VI. ´Indice general. VII. 1. Pre´ ambulo te´ orico 1.1. Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias . . . . . . . . . . . 1.2.1. Teor´ıa de perturbaciones: caso no degenerado . . . 1.2.2. Teor´ıa de perturbaciones: caso degenerado . . . . . 1.3. M´etodo variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Descripci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. M´etodo variacional en un sistema de dos part´ıculas 1.3.3. Aplicaci´on del m´etodo al ´atomo de hidr´ogeno . . . 1.4. Suma de momentos angulares . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Energ´ıas en cm−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Cantidades u ´tiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 1 1 7 8 10 16 16 17 18 21 25 25 26. 2. Estructura fina del ´ atomo de hidr´ ogeno 2.1. Experimentos que condujeron al esp´ın . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Interacci´on con el campo magn´etico: el hamiltoniano 2.1.2. Efecto Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Experimento Stern-Gerlach . . . . . . . . . . . . 2.2. Introducci´on del esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Propiedades del esp´ın . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Determinaci´  on de gs y s . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. La base E, L2 , S2 , J2 , Jz . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Estructura fina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Correcci´on relativista a la energ´ıa cin´etica: V T . . . 2.3.2. Interacci´on esp´ın-´orbita: V s−o . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. T´ermino de Darwin: V D . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Correci´on total a la energ´ıa . . . . . . . . . . . . . . 2.4. El ´atomo de Hidr´ogeno en un campo externo . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. 31 31 31 33 37 39 39 42 43 44 47 48 52 53 55. vii.

(8) ´INDICE GENERAL 2.4.1. El efecto Zeeman an´omalo . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Reglas de selecci´on en transiciones electromagn´eticas. 2.5. Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Part´ıculas id´ enticas 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . 3.1.2. Part´ıculas cl´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Part´ıculas cu´anticas . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sistemas de dos part´ıculas id´enticas . . . . . . . . . . 3.2.1. Afirmaci´on fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Afirmaci´on d´ebil . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Caso general: postulado de simetrizaci´on . . . . . . . . 3.4. Zoolog´ıa de part´ıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Part´ıculas fundamentales . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Part´ıculas compuestas . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Antisimetrizaci´on de funciones de onda producto . . . 3.5.1. Sistemas de dos part´ıculas . . . . . . . . . . . . 3.5.2. Sistemas de N part´ıculas . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Sistemas de dos part´ıculas con buen esp´ın total 3.6. Repulsi´on efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. Sistemas con pocos electrones 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 4.2. Atomo de Helio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Hamiltoniano no relativista para el He . . . . . . . . . 4.2.2. Aproximaci´on de part´ıcula independiente . . . . . . . 4.2.3. Efectos de la repulsi´on electr´on-electr´on . . . . . . . . 4.2.4. Aplicaci´on del m´etodo variacional . . . . . . . . . . . 4.2.5. Reglas de selecci´on: Orto y Parahelio . . . . . . . . . . 4.3. La mol´ecula de H+ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Introducci´on: la aproximaci´on de Born-Oppenheimer . 4.3.2. Niveles electr´onicos de la mol´ecula ionizada H+ 2. . . . 4.3.3. Enlace covalente vs. enlace i´onico . . . . . . . . . . . . 4.3.4. El movimiento de los n´ ucleos en mol´eculas diat´omicas 4.3.5. Espectros moleculares y tipos b´asicos de mol´eculas . . 4.4. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. viii. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. 55 57 58 58 60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67 67 67 67 69 70 70 71 74 75 75 76 77 77 78 80 83 85 85 87. . . . . . . . . . . . . . . . .. 91 91 91 91 93 97 103 106 107 107 110 115 116 120 121 121 123. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(9) ´INDICE GENERAL 5. Introducci´ on a la f´ısica estad´ıstica: distribuci´ on de Maxwell-Boltzmann 5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. F´ısica estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Hip´otesis erg´odica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Equilibrio en f´ısica estad´ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Definici´on estad´ıstica de entrop´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Paso a la Mec´anica Cu´antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6. Distribuci´on de Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7. El par´ametro β y el equilibrio t´ermico . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8. El gas ideal cl´asico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.9. Entrop´ıa y primer principio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Estad´ısticas Cu´ anticas 6.1. Indistinguibilidad y estad´ıstica . . . . . . . . 6.2. Distribuci´on de Fermi-Dirac . . . . . . . . . 6.2.1. Distribuci´on de FD a T = 0 . . . . . 6.3. El gas ideal en la esFD . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. El n´ ucleo como un gas ideal de Fermi 6.4. Sistema de bosones: BE . . . . . . . . . . . . 6.5. El cuerpo negro . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. El l´ımite cl´asico de las estad´ısticas cu´anticas . 6.7. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . 6.7.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. 7. Transiciones electromagn´ eticas 7.1. Teor´ıa fenomenol´ogica de transiciones . . . . . . . . . . . . 7.1.1. Planteamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2. Transiciones espont´aneas e inducidas . . . . . . . . . 7.1.3. Transiciones en presencia de un campo de radiaci´on 7.2. An´alisis cu´antico de los fen´omenos de transici´on . . . . . . . 7.2.1. Expresi´on de la probabilidad de transici´on . . . . . . 7.2.2. Llega la perturbaci´on: radiaci´on electromagn´etica . . 7.2.3. La aproximaci´on dipolar el´ectrica . . . . . . . . . . . 7.2.4. Relaci´on entre las prediciones cu´anticas y las cl´asicas 7.3. Reglas de selecci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2. Algunas soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Comentario a la bibliograf´ıa.. http://alqua.org/libredoc/IFC2. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 125 . 125 . 125 . 127 . 128 . 130 . 132 . 134 . 137 . 139 . 142 . 144 . 144 . 146. . . . . . . . . . . .. 151 . 151 . 151 . 153 . 154 . 157 . 162 . 165 . 168 . 170 . 170 . 172. . . . . . . . . . . . . .. 177 . 177 . 177 . 177 . 178 . 182 . 182 . 185 . 192 . 193 . 194 . 196 . 196 . 197 205. ix.

(10) ´INDICE GENERAL Bibliograf´ıa. 207. Historia. 209. Creative Commons Deed. 211. Manifiesto de Alqua. 213. El proyecto libros abiertos de Alqua. 217. Otros documentos libres. 221. x. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(11) 1. Pre´ ambulo te´ orico 1.1.. Postulados. Primer postulado El estado de un sistema f´ısico viene caracterizado por una fdo ψ(r)1 , definida en el espacio de posiciones, que es de cuadrado sumable. Es decir, su norma al cuadrado Z 2 N (ψ) = dr |ψ(r)|2 , es una cantidad positiva y finita. La interpretaci´on de Born de la mec´anica cu´antica asocia a la cantidad |ψ(r)|2 N 2 (ψ) la interpretaci´on de una densidad de probabilidad de la part´ıcula en la posici´on dada por r. Podr´ıamos restringir el espacio de funciones de manera que la norma N = 1, o de forma que s´olo contuviese funciones tipo C α . Sin embargo desde el punto de vista del desarrollo del formalismo no suponen una gran simplificaci´on de modo que leventaremos estas restricciones. Si introducimos el producto escalar de dos funciones φ y ψ como Z hφ|ψi = drφ∗ (r)ψ(r), el espacio funcional anterior es un espacio de Hilbert F que satisface las siguientes propiedades: 1. Todas las propiedades de un espacio lineal de dimensi´on finita con producto escalar en ´el. 2. Completitud y Separabilidad. Definimos un conjunto ortonormal y completo de funciones {φ1 , φ2 , · · · φi , · · · }2 , que no pertenece necesariamente al espacio de Hilbert, y que verifica 1. hφi |φj i = 1 2. R. drφ∗i (r)φj (r) = δij. que el sistema consta de una sola part´ıcula Considero que se trata de un conjunto numerable para poder simplifcar el formalismo. 1.

(12) 1. Pre´ambulo te´orico 2.. P. φi (r)φ∗i (r0 ) =. P. φ∗i (r)φi (r0 ) = δ(r − r0 ). Cualquier fdo puede escribirse entonces como Z ψ(r) =. 0. 0. 0. dr δ(r − r )ψ(r ) =. X. Z φi (r). dr0 φ∗i (r0 )ψ(r0 ) =. X. hφi |ψi φi (r) =. X. ci φi (r),. y su norma es 2. Z. N (ψ) =.

(13) X

(14) 2 X X X 2

(15)

(16) dr

(17) ci cj hφi |φj i = |ci | ci φi

(18) = i. j. Estos resultados tienen un gran valor ya que nos indican que cualquier fdo de nuestro espacio F puede caracterizarse por un conjunto de valores (en este caso los coeficientes ci ) diferentes a los valores de la fdo en los distintos puntos r del espacio. No es de extra˜ nar que se piense en los elementos del espacio F m´as como vectores abstractos que como funciones. Por ello, en los sucesivo llamaremos a F espacio de estados y representar´e a sus elementos en numerosas ocasiones con la notaci´on de Dirac |ψi. Segundo postulado A toda magnitud f´ısica medible O le corresponde un cierto operador O que act´ ua sobre los estados del espacio F. El operador asociado O debe satisfacer dos propiedades esencialmente: 1. Es autoadjunto 2. Sus vectores propios constituyen un sistema ortonormal completo que permite desarrollar cualquier fdo. Un operador que satisface estas propiedades se dice que es un observable. Tercer postulado El resultado de cualquier operaci´on de medida de la magnitud O es uno de los valores propios del operador O correspondiente. Cuarto postulado (principio de descomposici´ on espectral) Supongamos que el observable O tiene un espectro discreto y no degenerado. Si denotamos los autovalores y autovectores de O por Oi y |vi i respectivamente tenemos O |vi i = Oi |vi i ←− discreto Oi 6= Oj i 6= j ←− no degenerado. 2. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(19) 1.1. Postulados Los autovectores |vi i constituyen una base ortonormal en la que podemos desarrollar cualquier estado ∞ X |ψi = ci |vi i i=1. Entonces, la probabilidad de que una medida de la magnitud O d´e como resultado el autovalor Oi es P (Oi ) =. |ci |2 |hvi |ψi|2 = hψ|ψi hψ|ψi. Si la norma hψ|ψi = 1 entonces la expresi´on toma la forma particular P (Oi ) = |ci |2 = |hvi |ψi|2 Un hecho de extraordinaria importancia es que toda medida sobre un sistema tiene car´acter destructivo y altera profundamente la estructura del estado que caracteriza al sistema. Se produce la llamada reducci´ on del paquete de ondas: independientemente de cu´al fuera el estado previo, a partir del momento inmediatamente posterior a una medida con resultado Oi el estado del sistema es |vi i, el autovector correspondiente al autovalor medido. Ejemplo |ri caracteriza a una part´ıcula que se encuentra en la posici´on dada por el vector r, es decir son autoestados del operador posici´on r |ri = r |ri , y constituyen una base ortonormal generalizada, esto es 0 = δ(r − r0 ) R hr|r i dr |ri hr| = 1. Si el sistema se encuentra en un estado normalizado |ψi, la amplitud de probabilidad de encontrar la part´ıcula en la posici´on r, es decir la fdo ψ(r), vendr´a dada por ψ(r) = hr|ψi , y podremos escribir Z |ψi =. Z dr |ri hr|ψi =. drψ(r) |ri .. expresion en la que se observa que las componentes del vector de estado en la base |ri son precisamente los valores de la funci´on de onda en los distintos puntos del espacio. Analogamente |pi representa el estado de una part´ıcula con momento bien definido, o formalmente. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 3.

(20) 1. Pre´ambulo te´orico. p |pi = p |pi . Estos estados tambi´en constituyen una base ortonormal y por tanto tenemos que 0 = δ(p − p0 ) R hp|p i dp |pi hp| = 1. La amplitud de probabilidad de encontrar la part´ıcula con momento p si el estado normalizado del sistema es |ψi viene dada por φ(p) = hp|ψi , es decir, la fdo en el espacio de momentos es la proyecci´on del estado del sistema sobre el bra hp|. Tambi´en podemos escribir Z |ψi =. Z dp |pi hp|ψi =. dpφ(p) |pi .. Quinto postulado (evoluci´ on en el tiempo) La evoluci´on del estado del sistema esta gobernada por la ecuaci´on de Schr¨ odinger H |ψ(t)i = i~. ∂ |ψ(t)i ∂t. Consideremos, a modo de ejemplo, dos casos particulares en los que la evoluci´on temporal es muy distinta. 1. Si el estado del sistema, |ψ(t)i, posee energ´ıa bien definida (es autoestado de H) entonces H |ψ(t)i = E |ψ(t)i y la soluci´on a la ecuaci´on de Schr¨ odinger viene trivialmente dada por E t |ψ(t)i = e ~ |φi −i. donde |φi es independiente del tiempo y al igual que |ψ(t)i satisface H |φi = E |φi que es la denominada Ecuaci´on de schr¨ odinger independiente del tiempo. Por tanto la evoluci´on temporal de un estado de energ´ıa bien definida es trivial, ya que toma la forma de una fase.. 4. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(21) 1.1. Postulados ci 1 0.8 0.6 0.4 0.2 5. 10. 15. 20. t. Figura 1.1.: Valor de los coeficientes en funci´on del tiempo. 2. Vamos a considerar ahora un caso distinto. Para simplificar, admitiremos que el espacio de estados tiene dimension 2 y que una base del mismo est´a formada por los estados independientes del tiempo |φ1 i , |φ2 i. Podr´ıa (solo podr´ıa) tratarse de los autoestados de un cierto H. Entonces el vector |ψ (t)i que define el estado del sistema siempre puede descomponerse como |ψ (t)i = c1 (t) |φ1 i + c2 (t) |φ2 i donde |c1 (t)|2 + |c2 (t)|2 = 1 si el estado est´a convenientemente normalizado. Supongamos que en el instante inicial t = 0 |ψ (0)i = |φ1 i; entonces para t = 0 se tiene c1 (0) = 1 y c2 (0) = 0. A medida que t crece los valores de los coeficientes evolucionaran (m´as o menos) como se muestra en la figura 1.1. La probabilidad de que al efectuar una medida en un instante posterior t se encuentre en el el estado 2 viene dada por P1→2 (t) = |c2 (t)|2 = |hφ2 |ψ(t)i|2 en donde simplemente hemos utilizado el postulado 4. Ya que el sistema se encontraba inicialmente en el estado 1, esta expresi´on tambi´en se conoce como probabilidad de transici´ on del estado 1 al 2 en el intervalo de tiempo t. Consideremos un n´ umero enorme N de sistemas que s´olo poseen dos estados que denotaremos como 1 y 2, tales que E1 > E2 . Supongamos que realizamos un experimento en el que en el instante t = 0 de tiempo los N sistemas se hallan en el estado 1. A medida que el tiempo transcurre algunos sistemas transicionan al segundo estado. Llamemos n(t) al n´ umero de sistemas que se encuentran en 2 justo en el instante de tiempo t. Normalmente los dispositivos experimentales que se dise˜ nan para medir n(t) lo que hacen es detectar y contar las part´ıculas que se emiten en las transiciones desde 1 a 2 (si E1 < E2 se absorber´ıan part´ıculas). Habitualmente por cada sistema que transiciona se emite una s´ ola part´ıcula. Por ejemplo si se trata de transiciones de tipo electromagn´etico dichas part´ıculas son fotones. Desde tiempos hist´oricos se sabe que la funci´on n(t) satisface n(t) = N λt,. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 5.

(22) 1. Pre´ambulo te´orico y por tanto n(t) dP1→2 (t) = λt −→ = λ, N dt es decir, que la probabilidad de transici´on por unidad de tiempo es una constante. P1→2 (t) =. Reglas de correspondencia Al actuar sobre la funci´on de ondas en el espacio de posiciones asociamos a los vectores r, p, dados en coordenadas cartesianas, los siguientes operadores r =⇒ r p =⇒ p = −i~∇ Es conveniente recordar ahora la definici´on exacta de momento lineal. Si L es el lagrangiano del sistema, el momento lineal de la part´ıcula viene dado por ∂L ∂v En sistemas sencillos donde el potencial no depende de las velocidades, momento lineal p y cantidad de movimiento mv coinciden. Sin embargo pueden existir diferencias apreciables en sistemas m´as complejos Ejemplo: Cuando la part´ıcula interacciona con un campo electromagn´etico externo caracterizado por sus potenciales escalar y vector, el momento lineal no coincide con mv, y viene dado por q p = mv + A c ya que el lagrangiano de este sistema es de la forma p=. 1 q L = mv 2 + v · A − qφ 2 c donde φ y A son el potencial escalar y vector respectivamente. El hamiltoniano correspondiente a L es 1 (mv)2 H = p · v − L = mv 2 + qφ = + qφ, 2 2m q y teniendo en cuenta que mv = p − A toma la forma c 1  q 2 H= p − A + qφ 2m c Queremos insistir finalmente en que es el momento lineal el que lleva asociado el operador−i~∇ y no la cantidad de movimiento, salvo que ambos coincidan. Por el conq trario es la cantidad de movimiento mv = p − A la que aparece en el hamiltoniano3 . c Aplicando las reglas de correspondencia tenemos 3. q Para el resto del curso conviene fijarse muy bien en el signo entre p y A, porque a veces se producen c confusiones derivadas del hecho de que la carga del electr´ on es q = −e.. 6. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(23) 1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias. H→H=. 1.2.. 2 1  1  q 2 q p − A + qφ = −i~∇ − A(r, t) + qφ(r, t) 2m c 2m c. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias. En esta secci´on, as´ı como en la siguiente, vamos a introducir m´etodos para obtener de forma aproximada los estados propios y autoenerg´ıas de la ecuaci´on de Schr¨ odinger independiente del tiempo. Este tipo de desarrollos son muy importantes porque, en general, no resulta posible resolver de forma exacta la ecuaci´on de Schr¨ odinger. Supongamos que el hamiltoniano del sistema puede escribirse como H = H0 + λW donde H0 es el hamiltoniano no perturbado cuyas autoenerg´ıas y vectores propios son bien conocidos H0 |ni = εn |ni Puesto que H0 es un observable sus vectores propios forman un conjunto ortonormal completo, esto es = δnm Phn|mi |ni hn| = 1 El segundo t´ermino del hamiltoniano es lo que llamamos la perturbaci´on (de H0 ). En un problema f´ısico concreto el par´ametro λ toma un valor determinado en ciertas unidades. Ahora, para desarrollar el m´etodo, admitiremos que es un par´ametro libre. El problema que queremos resolver es la ecS independiente del tiempo correspondiente a H, H |ψn i = En |ψn i. (1.1). Proponemos una soluci´on en forma de serie de potencias del par´ametro λ

(24)

(25)

(26) E E E

(27) (0)

(28) (1)

(29) (2) 2 |ψn i =

(30) ψn + λ

(31) ψn + λ

(32) ψn + . . . (0). (1). (2). En = En + λEn + λ2 En + . . .. (1.2). La idea que subyace en este m´etodo es que, en aquellos problemas concretos donde λ toma un valor muy peque˜ no, podremos truncar el desarrollo y quedarnos s´olo con sus primeros t´erminos. Desde un punto de vista m´as amplio, aunque los primeros t´erminos del desarrollo nos proporcionen valores razanables, no est´a garantizado que las series anteriores converjan. Introduciendo las soluciones 1.2 en nuestra ecuaci´on de partida tenemos

(33)

(34) h

(35) E E E i h i h

(36) E i

(37) (0)

(38) (1)

(39) 2

(40) (2) (H0 + λW)

(41) ψn + λ

(42) ψn + λ

(43) ψn + . . . = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + . . .

(44) ψn(0) + . . . ,. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 7.

(45) 1. Pre´ambulo te´orico e identificando en esta igualdad los t´erminos de igual orden en λ obtenemos

(46)

(47) E E E  

(48) E  

(49)

(50)

(51)

(52)

(53) H0 − En(0)

(54) ψn(k) = En(1) − W

(55) ψn(k−1) + En(2)

(56) ψn(k−2) + En(3)

(57) ψn(k−3) + . . . As´ı, para los valores de k mas peque˜ nos resultan las siguientes igualdades k=0. k=1. k=2. E 

(58)

(59) H0 − En(0)

(60) ψn(0) = 0. (1.3). E 

(61) E  

(62)

(63)

(64) H0 − En(0)

(65) ψn(1) = En(1) − W

(66) ψn(0). (1.4).

(67) 

(68) E  

(69) E E

(70)

(71)

(72) H0 − En(0)

(73) ψn(2) = En(1) − W

(74) ψn(1) + En(2)

(75) ψn(0). (1.5). . . . Vamos a introducir ahora el convenio de la normalizaci´ on intermedia que se utiliza bastante en teor´ıa de perturbaciones y consiste en imponer E D (0) (0) = 1 ψn |ψn D E (0) ψn |ψn = 1 A partir del desarrollo previo (v´ease 1.2) tendremos D E D E D E D E ψn(0) |ψn = 1 =⇒ ψn(0) |ψn(0) + λ ψn(0) |ψnm(1) + λ2 ψn(0) |ψn(2) + . . . = 1, D E (0) (0) y como ψn |ψn = 1, entonces D E D E λ ψn(0) |ψnm(1) + λ2 ψn(0) |ψn(2) + . . . = 0 con λ libre lo que nos deja el siguiente conjunto de igualdades D E ψn(0) |ψn(k) = 0 k ≥ 1

(76). ´ Estas nos indican que las sucesivas correcciones

(77) ψ (k) , k ≥ 1, que vamos a˜ nadiendo a la (0) fdo de orden cero ψ , son ortogonales (independientes) a la misma.. 1.2.1.. Teor´ıa de perturbaciones: caso no degenerado. En este caso tenemos que εn 6= εm n 6= m y por lo tanto a cada autovalor le corresponde un u ´nico autovector.. 8. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(78) 1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias (0). Volviendo a 1.3 concluimos que En correspondiente. Por lo tanto. (0). es autovalor de H0 y que ψn es el autoestado. E (0) = εn

(79) nE

(80) (0) = |ni

(81) ψn

(82) E

(83) (0) Si el espectro fuese degenerado

(84) ψn ser´ıa en general una combinaci´on lineal de todos los autoestados |ni asociados al mismo autovalor. Dado que los autoestados de H0 forman una base del espacio de estados siempre

(85) E

(86) (1) podemos expresar

(87) ψn como

(88) E X

(89) (1) am |mi ,

(90) ψn = m. y usando la normalizaci´on intermedia D E D E n|ψn(1) = ψn(0) |ψn(1) = 0 =⇒ an = 0 con lo que

(91) E X

(92) (1) am |mi

(93) ψn = m6=n. Vamos ahora a proyectar 1.4 sobre un bra hk| lo que da

(94) E 

(95) E D

(96) D

(97)  P

(98) (1)

(99)

(100) (0)

(101) k

(102) En − W

(103) n = En(1) δkn − hk |W| ni ,

(104) m am = m6=n k

(105) H0 − En y en consecuencia (εk − εn ) ak = En(1) δkn − hk |W| ni ∀k, n Es conveniente distinguir los dos casos siguientes k=n (1). (1). 0 = En − hn |W| ni =⇒ En = hn |W| ni k 6= n (εk − εn ) ak = − hk |W| ni =⇒ hk |W| ni hk |W| ni = =⇒ =⇒ ak = − εk − εn εn − εk

(106) E X X hk |W| ni

(107) =⇒

(108) ψn(1) = ak |ki = |ki εn − εk k6=n. http://alqua.org/libredoc/IFC2. k6=n. 9.

(109) 1. Pre´ambulo te´orico Por lo tanto el caso k = n nos proporciona la correcci´on de orden 1 (en λ) a la energ´ıa y el segundo caso nos da la expresi´on de la fdo hasta primer orden |ψn i = |ni + λ. X hk |W| ni |ki + · · · εn − εk. k6=n. Nuestro siguiente paso consistir´a en obtener la correcci´on de orden 2 a la energ´ıa del estado. Para ello consideramos la ecuaci´on 1.5 y la proyectamos sobre hn|

(110) D

(111) E D E D E D E

(112)

(113) n

(114) H0 − En(0)

(115) ψn(2) = En(1) n|ψn(1) − n |W| ψ (1) + En(2) n|ψn(0) , y como

(116) D

(117) E  D E

(118) (0)

(119) (2) (0) (2) n

(120) H0 − E n

(121) ψ n = εn − En n|ψn =0 D E (1) (1) En n|ψn = 0 podemos despejar trivialmente En(2) = =. X hn |W| ki hk |W| ni εn − εk. =. D. E n |W| ψn(1) =. X |hk |W| ni|2 εn − εk. k6=n. k6=n. En resumen, las expresiones aproximadas que hemos obtenido para la energ´ıa y la fdo son En = εn + hn |λW| ni +. X |hk |λW| ni|2 + ... εn − εk. k6=n. X hk |λW | ni |ψn i = |ni + |ki + . . . εn − εk k6=n. Si las correcciones que vamos obteniendo son peque˜ nas puede tener sentido retener s´ olo los primeros t´erminos. Para ello ser´a necesario que |hn |λW| ni|  εn |hk |λW| ni|  |εn − εk |. 1.2.2.. Teor´ıa de perturbaciones: caso degenerado. Tal y como puede observarse, las ecuaciones anteriores no son v´alidas cuando εn = εm , n 6= m. Incluso cuando εn ' εm el desarrollo puede tener problemas de convergencia. Sin embargo, el sistema de ecuaciones 1.3, 1.4 y 1.5 sigue siendo v´alido y, en particular, (0) la propia asignaci´on En = εn .. 10. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(122) 1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias Lo que ya no es necesariamente v´alido es la identificaci´on de los autoestados debido a que ahora n no identifica un solo autovector sino un conjunto de ellos. Por eso cambiaremos la notaci´on como sigue H0 |n, ri = εn |n.ri r = 1, 2, . . . d donde el nuevo ´ındice r diferencia entre estados con la misma energ´ıa . Las soluciones perturbativas expresadas como un desarrollo en serie son ahora

(123)

(124)

(125) E E E

(126) (0)

(127) (1)

(128) (2) |ψn,r i =

(129) ψn,r + λ

(130) ψn,r + λ2

(131) ψn,r + . . . (1.6) (0) (1) (2) En,r = En,r + λEn,r + λ2 En,r + · · · ya que cada nivel n puede desdoblarse en d estados al introducir la perturbaci´on. La forma m´as general de los d autoestados de orden cero correspondientes al nivel n es d

(132) E X

(133).

(134) (0) αrs0

(135) n.s0 r = 1, 2, . . . , d

(136) ψn,r = s0 =1. Los coeficientes αrs0 no pueden ser cualesquiera sino que vienen fijados por la perturbaci´on. En efecto, proyectando 1.4 sobre los estados hn, s| , s = 1, 2, . . . , d

(137)

(138) D E D   E

(139)

(140) (1) (1) (0) n, s

(141) H0 − En(0)

(142) ψn,r = n, s| En,r − W |ψn,r 0=. XD s0.

(143)

(144) E

(145) (1)

(146) n, s

(147) En,r − W

(148) n, s0 αrs0. que queda finalmente reducido a d X. (1) n, s |W | n, s0 αrs = En,r αrs, r, s ∈ {1, ..., d}. s0 =1. d }|  hn, 1 |W | n, 1i hn, 1 |W | n, 2i  hn, 2 |W | n, 1i hn, 2 |W | n, 2i    z. {  αr1    αr2      hn, d |W | n, di αrd. . .  αr1    (1)  α2   = En,r    αrd. Esta ecuaci´on de autovalores nos proporciona las d energ´ıas en que se separa el nivel n y los d conjuntos de coeficientes {αrs , s = 1...d} que definen los correspondientes autovectores. Como casi todos los sistemas f´ısicos tienen niveles degenerados podr´ıa parecer que siempre hay que utilizar teor´ıa de perturbaciones degenerada y resolver la ecuaci´on anterior. En ocasiones la matriz hn, r |W | n, si es diagonal en los estados |n, ri y entonces podemos recuperar la expresi´on del caso no degenerado a orden 1. Si hnr |W | nsi ∝ δrs. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 11.

(149) 1. Pre´ambulo te´orico. . hn, 1 |W | n, 1i.    . .   αr1 αr1  hn, 2 |W | n, 2i   α2 α   r2  = En(1)   ..    . αrd αrd hn, d |W | n, di.    . y nos queda (1) Enr = hn, r |W| n.ri r = 1...d

(150) E

(151) (0) = |n, ri

(152) ψn,r. En los casos de aplicaci´on de la teor´ıa de perturbaciones en este curso se dar´a habitualmente esta situaci´on por lo que utilizaremos teor´ıa de perturbaciones no degenerada. Ejemplo: perturbaci´on cuadr´atica en x del oscilador arm´onico Consideremos una part´ıcula de masa m que realiza un movimiento unidimensional sometida al hamiltoniano p2 1 1 1 H= + mω 2 x2 + λmω 2 x2 = H0 + λmω 2 x2 2m 2 2 2 que es la suma de un oscilador m´as un t´ermino cuadr´atico en x. El objetivo de este ejemplo es calcular las autoenerg´ıas de este hamiltoniano de dos formas diferentes. Recordemos que los autovalores de H0 son   1 En0 = ~ω n + 2. 1. Primero procederemos al c´alculo de los nuevos autovalores de forma exacta. Para ello observamos que 1 p2 1 p2 1 H = H0 + λmω 2 x2 = + mω 2 (1 + λ) x2 = + mω 02 x2 2 2m 2 2m 2 √ 0 donde ω = ω 1 + λ. Por lo tanto podemos escribir que      1 λ λ2 1 = ~ω n + 1+ − + ... En = ~ω 0 n + 2 2 2 8. 2. Como estrategia alternativa procederemos utilizando teor´ıa de perturbaciones. Introducimos los operadores de aniquilaci´on A y de destrucci´on A+ definidos como sigue 1 A = (2m~ω) 2 (mωx + ip) 1 − A+ = (2m~ω) 2 (mωx − ip) −. que poseen conmutador [A, A+ ] = 1. Se introduce tambi´en el operador n´ umero N = A+ A cuyos autovalores son simplemente los n´ umeros naturales N |ni = n |ni , n = 0, 1, 2, .... 12. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(153) 1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias El hamiltoniano no perturbado se expresa en funci´on de este nuevo operador como   1 H0 = ~ω N + 2 de manera que . 1 H0 |ni = ~ω N + 2. . . 1 |ni = ~ω n + 2.  |ni. Algunas propiedades de los autoestados de N son. a) ortogonalidad hn|n0 i = δnn0 √ b) aniquilaci´on A |ni = n |n − 1i √ c) creaci´on A+ |ni = n + 1 |n + 1i d ) φ(0) n = Hn (x) = hx|ni Expresando W en t´erminos de los operadores de creaci´on y aniquilaci´on resulta  2 2 1 1 1  W = mω 2 x2 = ~ω A + A+ = ~ω A2 + A+ + 2N + 1 2 4 4 Las energ´ıas aproximadas (hasta segundo orden en λ ) se escriben En = En0 + λ hn |W| ni + λ2. X |hn0 |W| ni|2 En0 − En0 0 0. n6=n. Los u ´nicos elementos de matriz no nulos de la perturbaci´on son hn |W| ni. =. hn |W| n + 2i = hn |W| n − 2i =. 1 ~ω hn |2N + 1| ni 4. 1

(154)

(155) 2

(156)

(157) ~ω n A n + 2 4 E 1 D

(158)

(159) + 2

(160)

(161) ~ω n

(162) (A )

(163) n − 2 4. = = =. 1 ~ω(2n + 1) 4 1 ~ω[(n + 1)(n + 2)]1/2 4 1 ~ω[n(n − 1)]1/2 4. Verifiquemos expl´ıcitamente el primero de ellos p.

(164) 2

(165) √ n

(166) A

(167) n = hn |AA| ni = n hn |A| n − 1i = n (n − 1) hn|n − 2i = 0 D

(168) 2

(169)

(170) E

(171) n

(172) A+

(173) n = 0 hn |2N + 1| ni = (2n + 1) hn|ni =. 2n + 1. Substituyendo en la expresi´ on superior llegamos a   2 (n + 1)(n + 2) n(n − 1) ~ω 2 (~ω) 0 En = En + λ (2n + 1) + λ + 0 0 0 4 16 En0 − En+2 En − En−2 0 y teniendo en cuenta que En0 − En±2 = ∓2~ω, obtenemos nuevamente. . 1 En = ~ω n + 2.   λ λ2 1+ − + ... 2 8. Ejemplo: Teor´ıa de perturbaciones (no degenerada) en un sistema de dos niveles. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 13.

(174) 1. Pre´ambulo te´orico Admitamos que el hamiltoniano del sistema, H, tiene la siguiente forma: H = H0 + λW donde H0 es tal que conocemos sus autoenerg´ıas y autoestados

(175)

(176) E E

(177) (0) (0)

(178) (0) = Ei

(179) φi H0

(180) φi Para reducir el formalismo a un m´ınimo admitiremos que el espacio tiene dimensi´on Eo n

(181) de estados

(182) (0) es una base de 2 y por tanto el ´ındice anterior toma valores i = 1, 2 . Como

(183) φi i=1,2. autofunciones ortonormales, se verifican las siguientes relaciones E D D E (0) (0) (0) (0) = φ2 |φ2 φ1 |φ1 = 1 D E (0) (0) φ1 |φ2 = 0 El objetivo que perseguimos es resolver la ecS correspondiente al hamiltoniano completo H |φi = E |φi cuando λ  1 (perturbaci´ on peque˜ na ). Cualesquiera que sean los autoestados exactos |φi, podemos desarrollarlos como

(184)

(185) E E

(186) (0)

(187) (0) ketφ = α1

(188) φ1 + α2

(189) φ2 Sustituyendo esta expresi´ on en la ecS tenemos

(190)

(191) E E

(192) (0)

(193) (0) H |φi = β1

(194) φ1 + β2

(195) φ2 = E |φi

(196)

(197) E E

(198) (0)

(199) (0) = Eα1

(200) φ1 + Eα2

(201) φ2

(202)

(203) D D (0)

(204) (0)

(205) Podemos poner los coeficientes β en funci´on de los α. Proyectando sobre φ1

(206) y por φ2

(207) para aprovechar las relaciones de ortogonalidad se obtiene, respectivamente D E (0) φ1 |H| φ = β1 D E (0) φ2 |H| φ = β2 Luego β1. β2. E (0) φ1 |H| φ

(208) D 

(209) E EE

(210) (0)

(211) (0) (0) = φ1 |H| α1

(212) φ1 + α2

(213) φ2 E D E D (0) (0) (0) (0) = α1 φ1 |H| φ1 + α2 φ1 |H| φ2 E D E D (0) (0) (0) (0) = α1 φ2 |H| φ1 + α2 φ2 |H| φ2 =. D. E D (0) (0) Si al elemento de matriz φi |H| φj lo llamamos Hij tenemos una matriz 2 × 2 que cumple E D D

(214) (0) E∗ (0) (0)

(215) (0) ∗ = H12 H21 = φ2 |H| φ1 = φ1

(216) H+

(217) φ2. 14. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(218) 1.2. Teor´ıa de perturbaciones estacionarias por ser H herm´ıtico (H = H+ ). As´ı, las ecuaciones anteriores que expresan los β en funci´on de los α se escriben de forma m´ as compacta: β1 β2. = α1 H11 + α2 H12 = Eα1 = α1 H21 + α2 H22 = Eα2. o bien . H11 H21. H12 H22.     α1 α1 =E α2 α2. Los autovalores de esta matriz se obtienen a partir de la f´ormula   s 2 4 |H12 | 1  H11 + H22 ± |H11 − H22 | 1 + E= 2 (H11 − H22 )2. (1.7). Vamos a proceder a calcular los diferentes t´erminos de esta expresi´on de la energ´ıa para el hamiltoniano perturbado en funci´ on de los datos del problema, es decir, de la perturbaci´ n

(219) oE

(220) (0) (0) λW , del hamiltoniano no perturbado y de las energ´ıas y autofunciones de ´este, Ei y

(221) φi respectivamente. D. (0). (0). φ1 |H0 + λW| φ1. E. D E (0) (0) (0) (0) = E1 + λ φ1 |W| φ1 = E1 + λW11. H11. =. H22. = E2 + λW22 D E (0) (0) = φ1 |H0 + λW| φ2 = λW12. H12. (0). D E (0) (0) la u ´ltima igualdad se verifica en virtud de φ1 |H0 | φ2 = 0. Ahora necesitamos el t´ermino 2. 2. 4 |H12 |. 2. (H11 − H22 ). =. 4λ2 |W12 | h. i2 (0) (0) E1 − E2 + λ (W11 − W22 )  2. =. 4λ2 |W12 | . (0).   2   (0). E1 − E2. 2. 1 1+λ. W11 − W22 (0). (0).    . E1 − E 2. 2. '. 4λ2 |W12 | . (0). (0). E1 − E2. 2. Donde la

(222) u ´ltima expresi´

(223) on es el primer t´ermino de un desarrollo en serie cuya exactitud depende

(224) (0) (0)

(225) de que

(226) E1 − E2

(227)  λ |W11 − W22 |, por lo que no puede haber degeneraci´on. La ra´ız la desarrollamos: s 2 2  4 |H12 | 2λ2 |W12 | 3 1+ =1+  2 + O λ H11 − H22 (0) (0) E1 − E2. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 15.

(228) 1. Pre´ambulo te´orico Si enchufamos todo esto en la ecuaci´on 1.7 2. E1. = H11 +. E2. = H22 +. λ2 |W12 | (0) E2 2. (0) − E1 2 λ |W12 | (0) (0) E 2 − E1. 2.  (0) + O λ3 = E1 + λW11 + λ2  (0) + O λ3 = E2 + λW22 +. |W21 | (0) E1. (0) − E2 2 |W12 | λ2 (0) (0) E2 − E1. + O λ3. . + O λ3. . o, por ejemplo, para la primera autoenerg´ıa: (0). D. (0). (0). E1 = E1 + φ1 |λW| φ1. 1.3.. M´ etodo variacional. 1.3.1.. Descripci´ on. E. +.

(229) D E

(230) 2

(231) (0) (0)

(232)

(233) φ2 |λW| φ1

(234) (0). (0). E1 − E2. + O(λ3 ). El objetivo que perseguimos en esta secci´on es el c´alculo (aproximado) de las energ´ıas y autofunciones del espectro discreto, y en particular del estado fundamental del sistema, que supondremos no degenerado. Denotemos por E1 a su energ´ıa, que es la m´as baja del sistema, y por |φ1 i al estado correspondiente. El m´etodo variacional se basa en un teorema debido a Ritz que afirma: Sea H un operador herm´ıtico con espectro discreto y acotado inferiormente. Si introducimos el funcional E E : |ψi ∈ F → E [ψ] =. hψ |H| ψi hψ|ψi. entonces E [ψ] ≥ E1 ∀ |ψi ∈ F, E[ψ] = E1 sys |ψi = |φ1 i La minimizaci´on del funcional anterior o, para ser m´as precisos, la busqueda de los extremos del mismo conduce a una soluci´on formal que nos indica que dichos extremos locales corresponden a estados |ψi que son autoestados de H. En otras palabras, la minimizaci´on formal nos conduce a la ecS. Este resultado, aunque te´oricamente muy elegante, no es de gran ayuda si no sabemos resolver la ecS. En tanto y cuanto deseemos buscar soluciones aproximadas de la misma conviene proceder de otra forma. En concreto, escogemos, bas´andonos en argumentos de tipo f´ısico, una familia de estados (de prueba) |ψp (b)i y calculamos el funcional E correspondiente a estas funciones. En esta u ´ltima expresi´on b representa un conjunto de par´ametros de los que dependen las funciones de prueba. Por supuesto que esta familia no cubre completamente el espacio de estados (ver 1.2), pero basta que contenga el m´ınimo absoluto para que el m´etodo funcione. Cuando nos restringimos a nuestras funciones de prueba hψ (b) |H| ψ (b)i E [ψ (b)] = =⇒ E [b] hψ (b) |ψ (b)i el funcional se reduce simplemente a una funci´ on de los par´ametros b.. 16. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(235) 1.3. M´etodo variacional. Figura 1.2.: Esquema de un espacio de Hilbert. 1.3.2.. M´ etodo variacional en un sistema de dos part´ıculas. Sea un sistema de dos part´ıculas de masas m1 , m2 cuyas posiciones en un sr fijo son r1 , r2 y cuyo hamiltoniano se escribe como H=. p21 p2 + 2 + V (|r1 − r2 |) 2m1 2m2. Se consigue una simplificaci´on notable del problema realizando el siguiente cambio de variables m1 r1 + m2 r2 m1 r1 + m2 r2 ˙ R= = −→ P = M R m1 + m2 M r = r2 − r1 −→ p = m˙r m1 m2 la masa reducida del sistema y M = m1 + m2 la masa total del siendo m = M sistema. Tras el cambio de coordenadas el hamiltoniano queda reducido a P2 p2 + + V (|r|) 2M 2m De esta forma hemos reducido un problema de dos part´ıculas en interacci´on en dos problemas de una s´ola part´ıcula. Una de ellas, con coordenada R, es una part´ıcula libre y otra cuya coordenada es r, cuyo m´odulo es el argumento del potencial V . En el sistema de referencia inercial asociado al CM se cumple que P = 0, con lo cual el hamiltoniano queda reducido a H=. H=. p2 + V (r) r = |r| 2m. Hasta ahora todo son cantidades cl´asicas. Para construir el operador asociado aplicamos las reglas de correspondencia de Schr¨ odinger p −→ p = −i~∇r r −→ r = r de forma que H −→ H = −. http://alqua.org/libredoc/IFC2. ~2 2 ∇ + V (r) 2m. 17.

(236) 1. Pre´ambulo te´orico. Substituyendo ∇2 =. 1 ∂2 L2 r − tenemos que 2 r ∂r ~2 r2 H=−. ~2 1 ∂ 2 L2 r + + V (r) 2m r ∂r2 2mr2. En FCI hab´ıamos resuelto el problema de autovalores correspondiente a este hamiltoniano y encontramos que los fdo de los estados ligados del espectro discreto son φnlm = φnlm (r, θ, ϕ) = Rnl (r) Yml (Ω) donde Rnl es la funci´on radial y los arm´onicos esf´ericos Yml que obtenemos son los autoestados del momento angular orbital y cumplen L2 Yml = ~2 l (l + 1) Yml Z. Lz Yml = ~mYml  0 ∗ dΩ Yml 0 Yml = δll0 δmm0. De los casos que hemos estudiado en FCI (´atomo de hidr´ogeno, oscilador tridimensional,...) parece deducirse que el estado fundamental siempre posee l = 0, y en consecuencia una fdo Rn0 (r) φn00 (r) = √ 4π 1 ya que Y00 = √ . 4π Dado que estamos interesados en buscar aproximaciones al estado fundamental, podemos proponer funciones de prueba que s´olo dependan de la coordenada radial, esto es φ = φ (r) , y entonces el funcional de la energ´ıa ser´a R E [φ] =. 1.3.3.. drφ∗ (r) Hφ (r) = R dr |φ (r)|2. R. dr ·. ~2 1 d 2 − r+V 2m r dr2 R dr · r2 |φ(r)|2. r2 φ∗ (r). .  φ (r). Aplicaci´ on del m´ etodo al ´ atomo de hidr´ ogeno. Apliquemos estas expresiones al ejemplo t´ıpico de sistema a dos cuerpos: el ´atomo de H1 . En este caso m=. me mπ ≈ me es la masa reducida me + mπ. V (r) = −. 18. e2 r. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(237) 1.3. M´etodo variacional. Conviene introducir la variable adimensional ρ =. ~2 r , a0 = ' 0.53A a0 me2. As´ı el funcional se escribe R. dρρ2 φ∗ (ρ). E [φ] =. ~2 1 d2 e2 1 − − 2 a0 ρ 2ma20 ρ dρ R 2 2 dρρ |φ(ρ)|. .  φ(ρ). Ahora bien ~2 1 me4 = = EI , 2 ~2 2ma20 y e2 me4 = 2 = 2EI a0 ~ con lo cual llegamos a la forma final del funcional   R 1 d2 2 2 ∗ φ(ρ) dρρ φ (ρ) 2 + ρ dρ ρ E [φ] = −EI R dρρ2 |φ(ρ)|2 Ya estamos en disposici´on de proponer una forma para las funciones de prueba para lo cual acudimos, como siempre, a argumentos f´ısicos. De los distintos ejemplos vistos en FCI parece deducirse que en el caso de potenciales que decaen a cero muy suavemente las fdo tienen la forma asint´otica φ(ρ) → e−bρ , ρ → ∞. Precisamente por ello es razonable proponer funciones de prueba que tengan la forma de un polinomio en ρ por la exponencial anterior. En el caso que nos ocupa investigaremos la funci´on m´as sencilla posible, que es la propia exponencial. φ (b, ρ) = e−bρ . Para obtener la funci´on de la energ´ıa E(b) debemos calcular primero las siguientes integrales Z. 2 −2bρ. dρ ρ e.  =. 1 2b. 3 Z 0. ∞. x2 e−x dx =. 1 Γ(3) = 3, 8b3 4b. donde hemos efectuado el cambio de variable x = 2bρ y los l´ımites de integraci´on son 0, antes como despu´es del cambio. Adem´as hemos tenido en cuenta que Γ (p) = R ∞ tanto dx xp−1 e−x = (p − 1)!. Por su parte la integral que aparece en el numerador es   Z Z n o 2 d2 b−2 2 −bρ −bρ dρρ e − 2ρ − e = dρ (2b − 2) ρe−2bρ − b2 ρ2 e−2bρ = . . . = , dρ ρ 4b2. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 19.

(238) 1. Pre´ambulo te´orico E 15 12.5 10 7.5 5 2.5 -2. 2. 4. b. Figura 1.3.: E [b]. donde se ha utilizado el mismo cambio de variable x = 2bρ. Finalmente llegamos a la siguiente expresi´on b−2 2 E [b] = EI 4b = (b2 − 2b)EI 1 4b3 Ahora s´olo tenemos que minimizar E[b] respecto a b. El u ´nico m´ınimo se obtiene para b = 1 y el valor de la funci´on en el mismo es E [1] = −EI ' −13.6eV . La fdo, que no est´a normalizada, es φEF = e−ρ . Como puede observarse los resultados obtenidos coinciden id´enticamente con los que se obtuvieron en FCI al resolver directamente la ecS. Ello es debido a que la familia de funciones propuestas contiene el verdadero estado fundamental. Es conveniente estudiar otras propiedades adem´as de la energ´ıa para valorar la exactitud del la soluci´on. Vamos a calcular, por ejemplo, el tama˜ no del ´atomo. Para estimarlo usaremos el radio cuadr´atico medio (la ra´ız cuadrada del valor medio del cuadrado de la distancia electr´on–n´ ucleo) p rqm = hr2 i , utilizando la fdo que hemos obtenido, es decir, φ(1, r): R R. 2 dρ ρ4 e−2ρ dr φ∗ r2 φ Γ(5) 2 R = a = 3a20 . r = R = a20 0 ∗ 2 −2ρ 4Γ(3) dr φ φ dρ ρ e As´ı el radio cuadr´atico medio vale rqm =. √. 3a0 .. En este caso la familia de funciones de prueba da lugar a un valor de la energ´ıa y del tama˜ no del ´atomo que son adecuados, pero podr´ıamos encontrar funciones de prueba que reproduciendo muy bien la energ´ıa proporcionen valores desastrosos para otras magnitudes. ρ que da lugar a una energ´ıa Utilizemos, por ejemplo, la siguiente fdo φ(b, ρ) = 2 ρ + b2 E [b] =. 20. π − 8b EI 2πb2. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(239) 1.4. Suma de momentos angulares. Figura 1.4.: La determinaci´ on completa del momento angular es accesible en la mec´anica cl´asica (izquierda) pero no en mec´anica cu´antica (derecha), donde s´olo el m´odulo y una componente del vector pueden ser conocidos simult´aneamente con m´axima exactitud.. π cuyo m´ınimo ocurre en b = lo que implica que nuestra predicci´on para la energ´ıa del 4 estado fundamental es 8 E = − 2 EI ≈ −0.81EI . π Este valor tiene un error del 20 %, lo que puede ser considerado aceptable en una primera aproximaci´on. Pero ahora viene la gran desilusi´on: si calculamos el rqm obtenemos Z ∞. 2 ρ4 2 r = a0 dρ = ∞. (b2 + ρ2 )2 0 Este resultado es debido a que la fdo no decae suficientemente deprisa cuando nos ale1 jamos del origen. De hecho φ(ρ) → ρ → ∞. ρ Podemos dar la siguiente moraleja: cuando utilizamos el m´etodo variacional, no basta con calcular la energ´ıa, sino que hay que estudiar otras cantidades.. 1.4.. Suma de momentos angulares. El momento angular de una part´ıcula en la mec´anica newtoniana es L=r∧p Es una funci´on de las magnitudes r y p al que podemos asociar el siguiente operador herm´ıtico L=r∧p y aunque r y p no conmutan se verifica que L = −p ∧ r Ejemplo Lz = rx py − ry px = − (px ry − py rx ) = − (p ∧ r)z De las propiedad de conmutaci´on de r y p se deduce que [Lx , Ly ] = i~Lz [Lz , Lx ] = i~Ly [Ly , Lz ] = i~Lx. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 21.

(240) 1. Pre´ambulo te´orico z Lz. L. Figura 1.5.: Representaci´on gr´afica de L y Lz para un sistema. A partir de estas relaciones deducimos que las componentes del momento angular no se pueden medir simult´aneamente. Sin embargo   Lα , L2 = 0, α = x, y, z   Probemos, por ejemplo, con Lx , L2       Lx , L2 = Lx , L2y + Lx , L2z = = [Lx , Ly ] Ly + Ly [Lx , Ly ]. + (y ←→ z). =. = i~ {Lz Ly + Ly Lz − Ly Lz − Lz Ly } = 0 En consecuencia, podemos medir simult´aneamente L2 y Lz ´o Ly ´o Lx . Habitualmente se escoge Lz . El problema de autovalores es en este caso L2 |lmi = ~2 l (l + 1) |lmi. Lz |lmi = ~m |lmi. lm|l0 m0 = δll0 δmm0. l ∈ {0, 1, 2, . . .} m ∈ {−l, −l + 1, . . . , 0, 1, . . . l} ∀l. En Mec´anica Cu´antica decimos que un estado posee buen momento angular si conocemos simult´aneamente su m´odulo y una de sus componentes. Esto es, si conocemos |L| y Lα . Las otras dos componentes no toman valores bien definidos. Todo ocurre como si el momento angular precediese alrededor del eje z definidendo un cono. Supongamos que el momento angular del sistema se puede descomponer como L = La + Lb Podemos intepretar que La,b son los momentos angulares de dos partes del sistema y admitiremos que pueden medirse simult´aneamente, es decir   Laα , Lbβ = 0. 22. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(241) 1.4. Suma de momentos angulares. Figura 1.6.: Suma de momentos angulares en mec´anica cu´antica. Denotar´e por |la ma lb mb i = |la ma i |lb mb i a los estados del sistema en los que est´a bien definido el m´odulo y la tercera componente del momento angular de cada parte L2a |la ma lb mb i = ~2 la (la + 1) |la ma lb mb i. Laz |la ma lb mb i = ~mb |la ma lb mb i. la ma lb mb |la0 m0a lb0 m0b = δla la0 δlb lb0 δma m0b δmb m0b. Ahora podemos interrogarnos sobre c´ ual es la informaci´on que realmente podemos obtener sobre el momento angular suma. En Mec´anica Cl´asica donde conocemos realmente los vectores La y Lb su suma tambi´en se encuentra bien definida. En Mec´anica Cu´antica las cosas son mucho m´as complicadas. Si pensamos en la imagen geom´etrica sencilla de los vectores precediendo, tendr´ıamos una situaci´on como la de la figura 1.6 en donde las u ´nicas constantes del movimiento son |La | , |Lb | , Laz , Lbz y. Lz = Laz + Lbz. Para investigar de una manera m´as formal este problema estudiemos algunos conmutadores. Se cumple que [Lx , Ly ] = i~Lz , . . .       Lz , L2 = Lx , L2 = Ly , L2 = 0  2 2   La , L = L2a , Lz = 0 (a −→ b) sin embargo   Laz , L2 = [Laz , La · Lb ] 6= 0 Demostremos alguna de las propiedades anteriores, por ejemplo X  2 2  2 2   La , L = La , La + L2b + 2La · Lb = 2 L2a , Lai Lbi = 0, i. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 23.

(242) 1. Pre´ambulo te´orico o por ejemplo,     2   La , Lz = L2a , Laz + Lbz = L2a , Laz = 0. De las expresiones anteriores se deduce, que en cualquier caso, el n´ umero m´aximo de operadores que conmutan entre s´ı es siempre igual a 4. Asociadas a cada uno de estos conjuntos de operadores tenemos las siguientes bases ortonormales {L2a Laz ↓ ↓ |la ma. L2b Lbz } | {L2a L2b L2 Lz } ↓ ↓ | ↓ ↓ ↓ ↓ lb mb > | |la lb l m >. Los elementos de una base son combinaciones lineales de los de la otra X |la ma lb mb i = Clm |la lb lmi lm. Teniendo en cuenta la ortonormalidad de ´ambas bases se puede escribir Clm = hla lb lm|la ma lb mb i , demostr´andose adem´as que las fases de estos estados se pueden elegir de manera que los coeficientes Clm sean reales, es decir Clm = hla lb lm|la ma lb mb i = hla ma lb mb |la lb lmi∗ = hla ma lb mb |la lb lmi La probabilidad de encontrar al efectuar una medida sobre el estado del primer miembro p un valor ~ l (l + 1) del momento total y un valor ~m para Lz es P (l, m) = |hla lb lm|la ma lb mb i|2 = |Clm |2 Precisamente para recordar que Clm es en realidad un solape entre los estados de las dos bases, se utiliza en el desarrollo anterior la notaci´on X |la ma lb mb i = hla ma lb mb |lmi |la lb lmi lm. Los coeficientes de la mezcla reciben el nombre de coeficientes de clebsch-gordan y se demuestra que son cero excepto quiz´a si l ∈ {|la − lb | , |la − lb | + 1, . . . , la + lb } m = ma + mb Por ello se suele escribir de forma explicita |la ma lb mb i =. lX a +lb. hla ma lb mb |lma + mb i |la lb lma + mb i. l=|la −lb |. La transformaci´on inversa viene dada por los mismos coeficientes, aunque ahora se suma sobre las variables ma , mb X |la lb lmi = hla ma lb mb |lmi |la ma , lb mb i ma ,mb. siendo m = ma + mb .. 24. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(243) 1.5. Energ´ıas en cm−1. cantidad ~c 1eV. cgs. sun 1. 1.973 × 10−5 cm. eV −1. sun 2 1 eV −1 2π. Cuadro 1.1.: En “sun 1” ~ = 1, c = 1 y eV es la unidad natural de energ´ıa . En “sun 2” (las que vamos a utilizar) h = 1 c = 1 y eV es la unidad natural de energ´ıa.. 1.5.. Energ´ıas en cm−1. Los f´ısicos experimentales utilizan en numerosas ocasiones un sistema de unidades en el que las energ´ıas vienen dadas en cm−1 . En esta secci´on buscaremos que relaci´on existe entre dicho sistema de unidades y el cgs. Recordemos que ~ = 1.0545 × 10−27 erg · s = 1.0545 × 10−34 J · s en el MKS = 6.582 × 10−16 eV · s en el MKS c = 2.9979 × 1010 cm · s−1 . −5 ~c  = 1.973 × 10 eV · cm = 1973eV · A ~c = [L] [E]. Vamos a expresar en distintos sistemas de unidades naturales (“un”, numerados uno y ~c (ver tabla 1.1). dos) la cantidad 1eV Tenemos, entonces, la siguiente equivalencia entre el cgs a la izquierda y un3 a la derecha 1 eV −1 , 2π 1 ≡ cm−1 , 2π × 1.973 × 10−5 ' 8066cm−1 .. 1.973 × 10−5 cm ≡ 1eV. Podemos hablar, por tanto, de 1eV o de 8066cm−1 seg´ un lo que nos resulte m´as comodo. En un experimento donde se miden las longitudes de onda de los fotones emitidos/absorbidos en transiciones entre estados puede parecer natural medir tambi´en las energ´ıas en cm−1 . En este sistema la energ´ıa de ionizaci´on del H vale EI ≈ 110000cm−1. 1.6.. Cantidades u ´tiles La constante de estructura fina α =. http://alqua.org/libredoc/IFC2. e2 1 = . ~c 137. 25.

(244) 1. Pre´ambulo te´orico (http://fig.alqua.org). Figura 1.7.: Estructura fina de los niveles n = 2 y n=3 del hidr´ogeno. La distancia energ´etica entre niveles est´a dada en cm−1 .. ~c = 1.973 × 10−5 eV · cm = 1973 eV · A  1 me4 1 2 e4 1 1 Energ´ıa de ionizaci´on EI = ≡ mc2 α2 = mc 2 2 = 2 2 ~ 2 ~ c 2 2 106 eV ' 13.6eV Radio de B¨ oHR a0 =. 1.7.. . 1 137. 2 0.5 ·. ~2 (~c)2 ~c 1 = = ' 0.53 A 2 2 2 me mc e mc2 α. Problemas y ejercicios. 1. [A] Considere una part´ıcula que efect´ ua un movimiento unidimensional sometida al siguiente potencial 1 V (x) = mω 2 x2 − qx 2 El primer t´ermino es un oscilador arm´onico, mientras que el segundo t´ermino representa la interacci´on de la part´ıcula (de carga q) con un campo el´ectrico estacionario y homog´eneo . Obtenga valores aproximados de la energ´ıa hasta orden (qε)2 . 2. [A] Obtenga la energ´ıa del estado fundamental del hidr´ogeno suponiendo que el n´ ucleo es una peque˜ na esfera de radio r0 uniformemente cargada. 3. [A] Aplique el m´etodo variacional para obtener la energ´ıa y la funci´on de onda del estado fundamental de un oscilador arm´onico. 4. [A] Deduzca la energ´ıa y la funci´on de onda del primer estado excitado del oscilador, utilizando el m´etodo variacional. 5. [A] Obtenga una aproximaci´on al estado fundamental del oscilador utilizando la siguiente familia de funciones de prueba. Ψ(b, x) =. 26. x2. 1 +b. Introducci´on a la f´ısica cu´antica - 1.1.0.

(245) 1.7. Problemas y ejercicios 6. [A] Un sistema se encuentra formado por dos part´ıculas que poseen momento angular bien definido y caracterizado por los n´ umeros cu´anticos l1 = 1 m1 = 0 l2 = 1 m2 = 0 a) Deduzca los posibles valores de L asociado al momento angular total b) Escriba el estado anterior como una combinaci´on lineal de estados con buen momento angular. 7. [A] Un sistema se encuentra formado por dos part´ıculas con momentos angulares La y Lb . Si definimos el momento angular total del sistema como L = La + Lb , obtenga los conmutadores siguientes: a) [Lx , Ly ] = i~Lz   b) Lz , L2 = 0   c) L2a , L2 = 0   d ) L2a , Lz = 0   e) Laz , L2 = Lay Lbx − Lax Lby. Algunas soluciones Ejercicio 1 (perturbaci´ on de un oscilador arm´ onico mediante un campo el´ ectrico) Vamos a afrontar el problema primero utilizando la teor´ıa de perturbaciones y despu´es aplicando un desarrollo en serie para dar una soluci´on exacta. M´ etodo perturbativo. Las correcciones a la energ´ıa a orden uno y a orden dos son sendas integrales. Para aprovechar las condiciones de ortonormalidad sobre las funciones de onda del oscilador arm´onico, vamos a utilizar los operadores A y A+ , intentando expresar el operador X en funci´on de ellos. Para ello, recordemos la expresi´on de A y A+ en t´erminos de operadores conocidos 1 A = (2~mω) 2 (mωX + iP) 1 − + A = (2~mω) 2 (mωX − iP) −. de donde, resolviendo el sistema para X  X =. http://alqua.org/libredoc/IFC2. 1 ~ 2 A + A+  2mω. 27.

(246) 1. Pre´ambulo te´orico S´olo queda calcular las correcciones. La primera es D E (0) E (1) = φ(0) |−qεX | φ n n 1 D E ~ 2 φ(0)

(247)

(248) A + A+

(249)

(250) φ(0) = −qε n n 2mω D E D E

(251)

(252) (0) (0)

(253) +

(254) (0) = cte × φ(0) |A| φ + φ A φ n n n n . Las dos integrales se anulan, porque sabemos que √

(255)

(256) (0) E A |φn i = n

(257) φn−1

(258) E √

(259) (0) A+ |φn i = n + 1

(260) φn+1 R (0) (0) y φi φj dq = δij si las autofunciones del oscilador arm´onico est´an convenientemente normalizadas. Por tanto E (1) = 0. Tendremos que a˜ nadir m´as t´erminos al desarrollo. La segunda correcci´on a la energ´ıa supone m´as engorro pero ning´ un principio nuevo

(261) D E

(262)

(263) (0) (0)

(264) 2 X

(265) φj |−qεX | φn

(266) E (2) = (0) (0) En − Ej n6=j

(267) D E

(268) 2

(269) (0) + | φ(0)

(270) 2 X

(271) φ |A + A

(272) n j ~ (qε) = (0) (0) 2mω En − E n=j±1. j. para n = j − 1 s´olo es no nula la integral con A+ como operador, y para n = j + 1 la que tiene a A como operador. 

(273) D

(274) D E

(275) E

(276)

(277) (0)

(278) (0) (0)

(279) 2 (0)

(280) 2 2 φ |A| φ φ |A| φ

(281) j j+1

(282) j−1

(283)  ~ (qε) 

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