La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos(U , +)y

Texto completo

(1)

Transformaciones lineales

(2)

Definición

Transformación lineal

U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : UV es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1,u2U, T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) 2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λT(u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y

(3)

Definición

Transformación lineal

U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : UV es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1,u2U, T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2) 2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λT(u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y

(4)

Definición

Transformación lineal

U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : UV es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1,u2U, T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2)

2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λT(u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y

(5)

Definición

Transformación lineal

U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : UV es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1,u2U, T(u1 + u2) = T(u1) + T(u2)

2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λT(u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y

(6)

Ejemplos

Cualquier función T : R n

R

m,X AX, es lineal.

El caso particular, f : R → R,xax,a ∈ R es lineal.

f : R → R,xx

2, no es lineal.

f : P3(R) → R

4, p(x) = a

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es

lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

fT(f) = df

dx(x)

(7)

Ejemplos

Cualquier función T : R n

R

m,X AX, es lineal.

El caso particular, f : R → R,xax,a ∈ R es lineal. f : R → R,xx

2, no es lineal.

f : P3(R) → R

4, p(x) = a

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

fT(f) = df

dx(x)

(8)

Ejemplos

Cualquier función T : R n

R

m,X AX, es lineal.

El caso particular, f : R → R,xax,a ∈ R es lineal. f : R → R,xx

2, no es lineal.

f : P3(R) → R

4, p(x) = a

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

fT(f) = df

dx(x)

(9)

Ejemplos

Cualquier función T : R n

R

m,X AX, es lineal.

El caso particular, f : R → R,xax,a ∈ R es lineal. f : R → R,xx

2, no es lineal.

f : P3(R) → R

4, p(x) = a

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es

lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

fT(f) = df

(10)

Ejemplos

Cualquier función T : R n

R

m,X AX, es lineal.

El caso particular, f : R → R,xax,a ∈ R es lineal. f : R → R,xx

2, no es lineal.

f : P3(R) → R

4, p(x) = a

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es

lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

fT(f) = df

(11)

Ejemplos

Cualquier función T : R n

R

m,X AX, es lineal.

El caso particular, f : R → R,xax,a ∈ R es lineal. f : R → R,xx

2, no es lineal.

f : P3(R) → R

4, p(x) = a

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es

lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R) fT(f) = df

dx(x)

(12)

Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:

P1 : VV1, P2 : VV2

v = v1 + v2P1(v) = v1 v = v1 +v2P2(v) = v2.

Ambas son lineales y:

(13)

Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:

P1 : VV1, P2 : VV2

v = v1 + v2P1(v) = v1 v = v1 +v2P2(v) = v2.

Ambas son lineales y:

(14)

Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:

P1 : VV1, P2 : VV2

v = v1 + v2P1(v) = v1 v = v1 +v2P2(v) = v2.

Ambas son lineales y:

(15)

Propiedades

Propiedades

Sea T : UV una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T(0) = 0 ∈ V

2 T(−u) = −T(u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2K,∀u1,u2U

(16)

Propiedades

Propiedades

Sea T : UV una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T(0) = 0 ∈ V 2 T(−u) = −T(u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2K,∀u1,u2U

(17)

Propiedades

Propiedades

Sea T : UV una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T(0) = 0 ∈ V 2 T(−u) = −T(u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ1, λ2K,∀u1,u2U

(18)

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=1

λixiU

y la transformación lineal, T : UV. Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u =

n

X

i=1

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T( n X

i=1

αiui) = n X

i=1

αiT(ui)

(19)

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=1

λixiU

y la transformación lineal, T : UV.

Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u =

n

X

i=1

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T(

n

X

i=1

αiui) = n

X

i=1

αiT(ui)

(20)

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=1

λixiU

y la transformación lineal, T : UV. Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u = n

X

i=1

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T(

n

X

i=1

αiui) = n

X

i=1

αiT(ui)

(21)

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=1

λixiU

y la transformación lineal, T : UV. Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u = n

X

i=1

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T( n

X

i=1

αiui) = n

X

i=1

αiT(ui)

(22)

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=1

λixiU

y la transformación lineal, T : UV. Si dim U = n y β = {ui}ni=1 es base de U,

u = n

X

i=1

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T( n

X

i=1

αiui) = n

X

i=1

αiT(ui)

(23)

Isomorfismos de e.v.’s

Isomorfismo

Sea T : UV una transformación lineal, diremos que es un isomorfismo si T es biyectiva.

U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V, en cuyo caso lo denotaremos como

(24)

Isomorfismos de e.v.’s

Isomorfismo

Sea T : UV una transformación lineal, diremos que es un isomorfismo si T es biyectiva.

U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V, en cuyo caso lo denotaremos como

(25)

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

uf(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f(ui) = f(0u1 + ... +1ui + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = ei ∈ K

n

Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de K

(26)

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

uf(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f(ui) = f(0u1 + ... +1ui + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = ei ∈ K n

Luego, la base asociada a {ui}ni=1 es la base canónica de K

(27)

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

uf(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f(ui) = f(0u1 + ... +1ui + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = ei ∈ K n

(28)

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

uf(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f(ui) = f(0u1 + ... +1ui + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = ei ∈ K n

(29)

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

uf(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}ni=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n.

Veamos la imagen de una base {ui}ni=1 del U.

f(ui) = f(0u1 + ... +1ui + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = ei ∈ K n

(30)

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : UV y L : VW dos transformaciones lineales, LT : UW

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es

LT.

Si T : UV es un isomorfísmo, entonces T−1: VU lo es también.

(31)

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : UV y L : VW dos transformaciones lineales,

LT : UW

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es LT.

Si T : UV es un isomorfísmo, entonces T−1: VU lo es también.

(32)

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : UV y L : VW dos transformaciones lineales,

LT : UW

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es LT.

Si T : UV es un isomorfísmo, entonces T−1: VU lo es también.

(33)

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : UV y L : VW dos transformaciones lineales,

LT : UW

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es

LT.

Si T : UV es un isomorfísmo, entonces T−1: VU lo es también.

(34)

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : UV y L : VW dos transformaciones lineales,

LT : UW

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es

LT.

Si T : UV es un isomorfísmo, entonces T−1: VU lo es también.

(35)

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : UV y L : VW dos transformaciones lineales,

LT : UW

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es

LT.

Si T : UV es un isomorfísmo, entonces T−1: VU lo es también.

(36)

Núcleo

Núcleo

T : UV transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto:

KerT = {xU/T(x) = 0}

KerT 6= φ ya que T(0) = 0.

(37)

Núcleo

Núcleo

T : UV transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto:

KerT = {xU/T(x) = 0}

(38)

Núcleo

Núcleo

T : UV transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto:

KerT = {xU/T(x) = 0}

KerT 6= φ ya que T(0) = 0.

(39)

Núcleo

Núcleo

T : UV transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto:

KerT = {xU/T(x) = 0}

KerT 6= φ ya que T(0) = 0.

(40)

Imagen

Imagen

T : UV transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto:

ImT = T(U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f(u)}

(41)

Imagen

Imagen

T : UV transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto:

ImT = T(U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f(u)}

(42)

Imagen

Imagen

T : UV transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto:

ImT = T(U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f(u)}

(43)

Rango y nulidad

Definición

dim(ImT): rango de la transformaciónT y se nota r.

(44)

Rango y nulidad

Definición

dim(ImT): rango de la transformaciónT y se nota r.

(45)

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

T : R 4

R 3

(x1,x2,x3,x4) → (x1 + x2,x2 −x3,x1 +x3)

o en términos matriciales:

T(x) =

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

 

  

x1 x2 x3 x4

  

(46)

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

T : R 4

R 3

(x1,x2,x3,x4) → (x1 + x2,x2 −x3,x1 +x3)

o en términos matriciales:

T(x) =

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

 

  

x1 x2 x3 x4

  

(47)

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

T : R 4

R 3

(x1,x2,x3,x4) → (x1 + x2,x2 −x3,x1 +x3)

o en términos matriciales:

T(x) =

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

 

  

x1 x2 x3 x4

  

(48)

Ejemplo

xKerTT(x) = 0 equivale a

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x1 x2 x3 x4     =   0 0 0   Escalonando:  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

 →

1 1 0 0

0 1 −1 0 0 −1 1 0

 →

1 1 0 0

0 1 −1 0

0 0 0 0

x1 = −x3 x2 = x3 x3 = x3

x4 = x4

⇔     x1 x2 x3 x4    

= x3

    −1 1 1 0    

+x4

(49)

Ejemplo

xKerTT(x) = 0 equivale a

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x1 x2 x3 x4     =   0 0 0   Escalonando:  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

 →

1 1 0 0

0 1 −1 0 0 −1 1 0

 →

1 1 0 0

0 1 −1 0

0 0 0 0

x1 = −x3 x2 = x3 x3 = x3 x4 = x4

⇔     x1 x2 x3 x4    

= x3

    −1 1 1 0    

+x4

(50)

Ejemplo

xKerTT(x) = 0 equivale a

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x1 x2 x3 x4     =   0 0 0   Escalonando:  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

 →

1 1 0 0

0 1 −1 0

0 −1 1 0

 →

1 1 0 0

0 1 −1 0

0 0 0 0

x1 = −x3 x2 = x3 x3 = x3 x4 = x4

⇔     x1 x2 x3 x4    

= x3

    −1 1 1 0    

+x4

(51)

Ejemplo

xKerTT(x) = 0 equivale a

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x1 x2 x3 x4     =   0 0 0   Escalonando:  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

 →

1 1 0 0

0 1 −1 0

0 −1 1 0

 →

1 1 0 0

0 1 −1 0

0 0 0 0

x1 = −x3 x2 = x3 x3 = x3 x4 = x4

⇔     x1 x2 x3 x4    

= x3

    −1 1 1 0    

+x4

(52)

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y3   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x1 x2 x3 x4    

= x1

  1 0 1 

+ x2   1 1 0 

 +x3   0 −1 1  

(53)

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y3   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x1 x2 x3 x4    

= x1

  1 0 1 

+ x2   1 1 0 

 +x3   0 −1 1  

(54)

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y3   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x1 x2 x3 x4    

= x1

  1 0 1 

+ x2   1 1 0 

 +x3   0 −1 1  

(55)

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y3   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x1 x2 x3 x4    

= x1

  1 0 1 

+ x2   1 1 0 

 +x3   0 −1 1  

Luego ImT =< {(1,0,1),(1,1,0),(0,−1,1)} >=< {(1,0,1),(1,1,0)} >.

(56)

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y3   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x1 x2 x3 x4    

= x1

  1 0 1 

+ x2   1 1 0 

 +x3   0 −1 1  

(57)

KerT e inyectividad

Teorema

Sea T : UV una transformación lineal entonces

T es inyectivaKerT = {0}.

Corolario

T : UV es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V,

(58)

KerT e inyectividad

Teorema

Sea T : UV una transformación lineal entonces

T es inyectivaKerT = {0}.

Corolario

T : UV es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V,

(59)

KerT e inyectividad

Teorema

Sea T : UV una transformación lineal entonces

T es inyectivaKerT = {0}.

Corolario

(60)

Inyectividad y conjuntos l.i.

Teorema

Si T : UV es inyectiva, entonces

{ui}ki=1 es ℓ.i. en U ⇒ {T(ui)} k

(61)

Inyectividad y conjuntos l.i.

Teorema

Si T : UV es inyectiva, entonces

{ui}ki=1 es ℓ.i. en U ⇒ {T(ui)}

k

(62)

Ejemplo

Un ejemplo importante

R

n+1

= Pn(R).

En efecto, sea T : R

n+1

Pn(R) tal que:

(a0,a1, ...,an) → n

X

i=0

aixiPn(R)

(63)

Ejemplo

Un ejemplo importante

R

n+1

= Pn(R).

En efecto, sea T : R

n+1

Pn(R) tal que:

(a0,a1, ...,an) → n

X

i=0

aixiPn(R)

(64)

Ejemplo

Un ejemplo importante

R

n+1

= Pn(R).

En efecto, sea

T : R n+1

Pn(R) tal que:

(a0,a1, ...,an)n

X

i=0

aixiPn(R)

(65)

Ejemplo

Un ejemplo importante

R

n+1

= Pn(R).

En efecto, sea

T : R n+1

Pn(R) tal que:

(a0,a1, ...,an)n

X

i=0

aixiPn(R)

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