Matemáticas aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales Cuarta edición Frank S. Budnick

1174  986  118 

Texto completo

(1)
(2)
(3)

Matemáticas aplicadas para

administración, economía

(4)
(5)
(6)

MATEMÁTICAS

APLICADAS PARA

ADMINISTRACIÓN,

ECONOMÍA Y

CIENCIAS SOCIALES

Cuarta edición

Frank S. Budnick

University of Rhode Island

Traducción

José Julián Díaz Díaz

Efrén Alatorre Miguel

Traductores profesionales

Revisión técnica

Raúl Gómez Castillo

Profesor de Física y Matemáticas

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, CEM

MÉXICO • AUCKLAND • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA

LISBOA • LONDRES • MADRID • MILÁN • MONTREAL• NUEVA DELHI • NUEVA YORK

(7)

Director Higher Education:

Miguel Ángel Toledo Castellanos

Director editorial:

Ricardo A. del Bosque Alayón

Editor sponsor:

Pablo Eduardo Roig Vázquez

Editora de desarrollo:

Diana Karen Montaño González

Supervisor de producción:

Zeferino García García

Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales

Cuarta edición

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,

por cualquier medio, sin la autorización escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS © 2007 respecto a la cuarta edición en español por

McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

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The McGraw-Hill

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Edificio Punta Santa Fe

Prolongación Paseo de la Reforma 1015, Torre A

Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,

Delegación Álvaro Obregón

C.P. 01376, México, D. F.

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736.

ISBN 970-10-5698-1

(ISBN 970-10-4679-X edición anterior)

Traducido de la cuarta edición de: APPLIED MATHEMATICS FOR BUSINESS, ECONOMICS, AND

THE SOCIAL SCIENCES

Copyright © MCMXCIII by The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

Previous editions © 1979, 1983, and 1988.

0-07-008902-7

1234567890 09875432106

(8)

ACERCA DEL AUTOR

(9)
(10)

A mi esposa, Deb,

(11)
(12)
(13)
(14)

2.3 Forma de pendiente-intercepción

56

Según un punto de vista ventajoso y diferente

56

Interpretación de la pendiente y la intercepción de

y

57

2.4 Determinación de la ecuación de una línea recta

61

Pendiente e intercepción

61

Pendiente y un punto

61

Dos puntos

64

2.5 Ecuaciones lineales con más de dos variables

69

Sistemas de coordenadas tridimensionales

69

Ecuaciones con tres variables

71

Ecuaciones con más de tres variables

73

2.6 Aplicaciones adicionales

76

Términos y conceptos clave

80

Fórmulas importantes

80

Ejercicios adicionales

80

Evaluación del capítulo

86

CAPÍTULO

3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

88

3.1 Sistemas de ecuaciones con dos variables

90

Sistemas de ecuaciones

90

Análisis gráfico

91

Soluciones gráficas

92

El procedimiento de eliminación

93

Sistemas de (

m

2),

m

> 2

97

3.2 Método de eliminación de Gauss

101

La idea general

101

El método

103

3.3 Sistemas con

n

variables,

n

3

109

Análisis gráfico para sistemas con tres variables

109

Procedimiento de eliminación de Gauss para sistemas de (3

3)

110

Menos de tres ecuaciones

115

Sistemas con

n

variables,

n

> 3

117

3.4 Aplicaciones selectas

118

Problema de mezcla de productos

120

Modelo de mezcla

121

Modelo de cartera

122

3.5 Notas finales

126

Términos y conceptos clave

127

Ejercicios adicionales

127

Evaluación del capítulo

130

Ejercicios por computadora

131

(15)

CONTENIDO

xiii

CAPÍTULO

4

FUNCIONES MATEMÁTICAS

140

4.1 Funciones

142

Definición de funciones

142

La naturaleza y la notación de las funciones

143

Consideraciones de dominio y rango

147

Dominio y rango restringidos

150

Funciones de varias variables

151

4.2 Tipos de funciones

158

Funciones constantes

158

Funciones lineales

159

Funciones cuadráticas

160

Funciones cúbicas

161

Función polinomial

162

Funciones racionales

162

Combinación de funciones

163

Funciones compuestas

163

4.3 Representación gráfica de las funciones

169

Representación gráfica de funciones en dos dimensiones

169

Prueba de la línea recta vertical

174

Términos y conceptos clave

177

Fórmulas importantes

177

Ejercicios adicionales

177

Evaluación del capítulo

180

CAPÍTULO

5

FUNCIONES LINEALES: APLICACIONES

182

5.1 Funciones lineales

184

Forma general y suposiciones

184

Funciones lineales del costo

186

Funciones lineales del ingreso

188

Funciones lineales de la utilidad

188

5.2 Otros ejemplos de funciones lineales

192

5.3 Modelos basados en el punto de equilibrio

206

Suposiciones

206

Análisis del punto de equilibrio

206

Términos y conceptos clave

218

Fórmulas importantes

219

Ejercicios adicionales

219

Evaluación del capítulo

223

(16)

CAPÍTULO

6

FUNCIONES CUADRÁTICAS Y POLINOMIALES

226

6.1 Funciones cuadráticas y sus características

228

Forma matemática

228

Representación gráfica

229

6.2 Funciones cuadráticas: aplicaciones

240

6.3 Funciones polinomiales y racionales

249

Funciones polinomiales

249

Funciones racionales

254

Términos y conceptos clave

256

Fórmulas importantes

256

Ejercicios adicionales

257

Evaluación del capítulo

261

Minicaso: Guerras del comercio minorista

263

CAPÍTULO

7

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

264

7.1 Características de las funciones exponenciales

266

Características de las funciones exponenciales

267

Funciones exponenciales de base

e

272

Conversión a funciones de base

e

275

7.2 Aplicaciones de las funciones exponenciales

277

7.3 Logaritmos y funciones logarítmicas

288

Logaritmos

288

Propiedades de los logaritmos

290

Solución de ecuaciones logarítmicas y exponenciales

291

Funciones logarítmicas

296

Términos y conceptos clave

304

Fórmulas importantes

305

Ejercicios adicionales

305

Evaluación del capítulo

310

Minicaso: ¿Hora del fallecimiento?

311

MATEMÁTICAS FINITAS

CAPÍTULO

8

MATEMÁTICAS DE LAS FINANZAS

312

8.1 Interés y su cálculo

314

Interés simple

314

Interés compuesto

316

El poder del crecimiento capitalizado

317

8.2 Cálculos de pagos simples

320

Monto compuesto

320

(17)

CONTENIDO

xv

Otras aplicaciones de la fórmula del monto compuesto

326

Tasas efectivas de interés

329

8.3 Anualidades y su valor futuro

332

La suma de una anualidad

332

Determinación del importe de una anualidad

335

8.4 Anualidades y su valor presente

338

El valor presente de una anualidad

338

Determinación del importe de una anualidad

341

Hipotecas

342

La ventaja del pago quincenal de la hipoteca

345

8.5 Análisis costo-beneficio

347

Flujo de efectivo descontado

347

Extensiones del análisis del flujo de efectivo descontado

350

Términos y conceptos clave

352

Fórmulas importantes

353

Ejercicios adicionales

354

Evaluación del capítulo

358

Minicaso: Corporación XYZ

360

CAPÍTULO

9

ÁLGEBRA MATRICIAL

362

9.1 Introducción a las matrices

364

¿Qué es una matriz?

364

Propósito del estudio del álgebra matricial

365

9.2 Tipos especiales de matrices

366

Vectores

366

Matrices cuadradas

367

Transpuesta de una matriz

368

9.3 Operaciones matriciales

370

Adición y sustracción de matrices

370

Multiplicación escalar

372

El producto interno

373

Multiplicación de matrices

374

Representación de una ecuación

379

Representación de sistemas de ecuaciones

380

9.4 El determinante

383

El determinante de una matriz de orden (1

1)

384

El determinante de una matriz de orden (2

2)

384

El determinante de una matriz de orden (3

3)

384

El método de cofactores

386

Propiedades de los determinantes

391

Regla de Cramer

393

9.5 La inversa de una matriz

396

(18)

Obtención de la inversa usando cofactores (opcional)

401

La inversa y los sistemas de ecuaciones

403

9.6 Aplicaciones selectas

406

Sugerencias para la solución de aplicaciones matriciales

407

Términos y conceptos clave

423

Ejercicios adicionales

424

Evaluación del capítulo

430

Ejercicios por computadora

431

Minicaso: Planeación de recursos humanos

435

CAPÍTULO

10

PROGRAMACIÓN LINEAL: INTRODUCCIÓN

436

10.1 Programación lineal

438

Introducción

438

Un escenario

439

Restricciones estructurales y restricciones de no negatividad

440

10.2 Soluciones gráficas

440

Gráficas de las desigualdades lineales

441

Sistemas de desigualdades lineales

444

Región de soluciones factibles

447

Incorporación de la función objetivo

448

Soluciones del punto vértice

451

Soluciones óptimas alternativas

453

Sin solución factible

456

Soluciones no acotadas

456

10.3 Aplicaciones de la programación lineal

459

Modelos de la mezcla dietética

459

Modelos de transporte

461

Modelos del presupuesto de capital

463

Modelos de mezcla

465

Términos y conceptos clave

473

Ejercicios adicionales

474

Evaluación del capítulo

478

Minicaso: Programación de controladores de tráfico aéreo

479

CAPÍTULO

11

MÉTODO SIMPLEX Y MÉTODOS DE SOLUCIÓN

POR COMPUTADORA

482

11.1 Preliminares del método simplex

484

Panorama del método simplex

484

Requerimientos del método simplex

485

Soluciones factibles básicas

489

11.2 El método simplex

498

Solución por enumeración

499

(19)

CONTENIDO

xvii

Incorporación de la función objetivo

503

Resumen del procedimiento simplex

510

Problemas de maximización con restricciones mixtas

512

Problemas de minimización

515

11.3 Fenómenos especiales

519

Soluciones óptimas alternativas

519

Carencia de solución factible

521

Soluciones no acotadas

523

Cuadros condensados

524

11.4 Métodos de solución por computadora

526

Ilustración de un paquete de programación lineal

526

Precios sombra

529

Análisis de la sensibilidad

530

11.5 El problema dual

533

Formulación del problema dual

534

Soluciones al problema primal y dual

536

Epílogo

538

Términos y conceptos clave

539

Ejercicios adicionales

540

Evaluación del capítulo

545

Minicaso: Concesión de contratos

546

CAPÍTULO

12

MODELOS DE TRANSPORTE Y ASIGNACIÓN

548

12.1 El modelo de transporte

550

Forma general y suposiciones

550

12.2 Métodos de solución para el modelo de transporte

554

Soluciones iniciales (de arranque)

555

El algoritmo del cruce de arroyo

558

Métodos de solución por computadora

565

12.3 El modelo de asignación y los métodos de solución

570

Forma general y suposiciones

571

Métodos de solución

573

El método húngaro

574

Resumen del método húngaro

577

Términos y conceptos clave

580

Ejercicios adicionales

580

Evaluación del capítulo

583

Minicaso: Distribución del almacenamiento

585

CAPÍTULO

13

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

586

13.1 Introducción a los conjuntos y operaciones con conjuntos

589

Conjuntos

589

(20)

Representacións del diagrama de Venn

592

Operaciones con conjuntos

593

13.2 Permutaciones y combinaciones

598

Permutaciones

600

Combinaciones

603

13.3 Conceptos básicos de la probabilidad

609

Experimentos, resultados y eventos

609

Probabilidades

615

Algunas reglas adicionales de la probabilidad

617

13.4 Determinación de independencia y dependencia estadística

626

Independencia estadística

626

Dependencia estadística

630

Términos y conceptos clave

638

Fórmulas importantes

638

Ejercicios adicionales

639

Evaluación del capítulo

645

Minicaso: El problema del cumpleaños

646

CAPÍTULO

14

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

648

14.1 Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad

650

Variables aleatorias

650

Distribuciones de las frecuencias

651

Distribuciones de la probabilidad

653

Histogramas

655

14.2 Medidas de la tendencia central y variación

660

La media

660

La mediana

662

La moda

662

Media de una distribución de probabilidad discreta

663

La desviación estándar

664

14.3 Distribución de la probabilidad binomial

669

Procesos de Bernoulli

669

Distribución binomial

670

Media y desviación estándar de la distribución binomial

675

14.4 Distribución de la probabilidad normal

678

Distribución de la probabilidad normal

678

(21)

CONTENIDO

xix

EL CÁLCULO

CAPÍTULO

15

DIFERENCIACIÓN

698

15.1 Límites

700

Límites de las funciones

701

15.2 Propiedades de los límites y continuidad

708

Algunas propiedades de los límites

708

Límites e infinito

712

Continuidad

716

15.3 Razón de cambio promedio

720

Razón de cambio promedio y pendiente

720

15.4 La derivada

728

Razón de cambio instantánea

728

Aproximación del límite para encontrar la derivada

733

15.5 Diferenciación

738

Reglas de la diferenciación

738

15.6 Reglas adicionales de la diferenciación

744

Regla de la cadena

746

15.7 Interpretación de la razón de cambio instantánea

749

15.8 Derivadas de orden superior

753

La segunda derivada

753

Tercera derivada y derivadas de orden superior

755

Términos y conceptos clave

757

Fórmulas importantes

757

Ejercicios adicionales

758

Evaluación del capítulo

763

Apéndice: Demostración de algunas reglas de la diferenciación

763

CAPÍTULO

16

OPTIMIZACIÓN: METODOLOGÍA

768

16.1 Derivadas: interpretaciones adicionales

770

La primera derivada

770

Concavidad y puntos de inflexión

774

Concavidad desde una perspectiva diferente

778

16.2 Identificación de los máximos y mínimos

781

Extremos relativos

781

Puntos críticos

782

Prueba de la primera derivada

785

Prueba de la segunda derivada

788

Cuando falla la prueba de la segunda derivada

793

(22)

16.3 Trazado de curvas

797

Puntos de datos clave

798

16.4 Consideraciones del dominio restringido

803

Cuando el dominio está restringido

803

Términos y conceptos clave

806

Ejercicios adicionales

807

Evaluación del capítulo

808

CAPÍTULO

17

OPTIMIZACIÓN: APLICACIONES

810

17.1 Aplicaciones del ingreso, costo y utilidad

813

Aplicaciones del ingreso

813

Aplicaciones del costo

816

Aplicaciones de la utilidad

820

Aproximación marginal para la maximización de la utilidad

823

17.2 Aplicaciones adicionales

834

Ejercicios adicionales

855

Evaluación del capítulo

862

Minicaso: El modelo de la cantidad económica de pedido

863

CAPÍTULO

18

CÁLCULO INTEGRAL: UNA INTRODUCCIÓN

866

18.1 Antiderivadas

868

El concepto de la antiderivada

868

Funciones de ingreso y costo

871

18.2 Reglas de la integración

873

Integración

874

Reglas de la integración

875

18.3 Reglas adicionales de integración

879

18.4 Otras técnicas de integración (opcional)

886

Integración por partes

886

Integración por fracciones parciales

890

Tablas de integrales

895

18.5 Ecuaciones diferenciales

898

Clasificación de las ecuaciones diferenciales ordinarias

899

Soluciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias

899

Extensión de las ecuaciones diferenciales

904

(23)

CONTENIDO

xxi

CAPÍTULO

19

CÁLCULO INTEGRAL: APLICACIONES

910

19.1 Integrales definidas

912

La integral definida

912

Evaluación de las integrales definidas

915

Propiedades de las integrales definidas

918

19.2 Integrales definidas y áreas

923

Áreas entre una función y el eje de las

x

923

Obtención de áreas entre curvas

927

19.3 Métodos de aproximación

935

Regla de los rectángulos

935

Regla de los trapecios

937

Regla de Simpson

938

19.4 Aplicaciones del cálculo integral

943

19.5 Cálculo integral y probabilidad (opcional)

957

Términos y conceptos clave

960

Fórmulas importantes

960

Ejercicios adicionales

961

Evaluación del capítulo

965

Minicaso: El dilema de la seguridad social: un problema de solvencia

967

CAPÍTULO

20

OPTIMIZACIÓN: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

968

20.1 Representación gráfica de funciones de dos variables

970

Representación gráfica

970

Trazado de funciones de dos variables

971

20.2 Derivadas parciales

975

Derivadas de funciones de dos variables

975

Interpretación de las derivadas parciales

980

Derivadas de segundo orden

984

20.3 Optimización de las funciones de dos variables

987

Puntos críticos

987

Cómo distinguir los puntos críticos

992

20.4 Aplicaciones de la optimización de dos variables

1002

20.5 Optimización de

n

variables (opcional)

1014

Condición necesaria para los extremos relativos

1015

Condiciones suficientes

1015

20.6 Optimización sujeta a restricciones (opcional)

1019

Método del multiplicador de Lagrange (restricción de la igualdad)

1019

Condición suficiente

1021

Caso de restricción de una sola igualdad con

n

variables

1023

Interpretación de

1026

(24)

Términos y conceptos clave

1027

Fórmulas importantes

1028

Ejercicios adicionales

1028

Evaluación del capítulo

1031

Minicaso: Modelo de inventario de pedidos retrasados

1032

TABLAS DE INTERÉS COMPUESTO

T-1

A

PÉNDICE

A

REVISIÓN DE ÁLGEBRA (OPCIONAL)

A-1

Evaluación preliminar de álgebra

A-1

Repuestas a la evaluación preliminar de álgebra

A-2

A.1 El sistema de los números reales

A-2

Números reales

A-2

Valor absoluto

A-3

A.2 Polinomios

A-4

Exponentes enteros positivos

A-4

Expresiones polinomiales

A-6

Adición y sustracción de polinomios

A-7

Multiplicación de polinomios

A-8

División de polinomios

A-9

A.3 Factorización

A-11

Factores monomiales

A-11

Polinomios cuadráticos

A-12

Otras formas especiales

A-14

A.4 Fracciones

A-15

Adición y sustracción de fracciones

A-15

Multiplicación y división

A-17

A.5 Exponentes y radicales

A-19

Exponentes fraccionarios

A-19

Radicales

A-19

APÉNDICE

B

NOTACIÓN DE SUMATORIA

A-23

RESPUESTAS SELECTAS

Ejercicios de seguimiento y evaluaciones del capítulo

R-1

(25)

P

REFACIO

xxiii

CAPÍTULO

1

ALGUNOS CONOCIMIENTOS PRELIMINARES

2

1.1 Ecuaciones de primer grado con una variable

4

Las ecuaciones y sus propiedades

4

Solución de ecuaciones de primer grado con una variable

6

1.2 Ecuaciones de segundo grado con una variable

8

Solución de ecuaciones cuadráticas

8

1.3 Las desigualdades y su solución

11

Desigualdades

11

Notación de intervalo

13

Solución de desigualdades

14

Desigualdades de segundo grado

17

1.4 Relaciones de valor absoluto

20

Algunas propiedades de los valores absolutos

21

Solución de ecuaciones y desigualdades que implican valores absolutos

22

1.5 Sistemas de coordenadas rectangulares

25

El plano cartesiano

25

Fórmula del punto medio

28

Fórmula de la distancia

29

Términos y conceptos clave

31

Ejercicios adicionales

32

Evaluación del capítulo

33

ECUACIONES Y FUNCIONES

CAPÍTULO

2

ECUACIONES LINEALES

34

2.1 Ecuaciones lineales

36

Forma general

36

Representación mediante el uso de las ecuaciones lineales

37

Ecuaciones lineales con

n

variables

40

2.2 Características gráficas

45

Representación gráfica de ecuaciones con dos variables

45

Intercepciones

47

La ecuación

x

=

k

48

La ecuación

y

=

k

48

Pendiente

50

(26)

Características específicas

Una mayor orientación hacia el uso de la COMPUTADORA COMO UNA

HERRA-MIENTA para el análisis matemático.

A lo largo del libro se utilizan REGRESIONES DE ÁLGEBRA para ayudar al

estu-diante a recordar las reglas y los conceptos esenciales. La regresión consiste

gene-ralmente en volver a presentar una regla o un concepto haciendo referencia a

secciones de revisión de álgebra apropiadas en el texto.

NOTAS PARA EL ESTUDIANTE que ofrecen discernimientos acerca de un

con-cepto matemático o una aplicación.

“PUNTOS PARA PENSAR Y ANALIZAR” que permiten a los estudiantes hacer

una pausa por un momento para reconsiderar un concepto o ejemplo desde una

perspectiva diferente. Su propósito es reforzar y ampliar la comprensión del

alum-no al inducir al pensamiento crítico.

Características pedagógicas

Los PROBLEMAS CON BASE EN LA COMPUTADORA, identificados en el

conjunto de ejercicio con un ícono brindan al alumno y al profesor una oportunidad

para resolver problemas de mayor escala.

Los MINICASOS permiten que los estudiantes analicen e interpreten una

aplica-ción más compleja y realista. Pueden ser la base para estimular el análisis en clase.

* Capítulo opcional

Algunas estructuras sugeridas para el curso A Combinación de matemáticas finitas y cálculo en dos niveles

Primer nivel

Segundo nivel

B Combinación de matemáticas finitas y cálculo en un nivel

1 2 3 4 5 6 7* 8* 9* 10* 13*

15 16 17 18 19* 20*

1 2 3 4 5 6 7* 9 15 16 17 18 19*

C Énfasis en el cálculo en un nivel

1 2 4 5 6 7* 15 16 17 18 19* 20*

D Énfasis en las matemáticas finitas en un nivel

(27)

PREFACIO

xxv

Una gran variedad de otros elementos de ayuda para el aprendizaje, incluyendo

objetivos del capítulo, numerosos ejemplos resueltos, un caudal de ejercicios,

eva-luaciones de los capítulos, listas de términos y conceptos clave, y listas resumidas

de fórmulas importantes.

Nuevas características y cambios

Los principales cambios en la cuarta edición tienen lugar en la organización. Primero, se

ha organizado el libro en tres subsecciones principales:

I.

Ecuaciones y funciones

II.

Matemáticas finitas

III.

Cálculo

Otros cambios importantes incluyen los siguientes:

Capítulo 1:

Algunos conocimientos preliminares

es un nuevo capítulo que analiza

algu-nos conceptos fundamentales (más allá de la revisión de los principios algebraicos básicos

en el apéndice A) los cuales son un requerimiento previo para el material que sigue.

Se ha movido el material sobre ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones de modo que

preceda el análisis de las funciones matemáticas.

Se ha consolidado el material acerca de las funciones matemáticas en cuatro capítulos al

principio del libro de texto. El capítulo 4 introduce el concepto y la notación de las

Funciones matemáticas

. El capítulo 5 se enfoca en las

Funciones lineales:

aplicacio-nes

. El capítulo 6 estudia las

Funciones cuadráticas y polinomiales

con aplicaciones. El

capítulo 7 presenta

Funciones exponenciales y logarítmicas

con aplicaciones.

Se ha reorganizado ligeramente el tratamiento de la programación lineal en los capítulos

10 y 11. En tanto que las aplicaciones se presentaban primero en la edición anterior, el

capítulo 10 se enfoca primero en los métodos de solución gráfica, seguidos por

aplicacio-nes seleccionadas. Se ha cambiado la sección que estudia los métodos de solución por

com-putadoras al final del capítulo 11, el cual presenta el método simplex.

Se ha eliminado en esta edición el material sobre programación entera y programación de

objetivo. A pesar de que hay extensiones interesantes de la programación lineal, se

deter-minó que estos temas son de poca importancia relativa.

En el análisis del cálculo, se ha dividido en dos capítulos separados el material sobre

optimi-zación (como en la segunda edición). El capítulo 16 presenta la metodología de la

optimiza-ción y el capítulo 17 está dedicado exclusivamente a las aplicaciones de la optimizaoptimiza-ción. El

motivo principal por el que se separaron estos temas es que se presenta demasiado material

para un solo capítulo. La pedagogía es hacer que los estudiantes aprendan la metodología

matemática en el capítulo 16, seguida de las aplicaciones seleccionadas del capítulo 17.

El material sobre optimización de funciones de varias variables se ha cambiado al último

capítulo en el libro de texto. Este tema es opcional para muchas escuelas y su nueva

ubi-cación es compatible con textos que compiten con éste.

Otras modificaciones importantes incluyen:

(28)

Se ha eliminado el capítulo 11 de la tercera edición (Aplicaciones seleccionadas de

proba-bilidad), aunque se han transferido algunas aplicaciones al capítulo sobre álgebra matricial.

Se ha aumentado significativamente el número de Ejercicios de práctica con el fin de dar

más oportunidades para el refuerzo de nuevos conceptos.

Además de estos cambios, el autor ha incorporado una cantidad considerable de

aplicacio-nes (ya sea como ejemplos o ejercicios) que contienen “datos de la vida real”. Asimismo,

el autor hace un intento significativo por hacer que los estudiantes estén conscientes de la

naturaleza que tiene la

estimación

al aplicar las matemáticas. Es decir, la aplicación del

análisis matemático en el “mundo real” implica la aproximación de relaciones entre

varia-bles. Es importante que los estudiantes entiendan las fuerzas y debilidades del análisis

matemático.

El libro contiene un gran número de aplicaciones distintas. Se pretende que los

profe-sores cubran tantas aplicaciones en estos capítulos como consideren conveniente para sus

alumnos.

Se considera que algunos ejercicios del libro de texto son de mayor nivel de dificultad

que la mayoría de los demás. Estos ejercicios están precedidos por un asterisco (*).

Reconocimientos

Deseo expresar mi sincero agradecimiento a las personas que han contribuido ya sea

direc-ta o indirecdirec-tamente en este proyecto. Quiero agradecer a: Thomas Arbutiski, Community

College of Allegheny County; Helen B. Chun, Community College of Allegheny County;

Benjamin Eichorn, Rider College; Joseph Fadyn, Southern College of Technology; Odene

Forsythe, Westark Community College; Gary Grimes, Mount Hood Community College;

Anne Hughes, St. John’s University; Harry Hutchins, Southern Illinois University; Harlan

Koca, Washburn University of Topeka; Joyce Longman, Villanova University; Daniel J.

Madden, University of Arizona; Victor McGee, Dartmouth College; Michael Mogavero,

Alfred University; Dean Morrow, Robert Morris College; Richard Semmler, Northern

Virginia Community College; Richard Witt, University of Wisconsin, Eau Claire; y

Cathleen Zucco, Le Moyne College, por sus muchos comentarios útiles durante el

desa-rrollo del manuscrito. Expreso un agradecimiento especial a Thomas Arbutiski por sus

revisiones y sugerencias concienzudas y extremadamente detalladas.

También deseo agradecer a varias personas de McGraw-Hill con quienes trabajé

direc-tamente. Estas personas incluyen a Michael Johnson, Margery Luhrs y David Damstra.

Doy gracias también a Karen Minette por coordinar el paquete de complementos y a Leon

Bolognese por su trabajo en el diseño del libro.

De igual manera estoy agradecido por los esfuerzos de Shaochi Xu quien colaboró en

el desarrollo de los conjuntos de soluciones para los ejercicios. Doy un especial

agradeci-miento a mis 520 alumnos de QBA que sirvieron como “conejillos de indias” por

permi-tirme probar en clase algunas partes del manuscrito. Del mismo modo, querría hacer

patente mi reconocimiento por las útiles sugerencias de Sandra Quinn, Kathy Bowser y la

finada Elizabeth Flaherty, así como sus esfuerzos en el desarrollo del

Instructor’s Resource

Manual

y el

Student’s Solutions Manual.

Por último, quiero dar gracias a mi esposa, Deb, por su apoyo a lo largo de esta

exte-nuante experiencia, al igual que por las otras vivencias que hemos compartido juntos.

(29)

Introducción

Las matemáticas son una parte integral de la educación de estudiantes de administración,

economía y ciencias sociales. Existe un creciente deseo de mejorar el nivel de sofisticación

cuantitativa que tienen los graduados en estos tipos de programas. El objetivo no es

con-vertir a estos estudiantes en matemáticos, sino hacer que se sientan tan cómodos como sea

posible en un entorno en el que cada vez se utilizan más el análisis cuantitativo y la

com-putadora. Los estudiantes descubren que deben integrar las matemáticas, el análisis

esta-dístico y la computadora en cursos tanto obligatorios como optativos de sus programas.

Además, las organizaciones ahora usan con mayor eficiencia las herramientas cuantitativas

y la computadora. Quienes toman decisiones estarán mejor preparados para operar en este

tipo de entorno si están familiarizados con las clases de análisis cuantitativo y la

tecnolo-gía de cómputo que se emplean con mayor frecuencia. Dicha familiaridad puede ayudarles

a ser mejores “críticos” y “usuarios” de estas herramientas y quizás tomen mejores

deci-siones.

Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales

, cuarta

edi-ción, aún presenta de manera informal y no intimidante los principios matemáticos,

técni-cas y aplicaciones más útiles para los estudiantes de negocios, economía, administración y

las ciencias naturales y sociales. Diseñado principalmente como un curso de dos niveles de

matemáticas aplicadas (es posible adaptar con facilidad el libro para un curso de un solo

periodo escolar), trata en forma integral los temas seleccionados de matemáticas finitas y

cálculo. Su uso es apropiado tanto en escuelas con cursos de dos años como en escuelas

con cursos de cuatro años, al igual que como nivel “fundamental” para los programas

uni-versitarios que tienen como un requerimiento previo contar con conocimientos de

mate-máticas. Las maestrías en administración de empresas y administración pública son

programas universitarios que normalmente exigen este tipo de requerimiento.

Características

Se han conservado las siguientes características de la edición anterior:

Un nivel de presentación que desarrolla y refuerza con cuidado los temas.

Un estilo que apela a la

intuición

de los estudiantes y da mucho

refuerzo visual

.

Una

aplicación orientada

que motiva a los estudiantes y da un sentido de

propósi-to para el estudio de las matemáticas.

Un planteamiento que desarrolla primero el concepto matemático y luego lo

refuer-za con aplicaciones.

Un planteamiento que minimiza el uso de demostraciones matemáticas rigurosas.

(30)
(31)
(32)

Algunos

conocimientos

preliminares

1.1

ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE

1.2 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE

1.3 LAS DESIGUALDADES Y SU SOLUCIÓN

1.4 RELACIONES DE VALOR ABSOLUTO

1.5 SISTEMAS DE COORDENADAS RECTANGULARES

Términos y conceptos clave

Ejercicios adicionales

(33)

Estudiar las ecuaciones y los métodos de solución.

Presentar las propiedades de las desigualdades y los métodos

de solución.

Ilustrar las relaciones del valor absoluto.

Introducir las propiedades de los sistemas de coordenadas

rectangulares.

(34)

Este capítulo presenta un análisis de conceptos algebraicos selectos. Para estudiar de

mane-ra exitosa el material de este libro de texto, es un requerimiento previo entender estos

con-ceptos, así como los conceptos fundamentales que se revisan en el apéndice A.

Ecuaciones de primer grado con una variable

En este libro continuamente se trabaja con ecuaciones. Es esencial en absoluto comprender

el significado de las ecuaciones y sus propiedades.

Las ecuaciones y sus propiedades

Una

ecuación

indica la igualdad de dos expresiones algebraicas. Las expresiones

algebrai-cas pueden escribirse en términos de una o más

variables

. Los siguientes son algunos

ejem-plos de ecuaciones.

En las ecuaciones (1) y (3), las variables son

x

y

w

, respectivamente. En la ecuación (2) hay

tres variables,

r

,

s

y

t

. Se utiliza el término

variable

porque se pueden sustituir las letras con

distintos valores numéricos.

La

solución

de una ecuación consta de esos valores numéricos, los cuales, al ser

sus-tituidos por las variables, hacen válida una ecuación. Los valores numéricos que hacen

vá-lida una ecuación se conocen como

raíces

de una ecuación. Se dice que las raíces son los

valores de la(s) variable(s) que

satisface(n) la ecuación

. En la ecuación (1), la sustitución

del número 0 por la variable

x

da como resultado

10 22

lo cual no es cierto. El valor

x

= 0 no es una raíz de la ecuación. Sin embargo, al sustituir

el número 4 por la variable

x

se obtiene

3(4) 10225(4)

o

22

Se considera que el valor

x

= 4 es una raíz de la ecuación.

Se pueden distinguir tres tipos de ecuaciones. Una

identidad

es una ecuación que es

válida para cualquier valor numérico asignado a las variables. Un ejemplo de una identidad

es la ecuación

2

6x1212x24 2

3x 10 22 5x

2r 5s 8t

3 100

w2 5w 16

(1)

(2)

(3)

(35)

1.1 Ecuaciones de primer grado con una variable

5

Otro ejemplo es

5(xy) 5x5y

En cada una de estas ecuaciones, cualquier valor que se asigne a las variables hará que

am-bos lados sean iguales.

Una

ecuación condicional

es válida únicamente para un número limitado de valores

de las variables. Por ejemplo, la ecuación

x3 5

es verdadera sólo cuando

x

es igual a 2.

Un

enunciado falso

, o

contradicción

, es una ecuación que nunca es verdadera. Esto

significa que no hay valor alguno que se pueda asignar a las variables para que los dos

la-dos de la ecuación sean iguales. Un ejemplo es la ecuación

xx5

Se indica que los dos lados

no son iguales

al usar el símbolo

; para este ejemplo,

xx5

La

solución de una ecuación

se refiere al proceso de encontrar las raíces de una

ecua-ción, si es que existe alguna. Con el fin de resolver ecuaciones, por lo general se

manipu-lan o se reordenan. Las reglas siguientes indican las operaciones permitidas.

Reglas seleccionadas para el manejo de ecuaciones

I

Se pueden sumar o sustraer expresiones con valores reales que son

iguales de ambos lados de una ecuación.

II

Es posible multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por

cualquier constante diferente a cero.

III

Se pueden multiplicar ambos lados de una ecuación por una cantidad que

implique variables.

IV

Es posible elevar al cuadrado ambos lados de una ecuación.

V

Se pueden dividir ambos lados de una ecuación por una expresión que

incluya variables siempre que la expresión no sea igual a 0

.

(36)

El

grado de un polinomio

se define como el grado del término elevado a la mayor

po-tencia en un polinomio. Si se puede escribir una ecuación en la forma

Expresión polinomial0

el grado de la expresión polinomial es el

grado de la ecuación

. Por tanto, la ecuación

2

x

4

0 es una ecuación de primer grado. La ecuación 4

r

2

r

10

0 es una

ecua-ción de segundo grado. La ecuaecua-ción

n

4

3

n

2

9

0 es una ecuación de cuarto grado.

Solución de ecuaciones de primer grado con una variable

El procedimiento que se emplea para resolver ecuaciones depende de la naturaleza de la

ecuación. Considérense primero ecuaciones de primer grado que implican una variable.

Los siguientes son algunos ejemplos de estas ecuaciones.

3x2x5

5x412x

Es relativamente fácil resolver ecuaciones de esta forma. Al usar las reglas de manejo

apropiadas, el planteamiento consiste sólo en aislar la variable en un lado de la ecuación y

todas las constantes al otro lado de la ecuación.

Resuelva las dos ecuaciones de primer grado que se presentaron antes.

SOLUCIÓN

Para la ecuación 3x2x– 5, se suma 2xen ambos lados de la ecuación para obtener

o

Nuestra conclusión: el único valor de xque satisface esta ecuación es 5. Para la ecuación 5x4 12 x, se puede sumar 4 y x a ambos lados

o

Dividir ambos lados entre 4 (o al multiplicarlos por 1–4) dan la raíz de la ecuación:

x4

Nuestra conclusión: el único valor de xque satisface la ecuación es 4.

5x 4 4 ( x) 12 x 4 ( x)

5x x 12 4

x 16 XAMPLE

3x(2x)2x5(2x)

x 5

1 4

(37)

1.1 Ecuaciones de primer grado con una variable

7

Para resolver la ecuación

se puede sustraer 2xde ambos lados, lo que da como resultado

o

Este resultado es un enunciado falso, o contradicción, que señala que la ecuación original no tiene raíces.

Para resolver la ecuación

se multiplican ambos lados de la ecuación por 2, lo que da como resultado

Ambos lados de la ecuación son idénticosy esto sugiere que es posible asignar cualquier valor a x para satisfacer la ecuación. Si se trata de aislar xen el lado izquierdo de la ecuación, al sustraer 2xen ambos lados se tiene como resultado

Esto es una identidad, que también señala que se puede asignar cualquier valor a la variable x. ❑

6 6

XAMPLE

2(x3)2x6 2x62x6 XAMPLE

x32x6 2

1 4

XAMPLE

510

1 4

XAMPLE

2x52x102x2x

1 4

XAMPLE

2x5102x

Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado:

Respuesta: a) 3, b) cualquier número real,c) no hay valores.

a) 4x 10 8 2x b) x 5 ( 2x 10)

2

c) 3x 3 3x 5

Ejemplo 3

Ejemplo 2

Ejercicio de práctica

(38)

Sección 1.1 Ejercicios de seguimiento

Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado.

Ecuaciones de segundo grado con una variable

Una ecuación de segundo grado que implica la variable

x

tiene la forma generalizada

ax2bxc0

donde

a

,

b

y

c

son constantes, con la condición adicional de que a

0. Normalmente se

dice que las ecuaciones de segundo grado son

ecuaciones cuadráticas

. Si

a

es igual a

ce-ro, el término

x

2

desaparece y la ecuación deja de ser de segundo grado. Éstos son algunos

ejemplos de ecuaciones de segundo grado

Solución de ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática (excluyendo una identidad) puede tener

raíces no reales

,

una raíz

real

o

dos raíces reales

. Es posible utilizar diferentes procedimientos para determinar las

raíces de una ecuación cuadrática. Se analizarán dos de estos procedimientos. En cualquier

caso, el primer paso consiste en volver a escribir la ecuación en la forma

ax

2

bx

c

0.

Método de factorización.

Si se puede factorizar el lado izquierdo de la ecuación

cuadrá-tica, será muy fácil identificar las raíces. Considérese la ecuación cuadrática

2 2 2 2 2 2

x24x0

XAMPLE

2

2

2

6x22x10

3x212

2x215x9

2

2

XAMPLE

2

1. x52x8 2. 182x83x

3. 2x46x 4. 5x12 163x

5. 2(x8)3(x4) 6. 5(3x)3(5x)

7. 162t4t12 8. 8y106y20

9. 35t3t5 10. 10y2 6y4

11. 3t104t6 12. 3(2t8)4(2t)

£Î° £{° ­Ý È® ­x ÓÝ® Ó ä

È x Ó Ç

£x° Ì Î

Ó Ì Î { n Ì Î Ó £È° Î Ý Ó Ý Î Ó £Ç° Û

Ó Î x

Û Ó £n° { Ý Î Ý Ó £™° ­Ì ήÉÓ ­{ ÎÌ®É{ Óä° Î­Ý Ó® ­Ý ήÉÓ

Ó£° Ó­Þ £® Î­Þ £® x Þ ÓÓ° έ£Ó Ý® £È Ó

Óΰ Î­Ý Ó® {­Ó Ý® Ý Ó­Ý £® Ó{° ÎÝ £ Ó ­ÝÎÝ

Ý Ý

(39)

1.2 Ecuaciones de segundo grado con una variable

9

Se puede factorizar el lado izquierdo de la ecuación, lo que da como resultado

La forma factorizada de la ecuación sugiere que el producto de los dos términos es igual

a 0. El producto equivaldrá a 0 si cualquiera de los dos factores es igual a 0. Para esta

ecuación, el primer factor equivale a 0 cuando

x

0 y el segundo factor es igual a 0

cuan-do

x

4. Por tanto, las dos raíces son 0 y 4.

Determine las raíces de la ecuación

SOLUCIÓN

Se puede factorizar el lado izquierdo de la ecuación obteniendo como resultado

Al establecer cada factor igual a 0, se descubre que hay una raíz para la ecuación y ésta ocurre

cuan-do x 3. ❑

Fórmula cuadrática.

Cuando no se puede factorizar la ecuación cuadrática o si no es

po-sible identificar los factores, puede aplicarse la

fórmula cuadrática

para identificar todas

las raíces de una ecuación de la forma

(1.1)

Dados los valores para

a

,

b

y

c

, la fórmula cuadrática es

(1.2)

Los ejemplos siguientes ilustran el uso de la fórmula.

Dada la ecuación cuadrática x2 2x48 0, los coeficientes son a1, b 2 y c= 48. Al sustituir estos coeficientes en la fórmula cuadrática, las raíces de la ecuación se calculan así

2

2

XAMPLE

2

x(2)√(2)

24(1)(48)

2(1)

2√4192

2

2√196

2

214 2 16 2 12 2 XAMPLE 2 2 2

x bb2 4ac

2a

2

2

ax2bxc0

2 XAMPLE 2 2 16 2 12 2 XAMPLE 2 2 2 2 2 2 2 XAMPLE 2

(x3)(x3)0

2 2 2 2 2 XAMPLE

x26x90

2

2

2

2

2

x(x4)0

XAMPLE

2

Ejemplo 4

Ejemplo 5

(40)

CAPÍTULO 1 Algunos conocimientos preliminares

10

Al usar el signo más, se obtiene

Al utilizar el signo menos, se tiene

Por consiguiente, 8 y 6 son los dos valores reales de xque satisfacen la ecuación cuadrática.

Encontrar las raíces de la ecuación x22x1 0, a1, b= 2 y c1. Al sustituir los valores en la fórmula da como resultado

Puesto que el radicando equivale a cero, al aplicar el signo se obtiene la misma raíz, 1.

Encontrar las raíces de la ecuación x2x10, a1, b 1 y c10. La sustitución en la fórmula cuadrática da

Ya que no hay raíz cuadrada real de –39, se concluye que no hay valores de xque satisfagan la

ecua-ción cuadrática. ❑

XAMPLE

2

x(1)√(1)

24(1)(10)

2(1)

1√140

2

1√39

2 2 2 2 2 2 2 2 2 XAMPLE 2 2 16 2 12 2 XAMPLE 2

x(2)√(2)

24(1)(1)

2(1)

2√44

2

20

2

1

x 2 14

2

12

2 6

x 2 14

2

16

2 8

Ejemplo 6

Ejemplo 7

Resuelva las siguientes ecuaciones de primer grado:

a

)

x

2

3

x

2

0

b

) 3

x

2

2

x

5

0

c

)

x

2

10

x

25

0

Respuesta:a) x 1, 2, b) no hay valores, c) x 5.

Ejercicio de práctica

(41)

1.3 Las desigualdades y su solución

11

La expresión debajo del radical de la fórmula cuadrática,

b

2

4

ac

, recibe el nombre

de

discriminante.

Obsérvense las generalizaciones siguientes con respecto del

discrimi-nante y las raíces para ecuaciones de segundo grado.

Interpretaciones del discriminante

Para una ecuación cuadrática de la forma

ax

2

bx

c

0.

I

Si b

2

4ac

0, hay dos raíces reales.

II

Si b

2

4ac

0, hay una raíz real

.

III

Si b

2

4ac

0, no hay raíces reales.

Sección 1.2 Ejercicios de seguimiento

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas utilizando la factorización.

Las desigualdades y su solución

Esta sección estudia las

desigualdades

, la

notación de intervalo

y la

solución de

desigual-dades

.

Desigualdades

Las

desigualdades

expresan la condición de que dos cantidades no son iguales. Una

mane-ra de expresar esta condición es mediante el uso de los

símbolos de desigualdad

< y >. La

tabla siguiente ilustra el uso y la interpretación de estos símbolos:

1. x2 x 12 0 2. x2 36 0

3. x2 2x 1 0 4. x2 3x 10 0

5. x2 3x 4 0 6. t2 2t 8 0

7. 2t2 9t 4 0 8. 5r2 2r 3 0

9. 6y2 9y 6 0 10. x2 10x 25 0

11. r2 16 0 12. 3t2 9t 6 0

13. x2 2x 15 0 14. 2x2 x 1 0

15. 4y2 18y 10 0 16. x2 10x 21 0

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.

17. x2 8x 12 0 18. x2 12x 36 0

19. r2 2r 1 0 20. t2 2t 1 0

21. x2 x 20 0 22. x2 3x 5 0

23. x2 3x 10 0 24. 9x2 3x 2

25. 2x2 2 2x 26. 3r2 14r 8

27. x2 2x 2 28. 4t2 3t 1

29. y2 2 2y 30. x2 4x 5 0

31. x2 2x 5 32. 2x2 32 0

(42)

–10

–1 < 3

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 < 7

–6 < –3

Estas desigualdades son

desigualdades estrictas

, puesto que los elementos que se

compa-ran nunca son iguales entre sí. El caso

a

) ilustra una

desigualdad absoluta

, la cual siempre

es verdadera. Una

desigualdad condicional

sólo es verdadera en ciertas situaciones. La

desigualdad del caso

b

) es verdadera cuando la variable

x

tiene un valor mayor que 100. Si

x

150, la desigualdad es verdadera; si

x

25, la desigualdad no es verdadera. El caso

c

) ilustra lo que se denomina una

doble desigualdad

.

Un uso de las desigualdades es facilitar la comparación de números. La figura 1.1 ilustra

la

recta de los números reales

.

Dados dos números reales a

y b, si a

< b, significa que a

cae

a la izquierda de b

en la recta de los números reales

. En la figura 1.1 se presentan

ejem-plos de desigualdades.

Desigualdad

Interpretación

a) 3 5 “3 es menor que 5”

b) x100 “el valor de xes mayor que 100”

c) 0 y10 “el valor de yes mayor que cero y menor que 10”

Desigualdad

Interpretación

a) x3 15 “la cantidad (x3) es mayor que oigual a 15” b) y x “el valor de yes menor que oigual al valor de x”

a

es menor que

b

.

b

es mayor que

a

.

a

b

b

a

b

a

0

a

b

0

a

cae a la izquierda de

b

en la recta de los números reales.

b

cae a la derecha de

a

en la recta de los números reales.

Figura 1.1 (6 es izquierda de 3) (1 es izquierda de 3) (6 es izquierda de 7)

Los siguientes enunciados son maneras de expresar la misma relación.

Figure

Figura 1.3
Figura 1 3. View in document p.44
Figura 1.7
Figura 1 7. View in document p.48
Figura 1.13 Plano
Figura 1 13 Plano . View in document p.55
Figura 1.14 Sistema de coordenadas
Figura 1 14 Sistema de coordenadas. View in document p.56
Figura 1.16 Ejemplos de
Figura 1 16 Ejemplos de . View in document p.57
Figura 1.19 Teorema
Figura 1 19 Teorema . View in document p.59
Figura 1.18
Figura 1 18. View in document p.59
Figura 2.2 Gráfica de una
Figura 2 2 Gr fica de una. View in document p.77
Figura 2.4 Gráfica
Figura 2 4 Gr fica . View in document p.79
Figura 2.3 Gráfica de x � 3.
Figura 2 3 Gr fica de x 3 . View in document p.79
Figura 2.9 Pendiente:
Figura 2 9 Pendiente . View in document p.82
Figura 2.10 Se miden �x y �y.
Figura 2 10 Se miden x y y . View in document p.83
Figura 2.12 y se incrementa �83�por cada unidad que x aumenta.
Figura 2 12 y se incrementa 83 por cada unidad que x aumenta . View in document p.84
Figura 2.13 Función
Figura 2 13 Funci n. View in document p.88
Figura 2.14
Figura 2 14. View in document p.94
Figura 2.16 Valores
Figura 2 16 Valores . View in document p.97
Figura 2.17 Porcentaje de
Figura 2 17 Porcentaje de . View in document p.98
Figura 2.18 Sistema de ejes de
Figura 2 18 Sistema de ejes de . View in document p.99
Figura 2.19 Octantes del
Figura 2 19 Octantes del . View in document p.100
Figura 2.21 Gráfica del
Figura 2 21 Gr fica del . View in document p.102
Figura 2.22 Plano x1 � 0.
Figura 2 22 Plano x1 0 . View in document p.103
Figura 2.24 Planos
Figura 2 24 Planos. View in document p.104
Figura 2.26
Figura 2 26. View in document p.105
Figura 3.2
Figura 3 2. View in document p.123
Figura 3.3 Procedimiento de eliminación para sistemas de (2 � 2).
Figura 3 3 Procedimiento de eliminaci n para sistemas de 2 2 . View in document p.125
Figura 3.5 Procedimiento de eliminación para sistemas de (m � 2), m � 2.
Figura 3 5 Procedimiento de eliminaci n para sistemas de m 2 m 2 . View in document p.128
Figura 3.6 No hay
Figura 3 6 No hay . View in document p.129
Figura 3.8 Transformación
Figura 3 8 Transformaci n . View in document p.134
Figura 3.9 Sistemas de ecuaciones equivalentes que pueden resultar al utilizar el método de elimi-nación de Gauss.
Figura 3 9 Sistemas de ecuaciones equivalentes que pueden resultar al utilizar el m todo de elimi naci n de Gauss . View in document p.137
Figura 3.12 Coeficiente de
Figura 3 12 Coeficiente de. View in document p.141

Referencias

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