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(1)

A

PUNTES DE

M

ATEMÁTICAS

4

º

ESO

1º Trimestre

(2)

Tema 1: Vectores en el Plano …..………1

Ejercicios Tema 1

………9

Tema 2: Dependencia Lineal ………….………..7

Ejercicios Tema 2 .

………20

Tema 3: El Plano Afín ………...…...22

Ejercicios Tema 3

……….….26

Tema 4: La Recta ………..………28

Ejercicios Tema 4

……….….43

Tema 5: La Ecuación de La Circunferencia .….………49

Tema 6: La Elipse ……….………..………...54

Tema 7: Sucesiones……….………..57

Ejercicios Tema 7

………...……….…….….68

Tema 8: Progresiones.……….………..57

Ejercicios Tema 8

………...……….…….….82

Anexo I: Problemas de lógica matemática ……….86

(3)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 1: Vectores en el Plano

TEMA 1: VECTORES EN EL PLANO

1.1 Vectores Fijos

Dos puntos distintos A y B determinan una recta que llamaremos la recta r.

También determinan el segmento AB o BA. Si el segmento AB se considera

recorrido de A hacia B, se dice que es el vector fijo de origen el punto A y de

extremo el punto B y se escribe: AB

Dos puntos A y B determinan un solo segmento AB=BA, y dos vectores fijos:

AB y BA.

Un vector fijo, se dice que es un vector fijo nulo cuando su origen y su extremo

coinciden: AA, BB yCC son vectores fijos nulos.

1.2 Características de un vector fijo

Los tres elementos característicos de un vector fijo de origen A son: Módulo,

dirección y sentido.

El módulo de un vector fijo AB es la longitud del segmento AB.

Para expresar que el vector AB tiene de módulo 3cm, se escribe: AB =3cm.

El vector nulo AA tiene módulo cero: AA=0.

Se llama dirección de un vector fijo AB a la determinada por la recta que pasa

por los puntos A y B.

Todas las rectas paralelas tienen la misma dirección.

Para expresar que los vectores AB y CD tienen la misma dirección, se

escribe: AB||CD

(4)

1.3 Vectores opuestos

Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos: AB y BA que se llaman

vectores fijos opuestos. Es evidente que dos vectores fijos opuestos tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios.

1.4 Vectores equipolentes

Dos vectores fijos AB y CD se dice que son equipolentes si los dos son nulos o

si los dos tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido, independientemente de los puntos de origen y extremo de los mismos.

B D

A C

ABCD o AB=CD

En el ejemplo, AB y CD son equipolentes o equivalentes, en consecuencia,

son el mismo vector.

Se llama vector libre a cada vector fijo junto con todos sus equipolentes, el

vector fijo AB y todos sus equipolentes forman un vector libre.

El vector libre formado por todos los vectores nulos se llama vector libre

nulo.

El módulo, dirección y sentido de un vector libre es el módulo, dirección y sentido de cualquiera de sus representantes.

1.5 Componentes de un vector fijo

(5)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 1: Vectores en el Plano

y2 B

y1 A

x1 x2

La diferencia x2 – x1 entre las abcisas de A y B se llama Primera Componente

del vector AB y la diferencia y2 – y1 es la Segunda Componente de AB.

1.6 Componentes de un vector libre

(6)

1.8 Ejercicios resueltos

a)

Dados los puntos A = (1, 3) y B = (3, 7) , hallar las componentes de los

vectores opuestos: AB y BA y las componentes de los vectores nulos AA y

BB.

Solución: AB = (3 – 1, 7 – 3) = (2, 4) BA = (1 – 3, 3 – 7) = (-2, -4) AA = (1 – 1, 3 – 3) = (0, 0) BB = (3 – 3, 7 – 7) = (0, 0)

b)

Del vector PQ de componentes (5, -2) se conoce el extremo Q = (12, -3).

Hallar las coordenadas de P.

Solución: PQ = (12 – x, -3 – y) = (5, -2) , 12 – x = 5

-3 – y = -2

Por tanto: x = 7, y = -1 y P = (7, -1)

c)

Se llama resultado de aplicar un vector a un punto al extremo del vector que

resulta de sumar las componentes del vector a las coordenadas del punto.

Aplicar el vector x= (2, 3) a los puntos A = (1, 4), B = (3, 0) y O = (0, 0)

Solución: A = (1, 4) (1+2, 4+3) = (3, 7) = A´ B = (3, 0) (3+2, 0+3) = (5, 3) = B´ O = (0, 0) (0+2, 0+3) = (2, 3) = O´

Los vectores fijos: AA', OO' y BB son equipolentes e iguales a x. OO' sería el

representante canónico del vector libre x.

(7)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 1: Vectores en el Plano

Solución: Los vectores MA y MA' han de ser opuestos

MA= (4 – 2, -2 – 6) = (2, -8)

'

MA= (x – 2, y – 6)

Se deberá cumplir que: ( x – 2, y – 6 ) = ( -2, 8 ) x – 2 = -2 , x = 0 y – 6 = 8 , y = 14 Luego el punto simétrico de A es A’=(0, 14)

A’ (x, y)

--

M (2, 6)

(8)

1.8 Suma de vectores libres

La suma de los vectores libres: a y b se define de la siguiente manera:

Partiendo de un punto A cualquiera del plano, se traza un representante AB

del vector libre a y, con origen en B, se traza un representante BC del vector

libre b. El vector suma a+b es el que tiene por origen A y por extremo C. Esta forma de definir el vector suma se llama regla del paralelogramo.

A

a+b b

B a C

1.9 Componentes del vector suma

Vamos a sumar los vectores libres a = (2, 4) y b = (6, 2). Puesto que la suma de vectores no depende del origen elegido, tomaremos como tal el origen de coordenadas:

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes

b

a+ = (2, 4) + (6, 2) =

(9)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 1: Vectores en el Plano

1.10 Propiedades de la suma de vectores

a) La suma de vectores es una operación interna. ( LCI )

b) Se cumple la propiedad asociativa

c) El elemento neutro es el vector (0, 0)

d) Todo vector tiene su opuesto

e) Se cumple la propiedad conmutativa

Por consiguiente el conjunto de los vectores libres con la operación suma tiene estructura de Grupo Abeliano.

1.11 Diferencia de dos vectores

Se llama vector diferencia de los vectores libres a y b al vector que resulta de sumar al primero el opuesto del segundo:

d b a b

a− = + (− )=

1.12 Ejercicios

a)

Demuestra geométricamente la propiedad asociativa de la suma de

vectores.

b)

Dados los vectores a = ( 3, -1) y b = (4, 2), hallar ab, ba y

a

b− . Efectuar la representación gráfica.

c)

En el paralelogramo OABC, averiguar el vector que resulta de cada una

de las operaciones siguientes:

1.

OA+OC

2.

OA+AB

3.

OCOA

(10)

1.13 Producto de un número real por un vector

Se llama producto de un número real k por un vector a , y se designa por

a

k⋅ , o bien ka , al vector libre que verifica estas tres condiciones:

1. La dirección del vector k a es la misma que la del vector a.

2. El sentido del vector k a es el mismo que el del vector a si k > o, y es el contrario si k < 0.

3. El módulo del vector ka es igual al producto del valor absoluto de k por

el módulo del vector a: ka=ka

Si el vector a = (a1, a2), entonces: ka = k(a1, a2) = (ka1, ka2)

1.14 Propiedades del producto de números reales por vectores

1. Distributiva respecto a la suma de vectores:

( )

a b k a k b k⋅ + = ⋅ + ⋅

2. Distributiva respecto de la suma de escalares:

(

k+m

)

a=ka+ma

3. Asociativa mixta:

( )

kma=k

( )

ma

4. El elemento neutro del producto de escalares lo es también del producto

por cualquier vector:

a a=

1

Recordemos que la suma de vectores libres forma un Grupo Abeliano o

Conmutativo. Además, el producto de escalares por vectores libres tiene las 4

(11)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 1: Vectores en el Plano

EJERCICIOS DE VECTORES EN EL PLANO

Ejercicio 1:

Cuestionario:

a) Sí dos vectores fijos no tienen el mismo sentido entonces tienen sentidos

contrarios.

b) Un vector libre es un conjunto de infinitos vectores fijos cualesquiera.

c) Los vectores fijos nulos son equipolentes.

d) Todos los vectores fijos equipolentes entre si tienen iguales sus

componentes.

e) Las componentes de un vector libre coinciden con las coordenadas del

extremo de su representante con origen en el origen de coordenadas.

f) La suma de dos vectores libres no depende del origen elegido ni del

orden de los sumandos.

g) El vector nulo es el elemento neutro de la suma y de la diferencia de

vectores libres.

h) Al multiplicar un vector libre por un número real se obtiene otro vector

de igual dirección y sentido que el primero.

Ejercicio 2:

Dado el cuadrado ABCD, ¿ cuantos vectores libres determinan los vértices?

Ejercicio 3:

(12)

Ejercicio 4:

Averiguar si los vectores AB y CD son equipolentes.

Punto Coordenadas

A (2,-3)

B (6, -1)

C (5, 1)

D (9, 3)

Ejercicio 5:

Averiguar si el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A = (1, 2) , B = (6, 4) , C = (13, 5) y D = (8, 3) es un paralelogramo.

Ejercico 6:

Aplicar el vector libre a =(2, -3) a los puntos A = (2, 5), B = (3, 4), C = (-1, 1) Si A´, B´ y C´ son los puntos transformados de A, B y C , respectivamente,

calcular las componentes de los vectores: AA', BB' y CC'. ¿Como son estos

vectores?

Ejercicio 7:

Dado el triángulo de vértices: A = (4, 2) , B = (-2, 4) y C = (-2, -2), se pide

representarlo y hallar las componentes de los vectores:PQ, QR y RP, siendo

P, Q y R los puntos medios de los lados AB , BC y CA, respectivamente.

Ejercicio 8:

Dados los vectores : a = (2, -1) , b = (3, -2) , c = (-1, 4) , calcular:

a) a+b

b) ab

(13)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 1: Vectores en el Plano d) a+b+c

e) a+bc

f) abc

g) 2a+2bc

Ejercicio 9:

Representar los vectores a+b y ab del ejercicio anterior mediante

representantes que tengan su origen en el origen de coordenadas.

Ejercicio 10:

Hallar el simétrico del punto A = (6, -2) respecto del punto M = (-8, 4).

Ejercicio 11:

Dibujar en un sistema de coordenadas cartesianas representantes de los

vectores libres a = (6, -2) y b = (2, 4), con origen en (0, 0), y obtener

gráficamente la suma. Comprobar que las componentes del vector suma coinciden con las obtenidas analíticamente.

Ejercicio 12:

Representar la suma de a = (3, 1) y b = (6, 2). Comprobar que en este caso

no es aplicable la regla del paralelogramo.

Ejercicio 13:

Teniendo en cuenta que AB+BC= AC, calcular: AB+BC+CA

B

(14)

Ejercicio 14:

Teniendo en cuenta que AB+BC +CD+DE=AC+CD+DE=AD+DE=AE,

calcular: AB+BC+CD+DE+EA

C B

D

A E

Ejercicio 15:

Dados los puntos A = (5, 8) ,B = (12, 5) y O = (0, 0), se pide:

a) Hallar la suma OA +OB y hacer la representación gráfica.

b) Hallar OBOA y hacer la representación gráfica.

c) Hallar el módulo del vector OB

Ejercicio 16:

Dados los vectores a = (-2, 1) y b = (3, 4), representa gráficamente con

vectores de origen O = (0, 0) los vectores: 4a,2b y −2b

Ejercicio 17:

Sustituir a y b por números de modo que resulten ciertas las siguientes igualdades, a la vista de la figura:

(15)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 1: Vectores en el Plano

Ejercicio 18:

De los elementos característicos de un vector libre: módulo, dirección y sentido, hay uno que no cambia nunca al multiplicar el vector por un número no nulo cualquiera. ¿Cuál es?

Ejercicio 19:

¿Por qué número se ha de multiplicar el vector a para obtener otro vector b

diferente y de igual módulo? A

B C

(16)

TEMA 2: DEPENDENCIA LINEAL

2.1 Combinaciones lineales

Consideremos los vectores libres v1, v2 y v3 de la figura. Con ellos se ha

operado de la siguiente manera:

1) Se han sumado los vectores 3v1 y 2v2 .

2) Al vector resultante se le ha sumado el vector −2v3.

Así ha resultado otro vector libre del plano: x=3v1+2v2−2v3.

El vector se dice que es una combinación lineal de los vectores v1, v2 y v3.

Los números 3, 2 y – 2 se llaman coeficientes de la combinación lineal.

1 v

v2 3v1

v3 x

2v2

−2v3

En general:

Si consideremos ahora n vectores libres del plano: v1,v2,v3,...vn y sean n

(17)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 2: Dependencia Lineal Se llama combinación lineal de los vectores v1,v2,v3,...vn a cada uno de los

vectores de la forma v=a1v1+a2v2+a3v3 +...+anvn.

Se dice también que el vector v depende linealmente de v1,v2,v3,...vn .

Es fácil comprobar que el vector nulo es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores, basta con que sean ceros todos los coeficientes de la combinación lineal.

2.2 Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector nulo, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Es decir: v1,v2,v3,...vn son linealmente dependientes si y solo si, existen ciertos

números reales a1,a2,a3,...an tales que a1v1+a2v2+a3v3 +...+anvn =0,

siendo alguno de los a1,a2,a3,...an distinto de cero.

2.3 Propiedades

a) Si varios vectores libres son linealmente dependientes, entonces uno al menos de los vectores depende linealmente de los demás y recíprocamente.

Demostración: Supongamos que v1,v2 y v3 son linealmente dependientes.

Entonces, en la relación: a1v1+a2v2+a3v3 =0, algún ai≠ 0.

Si a1≠0: 3

1 3 2 1 2

1 v

a a v a a

v =− ⋅ − ⋅

Esta igualdad expresa que el vector v1 depende linealmente de v2 y v3.

(18)

3 3 2 2

1 s v s v

v = + y entonces: −1⋅v1+s2v2+s3v3=0 con el coeficiente -1 de

1

v distinto de cero y por tanto, v1, v2 y v3 son linealmente dependientes.

b) Dos vectores del plano a y b son linealmente dependientes si y

solo si, son paralelos.

Demostración: Si a y b son paralelos, ha de ocurrir uno de estos dos casos:

• que tengan el mismo sentido

a b b=ma

• que tengan distinto sentido

a b b=−ma

En cualquiera de los dos casos b depende linealmente de a, y en

consecuencia son linealmente dependientes.

Para la demostración reciproca, si a y b son linealmente dependientes,

uno de ellos depende linealmente del otro:

a k

b= ⋅ , para algún número real k

Y teniendo en cuenta la definición de producto de un vector por un

escalar, la relación anterior indica que a y b son paralelos.

c) Si dos vectores libres no nulos del plano a

(

a1,a2

)

y b

(

b1,b2

)

son

linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales y recíprocamente.

Demostración: Si a y b son linealmente dependientes: b=ka

(19)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 2: Dependencia Lineal

Es decir

(

b1,b2

) (

=k a1,a2

)

. Por consiguiente: b1=ka1 y b2=ka2, de

donde: k

a b a b

= =

2 2

1 1

2.3 Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres se dice que son linealmente independientes si no son linealmente dependientes.

Para dos vectores libres v1 y v2 , el ser linealmente independientes significa

que la relación a1v1+a2v2=0 sólo es posible si a1 y a2 son cero.

En el apartado anterior se demostró que dos vectores paralelos son linealmente dependientes y ahora vamos a ver que dos vectores no nulos del plano a y b de distinta dirección son linealmente independientes.

Para demostrarlo hay que ver que en la relación: sa+pb=0 los números s y p tienen que ser cero.

En efecto si s fuera distinto de cero, entonces seria b

s p

a=− y en este caso a

y b serian paralelos, en contra de lo que hemos supuesto.

Ejemplos:

1. Un vector libre no nulo es linealmente independiente, pues si v≠0,

0

= ⋅v

k sólo es posible si k =0.

2. Los vectores u=

( )

3,2 y v=

( )

6,4 son linealmente dependientes porque se

cumple que: 2uv=0 siendo como vemos los coeficientes 2 y -1

(20)

3. Los vectores x=

( )

3,1 e y=

( )

2,3 son linealmente independientes, porque

para que se cumpla ax+by=0, es decir: a

( )

3,1 +b

( ) ( )

2,3 = 0,0 , ha de

ser

⎩ ⎨ ⎧

= +

= +

0 3

0 2 3

b a

b a

Sistema que resuelto da como única solución: a = 0 y b = 0.

2.5 Bases y coordenadas

Cualquier vector libre del plano se puede representar como combinación lineal de dos vectores libres de distinta dirección:

x

u1

u2 x=x1u1+x2u2 [1]

Si se verifica que:

a) u1 y u2 son linealmente independientes.

b) Todo vector x del plano se puede expresar de forma única como

combinación lineal de u1 y u2, es decir: x=x1u1+x2u2 .

Por cumplir estas dos condiciones, se dice que los vectores u1 y u2 forman una base de los vectores libres del plano (plano vectorial). Todas las bases del plano vectorial tienen dos vectores; por eso se dice que los vectores libres del plano forman un espacio vectorial de dimensión 2.

Los números x1 y x2 son los coeficientes de la combinación lineal [1]

Ejemplo importante:

(21)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 2: Dependencia Lineal

Ejercicio resuelto

Dados los vectores libres a = (2, 1), b = (1, 4) y c = (5, 6), probar que a y

b son linealmente independientes y expresar el vector c como combinación

lineal de a y b. ¿Forman a y b una base?, ¿cuáles son las coordenadas de c en esta base?

Solución:

( ) ( ) ( )

2,1 +n 1,4 = 0,0

m ,

⎭ ⎬ ⎫ = + = + 0 4 0 2 n m n m m n=−2

(

)

⎭ ⎬ ⎫ = − = − ⋅ + → 0 7 0 2 4 m m m 0 0 = = → n m

luego a y b son linealmente independientes.

Para expresar c como combinación lineal de a y b ponemos: x1a+x2b=c

( )

( ) ( )

⎩ ⎨ ⎧ = + = + → = ⋅ + ⋅ 6 4 5 2 6 , 5 4 , 1 1 , 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x

Resolviendo el sistema resulta: x1=2 y x2=1.

Por consiguiente: c=2a+b

(22)

EJERCICIOS DE DEPENDENCIA LINEAL

Ejercicio 1:

Verdadero o Falso:

a) Dos vectores de distinta dirección pueden tener las componentes

proporcionales.

b) Es imposible encontrar tres vectores del plano que sean linealmente

independientes.

c) Dos vectores linealmente independientes del plano vectorial forman

siempre una base.

d) Un mismo vector, expresado en distintas bases, tiene distintas

coordenadas.

e) Dos vectores no nulos cualesquiera forman una base del plano

vectorial.

Ejercicio 2:

Expresar el vector a = (3, - 2) como combinación lineal de los vectores b=

(2, 1) y c= (-4, 3).

Ejercicio 3:

Indicar si los siguientes vectores libres del plano, dados por sus componentes son linealmente dependientes o independientes.

a) u = (3, 5) y v = (2, 7)

b) x = (2, -3) e y= (-4, 6)

c) a= (1/2, -2/3) y b= (3/2, -2)

Ejercicio 4:

Averiguar si los vectores u = (2, -3) , v = (4, 5) y w= (-1, 2) son o no

(23)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 2: Dependencia Lineal

Ejercicio 5:

Hallar el vector (x1, x2) que cumple:

a) 2(2, 3) + 5(x1, x2) = (-1, -4)

b) -(x1, x2) - 2(3, -1) = (-1, 0) Ejercicio 6:

Demostrar que los vectores (-2, 1) y (1, 3) son linealmente independientes.

Ejercicio 7:

Demostrar que los vectores (-2, 3) y (6, -9) son linealmente dependientes.

Ejercicio 8:

Ver si los siguientes vectores forman o no una base: a) (-2, 0) y (0, 2)

(24)

TEMA 3: EL PLANO AFÍN

3.1 Sistema de referencia. Coordenadas de un punto

Sabemos que dos puntos A y B, en este orden, determinan un único vector

libre: a=AB

Por otra parte si a es un vector libre y A es un punto fijo, existe un único punto

B del plano tal que: AB=a

Estas dos condiciones relacionan los vectores libres y los puntos del plano, que llamaremos plano afín.

Un sistema de referencia en el plano afín esta formado por un punto O, que se llama origen del sistema, y por dos vectores no paralelos que constituyen la base del sistema.

Sistema de referencia afín:

( )

O,u,v

3.2 Coordenadas de un vector libre

Dados dos puntos A y B del plano puede expresar el vector libre de

representante AB como diferencia de los vectores de posición de A y de B.

Sí A = (a1, a2) y B = (b1, b2), entonces:

AB = OB - OA = (b1, b2) - (a1, a2) = (b1 - a1, b2 - a2)

Es decir:

A

(25)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 3: El Plano Afín

Las coordenadas del vector AB se obtienen restando las coordenadas

del origen A de las del extremo B.

Ejemplo:

Si las coordenadas de un vector AB son (-2, 1) y las coordenadas del punto A

son (3, -2), podemos calcular las coordenadas del punto B de la siguiente

forma: 1 1 2 1 3 2 − = = → ⎭ ⎬ ⎫ + = − = − y x y x

3.3 Coordenadas del punto medio de un segmento

Dos puntos A (x1, y1), B (x2, y2) determinan el segmento AB. Si M (x, y) es el

punto medio de AB, se verifica la siguiente relación vectorial:

AM AB

2 1

= (x – x1, y – y1) =

2 1

(x2 – x1, y2 – y1)

Es decir: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 x x x x x x x x x x

x− = − ⇒ − = − ⇒ = +

2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 y y y y y y y y y y

y− = − ⇒ − = − ⇒ = +

Estas son las coordenadas del punto medio de un segmento en función de las coordenadas de los extremos.

Ejemplo:

Si B es el punto de coordenadas (3, -1), veamos cuales tienen que ser las

coordenadas (x1, y1) del extremo A para que el punto medio M del segmento

(26)

1 2

3

2= 1+ → 1=

x x

, 3

2 1

1= 1− → 1=

y y

3.4 División de un segmento

Supongamos que conocemos las coordenadas de los extremos A y B de un

segmento AB y deseamos encontrar las coordenadas de un punto M que divide

al segmento AB en otros dos, AM y MB, que están en una razón dada.

Las coordenadas de los extremos del segmento AB son A=(2, -1) y B=(8, -4).

Ejercicio: Hallar las coordenadas de otro punto C que divide al segmento AB en dos partes tales que AC es la mitad de CB.

Solución:

CB AC

2 1

= , o bien CB=2AC

(8–xc, -4 – yc) = 2(xc – 2, yc + 1)

8 – xc = 2 xc – 4 3xc = 12 xc = 4

-4 – yc = 2yc + 2 3yc = -6 yc = -2

3.5 Coordenadas del baricentro de un triángulo

Se llama baricentro de un triángulo al punto de intersección de las medianas.

El baricentro tiene la propiedad de estar a 2/3 del vértice y a 1/3 del lado

opuesto. A

B C N

P

(27)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 3: El Plano Afín

GP CG GN BG GM

AG=2 , =2 , =2

OBSERVACION:

Ortocentro: Punto de intersección de las alturas.

Incentro: Punto de intersección de las bisectrices, es el centro de la circunferencia inscrita.

Circuncentro: Punto de intersección de las mediatrices, es el centro de la

circunferencia circunscrita.

Ejemplo:

Vamos a expresar el vector de posición del Baricentro en función de los vectores de posición de los vértices:

( )

3 2 3

1 3

1 m a

m a m MA m

MG m

g = + = + = + − = + , y como

2

c b

m= + :

3

c b a g= + +

Y las coordenadas del baricentro en función de las coordenadas de los vértices:

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎛ + + + +

=

3 , 3

(28)

EJERCICIOS DEL PLANO AFIN

Ejercicio 1:

Siendo O un punto cualquiera del plano, decir si las siguientes ternas forman un sistema de referencia del plano afín:

a)

( )

O;u,v , con u = (1, -2), v = (-2, 4)

b)

( )

O;u,v , con u = (2, 0), v = (0, 2)

c)

( )

O;u,v , con u = (1, 0) , v = (0 , -1)

Ejercicio 2:

En un cierto sistema de referencia

( )

O;u,v , el vector a = (-3,1) tiene origen en (2, 0). ¿Cuál es su extremo?

Ejercicio 3:

Dados los puntos: A = (0, 2) , B = (-1, 3) , C = (2, -5) , D = (-2, -2)

Hallar las coordenadas de los vectores: AB,CB,CD,DA.

Ejercicio 4:

Sabiendo que M = (2, -1), P = (3, 5) y Q = (-3, 2) son los puntos medios de los lados del triángulo ABC, hallar las coordenadas de los vértices.

Ejercicio 5:

Hallar las coordenadas de los puntos M1 y M2 tales que situados sobre el

segmento de extremos A = (0, 1) y B = (4, -3) dividan a este en tres partes iguales.

Ejercicio 6:

(29)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 3: El Plano Afín

Ejercicio 7:

En el triángulo ABC, el baricentro es G = (-2, -2). El punto medio del lado AB es M = (3, 4) y el punto medio del lado AC es N = (-1, 3). Hallar los vértices del triángulo.

Ejercicio 8:

Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A = (2, -1) , B = (4, 3) y C = (0, 1) . Hallar el baricentro de este triángulo.

(30)

TEMA 4: LA RECTA

4.1 Ecuación vectorial de la recta

Una recta queda determinada por un punto A y un vector libre v no nulo

paralelo a ella que se llama vector de dirección de la recta.

Vamos a obtener la relación vectorial que caracteriza a todos los puntos de la recta r.

Si X = (x, y) es un punto cualquiera de la recta r, el vector AX tiene la

dirección de v y en consecuencia son linealmente dependientes, es decir son

proporcionales, luego:

AX=tv,t∈ℜ

Según la figura: OX=OA+AX es decir OX=OA+tvOX

Si a es el vector de posición del punto A y x es el vector de posición del

punto X:

x=a+tv que es la ecuación vectorial de la recta r.

Ejemplo:

La ecuación de la recta r que pasa por el punto (2, -1) y tiene por vector v = (1, 3) es:

(x, y) = (2, -1) + t (1, 3)

x y

r

A v X = ( x , y )

(31)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta

4.2 Ecuaciones Paramétricas y en forma continua de una recta

De la ecuación vectorial de la recta r:

(x, y) = (x1, y1) + t (v1,v2)

(x, y) = (x1+ tv1, y1 + tv2)

es decir: x = x1 + t v1

y = y1 + t v2

que son las ecuaciones paramétricas de la recta. El escalar t ∈ℜ se llama

parámetro, y para cada valor de t se obtiene un punto distinto de la recta.

Ejemplo:

Calculemos las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A

= (2, -3) y tiene por vector de dirección al vector MN, siendo M = (0, 5) y N = (-1, 3).

Las componentes MN son: (-1 – 0, 3 – 5) = (-1, -2) , por lo que las ecuaciones paramétricas de la recta serán:

x = 2 – t y = -3 – 2 t

4.3 Ecuación en forma continua de una recta

En las ecuaciones paramétricas de la recta se puede eliminar el parámetro t despejando en cada una de ellas e igualando las expresiones resultantes:

2 1

1 1

v y y v

x

x

= −

que es la ecuación de la recta en forma continua.

Para expresar esta ecuación solo necesitamos conocer un punto que dé

la recta A = (x1, y1) y un vector paralelo a ella v = (v1, v2).

(32)

La ecuación en forma continua de la recta que pasa por el punto (3, 5) y tiene por vector de dirección (-2, 3) es:

3 5 2

3 −

= −

y

x

4.4 Ecuación general de una recta

De la ecuación en forma continua de la recta:

2 1

1 1

v y y v

x

x

= −

, con v1≠0 y v2≠0

se obtienen las siguientes expresiones:

v2(x – x1) = v1(y – y1) v2x - v2x1 = v1y - v1y1

v2 x - v1 y + v1 y1 - v2 x1

en la que llamando: A = v2 , B = - v1 y C = v1 y1 - v2x1 , resulta:

que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta.

La única condición restrictiva es A y B no pueden ser cero al mismo tiempo ya que el vector (0, 0) no define ninguna dirección.

En todos los casos el vector de dirección de la recta vendrá dado por:

(

v v

) (

B A

)

v= 1, 2 = − ,

Ejemplo:

Dada la ecuación de la recta en forma general: 2x – 3y + 5 = 0, vamos a escribirla en las formas: vectorial, paramétrica y continua:

El vector de dirección será: v = (3, 2)

(33)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta Necesitamos encontrar ahora un punto que pertenezca a la recta : si a x le damos el valor 2 obtenemos para y el valor 3, luego el punto A = (2, 3) pertenece a la recta y por tanto la ecuación vectorial será:

( x, y ) = ( 2 , 3 ) + t ( 3 , 2 ) , t∈ℜ

Las ecuaciones paramétricas:

⎭ ⎬ ⎫ + = + = t y t x 2 3 3 2

Y la ecuación continua:

2 3 3

2 =

y

x

Ejemplo:

Determina la ecuación general de una recta sabiendo que esta determinada por el punto A = (2, 5) y por el vector de componentes (-1, 2).

La ecuación vectorial será: (x, y) = (2, 5) + t(-1, 2)

Las ecuaciones . Paramétricas:

⎩ ⎨ ⎧ + = − = t y t x 2 5 2

La ecuación continua:

2 5 1

2 =

y

x

Operando:

(34)

4.5 Recta que pasa por dos puntos. Pendiente de una recta

Sean dos puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) de una recta r.

Entonces AB es un vector de dirección de la recta:

v = AB = (v1, v2) = (x2 – x1, y2 – y1)

Y sustituyendo estas componentes en la ecuación continua de la recta, resulta:

1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x − − = − −

que es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos: A = (1, 3) y B = (2, -5).

(35)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta Se define la pendiente de una recta como el cociente de la segunda componente de un vector de dirección de la recta entre la primera, siendo esta última distinta de cero. Se denota con la letra m:

,

1 2 v v

m= con v1≠0.

Si v1 = 0, la recta es paralela al eje OY y no tiene pendiente.

Si la recta viene dada por su ecuación general: Ax + By + C = 0, entonces un vector de dirección es (-B, A) y por tanto su pendiente es:

B A m=−

La pendiente de una recta no depende del vector de dirección elegido para su

determinación, sino que tiene siempre un valor constante.

4.6 Ecuación punto-pendiente de una recta

De la forma continua de la ecuación de una recta:

2 1 1 1 v y y v x x − = −

, se obtiene:

(

1

)

1 2

1 x x

v v y

y− = − y como m

v v

=

1

2 , resulta:

y – y1 = m (x – x1 )

Que es la ecuación punto pendiente de la recta.

Así pues una recta queda determinada cuando se conocen un punto de ella y su pendiente.

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y tiene pendiente 1/3.

(36)

3y – 15 = x – 2, luego x – 3y + 13 = 0

4.7 Ecuación explícita de la recta

Despejando y en la ecuación punto-pendiente:

y = mx -mx1 + y1 , llamando b = y1 – mx1:

y = mx + b

que es la ecuación explícita de la recta. El término independiente b es la ordenada correspondiente a x = 0, por lo que se le llama ordenada en el

origen de la recta y mide la distancia del origen al punto donde la recta corta

al eje OY.

Ejemplos:

a) Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen de la recta cuya ecuación

general es: 2 x + 3 y - 5 = 0.

Solución: 3 5 3 2 3 5 2 + − = + −

= x x

y , de donde

3 2

− =

m y

3 5

=

b

b) Escribir la ecuación explícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:

x = 2 – 3 t

y = 5 + 2 t

Solución: 2 4 3 15

2 5 3 2 + − = − ⇒ − = − − y x y

x , por tanto:

(37)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta c) Encuentra un vector de dirección v de la recta y = 3x – 5

Solución: La pendiente es

1 2

3

v v

m= = , luego los posibles vectores son:

(1, 3), (2, 6), (3, 9), etc.

4.8 Ecuación segmentaria o canónica de una recta

La ecuación segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de los segmentos que esta determina sobre los ejes de coordenadas:

a se llama abcisa en el origen de la recta

b se llama ordenada en el origen de la recta

La ecuación de la recta que pasa por los puntos: (a, 0) y (0, b) es: b y a x b y a a x b b y a a x = + − ⇒ = − − ⇒ − − = − − 1 0

0 , es decir +b=1

y a x

con a,b≠0

Que es la ecuación segmentaria de la recta.

Los valores de a y b se pueden obtener fácilmente de la ecuación general:

a b

( a , 0 ) ( 0 , b )

(38)

Si hacemos y = 0 resulta x = a Si hacemos x = 0 resulta y = b

Una recta carece de forma segmentaria en los siguientes casos:

Caso 1: Recta paralela al eje X

Caso 2: Recta paralela al eje Y

y = b

(39)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta Caso 3: Recta que pasa por el origen

En los casos 1 y 2, como ya se ha visto tampoco existe forma continua. Recordemos además que en el caso 1 la pendiente es cero, y en el caso 2 no hay pendiente.

EJERCICIOS RESUELTOS:

1) Hallar la ecuación segmentaria de la recta que pasa por P = (-2, 1) y tiene

por vector de dirección a (3, -4).

Solución:

De las ecuaciones paramétricas:

⎭ ⎬ ⎫ − =

+ − =

t y

t x

4 1

3 2

se obtiene la forma continua:

4 1 3

2

− − =

+ y

x

y de ésta la ecuación general: −4x−8=3y−3 → 4x+3y+5=0

Entonces, si y=0, x=-5/4 = a, y si x= 0, y = -5/3 = b, luego la ecuación será:

1 3 / 5 4 /

5 +− =

y x

(40)

2) Dada la recta r en forma canónica: 1 5 2+ =

y x

escribir la ecuación general y la ecuación vectorial de r.

Solución:

5x – 2y = -10 Æ 5x – 2y + 10 = 0 (ecuación general).

(-2, 0) es un punto de r, y el vector de dirección v= (-B, A) = (2, 5), luego:

(x, y) = (-2, 0) + t(2, 5) es la ecuación vectorial.

4.9 Incidencia de puntos y rectas

Sean un punto P = (x1, y1) y una recta r : Ax + By + C = 0 del plano afín:

El punto P es incidente con la recta r, o el punto P pertenece a la recta r, o la recta r pasa por el punto P, cuando las coordenadas del punto P satisfacen la ecuación de la recta. Es decir:

Si P ∈ r Æ Ax1 + By1 + C = 0

Si P ∉ r Æ A x1 + B y1 + C ≠ 0

La sustitución de las coordenadas del punto puede hacerse en cualquiera de las formas de la ecuación de la recta.

4.10 Condición de alineación de tres puntos

Se dice que tres puntos distintos del plano P= (x1, y1), Q = (x2 ,y2) y R = (x3,

(41)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta

La recta que pasa por P y Q será:

1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x − − = − −

Si el punto R también pertenece a esta recta deberá satisfacerla:

1 2 1 3 1 2 1 3 y y y y x x x x − − = − −

, con x2≠x1, y2≠y1

También podemos analizar el tema de tres puntos alineados: P, Q y R diciendo

que lo estarán si los vectores: PQ y QR tienen la misma dirección, es decir sus componentes son proporcionales.

Ejemplo:

Veamos si los puntos P = (1, 3) , Q = (-2, -3) y R = (3, 7) están alineados.

La recta PQ:

3 3 3 1 2 1 − − − = − − − y x

-6x + 6 = -3y + 9 ⇒ 6x – 3y + 3 = 0 ⇒ 2x – y + 1 = 0

Y sustituyendo las coordenadas de R: 2·3 – 7 +1 = 0

es decir las coordenadas de R satisfacen la ecuación de la recta PQ, por tanto los tres puntos están alineados.

De otra forma: PQ = (-2 – 1, -3 – 3) = (-3, -6)

QR = (3 – 1, 7 – 3) = (2, 4)

Que son vectores paralelos ya que sus componentes son proporcionales:

4 6 2 3 − = −

4.11 Haz de rectas

(42)

El conjunto de rectas del plano que pasan por el punto P se llama haz de rectas de vértice P.

Todas las rectas que pasan por el punto P = (x1, y1) se pueden escribir en la

forma punto-pendiente, a excepción, como ya se sabe, de la recta vertical x–x1

= 0, que no tiene pendiente. Por tanto:

Haz de rectas de vértice P:

{

yy1=m

(

xx1

)

,m∈ℜ

} {

xx1=0

}

Es decir, al variar m en R se obtienen todas las rectas del haz menos una.

Así, el haz de rectas de vértice P = (3, 5) es el conjunto formado por la recta y=3 , paralela al eje y, y todas las demás que pasan por P con cualquier valor real de la pendiente:

Haz de P =

{

y−5=m

(

x−3

)

, m∈ℜ

} { }

x=3

EJERCICOS RESUELTOS

1) Hallar la ecuación de todas las rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0

Solución:

Cualquier recta paralela a r: Ax+By+C′=0

debe cumplir que su vector de dirección tenga unas componentes proporcionales a las del vector de dirección de la recta r, es decir:

B B A

A

′ = ′

Si además guarda también proporcionalidad con los términos independientes, entonces las rectas son coincidentes.

Luego el haz formado por todas las rectas paralelas a r tendrá por ecuación:

ℜ ∈ = +

+By k k

Ax 0,

(43)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta

Solución: 2x + 3y + k = 0, k∈ℜ

3) Hallar la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta 5x + y – 2 = 0 y

determinar la recta del haz que pasa por el punto P = (1, -2). Solución: Haz de rectas paralelas: 5 x + y + k = 0 , k∈ℜ

Y la que pasa por (1, -2) deberá satisfacer la ecuación anterior: 5 ·1 – 2 + k = 0 ⇒ k = -3

luego la recta buscada será: 5x + y – 3 = 0

4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P = (3, 5) y es paralela a la

recta: 2x – 3y + 4 = 0 Solución:

La recta paralela pedida es : 2x – 3y + k = 0 , k∈ℜ

Si además debe pasar por el punto P:

2·3 – 3·5 + k = 0 ⇒ 6 – 15 + k = 0 ⇒ k = 9

Luego la recta que cumple las dos condiciones será: 2x – 3y + 9 = 0

5) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas r y s y es paralela a la recta t.

r: ⎩ ⎨ ⎧ − = + = 2 2 1 t y t x

s: 2x+3y−5=0

t: 1

3 2+ =

y

x

Solución: Escribamos la recta en forma general:

(44)

El punto de intersección de r y s aparecerá al resolver el sistema formado por r y s:

(

)

⎭ ⎬ ⎫ = − + + = − + + ⋅ ⇒ + = ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ = − + = − − 0 5 3 10 4 0 5 3 5 2 2 5 2 0 5 3 2 0 5 2 y y y y y x y x y x

7y = -5, y = -5/7

x = 2·(-5/7) + 5, x = 25/7

La recta t en forma general es: -3x + 2y = 6 ⇒ 3x – 2y + 6 = 0 Luego la ecuación de todas las rectas paralelas a t:

3x – 2y + k = 0 , k∈ℜ

Como debe pasar por el punto ( 25/7 , - 5/7 ):

3·25/7 – 2·(-5/7) + k = 0 ⇒ 75/7 + 10/7 + k = 0 ⇒

75 + 10 + 7k = 0 ⇒ k = - 85/7

Por tanto la ecuación buscada será: 3x – 2y – 85/7 = 0

(45)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta

EJERCICIOS DE LA RECTA

Verdadero o Falso:

a) Si v = (-2, 5) , v′ = (2, -5) y A es un punto cualquiera del plano,

entonces: Los pares (A, v) y (A, v′) determinan la misma recta.

b) y = 2x es la ecuación de una recta paralela al eje x

c) x – 5 = 0 es la ecuación de una recta vertical

d) Las rectas paralelas al eje x no tienen pendiente

e) Todas las funciones de primer grado en las variables x e y representan

rectas del plano.

f) La pendiente de una recta depende del vector de dirección que

elijamos, pues m = v2 / v1

g) Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas.

h) Las rectas: by + c = 0 y b’y + c’= 0 son siempre paralelas.

i) El único punto de la recta 2x + y – 5 = 0 que tiene abcisa igual a 1 es

el (1,3)

j) La condición necesaria y suficiente para que las rectas:

Ax + By + C = 0 y A’x + B’y + C = 0 Sean las secantes AB’ ≠ A’B

k) Al variar la pendiente se obtienen todas las rectas pertenecientes al

haz de vértice P.

Ejercicio 1:

Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de las rectas cuyas determinaciones lineales vienen dadas por:

(46)

Ejercicio 2:

Escribir las ecuaciones general, explícita y segmentaria de las rectas del ejercicio anterior.

Ejercicio 3:

Dibuja las rectas cuyas ecuaciones son las siguientes: a) x = - 2

b) y = 3 c) x = 2/3 d) y = 0 e) y = - x

Ejercicio 4:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q en los siguientes casos:

a) P = (-2, 5) y Q = (3, 1) b) P = (4, 3) y Q = (0, 0)

c) P = (2, 3) y Q = (2, 5) d) P = (3, 4) y Q = (-5, 4)

Ejercicio 5:

Dado el triángulo de vértices: A = (2, 1), B = (0, 5) y C = (-2, -3)

Encontrar las ecuaciones de sus medianas.

Ejercicio 6:

Escribir la ecuación general de la recta que pasa por el punto A = (-2, 2) y tiene la misma pendiente que la recta que pasa por B = (1, 5) y C = (4, -1).

(47)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta Encontrar las ecuaciones de las diagonales del cuadrado cuyos vértices son los puntos A = (1, 2) , B = (3, 2), C = (1, 0) y D = (3, 0). Comparar las pendientes de ambas rectas.

Ejercicio 8:

Representar las siguientes rectas:

a) x + y + 1 = 0

b) 2x – 4y + 5 = 0

c) 1

5 4+− =−

y x

Ejercicio 9:

Calcular el área del triángulo que la recta de ecuación 2x + 3y – 8 = 0 determina con los ejes de coordenadas.

Ejercicio 10:

Dada la recta: 3x – 2y + 5 = 0, indicar cuales de los siguientes puntos son coincidentes con ella:

a) P = ( 1 , 4 ) b) Q = ( 2 , 2 ) c) R = ( 3 , 7 )

d) S = ( 1/2 , 13/4 )

Ejercicio 11:

Hallar el valor de k para que:

a) El punto (2, 3) pertenezca a la recta de ecuación 2 kx – 4y + 5 = 0.

b) La recta 3x – ky + 1 = 0 pase por el punto P.

c) La recta kx + ky + 4 = 0 sea coincidente con el punto (2, -3)

(48)

Hallar los puntos donde la recta 4 x – 2 y + 5 = 0 corta a los ejes de coordenadas.

Ejercicio 13:

Decir si los puntos A = (1, 3), B = (-2, 5) y C = (-5, 7) pertenecen a la misma recta.

Ejercicio 14:

Hallar el valor de k para que los puntos A = (1, k), B = (2, 5) y C = (-1, -2) estén alineados.

Ejercicio 15:

Escribir las coordenadas de dos puntos que estén alineados con los puntos: P = (2, 2) y Q = (-3, -3).

Ejercicio 16:

Hallar el valor de m para que las siguientes rectas no tengan ningún punto común:

r: x – y – 3 = 0 s: mx + 3y – 1 = 0

Ejercicio 17:

Ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices A = (0, 0), B = (1, 2) y C = (3, -1). Hallar de dos formas distintas las coordenadas del baricentro del triángulo.

Ejercicio 18:

(49)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta r: 4x – 3 y + 1 = 0

s: 2x + y – 7 = 0

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de r y s y es paralela a la recta que corta a los ejes de coordenadas en los puntos (8, 0) y (0, 5), respectivamente.

Ejercicio 19:

¿ Cual es la ecuación de la recta cuyos puntos tienen la propiedad de distar k del eje X? Razona la respuesta.

Ejercicio 20:

Hallar las coordenadas del cuarto vértice D del paralelogramo ABCD, conociendo A = (2, 3), B = (5, 1) y C = (4, 0).

Ejercicio 21:

¿Cómo es la ecuación de una recta que pasa por dos puntos de abcisas iguales? Pon un ejemplo.

Ejercicio 22:

La ecuación x + y = m ( 2x – y + 6 ) representa distintas rectas según el valor de m. ¿Por qué punto pasan todas esas rectas?

Ejercicio 23:

¿Cuál es la ecuación del haz de rectas paralelas a la bisectriz del primer y tercer cuadrante?

Ejercicio 24:

Determinar los valores de a y b para que las siguientes rectas sean coincidentes:

(50)

Ejercicio 25:

¿Tiene alguna solución el sistema?:

x + y = 3 2 x + 2 y = 5

Ejercicio 26:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas:

2x – y + 2 = 0

x – y + 1 = 0

(51)
(52)

TEMA 5: LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

5.1 Definición

Sea la circunferencia de centro C (a, b) y de radio r. Consideremos el caso general en que el centro C no coincida con el origen de coordenadas y tomemos un punto M (x, y) :

De la figura se obtiene: 2 2 2

NM CN

CM = +

o bien: r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 (1)

Ésta ultima es realmente la ecuación de la circunferencia.

Desarrollando los cuadrados de la ecuación (1) tendremos:

x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a 2 + b 2 – r 2 = 0

de la cual existen diversas variantes. Una de las formas mas usadas es:

Y

X C

r

M=(x,y)

N

O

(53)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 5: La Ecuación de la Circunferencia

x 2 + y 2 + 2Dx + 2Ey + C = 0 ( 2 )

en la que D = -a; E = -b; C = a 2 + b 2 – r 2

La ecuación de la circunferencia es de segundo grado, carece de término en xy y los coeficientes de x2 e y2 son iguales a la unidad.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas

(2, -4) y cuyo radio es 3.

De la ecuación (1): 3 2 = ( x – 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2

Es decir: x2 + y2 – 4x + 8y + 11 = 0

Caso particular: El centro de la circunferencia coincide con el origen de

coordenadas

C = (a, b) = (0, 0) ⇒ a = 0 , b = 0

Y la ecuación de la circunferencia:

r2 = (x – 0)2 + (y – 0)2 ⇒ x2 + y2 = r2

5.2 Intersección de una circunferencia con una recta

(54)

Si el sistema da dos soluciones, la recta atraviesa y corta a la circunferencia en dos puntos.

Si el sistema da una única solución, la recta es tangente a la circunferencia Si el sistema no tiene soluciones reales, la recta no corta a la circunferencia.

Ejemplo:

Hallar las coordenadas de los puntos comunes de la circunferencia:

x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0

con la recta:

y = x – 2

Deberemos resolver el sistema:

(

2

)

4 2

(

2

)

4 0 4 4 4 2 4 0 2

0 4 2

4 2 2 2 2

2 2 = + − − + − + ⇒ = + − ⋅ − − − + ⇒ ⎭ ⎬ ⎫ − = = + − − + x x x x x x x x x x y y x y x 2 , 3 4 96 100 10 , 0 12 10

2 1 2

2− + = = ± − ⇒ = =

x x x

x x

Para x1 = 3 ⇒ y1 = 1 ⇒ (3, 1) es punto de corte

Para x2 = 2 ⇒ y2 = 0 ⇒ (2, 0) es punto de corte

Según esto la recta es secante a la circunferencia.

5.3 Intersección de dos circunferencias

Determinar los puntos de intersección de las circunferencias:

x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0

(55)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 5: La Ecuación de la Circunferencia

Restando la segunda de la primera, tenemos:

4x – 4y – 4 = 0 ⇒ y = x – 1

Y sustituyendo este valor en la primera de las ecuaciones dadas, tendremos:

x2 + ( x – 1 )2 – 4x – 6( x – 1 ) + 9 = 0

x2 + x2 – 2x + 1 – 4x – 6x + 6 + 9 = 0

2x2 – 12x + 16 = 0

4 128 144

12± −

=

x ⇒ x1 = 4 ; x2 = 2 ⇒ y1 = 3 ; y2 = 1

Las circunferencias se cortan en los puntos: (4, 3) y (2, 1)

5.3 Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos

Supongamos que las coordenadas de estos puntos sean: (x1, y1), (x2, y2) y (x3,

y3). Estas coordenadas han de satisfacer la ecuación de la circunferencia.

Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

(2, 0), (4, 2) y (0, 2)

Sustituyendo en la ecuación: r2 = (x – a)2 + (y – b)2

r 2 = (2 – a)2 + (0 – b)2 r2 = 4 – 4a + a2 + b2

r2 = (4 – a) 2 + (2 – b)2 r2 = 16 – 8a + a2 + 4 – 4b + b2

(56)

Sustituyendo r2 de la primera ecuación en la segunda y en la tercera:

4 – 4a + a2 + b2 = 16 – 8a + a2 + 4 – 4b + b2 4 – 4a + a2 + b2 = a2 + 4 – 4b + b2

a + b = 4

b – a = 0 a = 2 , b = 2 , r = 2

Luego la ecuación de la circunferencia será:

(x – 2)2 + (y – 2)2 = 4

x2 – 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = 4

(57)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 6: La Elipse

TEMA 6: LA ELIPSE

6.1 Definición

La elipse es una curva plana tal que la suma de las distancias de cada uno de sus puntos a dos puntos fijos de su plano es constante.

Los puntos fijos F y F´ se llaman focos de la elipse.

La suma constante se representa por 2a .

Los segmentos que unen un punto M de la elipse con los focos son los radios vectores del punto M.

El punto O, punto medio del segmento FF´, es el centro de la elipse.

El segmento AA´ que contiene a los focos, tal que AA´ = 2a y OA = OA´ = a, es el eje mayor de la elipse.

El segmento BB´, perpendicular a FF´ en O y tal que BF = B´F = a, es el eje menor de la elipse. La distancia OB = OB´ se representa por b.

La distancia FF´ se llama distancia focal y se representa por 2c (OF = OF´ = c).

Entre a , b y c existe la relación: a2 = b2 + c2

F’ O F A

B

M

c b

(58)

F y F’ son los focos de la elipse

AA’ se denomina eje mayor de la elipse, y su longitud es 2a

BB’ es el eje menor de la elipse, de longitud 2b

El segmento FF’ es la distancia focal y su longitud es exactamente 2c

• Los radios vectores del punto M son los segmentos MF y MF’

o MF + MF’ = 2a

• La distancia del punto B a los focos F y F’ es a

Se llama excentricidad de la elipse a la razón

a

c. Se representa por e

o e = a c

o La excentricidad varía de 0 a 1. Si e = 0 ⇒ c = 0 ⇒ los focos se

confunden y la elipse es la circunferencia de centro O y radio a. Si e = 1 ⇒ c = a ⇒ la distancia focal coincide con el eje mayor, y la elipse se reduce al eje mayor AA’. Para valores de e entre 0 y 1, la elipse se aproxima más al eje mayor cuanto más se aproxima a 1.

La tangente a la elipse en uno de sus puntos, es bisectriz del ángulo formado por uno de los radios vectores del punto y la prolongación del otro radio

(59)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 6: La Elipse

6.2.-Ecuación de la elipse.-

6.3.- Ecuación de la hipérbola.-

a b

1

2 2

2 2

= −

b y a x

1

2 2

2 2

= +

(60)

TEMA 7: SUCESIONES

7.1 Desigualdad

Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor o igual que b si la diferencia b – a es ≥ 0.

a b b – a 0

Las propiedades de las desigualdades que mas frecuentemente utilizaremos son:

a) Si a ≤ b y b ≤ a , entonces a = b

b) Si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c

c) Si a ≤ b y c ≤ d , entonces a + c ≤ b + d

d) a ≤ b y c > 0 , entonces a·c ≤ b·c

e) a ≤ b y c < 0 , entonces a·c ≥ b·c

f) Si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces a·c < b·d

7.2 Intervalos en R

En la recta real se definen los siguientes conjuntos:

• Intervalo abierto de extremos a y b:

] a , b [ = { x ∈ ℜ / a < x < b }

• Intervalo cerrado de extremos a y b:

(61)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 7: Sucesiones

Intervalo semiabierto por la derecha:

[ a , b [ = { x ∈ℜ / a ≤ x < b }

Intervalo semiabierto por la izquierda:

] a , b ] = { x ∈ℜ / a < x ≤ b }

7.3 Valor absoluto

Se llama valor absoluto del número real a, y se escribe a, al número a si a≥0

y al opuesto de a si a< 0.

Se verifican las siguientes propiedades:

aa

a=0 ⇔ a=0

a+ba +b

a·b =ab

ab=ba

Se llama distancia entre dos puntos del eje de abcisas A y B de abcisas a y

b, respectivamente, al número real ba

d(A, B) = | b – a |

a b

(62)

7.4 Semirrectas o intervalos de extremos infinitos

Al conjunto de los números reales x que son mayores que a se expresa por:

]

a,+∞

[

]

a,+∞

[

=

{

x∈ℜ/a<x<+∞

}

Si este conjunto incluye el número a, se expresa por

[

a,+∞

[

:

[

a,+∞

[

=

{

x∈ℜ/ax<+∞

}

Al conjunto de los números reales x que son menores que a se expresa por:

]

−∞,a

[

]

−∞,a

[

=

{

x∈ℜ/−∞<x<a

}

Si este conjunto incluye el número a, se expresa por

]

−∞,a

]

:

]

−∞,a

]

=

{

x∈ℜ/−∞<xa

}

Estos intervalos se llaman intervalos de extremos infinitos o semirrectas.

Para todo número real a se verifica: −∞<a<+∞ cualquiera que sea a.

El conjunto ℜ y los dos símbolos

( )

+∞ y

( )

−∞ forman la recta real ampliada.

7.5 Entornos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por E(a, r) al intervalo abierto ] a - r, a + r [.

La distancia entre los extremos de este intervalo es 2r y se llama amplitud del intervalo.

En particular, el centro del entorno puede ser el origen; en este caso, el entorno de radio r sería: E(0, r) = ] –r , r [.

(63)

Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 7: Sucesiones

El entorno

]

r,r

[

=x<r o bien −r<x<r

El entorno

]

ar,a+r

[

= xa<r o −r<xa<r, también ar<x<a+r

El intervalo

[

ar,a+r

]

= xar y también: arxa+r

Ejemplo:

El intervalo: ]1, 7[ es un entorno del punto 4 y radio 3 y se expresa mediante el valor absoluto, por: x−4≤3.

EJERCICIOS RESUELTOS:

1) Ordenar de menor a mayor los números (a2 + b2) , (a – b)2 , (a + b)2 si

se sabe que 0 < b < a.

Solución:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab, y 2ab > 0, entonces:

(a - b)2 < a2 + b2 < (a + b)2

2) Expresar mediante el valor absoluto, los intervalos:

a) 2 ≤ x ≤ 4

b) [2, 6]

Solución:

a) 2≤x≤4=

[

3−1,3+1

]

, es decir x−3≤1

b)

[ ] [

2,6 = 4−2,4+2

]

, es decir x−4≤2

3) Hallar la distancia entre los puntos a = (r + s)2, b = (r – s)2,

(64)

Solución:

( )

a b b a

(

r s

) (

r s

)

r rs s r rs s rs rs d , = − = − 2− + 2 = 2−2 + 2− 2−2 − 2 =−4 =4

EJERCICIO PROPUESTO

Representar los intervalos [1, 2[, ]2, 4[ y [5,7] y expresarlos mediante desigualdades.

7.6 Sucesiones de números reales

Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números reales de modo que cada uno ocupa un lugar: hay un primero, un segundo, etc.

En la sucesión (an) = (a1, a2, a3, … an, ... ) los números reales a1, a2, a3, ... an

se llaman términos de la sucesión y el subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

Con frecuencia una sucesión viene dada por una expresión con una variable natural n que al tomar los valores 1, 2, 3,... determina los términos de la sucesión. A esta expresión se le llama término general de la sucesión.

EJEMPLOS:

• La sucesión de los números pares: an = 2n = (2, 4, 6, ...)

• La sucesión de los números impares: bn = 2n – 1 = (1, 3, 5, 7, ...)

• La sucesión de los cuadrados perfectos: cn = n2 = (1, 4, 9, ...)

• En la sucesión de término general dn = 2n + 5 = (7, 9, 11, 13, ...) , cada

término es igual al anterior más 2. Esta sucesión es una progresión

aritmética en la que el término general se expresa: an = a1 + (n – 1)d.

• En la sucesión en = 2·3n–1 = (2, 6, 18, 54, ...), cada término es igual al

anterior multiplicado por 3. Esta sucesión es una progresión

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