La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos(U , +)y

Transformaciones lineales

Definición

Transformación lineal

U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1,u₂ ∈ U, T(u₁ + u2) = T(u1) + T(u2) 2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λT(u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y

Definición

Transformación lineal

U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1,u₂ ∈ U, T(u₁ + u2) = T(u1) + T(u2) 2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λT(u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y

Definición

Transformación lineal

U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1,u₂ ∈ U, T(u₁ + u2) = T(u1) + T(u2)

2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λT(u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y

Definición

Transformación lineal

U,V dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

T : U → V es una transformación (o función) lineal si y sólo si satisface:

1. ∀u1,u₂ ∈ U, T(u₁ + u2) = T(u1) + T(u2)

2. ∀u ∈ U, λ ∈ K, T(λu) = λT(u)

La propiedad (1) establece un homomorfismo entre los grupos (U,+) y

Ejemplos

Cualquier función T : R n _→

R

m_{,X → AX, es lineal.}

El caso particular, f : R → R,x → ax,a ∈ R es lineal.

f : R → R,x → x

2_{, no es lineal.}

f : P3(R) → R

4_{, p(x) = a}

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es

lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T(f) = df

dx(x)

Ejemplos

Cualquier función T : R n _→

R

m_{,X → AX, es lineal.}

El caso particular, f : R → R,x → ax,a ∈ R es lineal. f : R → R,x → x

2_{, no es lineal.}

f : P3(R) → R

4_{, p(x) = a}

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T(f) = df

dx(x)

Ejemplos

Cualquier función T : R n _→

R

m_{,X → AX, es lineal.}

El caso particular, f : R → R,x → ax,a ∈ R es lineal. f : R → R,x → x

2_{, no es lineal.}

f : P3(R) → R

4_{, p(x) = a}

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T(f) = df

dx(x)

Ejemplos

Cualquier función T : R n _→

R

m_{,X → AX, es lineal.}

El caso particular, f : R → R,x → ax,a ∈ R es lineal. f : R → R,x → x

2_{, no es lineal.}

f : P3(R) → R

4_{, p(x) = a}

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es

lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T(f) = df

Ejemplos

Cualquier función T : R n _→

R

m_{,X → AX, es lineal.}

El caso particular, f : R → R,x → ax,a ∈ R es lineal. f : R → R,x → x

2_{, no es lineal.}

f : P3(R) → R

4_{, p(x) = a}

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es

lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R)

f → T(f) = df

Ejemplos

Cualquier función T : R n _→

R

m_{,X → AX, es lineal.}

El caso particular, f : R → R,x → ax,a ∈ R es lineal. f : R → R,x → x

2_{, no es lineal.}

f : P3(R) → R

4_{, p(x) = a}

0 + a1x + a2x2 +a3x3 → f(p) = (a0,a1,a2,a3), es

lineal.

Fd(R,R) el conjunto de las funciones reales derivables.

T : Fd(R,R) → F(R,R) f → T(f) = df

dx(x)

Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:

P1 : V → V1, P2 : V → V2

v = v₁ + v₂ → P₁(v) = v₁ v = v₁ +v₂ → P₂(v) = v2.

Ambas son lineales y:

Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:

P1 : V → V1, P2 : V → V2

v = v₁ + v₂ → P1(v) = v₁ v = v₁ +v₂ → P2(v) = v2.

Ambas son lineales y:

Ejemplos

Sea V e.v sobre K, V = V1 ⊕ V2 y sean:

P1 : V → V1, P2 : V → V2

v = v₁ + v₂ → P1(v) = v₁ v = v₁ +v₂ → P2(v) = v2.

Ambas son lineales y:

Propiedades

Propiedades

Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T(0) = 0 ∈ V

2 T(−u) = −T(u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ₁, λ₂ ∈ K,∀u₁,u₂ ∈ U

Propiedades

Propiedades

Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T(0) = 0 ∈ V 2 T(−u) = −T(u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ₁, λ₂ ∈ K,∀u₁,u₂ ∈ U

Propiedades

Propiedades

Sea T : U → V una transformación lineal. Se tiene entonces:

1 T(0) = 0 ∈ V 2 T(−u) = −T(u)

3 T es lineal si y sólo si ∀λ₁, λ₂ ∈ K,∀u₁,u₂ ∈ U

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=₁

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V. Si dim U = n y β = {ui}n_i=₁ es base de U,

u =

n

X

i=₁

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T( n X

i=1

αiui) = n X

i=1

αiT(ui)

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=₁

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V.

Si dim U = n y β = {ui}n_i=₁ es base de U,

u =

n

X

i=₁

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T(

n

X

i=1

αiui) = n

X

i=1

αiT(ui)

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=₁

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V. Si dim U = n y β = {ui}n_i=₁ es base de U,

u = n

X

i=₁

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T(

n

X

i=1

αiui) = n

X

i=1

αiT(ui)

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=₁

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V. Si dim U = n y β = {ui}n_i=₁ es base de U,

u = n

X

i=₁

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T( n

X

i=1

αiui) = n

X

i=1

αiT(ui)

Caracterización de una T.L.

Dada una combinación lineal

n

X

i=₁

λixi ∈ U

y la transformación lineal, T : U → V. Si dim U = n y β = {ui}n_i=₁ es base de U,

u = n

X

i=₁

αiui.

α = (α1, ..., αn): coordenadas de u con respecto a la base β.

Aplicando T:

T(u) = T( n

X

i=1

αiui) = n

X

i=1

αiT(ui)

Isomorfismos de e.v.’s

Isomorfismo

Sea T : U → V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismo si T es biyectiva.

U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V, en cuyo caso lo denotaremos como

Isomorfismos de e.v.’s

Isomorfismo

Sea T : U → V una transformación lineal, diremos que es un isomorfismo si T es biyectiva.

U y V son isomorfos si existe un isomorfísmo entre U y V, en cuyo caso lo denotaremos como

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

u → f(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}n_i=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n_.

Veamos la imagen de una base {u_i}n_i=1 del U.

f(u_i) = f(0u₁ + ... +1u_i + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = e_i ∈ K

n

Luego, la base asociada a {ui}n_i=₁ es la base canónica de K

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

u → f(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}n_i=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n_.

Veamos la imagen de una base {ui}n_i=1 del U.

f(u_i) = f(0u₁ + ... +1u_i + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = ei ∈ K n

Luego, la base asociada a {ui}n_i=₁ es la base canónica de K

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

u → f(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}n_i=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n_.

Veamos la imagen de una base {ui}n_i=1 del U.

f(u_i) = f(0u₁ + ... +1u_i + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = ei ∈ K n

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

u → f(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}n_i=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n_.

Veamos la imagen de una base {ui}n_i=1 del U.

f(ui) = f(0u1 + ... +1ui + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = ei ∈ K n

Ejemplo

Consideremos:

f : U → K n

u → f(u) = α = (α1, ..., αn).

Aa u le asocia las coordenadas con respecto a una base fija β = {ui}n_i=1.

Es un isomorfismo.

Esto quiere decir que si U tiene dimensión finita n se “comporta” como K n_.

Veamos la imagen de una base {ui}n_i=1 del U.

f(ui) = f(0u1 + ... +1ui + ... +0un) = (0, ...,1, ...,0) = ei ∈ K n

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales, L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es

L ◦ T.

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1: V → U lo es también.

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es L ◦ T.

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1: V → U lo es también.

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es L ◦ T.

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1: V → U lo es también.

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es

L ◦ T.

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1: V → U lo es también.

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es

L ◦ T.

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1: V → U lo es también.

Composición entre T.L.

Consideremos U,V,W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo.

T : U → V y L : V → W dos transformaciones lineales,

L ◦ T : U → W

es una función lineal.

Si además L y T son biyectivas (isomorfísmos) entonces también lo es

L ◦ T.

Si T : U → V es un isomorfísmo, entonces T−1: V → U lo es también.

Núcleo

Núcleo

T : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto:

KerT = {x ∈ U/T(x) = 0}

KerT 6= φ ya que T(0) = 0.

Núcleo

Núcleo

T : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto:

KerT = {x ∈ U/T(x) = 0}

Núcleo

Núcleo

T : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto:

KerT = {x ∈ U/T(x) = 0}

KerT 6= φ ya que T(0) = 0.

Núcleo

Núcleo

T : U → V transformación lineal. Definimos el núcleo de T como el conjunto:

KerT = {x ∈ U/T(x) = 0}

KerT 6= φ ya que T(0) = 0.

Imagen

Imagen

T : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto:

ImT = T(U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f(u)}

Imagen

Imagen

T : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto:

ImT = T(U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f(u)}

Imagen

Imagen

T : U → V transformación lineal. Definimos la imagen de T como el conjunto:

ImT = T(U) = {v ∈ V/∃u ∈ U : v = f(u)}

Rango y nulidad

Definición

dim(ImT): rango de la transformaciónT y se nota r.

Rango y nulidad

Definición

dim(ImT): rango de la transformaciónT y se nota r.

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

T : R 4 _→

R 3

(x1,x2,x3,x4) → (x1 + x2,x2 −x3,x1 +x3)

o en términos matriciales:

T(x) =





1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0



 

  

x1 x2 x₃ x₄



  

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

T : R 4 _→

R 3

(x1,x2,x3,x4) → (x1 + x2,x2 −x3,x1 +x3)

o en términos matriciales:

T(x) =





1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0



 

  

x1 x2 x₃ x₄



  

Ejemplo

Sea la transformación lineal:

T : R 4 _→

R 3

(x1,x2,x3,x4) → (x1 + x2,x2 −x3,x1 +x3)

o en términos matriciales:

T(x) =





1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0



 

  

x1 x2 x₃ x₄



  

Ejemplo

x ∈ KerT ⇔ T(x) = 0 equivale a





1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x₁ x₂ x₃ x4     =   0 0 0   Escalonando:  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0



 →





1 1 0 0

0 1 −1 0 0 −1 1 0



 →





1 1 0 0

0 1 −1 0

0 0 0 0





x₁ = −x₃ x₂ = x₃ x3 = x3

x4 = x4

⇔     x₁ x₂ x3 x4    

= x₃

    −1 1 1 0    

+x₄

Ejemplo

x ∈ KerT ⇔ T(x) = 0 equivale a





1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x₁ x₂ x₃ x4     =   0 0 0   Escalonando:  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0



 →





1 1 0 0

0 1 −1 0 0 −1 1 0



 →





1 1 0 0

0 1 −1 0

0 0 0 0





x₁ = −x3 x₂ = x₃ x3 = x3 x4 = x4

⇔     x₁ x₂ x3 x4    

= x₃

    −1 1 1 0    

+x₄

Ejemplo

x ∈ KerT ⇔ T(x) = 0 equivale a





1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x₁ x₂ x₃ x4     =   0 0 0   Escalonando:  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0



 →





1 1 0 0

0 1 −1 0

0 −1 1 0



 →





1 1 0 0

0 1 −1 0

0 0 0 0





x₁ = −x3 x₂ = x₃ x3 = x3 x4 = x4

⇔     x₁ x₂ x3 x4    

= x₃

    −1 1 1 0    

+x₄

Ejemplo

x ∈ KerT ⇔ T(x) = 0 equivale a





1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x₁ x₂ x₃ x4     =   0 0 0   Escalonando:  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0



 →





1 1 0 0

0 1 −1 0

0 −1 1 0



 →





1 1 0 0

0 1 −1 0

0 0 0 0





x₁ = −x3 x₂ = x₃ x3 = x3 x4 = x4

⇔     x₁ x₂ x3 x4    

= x₃

    −1 1 1 0    

+x₄

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y₃   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x₁ x₂ x3 x4    

= x₁

  1 0 1 

+ x₂   1 1 0 

 +x₃   0 −1 1  

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y₃   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x₁ x₂ x3 x4    

= x₁

  1 0 1 

+ x₂   1 1 0 

 +x₃   0 −1 1  

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y₃   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x₁ x₂ x3 x4    

= x₁

  1 0 1 

+ x₂   1 1 0 

 +x₃   0 −1 1  

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y₃   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x₁ x₂ x3 x4    

= x₁

  1 0 1 

+ x₂   1 1 0 

 +x₃   0 −1 1  

Luego ImT =< {(1,0,1),(1,1,0),(0,−1,1)} >=< {(1,0,1),(1,1,0)} >.

Ejemplo

Luego:

KerT = < {(−1,1,1,0),(0,0,0,1)} > .

Con dim(KerT) = 2.

Sea (y1,y2,y3) ∈ ImT, es decir:

  y1 y2 y₃   =  

1 1 0 0

0 1 −1 0

1 0 1 0

      x₁ x₂ x3 x4    

= x₁

  1 0 1 

+ x₂   1 1 0 

 +x₃   0 −1 1  

KerT e inyectividad

Teorema

Sea T : U → V una transformación lineal entonces

T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.

Corolario

T : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V,

KerT e inyectividad

Teorema

Sea T : U → V una transformación lineal entonces

T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.

Corolario

T : U → V es un isomorfismo si y sólo si KerT = {0} ∧ ImT = V,

KerT e inyectividad

Teorema

Sea T : U → V una transformación lineal entonces

T es inyectiva ⇔ KerT = {0}.

Corolario

Inyectividad y conjuntos l.i.

Teorema

Si T : U → V es inyectiva, entonces

{ui}k_i=1 es ℓ.i. en U ⇒ {T(ui)} k

Inyectividad y conjuntos l.i.

Teorema

Si T : U → V es inyectiva, entonces

{ui}k_i=1 es ℓ.i. en U ⇒ {T(ui)}

k

Ejemplo

Un ejemplo importante

R

n+₁ ∼

= Pn(R).

En efecto, sea T : R

n+₁

→ Pn(R) tal que:

(a0,a1, ...,an) → n

X

i=₀

aixi ∈ Pn(R)

Ejemplo

Un ejemplo importante

R

n+₁ ∼

= Pn(R).

En efecto, sea T : R

n+₁

→ Pn(R) tal que:

(a0,a1, ...,an) → n

X

i=₀

aixi ∈ Pn(R)

Ejemplo

Un ejemplo importante

R

n+₁ ∼

= Pn(R).

En efecto, sea

T : R n+₁

→ Pn(R) tal que:

(a0,a1, ...,an) → n

X

i=₀

aixi ∈ Pn(R)

Ejemplo

Un ejemplo importante

R

n+₁ ∼

= Pn(R).

En efecto, sea

T : R n+₁

→ Pn(R) tal que:

(a0,a1, ...,an) → n

X

i=₀

aixi ∈ Pn(R)