ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN

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(1)

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

DE SEGUNDO ORDEN

YOEL GUTIÉRREZ

UNEXPO-PUERTO ORDAZ

1

Introducción

En la ingeniería se desarrollan modelos que producen ED lineales de segundo orden. Algunos ejemplos de estos modelos son las vibraciones mecánicas.

Consideremos un resorte que resiste compresión y estiramiento, sujeto a un soporte rígido. Un cuerpo de masa m se sujeta en el otro extremo del resorte y lo estira una lingituds, llegando a una posición de equilibrio (ver Figura 1)

Soporte rígido

Resorte sin estirar

m

m Posición de

equilibrio x

Figura 1: Sistema resorte-masa

Denotemos con x la distancia del cuerpo a su posición de equilibrio. Tomamos x > 0 cuando el resorte está por debajo de la posición de equilibrio y x <0 cuando está por encima.

La segunda ley de Newton, fuerza es igual a masa por aceleración

md

2x

dt2 =F;

(2)

que gobierne el movimiento del cuerpo, tomando en cuenta las fuerzas que actían sobre él debido a la elasticidad del resorte, el peso del cuerpo, la fricción (amortiguamiento) y las posibles fuerzas externas.

Al desplazar la masa m con respecto de la posición de equilibrio, el resorte se estira o se comprime y ejerce una fuerza que reiste al desplazamiento. Para la mayor parte de los resortes, esta fuerza es directamente proporcional a la distancia que el resorte ha sido alargado o comprimido, por lo que está dada por

Fr = k(s+x); (1)

donde la constante positiva k es la rigidez del resorte y el signo negativo indica la naturaleza de oposición de la fuerza. La ecuación (1), conocida como la ley de

Hooke, sólo es válida para desplazamientos su…cientemente pequeños.

El peso del cuerpo

W =mg

está equilibrado por Fr: En la posición de equilibrio

mg ks= 0 (2)

Prácticamente todos los sistemas mecánicos experimentan la fuerza de fricción; por lo general, para el movimiento de vibración, esta fuerza se modela mediante un término proporcional a la velocidad:

Ff = b

dx

dt; (3)

donde b 0 es el coe…ciente de amortiguamiento, y el signo negativo tiene el mismo signi…cado que en la ecuación (1).

Las otras fuerzas que actúan sobre el oscilador se consideran por lo general como externas al sistema. Aunque estas pueden ser gravitacionales, eléctricas o magnéticas, lo común es que las fuerzas externas más importantes sean transmitidas a la masa sacudiendo la base de la que cuelga el resorte. Representaremos todas las fuerzas externas por una función conocidaFe(t):

Si no hay otras fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema, entonces la fuerza neta o resultante es

Fn =Fr+W +Ff +Fe(t)

Aplicando la segunda Ley de Newton obtenemos

md

2x

dt2 = k(s+x) +mg b

dx

dt +Fe(t)

= ks kx+mg bdx

dt +Fe(t) Como mg ks= 0;

md

2x

dt2 = kx b

dx

(3)

Así, la EDO para el sistema mecánico masa-resorte es

md

2x

dt2 +b

dx

dt +kx=Fe(t): (4) Nuestro objetivo es obtener una descripción cualitativa de las soluciones de la EDO de la forma (4), llamada ED lineal de segundo orden con coe…cientes constantes.

Para comenzar el estudio de estas ecuaciones diferenciales necesitamos ciertas de…niciones y terminologías comúnes.

De…nición 1.1 Una ecuación diferencial ordinaria es lineal de segundo orden

si se puede escribir de la forma

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y=f(x); (5) o más brevemente

a2(x)y

00

+a1(x)y

0

+a0(x)y=f(x);

donde a2; a1; a0 y f dependen sólo de x y no de y: Cuando a2; a1; a0 son constantes,

diremos que la ecuación (5) tiene coe…cientes constantes, en caso contrario, tiene

coe…cientes variables.

Modelaremos problemas mediantes un PVI de segundo orden que involucra un ED lineal, estos PVI son de la forma

a2(x)y

00

+a1(x)y

0

+a0(x)y=f(x); y(x0) = y0; y0(x0) = y1: (6)

Recuérdese que, para un problema como éste, se busca una función de…nida en algún intervalo I que contenga ax0, y satisfaga la ecuación diferencial y las 2

condi-ciones iniciales especi…cadas en x0: y(x0) = y0; y0(x0) =y1.

Existe un teorema de existencia y unicidad para el PVI anteior, similar al corre-spondiente teorema para el PVI que involucra una ED lineal de primer orden.

Teorema 1.1 (Teorema de existencia y unicidad) Seana2(x); a1(x); a0(x)yf(x)

funciones continuas en un intervalo I, y sea a2(x)6= 0 para cada x del intervalo. Si

x0 es cualquier punto enI y si y0; y1;son números arbitrarios, el PVI (6) tiene una

y sólo una solución y(x) en el intervalo I.

(4)

2

Ecuaciones lineales homogéneas: Caso general

De…nición 2.1 Una ecuación lineal de segundo orden de la forma

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y = 0 (7) se llama homogénea, mientras que una ecuación

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y=f(x) (8) donde f(x) nos es idénticamente cero, se llama no homogénea.

Al estudiar la ecuación no homogénea (8), es necesario considerar a la par la ecuación homogénea (7). Bajo estas condiciones se habla de (8) como una ecuación completa y de (7) como la ecuación reducida asociada a ella.

En el siguiente teorema veremos que la suma o superposición de dos soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden también es una solución.

Teorema 2.1 (Principio se superposición, ecuaciones homogéneas) Si

y1; y2 son 2 soluciones de la ED lineal homogénea (7) de orden 2 en un intervalo

I, la combinación lineal

y(x) = c1y1(x) +c2y2(x)

en donde c1; c2 son constantes arbitrarias, también es una solución cuando x está en

I.

Prueba. Como y1; y2 son 2 soluciones de la ED lineal homogénea (7) enI; entonces

a2(x)

d2y 1

dx2 +a1(x)

dy1

dx +a0(x)y1 = 0 y

a2(x)

d2y2

dx2 +a1(x)

dy2

dx +a0(x)y2 = 0 en I: Por lo tanto, si c1; c2 son constantes arbitrarias y

y =c1y1 +c2y2;

entonces

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y

= a2(x)

d2

dx2 (c1y1+c2y2) +a1(x)

d

dx(c1y1+c2y2) +a0(x) (c1y1+c2y2)

= c1 a2(x)

d2y 1

dx2 +a1(x)

dy1

dx +a0(x)y1 +c2 a2(x) d2y

2

dx2 +a1(x)

dy2

dx +a0(x)y2

= c1:0 +c2:0

= 0

(5)

Nótese que:

1. Un múltiplo constante y(x) = c1y1(x) de una solución y1(x) de una ED lineal

homogénea también es una solución.

2. Una ED lineal homogénea siempre tiene la solución trivial y(x) = 0.

Sabemos que la solución general de una ED lineal homogénea de segundo orden es biparamétrica (tiene dos parámetros). Ahora, por el principio de superposición, si y1; y2 son2 soluciones de la ED lineal homogénea (7) en un intervalo I, entonces

y(x) = c1y1(x) +c2y2(x) (9)

en donde c1; c2 son constantes arbitrarias, también es una solución en I. Entonces

nos preguntamos, ¿es la ecuación (9) la solución general de la ED lineal homogénea (7) en I?, esto es, ¿toda solución de la ecuación homogénea (7) se puede escribir de la forma (9), para una elección adecuada de las constantes c1; c2?

Para dar respuesta a esta pregunta nótese que:

1. Si y2(x)es la solución idénticamente nula en I, entoces

c1y1(x) +c2y2(x) =c1y1(x)

tiene en realidad una sola constante y no puede esperarse que sea la solución general de la EDO (7) en I:

2. Si y2(x) es un múltiplo constante de y1(x) en I; digamos y2(x) = ky1(x) en I;

entonces de nuevo

c1y1(x) +c2y2(x) =c1y1(x) +ky1(x) = (c1+k)y1(x) = Cy1(x)

tiene en realidad una sola constante.

Luego, una de las condiciones que necesitamos es la independencia lineal.

De…nición 2.2 Dos funciones f1(x) yf2(x)se dice que son linealmente

dependi-entes (l.d.) en un intervaloI si existen dos constantes c1; c2 no todas cero, tales que

para toda x en I

c1f1(x) +c2f2(x) = 0: (10)

En caso contrario se dice que el conjunto es linealmente independiente (l.i.).

(6)

Nótese que si las dos funciones f1(x) y f2(x) son l.d. en un intervalo, existen

constantes,c1 y c1, que no son cero a la vez, tales que, para toda x en el intervalo se

cumple (10); por consiguiente, si suponemos que c1 6= 0, entonces

f1(x) =

c2

c1

f2(x);

esto es, si dos funciones son l.d., entonces una es múltiplo constante de la otra. Al revés, si f1(x) =c2f2(x) para alguna constante c2, entonces

( 1)f1(x) +c2f2(x) = 0

para toda x en algún intervalo. Así, las funciones son l.d. porque al menos unas de las constantes no es cero. Llegamos a la conclusión de que dos funciones son l.i.

en un intervalo I cuando ninguna es múltiplo constante de la otra en I.

Esto es, el cociente f1(x)

f2(x) no es constante en un intervalo en quef1(x) y f2(x) son l.i..

Para estudiar la dependencia lineal de 2soluciones particulares de una ED lineal homogénea podemos recurrir a un determinante, como se muestra en el siguiente teorema

Teorema 2.2 Seany1; y2;2soluciones de la ecuación diferencial homogénea de orden

2 (7) , donde a2; a1 y a0 son continuas en algún intervalo dado I y an(x) 6= 0 para

toda x en I.

1. y1; y2; son linealmente dependientes en I si y sólo si el Wronskiano de y1 e y2

dado por

W(y1; y2) =

y1 y2

y01 y20

es idénticamente nulo en el intervalo.

2. y1; y2; son linealmente independientes en I si y sólo si W(y1; y2)6= 0 para cada

x en I.

3. W(y1; y2) = 0 para cada x2I, o bien, W(y1; y2)6= 0 para cada x2I.

Cualquier conjunto y1; y2 de dos soluciones l.i. de la ED lineal homogénea (7)

de segundo orden en un intervalo I se dice que es un conjunto fundamental de

soluciones en el intervalo.

(7)

Teorema 2.3 (Solución general, ecuaciones homogéneas) Siy1; y2; son2

solu-ciones linealmente independientes de la ecuación homogénea de orden 2 (7), en un intervalo I, entonces

y=c1y1+c2y2 (11)

es una solución de (7) para cualesquiera constantes c1; c2. Recíprocamente, toda

solu-ción de (7) tiene la forma (11) para selecciones apropiadas de las constantes c1; c2.

Prueba. Sean y1; y2; 2 soluciones linealmente independientes de la EDO lineal

ho-mogénea

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y = 0

en un intervalo I; por el principio de superposición es inmediato que y=c1y1+c2y2

también es una solución enI para cualesquiera constantes c1; c2.

Sea (x) una solución de la EDO lineal homogénea en I;seax=t un punto enI y consideremos el sistema de ecuaciones

c1y1(t) +c2y2(t) = (t)

c1y

0

1(t) +c2y

0

2(t) =

0

(t): (12)

Como y1; y2; son soluciones linealmente independientes de la ED lineal homogénea

de segundo orden enI, entonces W(y1; y2) 6= 0 para cada x2 I, por lo tanto, como

t2I

y1(t) y2(t)

y10(t) y02(t) 6= 0:

Esto garantiza que el sistema (12) tiene solución única, esto es, podemos determinar c1 y c2 de manera única. Luego, toda solución de (7) se puede escribir de la forma

(11) para selecciones apropiadas de las constantesc1; c2.

3

Ecuaciones

lineales

homogéneas

con

coe…cientes constantes

Estudiaremos con detalle las soluciones de la ED lineal homogénea

ay00+by0+cy = 0 (13)

en el caso especial en que a, b y c son constantes reales.

Nuestro punto de partida es la propiedad de la función exponencialemx de que sus

(8)

como una posible solución de (13) si la constantem se escoge adecuadamente. Como y0 =memx e y00 =m2emx, sustituyendo en (13) vemos que

(am2+bm+c)emx = 0; (14)

y puesto queemx nunca se anula, (14) se cumple si y sólo m satisface la ecuación

am2+bm+c= 0; (15)

llamadaecuación auxiliaroecuación característicade la EDO (13). Examinare-mos tres casos: Las soluciones de la ecuación característica que corresponden a raíces reales distintas, raíces reales e iguales y raíces complejas conjugadas.

3.0.1 Caso 1: Raíces reales distintas.

Si la ecuación (15) tiene dos raíces reales distintas,m1 ym2, llegamos a las soluciones

y1 =em1x y y2 =em2x. Estas funciones son linealmente independientes en ( 1;1),

en efecto, comom2 6=m1

W(y1; y2) =

em1x em2x

m1em1x m2em2x

= (m2 m1)e(m1+m2)x

es no nulo para cadax2( 1;1);en consecuencia, la solución general de la ecuación (13) en ese intervalo es

y=c1em1x+c2em2x:

3.0.2 Caso 2: Raíces reales e iguales.

Si la ecuación (15) tiene un única raíz real, entoncesb2 4ac= 0y la raíz esm = b

2a:

en este caso

y1 =emx =e

b

2ax

es una solución de la ED lineal homogénea (13) en ( 1;1). Se demuestra que

y2 =xemx =xe

b

2ax

es una segunda solución de la ecuación (13) en( 1;1), en efecto, sustituyendoy2;

(9)

ay002 +by02+cy2 = a

b a +

b2

4a2x e

b

2ax+b 1 b 2ax e

b

2ax+c xe b

2ax

= b+ b

2

4ax+b b2

2ax+cx e

b

2ax

= b

2 2b2+ 4ac

4a xe

b

2ax

= b

2 4ac

4a xe

b

2ax

= 0

4axe

b

2ax = 0:

Por otra parte, como

w(y1; y2)(x) =

e 2bax xe b

2ax

b

2ae

b

2ax 1 b

2ax e

b

2ax

= 1 b

2ax e

b

ax+ bx 2ae

b ax

= e bax

no se anula en ( 1;1), las dos soluciones, y1 y y2 son l.i en en ( 1;1): Por lo

tanto (15) tiene a

y=c1emx+c2xemx = (c1+c2x)emx:

como su solución general en ( 1;1).

3.0.3 Caso 3: Raíces complejas conjugadas.

Si la ecuación (15) tiene dos raíces complejas conjungadas, digamos m1 = +i y

m2 = i , donde y son números reales; entonces,

y=c1e( +i )x+c2e( i )x; (16)

es solución de la ecuación (13) para cada elección de las constantes c1 y c2: Sin

embargo, en la práctica se pre…ere trabajar con funciones reales y no con exponenciales complejas. Con este objeto se usa la fórmula de Euler:

ei = cos +isen ;

(10)

Como (16) es una solución de (13) para cualquier elección de las constantes c1 y

c2, sic1 =c2 = 1, obtenemos la solución

y1 =e( +i )x+e( i )x =e x(ei x+e i x) = 2e xcos( x);

y si c1 = 1 y c2 = 1, obtenemos la solución

y2 =e( +i )x e( i )x =e x(ei x e i x) = 2ie xsen( x):

En consecuencia, por el principio de superposición para las ecuaciones homogéneas

1 2y1 =e

xcos( x) y 1

2iy2 =e

xsen( x)

también son soluciones de la ecuación (13). Además, se demuestra que esas soluciones son linealmente independientes en ( 1;1); por tanto, la solución general de la ecuación (13) en( 1;1) es

y= (c1cos( x) +c2sen( x))e x:

Teorema 3.1 (Existencia y unicidad: Caso homogéneo) Para cualesquiera

números reales a2;,a1;,a0; x0; y0; y1; con a2 6= 0; existe una única solución del PVI

a2y

00

+a1y

0

+a0y= 0; y(x0) = y0; y0(x0) =y1;

válida para toda x en ( 1;1):

Ejercicios 1

1. Veri…que que la ecuación

md

2x

dt2 +kx= 0

tiene una solución de la formax(t) =sen!t; donde! = q

k m:

2. Para la ecuación

md

2x

dt2 +b

dx

dt +kx= 0; veri…que lo siguiente:

(a) Si x(t) es una solución, también lo es cx(t), para cualquier constante c, (b) si x1(t) y x2(t) son soluciones, también lo es su suma.

3. Veri…que que x(t) = 3sen3t+ cos 3t es una solución del PVI

2x00+ 18x= 0; x(0) = 1; x0(0) = 6:

(11)

4. Determinar si las funciones f(x) y g(x) son linealmente independientes en el intervalo(0;1):

(a) f(t) = e tsen2t y g(t) =e tcos 2t (b) f(t) = tan2t sec2t y g(t) = 3

(c) f(t) = 0 y g(t) =et

(d) f(t) = x y g(t) = x2

5. Sean f(t) = t3 y g(t) =

jt3

j:

(a) ¿Sonf(t) y g(t) linealmente independientes en los siguientes intervalos? i) (0;1); ii)( 1;0); iii)( 1;1)

(b) Calcules el wronskiano de esta dos funciones en ( 1;1)

6. Hallar una solución general de cada ecuación (a) x00+x0 x= 0

(b) 2w00+ 7w0 4w= 0

(c) x00 x0 11x= 0

(d) 4y00+ 20y0 + 125y= 0

(e) y00+y= 0

(f) y00 10y0 + 26y = 0

(g) y00 4y0+ 7y= 0

(h) y00+ 4y0 + 8y = 0

7. Resuelva cada PVI

(a) y+y0 = 0; y(0) = 2; y0(0) = 1

(b) y00 4y0+ 3y= 0; y(0) = 1; y0(0) = 13

(c) y00 6y0+ 9y= 0; y(0) = 2; y0(0) = 253

(d) y00+ 2y0 + 17y= 0; y(0) = 1; y0(0) = 1

(12)

4

Ecuaciones lineales no homogéneas

El siguiente teorema será de mucha utilidad cuando consideremos los métodos para encontrar soluciones particulares de EDO lineales no homogéneas con coe…cientes constantes.

Teorema 4.1 (Principio de superposición, ecuaciones no homogéneas) Siypi

representa una solución particular de ED lineal no homogénea

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y=fi(x); en donde i= 1;2; : : : ; k. Entonces

yp =c1yp1 +c2yp2 +: : :+ckypk

es una solución particular de

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y=c1f1(x) +c2f2(x) +: : :+cfk(x); para cualquier elección de las constantes c1; c2; :::; ck:

¿Qué forma tiene las soluciones generales de las ED lineales no homogéneas? La respuesta a esta pregunta la mostramos a continuación.

Teorema 4.2 (Solución general, ecuaciones no homogéneas) Siy1; y2 son2

solu-ciones linealmente independientes de la ecuación

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y = 0 (17) y yp es una solución particular de

a2(x)

d2y

dx2 +a1(x)

dy

dx +a0(x)y=f(x) (18) donde f es continua en I, entonces

y=c1y1+c2y2+yp (19)

es una solución de (18) para cualesquieras constantes c1; c2. Recíprocamente, toda

(13)

Usulamente, la solución general de la homogénea asociada c1y1 +c2y2 se denota

poryc y se llamasolución complementaria. Así, la solución general de la ecuación

no homogénea (18), en un intervalo I es de la forma y=yc +yp

Para encontrar la solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea (18), debemos pasar por dos momentos

1. Determinar la solución general de la ecuación homogénea asociada, yc.

2. Establecer cualquier solución particular, yp, de la ecuación no homogénea.

Entonces, la solución general de (18) en un intervalo es y =yc+yp.

Estudiaremos las ecuaciones lineales en donde los coe…cientes de la homogénea asociada son constantes, en este caso no existirá problema alguno para hallar yc:

Pero, en tales circunstancias, ¿cómo hallar yp? Existen muchos métodos por medio

de los cuales se pueden obtener soluciones particulares, a continuación nos referiremos a dos de ellos.

4.1

El método de los coe…cientes indeterminados

Un método a menudo usado en Física e Ingeniería es elmétodo de los coe…cientes

indeterminados. La idea básica es una conjetura o propuesta coherente acerca de la

forma deyp originada por los tipos de funciones que forman el dato g(x). El método

es básicamente directo, pero está limitado a ecuaciones lineales no homogéneas, como la ecuación (18), en que:

1. Los coe…cientes a0; a1; a2 son constantes.

2. f(x) es una función polinomial, una función exponencial erx donde r es

con-stante, una función seno o coseno como senrx, cosrx, o sumas y productos …nitos de estas funciones.

A continuación mostramos la forma deyp originada por algunos tipos de funciones

que forman el datof(x):

1. Para un polinomio de grado n, asuma un polinomio de gradon. 2. Para términos como senrx ocosrx, asuma Asenrx+Bcosrx. 3. Para términos como erx, asumaAerx.

(14)

5. Para una suma o diferencia …nita de términinos como los anteriores, aplique el principio de superposición.

Si algunos de los términos asumidos ocurre en la solución complementaria, debe-mos multiplicar estos términos asumidos por una potencia de la forma xn; con n el

entero positivo más pequeño, de modo que ninguno de los términos asumidos aparezca en la solución complementaria.

4.2

El método de variación de parámetros

Consideremos la ED lineal no homoénea

a2(x)y00+a1(x)y0 +a0(x)y=f(x): (20)

El método de los coe…cientes indeterminados, para hallar una solución particular de la ecuación (20) tiene dos serias limitaciones: puede usarse sólo cuando los coe…cientes a2,a1 ya0 son constantes, e incluso entonces sólo funciona si el término de la derecha

f(x) tiene una forma particularmente sencilla. Dentro de estas limitaciones, ese método suele ser el más simple de aplicar.

Ahora desarrollaremos otro método más potente que funciona siempre, sean cuales sean a2, a1 y a0 y f(x), y supuesto sólo que la solución general de la correspondiente

ecuación homogénea

a2(x)y00+a1(x)y0+a0(x)y= 0; (21)

se conoce de antemano.

La ED (20) se puede escribir de la forma

y00+P(x)y0+Q(x)y =g(x); (22) donde P(x) = a1(x)

a2(x); Q(x) =

a0(x)

a2(x) y g(x) =

f(x)

a2(x) Supongamos que P(x); Q(x) g(x)

son continuas en algún intervaloI;y que se ha encontrado de algún modo la solución general

y=c1y1(x) +c2y2(x)

de la homogénea asociada.

El método de variación de parámetros permite encontrar dos funciones descono-cidas, v1(x) y v2(x); de manera tal que

yp =v1y1+v2y2 (23)

sea una solución particular de (22). Para encontrar estas dos funciones desconocidas, empecemos calculando la derivada de (23), agrupada como sigue:

(15)

Otra derivación introduciría segundas derivadas de las incógnitas v1 y v2. Evitamos

esa complicación exigiendo que

v10y1+v20y2 = 0: (25)

Esto da

y0p =v1y10 +v2y02: (26)

Así que

yp00=v1y100+v01y10 +v2y200+v02y20: (27)

Sustituyendo (23), (26) y (27) en (22) y reordenando se llega a

v1(y001 +P(x)y10 +Q(x)y1) +v2(y002 +P(x)y02+Q(x)y2) +v10y10 +v20y20 =g(x):

Como y1 e y2 son soluciones de la homogénea asociada a la ecuación (22) , las dos

expresiones entre paréntesis son cero, y se obtiene

v10y10 +v20y02 =g(x): (28) Teniendo en cuenta (25) y (28) conjuntamente tenemos dos ecuaciones con dos in-cógnitasv01 y v20

v0

1y1 + v20y2 = 0

v10y01 + v20y02 = g(x);

cuya solución es

v01 = y2g(x)

W(y1; y2)

y v02 = y1g(x)

W(y1; y2)

: (29)

Hay que hacer notar que estas fórmulas son legítimas, ya que el Wronskiano de los denominadores es no nulos por la independencia lineal de y1 y y2. Integrando cada

ecuación en (29) obtenemos.

v1 =

Z y

2g(x)

W(y1; y2)

dx y v2 =

Z y

1g(x)

W(y1; y2)

dx:

Resumiendo toda la información podemos a…rmar que

yp =y1

Z

y2g(x)

W(y1; y2)

dx +y2

Z

y1g(x)

W(y1; y2)

dx

(16)

Ejercicios 2

1. Hallar una solución general para cada ED lineal, aplicando el método de los coe…cientes indeterminados

(a) y00+y0 6y=e4x

(b) y00+y0 6y=e2x

(c) y00+y0 6y= 5te2t;

Sol:y=c1e2t+c2e 3t+ 12t2 15t e2t

(d) 2y00+y0 = 1 + 2e 12x;

Sol:y=c1+c2e

1

2x+ 2x2 9x 2xe 1 2x

(e) y00+ 3y= 12sen(p3x); Sol:y=c1cos(

p

3x) +c2sen(

p

3x) 1

4p3tcos(

p

3x)

(f) y00 4y0+ 13y= 3 cos(3x)

(g) 2y00+y0 6y=senx+ 3e 2x; Sol:y=c1e 2x+c2e

3 2x 8

65senx 1 65cosx

3 7xe

2x

(h) y00+ 9y= 2sen(3x) +senx;

Sol:y=c1cos(3x) +c2sen(3x) 13xcos(3x) + 12senx

(i) y00 2y0 = 12x 10

(j) y00 2y0+ 5y=exsenx

(k) y00+y0+y=xsenx (l) y00+ 4y= 4sen(2x);

Sol:y=c1cos(2x) +c2sen(2x) xcos(2x)

(m) y00+y0 12y= 2x+e3x;

Sol:c1e3xc2e 4x 16x 721 + 17xe3x

2. Hallar la solución general de la homogénea asociada y determine la forma, apli-cando el método de los coe…cientes indeterminados, de una solución particular de cada ecuación. (No evalúe los coe…cientes)

(a) 2y00+ 3y0 = 3 +e 32t

(b) y00+ 9y= 4t3sen(3t)

(c) y00+y0 6y= 5te2t

(17)

3. Resuelva por el método de variación de parámetros el PVI

y00 4y0+ 4y= 12x2 6x e2x; y(0) = 1; y0(0) = 0:

Sol: (x4 x2 2x+ 1)e2x

4. Hallar una solución general de cada ED lineal aplicando el método de variación de parámetros

(a) y00+ 4y0+ 4y =e 2xlnx

Sol:y= c1+c2x+x2 12lnx 34 e 2x

(b) 4y00+ 4y0+y =x 2e x2

Sol:y= c1+c2x 14(1 + lnx) e

1 2x

(c) 3y0 + 2y= (1 +e x) 1

(d) y00+ 2y0+y= (ex 1) 2

Sol:y= (c1+c2x ln (1 e x))e x

(e) y00+ 2y0+y= (ex+ 1) 2

Sol:y= (c1+c2x+ ln (1 +e x))e x

5

Vibraciones mecánicas

Regresaremos al sistema masa-resorte descrito en la introducción de este tema y analizaremos su movimiento con más detalle. La ecuación que lo describe es

md

2x

dt2 +b

dx

dt +kx=Fe(t); (30) donde m >0 es la masa del cuerpo sujeta en uno de los extremos del resorte, b 0

es la constante de amortiguaiento, k >0 es la rigidez del resorte yFe(t) es la fuerza

externa que actúa sobre el sistema.

5.1

Movimiento libre no amortiguado

Primero nos centraremos en un caso sencillo, cuando b = 0 y Fe(t) = 0; llamado el

movimiento libre sin amortiguamiento. Entonces la ecuación (30) se reduce a

md

2x

dt2 +kx= 0:

Dividiendo porm y haciendo!= q

k

m, la ecuación anterior se puede escribir como

d2x dt2 +!

(18)

Esta ecuación describe el movimiento libre no amortiguado de un cuerpo. La ecuación auxiliar de (31) es r2 +!2 = 0; que tiene raíces complejas conjugadas !i: Por lo

tanto, su solución general es

x(t) =c1cos(!t) +c2sen(!t) (32)

Dos condiciones iniciales asociadas con la ecuación (31) sonx(0) =a, la cantidad de desplazamiento inicial, y x0(0) = b; la velocidad inicial del cuerpo. Por ejemplo, si a >0y b < 0; el cuerpo parte de un punto debajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Sia <0y b= 0;el cuerpo se suelta partiendo del reposo desde un puntojajunidades arriba de la posición de equilibrio.

Para analizar el movimiento descrito por la ecuación (31) conviene escribir su solución general (32) de la forma

x(t) = Csen(!t+ ); (33) conC 0:Aplicando identidades trigonométricas obtenemos que

Csen(!t+ ) = C(sen(!t) cos( ) +sen( ) cos(!t))

= (Csen( )) cos(!t) + (Ccos( ))sen(!t)

Luego, como (32) y (33) son iguales, entonces

C1cos(!t) +C2sen(!t) = (Csen( )) cos(!t) + (Ccos( ))sen(!t)

Por lo tanto

C1 =Csen( ) y C2 =Ccos( )

Esto es

sen( ) = C1

C y cos( ) =

C2

c donde

sen2( ) + cos2( ) = C

2 1 +C22

C2

1 = C

2 1 +C22

C2

C = q

c2 1 +c22

y = 8 > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > :

arctag c1

c2 ; si C1 >0 y C2 >0

+arctag c1

c2 ; si C2 <0

2 +arctag c1

c2 ; si C1 <0 y C2 >0

0; si C1 = 0 y C2 >0

; si C1 = 0 y C2 >0 2; si C1 >0 y C2 = 0 3

(19)

Es evidente de (33) que el movimiento de una masa en un sistema libre de amor-tiguamiento es un onda sinusoidal, o lo que se llama un movimiento armónico

simple (ver Figura 2). La constante C es la amplitud del movimiento y ; que

varía de 0 a2 ;es elángulo fase. El movimiento es periódico con periodoT = 2!;

y frecuencia natural 2!: El periodo se mide en unidades de tiempo y la frecuencia

natural en periodos (o ciclos) por unidades de tiempo. La constante ! es la

fre-cuencia circular o angularpara la función seno en (33) y se mide en radianes por

unidad de tiempo.

-Φ ω/

C

2 / - /π ω Φ ω Periodo

2 /π ω

t x

Figura 2: Movimiento libre y no amortiguado

Nótese que la amplitud y el ángulo fase dependen de las constantes C1 y C2; que

a su vez quedan determinadas por la posición y velocidad inicial de la masa. Sin embargo, el periodo y la frecuencia dependen sólo de k y m y no de las condiciones iniciales.

Las unidades con las cuales trabajaremos en los problemas que involucran vibra-ciones mecánicas se resumen en la siguiente tabla

Unidades cgs mks fps

Longitud cm m Pie (f t)

Masa g kg slug

Tiempo s s s

Velocidad cm=s m=s f t=s

Aceleración cm=s2 m=s2 f t=s2 Fuerza dina Newton (N) Libra (lb) Gtavedad 980 cm=s2 9;8m=s2 32 f t=s2

Ejercicios 3

1. Se …ja una masa de 1

8 de Kg: a un resorte con rigides k = 16 N=m: La

(20)

imparte una velocidad hacia abajo de 12 m=s: Despreciando cualquier fuerza de amortiguamiento externa que pueda esar presente, determinar la ecuación del movimiento de la masa, junto con su amplitud, periodo y frecuencia natural. ¿Después de cuánto tiempo pasa la masa por primera vez, por la posición de equilibrio?

2. Una masa de 1 Kg: suspendida de un resorte lo estira 3;5 cm. Si la masa se desplaza7cm:por debajo de la posición de equilibrio y se la aplica una veloci-dad hacia abajo de 7 cm=s: Establezca una ecuación diferencial y condiciones iniciales que describan el movimiento. Encuentre la posición y velocidad de la masa en cada tiempo t:Encuentre la amplitud, período, ángulo fase y frecuen-cia del movimiento. Determina la posición y velocidad1s: después de soltar la masa.

3. Una masa de 30 gr: se une a un resorte. En equilibrio el resorte se alargo20

cm: El resorte se desplaza hacia abajo otros 10 cm: y se suelta. Establezca la ecuación diferencial para el movimiento y resuélvala para determinar el movimiento resultante ignorando las fuerzas externas y de amortiguamiento. 4. Una masa de 6 gr: se une a un sistema de masa-resorte con una constante de

resorte de30gr=s2:¿Cuáles deben ser las condiciones iniciales para obtener una

respuesta con amplitud3 y ángulo de fase de 4? Suponga que el movimiento es libre y no amortiguado.

5. Una masa de 3 Kg: está unida a un resorte con rigidezK = 48 N=m: La masa se desplaza1=2 m: hacia arriba del punto de equilibrio y recibe una velocidad de 2m=s: hacia abajo. La fuerza de amortiguamiento es despreciable. Deter-mine la ecuación del movimiento de la masa, junto con su amplitud, período y frecuencia. ¿cuánto tiempo después de la liberación pasa la masa por primera vez por la posición de equilibrio?

6. Una masa de 2Kg:está unida a un resorte con rigidezk = 50 N=m:La masa se desplaza1=4mhacia arribas de la posición de equilibrio y recibe una velocidad de1m=s: hacia arriba. Desprecie la fuerza de amortiguamiento y determine la ecuación del movimiento de la masa, junto con su amplitud, período y frecuen-cia. ¿cuánto tiempo después de la liberación pasa la masa por primera vez por la posición de equilibrio?

7. Una masa unida a un resorte oscila con un periodo de 3 s: Después de agregar

(21)

5.2

Movimiento libre amortiguado

En la mayoría de las aplicaciones de las vibraciones mecánicas existe cierto tipo de fuerza de fricción o de amortiguamiento que afecta las vibraciones. Esta fuerza puede deberse a un medio que rodea el sistema o bien un amortiguador. Ahora estudiaremos los efectos del amortiguamiento sobre las vibraciones libres, de modo que la ecuación (30) se generaliza a

md

2x

dt2 +b

dx

dt +kx= 0 (34)

La ecuación (34) se puede escribir como d2x

dt2 + 2

dx dt +!

2x= 0 (35)

donde

2 = b

m y !

2 = k

m

La ecuación (35) describe el movimiento libre amortiguado de un cuerpo. Su ecuación auxiliar es

r2+ 2 r+!2 = 0 (36)

y las raíces correspondientes son

r1 = +

p

2 !2 y r 2 =

p

2 !2

Ahora distinguiremos tres casos posible que dependen del discriminante 2 !2:

Caso 1. Movimiento sobreamortiguado ( 2 !2 > 0) Existe dos raíces

reales distintas de la ecuación característica, por lo tanto, la solución general de la ecuación (35) es

x(t) =c1er1t+c2er2t (37)

Es claro que r2 <0 y que

p 2

!2 < ; por tanto también r

1 <0: Así

l{m

t!+1x(t) = 0

Además, como

x0(t) = c1r1er1t+c2r2er2t =1 er1t c1r1+c2r2e(r2 r1)t ;

vemos que la derivada es idénticamente nula cuandoc1 =c2 = 0;o se anula a lo más

en un valor det que es solución de la ecuación

(22)

Si se ignora la solución trivial x(t) = 0, implica que x(t) tiene a lo más un máximo o un mínimo local para t > o. Por tantox(t) no oscila. Esto deja solo tres posibilidades para el movimiento dex(t);como se muestra en la Figura 3, de acuerdo con las condiciones iniciales.

No hay máximo ni mínimo

Hay un máximo

Hay un Mínimo

Figura 3: Movimiento sobreamortiguado

Caso 2. Movimiento críticamente amortiguado ( 2 !2 = 0) Existe una

única raíz de la ecuación característica, por tanto la solución general de la ecuación (35) es

x(t) = (c1+c2t)e t

Para comprender el movimiento descrito porx(t);primero consideraremos el com-portamiento de x(t) cuanot !+1: Por la ragla de L´Hopital

l{m

t!+1x(t) = t!l{m+1

c1+c2t

e t =t!l{m+1

c2

e t = 0

(Recuerde que >0). A continuación, como

x0(t) = (c2 c1 c2t)e t

vemos de nuevo que una solución no trivial puede tener a lo más un máximo o un mínimo local parat >0;de modo que el movimiento no es oscilatorio. Así se tiene un movimiento críticamente amortiguado. Grá…camente, los movimientos críticamente amortiguados son similares a los movimientos sobreamortiguados.

Caso 3. Movimiento subamortiguado u oscilatorio ( 2 !2 = 0) En este

caso existe dos raíces complejas conjugadas de la ecuación característica. Estas raíces son i ; donde

(23)

Por tanto, a solución general de la ecuación (35) es

x(t) =e t(C1cos( t) +C2sen( t))

Como en el caso del movimiento libre no amortiguado, podemos expresar esta solución en la forma alternativa

x(t) =Ce tsen p!2 2t+

Ahora es evidente quex(t)es el producto de un factor de amortiguamiento exponen-cial

ce t y un factor sinosoidal

sen p!2 2t+

que produce el movimiento oscilatorio. Debido a que el factor sinusoidal varía entre

1y 1con periodo p2

!2 2;la soluciónx(t)varía entre ce

ty ce t con

cuasiperi-odo

P = p 2

!2 2

y cuasifrecuencia 1p: Además como a = < 0; el factor exponencial tiende a cero cuandot !+1:En la Figura 4 aparece la grá…ca de una solución típica. El sistema se llama subamortiguado, porque no hay un amortiguamiento su…ciente ( es demaciado pequeño) para evitar que el sistema oscile.

c

-c

Figura 4: Movimiento subamortiguado u oscilatorio

Es fácil ver que cuando !0;el factor de amortiguamiento tiende a la constante c y la cuasifrecuencia tiende a la frecuencia natural del movimiento libre subamor-tiguado correspondiente. Por otra parte, los valores det donde la grá…ca dex(t)toca a las curvas exponenciales ce t no siempre son iguales, pero son cercanos, a los

(24)

Ejercicios 4

1. Una masa de 1=4 Kg: está unida a un resorte con una rigidez de4 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es de1N s=m:Si la masa se desplaza1=2m: hacia arriba y recibe una velocidad inicial de 1 m=s: hacia ar-riba, determine la ecuación del movimiento.¿Cuál es el máximo desplazamiento que alcanzará la masa?

2. Una masa de 1=8 Kg: se une a un resorte con rigidez 16 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es 2 N s=m: Si la masa se mueve 3=4

m hacia arriba de la posición de equilibrio y recibe una velocidad inicial hacia arriba de 2 m=s:, determine la ecuación del movimiento del cuerpo y de su factor de amortiguamiento, cuasiperiodo y cuasifrecuencia.

3. Una masa de 20 Kg: se une a un resorte con rigidez 200 N=m. La constante de amortiguamiento para el sistema es 140 N s=m: Si la masa se mueve 25

cm:hacia abajo de la posición de equilibrio y recibe una velocidad inicial hacia arriba de1m=s:;¿cuándo regresará por primera vez a su posición de equilibrio? 4. Una masa de 2 Kg. se une a un resorte con rigidez 40N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es 8p5 N s=m: Si la masa se mueve 10cm hacia abajo de la posición de equilibrio y recibe una velocidad inicial hacia abajo de2m=s:, ¿Cuál será el desplazamiento máximo con respecto de la posición de equilibrio?

5. Una masa de1=4 Kg: se une a un resorte con rigidez 8 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es 1=4 N s=m: Si la masa se mueve 1 m: hacia arriba de la posición de equilibrio y se libera, ¿Cuál será el desplazamiento máximo hacia abajo?

6. Una masa de 1 Kg: se une a un resorte con rigidez 100 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es 0;2 N s=m: Si la masa se empuja hacia abajo de la posición de equilibrio con una velocidad de 1 m=seg:, ¿Cuándo alcanzará su desplazamiento máximo hacia abajo?

7. Una masa de 1=4 Kg: se une a un resorte con rigidez8 N=m: La constante de amortiguamiento para el sistema es 2 N s=m: Si la masa se mueve 50 cm: hacia arriba de la posición de equilibrio y recibe una velocidad inicial hacia arriba de 2 m=s:, ¿Cuándo alcanzará su desplazamiento máximo hacia arriba? 8. Un resorte con una constante de8g=seg2 tiene un objeto unido que lo alarga 245

(25)

(d) bosqueje la representación grá…ca del movimiento del objeto, (d) determine que tanto se aleja el objeto de su posición de equilibrio. (Sol:x(t) = 3te 2t;el

objeto se aleja o,55 cm.)

9. Un resorte con una constante de 2 kg=seg2 tiene un objeto unido con una masa de 10 kg. El coe…ciente de amortiguamiento es 9 kg=seg: En el tiempo t = 0 el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio y tiene una veloci-dad de 5 m=seg: hacia abajo. Suponga que el movimiento e libre y amor-tiguado y: (a) Establezca el PVI que describe el movimiento, (b) hallar la posición del cuerpo en cada tiempot, (c) bosqueje la representación grá…ca del movimiento, (d) encuentre que tan lejos se mueve la masa de la posición de equilibrio. (Sol : x(t) = 50 e 25t e

1

2t ; la masa se mueve 4,095 m: de la

posición de equilibrio.)

10. Un resorte con una constante de 226 gr=seg2 tiene un objeto unido con una masa de 25gr. El coe…ciente de amortiguamiento es 10 gr=seg:En el tiempo t = 0 el cuerpo se encuentra 20 cm: por debajo de la posición de equilibrio y tiene una velocidad de 41 cm=seg: hacia abajo. Suponga que el movimiento e libre y amortiguado y: (a) Establezca el PVI que describe el movimiento, (b) hallar la posición del cuerpo en cada tiempo t, (c) bosqueje la representación grá…ca de la función posición del cuerpo, (d) determine el tiempo que tarda el cuerpo en pasar por primera vez por la posición de equilibrio. (Sol : x(t) =

e 15t(20 cos(3t) + 15sen(3t));el cuerpo tarda 0,74segen pasar por primera vez

por la posición de equilibrio.)

5.3

Movimiento forzado

Ahora tomaremos en cuenta una fuerza externa Fe(t), que actúa sobre una masa

oscilatoria en un resorte. Esto es, investigaremos la EDO

md

2x

dt2 +b

dx

dt +kx=Fe(t); (38) que puede escribirse de la forma

d2x dt2 + 2

dx dt +!

2

x=F(t); (39)

donde

2 = b

m; !

2 = k

m y F(t) = Fe(t)

m

Es muy común que la fuerza externa de un sistema masa resorte sea armónica simple.

(26)

donde F0 es la amplitud de la fuerza periódica y es su frecuencia angular.

A continución mostraremos un ejemplo de un movimiento forzado con amor-tiguamiento.

Ejemplo 5.1 Consideremos un sistema msa-resorte formado por una masa de 1=5

Kg:;unida a un resorte con rigidez de 2 N=m: La masa parte del reposo a 1=2 m: por debajo de su posición de equilibrio. El movimiento tiene una constante de amor-tiguamiento de1;2N s=m: y está impulsada por una fuerza externaf(t) = 5 cos(4t)

que se inicia cuando t= 0:

Solución. El PVI que modela el problema es

1 5

d2x

dt2 +

6 5

dx

dt + 2x= 5 cos(4t); x(0) =

1 2; x

0

(0) = 0

La solución del PVI es

x(t) = xc(t) +xp(t)

= e 3t 38

51cos(t) 86 51sen(t)

25

102 cos(4t) + 50

51sen(4t)

= 2

51

p

2210e 3tsen(t+ 2;73) + 25 102

p

17sen(4t+ 6;04)

Nótese que la solución complementariaxc(t)del ejemplo anterior tiene la propiedad

de que

l{m

t!+1xc(t) = t!l{m+1

2 51

p

2210e 3tsen(t+ 2;73) = 0

Como xc(t) se vuelve insigni…cante cuando t ! +1, se dice que es un término

transitorio o solución transitoria. Así, cuando el tiempo es grande, los

desplaza-mientos de la masa del problema anterior son muy bien aproximados por la solución particcularxp(t):Esta úlmina función se llama tambiénsolución de estado estable,

de estado estacionario o de estado permamente.

CuandoF(t)es una función periódica como (40), la solución general de la ecuación (39) es de la forma

x(t) = parte transitoria + parte estable

(27)

Ejemplo 5.2 Resuelva el PVI

x00+ 9x= 5sen( t); x(0) = 0; x0(0) = 0; j j 6= 3

Solución. La solución de la ecuación homogénea asociada a la EDO es

xc(t) =c1cos(3t) +c2sen(3t)

Aplicando el método den los coe…cientes indeterminados obtenemos la solución par-ticular

xp(t) =

5

9 2sen( t)

Luego, la solución general de la EDO es

x(t) =c1cos(3t) +c2sen(3t) +

5

9 2sen( t)

Aplicando las condiciones iniciales obtenemos c1 = 0 y c2 = 3(95 2): Por tanto, la

solución del PVI es

x(t) = 5

3 9 2 ( sen(3t) + 3sen( t)); j j 6= 3

Para = 3;la solución del PVI se de…ne como

x(t) =l{m

!3

5 3

sen(3t) + 3sen( t)

9 2 =

5

18sen(3t) 5

6tcos(3t)

Nótese que cuandotn= n3 ; n= 1;2;3; :::;

jx(tn)j=

5n

8 !+1 si n!+1

Por tanto, los desplazamientos crecen cuando t ! +1: Este fenómeno se llama

(28)

Figura 5: Resonancia pura La solución anterior es consecuencia de resolver el PVI

x00+ 9x= 5sen(3t); x(0) = 0; x0(0) = 0

directamente por los métodos convencionales.

Si la …gura anterior describe en realidad los desplazamientos de un sistema de resorte y masa, este sistema se destruiría. Las oscilaciones grandes de la masa forzarán al resorte a rebasar su límite elástico. Se podría decir que el modelo descrito es irreal por completo, porque no tiene en cuenta los efectos retardantes de las siempre presentes fuerzas de amortiguamiento. No se puede tener resonancia pura cuando se considera un amortiguamiento mínimo, pero si se pueden desarrollar amplitudes grandes e igualmente destructivas de vibración, pero acotadas cuando t!+1:

Ejercicios 5

1. Un objeto con na masa de 2 kg. está suspendido del extremo de un resorte que tiene una constante de 128 kg=seg2, suponiendo que el movimiento es no amortiguado y que se aplica una fuerza externa dada porf(t) = 40 cos(8t)para t >0 :(a) encuentre la posición del objeto en cada tiempotsi éste se mueve 16m: hacia abajo de la posición de equilibrio y se suelta, (b) dar una interpretación física de lo que sucede con el movimiento del objeto cuandot crece.

Sol:x(t) = 1

6cos(8t) + 5

4tsen(8t)

2. Una masa de 8 kg:se une a un resorte que cuelga desde el techo, haciendo que el resorte se estire 1.96 m: hasta llegar al reposo en equilibrio. En el instante t= 0 se aplica una fuerza externaf(t) = cos(2t)N:al istema. La constante de amortiguamiento del sistema es 3N seg=m: Determine la solución de estado estable para el sistema.

Sol:xp(t) = 252 cos(2t) + 503 sen(2t):

3. La respuesta de un sistema sobreamortiguado a una fuerza constante queda descrita mediante la ecuación

2x00+ 8x0 + 6x= 18:

Si el sistema parte del reposo (x(0) = x0(0) = 0), calcule x(t) y bosqueje su representación grá…ca. ¿Cuál es el valor de l{m

t!+1x(t)?

(29)

6

Circuitos en serie LRC

Si i(t) representa la corriente en un circuito eléctrico en serie LRC, de acuerdo con la segunda ley de Kirchho¤, la suma de las caídas de voltaje a través del inductor, resistor y capacitor es igual al voltaje aplicado al circuito; esto es

Ldi

dt +Ri+

1

Cq=E(t)

Pero i(t) = dqdt, de manera que la ecuación anterior se transforma en la ecuación diferencial lineal de segundo orden

Ld

2q

dt2 +R

dq dt +

1

Cq =E(t) (41)

La nomenclatura que se emplea en el análisis de circuitos, es similar a la que se usa en los sistemas de resorte y masa.

Sistema mecánico Sistema eléctrico

Masam Inductancia L

constante de amortiguamiento Resistencia R

Constante del resortek Recíproco de la capacitancia C1

Posición x Cargaq

Fuerza externaf Fuerza electromotriz E

En consecuencia, la mayoría de los resultados deducidos para los sistemas mecáni-cos pueden aplicarse de inmediato a circuitos eléctrimecáni-cos. El hecho de que la misma ecuación diferencial sirva como modelo matemático para sistemas físicos tan diferentes es una ilustración poderosa del papel uni…cador de las matemáticas en la investigación de fenómenos naturales.

Si E(t) = 0, las vibraciones eléctricas del circuito se llaman libres. Como la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea asociado a la ecuación anterior es

Lm2+Rm+ 1=C = 0;

habrán tres formas de la solución cuando R 6= 0, dependiendo del valor del dis-criminanteR2 4L

C. Se dice que el circuito es

1. Sobreamortiguadosi R2 4L

C >0

2. Críticamente amortiguadosi R2 4CL = 0

3. Subamortiguadosi R2 4L

(30)

En cada uno de los tres casos, la solución de la ecuación lineal contiene el factor e 2RL, así que q(t) ! 0 cuando t ! +1. Cuando E(t) = 0 y R = 0, se dice que el

circuito es no amortiguado, y las vibraciones eléctricas no tienden a cero cuando t aumenta sin límite; la respuesta al circuito es armónica simple.

Cuando hay un voltaje E(t) aplicado en el circuito, se dice que las vibraciones eléctricas son forzadas. Cuando R 6= 0, la solución de la homogénea asociada se llamasolución transitoria. SiE(t)es periódico o constante. La solución particular de la ecuación lineal, es una solución de estado estable, solución permanente

o solución remanente.

Ejercicios 6

1. Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie en cuando t = 0;01s: cuando L = 0:05 h:; R = 2 :; C = 0:01 f:; E(t) = 0 v:; q(0) = 5 c: e i(0) = 0A: Determine la primera vez que la carga en capacitor es igual a cero. 2. Calcule la carga en el capacitor de un circuito en serie LC cuando L= 0:01h:; C = 0:1 f:; E(t) = 100sent v:; q(0) = 0 c: ei(0) = 0 A: ¿Cuál es la carga en el capacitor cuando ha transcurrido mucho tiempo?

Sol:q(t) = 32e 10t(cos(10t) +sen(10t)) + 3 2

3. Determine la carga y la corriente en un circuito en serie LRC cuando L= 1 2 h:;

R = 10 :; C = 0:01 f:; E(t) = 150 v:; q(0) = 1 c: e i(0) = 0 A: ¿Cuál es la carga en el capacitor cuando ha transcurrido mucho tiempo?

Sol:q(t) = 10099(10sen(t) sen(10t))

Figure

Figura 1: Sistema resorte-masa

Figura 1.

Sistema resorte masa. View in document p.1
Figura 2: Movimiento libre y no amortiguado

Figura 2.

Movimiento libre y no amortiguado. View in document p.19
Figura 3: Movimiento sobreamortiguado

Figura 3.

Movimiento sobreamortiguado. View in document p.22
Figura 4: Movimiento subamortiguado u oscilatorio

Figura 4.

Movimiento subamortiguado u oscilatorio. View in document p.23

Referencias

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