Luna Cortez Karla U2.

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TIJUANA

SUBDIRECCIÓN ACADEMICA

DEPARTAMENTO DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

SEMESTRE: 4to.

ALUMNO: NO.CONTROL: Luna Cortez Karla 12210703

ASIGNATURA: SERIE:

Algebra Lineal 6TIA

MAESTRO(A):

Ma. Eugenia Bermúdez Jiménez.

UNIDAD: 2

TRABAJO:

Investigación unidad 2

FECHA:

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Índice

Unidad 2. Matrices y determinantes

Introducción………3

2.1 Definición de matriz………3

2.2 Operaciones con matrices……….……4

2.3Clasificacion de matrices………..…5

2.4 Transformaciones elementales por renglón……….…7

2.5 Calculo de la matriz inversa………..………9

2.6 Definición de determinante de una matriz………..……11

2.7 Propiedades de los determinantes………12

2.8 Inversa de un matriz cuadrada a través de la adjunta……….……13

2.9 Aplicación de matrices y determinantes………15

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Introducción.

En este trabajo como su tema lo dice se encontraran temas relacionados con matrices y determinantes, empezaremos con un poco de teoría definiendo de lo que se va a abarcar en el tema, también se encontraran más adelante alguna operaciones y clasificaciones de matrices. En determinantes hablaremos de sus propiedades al igual que su definición y como final se harán algunas aplicaciones de matrices y determinantes, espero y sea de su agrado la manera en la que se abarcaran los temas y les resulte interesante.

2.1 Definición de matriz

Se le puede definir a una matriz, como un conjunto de elementos (números) ordenados en filas y columnas.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los elementos de la matriz (aij) tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a

la que pertenece y el segundo j la columna.

Ejemplo:

Esta es una matriz

de m filas y n columnas, es decir, de dimensión m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente: A = (aij) m x n.

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2.2 Operaciones con matrices

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2.3 Clasificaciones de matrices

Triangular superior:

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Triangular inferior:

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros

Diagonal:

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Escalar:

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6 Identidad:

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Potencia:

Se llama potencia k-ésima de una matriz cuadrada A, donde k OE Õ, un entero positivo, al producto de A por sí misma, repetido k veces.

Ak =A⋅A⋅A⋅...k veces ... ⋅A Se conviene en que:

A- k = (A- 1) k " k OE Õ A0 = I

Idempotente:

Una matriz, A, es idempotente si: A2 = A.

Involutiva:

Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I.

Traspuesta:

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A · B)t = Bt · At

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7 Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Anti simétrica:

Una matriz anti simétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

Compleja:

Sus elementos son números complejos aij.

Conjugada:

Matriz conjugada de una matriz A es aquella que se obtiene sustituyendo cada elemento por su complejo conjugado (igual parte real, pero la parte imaginaria cambiada de signo)

2.4 Transformaciones elementales por renglón

La idea que se persigue con las transformaciones elementales es convertir una matriz concreta en otra matriz más fácil de estudiar. En concreto, siempre será posible conseguir una matriz escalonada, en el sentido siguiente.

Sea A una matriz y F una fila de A. Diremos que F es nula si todos los números de F coinciden con el cero. Si F es no nula, llamamos pivote de F al primer número distinto de cero de F contando de izquierda a derecha.

Una matriz escalonada es aquella que verifica las siguientes propiedades: 1. Todas las filas nulas (caso de existir) se encuentran en la parte inferior

de la matriz.

2. El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima.

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8 A no es escalonada, mientras que B y C si lo son.

Dada una matriz escalonada E se define el rango de E, que representamos por rg (E), como el número de filas no nulas de E.

En los ejemplos B y C de arriba se tiene rg (B) = rg(C) = 2, sin embargo no podemos decir que rg(A) = 3 ya que A no está escalonada. Otro ejemplo, las matrices nulas tienen rango cero y la matriz identidad de orden n cumple rg (In) = n.

Dada una matriz A cualquiera, las transformaciones elementales por filas de A son tres:

1. Intercambiar la posición de dos filas.

2. Multiplicar una fila por un número real distinto de cero.

3. Sustituir una fila por el resultado de sumarle a dicha fila otra fila que ha sido previamente multiplicada por un número cualquiera.

El siguiente resultado nos garantiza que siempre podemos transformar una matriz cualquiera en otra escalonada.

Teorema:

A partir de cualquier matriz A se puede llegar, mediante una cantidad finita de transformaciones elementales, a una matriz escalonada E.

Ejemplo:

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2.5 Calculo de la matriz inversa

Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).

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10 Es fácil comprobarlo si sabemos que la suma de los productos de los

elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0.

Método de Gauss Jordán para el cálculo de la matriz inversa:

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11 Para aplicar el método se necesita una matriz cuadrada de rango máximo. Una matriz no siempre tiene inversa, por lo cual comprobaremos que la matriz tenga rango máximo al aplicar el método de Gauss para realizar la triangularización superior. Si al aplicar el método de se obtiene una línea de ceros es que la matriz no tiene inversa.

2.6 Definición de determinante de una matriz

Para una matriz cuadrada A [n,n], el determinante de A, abreviado det (A), es un escalar definido como la suma de n! términos involucrando el producto de n elementos de la matriz, cada uno proveniente exactamente de una fila y columna diferente. Además, cada término de la suma está multiplicado por -1 o +1 dependiendo del número de permutaciones del orden de las

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2.7 Propiedades de los determinantes

 det(AB) = det(A)det(B).

 det(AT) = det(A).

 det(AH) = conjugado(det(A)), en donde AH es la transpuesta conjugada (Hermitian) de A.

 det(cA) = cn det(A).

Intercambiando cualquier par de columnas (filas) de una matriz se multiplica su determinante por -1.

Multiplicando cualquier columna (fila) de una matriz por c multiplica su determinante por c.

Agregando cualquier múltiplo de una columna (fila) de una matriz a otra no altera su determinante.

det(A) <> 0 si y sólo si A es no singular.

Determinante de Matrices Simples

det([a,b;c,d]) = ad-bc.

det([a,b,c;d,e,f;g,h,i]) = aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.

El determinante de una matriz diagonal (pura, superior o inferior) es el producto de los elementos de su diagonal.

Determinante de Bloques de Matrices

 B[m,n], C[m,n]: det([A,B;CT,D]) = det([D,CT;B,A])= det(A) det(D-CTA-1B).

 B[m,n], C[m,n]: det([I,B;CT,I]) = det(I-BTC) = det(I-BCT) = det(I-CTB)= det(I-CBT).

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13  A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; CD=DC: det([A,B;C,D]) = det(AD-BC).

 A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; AC=CA: det([A,B;C,D]) = det(AD-CB).

 A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; AB=BA: det([A,B;C,D]) = det(DA-CB).

 A[n,n], B[n,n], C[n,n], D[n,n]; BD=DB: det([A,B;C,D]) = det(DA-BC).

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta

A una matriz cuadrada se le llama matriz identidad si todos los componentes de su diagonal principal son iguales a uno y todos los demás componentes que no están en la diagonal principal son iguales a cero. La matriz identidad se representa con la letra I.

Sea A una matriz cuadrada n x n. Entonces una matriz B es la inversa de A si, A ∙ B = I y B ∙ A = I, donde I es la matriz identidad de orden n x n.

Ejemplo:

1. La inversa de A se representa por A-1. Así que A ∙ A-1 = A-1 ∙ A = I. 2. No toda matriz cuadrada tiene una inversa.

3. Si A tiene inversa, entonces decimos que A es invertible.

Teoremas:

1. Sea A una matriz cuadrada n x n, entonces AI = IA = A.

2. Si A es una matriz invertible, entonces A-1 es invertible y (A-1)-1 = A. 3. Si una matriz cuadrada A es invertible, entonces la inversa es única. 4. Sean A y B matrices de orden n x n invertibles. entonces AB es

invertible y (AB)-1 = B-1A-1.

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14 A. Efectuamos operaciones elementales con las filas de A/I hasta que la matriz A se transforme en la matriz identidad I. Luego la matriz que contiene los componentes a la derecha de la línea vertical es la inversa de A, esto es, A-1.

Ejemplo:

Sea A una matriz de nxn. Entonces A es invertible si y solo si detA≠0. Si detA≠0, entonces

Si detA≠0, entonces se demuestra que (1/detA) (adjA) es la inversa de A multiplicándola por A y obteniendo la matriz identidad:

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2.9 Aplicación de matrices y determinantes

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo:

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16 Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si miramos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

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17 http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/28-inversa-de-una-matriz-cuadrada.html

http://www.el.bqto.unexpo.edu.ve/etperez/apuntes/determinante.htm

http://html.rincondelvago.com/calculo-de-la-matriz-inversa.html

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/matrices/matrices_definici on_y_tipos.htm

Figure

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